Cálculo I- Aula 2 Limites parte 1
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Cálculo I- Aula 2 Limites parte 1


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Cálculo I 
LIMITES \u2013 Parte 1
Professora: Mariah Rissi
LIMITES - Conceitos
\uf075 O curso de Cálculo é baseado no estudo de funções, e tem duas
técnicas principais, que são diferenciação e integração;
\uf075 Para chegar ao estudo dessas técnicas veremos o conceito
fundamental do cálculo, que é o LIMITE.
\uf075 Calcular o Limite é entender como uma função se comporta
próximo a um ponto. O limite da função é a tendência da função
em torno de um determinado ponto.
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o
seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la
nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática, portanto,
tenha significado.
Todavia, em muitos casos, é importante saber como a função se
comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não
pertence ao seu domínio.
E para esse estudo nos valemos na teoria de limites, a qual permite a
análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto,
sem se preocupar com o valor da função neste ponto.
Veremos alguns exemplos a seguir:
LIMITE
\uf075 Exemplo 1: \ud835\udc53 \ud835\udc65 =
\ud835\udc65\u22121
\ud835\udc65\u22121
\u21d4 \ud835\udc53 \ud835\udc65 = 1, \ud835\udc65 \u2260 1
\ud835\udc53 1 =
1\u22121
1\u22121
=
0
0
\u2192 \ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc52\ud835\udc53\ud835\udc56\ud835\udc5b\ud835\udc56\ud835\udc51\ud835\udc5c
lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = 1
\uf075 Exemplo 2: \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \u124a\ud835\udc65
2 \ud835\udc60\ud835\udc52 \ud835\udc65 \u2260 2
1 \ud835\udc60\ud835\udc52 \ud835\udc65 = 2
Gráfico da função \ud835\udc54(\ud835\udc65)
Temos em \ud835\udc65 = 2 \u2194 \ud835\udc54 2 = 1
lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc54 \ud835\udc65 = 4
Esquerda Direita
x f(x) x f(x)
1,92 3,61 2,12 4,41
1,992 3,9601 2,012 4,0401
1,9992 3,996001 2,0012 4,001004
1,99992 3,9996000
1
2,00012 4,000400
0
1,999999992 3,999999..
.
2,000012 4,00004..
.
\uf075 Exemplo 3: \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc65 + 2
Gráfico da função f(\ud835\udc65) lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = 3
Esquerda Direita
x f(x) x f(x)
-1 1 2 4
0 2 1 3,1
0,9 2,9 1,01 3,01
0,99 2,99 1,001 3,001
\u22ee \u22ee \u22ee \u22ee
1 3 1 3
LIMITES - Definição
Seja y = \ud835\udc53 \ud835\udc65 uma função definida nas vizinhanças do ponto \ud835\udc4e, ou, em
certos pontos desta vizinhança.
Escrevemos
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc3f
e dizemos \u201c\ud835\udc5c \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a\ud835\udc56\ud835\udc61\ud835\udc52 \ud835\udc51\ud835\udc52 \ud835\udc53(\ud835\udc65), \ud835\udc5e\ud835\udc62\ud835\udc4e\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc5c \ud835\udc65 \ud835\udc61\ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc52 a \ud835\udc4e, é \ud835\udc56\ud835\udc54\ud835\udc62\ud835\udc4e\ud835\udc59 a \ud835\udc3f\u201d,
se pudermos tornar os valores de \ud835\udc53(\ud835\udc65) arbitrariamente próximos de
\ud835\udc3f (tão próximos de \ud835\udc3f quanto quisermos), tornando x suficientemente de
a(por ambos os lados), mas não igual a \ud835\udc4e.
LIMITES \u2013 Definição (continuação)
E se, para cada número positivo \u3b5 > 0, tão pequeno quanto se
queira, pode-se indicar um \u3b4 > 0 tal que, para todo x diferente de
a, verificando | x -a | < \u3b4 , a desigualdade | f(x) - L | < \u3b5, fica
satisfeita.
Diz-se então que L é o limite de f(x).
Para definir o limite de uma função em um determinado ponto \ud835\udc4e, quando
\ud835\udc65 \u2192 \ud835\udc4e, primeiro devemos observar se a função tem alguma indefinição, caso não
tenha, determinamos o limite desta função de forma direta, conforme os
exemplos a seguir:
Exemplo 1:
Seja \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b 2\ud835\udf0b\ud835\udc65 , determine o limite de f(x), quando \ud835\udc65 \u2192
1
4
.
lim
\ud835\udc65\u2192
1
4
\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b 2\ud835\udf0b\ud835\udc65 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b 2\ud835\udf0b
1
4
=\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b
\ud835\udf0b
2
= 1
Calculando limites
\uf075 Mais exemplos: 
\ud835\udc4e) lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
3\ud835\udc65 \u2212 1 = \u22127
\ud835\udc4f) lim
\ud835\udc65\u21927
100 = 100
\ud835\udc50) lim
\ud835\udc65\u2192\u22121
\ud835\udc65 + 4
2\ud835\udc65 + 1
= 3
\ud835\udc51) lim
\ud835\udc65\u21923
\ud835\udc652 + 2 = 11
\uf075 Fazemos de forma inversa agora. Vamos definir o limite através
do gráfico da função.
Exemplo 2:
Considerando o gráfico de \ud835\udc53: \u211b \u2192 \u211b , esboçado na figura a
seguir, determine:
Propriedade de Limites
1 . O limite de uma função identidade \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65, quando x tende \ud835\udc4e
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc65 = \ud835\udc4e
Exemplos:
a) lim
\ud835\udc65\u21923
\ud835\udc65 = 3 b) lim
\ud835\udc65\u21926
\ud835\udc65 = 6 c) lim
\ud835\udc65\u2192\u22129
\ud835\udc65 = \u22129
Propriedade de Limites
2. O limite de uma função constante \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc36,
quando \ud835\udc65 tende a \ud835\udc4e;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc50 = \ud835\udc50
Exemplos:
a) lim
\ud835\udc65\u2192\u22129
3 = 3 b) lim
\ud835\udc65\u21920
6 = 6 c) lim
\ud835\udc65\u2192\u22129
e = \ud835\udc52
Propriedade de Limites
3. O limite de uma constante vezes uma função é a
constante vezes a função
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc50. \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc50. \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
Exemplos:
a) lim
\ud835\udc65\u21921
9\ud835\udc65 = 9 lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc65 = 9 \u2217 1 = 9
b) lim
\ud835\udc65\u21922
3\ud835\udc652 = 3 lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc652 = 3 \u2217 22 = 3 \u2217 4 = 12
Propriedade de Limites
4. O limite da soma é igual a soma dos limites;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54 \ud835\udc65
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc652 + 6\ud835\udc65 + 3 = lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc652 + lim
\ud835\udc65\u21921
6\ud835\udc65 + lim
\ud835\udc65\u21921
3 =
lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc652 + 6 lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc65 + lim
\ud835\udc65\u21921
3 = 12 + 6 \u2217 1 + 3 = 10
Propriedade de Limites
5. O limite de uma diferença é igual a diferença 
dos limites;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54 \ud835\udc65
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc653 \u2212 3\ud835\udc65 = lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc653 \u2212 lim
\ud835\udc65\u21922
3\ud835\udc65 =
lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc653 \u2212 3 lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc65 = 23 \u2212 3 \u2217 2 = 8 \u2212 6 = 2.
Propriedade de Limites
6. O limite de um produto é igual ao produto dos 
limites;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 . \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 . \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54 \ud835\udc65
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21922
9\ud835\udc65 = lim
\ud835\udc65\u21922
9 . lim
\ud835\udc65\u21922
\ud835\udc65 = 9*2=18
lim
\ud835\udc65\u21926
\ud835\udc652 = lim
\ud835\udc65\u21926
\ud835\udc65. lim
\ud835\udc65\u21926
x = 6 \u2217 6 = 36
Propriedade de Limites
7. O limite de um quociente é igual ao quociente
dos limites;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc54 \ud835\udc65
=
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54(\ud835\udc65)
\ud835\udc60\ud835\udc52 \ud835\udc54(\ud835\udc65) \u2260 0
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21923
\ud835\udc65\u22125
\ud835\udc653\u22127
=
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u21923
\ud835\udc65\u22125
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u21923
\ud835\udc653\u22127
=
3\u22125
27\u22127
=
\u22122
20
=
\u22121
10
Propriedade de Limites
8. O limite da potência de uma função \ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc5b
,
onde \ud835\udc5b é um numero inteiro positivo, é igual a
potência do limite da função;
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \ud835\udc5b = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc5b
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21922
2\ud835\udc65 + \ud835\udc653 4 = lim
\ud835\udc65\u21922
2\ud835\udc65 + \ud835\udc653
4
= 124
Propriedade de Limites
9. O limite da raiz de uma função
\ud835\udc5b \ud835\udc53(\ud835\udc65), é a raiz do
limite da função, se o limite existi e é maior ou igual
a zero.
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc5b
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc5b \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc654 \u2212 4\ud835\udc65 + 1 = lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
(\ud835\udc654 \u2212 4\ud835\udc65 + 1) =
= \u22122 4 \u2212 4 \u2217 \u22122 + 1 = 5.
Propriedade de Limites
10. O limite do logaritmo de uma função f(x) é
igual ao logaritmo do limite.
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
ln \ud835\udc53 \ud835\udc65 = ln lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53(\ud835\udc65) , \ud835\udc60\ud835\udc52lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 > 0
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc52
\ud835\udc652 = ln lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc52
\ud835\udc652 = ln \ud835\udc522 =2ln e = 2 \u2217 1 =2
Propriedade de Limites
11. O limite do seno (cosseno) de uma função
\ud835\udc53(\ud835\udc65) é igual ao seno(cosseno) do limite dessa
função.
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 )
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b \ud835\udc652 + 3\ud835\udc65 = sen lim
\ud835\udc65\u21921
(\ud835\udc652+3\ud835\udc65) = sen 4
Propriedade de Limites
12. O limite do exponencial de uma função \ud835\udc53(\ud835\udc65) é
igual a exponencial do limite dessa função.
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc52\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc52
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
Exemplo:
lim
\ud835\udc65\u21921
\ud835\udc52\ud835\udc65
2+3\ud835\udc65 = \ud835\udc52
lim
\ud835\udc65\u21921
(\ud835\udc652+3\ud835\udc65)
= \ud835\udc524
Propriedade de Limites
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc65 = \ud835\udc4e
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc50 = \ud835\udc50
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc50. \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc50. \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54 \ud835\udc65
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \u2212 \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54 \ud835\udc65
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 . \ud835\udc54 \ud835\udc65 = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 . \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54(\ud835\udc65)
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc54 \ud835\udc65
=
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc54(\ud835\udc65)
\ud835\udc60\ud835\udc52 \ud835\udc54(\ud835\udc65) \u2260 0
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 \ud835\udc5b = \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc5b
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc5b
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc5b \ud835\udc59\ud835\udc56\ud835\udc5a
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
(\ud835\udc60\ud835\udc52 \ud835\udc5b \ud835\udc53\ud835\udc5c\ud835\udc5f \ud835\udc5d\ud835\udc4e\ud835\udc5f, \ud835\udc60\ud835\udc62\ud835\udc5d\ud835\udc5c\ud835\udc5a\ud835\udc5c\ud835\udc60 \ud835\udc5e\ud835\udc62\ud835\udc52 lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 > 0)
PARA LEMBRAR!!!!
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
ln \ud835\udc53 \ud835\udc65 = ln lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53(\ud835\udc65)
\ud835\udc60\ud835\udc52lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 > 0
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b \ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b(lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65 )
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc52\ud835\udc53 \ud835\udc65 = \ud835\udc52
lim
\ud835\udc65\u2192\ud835\udc4e
\ud835\udc53 \ud835\udc65
Exemplos
1. Sendo lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65 = 1 e lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc54 \ud835\udc65 = \u22123, calcule:
a) lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + 5\ud835\udc54(\ud835\udc65) = lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
5. \ud835\udc54 \ud835\udc65
= lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65 + 5. lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc54 \ud835\udc65 = 1 + 5 \u22123 = \u221214.
b) lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
[\ud835\udc53 \ud835\udc65 . \ud835\udc54 \ud835\udc65 ] = lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65 . lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc54 \ud835\udc65 = 1 \u2217 \u22123 = \u22123
c) lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65
\ud835\udc54 \ud835\udc65
=
lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc53 \ud835\udc65
lim
\ud835\udc65\u2192\u22122
\ud835\udc54 \ud835\udc65
=
1
\u22123
= \u2212
1
3
Um segundo caso para calcular o limite de uma função em um
determinado ponto \ud835\udc4e, quando \ud835\udc65 \u2192 \ud835\udc4e , é quando observamos uma
indefinição na função. Neste caso devemos TENTAR desaparecer com a
indeterminação através de operações algébricas:
*fatoração;
*produtos notáveis;
*racionalização;
*substituição de alguma identidade trigonométrica
... se for o caso...
\ud835\udc8d\ud835\udc8a\ud835\udc8e
\ud835\udc99\u2192\ud835\udfd0
\ud835\udc99\ud835\udfd1\u2212\ud835\udfd2\ud835\udc99
\ud835\udc99\ud835\udfd0\u2212\ud835\udfd2
=
\ud835\udfce
\ud835\udfce
\u21d2 ? ? ? ? e \ud835\udc8d\ud835\udc8a\ud835\udc8e
\ud835\udc99\u2192\ud835\udfd3
\ud835\udc99\u2212\ud835\udfd3
\ud835\udc99\ud835\udfd0\u2212\ud835\udfd3\ud835\udc99
=
\ud835\udfce
\ud835\udfce
\u21d2 ? ? ? ?
Calculando limites
Expressões indeterminadas: são expressões, que a priori, nada se
pode afirmar sobre o valor de seus limites. Neste caso faz-se
necessário