Matemática - 7º Ano - Caderno 03

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3
caderno
Ensino 
Fundamental
ano
7
MATEMÁTICA
PROFESSOR
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Álgebra
 Ponto de partida, 3
Equações do 1°- grau com duas incógnitas – 
Inequações do 1°- grau com uma incógnita – 
Sistemas, 4
1. Introdução, 4
2. Equações com duas incógnitas, 5
3. Sistemas de duas equações do 1°- grau com duas 
incógnitas, 11
4. Inequações, 21
5. Sistemas de inequações do 1°- grau com uma incógnita, 29
6. Revendo equações, inequações e sistemas, 32
 Ponto de chegada, 44
Matemática
Luiz Roberto Dante
2133316 (PR)
1
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Representação 
de tela de videogame
2
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 Ponto de partida
Sob a orienta•‹o do professor, converse com os colegas e responda:
1. Na figura A, quantos graus deve girar a pe•a marrom para se 
encaixar na posi•‹o indicada pelo espa•o em preto 1? 
2. Nas figuras B e C, quantos graus devem girar as pe•as verde e azul, 
respectivamente, para se encaixar nas posi•›es indicadas pelos 
espa•os em preto 2 e 3? 
3. Que caracter’sticas comuns voc• observa nas sete pe•as coloridas 
desse jogo de videogame? 
4. Os lados de cada pe•a s‹o formados por segmentos de reta. 
Considerando dois lados consecutivos de qualquer uma das 
sete pe•as, o que podemos dizer a respeito das retas que cont•m 
esses lados? 
MÓDULO
Álgebra
Um jogo de videogame tem sete tipos diferentes de peças, 
conforme mostrado abaixo.
Essas peças caem da parte superior da tela e devem ser 
encaixadas na parte inferior, deslocando -se sobre uma malha 
quadriculada. Elas podem ser movidas por meio de comandos de 
deslocamento para a esquerda, para a direita e para baixo, e podem 
fazer giros de quartos de volta em sentido anti -horário. As figuras 
abaixo mostram três exemplos diferentes de telas desse jogo.
Figura CFigura A
1
Figura B
2
3
3
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Equações do 1º- grau
com duas incógnitas – 
Inequações do 1º- grau
com uma incógnita – 
Sistemas
1 Introdução
Muitas situações do dia a dia podem 
ser representadas matematicamente. 
Acompanhe alguns exemplos de situações.
1a) O Estádio Olímpico João Havelange, 
popularmente conhecido como Enge-
nhão, está localizado na cidade do Rio 
de Janeiro (RJ). Seu campo de futebol 
tem um perímetro de 346 metros.
 Considerando x a medida do compri-
mento e y a medida da largura do cam-
po, em metros, podemos representar o 
perímetro matematicamente:
2x 1 2y 5 346
 
2a) A Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa) recomenda que a geladeira das 
residências esteja sempre em temperatura inferior a 5 ºC para evitar contaminação 
dos alimentos.
 Considerando t a temperatura em graus Celsius em que deve estar a geladeira, po-
demos representar essa situação assim:
t , 5
3a) Uma escola contratou um ônibus para levar os alunos de um 7o ano a uma excur-
são. O número de passageiros que poderia viajar nesse ônibus precisava ser me-
nor do que ou igual a 42. Considerando p o número permitido de passageiros, essa 
situação pode ser expressa por:
p < 42
Neste módulo vamos estudar representações matemáticas como as que vimos 
nestes exemplos: 2x 1 2y 5 346 , t , 5 e p < 42 .
Daniel Marenco/Folhapress
Est‡dio Ol’mpico Jo‹o Havelange, 
Rio de Janeiro (RJ), 2014.
C
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u
d
ia
 W
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/A
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y
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e
r 
Im
a
g
e
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Alunas aguardando para 
embarcar em ™nibus.
As imagens desta página não estão 
representadas em proporção.
4
 Objetivos:
• Identificar e resolver 
equa•›es e sistemas do 
1o grau com duas inc—gnitas. 
• Identificar e resolver 
inequa•›es e sistemas do 
1o grau com uma inc—gnita.
• Resolver situa•›es- 
-problema com inequa•›es 
e sistemas do 1o grau.
çlgebra
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2 Equações com duas incógnitas
Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram juntos 20 pontos.
Essa informação não permite saber quantos pontos marcou cada um deles, pois 
são várias as possibilidades.
Veja os exemplos na tabela a seguir.
Se representarmos por x o número de 
pontos feitos por Raul e por y o número de pon-
tos feitos por Felipe, podemos indicar essa si-
tuação por uma equação com duas incógnitas:
x 1 y 5 20 , sendo x e y as incógnitas.
Observe que os pares ordenados (x, y) de 
números naturais da tabela ao lado são algu-
mas das soluções dessa equação: (12, 8), 
(10, 10), (15, 5), entre outras. 
Pontos de Raul e Felipe
Pontos 
de Raul
Pontos 
de Felipe
Total
12 8 20
10 10 20
15 5 20
: : :
Dados fictícios.
Recorde com os alunos o que são pares 
ordenados. Lembre -os, por exemplo, de que o par 
ordenado (3, 4) é diferente do par ordenado (4, 3).
Exercícios 
 1. Considere a equação x 1 y 5 20, mencionada acima. Determine outras três soluções e responda ao que se pede. 
 a ) (1, 19) é solução dessa equação? E (7, 14)? 
 b ) (8, 12) e (12, 8) representam a mesma solução? Justifique. 
 2. Marque apenas as sentenças que são equações com duas incógnitas.
 a ) X 3 1 x 5 y 2 1 
 b ) 2 1 5 ? 3 5 17
 c ) X m 2 n 5 11
 d ) 3x 2 5 5 22
 e ) y2 1 y 5 6
 f ) X 3x 5 2y 2 5
 g ) x . y 1 1
 h ) X y 5 2x
 3. Verifique e depois marque as equações para as quais o par ordenado (22, 3) é solução.
 a ) 2a 2 3b 5 10 b ) X 5a 1 b 5 27 c ) X 3a 1 2b 5 0 d ) X a
2
b
3
22 52
x 1 y 5 20; resposta pessoal. Exemplos: (2, 18), (5, 15), (9, 11), etc.
Sim (1 1 19 5 20); não (7 1 14 5 21; 21 Þ 20).
Não, pois (8, 12) indica Raul 8 pontos e Felipe 
12 pontos e (12, 8) indica Raul 12 pontos e 
Felipe 8 pontos. Daí o nome par ordenado; a ordem é importante.
 Para construir:
 Exercícios 1 a 6 (p. 5 e 6)
çlgebra 5
M
A
T
E
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IC
A
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 4. Maurício representou dois números naturais assim:
o 1o número por x o 2o número por y
Depois, escreveu sentenças que envolvam esses números. Escreva cada uma delas usando x e y.
 a ) A diferença entre o 2o número e o 1o número é igual a 7. 
y 2 x 5 7
 b ) O quociente do 1o número pelo 2o número é igual a 3. 
 c ) O 1o número é menor do que o 2o número. 
x , y
 d ) O 2o número é igual à soma do 1o número com 5. 
y 5 x 1 5
Entre as quatro sentenças que você escreveu, há três sentenças que são equações com duas incógnitas. Indique duas soluções para 
cada equação. 
 5. Cada par ordenado da coluna da esquerda é solução de uma equação da coluna da direita. Indique todas as correspondências.
(3, 5) x 1 2y 5 12
(21, 2) x 2 y 5 7
(0, 6) 2x 2 y 5 1
(4, 23) x 2 2y 5 4
(22, 23) x 1 3y 5 5
 6. Letícia e Rodrigo viram, em uma loja de brinquedos, os preços de uma bola e de um jogo e fizeram as afirmações abaixo:
Considere x o preço da bola e y o preço do jogo, ambos em reais. Escreva:
 a ) a equação correspondente à afirmação de Letícia. 
x 1 y 5 18
 b ) a equação correspondente à afirmação de Rodrigo. 
y 5 2x
 c ) qual entre os pares ordenados seguintes é a solução das duas equações simultaneamente:
(8, 10) (7, 14) (10, 10) (6, 12) . 
 d ) o que indica o par ordenado apontado no item c. 
Indica que o preço da bola é R$ 6,00 e o do jogo é R$ 12,00.
x ; y 5 3 ou 
x
y
 5 3
Respostas pessoais. Exemplos: y 2 x 5 7 (1, 8) e
(3, 10); x
y
5 3 (6, 2) e (3, 1); y 5 x 1 5 (1, 6) e (0, 5).
(3, 5) e 2x 2 y 5 1
(21, 2) e x 1 3y 5 5
(0, 6) e x 1 2y 5 12
(4, 23)e x 2 y 5 7
(22, 23) e x 2 2y 5 4
(6, 12), pois 6 1 12 5 18 e 12 5 2 ? 6.
A bola e
o jogo juntos custam
R$ 18,00.
O jogo
custa o dobro
da bola.
çlgebra6
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Equações do 1o grau com duas incógnitas
Você viu que a situação do jogo de vôlei com Raul e Felipe pode ser represen-
tada por:
x 1 y 5 20
Essa é uma equação do 1o grau com duas incógnitas. 
Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas, x e y, quando pode ser escrita na 
forma ax 1 by 5 c, com a Þ 0 e b Þ 0.
Assim, x 1 y 5 20 é uma equação do 1o grau com duas incógnitas, pois pode ser 
escrita na forma 1x 1 1y 5 20 (a 5 1, b 5 1 e c 5 20).
Agora, observe este exemplo: xy 5 10. Esta não é uma equação do 1o grau, pois 
não pode ser escrita na forma ax 1 by 5 c, com a Þ 0 e b Þ 0.
Outros exemplos de equações do 1o grau com duas incógnitas:
 a ) 4x 2 5y 5 6, pois é equivalente a 4x 1 (25)y 5 6 (a 5 4, b 5 25 e c 5 6).
 b ) 7x 5 3y, pois equivale a 7x 1 (23)y 5 0 (a 5 7, b 5 23 e c 5 0).
 c ) 3(m 2 2) 5 1 2 5n, pois equivale a 3m 1 5n 5 7 (a 5 3, b 5 5 e c 5 7).
 d ) r s4
2
5
1 5 22, pois equivale a r s b c1
4
2
5
2 1
4
, 2
5
e 2 .a1 5 2 5 5 5 2( )
 Para construir:
 Exercícios 7 a 10 (p. 7 e 8)
Exercícios 
 7. Marque apenas as equações do 1o grau com duas incógnitas, reduza -as à forma geral da definição dada e indique os valores 
de a, b e c.
 a ) X 8 1 4x 5 y 1 10 
 b ) X 22x 1 5y 5 0 
 c ) 7 2 4 5 3
 d ) X 5(x 2 2y 1 1) 5 2(3x 2 7y) 
 e ) x 1 y , 9
 f ) X 
3 2
5
1
2
x y2
5 
 8. Mariana tem R$ 12,00 a mais do que Flávia. Considerando x a quantia de Mariana e y a de Flávia, identifique as equações abaixo 
que traduzem essa situação.
 a ) X x 5 y 1 12
 b ) y 5 x 1 12
 c ) X x 2 y 5 12
 d ) y 2 x 5 12
 e ) x 5 y 2 12
 f ) X y 5 x 2 12
8 1 4x 5 y 1 10 ⇒ 4x 1 (21)y 5 2
a 5 4, b 5 21 e c 5 2
22x 1 5y 5 0 ⇒ (22)x 1 5y 5 0
a 5 22, b 5 5 e c 5 0
5(x 2 2y 1 1) 5 2(3x 2 7y) ⇒ (21)x 1 4y 5 25
a 5 21, b 5 4 e c 5 25
3 2
5
1
2
x y2
5 ⇒ 6x 1 (24)y 5 5 ou 1 2 5( )35 25 12x y
a 5 6, b 5 24 e c 5 5 ou a 5 3
5
, b 5 2 2
5
 e c 5 1
2
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 9. Se x e y s‹o as dimens›es de um ret‰ngulo, indique com uma equa•‹o do 1o grau com duas inc—gnitas o fato de que esse 
ret‰ngulo tem per’metro 40.
x
y
2x 1 2y 5 40 ou x 1 y 5 20
 10. Considere a equa•‹o do 1o grau com duas inc—gnitas x 2 y 5 3, calcule mentalmente e registre as solu•›es.
 a ) (5, 2 )
 b ) ( 2 , 21)
 c ) (0, 23 )
 d ) , 1
2( ) 
 e ) (3, 0 )
 f ) (25, 28 )3 1
2
Determina•‹o de solu•›es de
equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas
Acompanhe como podemos determinar pares ordenados que são soluções da 
equação 5x 2 2y 5 4.
Atribuindo um valor qualquer a uma das incógnitas, podemos determinar o valor 
da outra, resolvendo uma equa•‹o com uma inc—gnita. Dessa forma vamos verificar 
que h‡ infinitas solu•›es para a equa•‹o dada. Com os conhecimentos adquiridos atŽ 
aqui, devemos utilizar nœmeros racionais.
Por exemplo:
 a ) Fazendo x 5 2 em
 5x 2 2y 5 4:
 5 ? 2 2 2y 5 4
 10 2 2y 5 4
 22y 5 4 2 10
 22y 5 26
 2y 5 6
y 5 6
2
 5 3
Logo, o par ordenado 
(2, 3) Ž uma solu•‹o 
de 5x 2 2y 5 4.
 b ) Fazendo y 5 0 :
 5x 2 2 ? 0 5 4
 5x 2 0 5 4
 5x 5 4
x 5 45
O par ordenado 
4
5( )( )4( )5( ), 0( ) Ž outra 
solu•‹o de 
5x 2 2y 5 4.
 c ) Fazendo y 5 27 :
 5x 2 2(27) 5 4
 5x 1 14 5 4
 5x 5 4 2 14
 5x 5 210
x 5 
210
5
5 22
Mais uma solu•‹o de 
5x 2 2y 5 4: o par orde-
nado (22, 27) .
çlgebra8
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 Para construir:
 Exercícios 11 e 12 (abaixo)
Exercícios 
 11. Complete.
 a ) O par ordenado (5, 1 ) é solução da equação 3(x 2 4) 1 2y 5 x.
 b ) O par ordenado (
4
9 , 22) é solução de 3
4 3
x y
2 5 1.
 c ) O par ordenado (4, 3) é solução da equação 7 x 2 5y 5 13.
 12. Descubra se cada par ordenado é ou não solução da equação 3
5
2
15
1
3
x y
1 5 .
 a ) (1, 22) 
 b ) (21, 7) 
 c ) 0, 2
5( ) 
 d ) 5
9
, 0( ) 
 e ) (7, 22) 
f ) 1
3
, 1( ) 
 g ) (2, 26) 
 h ) (5, 220) 
x 5 5
3(5 2 4) 1 2y 5 5 ⇒ 3 ? 1 1 2y 5 5 ⇒ 2y 5 5 2 3 ⇒ y 5 2
2
 ⇒ y 5 1
y 5 22
3
4
x 2 ( )22
3
 5 1 ⇒ 3
4
x 5 1 2 2
3
⇒ 3x 5 4 2 8
3
 ⇒ 3x 5 12 8
3
2
⇒ x 5 4
3 3?
 ⇒ x 5 4
9
x 5 4 e y 5 3
A ? 4 2 5 ? 3 5 13 ⇒ A ? 4 5 13 1 15 ⇒ A ? 4 5 28 ⇒ A 5 28
4
 ⇒ A 5 7
mmc(5, 15, 3) 5 15; 9x 1 2y 5 5
Sim (9 2 4 5 5)
Sim (29 1 14 5 5)
Não )( 1 50 45 45
Sim (5 1 0 5 5)
Não (63 2 4 5 59)
Sim (3 1 2 5 5)
Não (18 2 12 5 6)
Sim (45 2 40 5 5)
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Exercícios 
 13. Complete os pares ordenados abaixo, de modo que eles sejam soluções da equação 2x 1 y 5 1. Marque -os no gráfico acima e 
verifique se os pontos continuam alinhados.
 a ) (21, 3 )
 b ) ( 3 , 25)
 c ) 
1
4
,( )
 d ) (
2
1
2 , 2) 
1
2
 Para construir:
 Exercícios 13 a 15 (p. 10 e 11)
Gráfico de uma equação do 1o grau
com duas incógnitas
Vamos determinar alguns pares ordenados de números racionais que são so-
luções da equação 2x 1 y 5 1 e representá -los graficamente.
• Para x 5 2, temos y 5 23 → (2, 23).
• Para x 5 0, temos y 5 1 → (0, 1).
• Para x 5 1, temos y 5 21 → (1, 21).
• Para x 5 22, temos y 5 5 → (22, 5).
• Para x 5 
1
2
, temos y 5 0 → 1
2
, 0 .( )
Logo, os pares ordenados
 (2, 23) , (0, 1) , (1, 21) , (22, 5) e 
( )( )1( )2( ), 0( ) são soluções da equação 2x 1 y 5 1 .
Observe a posição dos pontos marcados no gráfico. Você percebeu que eles 
estão alinhados?
O que aconteceu nesse exemplo ocorre com todas as equações do 1o grau com 
duas incógnitas, ou seja:
Os pontos correspondentes às soluções de uma 
equação do 1o grau com duas incógnitas estão sempre 
alinhados, isto é, estão todos sobre uma mesma reta.
eixo y
eixo x
(22, 5)
(0, 1)
22
22
21
21 1
1
2
3
4
5
2 3
23
23
24
25
(1, 21)
(2, 23)
1
2
, 0
(21, 3)
(3, 25)
2
1
2
, 2
1
4
, 1
2
 Você sabia?
A reta em vermelho Ž o lugar 
geomŽtrico dos pontos cujos pares 
s‹o solu•›es da equa•‹o 2x 1 y 5 1. 
Isso significa que todo ponto dessa reta 
tem seu par satisfazendo a equa•‹o e 
todo par que satisfaz a equa•‹o tem 
seu ponto nessa reta.
Aten•‹o!
A reta toda Ž formada
pelos pontos dos pares de nœmeros 
racionais que s‹o solu•›es, mais os dos 
pares que t•m nœmeros irracionais,
que voc• vai estudar
nos anos seguintes. 
Esclareça aos alunos que nos 
dois eixos usamos a mesma 
unidade de medida.
 14. Quantas soluções temos de determinar, para cada equação do 1o grau com duas incógnitas, para poder traçar a reta que contém 
as demais soluções? 
 Bastam duas soluções, ou seja, dois pontos, pois dois pontos determinam uma reta.A
B
çlgebra10
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Acesse o portal e leia o texto 
ÒFermat: o grande mistŽrio 
da margem pequenaÓ.
 15. Determine cinco pares ordenados que s‹o solu•›es da equa•‹o x 1 3y 5 4 e marque os pontos correspondentes a eles no 
gr‡fico ao lado. Trace a reta na qual est‹o os pontos correspondentes ˆs demais solu•›es. Em seguida, responda e justifique: o 
ponto correspondente ao par ordenado (25, 27) pertence a essa reta? 
 x 1 3y 5 4
Solu•›es: (4, 0); (1, 1); (22, 2); (25, 3); (7, 21); ...
O ponto (25, 27) pertence ˆ reta, pois:
25 1 3(27) 525 2 21 5 4.
x
y
10
1
−2−5
−1
2
3
4 7
Sim.
3 Sistemas de duas equa•›es
do 1o grau com duas inc—gnitas
Vamos retomar a situa•‹o da p‡gina 5, mas agora com um detalhe a mais.
Sabemos que Raul marcou x pontos, Felipe marcou y pontos e que, juntos, mar-
caram 20 pontos.
Com essas informa•›es, podemos escrever x 1 y 5 20 e registrar poss’veis 
solu•›es: (12, 8); (10, 10); (15, 5) ; (8, 12); (1, 19) e outras.
Veja agora uma nova informa•‹o:
Raul marcou o triplo dos pontos de Felipe, ou seja, x 5 3y .
Vamos registrar poss’veis solu•›es para esta outra equa•‹o: (3, 1), (6, 2), 
(9, 3), (15, 5) , entre outras.
Existe um œnico par ordenado que
satisfaz as duas equa•›es ao mesmo tempo, 
ou seja, existe uma œnica solu•‹o comum 
ˆs duas equa•›es, que Ž (15, 5).
çlgebra 11
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Portanto, Raul marcou 15 pontos e Felipe marcou 5 pontos no jogo.
Em casos como esse, dizemos que as equações x 1 y 5 20 e x 5 3y formam um 
sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Indicamos assim:
 x 1 y 5 20
 x 5 3y
Resolver um sistema de duas equações com duas incóg-
nitas significa procurar as soluções comuns ˆs duas equações.
Na situação anterior, o par ordenado (15, 5) Ž solução do sistema 
x 1 y 5 20
x 5 3y
 
porque Ž solução da equação x 1 y 5 20 (15 1 5 5 20) e, ao mesmo tempo, solução 
da equação x 5 3y (15 5 3 ? 5). Comente com os alunos que procuramos pares ordenados de 
nœmeros racionais, que são os nœmeros estudados atŽ aqui.
Exercícios 
 16. C‡lculo mental
Determine as soluções dos sistemas abaixo mentalmente e registre -as.
 a ) 
x 1 y 5 10
x 2 y 5 6
 b ) 
x 1 y 5 7
x 2 y 5 3
 c ) 
x 1 y 5 12
x
y
 5 2
 d ) 
y 5 2x
x 2 y 5 0
 
 17. Verifique se cada um destes pares ordenados Ž ou não solução do sistema 
3x 2 2y 5 14.
5x 1 3y 5 17.
 a ) (4, 21) b ) (6, 2) c ) 3, 2
3( ) 
Na situação da p‡gina 
anterior, poder’amos ter feito o 
c‡lculo mentalmente: ÒQuais são os dois 
nœmeros cuja soma Ž 20 e um Ž o triplo 
do outro? São os nœmeros 15 e 5, pois 
15 1 5 5 20 e 15 5 3 ? 5Ó.
(8, 2) (5, 2) (8, 4) (0, 0)
3 ? 4 2 2(21) 5 12 1 2 5 14
5 ? 4 1 3 ? (21) 5 20 2 3 5 17
Logo, o par (4, 21) Ž solução do sistema.
3 ? 6 2 2 ? 2 5 18 2 4 5 14
5 ? 6 1 3 ? 2 5 30 1 6 5 36 Þ 17
Logo, o par (6, 2) não Ž solução do sistema.
3 ? 3 2 2 ? 2
3
 Þ 14
Logo, o par 3, 2
3( ) não Ž solução do sistema.
 Para construir:
 Exerc’cios 16 a 25 (p. 12 a 14)
çlgebra12
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 12 2/5/16 11:34 AM
 18. Escreva um sistema de duas equa•›es com duas inc—gnitas para a seguinte situa•‹o:
A soma de dois nœmeros 
Ž 17 e a diferen•a entre 
eles Ž 5.
 
 19. Descubra o œnico par ordenado (a, b) que resolve o sistema de equa•›es do exerc’cio anterior. 
 20. Considere as duas equa•›es que voc• identificou na atividade 18. Quan tas solu•›es tem:
 a ) a primeira equa•‹o? Cite tr•s. 
 b ) a segunda equa•‹o? Cite tr•s. 
 c ) o sistema formado pelas duas equa•›es? 
 21. Responda.
O par ordenado (23, 5) Ž solu•‹o de quais destes sistemas?
 a ) 
a 1 b
2
 5 1
a 2 b
3
 5 2
 b ) X 
a
3
 1 b 5 4
a 2 b
5
 5 24
 c) X x 1 y 5 2
x 2 2y 5 7
 d ) a 1 2b 5 7
3a 1 b 5 4
{aa 1 52 5bb 175
(11, 6)
Infinitas solu•›es, por exemplo: (1, 16); (10, 7); (20, 23); (11, 6).
Infinitas solu•›es, por exemplo: (7, 2); (10, 5); (2, 23); (11, 6).
Uma œnica solu•‹o: (11, 6).
çlgebra 13
M
A
T
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M
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IC
A
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 22. Destes pares ordenados (4, 22); (3, 25); (4, 2); (2, 24); (24, 22), descubra qual Ž a solu•‹o do sistema 
3x 2 2y 5 14
4x 1 3y 5 24
. 
 23. Analise os sistemas abaixo com aten•‹o e verifique quantas solu•›es tem cada um deles. Depois, discuta suas respostas com 
os colegas.
 a ) 
x 1 y 5 10
x 2 y 5 6
 
 b ) 
x 1 y 5 3
2x 1 2y 5 6
 
 c ) 
x 1 y 5 3
2x 1 2y 5 5
 
 24. Arredondamentos, c‡lculo mental e resultados aproximados
Fa•a arredondamentos, monte um sistema, resolva-o mentalmente e responda com valores aproximados: Marina comprou um 
livro e uma bola e gastou R$ 49,60. A diferen•a entre os pre•os do livro e da bola foi de R$ 9,40. Quais foram os pre•os aproxi-
mados do livro e da bola? 
 25. Avalia•‹o de resultados
No exerc’cio anterior, o pre•o da bola foi mais ou menos do que 50% do total pago? 
(2, 24)
Uma œnica solu•‹o: (8, 2).
Infinitas solu•›es: (2, 1); (1, 2); 
(3, 0); (0, 3); ( )1 12 , 1 12 ; ...
Nenhuma solu•‹o.
2x 5 60 ⇒ x 5 60
2
 ⇒ x 5 30
30 1 y 5 50 ⇒ y 5 50 2 30 ⇒ y 5 20
x 1 y 5 50
x 2 y 5 10
 → livro (x): aproximadamente
 R$ 30,00; e bola (y):
 aproximadamene R$ 20,00.
Menos (20 Ž menos do que a metade de 50).
çlgebra14
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Resolução de sistemas de duas 
equações do 1o grau com duas 
incógnitas: método da substituição
Observe as duas balanças. Os copos t•m o mesmo ÒpesoÓ e as garrafas tambŽm.
Vamos descobrir o ÒpesoÓ de cada copo e de cada garrafa resolvendo um sistema 
pelo método da substituição.
ÒpesoÓ de cada copo: x
ÒpesoÓ de cada garrafa: y
→
2x 1 y 5 270
3x 1 2y 5 460
(1a balança)
(2a balança)
1a etapa:
Escolhemos a equação e a incógnita 
mais convenientes e determinamos o 
valor dessa incógnita em relação ˆ outra.
2x 1 y 5 270
 y 5 270 2 2x
 2a etapa:
Na outra equação fazemos a substitui-
ção (y por 270 2 2x) e obtemos uma 
equação com uma só incógnita, que j‡ 
sabemos resolver:
 3x 1 2y 5 460
3x 1 2(270 2 2x) 5 460
 3x 1 540 2 4x 5 460
 3x 2 4x 5 460 2 540
 21x 5 280
 x 5 80
3a etapa:
Usando y 5 270 2 2x e sabendo que
x 5 80, podemos obter o valor de y:
y 5 270 2 2 ? 80
y 5 270 2 160
y 5 110
Logo (x, y) 5 (80, 110).
Verificação:
2 ? 80 1 110 5 270 → 270 5 270
3 ? 80 1 2 ? 110 5 460 → 460 5 460
Logo, cada copo pesa 80 gramas e cada garrafa pesa 110 gramas.
Veja mais um exemplo de resolução de sistemas pelo mŽtodo da substituição. 
3x 2 2y 5 11
2x 1 5y 5 5
1a etapa:
2x 1 5y 5 5
 2x 5 5 2 5y ? (21)
 x 5 25 1 5y
2a etapa:
 3x 2 2y 5 11
 3(25 1 5y) 2 2y 5 11
 215 1 15y 2 2y 5 11
 15y 2 2y 5 11 1 15
 13y 5 26
 y 5 26
13
 5 2
3a etapa:
x 5 25 1 5y e y 5 2
x 5 25 1 5 ? 2
x 5 25 1 10
x 5 5
Solução do sistema: (5, 2).
Portanto, (x, y) 5 (5, 2).
Verificação:
3 ? 5 2 2 ? 2 5 11 → 11 5 11
25 1 5 ? 2 5 5 → 5 5 5
Vimos então que:
Resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas Ž encon-
trar o par ordenado que Ž solução, ao mesmo tempo, das duas equações. Dizemos que 
esse par Ž solução do sistema.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 
1a balança
2a balança
çlgebra 15
M
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M
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A
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 Para construir:
 Exerc’cio 26 (abaixo)
Exercício 
 26. Resolva os sistemas abaixo, pelo mŽtodo da substitui•‹o. Fa•a a verifica•‹o nos itens a e b.
 a ) 
4x 2 3y 5 14
x 2 2y 5 6
 b ) 
6x 1 y 5 2
5x 1 2y 5 11
 c ) 
5x 2 y 5 34
3x 2 4y 5 0
 d ) 
3x 2 y 5 0
2x 1 4y 5 22
 
 (2, 22)
4 ? 2 2 3 ? (22) 5 8 1 6 5 14
2 2 2 ? (22) 5 2 1 4 5 6
(21, 8)
6 ? (21) 1 8 5 26 1 8 5 25 ? (21) 1 2 ? 8 5 25 1 16 5 11
(8, 6) (2, 6)
Resolução de sistemas de duas equações 
do 1o grau com duas incógnitas: método de 
comparação
Vamos resolver o sistema
5
2 4
x y
x y{ 1 52 5 .
1a etapa: Determinamos o valor de y na primeira equa•‹o.
 x 1 y 5 5 ⇒ y 5 5 2 x I
2a etapa: Determinamos o valor da mesma inc—gnita y na segunda equa•‹o.
 2x 2 y 5 4 ⇒ 2y 5 4 22x ⇒ y 5 2x 2 4 II
3a etapa: A compara•‹o de I e II nos d‡ uma equa•‹o do 1o grau com inc—gnita x.
 5 2 x 5 2x 2 4
 2x 22x 5 24 2 5
 23x 5 29 (21)
 3x 5 9
 x 5 3
4a etapa: Calculamos o valor de y em y 5 5 2 x.
 y 5 5 2 x
 y 5 5 2 3
 y 5 2
Portanto, a solu•‹o do sistema Ž o par ordenado (3, 2).
çlgebra16
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Exerc’cio 
 27. Resolva os sistemas abaixo pelo mŽtodo da compara•‹o.
 a ) 
x 2 3y 5 27
3x 1 2y 5 12
 (2, 3) 
b ) 
2x 1 3y 5 7
3x 2 5y 5 1
 (2, 1) 
c ) 
5x 1 2y 5 2
6x 1 y 5 8
 (2, 24) 
d ) 
5 9
5x
4
 1 
17y
2
 2 
3y
2
3x
4
5 4
 (6, 1)
 I. x 5 27 1 3y
II. x 5 12 2
3
2 y
Comparando I e II:
27 1 3y 5 
12 2
3
2 y
 ⇒ 221 1 9y 5 12 2 2y ⇒ 11y 5 33 ⇒ y 5 33
11
⇒ y 5 3
x 2 (3 ? 3) 5 27 ⇒ x 5 27 1 9 ⇒ x 5 2
 I. x 5 
7 3
2
2 y
II. x 5 
1 5
3
+ y
Comparando I e II:
7 3 1 5
3
2 y y
2
=
+
 ⇒ 21 2 9y 5 2 1 10y ⇒ 219y 5 219 ⇒ y 5 1
x x
7 3 1
2
7 3
2
2 ? 2
= ⇒ = ⇒
( ) 4
2
2x x= ⇒ =
 I. 2 5
2
y
x
=
−
II. y 5 8 2 6x
Comparando I e II:
2 5
2
8 6x x− = − ⇒ 2 2 5x 5 16 2 12x ⇒ 25x 1 12x 5 16 2 2 ⇒ 7x 5 14 ⇒ 
⇒ x 5 14
7
 ⇒ x 5 2
y 5 8 2 (6 ? 2) ⇒ y 5 8 2 12 ⇒ y 524
 5
4
3
2
9x
y
+ = 5
4
6
4
9x
y
+ =
 
17
2
3
4
4
y x
− = 
34
4
3
4
4
y x
− =
 I. 36 5
6
y
x
=
−
II. 16 3
34
y
x
=
+
 Comparando I e II:
 36 5
6
16 3
34
x x−
=
+ ⇒ 1 224 2 170x 5 96 1 18x ⇒ 1 224 2 96 5 18x 1 170x ⇒ 1 128 5 188x ⇒ x 5 1 128
188
 ⇒ x 5 6
 36 (5 6)
6
36 30
6
6
6
1
?
y y y y=
−
⇒ = − ⇒ = ⇒ = 
⇒
 Para construir:
 Exerc’cio 27 (abaixo)
çlgebra 17
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Resolução de situações -problema 
usando sistemas 
O estudo de sistemas de equa-
•›es amplia mais um pouco as estra-
tŽgias que você tem para resolver pro-
blemas. Assim, h‡ problemas que po-
dem ser resolvidos sem usar equa•›es, 
outros usando uma equa•‹o com uma 
inc—gnita e agora os que podem ser re-
solvidos usando sistema com duas 
equa•›es e duas inc—gnitas.
A escolha da forma mais conve-
niente depende do problema e de 
quem vai resolver.
Veja um exemplo de problema resol-
vido de três maneiras diferentes:
Pedro e Sabrina têm, juntos, 85 figurinhas, mas Sabrina tem 13 a mais do que 
Pedro. Quantas figurinhas tem cada um dos dois?
S
é
rg
io
 D
o
tt
a
 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Crianças brincando com figurinhas.
1a maneira:
Sem usar equa•‹o
2a maneira:
Usando uma equa•‹o do
1o grau com uma inc—gnita
3a maneira:
Usando um sistema com duas 
equa•›es do 1o grau e duas inc—gnitas
8 5
2 1 3
7 2
7 2 2
2 6 3 6
1 2
Pedro2 1 2
0
3 6
1 1 3
4 9
Sabrina
Pedro: x Sabrina: x 1 13
x 1 (x 1 13) 5 85
 x 1 x 5 85 2 13
 2x 5 72
 x 5 72
2
5 36 (Pedro)
x 1 13 → 36 1 13 5 49 (Sabrina)
Pedro: x Sabrina: y
x 1 y 5 85
y 5 x 1 13
Substituindo y 5 x 1 13 em 
x 1 y 5 85, temos:
 x 1 (x 1 13) 5 85
 2x 5 72
 x 5 36 (Pedro)
y 5 x 1 13 e x 5 36
y 5 36 1 13
y 5 49 (Sabrina)
Resposta: Pedro tem 36 figurinhas e Sabrina tem 49 figurinhas.
çlgebra18
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 18 2/5/16 11:34 AM
Exerc’cios 
 28. A soma de dois números é 1 1
4
, e a diferença entre eles é 1
4
. Quais são esses números? 
 29. No terreno retangular ao lado o perímetro é de 78 metros, e a diferença entre as medidas 
do comprimento e da largura é de 11 metros. Qual é a área desse terreno? 
 30. Em um aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se o número dos peixes pequenos aumentasse mais um, eles seriam o 
dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 
 31. Luís comprou um livro e um CD para seu neto e pagou R$ 35,00. Roberto comprou dois 
livros e um CD do mesmo tipo e pagou R$ 55,00. Qual o preço do CD? E do livro?
x y
x y
1 5
2 5
5
4
1
4



⇒ x 5 3
4
 e y 5 1
2
Os números são 3
4
 e 1
2
.
Comprimento: x
Largura: y
x y
x y
2 2 78
11
1 5
2 5{ ⇒ x yx y x3911 251 52 5 5{ ⇒ e y 5 14
Área 5 25 ? 14 5 350
Esse terreno tem 350 m2 de área.
Pequenos: x
Grandes: y
x y
x y
x y1 5
1 5
5 5
8
1 2
5 e 3{ ⇒
Existem 5 peixes grandes e 3 pequenos.
, 5 livros
c 5 CD
c
c
35
2 55
1 5
1 5{ ⇒,,
c
c
c
35
2 55
20 e 15
2 52
1 5
5 5{⇒ − ⇒,, ,
O CD custa R$ 15,00 e o livro, R$ 20,00.
G
ri
n
ta
n
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h
u
tt
e
rs
to
ck
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G
lo
w
 I
m
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tt
e
rs
to
ck
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G
lo
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 I
m
a
g
e
s
 Para construir:
 Exercícios 28 a 34 (p. 19 e 20)
Pa
ulo
 M
an
zi/A
rqu
ivo
 da
 ed
ito
ra 
x
y
çlgebra 19
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
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 32. Ane e Marcelo economizaram suas mesadas para comprar um presente para seu pai. Juntando a 
quantia dos dois, dá para comprar um par de tênis e não sobra troco. A quantia que Ane tem ultra-
passa em R$ 21,00 a quantia de Marcelo. Quantos reais tem cada um? 
 33. Sandra comprou um conjunto de calça e blusa. Pela calça, pagou o dobro do preço que pagou pela blusa. Deu 
em pagamento uma nota de R$ 50,00 e duas de R$ 10,00, recebendo de troco uma nota de R$ 5,00 e duas 
moedas de R$ 1,00. Quanto custou cada peça de roupa comprada por Sandra?
 34. Ronaldo foi ao banco e retirou R$ 270,00 para pagar o aluguel. Ao todo, o caixa eletrôni-
co lhe deu 11 cédulas, entre cédulas de R$ 10,00 e R$ 50,00. Quantas cédulas de R$ 10,00 
o caixa lhe deu? O caixa poderia ter lhe dado uma cédula de R$ 50,00 a mais? Qual seria 
então o número de cédulas de R$ 50,00 e de R$ 10,00? 
Ane: A
Marcelo: M
M
A M
55
21
1 5
5 1
A{ ⇒
A M
A M
A M
55
21
38 e 17
1 5
2 5
5 5{⇒ ⇒
Ane tem R$ 38,00 e Marcelo, R$ 17,00.
As imagens desta página 
não estão representadas 
em proporção.
S
Ž
rg
io
 D
o
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a
 J
r.
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
c : calça
b : blusa
b
c b
2
50 2 10 5 2 1
5
1 5 1 ? 2 2 ?
c{ ⇒
{ {⇒ ⇒ ⇒
⇒
c b
c b
c b
c b
b c
2
63
2 0
63
21 e 42
5
1 5
2 5
2 2 52
5 5
A blusa custou R$ 21,00 e a calça, R$ 42,00.
C
ry
s
ta
lf
o
to
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h
u
tt
e
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to
ck
/G
lo
w
 I
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a
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e
s
Manequim de loja
Rapaz sacando dinheiro em caixa eletr™nico.
Il
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a
g
e
s
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io
m
e
d
ia
 
x y
x y
x y
x y
x y
x y
y x
11
10 50 270
11
5 27
11
5 27
4 e 7
1 5
1 5
1 5
1 5
2 2 52
1 5
5 5
{ {
{
⇒ ⇒
⇒ ⇒
O caixa deu 7 cédulas de R$ 10,00 e 4 cédulas de 
R$ 50,00.
O caixa poderia ter lhe dado uma cédula de 
R$ 50,00 a mais. Então, o número de cédulas seria: 5 cédulas 
de R$ 50,00 e 2 cédulas de R$ 10,00.
Início: x homens e y mulheres
x y
x y
3
8 2
5 2
1 5{⇒ y 5 5 e x 5 2
2 1 8 5 10 e 2 ? 5 5 10
No início da reunião havia 2 homens e 5 mulheres.
No início de uma reunião, o número de homens era 3 a menos do que o de mulheres. Duas horas depois, o número de ho-
mens havia aumentado em 8, o de mulheres havia dobrado e a quantidade de homens e de mulheres era a mesma. Quantos 
homens e quantas mulheres havia no início da reunião? 
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
Desafio
çlgebra20
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 20 2/5/16 11:34 AM
4 Inequa•›es
Observe os sinais e o significado de cada um. Todos eles indicam desigualdades.
. maior do que > maior do que ou igual a ? diferente de
, menor do que < menor do que ou igual a
Exemplos de desigualdade:
 a ) 3
4
 . 22 c ) 215 Þ 115 e ) 2
5
 < 2
5
 b ) 0 . 24 1
2
 d ) 0 , 1
8
 f ) 13 > 24
Analise as situações a seguir expressas por meio de desigualdades. 
• A quantia de Pedro (R$ 28,50) é maior do que a de Laura (R$ 25,00) → 28,5 . 25
• A temperatura de 22 ºC é menor do que a de 11 ºC → 22 , 11
• O número x é maior do que ou igual a 5
1
2
 → x > 5 1
2
• A soma dos números x e y é diferente de 8 → x 1 y ? 8
• O quadrado do número n é menor do que ou igual à sua terça parte → n2 < n
3
Dessas desigualdades, dizemos que x > 5 1
2
 , n2 < n
3
 e x 1 y ? 8 são 
inequações.
As desigualdades que contêm incógnitas são chamadas de inequa•›es.
Term™metro
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 
 Para construir:
 Exercícios 35 e 36 (p. 21 e 22)
Exercícios 
 35. Observe as sentenças a seguir.
Separe -as em três grupos: as equações, as inequações e as demais.
Nas equações e nas inequações, escreva o número de incógnitas.
 a ) x 1 y 5 9 
 b ) 3x 2 1 , 6 
 c ) 4y 1 x > 2x 2 3 
 d ) 2 1 3 5 5
 e ) 3n 5 2(n 2 5) 
 f ) x2 . 9 
 g ) 2x 5 y 2 3 
 h ) 22 1 3 . 1 5 2 5 
 i ) 5 2 3r < s 1 9 
 j ) x2 1 y2 5 z2
Equação com duas incógnitas.
Inequação com uma incógnita.
Inequação com duas incógnitas.
Nem equação nem inequação.
Equação com uma incógnita.
Inequação com uma incógnita.
Equação com duas incógnitas.
Nem equação nem inequação.
Inequação com duas incógnitas.
Equação com três incógnitas.
çlgebra 21
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 36. Um carro azul e um vermelho est‹o se locomovendo da cidade A para a cidade B. Qual dos dois j‡ percorreu a dist‰ncia maior?
 A B
x 1 2 
2x 
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 
Indique essa situa•‹o por meio de uma desigualdade e responda: Essa desigualdade Ž uma inequa•‹o? 
O vermelho.
2x . x 1 2; sim.
Exercício 
37. Fa•a o que se pede.
 a) H‡ outras solu•›es da inequa•‹o acima. Obtenha mais duas delas.
 b) Procure mais um nœmero que n‹o seja solu•‹o dessa inequa•‹o.
Soluções de uma inequação
Vamos analisar a inequa•‹o 2x . 6 .
Substituindo a inc—gnita x por 10, obtemos uma senten•a verdadeira, pois 
2 ? 10 5 20 e 20 . 6.
O mesmo acontece com o nœmero 8, pois 2 ? 8 5 16 e 16 . 6.
Colocando 2 no lugar de x, obtemos uma senten•a falsa, pois 2 ? 2 5 4, e 4 . 6 Ž 
uma senten•a falsa.
Dizemos, ent‹o, que:
• 10 e 8 são soluções da inequa•‹o 2x . 6.
• 2 não é uma solução da inequa•‹o 2x . 6.
Resolver uma inequa•‹o Ž
descobrir todas as suas solu•›es.
No momento, entre os nœmeros
racionais.
Por exemplo: 0 (pois 2 ? 0 . 6 Ž falso), 1 (pois 2 ? 1 . 6 Ž falso), etc.
 Para construir:
 Exerc’cio 37 (abaixo)
çlgebra22
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Exerc’cios 
38. Verifique se cada um dos seguintes nœmeros Ž ou n‹o solu•‹o da inequa•‹o 3x . 7. Justifique suas respostas.
 a ) 4 
 b ) 2 
 c ) 21 
 d ) 2,5 
 e ) 0 
 f ) 
8
3
 
 39. Marque apenas as afirma•›es verdadeiras.
 a ) 5 Ž a œnica solu•‹o da inequa•‹o x , 9.
 b ) X 5 Ž uma das solu•›es da inequa•‹o x , 9.
 c ) X O conjunto solu•‹o da inequa•‹o x , 9 em N Ž dado por S 5 h0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8j.
 d ) X 10 n‹o Ž solu•‹o da inequa•‹o x , 9.
 e ) X As solu•›es racionais da inequa•‹o x , 9 s‹o os nœmeros racionais menores do que 9.
Sim, pois 3 ? 4 5 12 e 12 . 7.
N‹o, pois 3 ? 2 5 6 e 6 . 7 Ž falso.
N‹o, pois 3 ? (21) 5 23 e 23 . 7 Ž falso.
Sim, pois 3 ? 2,5 5 7,5 e 7,5 . 7.
N‹o, pois 3 ? 0 5 0 e 0 . 7 Ž falso.
Sim, pois 3 ? 8
3
 5 8 e 8 . 7.
Agora vamos resolver, por exemplo, a inequa•‹o x < 4 no conjunto dos nœme-
ros naturais N 5 h0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...j. Nesse caso, dizemos que o conjunto 
solu•‹o S dessa equa•‹o, em N, Ž:
S 5 h0, 1, 2, 3, 4j
No conjunto dos nœmeros inteiros Z 5 h..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, ...j, essa mesma 
inequa•‹o x < 4 teria como conjunto solu•‹o:
S 5 h..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4j.
No conjunto dos nœmeros racionais, o conjunto solu•‹o seria escrito assim:
S 5 hx racional, tal que x < 4j,
pois n‹o Ž poss’vel enumerar todos os nœmeros racionais menores ou iguais a 4.
 Para construir:
 Exerc’cios 38 a 42 (p. 23 e 24)
çlgebra 23
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M
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A
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 40. C‡lculo mental
Atividade em dupla 
Com um colega, analise com aten•‹o as quest›es. Voc•s podem descobrir mentalmente as solu•›es pedidas. 
 a ) Quais nœmeros naturais s‹o solu•›es de x . 3? 4, 5, 6, 7, 8, ...
 b ) Quais nœmeros inteiros s‹o solu•›es de 2x < 6? ..., 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3
 c ) Quais nœmeros racionais s‹o solu•›es de 
y
3
 . 5? Os nœmeros racionais maiores do que 15.
 d ) Quais nœmeros naturais s‹o solu•›es de x , 7? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
 e ) Quais nœmeros naturais s‹o solu•›es de x , 0? Nenhum.
 f ) Quais nœmeros inteiros s‹o solu•›es de x , 0? ..., 24, 23, 22, 21
 41. Quais destes nœmeros racionais s‹o solu•›es da inequa•‹o 2x > 3? 
 42. Escreva o conjunto solu•‹o da inequa•‹o x . 23:
 a ) no conjunto dos nœmeros inteiros; 
 b ) no conjunto dos nœmeros racionais. 
D• um tempo maior para os alunos 
resolverem esta atividade.
1
1
2
21 1,6
0 0,5 2
X
X
X
S 5 {22, 21, 0, 1, 2, 3, ...}
S 5 {x racional, tal que x . 23}
 Para aprimorar:
 Desafio (abaixo)
S 5 h... 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10j
(Para x 5 10 temos 2 ? 10 1 3 5 20 1 3 5 23; temos 2x 1 3 , 23, para x , 10; logo, x Ž inteiro e x < 10.) 
Escreva o conjunto das solu•›es da inequa•‹o 2x 1 3 < 23 no conjunto dos nœmeros inteiros. 
Desafio
çlgebra24
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 24 2/5/16 11:34 AM
8 . 5
 8 3 5 3
11 8
E FE F55E F E FE F55E F
1 . 18 31 . 18 3 5 31 . 15 3 
2,1 . 2,03
 2,1 3 2,03 3
0,9 0,97
E FE F555E F E FE F5555E FE F5E FE F5555E F5E F55555E F
2 .1 32 .1 3 2
2 20,2 29 02 29 0
24 , 2
4 ( 5) 2 ( 5)
9 3
E FE F555555E F E FE F55555E F
2 14 (2 14 (2 ,5)2 , 1 22 (1 22 (
2 29 32 29 3
1
2
 , 1
 
1
2
1
2
1 1
2
1 1 1
2
E FE F555E F E FE F55E FE F5E FE F55E F5E F555E F
1 ,1 ,
1
1 ,
2
1 , 1 
23 . 27
 3 2 7 2
5 9
E FE F555E F E FE F555E FE F5E FE F555E F5E F5555E F
2 23 22 23 2 . 27 227 2
2 2
 
 0 . 21
0 3,5 1 3,5
3,5 2,5
E FE F555E F E FE F55555E F
1 .0 31 .0 3,51 . 2 11 32 11 3 
Esses exemplos mostram o princ’pio aditivo das desigualdades do tipo , ou .:
Se adicionarmos um mesmo nœmero aos dois membros de uma desigualdade 
do tipo , ou ., a desigualdade permanece a mesma.
Princ’pio aditivo das desigualdades 
do tipo , ou .
Observe e procure descobrir o que acontece quando adicionamos um mesmo 
nœmero aos dois membros de uma desigualdade do tipo , ou .:
Princ’pio multiplicativo das 
desigualdades do tipo , ou .
Observe os quadros e procuredescobrir o que acontece quando multiplicamos 
pelo mesmo nœmero os dois membros de uma desigualdade do tipo , ou .:
3 , 5
3 2 5 2
6 10
E F5 EE F5 EE F F55 E55 E F5F
? ,3 2? ,3 2 5 2?5 2
2,1 . 0,25
2,1 1,1 0,25 1,1
2,31 0,275
E FE F555E F E FE F55555E F
? .1 1? .1 1,1? . ?
4 , 7
4 ( 2) 7 ( 2)
8 14
E FE F5555E F E FE F5555E F
? 24 (? 24 ( . ?7 (. ?7 (2
2 28 12 28 1
13 . 25
( 3) ( 1) ( 5) ( 1)
3 5
E FE F555555E F E FE F555555E F
1 ?( 31 ?( 3) (1 ?) (2 ,1)2 , 2 ?( 52 ?( 5) (2 ?) (2
2 13 52 13 5
28 , 26
( 8) 4 ( 6) 4
32 24
E FE F5555E F E FE F5555E F
2 ?( 82 ?( 8) 42 ?) 4 , 2( 6, 2( 6) 4?) 4
2 2322 2
3 , 9
3 0 9 0
0 0
E F5 EE F5 EE F F55 E55 E F5F
? 53 0? 53 0 9 0?9 0
210 , 24
( 10) ( 2) ( 4) ( 2)
20 8
E FE F5555555E F5 EE F5 EE FE F5555555E F5 EE F5 E5555555E F F55555555 E55555555 E F5555555F
2 ?( 12 ?( 10)2 ? 2 .( 22 .( 2) (2 .) (2 ?4)2 ? ( 22( 2
1 1201 1
12 . 24
( 2) ( 1) ( 4) ( 1)
2 4
E FE F555555E F E FE F555555E FE F5E FE F555555E F5E F5555555E F
1 ?( 21 ?( 2) (1 ?) (1 .1)1 . 2 ?( 42 ?( 4) (2 ?) (1
1 22 41 22 4
3
8
,
1
2
3
8
1
2
( 8( 8) () (1) (
2
) () ( 8)
3 4
çlgebra 25
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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Inequa•›es do 1o grau com uma inc—gnita
Chamamos de inequa•‹o do 1o grau com uma inc—gnita a toda inequa•‹o que 
pode ser escrita, com a Þ 0, em uma das seguintes formas: ax . b ou ax , b ou 
ax > b ou ax < b .
Exemplos:
a ) 5x > 7 Ž inequa•‹o do 1o grau com uma inc—gnita.
 b ) 2 2 3x , 9 Ž inequa•‹o do 1o grau com uma inc—gnita (equivale a 23x , 7).
 c ) x6 2 3 < 
2 1
3
x Ž inequa•‹o do 1o grau com uma inc—gnita (equivale a 21x < 16).
 d ) 2x2 . 10 n‹o Ž inequa•‹o do 1o grau (o expoente de x Ž 2).
Lembre os alunos de que trabalhamos 
atŽ aqui com os nœmeros racionais. 
Assim, a e b s‹o nœmeros racionais.
Exerc’cio 
44. Marque apenas as senten•as que s‹o inequa•›es do 1o grau com uma inc—gnita.
 a ) 5x 1 10 5 x 2 6 c ) x3 < 27 e ) X 3 (x 2 4) > 1
2
 1 x g ) X 23x , 15 
 b ) X 4x , 100 d ) X 3x 2 2 , 1 f ) X 22x . 10 h ) X 2x , 214
 Para construir:
 Exercício 43 (abaixo)
Os exemplos anteriores mostram o princ’pio multiplicativo das desigualdades 
do tipo , ou ..
• Multiplicando os dois membros de uma dessas desigualdades por um mesmo nœ-
mero positivo, a desigualdade permanece a mesma.
• Multiplicando os dois membros de uma dessas desigualdades por um mesmo nœ-
mero negativo, a desigualdade fica invertida.
• Multiplicando os dois membros de uma dessas desigualdades por zero, passamos 
a ter a igualdade 0 5 0.
 Para construir:
 Exercício 44 (abaixo)
Exerc’cio 
43. Complete as senten•as com um destes sinais: 5, ,, ., < ou >. Use o princípio aditivo e o princípio multiplicativo da igualdade 
e das desigualdades.
 a ) Se a 5 5, ent‹o 23a 5 (23) ? 5. 
 b ) Se x , 7, ent‹o 22x . (22) ? 7. 
 c ) Se p 5 2, ent‹o p 1 0 5 2 1 0. 
 d ) Se 3y > 5, ent‹o 6y > 10. 
 e ) Se m 1 4 < 3m, ent‹o (m 1 4) ? (21) > 3m ? (21).
 f ) Se 5a . 9, ent‹o 0 ? 5a 5 0 ? 9.
 g ) Se x
3
< 12, ent‹o 3 ? x
3
 < 3 ? 12.
 h ) Se 2
5
x
. 1
2
, ent‹o (210) ? 2
5
x , (210) ? 1
2
.
çlgebra26
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 26 2/5/16 11:34 AM
Resolução das inequações do 
1o grau com uma incógnita no 
conjunto dos números racionais
Analise os exemplos abaixo com atenção.
a) 23 2 2x , 11
 23 22x 1 3 , 11 1 3
 22x , 14
 2x . 214
 2
2
x . 142
2
 x . 27 
Logo, as soluções da inequação são todos os números racionais maiores do 
que 27.
b) 3 2 5(4 2 x) < x 1 (21 1 2x)
 3 2 20 1 5x < x 2 1 1 2x
 15x 2 1x 2 2x < 21 2 3 1 20
 12x < 116
 2
2
x < 16
2
 x < 8
Raiz ou solução da inequação: todo número racional menor do que ou igual a 8.
Seguimos o mesmo 
roteiro usado na 
resolução de equações 
do 1o grau com uma 
inc—gnita. Mas Ž 
preciso muita atenção 
ao aplicar o princ’pio 
multiplicativo
das desigualdades.
Adicionamos 3 aos dois membros.
Atenção! Multiplicamos os dois membros 
por 21, que é negativo. Logo, invertemos 
o sinal da desigualdade.
Multiplicamos os dois membros 
por 1
2
, ou seja, dividimos por 2.
Exerc’cios 
45. Determine as soluções racionais das inequações abaixo.
 a ) 
x
4
 2 1 . 5
6
 b ) 8 2 (2x 2 4) < x 1 9
 c ) 4x 2 3 , 1 1 x 2 4 
 d ) 22(x 2 5) . 1 
x . 7
1
3
x > 1
x , 0
x , 4
1
2
 Para construir:
 Exercícios 45 a 48 (p. 27 e 28)
çlgebra 27
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
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 e ) 5(3x 2 2) , 0
 f ) 
y
7
 2 
y
2
 . 1 2 2(y 2 1) 
 g ) x
15
 , x
3
5
 1 1 
 h ) 4 2 5m . 0,3m 2 m
2
 46. Em um ret‰ngulo, a largura mede 4 cent’metros a menos do que o comprimento. Determine as poss’veis medidas inteiras do 
comprimento, em cent’metros, para que o per’metro seja menor do que 20 cent’metros.
 47. Descubra os nœmeros naturais x para os quais:
 a ) a express‹o 3x 2 1 tem valor numŽrico maior do que o da express‹o x 1 5. 4, 5, 6, 7, ... 
 b ) a express‹o 4(2 2 x) tenha valor numŽrico positivo.
 48. Verifique quais dos valores abaixo atribu’dos a x s‹o solu•›es da inequa•‹o 5
6
x2 1 2
3
x 2 . 1
2
.x 2
 a ) X x 5 1 
 b ) X x 5 0 
 c ) x 5 4,444...
 d ) X x 5 9
5
x ,
2
3
y .
42
23
x . 25
8
m , 
5
6
6 cm (largura 2 cm); 5 cm (largura 1 cm)
x
x 2 4 (x e x 2 4 devem ter valores positivos, logo 
x . 4; 2x 1 2(x 2 4) , 20 ⇒ 2x 1 2x 2 8 , 20 ⇒ 4x , 28 ⇒ x , 7)
 (3x 2 1 . x 1 5 ⇒ 3x 2 x . 5 1 1 ⇒ 2x . 6 ⇒ x . 3)
0 e 1 (4(2 2 x) . 0 ⇒ 8 2 4x . 0 ⇒ 24x . 28 ⇒ 4x , 8 ⇒ x , 2)
1 , 2
0 , 2 9
5
1 4
5
25 ,
çlgebra28
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 28 2/5/16 11:34 AM
5 Sistemas de inequações do 
1o grau com uma incógnita
Observe o tri‰ngulo representado ao lado e as medidas de comprimento dos 
lados, em metros. Seu per’metro, em metros, pode ser representado por: 
P 5 2x 1 (x 1 8) 1 15 5 3x 1 23
Quais são os valores de x para que esse per’metro seja maior do que 32 me-
tros e menor do que ou igual a 41 metros?
Devemos ter, ao mesmo tempo, 3x 1 23 . 32 e 3x 1 23 < 41.
Indicamos assim: 32 , 3x 1 23 < 41 ou 
3x 1 23 . 32
3x 2 23 < 41
 .
Em casos como esse dizemos que as duas inequações, tomadas simultanea-
mente, formam um sistema de inequações.
Resolvemos cada inequação separadamente e depois procuramos as soluções 
comuns.
Devemos ter, ao mesmo tempo, x . 3 e x < 6.
0 3 6
Os valores poss’veis para x são os nœmeros racionais entre 3 e 6, podendo tambŽm 
ser o 6, ou seja, 3 , x < 6.
2x
15
x 1 8
 3x 1 23 . 32
 3x . 32 2 23
 3x . 9
 3
3
x . 9
3
 
 x . 3
 3x 1 23 < 41
 3x < 41 2 23
 3x < 18
 3
3
x < 18
3
 
 x < 6
Lembre sempre os alunos que estamos trabalhando com 
os nœmeros racionais.
çlgebra 29
M
A
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E
M
ç
T
IC
A
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Veja mais dois exemplos de resolução de um sistema de inequações.
1o) 
4 2 2x . x 2 2
3(4 2 x) . 28 1 x

 4 2 2x . x 2 2 3(4 2 x) . 28 1 x
 22x 2 x . 22 2 4 12 2 3x . 28 1 x
 23x . 26 24x . 16
 3x , 6 4x , 216
 x , 2 x , 24
Soluções do sistema: x racional, tal que x , 24.
224
2o) 24x > 0 e x 2 1 > 3
 24x > 0 x 2 1 > 3
 4x < 0 x > 3 1 1
 x4
4
 < 0
4
 x > 4
 x < 0
Não existe valor para x que seja solução das duas 
inequações simultaneamente.
40
Exerc’cios 
49. Determine as soluções racionais dos sistemas abaixo.
 a ) 0 , 4 2 x
2
 , 3
 b ) 
x 1 5 . 6
3x 2 1 . x 1 4
 
x racional,2 , x , 8
x racional, x . 2 
1
2
 Para praticar:
 Tratamento da informação
 (p. 34 e 35)
 Outros contextos (p. 36 a 38)
 Praticando um pouco mais
 (p. 39 e 40)
 Revisão cumulativa (p. 41 a 43)
 Para construir:
 Exercícios 49 e 50 (p. 30 e 31)
çlgebra30
SER_EF2_Matematica7_M3_C1_001_048.indd 30 2/5/16 11:35 AM
 c ) 23x > 5 e x
2
 > 0
 50. Resolva os sistemas.
 a ) 
2x 1 2 > 0
2x 1 4 < 0
 
 b ) 0 , 5
2
x 2
2
 < 6 
 c ) 
x 2 5 > 2
8 2 x > 1
Não existe valor para x que 
satisfaça as duas inequações 
ao mesmo tempo.
2 2 1
4 4 4
x x
x x
x x
> 2 >2
2 , 2 >
.
⇒
⇒{ ⇒ racional,
x racional, x . 4
x racional, 27 < x , 5 
(0 . x 2 5 > 212 ⇒ 5 . x > 27 ⇒
⇒ x racional, 27 < x , 5)
Só o nœmero 7 (x > 7 e x < 7).
çlgebra 31
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6 Revendo equa•›es, 
inequa•›es e sistemas
Exerc’cios 
 51. A primeira balan•a est‡ em equil’brio e a segunda n‹o.
P
a
u
lo
 M
a
n
zi
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 
Balanças
y
x x x
y y
 a ) Escreva a equa•‹o correspondente ˆ primeira balan•a e determine o valor de x; 
 b ) Escreva a inequa•‹o correspondente ˆ segunda balan•a e determine os nœmeros inteiros positivos e menores do que 15 que 
podem ser valores de y. 
 52. Resolva este problema de duas maneiras diferentes: usando uma equa•‹o do 1o grau com uma inc—gnita e depois usando sis-
tema de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas:
Em um s’tio, h‡ galinhas e porcos. Contando os animais, s‹o 39 e, contando as patas dos animais, s‹o 120. Quantas galinhas e 
quantos porcos h‡ nesse s’tio? 
2x 1 20 5 x 1 50 ⇒ x 5 30
y 1 40 , 2y 1 30 ⇒ y . 10; 
nœmeros: 11, 12, 13 e 14.
Usando equa•‹o do 1o grau:
galinhas: x
porcos: 39 2 x
2x 1 4(39 2 x) 5 120 ⇒ x 5 18
39 2 18 5 21
¥ Usando sistema de duas equa•›es do 1o grau com duas inc—gnitas:
galinhas: x
porcos: y
39
2 4 120
1 5
1 5
x y
x y{ ⇒ x 5 18 e y 5 21
No s’tio h‡ 18 galinhas e 21 porcos.
 Para construir:
 Exerc’cios 51 a 56 (p. 32 e 33)
çlgebra32
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 Para aprimorar:
 Racioc’nio l—gico (abaixo)
 53. Uma escola de pintura para crianças cobra uma taxa de inscrição de R$ 70,00 e mensalidade de R$ 50,00. Com R$ 400,00, qual 
é o nœmero m‡ximo de meses completos que um aluno pode frequentar essa escola? 
 54. Considere a pilha da adição de nœmeros, determine todos eles e complete -a.
 55. A capacidade da vasilha azul é o dobro da vermelha e é o triplo da marrom.
Enchendo de ‡gua as vasilhas vermelha e marrom e despejando na azul, 
ficam faltando dois litros de ‡gua para que ela fique cheia. Qual é a capaci-
dade de cada uma das tr•s vasilhas? 
 56. A soma do dobro de um nœmero com a metade de outro nœmero resulta 53. Calcule esses nœmeros sabendo ainda que a dife-
rença entre o primeiro nœmero e o triplo do segundo nœmero é igual a 7.
6 meses (meses: x; 70 1 50x < 400 ⇒ x < 6,6)
x y
x x
( 3) 5
2 ( 7) 3
2 1 5 2
1 2 5{ ⇒ x yx y 22 3 72 52 5{ ⇒ x 5 21 e y 5 23
523
x 2 y
2x
3y
27
2211
2266
2299
2222
55
3322
Vasilhas
Vermelha: x; Marrom: y
y
y
y
y
y
2 3
2 2
2 3
2
6 e 4
5
1 1 5
5
2 5
5 5
x
x x
x
x
x
{ {⇒ ⇒
⇒
Azul: 2 ? 6 ou 3 ? 4 ou 6 1 4 1 2 5 12
A vasilha vermelha tem capacidade para 6 litros, a marrom, para 4 litros e a azul, para 12 litros.
x
y
x y
x y2 2
53
3 7
25 e 61 5
2 5
5 5



⇒
 Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um deles pegou um peixe, mas s— pescaram 3 peixes. Como isso foi poss’vel? 
Eram 3 pessoas: av™, pai e filho.
Racioc’nio l—gico
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Tratamento da informa•‹o
Interpreta•‹o de tabelas e 
interpreta•‹o e constru•‹o de gr‡ficos
 57. (Saresp) No in’cio do dia, ˆs 6h da manh‹, o n’vel da caixa-dÕ‡gua da cidade era de 15,0 m de altura. Ë medida que o tempo foi 
passando, o n’vel da ‡gua foi baixando na caixa, conforme registrado na tabela.
Hora do dia 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00
N’vel da ‡gua (m) 15,0 12,5 10,0 7,5 5,0
Se chamarmos as horas do dia de H e o n’vel da ‡gua na caixa de N, qual Ž a equa•‹o que poderemos escrever para relacionar H e N?
 a ) N 5 2,5H 1 2,5
 b ) N 5 2,5H 2 2,5
 c ) N 5 22,5H 1 30
 d ) N 5 22,5H 2 2,5
 58. (Saresp) A temperatura interna de uma geladeira, ao ser instalada, decresce com a passagem do tempo, conforme representa-
do no gr‡fico.
A equa•‹o algŽbrica que relaciona a temperatura interna da geladeira (T) ao tempo (t), para o trecho representado no gr‡fico, Ž:
 a ) T 5 32 2 2t
 b ) T 5 32 2 0,5t
 c ) T 5 32 2 4t
 d ) T 5 32 2 6t
X
t (min)
80
21
23
28
32
18 22
T (¡C)
y
x
x 2 y 5 4
x 1 y 5 2
(3, 21)
X
34 çlgebra
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 59. Responda às questões a seguir.
y
s
r
x
1
0
1
 a ) Qual é a equação cujas soluções estão sobre a reta r: x 1 y 5 4, x 1 y 5 6 ou x 1 y 5 3? 
x 1 y 5 3
 b ) Qual é a equação cujas soluções estão sobre a reta s: x 2 y 5 1, x 2 y 5 2 ou x 2 y 5 4? 
x 2 y 5 2
 c ) Qual é o par ordenado correspondente ao ponto de cruzamento das retas r e s? 
 60. Determine pelo menos cinco pares ordenados que são solução da equação x 2 y 5 3. Mar que -os no gráfico e determine 
a reta que passa por eles. 
 61. Se você traçar a reta que contém os pares ordenados que são soluções de x 1 y 5 2 e a reta que contém os pares ordenados 
que são soluções de x 2 y 5 4, em um mesmo gráfico, qual destes pares ordenados será o ponto de cruzamento das duas retas: 
(3, 1), (3, 21) ou (4, 0)?
Construa o gráfico para confirmar sua resposta.
x y
x y
1 5
2 5
3
2{ x y5 52 12 e 12⇒
Possíveis pares ordenados: (3, 0), (0, 23), (4, 1), (1, 22), (2, 21), (21, 24) e outros.
1
0
1
21
22
23
4
2
3
x
y
x 1 y 5 2 → (2, 0), (0, 2)
x 2 y 5 4 → (4, 0), (2, 22)
(3, 21), pois 3 1 (21) 5 2 e 3 2 (21) 5 3 1 1 5 4
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Outros contextos
 62. Um pouco sobre a hist—ria do basquete
Leia algumas curiosidades sobre a hist—ria do basquete. 
O basquetebol (esporte popularmente conhecido como basquete) foi criado em 1891, nos Estados Unidos, por James 
Naismith, professor de Educa•‹o F’sica da escola da Associa•‹o Crist‹ de Mo•os (ACM) da cidade de Springfield, estado de 
Massachusetts.
Devido ao inverno rigoroso, praticar esportes que necessitavam de ‡reas abertas tornou -se algo muito dif’cil para os alu-
nos. Assim, a dire•‹o da escola pediu a James que criasse um esporte para ser praticado em lugares fechados.
O professor pensou em um jogo em que se tivesse de arremessar uma bola em um alvo alto. Ele escolheu como alvo, a 
princ’pio, duas cestas de p•ssegos que ficavam, cada uma, no alto de uma pilastra. Nascia assim o basquete.
O primeiro jogo oficial ocorreu em 20 de janeiro de 1892, entre alunos e professores da escola da ACM. Na ocasi‹o, os 
alunos venceram por 5 pontos a 1. Em 4 de abril de 1896, ocorreu a primeira disputa de basquete feminino, na cidade norte-
-americana de S‹o Francisco, estado da Calif—rnia.
Foi tambŽm no ano de 1896 que o esporte chegou ao Brasil, trazido pelo professor norte -americano Augusto Shaw.
No come•o do sŽculo XX, o basquete come•ou a se popularizar e, em 1936, foi oficializado como modalidade esportiva da 
Olimp’ada de Berlim.
Alguns nomes de destaque da hist—ria do basquete mundial s‹o Oscar Schmidt,Hort•ncia, Magic Paula, Michael Jordan, 
Magic Johnson e Shaquille OÕNeal.
James Naismith (1861 -1939), 
o criador do basquete.
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Oscar Schmidt, considerado um dos maiores jogadores de 
basquete de todos os tempos. Foto de 1996.
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36 çlgebra
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Agora, resolva as atividades a seguir.
 a ) Suponha que, em um jogo, Oscar Schmidt acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Considere também 
que ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos Oscar acertou? Resolva este proble-
ma usando um sistema de equações. 
 b ) Represente graficamente a situação do item anterior.
 c ) Converse com seus colegas sobre as informações do texto desta atividade. Discutam o que mais acharam de interes-
sante nele. Pesquisem outros jogadores importantes da história do basquete e registrem o nome deles no caderno. 
 63. Impressão gr‡fica
Para imprimir de 500 a 1 000 exemplares de certa revista, uma gráfica 
tem um custo fixo (ou seja, gastos com funcionários, impostos, ener-
gia, etc.) mais um custo variável, que depende do número de exem-
plares impressos (ou seja, envolve despesas com papel, tinta, etc.). 
Para imprimir 600 exemplares, o custo total é de R$ 4 350,00 e, para 
imprimir 900 exemplares, o custo total é de R$ 6 150,00. Qual o custo 
dessa gráfica para imprimir 850 exemplares?
x 1 y 5 25 (total de arremessos certos)
2x 1 3y 5 55 (total de pontos obtidos)
25
2 3 55
1 5
1 5
x y
x y{ ⇒ x 5 20 e y 5 5
Oscar acertou 5 arremessos de 3 pontos.
0
5
25
18,33
20
x
y
Resposta pessoal.
Pessoa observando impressora gr‡fica.
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s
Custo fixo: f
Custo de cada exemplar quando o número de exemplares é de 500 a 1 000: e
600 4 350
900 6 150
1 5
1 5
f e
f e{ ⇒ f 5 750 e e 5 6
Como 850 > 500 e 850 < 1 000, para imprimir 850 exemplares, o custo será de:
750 1 850 ? 6 5 750 1 5 100 5 5 850
Essa gráfica terá um custo de R$ 5 850,00.
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5 km 3 km
Local de
trabalho
Casa de
Fl‡vio
Banco
64. Gastos com t‡xi
Em uma corrida de t‡xi com tax’metro, o passageiro paga um valor 
fixo chamado bandeirada mais uma quantia definida pelo nœmero de 
quil™metros percorridos pelo t‡xi e pelo tempo que o carro fica parado. 
Fl‡vio precisou utilizar os servi•os de t‡xi tr•s vezes durante o mesmo 
dia. De manh‹, foi de sua casa atŽ o banco e pagou R$ 13,00 pela cor-
rida. Depois, foi do banco atŽ o local de trabalho e pagou R$ 9,00. Ë tarde, voltou direto do local de trabalho atŽ a sua casa pelo 
mesmo caminho. Analise a figura ao lado, que mostra os trajetos e as dist‰ncias percorridas por Fl‡vio. 
 a ) Considere x reais o valor da bandeirada e y reais o valor cobrado por quil™metro percorrido, e escreva um sistema de equa•›es 
representando as informa•›es das duas corridas da manh‹.
 b ) Quanto Fl‡vio pagou pela corrida da tarde?
 65. Saœde
Ramiro vai fazer um tratamento mŽdico, no qual ele dever‡ tomar diariamente dois tipos de comprimido: A e B. No quadro abai-
xo, est‹o representados os pre•os desses medicamentos.
Comprimido Preço por unidade
A R$ 3,00
B R$ 2,00
 a ) Sabemos que ele dever‡ tomar 4 comprimidos por dia. Com essa informa•‹o, Ž poss’vel saber quantos comprimidos de cada 
tipo ele dever‡ tomar? Justifique sua resposta. 
N‹o, pois h‡ tr•s possibilidades de Ramiro tomar 4 comprimidos por dia: 2 do A e 2 do B; 1 do A e 3 do B; 3 do A e 1 do B.
 b ) Agora, alŽm da informa•‹o do item a, temos outra: o custo di‡rio com os comprimidos ser‡ R$ 9,00. Calcule quantos com-
primidos de cada tipo Ramiro vai tomar por dia. 
Pre•o da bandeirada: x
Pre•o por quil™metro rodado: y
5 13
3 9
1 5
1 5
x y
x y{ ⇒ x 5 3 e y 5 2
Do local de trabalho atŽ a casa de Fl‡vio:
5 1 3 5 8; 8 km 
Quantia a pagar: 3 1 8 ? 2 5 3 1 16 5 19
Fl‡vio pagou R$ 19,00 na corrida de t‡xi da tarde.
Esta atividade integra o assunto de equa•›es 
do 1o grau e racioc’nio combinat—rio.
• Por tentativa: 2 do A e 2 do B:
2 ? 3 1 2 ? 2 5 6 1 4 5 10 →
R$ 10,00
1 do A e 3 do B:
1 ? 3 1 3 ? 2 5 3 1 6 5 9 → R$ 9,00
3 do A e 1 do B:
3 ? 3 1 1 ? 2 5 9 1 2 5 11 → R$ 11,00
• Usando uma equa•‹o com uma 
inc—gnita:
Comprimidos do tipo A: x
Comprimidos do tipo B: 4 2 x
Equa•‹o: 3x 1 2(4 2 x) 5 9 ⇒ x 5 1
4 2 x 5 4 2 1 5 3
• Usando sistema:
A B
A B
A B
4
2 9
1 e 31 5
1 5
5 5
3{ ⇒
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Praticando um pouco mais
 1. (Saresp) O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$ 3,00 mais R$ 0,50 por 
quil™metro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor 
que R$ 60,00. O número x de quil™metros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio é representado por:
T‡xi
F
a
b
io
 C
o
lo
m
b
in
i/
A
c
e
rv
o
 d
o
 f
o
t—
g
ra
fo
 a ) x , 50
 b ) x , 60
 c ) x , 114
 d ) x , 120
 2. (UFPE) Em um teste de 16 questões, cada acerto adiciona 5 pontos, e cada erro subtrai 1 ponto. Se um estudante respondeu 
todas as questões e obteve um total de 38 pontos, quantas questões ele errou?
 a ) 4
 b ) 5
 c ) 6
 d ) 7
e ) 8
 3. (Epcar-MG) Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa retirou desse caixa a impor-
t‰ncia de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a:
 a ) 16.
 b ) 25.
 c ) 24. 
 d ) 21.
X
⇒acertos: x; erros: y; x 5 9 e y 5 7
x 1 y 5 16
5x 2 y 5 38
X
Notas de 5 reais: x
Notas de 10 reais: y
x y
x y
10
5 10 65
1 5
1 5{ ⇒ x 5 7 e y 5 3
xy 5 7 ? 3 5 21X
0,50 ? x 1 3 , 60 ⇒ 0,50x , 57 ⇒ x , 114
39
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 4. (Vunesp) Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acœmulo de pontos. No final de cada m•s, o 
funcion‡rio recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias do m•s ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se 
durante o m•s ele chegou pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos v‹o sendo acumulados m•s a m•s, atŽ que a 
soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, h‡ duas possibilidades: se 
o nœmero de pontos acumulados for positivo, o funcion‡rio recebe uma gratifica•‹o e, se for negativo, h‡ um desconto em 
seu sal‡rio. Se um funcion‡rio acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quantidade de meses em que 
ele foi pontual, no per’odo, foi:
 a ) 15.
 b ) 20.
X c ) 25. 
 d ) 26.
 e ) 28. 
 5. (Unifor-CE) Um caminh‹o-tanque com capacidade para transportar T litros faz a distribui•‹o de um combust’vel em tr•s 
postos: A, B e C. Partindo com o tanque cheio, deixou 3
20
 do total em A. Se em B deixou 5
17
 do que restou e em C os œl-
timos 10 500 litros, ent‹o T Ž tal que:
 a ) 16 000 , T , 19 000.
 b ) T , 130.
 c ) T , 15 000.
 d ) 14 000 , T , 17 000.
 e ) T . 20 000.
Meses em que foi pontual: x
Meses em que chegou atrasado: y
x y
x y
30
3 5 50
1 5
2 5{ ⇒ x 5 25 e y 5 5
3
20
3
20
3
20
17
20
5
17
17
20
5
17
17
20 4
3
20 4
10500
17500
1
4
5
2 5
5 5
1 1 5
5
de T
T
TT T
de T
T T
T T T
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X
Posto de combust’vel
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Revis‹o cumulativa
 1. Em todos os prismas, o nœmero de vŽrtices Ž igual a 2
3
 do nœmero de arestas. Verifique essa informa•‹o em um paralelep’pe-
do e em um prisma de base pentagonal. 
 2. A temperatura de 20,5 ¼C teve varia•‹o de 12 3
4
C.¡ . Agora ela Ž de:
 a ) 12 1
2
C.¡
 b ) 13 1
4
C.¡
c ) 12 1
4
C.¡
d ) 11 3
4
C.¡
 3. O nœmero 0,0041 escrito na nota•‹o cient’fica Ž:
 a ) 4,1 ? 1022.
 b ) 4,1 ? 1023.
 c ) 4,1 ? 1024.
d ) 4,1 ? 1025.
Paralelep’pedo: 8 vŽrtices e 12 arestas 
)( 523 de 12 8 .
Prisma de base pentagonal: 10 vŽrtices 
e 15 arestas )( 523 de 15 10 .
X
X
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 4. Quais s‹o as express›es de valores iguais?
 a ) (23)2 e (32)2 
 b ) ( 8 )3
2
2 e 
( 2)
( 2)
5
2
2
2
 c ) 7 ? 7 ? 49 e ( 49 )
3
 d ) 
9
3
5
 e (33)
3
 5. A express‹o algŽbrica que relaciona as duas linhas do quadro abaixo Ž:
1 32 4 11 285
4 107 13 34 8516
 a ) 2n 1 1.
 b ) 3n 2 2.
 c ) 3n 1 1.
 d ) n 1 3.
 6. A soma dos cinco valores numŽricos desconhecidos Ž igual a:
n 5 10
5(n 1 2)
9(n 2 4)
n 2 7
?
?
?
?
?
 n
5
 n
2
 1 6
 a ) 120.
 b ) 130.
 c ) 129.
 d ) 100.
X
X
X
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 7. Um corredor percorreu uma dist‰ncia, com certa velocidade mŽdia, em 1 h 30 min. Se dobrar a velocidade mŽdia, ele percorrer‡ 
a mesma dist‰ncia em quanto tempo? 
 8. Qual das express›es numŽricas tem valor maior?
 a ) (28) 1 (22) ? (25) 
 b ) (15) 2 (212) 1 (12) 
 c ) ( 4) ( 9)
2
2 ? 1 
 d ) (23)2 ? (12) 
 9. Se 3x 2 y 5 3 e 2x 1 5y 5 19, ent‹o o valor de x 2 3y Ž igual a:
 a ) 27. 
 b ) 4. 
 c ) 21. 
 d ) 0.
 10. Quais s‹o os poss’veis valores racionais de y no sistema abaixo?
3x 2 5 5 x 1 7
x 2 2y . 2x 2 8 
 11. (Fatec -SP) Efetuando as opera•›es indicadas e simplificando a express‹o (1,25) á 4
25
: 0,08 : 16
25
0,04 ,2{ }    temos:
 a ) 25
6
.
 b ) 3
2
.
 c ) 6
5
.
d ) 16
9
.
 e ) 1.
45 minutos (1 h 30 min 5 90 min; 
90 min ; 2 5 45 min)
5 12
X 5 119
5 218
5 118
X x 5 2 e y 5 3; 2 2 9 5 27
y racional, tal que y , 1
X
çlgebra 43
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 Ponto de chegada
A Matem‡tica nos textos
Aplicação das equaç›es no calend‡rio
O alem‹o Carl Friedrich Gauss (1777 -1855) destacou -se na Matem‡tica, na Astronomia e na F’sica.
Ele criou um mŽtodo para descobrir, no calend‡rio crist‹o, a data do domingo de P‡scoa de 1900 atŽ 2099. A determina•‹o 
dessa data Ž importante porque todas as outras datas m—veis de comemora•‹o (Carnaval; Quarta -Feira de Cinzas; Corpus Christi; 
etc.) originam -se dela. Observe o mŽtodo criado por Gauss no quadro abaixo:
Se a Ž o ano estudado, chamaremos de:
x: o resto inteiro da divis‹o a ; 19 ;
y: o resto inteiro da divis‹o a ; 4 ;
z: o resto inteiro da divis‹o a ; 7 ;
u: o resto inteiro da divis‹o (19x 1 25) ; 30 ;
v: o resto inteiro da divis‹o (2y 1 4z 1 6u 1 5) ; 7 .
O domingo de P‡scoa pesquisado Ž (u 1 v 1 22) de mar•o ou (u 1 v 2 9) de abril.
Observa•‹o: O resultado 25 de abril deve ser tomado como 18 de abril se u 5 28 e x . 10, e o resultado 26 de abril deve ser 
tomado sempre como 19 de abril.
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Carl Friedrich Gauss (1777 -1855).
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Vamos, por exemplo, imaginar o ano de 2020. Em que dia desse ano cair‡ o domingo de P‡scoa?
2020 ; 19 5 106 e resto 6 → x 5 6
2020 ; 4 5 505 e resto 0 → y 5 0
2020 ; 7 5 288 e resto 4 → z 5 4 
¥ 19x 1 25 5 19 ? 6 1 25 5 139
139 ; 30 5 4 e resto 19 → u 5 19
¥ 2y 1 4z 1 6u 1 5 5 2 ? 0 1 4 ? 4 1 6 ? 19 1 5 5 135
135 ; 7 5 19 e resto 2 → v 5 2
¥ (u 1 v 1 22) de mar•o n‹o Ž, pois u 1 v 1 22 5 19 1 2 1 22 5 43.
¥ O domingo de P‡scoa procurado Ž u 1 v 2 9 5 19 1 2 2 9 5 12 de abril. Assim, o domingo de P‡scoa de 2020 ser‡ no dia 12 de abril.
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
O texto explica brevemente quem foi Carl Friedrich Gauss e o mŽtodo que ele criou para determinar o domingo de P‡scoa de 1900 atŽ 2099.
 2. Em que data cair‡ o domingo de P‡scoa de 2024? 
Graus, minutos e segundos
O grau, unidade de medida de ‰ngulo e suas subdivis›es, o minuto e o segundo, utilizam o sistema de numera•‹o sexagesimal, 
que tem como base o nœmero 60. Esse sistema foi criado por volta de 1800 a.C. pelos babil™nios.
ƒ prov‡vel que esse povo tenha escolhido o 60 porque esse nœmero tem muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60), 
e isso reduzia o uso de fra•›es, simplificando os c‡lculos.
Acredita -se que, por meio da observa•‹o dos astros, os babil™nios conclu’ram que o Sol completava um movimento circular 
aparente em cerca de 360 dias. Ent‹o, eles dividiram a circunfer•ncia em 360 partes iguais, de modo que o ‰ngulo percorrido pelo Sol 
em um dia corresponde a 1
360
 de uma volta completa, isto Ž, 1 grau (1¡).
31 de mar•o.
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Verifique o que estudou
 1. Escreva uma equação ou um sistema de equações correspondente a cada situação abaixo. Use letras para representar as incógnitas.
 a ) Paguei uma revista com uma cédula de R$ 20,00 e recebi R$ 14,00 de troco. 20,00 2 x 5 14,00
 b ) Caio e Juliana têm, juntos, 21 mangás, e Caio tem 3 mangás a menos do que Juliana. 
 c ) O perímetro de um ret‰ngulo de lados x e y é 26 m. 
x y
x y
1 5x y1 5x y
5 2x y5 2x y
21
3{
2x 1 2y 5 26
Trabalhando com o texto
 1. Explique com suas palavras a ideia principal do texto. 
O texto explica brevemente o que é o sistema sexagesimal e como se originaram as noções de grau, minuto e segundo para medida de ‰ngulo.
 2. Além de medida de ‰ngulo, em que outras situações do cotidiano usamos o sistema sexagesimal?
Medida de tempo (1 hora 5 60 min; 1 min 5 60 s). 
 3. Explique por que a grande quantidade de divisores de 60 reduz o número de frações no sistema sexagesimal. 
A grande quantidade de divisores aumenta o número de possibilidades de divisões exatas.
 
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ATEN‚ÌO!
Retome os assuntos que você estudou neste módulo. Verifique em quais teve dificuldade e converse 
com seu professor, buscando formas de reforçar seu aprendizado.
 2. Invente um problema cuja resolução algébrica resulte no sistema de equações a 1 b 5 3
2a 1 b 5 1
. Depois, troque seu problema com um colega 
e resolva o dele. 
 3. Reúna -se com dois colegas. Um de vocês escreve uma equação do 1o grau com duas incógnitas que tenha solução. Os demais deter-
minam alguns pares ordenados que correspondam a prováveis soluções dessa equação. Tracem os eixos x e y e construam o gráfico 
dessa equação. Em seguida, respondam: Como vocês podem comprovar que as soluções encontradas para a equação estão corretas?
Resposta pessoal.
 4. O que acontece quando multiplicamos o primeiro e o segundomembros de uma inequação por um número negativo?
A desigualdade se inverte.
Resposta pessoal. Solução: (22, 5), ou seja, a 5 22 e b 5 5
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Quadro de ideias
MŽtodo da substitui•‹o, 
compara•‹o e situa•›es-problema
Gr‡ficos de equa•›es
do 1o grau 
Sistemas de equa•›es do
1o grau com duas inc—gnitas
Sistemas de inequa•›es do
1o grau com duas inc—gnitas
Adi•‹o e multiplica•‹o de 
desigualdade , ou .
çlgebra
Equa•›es, inequa•›es, sistemas
Sistemas
Equa•›es do 1o grau 
com duas inc—gnitas
Inequa•›es
Uma publicação
Direção de conteúdo e 
inovação pedagógica: Mário Ghio Júnior
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Coordenação editorial: Adriana Gabriel Cerello
Edição: Ronaldo Rocha (coord.), Cibeli Chibante Bueno e 
André Luiz Ramos de Oliveira (estag.)
Colaboração: Anderson Félix Nunes, Elizangela 
Marques, Mariana Almeida
Organização didática: Patrícia Montezano
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Danielle 
Modesto, Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, 
Marina Saraiva, Tayra Alfonso, Vanessa Lucena
Coordenação de produção: Fabiana Manna da Silva (coord.), 
Adjane Oliveira, Dandara Bessa
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Catherine Saori Ishihara
Diagramação: Karen Midori Fukunaga
Iconografia: Sílvio Kligin (superv.), Roberta Freire 
Lacerda (pesquisa), Cesar Wolf e Fernanda Crevin 
(tratamento de imagem)
Ilustrações: Casa de Tipos, Giz de Cera, Mauro Souza, 
Paulo Manzi e Suryara Bernardi
Licenças e autorizações: Patrícia Eiras
Cartografia: Eric Fuzii, Marcelo Seiji Hirata, Márcio 
Santos de Souza, Robson Rosendo da Rocha e Allmaps 
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Ilustração de capa: Roberto Weigand
Projeto gráfico de miolo: Andréa Dellamagna 
(coord. de criação)
Editoração eletrônica: Casa de Tipos, 
Dito e Feito Comunicação e JS Design Comunicação 
Visual (guia do professor)
 
Todos os direitos reservados por SOMOS Educação S.A.
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© SOMOS Sistemas de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino fundamental II,
7º ano : caderno 3 : matemática : professor /
Luiz Roberto Dante. -- 1. ed. -- São Paulo :
Ática, 2016.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.
16-00724 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino fundamental 372.7
2015
ISBN 978 85 08 17910-7 (AL)
ISBN 978 85 08 17912-1 (PR)
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
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Ensino Fundamental – 7º- ano
Álgebra – 20 aulas
MATEMÁTICA
GUIA DO PROFESSOR
Luiz Roberto Dante
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade 
Estadual Paulista (Unesp) de Rio Claro, SP. Doutor em 
Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica de São Paulo. Mestre em Matemática 
pela Universidade de São Paulo. Pesquisador em Ensino e 
Aprendizagem da Matemática pela Unesp de Rio Claro, SP. 
Ex-professor da rede estadual dos Ensinos Fundamental e 
Médio de São Paulo. Autor de vários livros, entre os quais: 
Formula•‹o e resolu•‹o de problemas de Matem‡tica: teoria 
e prática; Did‡tica da Matem‡tica na prŽ-escola; Projeto çpis: 
Natureza e Sociedade, Linguagem e Matemática (Educação 
Infantil – 3 volumes); Projeto çpis Matem‡tica (1ºº- ao 5ºº- ano); 
Projeto Voaz Matem‡tica (Ensino Médio – volume único); 
Projeto Mœltiplo Ð Matem‡tica (Ensino Médio – 3 volumes).
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çlgebra
Equações do 1º- grau com 
duas incógnitas – Inequações 
do 1º- grau com uma incógnita 
– Sistemas
Aula 1 Páginas: 3 e 4
• TEMA: “Introdução”.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Introdução a representações 
matemáticas a partir de situações do dia a dia.
Objetivo
¥ Analisar representações matemáticas a partir de situa-
ções do dia a dia.
EstratŽgias
Inicie a aula por meio da leitura do texto da página 3, 
que tem como objetivo retomar as ideias acerca da Geome-
tria. Caso seja necessário, durante a leitura, revise alguns 
conceitos que aparecem no texto, como quarto de volta, 
medida de ângulos, rotação anti-horária, lados consecuti-
vos, entre outros.
Em seguida, leia com os alunos a página 4, que apre-
senta diferentes situações do dia a dia por meio de uma 
equação do 1o grau com duas incógnitas ou uma inequação 
do 1o grau com uma incógnita. Se possível, com base nos 
exemplos, peça aos alunos que sugiram outras situações 
que possam ser representadas pelo mesmo tipo de equa-
ção ou inequação, anotando-as na lousa. Questione-os so-
bre quais valores cada uma das incógnitas poderá assumir 
para que a igualdade ou desigualdade seja verdadeira.
Por fim, a partir das anotações feitas, solicite aos alu-
nos que observem o sinal de comparação (5; .; ,; <; >) 
utilizado em cada uma delas. Destaque que, com base nes-
sas informações, é possível diferenciar uma equação (igual-
dade) de uma inequação (desigualdade).
Comente que nas próximas aulas esses conceitos se-
rão abordados com maior profundidade.
Para casa
Peça aos alunos que realizem as seguintes atividades:
 1. Represente matematicamente cada uma das situações a 
seguir, classificando-as como equação com duas incóg-
nitas ou inequações com uma incógnita.
 a ) Mariana viajou com os familiares a uma cidade históri-
ca do Brasil, tirando várias fotografias. A quantidade de 
fotos tiradas pelo pai de Mariana é igual à de dias que 
ficaram de férias acrescido de dez.
d 5 número de dias de férias
f 5 número de fotos tiradas
f 5 d 1 10
Equação com duas incógnitas.
 b ) Luiza precisa comprar algumas bonecas para pre-
sentear meninas que moram em um orfanato. Cada 
boneca custa RS|| 35,00 e ela poderá gastar no máxi-
mo RS|| 200,00.
x 5 quantidade de bonecas
35x < 200, com x ∈ N
Equação com uma incógnita.
 c ) Minha amiga Silvia recebe RS|| 23,00 por hora de trabalho.
s 5 salário total
h 5 horas de trabalho
s 5 23h
Equação com duas incógnitas.
 2. Crie uma situação que possa ser representada por meio 
de uma equação com duas incógnitas e outra por uma 
inequação com uma incógnita.
 Plano de aulas sugerido
• Carga semanal de aulas: 5
• Número total de aulas do módulo: 20
2 Álgebra
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Resposta pessoal. Espera-se que os alunos representem 
situa•›es do dia a dia matematicamente.
Aula 2 P‡ginas: 5 e 6
• TEMA: ÒEqua•›es com duas inc—gnitasÓ.
• CONTEÚDO TRABALHADO: Solu•›es de equa•›es com 
duas inc—gnitas.
Objetivo
• Determinar solu•›es de equa•›es com duas inc—gnitas.
Estratégias
Retome o conteœdo da aula anterior corrigindo as tare-
fas de casa e esclarecendo eventuais dœvidas.
Em seguida, com base no conteœdo da p‡gina 5, des-
taque que uma œnica equa•‹o com duas inc—gnitas pode 
admitir diferentes solu•›es. Sendo cada inc—gnita repre-
sentada por uma letra na equa•‹o, ressalte que a ordem 
em que as letras aparecem no par ordenado determinar‡ o 
valor atribu’do a elas, ou seja, se identificarmos o par orde-
nado como (x, y), e o representarmos como (2, 3) o valor 
de x 5 2 e y 5 3, para (3, 2), temos que x 5 3 e y 5 2. Logo, 
(2, 3) e (3, 2) representam valores diferentes para as inc—g-
nitas x e y.
Caso julgue conveniente, prossiga a aula realizando os 
exerc’cios das p‡ginas 5 e 6. Se poss’vel, forme duplas para 
a resolu•‹o