Cálculo I- Aula 2 Limites parte 1

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Cálculo I 
LIMITES – Parte 1
Professora: Mariah Rissi
LIMITES - Conceitos
 O curso de Cálculo é baseado no estudo de funções, e tem duas
técnicas principais, que são diferenciação e integração;
 Para chegar ao estudo dessas técnicas veremos o conceito
fundamental do cálculo, que é o LIMITE.
 Calcular o Limite é entender como uma função se comporta
próximo a um ponto. O limite da função é a tendência da função
em torno de um determinado ponto.
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o
seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la
nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática, portanto,
tenha significado.
Todavia, em muitos casos, é importante saber como a função se
comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não
pertence ao seu domínio.
E para esse estudo nos valemos na teoria de limites, a qual permite a
análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto,
sem se preocupar com o valor da função neste ponto.
Veremos alguns exemplos a seguir:
LIMITE
 Exemplo 1: 𝑓 𝑥 =
𝑥−1
𝑥−1
⇔ 𝑓 𝑥 = 1, 𝑥 ≠ 1
𝑓 1 =
1−1
1−1
=
0
0
→ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 = 1
 Exemplo 2: 𝑔 𝑥 = ቊ𝑥
2 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
1 𝑠𝑒 𝑥 = 2
Gráfico da função 𝑔(𝑥)
Temos em 𝑥 = 2 ↔ 𝑔 2 = 1
lim
𝑥→2
𝑔 𝑥 = 4
Esquerda Direita
x f(x) x f(x)
1,92 3,61 2,12 4,41
1,992 3,9601 2,012 4,0401
1,9992 3,996001 2,0012 4,001004
1,99992 3,9996000
1
2,00012 4,000400
0
1,999999992 3,999999..
.
2,000012 4,00004..
.
 Exemplo 3: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
Gráfico da função f(𝑥) lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 = 3
Esquerda Direita
x f(x) x f(x)
-1 1 2 4
0 2 1 3,1
0,9 2,9 1,01 3,01
0,99 2,99 1,001 3,001
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 3 1 3
LIMITES - Definição
Seja y = 𝑓 𝑥 uma função definida nas vizinhanças do ponto 𝑎, ou, em
certos pontos desta vizinhança.
Escrevemos
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
e dizemos “𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓(𝑥), 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 a 𝑎, é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 a 𝐿”,
se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de
𝐿 (tão próximos de 𝐿 quanto quisermos), tornando x suficientemente de
a(por ambos os lados), mas não igual a 𝑎.
LIMITES – Definição (continuação)
E se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se
queira, pode-se indicar um δ > 0 tal que, para todo x diferente de
a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade | f(x) - L | < ε, fica
satisfeita.
Diz-se então que L é o limite de f(x).
Para definir o limite de uma função em um determinado ponto 𝑎, quando
𝑥 → 𝑎, primeiro devemos observar se a função tem alguma indefinição, caso não
tenha, determinamos o limite desta função de forma direta, conforme os
exemplos a seguir:
Exemplo 1:
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑥 , determine o limite de f(x), quando 𝑥 →
1
4
.
lim
𝑥→
1
4
𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋
1
4
=𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1
Calculando limites
 Mais exemplos: 
𝑎) lim
𝑥→−2
3𝑥 − 1 = −7
𝑏) lim
𝑥→7
100 = 100
𝑐) lim
𝑥→−1
𝑥 + 4
2𝑥 + 1
= 3
𝑑) lim
𝑥→3
𝑥2 + 2 = 11
 Fazemos de forma inversa agora. Vamos definir o limite através
do gráfico da função.
Exemplo 2:
Considerando o gráfico de 𝑓: ℛ → ℛ , esboçado na figura a
seguir, determine:
Propriedade de Limites
1 . O limite de uma função identidade 𝑓(𝑥) = 𝑥, quando x tende 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
Exemplos:
a) lim
𝑥→3
𝑥 = 3 b) lim
𝑥→6
𝑥 = 6 c) lim
𝑥→−9
𝑥 = −9
Propriedade de Limites
2. O limite de uma função constante 𝑓(𝑥) = 𝐶,
quando 𝑥 tende a 𝑎;
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
Exemplos:
a) lim
𝑥→−9
3 = 3 b) lim
𝑥→0
6 = 6 c) lim
𝑥→−9
e = 𝑒
Propriedade de Limites
3. O limite de uma constante vezes uma função é a
constante vezes a função
lim
𝑥→𝑎
𝑐. 𝑓 𝑥 = 𝑐. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
Exemplos:
a) lim
𝑥→1
9𝑥 = 9 lim
𝑥→1
𝑥 = 9 ∗ 1 = 9
b) lim
𝑥→2
3𝑥2 = 3 lim
𝑥→2
𝑥2 = 3 ∗ 22 = 3 ∗ 4 = 12
Propriedade de Limites
4. O limite da soma é igual a soma dos limites;
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
Exemplo:
lim
𝑥→1
𝑥2 + 6𝑥 + 3 = lim
𝑥→1
𝑥2 + lim
𝑥→1
6𝑥 + lim
𝑥→1
3 =
lim
𝑥→1
𝑥2 + 6 lim
𝑥→1
𝑥 + lim
𝑥→1
3 = 12 + 6 ∗ 1 + 3 = 10
Propriedade de Limites
5. O limite de uma diferença é igual a diferença 
dos limites;
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
Exemplo:
lim
𝑥→2
𝑥3 − 3𝑥 = lim
𝑥→2
𝑥3 − lim
𝑥→2
3𝑥 =
lim
𝑥→2
𝑥3 − 3 lim
𝑥→2
𝑥 = 23 − 3 ∗ 2 = 8 − 6 = 2.
Propriedade de Limites
6. O limite de um produto é igual ao produto dos 
limites;
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
Exemplo:
lim
𝑥→2
9𝑥 = lim
𝑥→2
9 . lim
𝑥→2
𝑥 = 9*2=18
lim
𝑥→6
𝑥2 = lim
𝑥→6
𝑥. lim
𝑥→6
x = 6 ∗ 6 = 36
Propriedade de Limites
7. O limite de um quociente é igual ao quociente
dos limites;
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑠𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0
Exemplo:
lim
𝑥→3
𝑥−5
𝑥3−7
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥−5
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥3−7
=
3−5
27−7
=
−2
20
=
−1
10
Propriedade de Limites
8. O limite da potência de uma função 𝑓 𝑥
𝑛
,
onde 𝑛 é um numero inteiro positivo, é igual a
potência do limite da função;
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
Exemplo:
lim
𝑥→2
2𝑥 + 𝑥3 4 = lim
𝑥→2
2𝑥 + 𝑥3
4
= 124
Propriedade de Limites
9. O limite da raiz de uma função
𝑛 𝑓(𝑥), é a raiz do
limite da função, se o limite existi e é maior ou igual
a zero.
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
Exemplo:
lim
𝑥→−2
𝑥4 − 4𝑥 + 1 = lim
𝑥→−2
(𝑥4 − 4𝑥 + 1) =
= −2 4 − 4 ∗ −2 + 1 = 5.
Propriedade de Limites
10. O limite do logaritmo de uma função f(x) é
igual ao logaritmo do limite.
lim
𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥 = ln lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) , 𝑠𝑒lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 > 0
Exemplo:
lim
𝑥→𝑒
𝑥2 = ln lim
𝑥→𝑒
𝑥2 = ln 𝑒2 =2ln e = 2 ∗ 1 =2
Propriedade de Limites
11. O limite do seno (cosseno) de uma função
𝑓(𝑥) é igual ao seno(cosseno) do limite dessa
função.
lim
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 )
Exemplo:
lim
𝑥→1
𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 3𝑥 = sen lim
𝑥→1
(𝑥2+3𝑥) = sen 4
Propriedade de Limites
12. O limite do exponencial de uma função 𝑓(𝑥) é
igual a exponencial do limite dessa função.
lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
Exemplo:
lim
𝑥→1
𝑒𝑥
2+3𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→1
(𝑥2+3𝑥)
= 𝑒4
Propriedade de Limites
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
lim
𝑥→𝑎
𝑐. 𝑓 𝑥 = 𝑐. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑠𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
𝑛
lim
𝑥→𝑎
𝑛
𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
(𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟, 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 > 0)
PARA LEMBRAR!!!!
lim
𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥 = ln lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑠𝑒lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 > 0
lim
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 )
lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
Exemplos
1. Sendo lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 = 1 e lim
𝑥→−2
𝑔 𝑥 = −3, calcule:
a) lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 + 5𝑔(𝑥) = lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 + lim
𝑥→−2
5. 𝑔 𝑥
= lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 + 5. lim
𝑥→−2
𝑔 𝑥 = 1 + 5 −3 = −14.
b) lim
𝑥→−2
[𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ] = lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥 . lim
𝑥→−2
𝑔 𝑥 = 1 ∗ −3 = −3
c) lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
lim
𝑥→−2
𝑓 𝑥
lim
𝑥→−2
𝑔 𝑥
=
1
−3
= −
1
3
Um segundo caso para calcular o limite de uma função em um
determinado ponto 𝑎, quando 𝑥 → 𝑎 , é quando observamos uma
indefinição na função. Neste caso devemos TENTAR desaparecer com a
indeterminação através de operações algébricas:
*fatoração;
*produtos notáveis;
*racionalização;
*substituição de alguma identidade trigonométrica
... se for o caso...
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟐
𝒙𝟑−𝟒𝒙
𝒙𝟐−𝟒
=
𝟎
𝟎
⇒ ? ? ? ? e 𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟓
𝒙−𝟓
𝒙𝟐−𝟓𝒙
=
𝟎
𝟎
⇒ ? ? ? ?
Calculando limites
Expressões indeterminadas: são expressões, que a priori, nada se
pode afirmar sobre o valor de seus limites. Neste caso faz-se
necessárioum trabalho algébrico para transformar a expressão em
uma equivalência a ela, para a qual seja possível o cálculo do
limite.
Calculando limites
E determinamos o limite desta função de forma direta, conforme
os exemplos a seguir:
Calculando limites
Exemplos
a) lim
𝑥→2
𝑥2+𝑥−6
𝑥−2
=
0
0
𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
𝑥 + 3 = 5
Calculando limites
Exemplos
b) lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥− 5
=
0
0
𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥− 5
= lim
𝑥→5
𝑥−5
𝑥− 5
𝑥+ 5
𝑥+ 5
= lim
𝑥→5
𝑥−5 𝑥+ 5
𝑥− 5 𝑥+ 5
= lim
𝑥→5
𝑥−5 𝑥+ 5
𝑥−5
=
= lim
𝑥→5
𝑥 + 5 = 2 5.
Exercícios
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