Exercício Resolvido de Subespaço Vetorial

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Teste 1 - Turmas 33E e 34G
Questão. Verifique se o seguinte conjunto é subespaço vetorial do espaço vetorial
dado:
a) U = {(x, y) ∈ R2| y = 2x} em R2 com as operações usuais;
Resolução. Para checarmos que o conjunto U é subespaço vetorial de R2, basta
aplicarmos o teorema do subespaço, isto é, basta checarmos três itens:
i) U é um conjunto não-vazio. Geralmente checamos isto verificando se
−→
0 ∈ U ;
ii) Dados dois vetoress u, v ∈ U , a adição u+ v é ainda um vetor de U ;
iii) Dados um número real α e um vetor u ∈ U , a multiplicação por escalar αu
ainda é um elemento de U .
Do enunciado do exerćıcio, os vetores de U são pares ordenados (x, y) tais que
y = 2x, então são elementos da forma (x, 2x). Por exemplo, (1, 2), (2, 4), (−3,−6),
etc.
Uma vez entendido quais vetores do R2 que “moram”em U . Vamos checar os itens.
O item i). O vetor nulo de R2 com as operações usuais é (0, 0). Note que
(0, 0) = (0, 2 ·0) é um elemento que tem a forma dos vetores de U , logo, (0, 0) ∈ U .
O item ii). Sejam u, v ∈ U . Então u é da forma (x, 2x) e v da forma (z, 2z).
Fazendo a soma temos: u+v = (x, 2x)+(z, 2z) = (x+z, 2x+2z) = (x+z, 2(x+z))
que é um vetor da forma dos vetores de U . Portanto u+ v ∈ U .
O item iii). Seja α ∈ R e u = (x, 2x) um vetor qualquer de U . Então αu =
α(x, 2x)(αx, α(2x)) = (αx, 2(αx)) que é um elemento de U .
OBS 1. Nada te impede de checar os 8 axiomas e verificar que U é um espaço
vetorial, porém esta é uma sáıda muito mais longa e uma vez que sabemos um
pouco da teoria podemos nos poupar deste trabalho.
OBS 2. O subespaço U nada mais é que a reta passando pela origem cujo vetor
diretor é (1, 2). Então U é o subespaço gerado por (1, 2). Qual a dimensão de U?
A resposta será 1 (porque?).
1
b) V =
{[
a 1
0 b
]
; a, b ∈ R
}
em M2(R) com as operações usuais.
Resolução. Primeiro vamos entender como são os elementos do conjunto V .
São matrizes 2 por 2 onde somente duas entradas estão variando. Na posição a12
temos 1 e na posição a21 temos 0 sempre. Alguns exemplos de elementos de V são[
2 1
0 7
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
−7 1
0 9
]
, etc.
Afirmação: o conjunto V não é subespaço vetorial.
De fato, basta mostrar que qualquer um dos itens não funciona.
o item ii) não vale. Sejam u =
[
a 1
0 b
]
e v =
[
c 1
0 d
]
dois elementos quaisquer
de V .
A adição destes dois vetores é u + v =
[
a+ c 2
0 b+ d
]
que não é um elemento de
V pois na entrada a12 temos o valor 2, mas para pertencer a V deveria ser entrada com
valor 1.
Como esta propriedade não funciona segue que o conjunto V não é subespaço de
M2(R).
Note que o item iii) também não funciona, pois
α
[
a 1
0 b
]
=
[
a α
0 b
]
que não é um elemento de V quando α 6= 1.
OBS. Uma outra maneira, as vezes mais rápida, de ver que V não é subespaço é o
fato de que se V fosse subespaço então o vetor nulo de M2(R) que é
[
0 0
0 0
]
deveria ser
elemento de V , o que não é verdade.
2