Formulario Elementos de Máquinas

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Formulário da P1 – ME5510/NM7510 – Prof. Dr. William Maluf (17/mar/2020) 
Transmissão de potência 
𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣 𝑃 = 𝑇 ∙ 𝜔 = 𝑇 ∙
2𝜋
60
∙ 𝑛 𝑖 =
𝐷
𝑑
 𝑑𝑒𝑐𝑑𝑟 = 𝑚 ∙ 𝑍 
P: potência [W]. T: torque [Nm]. : velocidade angular [rad/s]. n: rotação [rpm]. F: força [N]. v: velocidade [m/s]. 1HP=746W; 
1CV=736W. i: relação de transmissão. 
Diâmetros [mm] => D: maior; d: menor. ecdr: engrenagem cilíndrica de dentes retos => m: módulo [mm]; Z: número de dentes. 
Esforços: tensões calculadas de acordo com a teoria de Resistência dos Materiais 
Esforço Tensão Esforço Tensão 
Força axial 
 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
 
Força cortante 𝜏 =
𝑄
𝐴
 
Momento fletor 𝜎 =
𝑀 ∙ 𝑦
𝐼
=
𝑀 
𝑤𝑓
 Torque 
 
𝜏 =
𝑇 ∙ 𝑟
𝐽
=
𝑇 
𝑤𝑡
 
 
 
Tensões combinadas 𝜎𝑉𝑀 = √𝜎
2 + 3 ∙ 𝜏2 
 
Tensões [MPa] => : normal; : cisalhamento. Forças [N]=> F: axial; Q: cortante. A: área da seção resistiva [mm2]. M: momento fletor 
[Nmm]. I: momento de inércia [mm4]. Distâncias da linha neutra até a fibra mais tracionada [mm]: y; r. 
Módulos de resistência [mm3] => flexão: wf; torção: wt. T: torque [Nmm]. J: momento polar de inércia [mm4]. Tensão equivalente 
[MPa]: eq.= VM. É calculada por Von Mises. Deve ser usada em situações nas quais exista ação de duas tensões de naturezas distintas. 
Geometria: propriedades geométricas de formas primitivas 
Forma Ilustração Fórmulas 
Retângulo 
 
𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 
 
𝐼�̅� =
𝑏 ∙ ℎ3
12
 𝐼�̅� =
𝑏3 ∙ ℎ
12
 
 
𝑤𝑡 =
𝑏 ∙ ℎ2
3 + 1,8 ∙
ℎ
𝑏
 
Triângulo 
 
𝐴 =
𝑏 ∙ ℎ
2
 𝐼�̅� =
𝑏 ∙ ℎ3
36
 
 
𝑤𝑡 =
𝑏3
20
 (equilátero) 
Círculo 
 
𝐴 = 𝜋 ∙ 𝑟2 𝐼�̅� =
𝜋 ∙ 𝑟4
4
 
 
𝑤𝑡 =
𝜋 ∙ 𝑑3
16
 
A: área da seção resistiva [mm2]. Eixos [mm] => �̅�: x local; �̅�: y local; x: x global; y: y global. 
I: momento de inércia [mm4]. CG: centro geométrico da figura plana. Dimensões [mm] => h: altura; b: base; r: raio. 𝐼�̅�: calculado em 
torno do eixo x local; 𝐼�̅�: calculado em torno do eixo y local. 
 
Materiais: propriedades convencionais de aços 
Tensões normais: 𝜎 [MPa]. Tensões limites de => proporcionalidade: 𝜎𝑝 ; escoamento: 𝜎𝑒; resistência 𝜎𝑟 
 
Classe 
𝜎𝑒 
[𝑀𝑃𝑎] 
𝜎𝑟 
[𝑀𝑃𝑎] 
4.6 240 400 
8.8 640 800 
A.B 𝐴 × 𝐵 × 10 𝐴 × 100 
Conversões 𝜏𝑒 ≅
𝜎𝑒
√3
 𝜏𝑟 ≅ 0,8 ∙ 𝜎𝑟 
Tensões de cisalhamento [MPa]: 𝜏 
escoamento: 𝜏𝑒; resistência 𝜏𝑟 
Uniões por adaptação de forma: pressão admissível [MPa]: 𝑝𝑎𝑑𝑚 ; tensão de cisalhamento admissível [MPa]: 𝜏𝑎𝑑𝑚 
Chavetas retangulares 
 
Esmagamento: 𝒑𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏𝒕𝒆 ≤ 𝒑𝒂𝒅𝒎 
 
2 ∙ 𝑇
(
𝑑
2
− ℎ1 +
3
4
∙ ℎ) ∙ ℎ ∙ 𝐿
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚 
 
Cisalhamento: 𝝉𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏𝒕𝒆 ≤ 𝝉𝒂𝒅𝒎 
 
2 ∙ 𝑇
𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝐿
≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 
 
 
Eixos ranhurados => Z: número de ranhuras. L: comprimento do contato eixo/cubo [mm] 
Eixos entalhados 
DIN 5462:1955-09; DIN 5463:1955-09; 
DIN 5471:1974; DIN 5472:1980 
Eixos dentados 
DIN 5481:2019-04; 
DIN 5480-2:2015-03 
Em eixos ranhurados deve-se 
verificar apenas o 
esmagamento. 
 
Esmagamento: 
𝒑𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏𝒕𝒆 ≤ 𝒑𝒂𝒅𝒎 
 
𝑇
0,75 ∙ 𝑍 ∙ 𝑟 ∙ 𝐿 ∙ ℎ
≤ 𝑝𝑎𝑑𝑚 
 
𝑟 = 
𝑑2 + 𝑑1
4
; ℎ = 
𝑑2 − 𝑑1
2
 
 
 
 
Observações=> chavetas temperadas: 1,5xpadm. 2 chavetas @120º: 𝐿120𝑜 = 
2
3
∙ 𝐿𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 
Uniões por interferência 
Diâmetros [mm]: CUBO=> D: nominal; De: externo; Di: interno; eixo=> d: nominal; de: externo; di: interno. 
p [MPa]: pressão entre as peças (CUBO/eixo), decorrente da interferência entre elas. Deve ser capaz de transmitir torque: T [Nmm]; 
força axial Fa [N] evitando falhas por escorregamento e esmagamento. Índices dos elementos => i: interno; e: externo. 
Afastamentos [m] => eixo: amin ; amax FURO: Amin ; Amax. L: comprimento do contato CUBO e eixo [mm] 
 
 
 
 
Interferências [m]=> Z: real (pós-montagem); 
I: inicial (pré-montagem); I: perda de 
interferência na montagem. Ra: rugosidade 
média [m]. 
 
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 − ∆𝐼 = 𝑎𝑚𝑖𝑛 − 𝐴𝑚𝑎𝑥 − ∆𝐼 
 
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 − ∆𝐼 = 𝑎𝑚𝑎𝑥 − 𝐴𝑚𝑖𝑛 − ∆𝐼 
 
Prensagem sob velocidade controlada (∆𝐼 ≠ 0) 
 
Montagem por dilatação térmica (∆𝐼 = 0) 
 
𝑇𝑚 = 𝑇𝑎𝑚𝑏 +
𝐼𝑚𝑎𝑥 + 5 ∙ 10
−4 ∙ 𝑑
𝛼 ∙ 𝑑 
 
 
Temperaturas=> Tm: montagem; Tamb: ambiente 
 
𝛼: Coeficiente de dilatação térmica [oC-1 ] 
 
∆𝐼 = 1,2 ∙ (𝑅𝑎𝐶𝑈𝐵𝑂 + 𝑅𝑎𝑒𝑖𝑥𝑜) 
 
𝐹𝑚 ≥ 0,7 ∙ 𝜋 ∙ 0,5 ∙ 𝜇 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ 𝐿 ∙ 𝑝𝑚𝑎𝑥 
 
𝐹𝑑 ≥ 𝜋 ∙ 𝜇 ∙ 𝑘 ∙ 𝑑 ∙ 𝐿 ∙ 𝑝𝑚𝑎𝑥 
 
 : Coeficiente de atrito estático 
 
Forças [N]=> Fm: montagem; Fd: desmontagem 
 
k: coeficiente de segurança para a fase de montagem 
ou desmontagem 
 
 
 
 
 
𝑝 =
𝑍
(𝐾𝑖 + 𝐾𝑒) ∙ 𝑑
 
 
 
𝐾𝑖 =
1
𝐸𝑖
∙ (
1 + 𝑄𝑖
2
1 − 𝑄𝑖
2 − 𝜈𝑖) 𝐾𝑒 =
1
𝐸𝑒
∙ (
1 + 𝑄𝑒
2
1 − 𝑄𝑒
2 + 𝜈𝑒) 
 
𝑄𝑖 =
𝑑𝑖
𝑑𝑒
 𝑄𝑒 =
𝐷𝑖
𝐷𝑒
 
E: módulo de elasticidade [MPa]. : coeficiente de Poisson. 
Fatores elásticos [MPa-1] => Ki: eixo; Ke: CUBO 
Fatores geométricos=> Qi: eixo; Qe: CUBO 
Escorregamento: 𝒇𝒂𝒕 ≥ 𝑹 
𝜋 ∙ 𝜇 ∙ 𝑑 ∙ 𝐿 ∙ 𝑝𝑚𝑖𝑛 ≥ √𝐹𝑎
2 + (
2 ∙ 𝑇
𝑑
)
2
 
 
Forças [N] => fat: atrito; R: resultante 
 
 
Esmagamento: 𝒑𝒂𝒕𝒖𝒂𝒏𝒕𝒆 ≤ 𝒑𝒂𝒅𝒎 
 
𝑝𝑚𝑎𝑥 ∙ λ(𝑄𝑖) ≤ 
𝜎𝑒𝑒𝑖𝑥𝑜
𝑛𝑚𝑒𝑐𝑒𝑖𝑥𝑜
 
 
 
𝑝𝑚𝑎𝑥 ∙ χ(𝑄𝑒) ≤ 
𝜎𝑒𝐶𝑈𝐵𝑂
𝑛𝑚𝑒𝑐𝐶𝑈𝐵𝑂
 
 
Pressão máxima entre CUBO e eixo [MPa]: pmax 
 
 
Fatores de concentração de tensão=> λ(𝑄𝑖): eixo; χ(𝑄𝑒): CUBO 
 
Coeficiente de segurança de esmagamento => nmec 
 
Fadiga 
 
Limites de resistência à fadiga [MPa]=> 𝑆𝑛𝐶𝑃: corpo de provas; 𝑆𝑛: local da peça. Eventuais correções devem ser feitas ao 
se comparar as condições de teste do corpo de provas (𝑆𝑛𝐶𝑃) com 𝑆𝑛 . 
Equação de Marin: 𝑆𝑛 = 𝐶𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 ∙ 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑓 ∙ 𝐶𝑠𝑢𝑝 ∙ 𝐶𝑡𝑎𝑚 ∙ 𝐶𝑡𝑒𝑚𝑝 ∙ 𝐶𝑑𝑖𝑣 ∙ 𝑆𝑛𝐶𝑃 
 
 
Modelos de previsão de vida em fadiga: Basquin (TAE); Morrow. Coeficientes de Basquin=> m; b. Tensão Alternada Equivalente 
(TAE): 𝜎𝑎
´ ou 𝜏𝑎
´ . As formulações podem ser usadas em função de tensões  ou . No cálculo dos coeficientes de Basquin, deve-se usar 
sempre  r. Tensões [MPa]. 
Aço Alumínio Basquin Morrow 
 
𝑚6 =
1
3
log (
0,9 ∙ 𝜎𝑟
𝑆𝑛
) 
 
𝑏6 = log (
0,81 ∙ 𝜎𝑟
2
𝑆𝑛
) 
 
𝑚8 =
1
5,7
log (
0,9 ∙ 𝜎𝑟
𝑆𝑛
) 
 
𝑏8 = log (
0,85 ∙ 𝜎𝑟
1,53
𝑆𝑛
0,53 ) 
 
 
𝑁 =
10
𝑏
𝑚
(𝜎𝑎
´ )
1
𝑚
 
 
 
𝑁 = √
10𝑏 − 𝜎𝑚 ∙ 2
−𝑚
𝜎𝑎
𝑚
 
 
𝜎𝑎𝑆𝑜𝑑𝑒𝑟𝑏𝑒𝑟𝑔
´ =
𝜎𝑎∙𝜎𝑒
𝜎𝑒−𝜎𝑚
 ; 𝜎𝑎𝐺𝑜𝑜𝑑𝑚𝑎𝑛´ =
𝜎𝑎∙𝜎𝑟
𝜎𝑟−𝜎𝑚
 
 
Tensões [MPa] => max: máxima; min: mínima; m: média; a: alternada. Fatores de concentração de tensão => KT: estático; KF: dinâmico; 
q: sensibilidade ao entalhe; √𝑎: constante de Neuber; 𝜌: raio do entalhe. As formulações são válidas para  ou . 
𝜎𝑚 = 𝐾𝐹 ∙ (
𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
) 
 
𝜎𝑎 = 𝐾𝐹 ∙ (
𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛
2
) 𝐾𝐹 = 𝑞 ∙ (𝐾𝑇 − 1) + 1 
𝑞 =
1
1+
√𝑎
√𝜌
 
Critérios de falha para tensão média positiva: as formulações são válidas para tensão normal ( ) ou cisalhamento ( ). 
Soderberg (S) Gerber (Gbr) 
Goodman (G) 
Se 𝜎𝑚 ≤ 𝜎
∗ Se 𝜎𝑚 > 𝜎
∗ 
𝜎∗ = 𝜎𝑟 (
𝜎𝑒 − 𝑆𝑛
𝜎𝑟 − 𝑆𝑛
) 𝜎𝑎
𝑆𝑛
+
𝜎𝑚
𝜎𝑒
≤
1
𝑛𝑆
 
 
𝜎𝑎
𝑆𝑛
+ (
𝜎𝑚
𝜎𝑟
)
2
≤
1
𝑛𝐺𝑏𝑟
 
𝜎𝑎
𝑆𝑛
+
𝜎𝑚
𝜎𝑟
≤
1
𝑛𝐺
 𝜎𝑎 + 𝜎𝑚 ≤
𝜎𝑒
𝑛𝐺
 
Nos critérios de falha, “n” representa o coeficiente de segurança. Se houver fadiga (n<1) deve-se estimar a vida (N), em número de 
ciclos da peça. Critério de Palmgreen-Miner: ∑
𝑛𝑖
𝑁𝑖
. Se o dano acumulado=1, a peça falha. Deve-se estimar quando (N) o evento ocorre.