2ª Avaliação parcial

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Acadêmico: Jorge Rosario de Carvalho (2664990)
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:512317) ( peso.:1,50)
Prova: 18542044
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-la com a
quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente utilizadas na
matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças
verdadeiras e F para as falsas:
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.
( ) A dimensão do R² é igual a 2.
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - V - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - V - F - V.
 d) V - F - V - V.
2. Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que
menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, classifique V para as
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - V - F.
 b) F - F - V - V.
 c) V - V - F - F.
 d) V - F - F - V.
3. Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem,
juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto,
considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador:
 a) [(0,1,1)].
 b) [(0,0,1)].
 c) [(1,0,1)].
 d) [(1,1,0)].
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4. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo,
mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo
problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os vetores u = (0,2,2) e v =
(3,0,2), analise as opções a seguir:
I- u x v = (4,6,-6).
II- u x v = (0,6,4).
III- u x v = (0,-6,6).
IV- u x v = (-4,6,-6).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção III está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção IV está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
5. A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o
módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim,
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4):
 a) 3.
 b) Raiz de 5.
 c) 5.
 d) Raiz de 10.
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6. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado
difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de
que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado
do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (-10,-1,-14).
( ) u x v = (-1,-14,-10).
( ) u x v = (1,14,10).
( ) u x v = (10,-1,14).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - V - F.
7. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as soluções de
equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais de vibração de um instrumento
musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender corretamente
este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o
conceito de autovetor de transformação:
 a) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
 b) É um número real que anula a transformação.
 c) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
 d) É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
8. O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que
possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e
Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores
que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x).
I- v = (1,1).
II- v = (0,1).
III- v = (-2,-2).
IV- v = (1,0).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções II e III estão corretas.
 b) As opções II e IV estão corretas.
 c) As opções I e IV estão corretas.
 d) As opções I e III estão corretas.
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9. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos
acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas
sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de
estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais
complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de
telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação
apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a
alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - F.
 b) V - V - V - F.
 c) F - V - F - F.
 d) F - F - F - V.
10. Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de uma
transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos vetores que são
levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do contradomínio que são
resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisso, assinale alternativa CORRETA
a respeito da transformação a seguir:
 a) O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
 b) O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
 c) A transformação a seguir não é um operador linear.
 d) O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.