TEORIA DO FLUXO DE CARGA_versao 2019

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Disciplina: Tópicos em Sistemas de Energia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Dr. Gelson Antônio Andrêa Brigatto
TEORIA DO PROBLEMA 
DO FLUXO DE CARGA 
MATERIAL DIDÁTICO 
VERSÃO 2019 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS 
ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA, 
MECÂNICA E DE COMPUTAÇÃO 
 
II 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1) Monticelli, A., Fluxo de Carga em Redes de Energia Elétrica, Editora Edgar Blücher, 1983. 
2) Broadwater, R. P., A. Chandrasekaram, C. T. Huddleston, and A. H. Khan, Power Flow Analysis of 
Unabalanced Multiphase Radial Distribution Systems, Electric Power System Research, Vol. 14, 1988. 
3) Shirmohammadi, D., A Compensation Based Power Flow Method for Weakly Meshed Distribution and 
Transmission Networks, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 3, No. 2, pp. 753-762, May, 1988. 
4) Teng, J. H., A direct approach for distribution system load flow solutions, IEEE Transactions on Power 
Delivery, Vol. 18, p. 882-887, 2003. 
5) Cespedes G., R., New Method for the Analysis of Distribution Networks, IEEE Transactions on Power 
Delivery, Vol. 5, No. 1, pp. 391-396, January, 1990. 
 
ÍNDICE 
1) INTRODUÇÃO ........................................................................................................................................................... 1 
2) ASPECTOS E DEFINIÇÕES INICIAIS .................................................................................................................... 1 
2.1) Elementos de Rede .............................................................................................................................................. 1 
2.2) Convenções de Sinais de Correntes e Potências .................................................................................................. 1 
2.3) Representação Por Unidade ................................................................................................................................. 2 
3) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE BARRA ....................................................................................................... 2 
3.1) Componentes de Geração e Carga ....................................................................................................................... 2 
3.2) Componentes em Derviação Shunt ...................................................................................................................... 3 
4) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE RAMOS ....................................................................................................... 4 
4.1) Elemento Série ..................................................................................................................................................... 4 
4.2) Linhas de Transmissão ........................................................................................................................................ 4 
4.3) Transformadores .................................................................................................................................................. 5 
4.3.1) Representação Geral de Transformadores ................................................................................................... 5 
4.3.2) Transformador em Fase ............................................................................................................................... 5 
4.3.3) Transformador Defasador Puro .................................................................................................................... 6 
4.3.4) Transformador Defasador ............................................................................................................................ 7 
4.4) Equações Gerais de Correntes de Ramos ............................................................................................................ 8 
4.5) Formulações Gerais de Fluxos de Potência ......................................................................................................... 8 
4.6) Equações Gerais de Perdas de Ramos ................................................................................................................. 9 
5) MODELO BÁSICO DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA........................................................................... 10 
5.1) Equação Nodal de Rede ..................................................................................................................................... 10 
5.2) Formulação Não-Linear do PFC ........................................................................................................................ 12 
5.3) Definições Básicas ............................................................................................................................................. 13 
5.4) Modelagem do Problema do Fluxo de Carga .................................................................................................... 13 
5.4.1) Formulação do Subsistema 1 ..................................................................................................................... 14 
5.4.2) Formulação do Subsistema 2 ..................................................................................................................... 15 
6) MÉTODOS DE CÁLCULO DO SUBSISTEMA 1 .................................................................................................. 15 
6.1) Teoria Geral do Método de Newton-Raphson ................................................................................................... 15 
6.2) Método de Newton-Raphson ............................................................................................................................. 17 
6.3) Método de Newton Desacoplado ....................................................................................................................... 20 
6.4) Métodos Desacoplados Rápidos ........................................................................................................................ 21 
6.5) Método do Fluxo de Carga Linearizado ou CC ................................................................................................. 24 
7) PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA PARA REDES DE DISTRIBUIÇÃO ...................................................... 26 
7.1) Métodos de Cálculo do Subsistema 1 ................................................................................................................ 26 
7.1.1) Método da Soma das Correntes ................................................................................................................. 27 
7.1.2) Método da Soma das Potências .................................................................................................................. 28 
7.1.3) Método de Teng ......................................................................................................................................... 32 
7.2) Formulação do Subsistema 2 ............................................................................................................................. 35 
ANEXO A: Representação Por Unidade em Redes Elétricas ........................................................................................ 36 
ANEXO B: Modelo de Carga ZIP e Adequações .......................................................................................................... 40 
ANEXO C: Efeito Controle do Transformador Defasador ............................................................................................ 42 
ANEXO D: Adequações do MSP ................................................................................................................................... 44 
ANEXO E: Complementos da Teoria do Fluxo de Carga .............................................................................................. 45 
APÊNDICE A: Exemplos de Cálculo - Newton e Desacoplado ................................................................................... 56 
APÊNDICE B: Exemplos de Cálculo - MSP e Teng ....................................................................................................75 
 
 
1 
1) INTRODUÇÃO 
 
 O denominado problema do fluxo de carga (PFC) consiste essencialmente em determinar as condições de 
operação de um sistema elétrico de potência (SEP) em regime permanente, em que, dada a topologia do sistema 
e uma certa condição de geração e consumo de potência (carga), sua solução reside em determinar o estado das 
tensões de barra (módulo e ângulo de fase), bem como demais variáveis da rede não conhecidas previamente, 
tais como certas potências geradas e as transmitidas e dissipadas (perdas). Logo, o cálculo do PFC configura-se 
em um dos mais freqüentes dentre os realizados para redes elétrica, pois é inserido em temas mais amplos como 
problemas de otimização, cálculos de curto-circuito e análises de contingências, controle e estabilidade de rede. 
 O chamado modelo convencional do problema do fluxo de carga é baseado em um conjunto de equações 
algébricas não-lineares, que constituem o modelo estático da rede, e sua solução é determinada utilizando-se 
métodos desenvolvidos especificamente para a resolução deste conjunto de equações e suas incógnitas. 
 
 
2) ASPECTOS E DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
 Para a modelagem do PFC, assume-se um comportamento estático para o sistema elétrico em estudo, tal 
que variações de carga no tempo são suficientemente lentas para que se possa ignorar seus efeitos transitórios, e 
admite-se que a rede elétrica opera de forma equilibrada em suas três fases, tal que uma representação unifilar 
(monofásica) da rede é suficiente. Para tanto, é conveniente inicialmente definir alguns aspectos de análise. 
 
2.1) ELEMENTOS DE REDE 
 
 Sistemas elétricos de potência são constituídos por componentes denominados elementos de rede, que 
são normalmente classificados em dois grupos dependendo de sua localização no sistema (Figura 2.1): 
 Elementos de barra: componentes conectados em derivação ao nó de referência de tensão da rede elétrica 
(normalmente o terra), constituindo-se basicamente nos geradores e cargas (consumo) da rede, considerados 
como partes externas do sistema e modelados como injeções de potência de barras, bem como componentes 
capacitivos ou indutivos denominados elementos shunt, considerados como parte interna do sistema. 
 Elementos de ramos: componentes conectados entre duas barras do sistema, constituindo-se basicamente 
nas linhas de transmissão e transformadores da rede elétrica, sendo também considerados como parte interna 
do sistema e modelados via parâmetros concentrados. Estes componentes de rede, juntamente com as barras e 
os componentes shunts de barra, constituem-se na topologia do sistema elétrico em estudo (Figura 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2) CONVENÇÕES DE SINAIS DE CORRENTES E POTÊNCIAS 
 
 Para a modelagem de sistemas elétricos, é conveniente preliminarmente definir as convenções de sinais a 
serem adotadas para correntes e potências, mostradas no esquema de rede da Figura 2.2, em que injeções de 
corrente ˆ( )kI e de potência 
ˆ( )kS em uma barra genérica k são convencionadas como sendo positivas entrando 
na barra, e fluxos de corrente ˆ( )kmI e potência 
ˆ( )kmS em um ramo qualquer k-m são convencionados positivos 
como saindo da barra. Logo, se o valor numérico da parte real e/ou imaginária de uma corrente ou potência for 
positivo, tem-se que o sentido é o mesmo da convenção adotada e, caso seja negativo, o sentido é o contrário. 
 
 
 
 
 
 Figura 2.2: Barra genérica k e ramo qualquer k-m para a definição das convenções de corrente e potência. 
m k 
ˆˆ ,k kI S 
ˆˆ ,km kmI S 
Figura 2.1: Componentes gerais de sistemas elétricos de potência. 
TR 
barra 
ou nó nó 
terra 
LT 
TR 
parte interna do sistema elétrico (topologia da rede) 
L C 
carga G 
 
2 
2.3) REPRESENTAÇÃO POR UNIDADE 
 
 A presença de transformadores em um sistema elétrico causa uma maior complexidade na solução do 
PFC da rede, no sentido de que é necessário refletir os valores de impedâncias do primário para o secundário, e 
vice-versa. Neste caso, uma normalização é normalmente aplicada às grandezas fundamentais de redes elétricas 
(tensão, corrente, potência e impedância), chamada representação por unidade (pu), que permite às impedâncias 
referidas no primário ou no secundário do transformador terem o mesmo valor, o que possibilita a exclusão do 
tranformador da rede e a montagem da chamada matriz admitância nodal, base da modelagem do PFC. 
 A respresentação por unidade de sistemas elétricos consiste em fixar adequadamente valores de base para 
duas das grandezas fundamentais, normalmente uma potência aparente definida para todo o sistema, e tensões 
de base definidas para cada partição de tensão da rede determinada pelos transformadores. Neste caso, visto que 
os elementos de qualquer sistema trifásico podem ser representados por seu modelo Y equivalente e o diagrama 
unifilar da rede trifásica corresponde, como mencionado, à uma única fase, tem-se que a potência aparente de 
base Sbase é normalmente definida como a soma das potências aparentes de base 
fase
baseS de cada fase, tal que: 
3 fasebase baseS S , e a tensão de base Vbase é definida como a tensão de linha da rede, tal que 3
fase
base baseV V . Logo, 
como no modelo Y as correntes de linha e de fase são iguais, tem-se que a corrente de base baseI é dada por: 
3 3
3 3 3
fase
fase fase base base base
base base base base basefase
basebase base
S S S
S I V I I
VV V
      (2.1) 
tal que a impedância de base Zbase por fase da rede elétrica trifásica em estudo será determinada por: 
23
3
fase
fase base base base base
base base base base base
base base base
V V V V
V Z I Z Z
I S S
      (2.2) 
 Assim, as variáveis de rede podem ser representadas em pu como fração dessas grandezas, tal que: 
ˆ
ˆ pu
base base base
E V V
E
V V V

   (2.3) 
ˆ
ˆ pu
base base base
II I
I
I I I

   (2.4) 
ˆ
ˆ pu
base base base
S P Q
S j
S S S
   (2.5) 
e as impedâncias que descrevem a topologia da rede serão então representadas em pu por: 
ˆ
ˆ pu
base base base base
z r j x r x
z j
Z Z Z Z

    (2.6) 
 Uma estudo mais detalhado da representação pu é abordado no Anexo A a este material didático. 
 
 
3) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE BARRA 
 
 Por serem considerados como parte externa do sistema, componentes de geração e carga são geralmente 
representados apenas por suas contribuições líquidas de potência à rede, onde a modelagem básica do PFC da 
rede considera as cargas como potências constantes, e os componentes shunts de barra, sendo parte interna do 
sistema, são comumente modelados por sua admitância. Se necessário representar a dependência da carga com 
relação à tensão de barra, pode-se empregar o chamado modelo ZIP para maior abrangência, visto no Anexo B. 
 
3.1) COMPONENTES DE GERAÇÃO E CARGA 
 
 A Figura 3.1 mostra o esquema de uma barra genérica k de rede, em que um elemento gerador injeta uma 
potência constante ˆG G Gk k kS P j Q  na barra (fornecimento de energia à rede) e um elemento de carga absorve 
uma potência constante ˆC C Ck k kS P j Q  da barra (consumo de energia da rede). Baseado na convenção de sinais, 
tem-se que geração e carga são modeladas pela injeção líquida (geração  carga) ˆk k kS P j Q  , definida por: 
   ˆ ˆ ˆG C G C G Ck k k k k k k k kS P j Q S S P P j Q Q        (3.1) 
onde as partes real e imaginária da injeção líquida de potência aparente são, respectivamente, definidas por: 
 G Ck k kP P P  : injeção líquida de potência ativa de barra, onde um valor numérico positivo é associado a uma 
predominância de geração de potência ativa injetada na barra, e negativo a uma predominância de carga ativa. 
 
3 
 G Ck k kQ Q Q  : injeção líquida de potência reativa de barra, onde um valor positivo denota uma predomi- 
nância de potência reativa fornecida à barra, e negativo a uma predominância de consumo de reativo da rede. 
 Com base na Figura 3.1-a, tem-se então que a injeção líquida de potência ˆkS pode ser determinadapor: 
ˆ ˆ ˆ
k k kS E I
 (3.2) 
tal que a injeção líquida de corrente complexa ˆkI em uma barra genérica k pode ser determinada por: 
 
 
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
k kk k k k
k
k kk k
k k
P jQS S P j Q
I
VE E V 
 

   
       
 (3.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2) COMPONENTES EM DERVIAÇÃO SHUNT 
 
 A Figura 3.2 mostra o esquema de uma barra genérica k com um componente shunt conectado à barra. 
Estes elementos de rede constituem-se de bancos de capacitores ou de reatores que desempenham a função de 
regulação de tensão na barra em que estão localizados, tal que funcionam como cargas para a rede elétrica e são 
normalmente modelados por uma admitância shunt de barra shkjb (Figura 3.2), onde 
sh
kb é a susceptância shunt. 
 Para a corrente shunt ˆshkI adotada entrando na barra k segundo a convenção adotada (Figura 3.2), tem-se: 
 ˆ ˆ ˆ ˆ0sh sh sh shk k k k k kI E jb I E jb     (3.4) 
 Com base na Figura 3.2, tem-se que a injeção de potência ˆ shkS na barra k pelo elemento shunt é dada por: 
      2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsh sh sh sh sh sh shk k k k k k k k k k k k k k k k kS E I E E jb E E jb V V jb S jV b 
           
 Definindo-se shkQ como a potência reativa nominal do componente shunt
 da barra k e considerando-se Vk 
como a tensão nominal da barra k, conclui-se então que: 2ˆ sh sh shk k k kS j Q jV b  , tal que: 
2
2
sh
sh sh sh k
k k k k
k
Q
Q V b b
V
   (3.5) 
 Para a compreensão do efeito que componentes shunt causam em redes elétricas, seja shkjx a impedância 
shunt na barra k, onde shkx é a reatância shunt, tal que a susceptância shunt 
sh
kb na barra k pode ser determinada 
por: 1/ / 1/sh sh sh sh shk k k k kjb jx j x b x       . Assim, de acordo com o tipo de componente shunt, tem-se: 
 Para um banco de reatores (carga indutiva) como elemento shunt, tem-se que 0shkx  e, desse modo, 0
sh
kb  
e 0shkQ  , ou seja, a potência reativa 
sh
kQ está saindo da barra k, o que implica em consumo de reativo da rede. 
Assim, como um consumo de reativo representa carga para o sistema, pode-se entender então que a presença 
de componentes shunts indutivos tendem a diminuir o módulo da tensão de barra na qual estão conectados. 
 Para um banco de capacitores como shunt, tem-se que 0shkx  e, desse modo, 0
sh
kb  e 0
sh
kQ  , ou seja, a 
potência reativa shkQ está entrando na barra k, o que implica em fornecimento de potência reativa ao sistema. 
Neste caso, como um fornecimento de reativo representa uma geração para a rede, pode-se entender então que 
a presença de shunts capacitivos tendem a aumentar o módulo da tensão da barra na qual estão conectados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Esquema para definição do modelo de elementos shunt de barra. 
ˆˆ ,sh shk kI S 
sh
kj b 
k 
0 V 
ˆ
k k kE V  
Figura 3.1: Esquema para definição do modelo de geração e carga. 
k 
ˆ ˆ,k kS I 
ˆC
kS ˆ
G
kS G ˆk k kE V  
 
4 
4) MODELAGEM DE ELEMENTOS DE RAMOS 
 
 Linhas de transmissão e transformadores são componentes de rede situados entre dois nós quaisquer de 
uma sistema elétrico, chamados ramos, e representam cargas para a rede ao estabelecer uma impedância como 
elemento série entre as barras, bem como efeitos capacitivos e/ou indutivos dependendo do tipo do elemento. 
 
4.1) ELEMENTO SÉRIE 
 
 Seja a representação geral de um ramo genérico k-m dado na Figura 4.1, em que o chamado elemento 
série de ramo constitui-se de uma impedância ˆkmz tal que, definindo-se kmr como a resistência série e kmx como 
a reatância série de ramo, tem-se que a impedância série ˆkmz de um ramo genérico k-m é então expressa por: 
ˆkm km kmz r j x  (4.1) 
 Na formulação de equações de injeções e fluxos de potência, pode ser conveniente o equacionamento em 
termos de admitâncias ao invés de impedâncias. Neste caso, definindo-se kmg como a condutância série e kmb 
como a susceptância série de um ramo k-m, tem-se que a admintância série ˆkmy do ramo k-m é definida por: 
ˆ
km km kmy g j b  (4.2) 
onde a admintância série ˆkmy pode ser determinada com base na impedância série ˆkmz , tal que: 
2 2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ
ˆ
km km km km
km km km km
km km km km km km km km km km km
r j x r x
y y g j b j
z r j x r j x r j x r x r x

 
       
    
 
 Desse modo, separando-se a parte real e imaginária do resultado acima, tem-se então que a condutância 
série kmg e a susceptância série kmb de um ramo qualquer k-m são determinadas, respectivamente, por: 
2 2
km
km
km km
r
g
r x


 (4.3) 
2 2
km
km
km km
x
b
r x
 

 (4.4) 
 
 
 
 
 
 
 
4.2) LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 Linhas de transmissão são elementos de ramos de redes elétricas caracterizadas pelos efeitos resistivos e 
indutivos de seus cabos, bem como por efeitos capacitivos entre os cabos e a terra. Estes parâmetros das linhas 
estão presentes ao longo do trajeto entre os pontos de conexão, porém podem ser representados via parâmetros 
concentrados com o chamado modelo  equivalente, em que seus efeitos resistivos e indutivos são modelados 
por um elemento série ˆkmy , e seus efeitos capacitivos modelados por uma admitância shunt 
sh
kmj b conectada em 
cada barra terminal do ramo, onde a suceptância shunt shkmb corresponde à metade da suceptância shunt total 
,sh T
kmb da linha, tal que: 
, / 2sh sh Tkm kmb b . A Figura 4.2-a mostra a representação geral de linhas de transmissão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A Figura 4.2-b mostra um ramo qualquer k-m com um esquema de tensões de barra e correntes de ramos 
e shunts no modelo  equivalente de linhas de transmissão. Com base neste esquema e aplicando-se a lei de 
Kirchoff das correntes no nó p, tem-se que a corrente ˆkmI de ramo no sentido k para m será determinada por: 
Figura 4.2: Linhas de transmissão: (a) modelo  equivalente; (b) esquema para definição de correntes. 
m k 
sh
kmj b 
sh
kmj b
ˆ
kmy
(a) (b) 
m k 
sh
kmj b
sh
kmj b
ˆ
kmy
ˆ
kmI 
ˆ
kE
ˆ
mE
ˆ
mkI 
ˆsh
kmI
ˆsh
mkI ˆserie
kmI
p q 
Figura 4.1: Elemento série de um ramo genérico k-m. 
ˆˆ ( )km kmz y 
m k 
 
5 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆserie sh sh shkm km km k m km k km k km m km k kmI I I E E y E jb E y E y E jb        
 ˆ ˆ ˆˆ ˆshkm km km k km mI jb y E y E   (4.5) 
 Analogamente, com base na Figura 4.2-b observa-se que, aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes no 
nó q, tem-se que a corrente ˆmkI do modelo  equivalente no sentido m para k será então determinada por: 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆserie sh sh serie sh shmk km mk mk m km m km k m km m km k km m kmI I I I I I E jb E E y E jb E y E y           
 ˆ ˆ ˆˆ ˆshmk km k km km mI y E jb y E    (4.6) 
 No caso de linhas de distribuição de energia elétrica, como estas caracterizam-se por apresentar menores 
comprimentos e níveis de tensão nominais, tem-se que os efeitos capacitivos dos cabos são reduzidos e podem 
quase sempre ser desprezados, tal que o modelo equivalente de linhas se resume à admintância série ˆkmy . 
 
4.3) TRANSFORMADORES 
 
 Transformadores são empregados em sistemas elétricos de potência para melhorar a eficiência da rede ao 
propiciar uma melhor adequação de níveis de tensão com os requisistos de montantes de potência transmitida. 
Além disso, estes componentes de rede podem propiciar funcionalidades adicionais ao sistema elétrico, tal que 
estas aplicações classificam os transformadores nos tipos em fase, defasador puro e defasador, vistos a seguir. 
 
4.3.1) REPRESENTAÇÃO GERAL DE TRANSFORMADORES 
 
 A Figura 4.3 mostra a representação geral de transformadores de potência em um ramo genérico k-m, 
constituída por um auto-transformador ideal de relação de transformação 1: t, e um elemento série ˆkmy referente 
à chamada admitância de curto-circuito do transformador, que normalmente caracteriza-se por ser praticamente 
indutiva, visto que a resistência dos enrolamentosde transformadores são usualmente bem inferiores à chamada 
reatância de dispersão. O termo t modela os efeitos de ajuste na tensão da barra terminal m ou de controle do 
fluxo de potência ativa no ramo k-m do transformador, tal que, em sua definição mais geral, é expressa por um 
número complexo km kmt a  , onde akm reside no valor do tap do auto-transformador e o ângulo km refere-se 
à inserção de um ângulo de defasagem entre as tensões primária e secundária do auto-transformador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.2) TRANSFORMADOR EM FASE 
 
 A Figura 4.4 mostra um ramo genérico k-m com o modelo do chamado transformador em fase, em que 
km = 0 tal que: t = akm . O valor do tap akm do auto-transformador ideal é um número real próximo de 1 que 
representa situações de ajuste da tensão no secundário do transformador fora de sua especificação nominal, tal 
que a tensão em um ponto intermediário p é regulada no valor ˆ ˆp km kE a E . Com base no esquema de tensões 
de barra e correntes de ramos da Figura 4.4, tem-se que a corrente ˆmkI no sentido m para k do ramo é dada por: 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆmk m p km m km k kmI E E y E a E y    
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
mk km km k km mI a y E y E   (4.7) 
 Sendo o auto-transformador ideal, tem-se que suas perdas devem ser nulas. Logo, as potência de entrada 
e saída no auto-transformador devem ser iguais e, com base na Figura 4.4, pode-se então definir que: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
km pk k km p mk k km km k mkS S E I E I E I a E I
            
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆkm km mk km mk km km mkI a I a I I a I

         
 Inserindo a equação (4.7) neste resultado, tem-se que a corrente ˆkmI no sentido k para m é dada por: 
 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆkm km mk km km km k km mI a I a a y E y E      
2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
km km km k km km mI a y E a y E  (4.8) 
Figura 4.3: Representação geral de transformadores. 
ˆ
kmy 
1: t 
m k 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 Com base nas equações (4.7) e (4.8), pode-se observar que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI 
são iguais a ˆkm kma y . Isto indica que o transformador em fase pode também ser representado por um modelo 
 equivalente, mostrado na Figura 4.5-a, em que a admitância  refere-se ao elemento série do transformador 
e as admitâncias shunts de ramo B̂ e Ĉ referem-se ao efeito abaixador ou elevador que o tap do transformador 
causa no módulo de tensão da barra terminal m do ramo k-m em que o mesmo se encontra conectado. 
 Logo, com base na Figura 4.5-a e aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes no nó p, tem-se que: 
   ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= A B A B A (1)serie shkm km km k m k k mI I I E E E E E       
 Analogamente, com base na Figura 4.5-a e aplicando a lei de Kirchoff das correntes no nó q, tem-se que: 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆC A A A C (2)serie sh sh seriemk km mk mk m km m k m k mI I I I I I E E E E E            
 Comparando-se a equação (4.8) com o resultado (1), tem-se: ˆ ˆˆ ˆA A (3)km km km kma y a y     
 Com o resultado (3) e comparando-se novamente a equação (4.8) com o resultado (1), tem-se que: 
 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆA B B B (4)km km km km km km km km kma y a y a y a a y        
 Por fim, com o resultado (3) e comparando-se a equação (4.7) com o resultado (2), tem-se que: 
 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆA C C C 1 (5)km km km km km kmy y a y a y        
 Assim, inserindo-se os resultados (3), (4) e (5) na representação do modelo  equivalente da Figura 4.5-a, 
obtém-se o modelo  equivalente do transformador em fase mostrado na Figura 4.5-b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Visto que a admitância de curto-circuito ˆkmy de um transformador é praticamente puramente reativa e do 
tipo indutiva, tem-se que: 0kmx  . Logo, com base na equação (4.2) tem-se que: ˆkm kmy j b e, com base na 
equação (4.4), tem-se que: 1/km kmb x  , tal que: ˆ / 0km kmy j x   . Logo, com base nas Figuras 4.5-a e 4.5-b, 
observa-se os efeitos do tap do transformador em fase nas tensões das barras terminais do ramo k-m, tal que: 
    2 ˆˆ ˆ ˆ1 B 0 ; 1 0:km km km km km kma a a y C a y        logo, a admitância shunt B̂ corresponde a um efeito 
indutivo (mesmo sinal de ˆkmy ) na barra k e a admitância shunt Ĉ a um efeito capacitivo (sinal contrário ao de 
ˆ
kmy ) na barra m, significando que a tensão na barra k tende a diminuir e a tensão na barra m tende a aumentar. 
    2 ˆˆ ˆ ˆ1 B 0 ; 1 0:km km km km km kma a a y C a y        logo, o shunt B̂ corresponde a um efeito capacitivo 
e o shunt Ĉ a um efeito indutivo, tal que a tensão em k tende a aumentar e a tensão em m tende a diminuir. 
    2 ˆˆ ˆ ˆ1 B 0 ; 1 0:km km km km km kma a a y C a y        neste caso, as tensões nas barras k e m são mantidas 
inalteradas pelo tap e o modelo  equivalente do transformador em fase se resume à sua admitância série ˆkmy . 
 
4.3.3) TRANSFORMADOR DEFASADOR PURO 
 
 O chamado transformador defasador puro é empregado para proporcionar um certo controle no fluxo de 
potência ativa no ramo do sistema elétrico em que se localiza e consiste na inserção de um defasamento angular 
entre as tensões de barras terminais do ramo, o que dependerá da "força" do restante do sistema elétrico. 
Figura 4.5: Transformador em fase: (a) modelo  equivalente e correntes; (b) modelo resultante. 
(a) (b) 
k 
ˆ
km kma y 
m 
 2 ˆkm km kma a y   ˆ1 km kma y 
k m 
B̂ Ĉ
 
ˆsh
kmI
ˆsh
mkI ˆserie
kmI 
ˆ
mkIˆkmI 
ˆ
kE
ˆ
mE 
p q 
Figura 4.4: Esquema do transformador em fase para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
1: akm 
ˆ
mE 
ˆ
mkI
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ ˆ
p km kE a E ˆ
kmS
ˆ
pkS 
ˆ
mkI 
>1 
<1 
p 
 
7 
 A Figura 4.6 mostra um ramo genérico k-m com o modelo do transformador defasador puro, em que 
1kma  tal que: 1 kmt  , que representa situações em que a tensão no secundário do transformador é defasada 
da tensão primária em um ângulo km , com a tensão em um ponto intermediário p ajustada para ˆ ˆ1p km kE E . 
 Com base no esquema de tensões de barra e de correntes de ramos mostrado na Figura 4.6, tem-se que a 
corrente ˆmkI no sentido m para k do ramo k-m do transformador defasador puro pode ser determinada por: 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1mk m p km m km k kmI E E y E E y    
ˆ ˆ ˆˆ ˆ1mk km km k km mI y E y E   (4.9) 
 Analogamente, como as perdas do auto-transformador ideal são nulas, tem-se que as potências de entrada 
e saída no auto-transformador devem ser iguais, tal que, com base na Figura 4.6, pode-se definir então que: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1km pk k km p mk k km km k mkS S E I E I E I E I
            
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1km km mk km mk km km mkI I I I I  

           
 Inserindo a equação (4.9) neste resultado, tem-se que a corrente ˆkmI no sentido k para m será dada por: 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 1km km mk km km km km k km mI I I y E y E           
ˆ ˆ ˆˆ ˆ1km km k km km mI y E y E   (4.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando as equações (4.9) e (4.10), observa-se que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI não 
são iguais, tal que não é possível representar o transformador defasador puro por um modelo  equivalente. 
 Para melhor entendimento do efeito controle do fluxo de potência ativa do transformador defasador puro 
em sistemas elétricos de potência, é conveniente conhecer o equacionamento dos métodos de solução do PFC e, 
para maior facilidade, do método do fluxo de carga linearizado, assuntos a serem estudados mais adiante, razão 
pela qual uma explicação do funcionamento do transformador defasador puro é somente abordada no Anexo C. 
 
4.3.4) TRANSFORMADOR DEFASADOR 
 
 A Figura 4.7 mostra um ramo genérico k-m com o modelo do chamado transformador defasador, em que 
ambos os efeitos do tap nas tensões das barras terminais e do conrole do fluxo de potëncia ativa do ramo k-m 
são usados, tal que km kmt a  e a tensão em um ponto intermediário p é ajustada no valor 'ˆ ˆ
p km km kE a E . 
 Com base no esquema de tensões de barra e de correntes de ramos mostrado na Figura 4.7, tem-se que a 
corrente ˆmkI no sentido m para k do ramo k-m do transformador pode então ser determinada por: 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆmk m p km m km km k kmI E E y E a E y    
ˆ ˆ ˆˆ ˆ
mk km km km k km mI a y E y E   (4.11) 
 Analogamente, como as perdas do auto-transformador ideal são nulas, as potência de entrada e saída no 
auto-transformador devem ser iguais, tal que ˆ ˆkm pkS S  e, com base na Figura 4.7, pode-se definir então que: 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk km km km k mk km km km mk km km mk km km km mkE I a E I I a I a I I a I   

               
 Inserindo a equação (4.11) neste resultado, tem-se que a corrente ˆkmI no sentido k para m será dada por: 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆkm km km mk km km km km km km k km mI a I I a a y E y E           
2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
km km km k km km km mI a y E a y E   (4.12) 
 Com base nas equações (4.11) e (4.12), nota-se que os coeficientes de ˆkE em 
ˆ
mkI e de 
ˆ
mE em 
ˆ
kmI não 
são iguais, tal que também não é possível representar o transformador defasador por um modelo  equivalente. 
Figura 4.6: Esquema de transformador defasador puro para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
ˆ
mE 
ˆ
mkI ˆkmI 
ˆ
kE 
ˆ ˆ1p km kE E ˆ
kmS
ˆ
pkS 
ˆ
mkI p 
1: 1 km 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
4.4) EQUAÇÕES GERAIS DE CORRENTES DE RAMOS 
 
 Comparando-se os resultados dos equacionamentos das correntes complexas nos componentes de ramos 
no sentido k para m de um ramo genérico k-m obtidos anteriormente, re-escritos a seguir: 
 Linha de transmissão - equação (4.5):      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shkm km km k km m km km k km mI jb y E y E jb y E y E       
 Transformador em fase - equação (4.8):    2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆkm km km k km km m km km k km km mI a y E a y E a y E a y E     
 Transformador defasador puro - equação (4.10):    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1km km k km km m km k km km mI y E y E y E y E        
 Transformador defasador - equação (4.12): 
   2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆkm km km k km km km m km km k km km km mI a y E a y E a y E a y E        
pode-se por inspeção conceber uma equação geral para a corrente de ramos no sentido k para m, definida por: 
   2ˆ ˆ ˆˆ ˆshkm km km km k km km km mI jb a y E a y E     (4.13) 
em que os valores dos parâmetros dos elementos de ramos estão sumarizados na Tabela 4.1. 
 De modo análogo, comparando-se os resultados dos equacionamentos das correntes nos componentes de 
ramos no sentido m para k de um ramo genérico k-m obtidos anteriormente, re-escritos a seguir: 
 Linha de transmissão - equação (4.6):      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shmk km k km km m km k km km mI y E jb y E y E jb y E        
 Transformador em fase - equação (4.7):    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆmk km km k km m km km k km mI a y E y E a y E y E      
 Transformador defasador puro - equação (4.9):    ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 1mk km km k km m km km k km mI y E y E y E y E       
 Transformador defasador - equação (4.11): 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆmk km km km k km m km km km k km mI a y E y E a y E y E       
pode-se tamém definir por inspeção uma equação geral para a corrente de ramos no sentido m para k, dada por: 
   ˆ ˆ ˆˆ ˆshmk km km km k km km mI a y E jb y E    (4.14) 
em que os valores dos parâmetros dos elementos de ramos estão também sumarizados na Tabela 4.1. 
 
Tabela 4.1: Valor dos parâmetros dos elementos de ramos. 
Elementos de ramo shkmb kma km 
Linha de transmissão dado 1,0 0,0 
Transformador em fase 0,0 dado 0,0 
Transformador defasador puro 0,0 1,0 dado 
Transformador defasador 0,0 dado dado 
 
4.5) FORMULAÇÕES GERAIS DE FLUXOS DE POTÊNCIA 
 
 Com base nas equações gerais de correntes de ramos, pode-se determinar as equações gerais dos fluxos 
de potência ativa e reativa em redes elétricas. Seja o esquema de correntes, tensões e fluxos de potência em um 
ramo genérico k-m dado na Figura 4.8. Com auxílio da equação geral de corrente de ramo no sentido k para m 
dado por (4.13), tem-se que a equação geral do fluxo de potência ˆkmS no sentido k para m é obtida a seguir: 
         2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shkm k km k km km km k km km km m k km k km km k km km km mS E I E jb a y E a y E E jb E a y E a y E 
                 
  2ˆ ( ) ( )shkm k k km k k km km km k k km km km km m mS V jb V a g jb V a g jb V             
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km k m k m km km km kmS jV b a V g jb V V a g j b         
 Seja km a chamada abertura angular do ramo k-m, definida como a diferença entre os ângulos de tensão 
das barra termianais do ramo k-m, tal que: km = k  m. No prosseguimento do equacionamento, tem-se que: 
Figura 4.7: Esquema de transformador defasador para definição das correntes de ramos. 
k m 
ˆ
kmy 
ˆ
mE 
ˆ
mkI ˆkmI
ˆ
kE 
ˆ ˆ
p km km kE a E ˆ
kmS
ˆ
pkS 
ˆ
mkI
>1 
<1 
p 
1: km kma  
 
9 
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km k m km km km km kmS jV b a V g jb V V a g jb       
2 2 2ˆ ( ) ( )shkm k km km k km km km k m km km km kmS jV b a V g jb a V V g j b        
    2 2 2ˆ ( ) cos sen ( )shkm k km km k km km km k m km km km km km kmS jV b a V g jb a V V j g j b            
 Definindo-se ˆkm km kmS P j Q  e separando-se as partes real e imaginária de 
ˆ
kmS , tem-se que a equação 
geral do fluxo de potência ativa kmP e a equação geral do fluxo de potência reativa kmQ são definidas por: 
   2 2 cos senkm km k km km k m km km km km k m km km kmP a V g a V V g a V V b        (4.15) 
     2 2 sen cosshkm k km km km km k m km km km km k m km km kmQ V b a b a V V g a V V b          (4.16) 
 Analisando-se a Tabela 4.1, observa-se que shkmb é não-nula apenas para linhas de transmissão e que, neste 
caso, 1kma  . Com base neste fato, tem-se que na equação (4.16) pode-se multiplicar o termo 
sh
kmb por 
2
kma sem 
incorrência de erro no cálculo do fluxo de potência reativa, tal que a equação (4.16) pode ser re-definida por: 
     2 2 2 sen cosshkm k km km km km km k m km km km km k m km km kmQ V a b a b a V V g a V V b          
     2 2 sen cosshkm km k km km km k m km km km km k m km km kmQ a V b b a V V g a V V b          (4.17) 
 Analogamente, com auxílio da Figura 4.8 e da equação geral da corrente de ramos no sentido m para k 
dado por (4.14), tem-se que a equação geral do fluxo de potência ˆmkS no sentido m para k é obtida a seguir: 
         ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆsh shmk m mk m km km km k km km m m km km km k km m km mS E I E a y E jb y E E a y E jb E y E 
               
      ˆ shmk m m km km km km k k km m m km km m mS V a g j b V jb V g j b V               
 2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m m k km km kmS jV b V g jb a V V g jb          
 2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m km km km kmS jV b V g jb a V V g j b         
   2 2ˆ ( )shmk m km m km km km k m km km km kmS jV b V g j b a V V g j b         
        2 2ˆ cos sen ( )shmk m km m km km km k m km km km km km kmS jV b V g jb a V V j g jb              
 Considerando-se que os valores de 
km e km são bem pequenos, tal que 
o| | 90km km   , tem-se que as 
identidades trigonométicas    cos ( ) coskm km km km       e    sen ( ) senkm km km km        podem ser 
aplicadas ao resultado acima, tal que a equação geral do fluxo de potência ˆmkS acima pode ser re-definida por: 
      2 2ˆ cos sen ( )shmk m km m km km km k m km km km km km kmS jV b V g j b a V V j g jb            
 Definindo-se ˆmk mk mkS P j Q  e separando-se as partes real e imaginária, tem-se que as equações gerais 
dosfluxos de potências ativa mkP e reativa mkQ no sentido m para k de um ramo k-m são então definidas por: 
   2 cos senmk m km km k m km km km km k m km km kmP V g a V V g a V V b        (4.18) 
     2 sen cosshmk m km km km k m km km km km k m km km kmQ V b b a V V g a V V b          (4.19) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6) EQUAÇÕES GERAIS DE PERDAS DE RAMOS 
 
 Seja agora o esquema de um ramo genérico k-m mostrado na Figura 4.9, onde ˆ perdas perdas perdaskm km kmS P j Q  é 
definida como a perda de potência complexa no ramo k-m. Analisando a Figura 4.9, observa-se que a perda e os 
fluxos de potência no ramo podem ser relacionados por: ˆ ˆ ˆperdaskm km mkS S S   , tal que: 
ˆ ˆ ˆperdas
km km mkS S S  . Logo, 
a perda de potência ativa de ramos pode ser determinada com a soma das equações (4.15) e (4.18), e a perda de 
potência reativa com a soma das equações (4.17) e (4.19), tal que resultam nas equações gerais definidas por: 
   2 2 2 2 cosperdaskm km mk km k m km km k m km km kmP P P a V V g a V V g        (4.20) 
     2 2 2 2 cosperdas shkm km mk km k m km km km k m km km kmQ Q Q a V V b b a V V b          (4.21) 
Figura 4.8: Ramo genérico k-m e esquema para definição de fluxos de potência. 
LT ou TR 
ˆˆ ,km kmI S
k m ˆˆ ,mk mkI S 
ˆ
m m mE V  ˆk k kE V  
 
10 
 
 
 
 
 
 
5) MODELO BÁSICO DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA 
 
 A formulação básica do problema do fluxo de carga (do termo em inglês load flow), ou fluxo de potência 
(power flow), é baseada na imposição da primeira lei de Kirchhoff aos nós de um sistema elétrico para se obter 
o chamado balanço de correntes de barras, em que a corrente líquida (geração  carga) injetada em determinada 
barra do sistema deve se igualar à corrente do elemento shunt da barra e à somatória das correntes que fluem 
por todos os ramos (linhas e transformadores) que tem a referida barra como um de seus terminais. Com estas 
definições, obtem-se o chamado balanço de potências de barras, que constitui-se na formulação básica do PFC. 
 
5.1) EQUAÇÃO NODAL DE REDE 
 
 Seja a barra k de um ramo genérico k-m de rede mostrada na Figura 5.1, em que ˆkI é a injeção líquida de 
corrente na barra k, ˆshkI é a injeção de corrente do elemento shunt ligado à barra k e definida pela equação (3.4), 
e ˆkmI é a corrente de ramo no sentido k para m e definida pela equação geral dada por (4.13). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a lei de Kirchoff das correntes na barra k e definindo-se k como o conjunto de todas as barras 
conectadas diretamente à barra k, com exceção da própria barra k, obtém-se o balanço de correntes na barra k: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k k k
sh sh sh
k k km k k k km k k k km
m m m
I I I I E jb I I jb E I
     
           
    2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ
k
sh sh
k k k km km km k km km km m
m
I jb E jb a y E a y E
 
       
   2ˆ ˆ ˆˆ ˆ
k k
sh sh
k k km km km k km km km m
m m
I jb jb a y E a y E
 
      
 
 
  (5.1) 
 Analogamente, aplicando-se a lei de Kirchoff das correntes na barra m da Figura 5.1, onde ˆmI é a injeção 
líquida de corrente e ˆshmI é a corrente shunt na barra m, 
ˆ
mkI é a corrente de ramo no sentido m para k, definida 
na equação geral dada por (4.14), e definindo-se m como o conjunto de todas as barras conectadas diretamente 
à barra m, com exceção da própria barra m, obtém-se também o balanço de correntes na barra m, tal que: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
m m m
sh sh sh
m m mk m m m mk m m m mk
k k k
I I I I E jb I I jb E I
    
           
    ˆ ˆ ˆˆ ˆ
m
sh sh
m m m km km km k km km m
k
I jb E a y E jb y E
 
      
   ˆ ˆ ˆˆ ˆ
m m
sh sh
m km km km k m km km m
k k
I a y E jb jb y E
   
     
 
 
  (5.2) 
 Para um sistema elétrico constituído por NB barras, tem-se então que o equacionamento do balanço de 
correntes em todas as barras da rede resulta em um conjunto de equações que relacionam as injeções líquidas de 
corrente e as tensões de barra. Este conjunto de equações pode ser representado na forma matricial, tal como 
exemplificado a seguir, em que são mostrados apenas os elementos referentes a duas barras quaisquer k e m 
pertencentes aos conjuntos m e k , respectivamente, onde observa-se que os elementos mútuos entre as barras 
k e m (fora da diagonal principal) se resumem ao componente série pertencente ao ramo k-m da rede. 
Figura 5.1: Esquema de correntes de barra e de ramos para definição do balanço de correntes. 
Figura 4.9: Ramo genérico k-m e esquema para definição de perdas de ramos. 
LT ou TR 
ˆ
kmS 
k m 
ˆ
mkS 
 ˆ perdaskmS 
k 
ˆ
kI 
m 
ˆsh
kI 
ˆ
kmI 
ˆ
kE 
ˆ
mI 
ˆsh
mI 
ˆ
mE 
sh
kjb 
sh
mjb 
LT ou TR 
ˆ
mkI 
 
11 

 
 
2
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
k
m
sh sh
k km km km km km km
mk k
sh sh
m mkm km km m km km
k
I
Y
jb jb a y a y
I E
I Ea y jb jb y




 
 
 
     
        
     
     
     
       
     
    
 


    
 
  
     
  
 
    


Ê
 
 Esta relação matricial, denominada equação nodal de rede, é expressa de forma compacta definindo-se o 
vetor das injeções líquidas de corrente de barras Î (NB  1), o vetor de tensões de barra Ê (NB  1) e a relação 
destes pela matriz ˆ[ ]Y (NB  NB) representante da topologia da rede, chamada matriz admitância nodal, tal que: 
 ˆ ˆ ˆI Y E (5.3) 
 Tem-se então que a matriz admitância é função dos elementos primitivos ( ˆkmy , 
sh
kb , 
sh
mb , 
sh
kmb ) e demais 
dados ( kma , km ) da rede, tal que os elementos da diagonal e fora da diagonal tem as formas gerais dadas por: 
    2 2ˆ ˆ
k k
sh sh sh sh
kk k km km km k km km km km
m m
Y jb jb a y jb jb a g j b
 
        (5.4) 
   ˆ ˆ cos senkm km km km km km km km kmY a y a j g j b         (5.5) 
   ˆ ˆ cos senmk km km km km km km km kmY a y a j g j b        (5.6) 
    ˆ ˆ
m m
sh sh sh sh
mm m km km m km km km
k k
Y jb jb y jb jb g j b
 
        (5.7) 
 Como ˆkmY e 
ˆ
mkY são nulos para ramos k-m inexistentes na rede, a matriz admitância nodal caracteriza-se 
por apresentar uma elevada esparsidade (grande número de elementos nulos) para redes de grande porte. 
 Seja [G] a chamada matriz condutância nodal e [B] a chamada matriz susceptância nodal, de modo que: 
     Ŷ G j B  . Logo, separando-se a parte real das equações gerais (5.4) a (5.7), tem-se que os elementos da 
da matriz condutância [G] (diagonal e fora dela) são determinadas, respectivamente, pelas equações gerais: 
2
k
kk km km
m
G a g

  (5.8) 
cos senkm km km km km km kmG a g a b    (5.9) 
cos senmk km km km km km kmG a g a b    (5.10) 
m
mm km
k
G g

  (5.11) 
 Analogamente, separando-se a parte imaginária das equações (5.4) a (5.7), tem-se que os elementos da 
matriz susceptância [B] (diagonal e fora dela) são determinados, respectivamente, pelas equações gerais: 
 2
k
sh sh
kk k km km km
m
B b b a b

   (5.12) 
sen coskm km km km km km kmB a g a b   (5.13) 
sen cosmk km km km km km kmB a g a b    (5.14) 
 
m
sh sh
mm m km km
k
B b b b

   (5.15) 
 A presença de transformadores defasadores (km  0) em redes elétricas resulta em matrizes condutância 
e susceptância assimétricas, uma vez que os termos fora da diagonal principal não são iguais, isto é: Gkm  Gmk 
e Bkm  Bmk. Desse modo, a ausância destes (km = 0) tornam estas matrizes simétricas, tal que pode-se definir: 
km mk km kmG G a g   (5.16) 
km mk km kmB B a b   (5.17) 
 A formulação matricial de sistemas dada pela equação (5.3) é de natureza linear, visto que a relação entre 
corrente e tensão é linear, tal que o estado das tensões de barra (incógnitas da rede) se resume ao cálculo: 
   1ˆ ˆ ˆˆ ˆE Y I Z I

  (5.18) 
onde 1ˆ ˆ[ ] [ ]Z Y  é a chamada matriz impedância de barra, cuja montagem se mostra trabalhosa, razão pela qual 
o equacionamento do problema do fluxo de carga se basear na matriz admitância, de montagem mais simples. 
 
12 
 Ocorre no entanto que geração e carga são geralmente especificadas em termos de potência e, neste caso, 
o cálculo das injeções de corrente necessitaria do estado das tensões de barra, que são incógnitas do problema. 
Além disso, a equação nodal não contempla barras de geração com tensão controlada, bem como não especifica 
uma barra para fechamento do balanço de potência e de referência de ângulo para as tensões de barra. Assim, a 
formulação do problema do problema do fluxo de carga precisa se basear nas potências injetadas e transmitidas 
na rede, o que leva a um equacionamento não-linear do PFC, pois a relação entre tensão e potência não é linear. 
 
5.2) FORMULAÇÃO NÃO-LINEAR DO PFC 
 
 Analisando-se as equações (5.1) e (5.2) obtidas observa-se que agora pode-se definir uma equação geral 
de balanço de correntes para uma barra k qualquer do sistema, expressa em termos do elemento ˆkkY da diagonal 
principal e da somatória dos elementos ˆkmY (m  k ) de fora da diagonal da matriz admitância nodal, tal que: 
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k
k kk k km m
m
I Y E Y E

   
 Visto que ˆ[ ] [ ] [ ]Y G j B  , tem-se que os elementos da matriz admitância nodal podem ser expressos em 
função das matrizes condutância e susceptância, tal que: ˆkk kk kkY G j B  e 
ˆ
km km kmY G j B  . Logo, a injeção 
líquida de corrente ˆkI em uma barra genérica k pode ser re-escrita em função destes termos, tal que: 
   ˆ ˆ ˆ
k
k kk kk k km km m
m
I G j B E G j B E
 
    
 Com base neste resultado, tem-se então que a injeção líquida de potência ˆkS em uma barra genérica k da 
rede, dada pela equação (3.2), pode ser definida em função dos elementos da matriz admitância da rede, tal que: 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k
k k k k kk kk k km km m
m
S E I E G j B E G j B E


 
     
 
 
 
   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k
k k kk kk k k km km m
m
S E G j B E E G j B E
  
 
    
   ˆ
k
k k k kk kk k k k k km km m m
m
S V G j B V V G j B V   
 
     
       2 2ˆ
k k
k k kk kk k m k m km km k kk kk k m km km km
m m
S V G j B V V G j B V G j B V V G j B  
   
          
     2ˆ cos sen
k
k k kk kk k m km km km km
m
S V G j B V V j G j B 

     
 Como ˆk k kS P j Q  então, separando-se as partes real e imaginária deste resultado, tem-se que a injeção 
líquida de potência ativa kP e a injeção líquida de potência reativa kQ na barra genérica k são definidas por: 
 2 cos sen
k
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 
 
   (5.19) 
 2 sen cos
k
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 
 
    (5.20) 
 Incluindo-se a barra k ao conjunto k e definindo-se K como o conjunto de todas as barras conectadas à 
barra k, inclusive a própria barra k, tem-se que as injeções líquidas de potência ativa e reativa de barra descritas 
pelas equações (5.19) e (5.20) podem ser também expressas de forma mais compacta respectivamente por: 
 cos senk k m km km km km
m K
P V V G B 

  (5.21) 
 sen cosk k m km km km km
m K
Q V V G B 

  (5.22) 
 As equações (5.19) e (5.20), ou (5.21) e (5.22), definem as chamadas equações básicas do problema do 
fluxo de carga e expressam o chamado balanço de potências de barra, em que as injeções líquidas de potência 
ativa Pk e reativa Qk em cada barra k do sistema correpondem à somatória dos fluxos de potência nos ramos que 
tem a barra k como um de seus terminais, adicionada à potência shunt da barra k no caso de Qk devido a Bkk . 
 Analisando-se as equações básicas do PFC, observa-se que a modelagem de redes elétricas em termos de 
potência apresenta forte natureza não-linear (funções trigonométricas e produto de tensões), e suas incógnitas 
estão implícitas (módulo e ângulo de tensões de barra não podem ser isoladas das equações), tal que não podem 
ser obtidas por solução analítica. Assim, o cálculo deste sistema de equações requer solução numérica (métodos 
iterativos), e implementação computacional devido ao usual elevado número de barras, equações e incógnitas. 
 
13 
5.3) DEFINIÇÕES BÁSICAS 
 
 Analisando-se as duas equações básicas do problema do fluxo de carga, definidas por (5.19) e (5.20) ou 
(5.21) e (5.22), observa-se que cada barra k de um sistema elétrico tem a ela associadas quatro variáveis: 
1. Vk : módulo ou magnitude da tensão complexa de barra 
2. k : ângulo de fase da tensão complexa de barra 
3. Pk : injeção líquida de potência ativa 
4. Qk : injeção líquida de potência reativa 
 A referência de módulo de tensão pode ser fornecida pelo nó terra, se presente elementos shunts na rede, 
ou por pelo menos uma barra com tensão controlada. Além disso, visto que os cálculos de fluxos de potência 
são funções da abertura angular km dos ramos, tem-se que uma mesma distribuição de fluxos pode ser obtida se 
somada uma constante arbitrária aos ângulos de tensão, o que faz o PFC ser indeterminado na variável ângulo, 
sendo necessário uma referência angular com a especficação de uma barra com ângulo de tensão conhecido. 
 Adicionalmente, na solução do PFC é necessário a escolha de uma barra com injeções de potência ativa e 
reativa desconhecidas para o fechamento do balanço de potência na rede, visto que não é possível determinar 
todas as injeções de potência ativa e reativa de barra sem antes obter as perdas do sistema, que são função dos 
fluxos de potência na rede e estes dependem do estado das tensões de barra não conhecido previamente. 
 Com base nestas observações, tem-se então que cada uma das quatro variáveis associadas a uma barra 
pode entrar nos cálculos do problema do fluxo de carga como dado ou como incógnita. Desse modo, para tornar 
o modelo matemático do problema compatível para a sua solução, duas variáveis devem ser conhecidas (entram 
como dados) e duas variáveis devem ser calculadas (entram como incógnitas), tal que cada barra k da rede tem 
que ser classificada em três tipos segundo suas variáveis conhecidas e indeterminadas (resumo na Tabela 5.1): 
 Barra PQ: Pk e Qk são conhecidas (dados) e Vk e k são calculadas (incógnitas). Também chamada barra de 
carga, Pk e Qk são consideradas constantes e invariantes com a tensão nodal. Além de barras de demanda, são 
classificadas deste tipo barras com geração sem equipamentos de regulação de tensão ou com capacidade de 
fornecimento de reativo insuficiente para realizar o controle de tensão, bem como barras fictícias (sem carga e 
geração) criadas para representar certos pontos de interesse no cálculo do fluxo de carga da rede em estudo. 
 Barra PV: Pk e Vk são conhecidas e determina-se k e Qk. Também chamada barra de tensão controlada, são 
geralmente classificadas deste tipo barras com grande capacidade de geração ou compensadores síncronos, 
nas quais deseja-se manter a magnitude de tensão constante, independentemente de variações na carga nas 
demais barras da rede ou ocorrência de contingências no sistema (saída de operação de elementos de rede). 
 Barra V: Vk e k são conhecidas e determina-se Pk e Qk. Também denominada barra de referência ou slack, 
esta barra é geralmente única na rede e a ela compete fornecer a referência angular às outras tensões de barras, 
bem como fechar o balanço de potência da rede. Normalmente, escolhe-se uma barra com bastante reserva de 
geração, tal que consiga manter o balanço de potência para todas as diferentes configurações e perfis de carga. 
 Logo, para uma rede elétrica formada por NB barras, cada k = 1,...,NB barra da rede tem a ela associadas 
2 equações básicas de balanço de potência (equações (5.19) e (5.20), ou (5.21) e (5.22)) com 4 variáveis (Pk , 
Qk , Vk e k), onde 2 variáveis são conhecidas e 2 são incógnitas. Assim, o problema dofluxo de carga da rede é 
modelado por 2NB equações com 4NB variáveis, onde 2NB variáveis entram nos cálculos como dados e 2NB 
como incógnitas, resultando em um conjunto de 2NB equações e 2NB incógnitas com condições de solução. 
 
Tabela 5.1: Tipos de barras e classificação das variáveis associadas. 
Tipo de barra Notação Dados Incógnitas 
Barra de carga PQ Pk e Qk Vk e k 
Barra de tensão controlada PV Pk e Vk Qk e k 
Barra de referência angular V Vk e k Pk e Qk 
 
5.4) MODELAGEM DO PROBLEMA DO FLUXO DE CARGA 
 
 Seja um sistema elétrico com NB barras formado por NPQ barras tipo PQ, NPV barras tipo PV e 1 barra 
tipo V (como mencionado, a barra V é única), tal que: NB = NPQ + NPV + 1. Logo, conforme discutido, a 
rede será modelada por 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 equações básicas com 4NB = 4NPQ + 4NPV + 4 variáveis, 
onde 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 são variáveis conhecidas (dados) e 2NB = 2NPQ + 2NPV + 2 são incógnitas, tal 
que a solução do PFC de um sistema consiste essencialmente no cálculo destas 2NPQ + 2NPV + 2 incógnitas. 
 Porém, como as variáveis associadas à potência (Pk e Qk) dependem das variáveis associadas ao estado 
(Vk e k) da barra, tem-se que as 2NPQ + 2NPV + 2 incógnitas do PFC não podem ser obtidas simultâneamente. 
Assim, com base neste fato, tem-se que o PFC é normalmente decomposto em dois subproblemas de equações 
e incógnitas com procedimentos distintos, modelados nos itens a seguir e definidos como subsistemas, a saber: 
 
14 
 Subsistema 1: consiste na obtenção do estado das tensões de barra desconhecido da rede elétrica (Vk para 
barras PQ;k para barras PV e PQ), envolvendo um método de cálculo iterativo de um conjunto de equações 
algébricas. Constitui-se no objetivo básico do PFC, visto que permite obter qualquer outra incógnita da rede. 
 Subsistema 2: consiste no cálculo direto das demais incógnitas do PFC (injeções líquidas de potência ativa 
e reativa na barra V e reativa nas barras PV), com base no estado das tensões de barra obtido no subsistema 
1, bem como outras incógnitas de interesse, tais como fluxos e perdas de potência nos ramos da rede. 
 
5.4.1) FORMULAÇÃO DO SUBSISTEMA 1 
 
 Como mencionado, o objetivo do subsistema 1 do problema do fluxo de carga consiste em determinar as 
variáveis de estado desconhecidas da rede, o que reside em calcular Vk para NPQ barras e k para NPQ + NPV 
barras, totalizando 2NPQ + NPV incógnitas. Para isso, são inicialmente conhecidos Pk para NPQ + NPV barras 
e Qk para NPQ barras, totalizando 2NPQ + NPV dados e equações com igual número de incógnitas. Observa-se 
então que a barra V não é abordada no subsistema 1, visto que suas variáveis de estado já são conhecidas. 
 Como também mencionado, o modelo básico do PFC dadas pelas equações (5.19) e (5.20), determinam o 
balanço de potências em cada barra, no sentido de que o lado esquerdo destas equações corresponde à injeções 
líquidas de potência nas barras (Pk e Qk) e o lado direito corresponde à soma dos fluxos de potência de ramos e 
shunts. Logo, para barras nas quais Pk (tipos PQ e PV) e Qk (tipo PQ) são conhecidos, pode-se entender que o 
lado esquerdo das equações (5.19) e (5.20) são dados do PFC e o lado direito, por este depender do estado das 
tensões de barra (Vk e k), são portanto desconhecidos e precisam ser calculado. Assim, para diferenciar dados e 
incógnitas, a literatura técnica costuma renomear as partes à esquerda e à direita das equações (5.19) e (5.20), 
ao acrescentar, por exemplo, as denominações ‘especificado’ e ‘calculado’ a estas parcelas e definir que: 
 
 
 
 
 
 
 
tal que a parte do balanço de potência calckP e 
calc
kQ a serem obtidas no subsistema 1 são definidas por: 
 2 cos sen
k
calc
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 
 
   (5.23) 
 2 sen cos
k
calc
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 
 
    (5.24) 
 Seja kP e kQ as funções correspondentes à diferença entre as potências ativas e reativas especificadas 
e calculadas para uma barra genérica k, respectivamente. Desse modo, as equações de kP e kQ , denominadas 
funções de resíduos (ou mismatches) de potência ativa e reativa de uma barra k, são definidas por: 
 2 cos sen 0
k
esp calc esp
k k k k k kk k m km km km km
m
P P P P V G V V G B 

        (5.25) 
 2 sen cos 0
k
esp calc esp
k k k k k kk k m km km km km
m
Q Q Q Q V B V V G B 
 
        (5.26) 
 Como kP e kQ são funções do estado das tensões de barra, tem-se então que o cálculo das raizes da 
equação kP para NPQ + NPV barras e o cálculo das raizes da equação kQ para NPQ barras correspondem à 
obtenção do estado das tensões de barra (incógnitas) para 2NPQ + NPV barras da rede. Assim, as expressões 
gerais dadas por (5.25) e (5.26) consiste nas equações básicas do subsistema 1 do problema do fluxo de carga. 
 Calculando-se kP e kQ para 2NPQ + NPV barras da rede elétrica em estudo, pode-se então definir 
espP e espQ como os vetores de potências de barra especificadas, e calcP e calcQ como os vetores de potências de 
barra calculadas, tal que o conjunto de vetores de resíduos P e Q definem as equações matriciais básicas 
do problema do fluxo de carga a serem resolvidas no subsistema 1, sendo estes expressos resumidamente por: 
0esp calcP P P    (5.27) 
0esp calcQ Q Q    (5.28) 
 Como observado anteriormente, as equaçoes básicas do problema do fluxo de carga caracterizam-se por 
sua natureza não-linear. Desse modo, o cálculo das raízes do conjunto de equações (5.27) e (5.28) necessita da 
implementação de métodos iterativos adaptados para a sua solução. Como o próprio valor dos resíduos pode ser 
interpretado como um erro, este pode ser empregado como critério de parada do processo iterativo de solução. 
Barras tipo PQ e PV 
  
2 cos sen
k
esp calc
k k kk k m km km km km k k
mespecificado
calculado
P V G V V G B P P 
 
    

 
Barras tipo PQ 
  
2 sen cos
k
esp calc
k k kk k m km km km km k k
mespecificado
calculado
Q V B V V G B Q Q 
 
     

 
 
15 
5.4.2) FORMULAÇÃO DO SUBSISTEMA 2 
 
 Como mencionado, a solução do subsistema 2 consiste na obtenção das incógnitas ainda desconhecidas 
da rede elétrica em estudo, o que constitui-se no cálculo da injeção líquida de potência ativa Pk da barra V e da 
injeção líquida de potência reativa Qk para NPV barras e para a barra V, o que totalizam as NPV + 2 incógnitas 
restantes do PFC. Assim, visto que o estado das tensões de barra são conhecidas ou foram previamente obtidas 
no subsistema 1, a solução do subsistema 2 se mostra trivial, tal que reside no cálculo direto destas incógnitas: 
 Injeção líquida de potência ativa kP da barra V: equação (5.19) ou (5.21). 
 Injeção líquida de potência reativa kQ para NPV barras e para a barra V: equação (5.20) ou (5.22). 
 Além disso, o conhecimento do estado das tensões de barra permite o cálculo direto de outras incógnitas 
de interesse da rede elétrica em estudo, tais como os fluxos e perdas de potência ativa e reativa dos ramos da 
rede, bem como a potência consumida nos elementos shunts de barra. Assim, para estas incógnitas, tem-se que: 
 Fluxos de potência ativa kmP e reativa kmQ no sentido k para m: equações (4.15) e (4.17), respectivamente. 
 Fluxos de potência ativa mkP e reativa mkQ no sentido m para k: equações (4.18) e (4.19), respectivamente. 
 Perdas de potência ativa perdaskmP e reativa 
perdas
kmQ em um ramo k-m: equações (4.20) e (4.21), respectivamente. 
 Potência reativa do elemento shunt em uma barra k, com base na equação (3.5): 2sh shk k kQ V b 
 
 
6) MÉTODOS DE CÁLCULO DO SUBSISTEMA 1 
 
 Como mencionado, o cálculo do subsistema 1 configura-se no objetivo básico do PFC por este residir em 
determinar o estado das tensões de barra da rede elétrica em estudo, com o cálculo das raízes do conjunto de 
equações definidas por (5.27) e (5.28), que caracterizam-se por terincógnitas implícitas e apresentar uma forte 
natureza não linear, tal que é necessário a implementação de um método iterativo de solução adaptado a este 
conjunto de equações, onde o próprio valor de cada função do conjunto de equações constitui-se em um resíduo 
de cálculo e interpretado como um erro, podendo ser utilizado como critério de parada do processo iterativo. 
 A literatura técnica sobre sistemas de energia elétrica apresenta diversos métodos particularizados para a 
solução do subsistema 1 do problema do fluxo de carga. Dentre estes métodos, serão neste material didático 
estudados alguns algoritmos que vem apresentando maior interesse prático devido a vantagens como robustez e 
rapidez de convergência: o chamado método de Newton-Raphson e algoritmos derivados deste método em suas 
diversas versões, chamados métodos desacoplados, bem como o chamado fluxo de carga linearizado ou CC. 
 Como o método de Newton-Raphson é o algorítmo básico dos métodos de solução do PFC mencionados 
acima, então é conveniente antes fazer um breve estudo sobre sua teoria geral, apresentado a seguir. 
 
6.1) TEORIA GERAL DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
 Em termos gerais, o método de Newton-Raphson é um algoritmo numérico utilizado na determinação de 
raízes de equações algébricas não-lineares por processo iterativo, baseado na linearização sucessiva das equa- 
ções (série de Taylor de 1o ordem) em torno de pontos do espaço de variáveis, até a convergência do processo. 
 Para exemplificação do método de Newton-Raphson, seja na Figura 6.1 o gráfico de uma função mono- 
variável f(x) qualquer, que apresenta uma raiz desconhecida no ponto x = x*, tal que f(x*) = 0. Adotando-se 
uma faixa de tolerância ou erro   para f(x), pode-se escolher inicialmente um ponto qualquer x = x(o) como 
estimativa para a raiz da função (Figura 6.1) e verificar se f(x(o)) se encontra dentro da faixa de tolerância, isto é, 
se | f(x(o))|  . Caso x(o) ainda não satisfaça a condição de convergência (| f(x(o))| > ), pode-se obter uma nova 
estimativa x = x(1) para a raiz de f(x) com a linearização da função em torno do ponto x(o), tal que (Figura 6.1): 
 
 
(o) (o )
1(o)
(1) (o) (o)
(o) (1)
( ) ( )
tg
x x x x
df x f x df x
x x f x
dx dxx x


 
 
      
  
 
pois a declividade da reta (tg  ) corresponde ao cálculo da derivada (gradiente) da função f(x) no ponto x(o). 
 Caso f(x(1)) ainda não esteja dentro da faixa de tolerância, pode-se repetir o procedimento para obter uma 
nova estimativa para a raiz da função f(x) e assim sucessivamente até a condição de convergência ser satisfeita, 
quando finaliza-se o processo com a escolha da última estimativa como solução (x = x(2) no caso da Figura 6.1). 
 Assim, este procedimento constitue-se em um processo iterativo, em que a cada iteração i e com base na 
estimativa atual x(i) obtida na iteração anterior, testa-se a convergência do processo (| f(x(i))|   ) e, caso esta 
não tenha sido atingida, uma nova estimativa x(i + 1) é obtida da atual segundo a equação geral definida por: 
 
( )
1
( 1) ( ) ( )( )
i
i i i
x x
df x
x x f x
dx



 
   
 
 (6.1) 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Visto ser um algoritmo numérico geral, o método de Newton-Raphson pode ser empregado também para 
a estimaçao das raizes de um conjunto de equações algébricas não-lineares com igual número de incógnitas. 
Neste caso, para um vetor      
T
1 nf x f x f x    de n equações dependentes de um vetor  
T
1 nx x x  
com n variáveis, o método de Newton-Raphson resulta na montagem de uma matriz de derivadas parciais do 
vetor de equações, denominada matriz jacobiana [J ] ou matriz de gradientes, e definida genericamente por: 
 
1 1
1
1
( ) ( )
( ) ( )
n
n n
n
f x f x
x x
J
f x f x
x x
  
  
 
 
 
  
   

  

 (6.2) 
tal que a equação (6.1) pode ser generalizada para estimar iterativament as raízes do conjunto de equações por: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
( 1) ( ) ( )
1
1 1 1
( 1) ( ) ( )
1
( ) ( )
( ) ( )
i i
i i
i i i
nx x x x
i i i
n n n n n
nx x x x
f x f x
x xx x f x
x x f x f x f x
x x


 

 
  
         
              
             
   

     

 
onde a expressão acima pode ser representada de forma compacta pela equação matricial básica descrita por: 
   
1
( 1) ( ) ( ) ( )i i i ix x J f x

   (6.3) 
 O algoritmo do processo iterativo do método de Newton-Raphson para o cálculo das raizes de um vetor 
 f x de n equações dependentes de um vetor x de n variáveis pode ser esquematizado nas seguintes etapas: 
 Passo 1 (iteração i = 0): adotar um vetor de soluções iniciais x = x(o). Neste passo, é conveniente a escolha de 
pontos iniciais próximos da solução desejada (se possível), de modo a se evitar a divergência do processo 
iterativo ou mesmo a obtenção de soluções sem finalidade prática para o conjunto de equações do problema. 
 Passo 2 (iteração i): com base na estimativa atual x = x(i) obtida na iteração anterior, calcular  ( )if x . 
 Passo 3 (iteração i): testar convergência do processo com a tolerância  especificada: se  ( )max if x  , 
escolher x = x(i) como solução do problema e sair do processo; se  ( )max if x  , ir ao passo 4; 
 Passo 4 (iteração i): calcular a matriz jacobiana  ( )iJ do vetor de equações com a estimativa atual x = x(i). 
 Passo 5 (iteração i): fazer i = i + 1 e obter x = x(i + 1) com o cálculo da equação (6.3). Voltar ao passo 2. 
 Visto que o método Newton-Raphson é apenas um algoritmo para se alcançar uma solução, sem exercer 
qualquer influencia sobre a solução obtida, pode-se entender este processo de cálculo como um percurso entre 
dois pontos (o inicial e a solução) que pode ser percorrido por diferentes caminhos, onde a jacobiana representa 
apenas uma matriz de sensibilidade entre as equações e suas variáveis. Neste sentido, observa-se que, a cada 
iteração, o vetor x representa uma solução aproximada, mas o vetor  f x é calculado de modo exato, tal que o 
critério de convergência do processo é avaliado de forma precisa. Estes fatos sugerem então que o método de 
Newton-Raphson pode ser adaptado para utilizar uma matriz jacobiana aproximada, possívelmente constante, 
desde que a convergência seja controlada por critérios exatos. Assim, o método de Newton-Raphson apresenta 
uma variante, ilustrada na Figura 6.2, em que a derivada da função f(x) no ponto inicial x(o) é mantida constante 
durante o processo iterativo. Esta versão pode requerer um número maior de iterações, mas pode convergir em 
menor tempo devido ao fato da matriz jacobiana não precisar ser refatorada e invertida a cada iteração. 
0 x* x(2) x(1) x(o) x 
+  
  
f(x) 
 
f(x(o)) 
f(x(1)) 
f(x(2)) 
Figura 6.1: Exemplicação gráfica do processo de solução do método de Newton-Raphson. 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON 
 
 Conforme discutido no subitem 5.4.1, o objetivo do subsistema 1 do PFC reside em calcular as variáveis 
de estado desconhecidas da rede. Logo, seja  o vetor de ângulos de tensão para NPV + NPQ barras e V o 
vetor de módulos de tensão para NPQ barras, totalizando 2NPQ + NPV incógnitas. Para isso, o subsistema 1 do 
PFC é modelado por um conjunto formado por 2NPQ + NPV equações algébricas básicas, re-escritas a seguir: 
 
 
tal que o subsistema 1 está adequado para ser solucionado pelo método de Newton-Raphson. 
 Considerando-se então os vetores de variáveis  e V e de equações P e Q , tem-se que os vetores de 
variáveis x e funções  f x do método de Newton-Raphson são definidos na literatura convenientemente por: 
 
 
 
 Visto que os vetores de funções e variáveis assim definidos contém dois tipos de elementos cada, tem-se 
que matriz de derivadas parciais do método de Newton-Raphson apresenta quatrotipos de relação entre funções 
e variáveis, tal que a matriz jacobiana [J ] constituí-se de quatro submatrizes de sensibilidade, descritas a seguir: 
 
 
 
 
 
 Assim, com base nas dimensões dos vetores de funções  f x e de variáveis x descritas anteriormente, 
tem-se que as submatrizes da matriz jacobiana [J ] apresentam as seguintes dimensões mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 Como os vetores de injeções de potência especificadas espP e espQ são constantes (dados) do PFC e, com 
isso, apresentam derivada nula, tem-se que, aplicando-se as funções P e Q na matriz jacobina, obtém-se: 
 
   
   
   
   
esp calc esp calc calc calc calc calc
calc calcesp calc esp calc calc calc
P P P P P P P P
V V V
J
Q QQ Q Q Q Q Q
VV V
  
 
             
     
                               
              
 
 Na literatura técnica da teoria do fluxo de carga, as submatrizes de sensibilidade da matriz jacobiana são 
costumeiramente nomeadas para fins didáticos nas submatrizes [H], [N], [M] e [L], descritas a seguir, tal que: 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
calc calccalc calc H NQ QP P
H N M L J
M LV V 
    
        
      
; ; ; 
submatriz de derivadas parciais do vetor de funções 
P em relação ao vetor de variáveis  
submatriz de derivadas parciais do vetor de 
 funções P em relação ao vetor de variáveis V 
submatriz de derivadas parciais do vetor de 
 funções Q em relação ao vetor de variáveis  
submatriz de derivadas parciais do vetor de 
 funções Q em relação ao vetor de variáveis V 
 
P P
V
J
Q Q
V


  
  
 
  
 
   
 
P P
V
J
Q Q
V


  
  
 
  
 
   
NPQ + NPV 
NPQ 
NPQ NPQ + NPV 
Figura 6.2: Exemplicação gráfica do método de Newton-Raphson com primeira derivada constante. 
0 x* x(o) x 
+  
  
f(x) 
 Equação (5.27): 0esp calcP P P    para NPQ + NPV barras 
 Equação (5.28): 0esp calcQ Q Q    para NPQ barras 
+ 2NPQ + NPV equações 
 ;
esp calcesp calc
esp calc esp calc
P P PP P
x f x
Q Q QV Q Q
        
                         
NPQ + NPV 
NPQ 
NPQ + NPV 
NPQ 
 
18 
 Assim, com base na equação matricial (6.3), tem-se que, para a iteração i e com base no vetor de estado 
das tensões de barra obtido na iteração anterior, a equação básica do método de Newton-Raphson para o cálculo 
do subsistema 1 do problema de fluxo de carga é por fim descrita pela equação matricial definida por: 
   
   
   
1
( )( ) ( )( 1) ( )
1( 1) ( ) ( ) ( )
( )( 1) ( ) ( ) ( )
ii ii i
i i i i
ii i i i
PH N
x x J f x
QV V M L
 




      
          
            
 (6.4) 
 Analisando-se a equação (6.4) observa-se então que o vetor de variáveis está relacionado (acoplado) com 
o vetor de funções por meio das submatrizes da matriz jacobiana. Neste sentido, a submatriz [H] representa a 
sensibilidade entre potência ativa e ângulo de tensão de barra (P/), chamada acoplamento P-, a submatriz 
[N] representa a sensibilidade entre potência ativa e módulo de tensão de barra (P/V), chamada acoplamento 
P-V, a submatriz [M] representa a sensibilidade entre potência reativa e ângulo (Q/), chamada acoplamento 
Q-, e a submatriz [L] representa a sensibilidade entre potência reativa e módulo de tensão (Q/V), chamada 
acoplamento Q-V. Dependendo das características da rede elétrica, estas sensibilidades podem se mostrar fortes 
ou fracas, fato explorado nos chamados métodos descoplados de solução do PFC, vistos nos itens mais adiante. 
 Conforme as definições das submatrizes [H], [N], [M] e [L] da matriz jacobiana vistas anteriormente, 
observa-se que os elementos destas submatrizes consistem de derivadas parciais das potências ativa e reativa 
calc
kP e 
calc
kQ calculadas para cada barra k da rede em estudo, definidas no subitem 5.4.1 e re-escritas a seguir: 
 Equação (5.23):  2 cos sen
k
calc
k k kk k m km km km km
m
P V G V V G B 
 
   
 Equação (5.24):  2 sen cos
k
calc
k k kk k m km km km km
m
Q V B V V G B 

    
 Considerando-se que o cálculo destas equações para uma barra m de um ramo qualquer k-m consiste em 
simplesmente permutar os índices k e m nestas equações, tem-se com base nas identidades: d(senx)/dx = cosx e 
d(cosx)/dx =  senx, que os componentes da diagonal e fora das submatrizes da jacobiana serão definidos por: 
 cos sen
k
calc
k
kk k m km km km km
mk
P
H V V B G 
  

  

 (6.5) 
 sen cos
calc
k
km k m km km km km
m
P
H V V G B 


  

 (6.6) 
 2 cos sen
k
calc
k
kk k kk m km km km km
mk
P
N V G V G B
V
 
 

   

 (6.7) 
 cos sen
calc
k
km k km km km km
m
P
N V G B
V
 

  

 (6.8) 
 cos sen
k
calc
k
kk k m km km km km
mk
Q
M V V G B 
  

  

 (6.9) 
 cos sen
calc
k
km k m km km km km
m
Q
M V V G B 


   

 (6.10) 
 2 sen cos
k
calc
k
kk k kk m km km km km
mk
Q
L V B V G B
V
 
 

    

 (6.11) 
 sen cos
calc
k
km k km km km km
m
Q
L V G B
V
 

  

 (6.12) 
 Visto que as constantes e variáveis de redes elétricas são geralmente convertidas em por unidade (pu), tal 
que as magnitudes das tensões de barra normalmente são próximas de 1,0 pu e os ângulos de fase das tensões 
de barra são usualmente da ordem em módulo de no máximo 0,5 rad, tem-se que o vetor de estados de tensões 
de barra [ |V ]T é geralmente inicializado com o chamado flat-start: V = 1 pu ,  = 0 rad. Esta opção se justifica 
então pelo fato do flat-start proporcionar uma inicialização adequada às variáveis de estado para o processo de 
cálculo do subsistema 1 do PFC, visto que seus valores já se encontrarão ao menos próximos da solução. 
 Assim, com base no algoritmo geral descrito no item 6.1, tem-se que o processo iterativo do método de 
Newton-Raphson para o cálculo do subsistema 1 do PFC pode ser generalizado nas seguintes etapas: 
 Passo 1 (iteração i = 0): ler e normalizar dados da rede elétrica. Adotar flat-start (V = 1 pu ,  = 0 rad) para 
inicializar o vetor de variáveis [ |V ]T. Calcular as matrizes condutância [G] (equações (5.8) a (5.11)) e 
susceptância [B] (equações (5.12) a (5.15)). Montar o vetor de potências especificadas [Pesp | Qesp]T. 
 
19 
 Passo 2 (iteração i): a partir dos vetores de estado das tensões de barra V (i) e  (i ) atual obtidos na iteração 
anterior, calcular os vetores , ( )calc iP e ,( )calc iQ com as equações (5.23) e (5.24), respectivamente. Calcular os 
vetores ( ) , ( )i esp calc iP P P   e ( ) , ( )i esp calc iQ Q Q   e montar o vetor de equações [ ( )iP | ( )iQ ]T. 
 Passo 3 (iteração i): testar convergência com o erro  adotado: se max|[ ( )iP | ( )iQ ]T|   , adotar V (i ) e  (i ) 
para solução do susbsistema 1, finalizar e resolver o subsistema 2; se max|[ ( )iP | ( )iQ ]T| > , ir ao passo 4. 
 Passo 4 (iteração i): calcular os elementos da matriz jacobiana  ( )iJ com base nas equações (6.5) a (6.12). 
 Passo 5 (iteração i): fazer i = i + 1 e obter nova estimativa [ (i + 1) | V (i + 1)]T para o estado das tensões de barra 
da rede em estudo, com o cálculo da equação matricial definida por (6.4). Voltar ao passo 2. 
 No algoritmo descrito acima, observa-se que os valores de calckP e 
calc
kQ (passo 2) são calculados antes dos 
elementos da matriz jacobiana (passo 4). Este fato pode ser aproveitado para se efetuar cálculos mais simples e 
econômicos dos elementos da diagonal principal das submatrizes da matriz jacobiana, por meio da manipulação 
das equações destes elementos com o acréscimo ou multiplicação de certos termos adequados e sem prejuízo da 
definição original. Logo, para uma barra