Fenomenos_de_Transporte

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Fenômenos de Transporte – Leonardo Gentil 2016 – 2 
 
Conteúdo 
- Propriedades dos Fluidos, Conceitos Básicos. 
- Estática dos Fluidos (viscosidade, pressão, empuxo). 
- Cinemática dos Fluidos (equações da continuidade e de Bernoulli). 
- Transferência de Calor (condução, convecção e radiação). 
 
Distribuição Pontos: 
 
Avaliação Parcial 25 pontos 
Avaliação Integrada (AVI) 10 pontos 
Trilhando Competências 15 pontos 
Diversas (práticas, listas, ex sala) 20 pontos 
Avaliação Final 30 pontos 
 
Frequência: 75% 
 
 
 
 
 
 
Fatores de conversão: 
 
1 ft = 0,3048 m 1 kgf = 9,807 N 
1 in = 0,0254 m 1St = 1x10–4 m²/s 
1 slug = 14,594 kg 1 dina = 1x10–5 N 
1 lbf = 4,4482 N 1 pc = 3,086x1016 m 
1 atm = 105 Pa = 760 mmHg = 10 m.c.a. 
 
 
 
 
TÉCNICAS PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
(Yunus A. Çengel) 
 
O primeiro passo do aprendizado em qualquer 
ciência é entender os fundamentos e ganhar um 
bom conhecimento deles. O próximo passo é 
dominar os fundamentos testando esses 
conhecimentos. Isso é feito por meio da 
resolução de problemas significativos do mundo 
real. Resolver tais problemas, especialmente 
aqueles complicados, exige uma abordagem 
sistemática. Ao usar uma abordagem do tipo 
passo a passo, um engenheiro pode reduzir a 
solução de um problema complicado para a 
solução de uma série de problemas simples. 
 
Quando você está resolvendo um problema, recomendamos que use os passos seguintes. 
Isso o ajudará a evitar algumas das armadilhas comuns associadas com a resolução de 
problemas. 
 
Passo 1: Declaração do problema 
Indicar sucintamente o problema, listando com suas próprias palavras as principais 
informações dadas e as quantidades que devem ser encontradas. Isso é para ter certeza 
de que você entendeu o problema e os objetivos antes de tentar resolvê-lo. 
 
Passo 2: Esquema 
Desenhar um esboço realista do sistema físico envolvido e enumerar nele as 
informações relevantes. O esboço não tem de ser algo elaborado, mas deve lembrar o 
sistema e mostrar as principais características. Listar as informações dadas sobre o 
esboço ajuda a ver todo o problema de uma só vez. 
 
Passo 3: Suposições e aproximações 
Estabeleça as suposições e aproximações adequadas a fim de simplificar o problema de 
forma a tornar possível a obtenção de uma solução. Justificar as suposições 
questionáveis. Assumir valores razoáveis para as quantidades que faltam e que são 
necessárias. 
 
Passo 4: Leis físicas 
Aplicar todas as leis e princípios básicos físicos relevantes (tais como a conservação de 
energia) e reduzi-los à sua forma mais simples, utilizando as suposições feitas. No 
entanto, em primeiro lugar, a região para a qual é aplicada uma lei física deve ser 
claramente identificada. 
 
Passo 5: Propriedades 
Determinar as propriedades desconhecidas necessárias para resolver o problema, usando 
relações de propriedades ou tabelas. Listar as propriedades separadamente e indicar a 
sua fonte, se for o caso. 
 
 
 
Passo 6: Cálculos 
Substitua as quantidades conhecidas nas relações simplificadas e realize os cálculos 
para determinar as incógnitas. Preste atenção especialmente às unidades e aos 
cancelamentos de unidades, e lembre-se de que uma quantidade dimensional sem uma 
unidade não tem sentido. Além disso, não dê uma falsa impressão de alta precisão, 
copiando todos os dígitos da calculadora. Arredonde os resultados para um número 
apropriado de algarismos significativos 
 
Passo 7: Raciocínio, verificação e discussão 
Certifique-se de que os resultados obtidos são razoáveis e intuitivos, e verifique a 
validade das suposições questionáveis. Repita os cálculos que resultaram em valores 
absurdos. Por exemplo, o isolamento de um aquecedor de água que utiliza US$ 80 de 
gás natural por ano não pode resultar em uma economia de US$ 200 por ano. Além 
disso, saliente o significado dos resultados e discuta as suas implicações. Estabeleça as 
conclusões que possam ser extraídas dos resultados, bem como quaisquer 
recomendações que podem ser feitas a partir deles. Enfatize as limitações sob as quais 
os resultados são aplicáveis, e tenha precaução com quaisquer eventuais mal-entendidos 
e utilizações dos resultados em situações em que as suposições não se aplicam. Por 
exemplo, se você determinar que envolvendo um aquecedor d’água com um isolamento 
de US$ 20 irá reduzir o custo da energia em US$ 30 por ano, indique que o isolamento 
irá pagar a si próprio a partir da energia poupada em menos de um ano. No entanto, 
também indique que a análise não considera os custos da mão-de-obra e que esse será o 
caso somente se você mesmo instalar o isolamento. 
 
Tenha em mente que as soluções que você apresentar a seus instrutores, e qualquer 
análise de engenharia apresentada aos outros, é uma forma de comunicação. Por 
conseguinte, esmero, organização, integralidade e aparência visual são de extrema 
importância para uma máxima eficácia. Além disso, esmero também serve como uma 
boa ferramenta de verificação, uma vez que é muito fácil detectar erros e incoerências 
nos trabalhos esmerados. Descuidos e etapas puladas para poupar tempo muitas vezes 
acabam custando mais tempo e uma ansiedade desnecessária. 
 
Em certos problemas, alguns dos passos podem não ser 
aplicáveis ou necessários. No entanto, não podemos deixar 
de enfatizar a importância de uma abordagem lógica e 
ordenada para a resolução de problemas. A maior parte das 
dificuldades encontradas na resolução de um problema não 
se deve a uma falta de conhecimento, mas sim a uma falta de 
organização. Você está fortemente encorajado a seguir essas 
etapas na resolução de problemas, até desenvolver uma 
abordagem própria, que funcione melhor para você? Tenha a 
certeza de que não se arrependerá! 
 
Bons estudos! 
 
(Yunus A. Çengel) 
 
Sistemas de dimensões e unidades 
 
Dimensões: 
• Massa [M] 
• Comprimento [L] 
• Tempo [t] 
• Temperatura [T] 
• Outras 3 que não serão usados (corrente elétrica, quantidade de matéria e 
intensidade luminosa) 
 
Através de combinações dessas dimensões, podemos chegar à dimensão de qualquer 
grandeza mensurável. Exemplos no quadro: força, velocidade, energia, frequência, 
pressão, carga elétrica, volume, etc. 
 
Sistemas de unidades: 
 
Existem diversos sistemas de unidades sendo utilizados ao redor do mundo. Diferentes 
áreas técnicas podem utilizar diferentes sistemas de unidades. 
 
Um sistema de unidades serve para “calibrar” ou “dar uma referência” para a medição 
de uma dimensão. Por exemplo: Se alguém deseja medir a profundidade de uma sala, 
ele deve usar a dimensão de comprimento [L]. Cada sistema usa uma única unidade 
para a dimensão [L]. As unidades de comprimento existentes mais comuns são metro, 
centímetro e pé. 
 
 
Tabela 1 
Sistema de 
unidades/dimensões 
Massa (M) Comprimento (L) Tempo (t) Temperatura (T) 
SI Kg m s K 
CGS g cm s K 
 
No Sistema Internacional (SI) (MLtT), para medir uma força é necessário combinar as 
unidades mostradas na tabela 1. De acordo com a 2ª Lei de Newton, F = ma. Sendo 
assim, a unidade de força deve ser igual ao produto das unidades de massa e de 
aceleração: unidade = kg.m/s². Essa unidade é chamada de unidade secundária. As 
unidades secundárias podem ter (ou não) nomes específicos, como por exemplo, kg.m/s² 
pode ser chamado de newton. 
 
Tabela 2 
Sistema de 
unidades 
Força Energia Volume 
SI N = kg.m/s² J = kg.m²/s² m³ 
CGS dina Dina.cm cm³ 
Os sistemas de unidades técnico e inglês utilizam uma base de dimensões diferente dos 
outros sistemas. 
 
Tabela 3 
Sistema 
de 
unidades 
Força (F) Comprimento (L) Tempo (t) Temperatura (T) 
técnico Kgf m s K 
Inglês Lbf ft s R 
 
Esses sistemas utilizam da 2ª lei de Newton (F = ma) para substituir a dimensão de 
massa por uma dimensão de força. Dessa forma, para determinar uma massa é preciso 
dividir a força pela aceleração. No sistema inglês (FLtT) a unidade de massa deve ser 
igual à razão entre as unidades de força e de aceleração: unidade = lbf/(ft/s²) = lbf.s²/ft. 
Essa unidade é chamadade unidade secundária. O nome específico dela é slug. 
 
Tabela 4 
Sistema de 
unidades 
Massa 
técnico utm 
Inglês slug 
 
Propriedades dos Fluidos 
 
Definição de fluido: Fluido é uma substância que não tem uma forma própria, portanto 
assume o formato do recipiente. 
 
 
� Densidade absoluta (massa específica) 
� � �� 	 Unidades: kg/m³, g/cm³, slug/ft³ 
 
� Densidade relativa 
�� � ��	
� onde ρref é o ρ da água. Unidade: adimensional 
 
� Peso específico 
� � 
���� �
��
� � �� Unidades: N/m³, kgf/m³, lbf/ft³ 
 
� Pressão 
� � �� Unidades: N/m², kgf/m², lbf/ft² 
 
Exemplo 1 – Uma massa de fluido de 2 slug ocupa um volume de 320 cm³. Calcule sua 
massa específica, peso específico e densidade relativa no SI. g = 9,8 m/s², ρágua = 1000 
kg/m³ 
 
Fatores de Conversão: 
1 slug = 14,594 kg 1 in = 0,0254 m 1 ft = 0,3048 m 
 
Exemplo 2 – Ao misturar duas substâncias líquidas A e B, determine a massa 
específica, o peso específico e a densidade da mistura final. 
Subst A: V = 860 ml, ρ = 1425 kg/m³ 
Subst B: V = 0,1 ft³, ρ = 0,001 slug/in³ 
 
Resp: 1015 kg/m³; 10150 N/m³; 1,015 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
�Viscosidade dinâmica (absoluta) 
- Fext = const e V = const � força contrária 
- tensão de cisalhamento (camadas) 
� � �����
������ 
- gradiente de velocidades: 
��
� 
- Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de cisalhamento é proporcional ao 
gradiente de v 
											� � ! ��� onde a constante µ é chamada de viscosidade do fluido. 
 
Unidade de µ: 
"
#²
#/&
#
 = '�²
(
� 
 
� Viscosidade cinemática – É a razão entre a viscosidade absoluta e a massa 
específica 
) � *� Unidades: SI:	
'
�²
�
( .
�³
-� �	
-�.�
�².�².	
�
( 	
�³
-� �	
�²
� 
 
 CGS: 1 St = 1 Stoke = 1 cm²/s 
 
 
Exemplo 3 – São dadas duas placas paralelas separadas por 2 mm. A placa de baixo 
está fixa enquanto a placa superior possui velocidade de 4 m/s. O espaço entre as duas é 
preenchido por um óleo de viscosidade cinemática 0,25 St e massa específica 950 
kg/m³. Qual é a tensão de cisalhamento que atua no óleo? Resp: 47,5 N/m²
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 4 – Um fluido que escoa entre duas placas possui uma distribuição de 
velocidades que é dada por .	 � 	.�/0 11 3 45 6 7
58	onde z é a separação entre as placas 
e a origem está no ponto médio entre as placas. Calcule a tensão de cisalhamento na 
placa superior considerando que o fluido seja água (µ = 
0,001 kg/m.s) com vmax = 0,12 m/s e z = 3,0 mm. 
Resp: 0,16 N/m²	
 
Exemplo 5 – Um bloco cúbico de lado L = 0,5 ft desce 
um plano inclinado sobre o qual existe uma película de 
óleo (viscosidade absoluta de 0,25 N.s/m²), de 
espessura Z = 0,02 in. Considere θ = 25˚ em relação à 
horizontal. Determine qual deve ser a massa específica 
do material do bloco para que ele se desloque para 
baixo com velocidade constante v = 1,5 m/s. Resp: 
1146 kg/m³ 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 6 – O pistão da figura tem uma massa de 
0,5 kg. O cilindro (externo) de comprimento 
ilimitado é puxado para cima com velocidade 
constante. O diâmetro do cilindro é 10 cm e do pistão 
(interno) é 9 cm e entre os dois existe um óleo de ν = 
10–4 m²/s e γ = 8000 N/m³. Com que velocidade deve 
subir o cilindro para que o pistão permaneça em 
repouso? Suponha um diagrama linear e g = 10 m/s². 
Resp: 22,1 m/s. 
 
Exemplo 7 – Uma placa fina é separada de duas 
placas fixas por líquidos viscosos µ1 = 1,49 kg/m.s 
e µ2 = 0,85 kg/m.s. Os espaços entre placas são h1 = 
2 mm e h2 = 3 mm. A área de contato entre a placa 
central e cada fluido é A = 1,5 m². Considerando 
uma distribuição linear de velocidades em cada 
fluido, determine a força necessária para puxar a 
placa com velocidade constante de 2 m/s. 
Resp: 3085 N 
 
Exemplo 8 – Deixa-se cair um cilindro móvel (de altura = 50 
mm, peso = 0,25 lbf e diâmetros interno e externo iguais a 11 
mm e 49 mm) entre dois outros cilindros lubrificados com 
óleo SAE 10W30 (µ = 0,29 kg/m.s), conforme mostrado na 
figura. Sabendo que o diâmetro externo do cilindro interno é 9 
mm e o diâmetro interno do cilindro externo é igual a 52 mm, 
determine a velocidade com que o cilindro móvel se deslocará 
entre os outros dois cilindros. Resp: 0,559 m/s 
 
 
Estática dos Fluidos 
 
A pressão em um ponto dentro de um fluido em repouso pode ser entendida como o 
peso da coluna de fluido acima daquele ponto por unidade de área. 
 
Teorema de Stevin 
“A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em 
repouso é igual ao produto entre o peso específico do fluido e a 
diferença de altura dos dois pontos.” 
 
9� � ��– �; �	<=>?�áA=B 3
<=>?;
áA=B �
C�� 3C;�
D 
 
 � �E��FG��HI� �
��E�JFG�JHI
� � ��EK� 3 K;I	 � 	LM � 	NO∆Q 
 
- o que interessa é a diferença de altura e o peso específico 
- formato do recipiente não é importante 
 
 
Lei de Pascal 
“A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a 
todos os pontos do fluido.” 
 
P1 = 20 Pa P1’ = 120 Pa 
P2 = 30 Pa P2’ = 130 Pa 
P3 = 40 Pa P3’ = 140 Pa 
P4 = 50 Pa P4’ = 150 Pa 
 
 
 
Aplicação: 
Prensa hidráulica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga de pressão: 
É uma forma de se representar a pressão em um determinado ponto de um fluido. 
Por exemplo, na figura abaixo, ao se abrir um furo e conectar nele um outro cano, o 
líquido que escoa pode subir até uma certa altura. O fluido no cano vertical possui um 
peso e exerce uma pressão no cano horizontal. A pressão no cano horizontal será igual à 
pressão exercida pela força peso da 
coluna de vertical de líquido. 
Dizemos então que o cano horizontal 
possui uma carga de pressão de h 
metros. Podemos medir essa pressão 
em Pa, metros de coluna d’água 
(m.c.a.) ou outras unidades 
 
 
Pressão atmosférica, manométrica e absoluta 
 
 
Barômetro de mercúrio (Torricelli) 
 
Patm = peso de coluna de ar dividida pela área 
 
Pabs = Patm + Pman (Pef = Pman) 
 
(Cálculo da massa de ar dentro da sala) 
 
Manômetro – É o instrumento utilizado para medir pressões manométricas. Se a pressão 
absoluta (total) for maior que a pressão atmosférica, a pressão manométrica será 
positiva. Se a pressão absoluta (total) for menor que a pressão atmosférica, a pressão 
manométrica será negativa. 
 
Exemplo 9 – Na figura, as distâncias são dadas em 
cm. Determine a pressão absoluta no ponto A e a 
pressão manométrica no ponto B. Dados: ρoleo = 
891 kg/m³, ρgli = 1260 kg/m³ e ρHg = 13600 kg/m³. 
 
 
 
 
 
Exemplo 10 – O manômetro A lê 
uma pressão de 1,5 kPa. Determine 
as alturas hB e hC dos fluidos nos 
tubos abertos para a atmosfera. 
Despreze o peso do ar. 
 
 
 
Exemplo 11 – O tanque mostrado na figura está aberto 
para a atmosfera. Se a pressão absoluta no fundo do 
tanque é 260 kPa, determine a massa específica do 
fluido X. O óleo é SAE 50W (ρ = 902 kg/m³). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12 – Na figura, um líquido 
manométrico tem densidade relativa 0,90 
e em A e B existe água. Sendo h1 = 0,40 
m, h2 = 0,30 m e h3 = 0,80 m, determine 
a diferença de pressão entre A e B. 
 
 
 
 
Exemplo 13 – Determine a diferença de pressão entre os pontos A e B se h1 = 20 cm, h2 
= 8 cm, h3 = 40 cm, h4 = 9 cm, h5 = 14 cm, SGbenzeno = 0,88 e SGquerosene = 0,804. 
 
Exemplo 14 – Determine a leitura do manômetro A da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 15 – No ponto P indicado na figura, é colocado um corpo cilíndrico de massa m. 
O diâmetro do tubo manométrico é d = 0,15 m. Sabendo que os pontos A e B estão abertos 
para a atmosfera, calcule: a) a massa m, b) a pressão lida pelo manômetro M e c) a altura h. 
Despreze o atrito entreo corpo e o tubo. ρo = 891 kg/m³ 
 
 
Empuxo 
 
Empuxo é uma força que um objeto submerso sofre de um fluido devido à diferença de 
pressão que o fluido exerce na superfície do objeto em diferentes alturas. Essa força 
aponta sempre para cima e é igual ao peso do fluido deslocado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fr = F2 – F1 = P2.A – P1.A = A.(P2 – P1) = A.(ρgh2 – ρgh1) = Aρg (h2 – h1) = Aρgh 
 
Fr � E = ρ.g.Vsubmerso 
 
É importante ressaltar que para calcularmos o empuxo devemos sempre analisar o 
volume deslocado do fluido. Se um corpo está totalmente submerso, o cálculo do 
empuxo que ele sofre utilizará o volume total do corpo. Mas se ele está parcialmente 
submerso, o cálculo do empuxo utilizará apenas a parcela submersa do volume do 
corpo. 
Vale a pena ressaltar também que quem exerce a força de empuxo é o líquido. 
 
 
Na figura, três objetos de forma 
igual, mas de materiais diferentes 
(cortiça, chumbo e alumínio) estão 
submersos. Os pesos deles são 
diferentes, mas os empuxos são 
iguais, já que o empuxo depende 
apenas da massa específica do 
fluido e do volume submerso. 
 
Essa outra figura mostra que uma 
porção de 1 m³ de água sofre o 
mesmo empuxo que uma porção de 
1 m³ de chumbo. Entretanto, os 
pesos são diferentes, fazendo com 
que o chumbo afunde na água. 
 
 
Quando um objeto sólido de 25 g é colocado totalmente imerso em um fluido podem 
acontecer três coisas diferentes: 
1) Se sua massa específica for menor que a da água, ele ocupará um volume maior 
que 25 g de água e sofrerá um empuxo maior que seu peso. A força resultante que 
atuará nele será para cima e ele subirá até que apenas uma fração de seu volume 
fique dentro da água, reduzindo seu empuxo até que ele fique igual ao seu peso. Ele 
então flutuará. 
2) Se sua massa específica for igual à da água, o empuxo será igual ao peso e o objeto 
permanecerá em repouso. 
3) Se sua massa específica for maior que a da água, ele ocupará um volume menor 
que 25 g de água e sofrerá um empuxo menor que seu peso. A força resultante que 
atuará nele será para baixo e ele afundará até tocar o chão. Nesse momento aparece 
uma força de contato (força normal) que apontará para cima, de forma que a força 
resultante será igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vale lembrar que uma balança não mede o peso, mas sim a reação à força normal. 
 
Exemplo 16 – Um bloco de madeira flutua, mantendo dois terços de seu 
volume embaixo d’água. Quando flutua no óleo, 90% de seu volume 
ficam submersos. Calcule a massa específica da madeira e do óleo. 
 
Exemplo 17 – Um bloco cúbico de gelo (SG = 0,92) flutua em água do 
mar (SG = 1,025), mantendo 10 cm para fora da água, como mostrado na 
figura. Determine a altura submersa na água do mar. 
 
Exemplo 18 – Um bloco cúbico de gelo (SG = 0,92) de lado L = 0,5 m flutua na água 
de uma banheira na iminência de transbordar. Quando o gelo derreter, qual será o 
volume de água que derramará? 
 
Exemplo 19 – Para executar as fundações de uma ponte, uma caixa de concreto armado 
de 12 m de comprimento (perpendicular à folha), 5 m de largura, 10 m de altura e 
400.000 kg de massa é lançada à água do rio, cuja profundidade é 8 m. Determine o 
peso mínimo do lastro a ser adicionado para que a caixa chegue ao fundo do rio. 
 
Exemplo 20 – O volume e a densidade de um corpo de forma irregular devem ser 
determinados usando-se uma balança. O corpo pesa 7,2 kN no ar e 4,79 kN na água. 
Determine o volume e a densidade absoluta do corpo. Despreze o empuxo no ar. 
 
Exemplo 21 – Um bloco cúbico uniforme de aresta a e densidade absoluta ρA = 900 
kg/m³ flutua em uma interface de dois fluidos B e C, com densidades absolutas ρB 
desconhecida e ρC = 1000 kg/m³, como mostrado na figura. Se hB = 2 hC, determine a 
densidade absoluta do fluido B. 
 
 
 
Exemplo 22 – Um recipiente com água está sobre uma balança que mede 20 N. Coloca-
se uma esfera de chumbo (V = 2x10–5 m³, ρ = 11300 kg/m³) suspensa por um fio sem 
tocar o fundo do recipiente. Qual o novo valor da leitura da balança? 
 
Exemplo 23 – Um densímetro é composto por uma caixa cúbica de aresta externa a = 
0,8 m e espessura de parede t = 0,03 m, com massa m igual a 11 kg. Esta caixa é 
preenchida com o fluido cuja massa específica se deseja medir e mergulhada em água. 
Medindo-se a profundidade que a caixa afunda, pode-se determinar a massa específica 
do fluido. Se, para um determinado fluido, a caixa fica 50% submersa, calcule a massa 
específica do fluido. 
 
Dinâmica dos Fluidos 
 
Nessa disciplina vamos estudas apenas situações de regime permanente, ou seja, 
situações onde as propriedades do fluido em todos os pontos não variam com o passar 
do tempo. Essas propriedades podem ser diferentes de um lugar para outro, mas não 
variam com o passar do tempo. 
 
Existem dois tipos de escoamento: laminar e turbulento. 
“Escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam em lâminas 
individualizadas, sem troca de massa entre elas. Escoamento turbulento é aquele em 
que as partículas apresentam movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade 
apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto do fluido.” 
 
O escoamento laminar é mais raro e pode ocorrer quando o fluido é muito viscoso ou a 
velocidade de escoamento é pequena, como por exemplo, num filete de água de uma 
torneira pouco aberta. O tipo de escoamento é determinado através do número de 
Reynolds Re: 
R= � ��S* , onde . é a velocidade do escoamento e D é o diâmetro da tubulação. 
 
 Re < 2000 Escoamento laminar 
2000 < Re < 2400 Escoamento de transição 
 Re > 2400 Escoamento turbulento 
 
A vazão (ou vazão em volume) de um escoamento é definida como o volume V de 
fluido que atravessa uma seção do escoamento por unidade de tempo: 
T � UV 
Exemplo: Qual a vazão necessária para encher uma caixa d’água de 1000 litros em 1 
hora? Resp: Q = 1 m³/3600 s = 0,2778x10–4 m³/s. 
 
Podemos reescrever a equação da vazão em função da velocidade: 
 
	T � �W �
��
W � .D 
 
 
 
Se a velocidade não é uniforme na seção, temos 
que usar na equação acima a velocidade média: 
.� � (�X.	YD 
 
A vazão mássica (ou vazão em massa) é definida de forma análoga á vazão em volume: 
T� �	CV 
 
Podemos usar o mesmo raciocínio para relacioná-la com a velocidade: 
T� �	CV �
�U
V �
�>D
V � �.D 
Então, a relação entre vazão e vazão mássica é T� 	� 	T� 
 
Volume de controle é um volume escolhido para estudarmos 
um escoamento. Durante esse escoamento, o fluido entra e sai 
desse volume de controle. Um exemplo de volume de controle é 
escolher uma região de um tubo onde passa um fluido. 
 
Como o volume de controle tem um valor constante com o tempo, e o regime que 
estamos estudando é permanente (propriedades como a massa específica são 
constantes), então a massa dentro desse volume de controle também é constante com o 
tempo. Para que a massa não varie, se entra uma quantidade de massa a cada segundo, a 
mesma quantidade de massa tem que sair a cada segundo. A vazão mássica de entrada é 
igual à vazão mássica de saída. 
 
T�( � T�5 � �(D(.( � �5D5.5 
 
como as massas específicas são iguais, 
 
Esta equação acima é conhecida como equação da continuidade e pode ser facilmente 
observada na prática quando olhamos para uma torneira pouco aberta ou quando 
utilizamos uma mangueira para molhar um jardim. 
 
Exemplo 24 – Verificou-se que a velocidade de escoamento econômica para uma 
extensa tubulação é de 1,05 m.s-1. A vazão fornecida pela bomba é de 450 m3.h-1. 
Determine o diâmetro da tubulação para que ela atenda à velocidade econômica. 
 
Conservação da massa: 
 
 
 
Equação de Bernoulli 
 
Hipóteses simplificadoras: 
a) regime permanente 
b) sem máquinas (bombas ou turbinas) no trecho de estudo 
c) sem perdas por atrito no escoamento (fluido ideal) 
d) fluido incompressível 
e) sem trocas de calor 
 
Energia de pressão: dW = F.ds = p.A.ds = pdV � Epr = X <YU 
 
Energia total de um fluido: E = Ep + Ec + Epr 
 
Pelas hipóteses, aenergia do fluido durante o escoamento é 
constante. Então podemos dizer que: 
 
E1 = E2 � Ep1 + Ec1 + Epr1 = Ep2 + Ec2 + Epr2 . 
D(.( � D5.5 
 
C(�Z( [C(.(
5
2 [ <(U( � C5�Z5 [
C5.55
2 [ <5U5 
 
Como o regime é permanente, m1 = m2. Na prática, medir as energias nem sempre é 
uma tarefa muito fácil. Por isso utilizamos uma “grandeza” chamada carga, que é 
definida como a razão entre energia e peso (E/mg). Dividindo todas as parcelas por mg, 
obtemos: 
Z( [ .(
5
2� [
<(
�(� �	Z5 [
.55
2� [
<5
�5� 											→ 									Z( [
.(5
2� [
<(
�( �	Z5 [
.55
2� [
<5
�5 
 
Como o fluido é incompressível, ρ1 = ρ2 e então γ1 = γ2. Assim, 
 
Z( [ .(
5
2� [
<(
� � 	 Z5 [
.55
2� [
<5
� 
 
Podemos chamar as parcelas de carga potencial, carga cinética e carga de pressão. 
Quando o fluido não é ideal (hipótese c), devemos adicionar à equação de Bernoulli um 
termo à direita da igualdade chamado de perda de carga Hp. 
 
 
Exemplo 25 – A água escoa suavemente 
pela tubulação da figura, descendo no 
processo. Ordene em ordem decrescente 
as quatro seções numeradas da 
tubulação de acordo com a a) vazão; b) 
velocidade e c) pressão do fluido. 
 
 
 
Exemplo 26 – Água escoa em regime permanente no tubo de Venturi da figura (da 
esquerda). A área 1 é 20 cm² e a área 2 é 10 cm². Um manômetro utilizando mercúrio 
(SG = 13,6) como fluido manométrico é ligado entre as seções 1 e 2 e indica um 
desnível de 10 cm. Determine a vazão da água. 
 
 
 
 
Exemplo 27 – Um tubo de Pitot (figura acima, da direita) é preso num barco que se 
desloca a 45 km/h. Qual será a altura h alcançada pela água no ramo vertical? 
 
Exemplo 28 – Na figura, água escoa para a direita. Considerando H1 = 23 m; p1 = 40 
kPa; γa = 10
4 N/m³; γman = 136.000 N/m³; D1 = D3 = 12 cm, Z1 = 18 m, Z3 = 19 m, 
yman.dir = 0,50 m, determine: a) a vazão; b) a altura h1 no manômetro da esquerda; c) o 
diâmetro da seção 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 29 – Na figura, o tubo ABC (sifão) transporta água do 
ponto A para o ponto C em regime permanente. As distâncias 
são h1 = 25 cm, d = 12 cm e h2 = 40 cm. a) Com que velocidade 
a água sai no ponto C? b) Qual é a pressão da água no ponto B? 
c) Teoricamente, qual o máximo valor de h1 para que esse sifão 
seja capaz de transportar a água de A até C? 
 
 
 
 
 
Exemplo 30 – A 
densidade do fluido 
manométrico utilizado no dispositivo 
mostrado na figura abaixo é igual a 1,07. 
Determine a vazão da água Q, no dispositivo. 
 
 
Bibliografia 
1. BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. 2.ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2008. 
2. INCROPERA, F.P.; DeWitt, D.P. Fundamentos de Transferência de Calor e de 
Massa. 5. ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2002. 
3. FOX, R.W.; Mc DONALD, A.T.; PRITCHARD P. J. Introdução à mecânica dos 
fluidos. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 798 p. 
4. HALLIDAY, D; RESNICK, R; WALKER, J. Fundamentos de física, volume 2: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. v.2 
5. ÇENGEL, Yunus A. Transferência de Calor e Massa: Uma Abordagem Prática, 3ª 
Edição. São Paulo, SP: McGraw-Hill Interamericana do Brasil Ltda., 2009.