VETORES 1

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LISTA 1 
Fonte: Geometria analítica / STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo; 2. ed – São Paulo: McGraw- Hill, 1987. 
 
1. Dados os vetores u⃗= (3, −1) e v⃗=(−1, 2) ,determinar o vetor w⃗ tal que: 
a.
4 ( u⃗− v⃗) + 1
3
w⃗= 2 u⃗− w⃗
 
b. 3 w⃗ −(2 v⃗− u⃗)=2 (4 w⃗−3 u⃗) 
 
2. Determinar o vetor v⃗ sabendo que (3, 7, 1) + 2 v⃗=(6, 10, 4) − v⃗. 
 
3. Dados os vetores u⃗=(1, a , − 2a− 1) , v⃗=(a , a− 1, 1) e w⃗=(a , − 1, 1) ,determinar a de 
modo que u⃗⋅⃗⃗v=( u⃗ + v⃗)⋅w⃗. 
 
4. Verificar se são unitários os seguintes vetores: 
u⃗=(1, 1, 1) e v⃗=(
1
√6,
−
2
√6,
1
√6
)
 
 
5. Determinar o valor de n para que o vetor 
v⃗ =(n ,
2
5,
4
5
)
seja unitário. 
 
6. Seja o vetor v⃗ =(m + 7) i⃗ + (m + 2) j⃗ + 5 k⃗.Calcular m para que ∣⃗v∣= √38 . 
 
7. Seja o triângulo de vértices A (– 1, – 2, 4), B (– 4, – 2, 0) e C (3, – 2, 1). Determinar o ângulo interno ao 
vértice B. 
 
8. Sabendo que o ângulo entre os vetores u⃗=(2, 1, − 1) e v⃗=(1, −1, m + 2)é π
3
, determinar 
m. 
 
9. Calcular n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores u⃗=(1, n , 2) e j⃗ . 
 
10. Dados os vetores a⃗ =(2, 1, α) , b⃗=(α + 2, − 5, 2) e c⃗ + (2 α , 8, α) ,determinar o valor de
α para que o vetor a⃗ + b⃗ seja ortogonal ao vetor c⃗ − a⃗. 
 
11. Determinar o vetor v⃗ , colinear ao vetor u⃗=(−4, 2, 6) ,tal que v⃗⋅w⃗=−12, sendo 
w⃗=(−1, 4, 2) . 
 
12. Qual o valor de α para que os vetores a⃗ =α i⃗ + 5 j⃗− 4 k⃗e b⃗=(α+ 1) i⃗ + 2 j⃗ + 4 k⃗sejam 
ortogonais? 
 
13. Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor v⃗ =(2, −1, 1) . 
 
14. Dados os vetores u⃗=(2, − 1, 1) , v⃗=(1, − 1, 0) e w⃗=(−1, 2, 2) ,calcular: 
a. w⃗× v⃗ 
b. v⃗ ×(w⃗− u⃗) 
c. ( u⃗ + v⃗)×( u⃗ − v⃗) 
d. 2 u⃗ ×3 v⃗ 
e. ( u⃗× v⃗)⋅( u⃗ × v⃗) 
f. (u⃗× v⃗)⋅w⃗ e u⃗⋅(v⃗× w⃗) 
g. (u⃗× v⃗)× w⃗ e u⃗×(v⃗× w⃗) 
h. ( u⃗+ v⃗)⋅( u⃗ × w⃗) 
15. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 a⃗ + b⃗ e b⃗− a⃗ ,sendo
a⃗ =(3, − 1, − 2) e b⃗=(1, 0, − 3) . 
 
16. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v⃗1=(1, 1, 0)e
v⃗2=(2, −1, 3) .Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5. 
 
17. Dados os vetores u⃗=(0, 1, − 1) , v⃗=(2, − 2, − 2) e w⃗=(1, − 1, 2) ,determinar o vetor x⃗ ,
paralelo a w⃗ , que satisfaça à condição x⃗ × u⃗ = v⃗ . 
 
 
GABARITO 
1. a.
w⃗=(−15
2
,
15
2
)
 b.
w⃗=(
23
5
,− 11
5
)
 
2. v⃗ =(1, 1, 1) 
3. a = 2 
4. v⃗ é unitário 
5. 
±
√5
5
 
6. – 4 ou – 5 
7. 45º 
8. m = – 4 
9. ±√15 
10. 3 ou – 6 
11. (2, – 1, – 3) 
12. – 3 ou 2 
13. Um deles é
(0,
1
√2
,
1
√2
)
 
14. a. (2, 2, – 1) b. (– 1, – 1, 0) c. (– 2, – 2, 2) d. (6, 6, – 6) 
e. 3 f. – 1 e – 1 g. (4, – 1, 3) e (1, – 4, – 6) h. 1 
15. x(3, 7, 1), x ∈ℝ 
16. Duas soluções para cada caso: 
(
1
√3
, −
1
√3
, −
1
√3
) ou (−
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
)
e
5 (
1
√3
, −
1
√3
, −
1
√3
) ou 5 (−
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
)
 
17. (– 2, 2, – 4)