analise_de_sistemas_de_potencia_und2

Prévia do material em texto

FLUXO DE POTÊNCIA: 
FORMULAÇÃO, MÉTODOS DE 
SOLUÇÃO, AJUSTES E CONTROLE
42
Análise de Sistemas de Potência
2 FLUXO DE POTÊNCIA: FORMULAÇÃO, MÉTODOS DE SOLUÇÃO, 
AJUSTES E CONTROLE
A principal função de um sistema de energia é a de fornecer as potências ativa 
e reativa necessárias às diversas cargas a ele ligadas. Simultaneamente, a frequência 
e as várias tensões de barra devem ser mantidas dentro de limites especificados, 
apesar das variações que podem apresentar as demandas das cargas. Podemos dividir 
o funcionamento global do sistema em regime permanente nas três subáreas: modelos 
de sistema e análise do fluxo de carga; desenvolvimento de estratégia ótima de geração 
e controle de sistemas.
A melhor maneira de se apresentar as características principais dos problemas 
de funcionamento é analisar o sistema simples, de duas barras, mostrado na figura 2.1.
Figura 2�14: Exemplo de sistema com duas barras.
Cada barra está sendo alimentada por unidades geradoras que injetam as potências 
SG1 e SG2, respectivamente, nas barras 1 e 2. As cargas são alimentadas a partir de 
cada barra com SD1 e SD2. As 2 barras são interligadas por uma linha de transmissão 
que possui uma impedância série Zser e duas admitâncias paralelas Ysh. As tensões 
nas 2 barras são representadas por V1 e V2, respectivamente.
Na análise juntou-se as potências do gerador e da carga de uma barra numa 
única, designada por potência de barra, para a barra em questão. Assim, para a barra 
v, damos a potência o símbolo Sv, definindo-a como a diferença entre as potências do 
gerador e da carga. Para o sistema de duas barras, tem-se que:
(2.1)
A potência da barra pode ser considerada como injetada na barra por uma fonte 
de potência de barra. O sistema funcionaria da seguinte maneira: agindo sobre a 
máquina motriz, o que seria feito por meio de 2 reguladores de turbina, conseguiríamos 
um exato equilíbrio entre a potência ativa gerada e a demanda de potência ativa mais 
as perdas ativas. Isso é possível mantendo constante a frequência de 60 Hz.
Agindo sobre a corrente de campo em cada rotor, e portanto, sobre a fem do 
estator, consegue-se um perfeito equilíbrio entre a potência reativa gerada e a demanda 
de potência reativa mais as perdas reativas. Isso é possível mantendo constante as 
tensões de barra. É evidente que alguma potência reativa é gerada na linha e essa 
quantidade certamente afeta o balanço. A função da linha de transmissão é a de fornecer 
43
Análise de Sistemas de Potência
um caminho para que o excesso de potência em uma barra possa alimentar uma carga 
na outra e/ou a de servir como ligação de emergência.
2�1 CLASSIFICAÇÃO DE BARRAS COM BASE NO TIPO DE 
ESPECIFICAÇÃO
É possível classificar as barras em três categorias
 ▪ Barra tipo 1: para esse tipo de barra, conhece-se a priori PDi e QDi e especificamos 
PGi e QGi. Com efeito, especifica-se as potências das barras, Pi e Qi;
A solução das equações do fluxo de carga fornecerá e di. Uma barra de carga 
que, pela falta de equipamento de geração, seja caracterizada por PGi e QGi iguais a 
zero cai, evidentemente, nessa categoria.
 ▪ Barra tipo 2: para esse tipo de barra, conhece-se previamente PDi e QDi e 
especifica-se e PGi. Portanto, especificamos a potências de barras Pi;
A solução das equações do fluxo de carga fornecerá QGi (e, portanto, Qi) e di. 
Essa é uma barra de controle de tensão, assim chamada porque sua tensão pode 
ser controlada.
 ▪ Barra tipo 3: para esse tipo de barra, conhece-se PDi e QDi e especifica-se 
e di, este último usualmente feito igual a zero;
A solução das equações do fluxo de carga fornecerá PGi e QGi (e, portanto, Pi e Qi). 
Essa é a barra de referência, também chamada de barra oscilante (em inglês, swing bus).
2�2 MODELO DE SISTEMA – AS EQUAÇÕES ESTÁTICAS DO 
FLUXO DE CARGA
Uma análise dos problemas associados com a manutenção do balanço entre 
potências, tensões e frequência é fundamental para o entendimento das características 
de funcionamento de um sistema como a da figura 2.1. Inicia-se por determinar um 
modelo matemático apropriado para o presente exemplo de demonstração. Logicamente, 
o sistema da figura 2.2 é um circuito elétrico e, portanto, usando as fórmulas conhecidas 
dos circuitos, podemos construir um modelo. Por exemplo, considere as correntes que 
entram e saem das barras. Para a barra 1 a corrente correspondente à potência 
e à tensão dessa barra, deve ser igual à corrente que entra na linha. Essa última consiste 
de 2 componentes, um deles V1Ysh, circulando pela admitância em paralelo e o outro 
(V1 – V2) / Zser, circulando pela impedância em série do circuito equivalente da linha.
Figura 2�15: Exemplo de sistema com duas barras – circuito equivalente.
44
Análise de Sistemas de Potência
Assim, para o balanço de corrente na barra 1, temos:
(2.2)
e para a barra 2:
(2.3)
A admitância em paralelo é, para efeitos práticos, puramente capacitiva e tem-se que:
(2.4)
onde Xc é a reatância capacitiva da metade da linha.
A impedância em série pode ser escrita como:
Zser = R + jXL
Define-se um fator de perda:
(2.5)
e, como as perdas são sempre relativamente pequenas, tem-se em geral:
a <<1
Nessas condições, pode-se escrever:
(2.6)
As tensões de barra V1 e V2 são caracterizadas por módulo e fase, e podem ser 
escritas:
(2.7)
Substituindo as equações (2.1), (2.4), (2.6) e (2.7) nas duas equações complexas 
(2.2) e (2.3) e separando as partes reais e imaginárias, obtemos quatro equações reais 
que são:
PG1 – PD1 – sen a + sen [a – (d1 – d2)] = 0
PG2 – PD2 – sen a + sen [a + (d1 – d2)] = 0
QG1 – QD1 + – cos a + cos [a – (d1 – d2)] = 0
QG2 – QD2 + – cos a + cos [a – (d1 – d2)] = 0
(2.8)
Estas equações são designadas por equações estáticas do fluxo de carga (EEFC, 
no inglês adota-se a sigla SLFE – “Static Load Flow Equations”).
45
Análise de Sistemas de Potência
2�3 CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DAS EEFC
As equações são algébricas porque representam um modelo estático de sistema 
ou um sistema funcionando em regime permanente. As equações são não lineares, 
ou seja, existe a possibilidade de se deparar com grandes dificuldades na obtenção 
de soluções analíticas, o que só pode ser resolvido com a ajuda de softwares ou 
métodos específicos.
Em geral, na análise de circuitos as equações relacionam tensões e correntes. Estas 
relacionam tensões e potências. Nas fórmulas não se encontra explicitamente a variável 
frequência. É lógico que ela aparece na reatância XL = 2 π f L e Xc = 1/ 2 π f C. Supõe-se 
regime permanente e frequência constante. Deve-se sempre lembrar que a frequência 
está implícita. Hoje em dia, a constância da frequência nas redes é de ± 0,05 Hz.
O balanço de potência ativa visto anteriormente, pode ser demonstrado em termos 
matemáticos, somando-se as duas primeiras equações (2.8):
PG1 + PG2 = PD1 + PD2 + cos (d1 - d2)] (2.9)
Esta equação diz que a potência ativa gerada é igual à soma da demanda de 
potência ativa com as perdas ativas PL. Nota-se que o termo referente às perdas 
desaparece para a = 0. Em geral ele é pequeno, da ordem de valores percentuais da 
demanda total.
O balanço de potência reativa pode ser demonstrada de maneira análoga, agora 
somando-se as duas últimas equações de (2.8):
QG1 + QG2 = QD1 + QD2 + cos (d1 - d2)] (2.10)
O terceiro termo representa as perdas reativas QL e o quarto termo a potência 
reativa gerada na linha (como pode-se observar pelo sinal). Os termos relativos às 
perdas são funções apenas das variáveis de tensão. Pode-se escrever:
PL = PL ( 1, 2)
QL = QL ( 1, 2)
(2.11)
Note que em todas as quatro equações (2.8) os ângulos d1 e d2 aparecem sob a 
forma de diferença, d1 - d2.
Além dos parâmetros fixos de circuito, a, XL e XC, as equações (2.8) contém doze 
variáveis (excluindo a frequência que está implícita). Deve-se então especificar oito 
variáveis para que se possa deduzir as outras quatro.
2�3�1 CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DO SISTEMA
É possível dividir-se as variáveis levando-se em consideração a relaçãocausa-
efeito no sistema de potência nos seguintes grupos:
 ▪ Variáveis não controláveis ou de perturbação: as variáveis PD1, PD2, QD1, 
QD2 estão completamente fora de controle, visto que elas são determinadas pelo 
consumidor. Serão representadas pelos símbolos: p1, ..., p4. A última designação 
deve-se ao fato de que suas imprevisíveis variações fazem com o sistema desvie-se 
de suas condições nominais.
46
Análise de Sistemas de Potência
As variáveis de perturbação constituem os componentes de um vetor de perturbação 
p, com quatro dimensões, definido como segue:
p = (2.12)
 ▪ Variáveis de estado e de controle: as 8 variáveis que sobraram , PG1, 
PG2, QG1, QG2, podem, facilmente, ser agrupadas em duas categorias – variáveis 
independentes e dependentes que, na teoria de controle, recebem os nomes de variáveis 
de controle e de estado, respectivamente. Na primeira categoria serão incluídas aquelas 
que são fisicamente usadas para manipular ou controlar as da outra categoria. 
Logicamente, as saídas do gerador PG1, PG2, QG1, QG2 são as variáveis de controle.
Atuando sobre QG1, QG2, afetam-se fortemente os módulos das tensões . 
Analogamente em PG1, PG2 afeta δ1, δ2.
Resumindo, define-se como variáveis de estado. Para localizar-se em 
acordo com o que se usa na prática no que diz respeito aos símbolos, estas variáveis 
serão representadas por x1, x2, x3 e x4. PG1, PG2, QG1 e QG2 são as variáveis de controle 
representadas por u1, u2, u3, u4.
Introduz-se portanto o vetor de estado x e o vetor de controle u, definidos como segue:
(2.13)
2�4 SOLUÇÃO DAS EEFC
Tendo classificado as doze variáveis das equações (2.8), a solução dessas 
equações pode ser realizada convenientemente nas seguintes etapas:
 ● Etapa 1: Admitindo conhecida a demanda do consumidor, tem-se um 
conhecimento prévio dos quatro parâmetros p;
 ● Etapa 2: Formula-se uma hipótese sobre as quatro variáveis de controle; isto 
é, especifica-se as potências geradas nas barras.
 ● Etapa 3: As quatro variáveis restantes constituem então, as incógnitas. Com 
exatamente quatro equações pode-se, em princípio, determiná-las sem grandes problemas.
Examinando o problema mais de perto, verifica-se que existem 2 obstáculos 
básicos que nos impedem de seguir as etapas indicadas: não se pode, a priori, especificar 
as quatro variáveis de geração, pois não se conhece as perdas PL e QL. De acordo 
com as equações (2.9) e (2.10), a soma das variáveis de controle deve ser igual a soma 
das demandas com as perdas. Essas, como mostram as equações (2.11), são funções 
das variáveis de estado, ainda desconhecidas. Consequentemente, não se conhecem 
as potências ativas e reativas totais geradas, isto é PG1 + PG2 e QG1 + QG2. Pode-se, 
especificar duas destas potências deixando as outras duas como incógnitas. E finalmente, 
nas EEFC nunca será permitido obter, individualmente os ângulos d1 e d2, pode-se 
apenas obter sua diferença d1 - d2.
47
Análise de Sistemas de Potência
2�4�1 ESPECIFICAÇÕES MODIFICADAS 
Pode-se contornar os problemas acima descritos. Como é sabido que d1 - d2 ao 
invés de d1 e d2 deve ser tratado como incógnita, fixa-se d1 ou d2 num certo valor arbitrário. 
Adota-se d1 = 0, portanto, a tensão na barra 1 como fasor de referência. Assim, reduz-se, 
nas variáveis de estado, o número de incógnitas de quatro para três ( δ2).
Já havia sido mencionado que duas variáveis de controle, PG1 e PG2, eram a priori, 
desconhecidas. Como resultado tem-se um total de cinco incógnitas com apenas quatro 
equações. Uma vez que é sempre desejável ter o nível de tensão do sistema sob controle, 
esta é uma ótima oportunidade para se começar. Especifica-se uma das duas tensões 
 ou reduzindo-se, simplesmente, o número de incógnitas, de cinco para quatro. 
Neste caso, sempre será adotado , isto é, o módulo de tensão na barra de referência.
Em virtude do acima exposto, pode-se escrever o seguinte algoritmo como solução 
das EEFC:
 ● Etapa 1: Admita conhecidas, como antes, as variáveis de demanda;
 ● Etapa 2: Especifique uma potência ativa e uma reativa, geradas, deixando as 
outras duas sem especificações. Por exemplo, especifique PG2 e QG2, porém deixe PG1 
e QG1 em aberto, uma vez que não se conhece as perdas. Faz-se d1 = 0.
 ● Etapa 3: Especifique , isto é, faz-se = 1 pu.
Resolva as EEFC para as quatro incógnitas: , δ2, PG1 e QG1).
Este procedimento apresenta uma considerável desvantagem: ao se determinar 
pode-se verificar que este valor é mais baixo ou mais alto do que o desejado. Agora 
extrapola-se esta análise abordando um sistema com n barras. 
Em termos dos três vetores x, u e p, pode-se evidentemente, escrever as quatro 
equações (2.8) sob a forma de:
fi = (x, u, p) = 0 (para i = 1, 2, 3, 4) (2.14)
Introduzindo o vetor função:
 
(2.15)
Pode-se escrever as equações (2.8) numa forma vetorial muito compacta:
fi = (x, u, p) = 0 (2.16)
Esta é portanto a forma vetorial das EEFC.
No sistema exposto, a equação vetorial tem quatro dimensões, porém num sistema 
real pode-se ter centenas de barras, geradores e linhas. Ao se estender esta análise 
para um sistema com n barras, tem-se as seguintes variáveis:
 ▪ n módulos de tensão de barra ;
 ▪ n fases de tensão de barra δi;
 ▪ n potências ativas geradas PGi;
 ▪ n potências reativas geradas QGi;
48
Análise de Sistemas de Potência
 ▪ n demandas de potência ativa PDi;
 ▪ n demandas de potência reativa QDi.
Isto totaliza 6n variáveis (para o sistema de duas barras, tem-se que 6 x 2 = 12).
Como pode-se escrever uma equação de corrente complexa, do tipo das equações 
(2.2) e (2.3), para cada barra, tem-se um total de 2n equações reais do tipo das equações 
(2.8); isto é, a forma vetorial das EEFC terá uma dimensão 2n. Numa analogia direta 
com as equações, (2.12) e (2.13) definem-se os seguintes vetores 2n-dimensionais: 
(2.17)
(2.18)
(2.19)
2�4�2 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE ESTADO
A solução prática das EEFC só será possível se todas as 4n variáveis de estado 
e de controle estiverem compreendidas dentro de certos limites. 
As variáveis de estado devem satisfazer às relações de desigualdade: 
(2.20)
Isso significa, simplesmente, que não se admite que o módulo de qualquer tensão 
na barra caia fora de uma certa “faixa” tolerável. Essa faixa é, em geral, muito estreita, 
por exemplo, de 5 a 10% em torno dos valores nominais.
Certas variáveis de estado i devem satisfazer à desigualdade:
(2.21)
Essa restrição especifica o ângulo de potência máximo para uma linha de transmissão 
entre as barras i e j.
49
Análise de Sistemas de Potência
2�4�3 RESTRIÇÕES PRÁTICAS DAS VARIÁVEIS DE CONTROLE
Devido as limitações práticas das fontes de P e Q, as seguintes restrições devem 
ser observadas em relação às variáveis de controle PGi e QGi
PGi min < PGi < PGi max
QGi min < QGi < QGi max
(2.22)
Se algumas barras em particular não possuírem fontes de P e/ou Q, então, para 
elas tem-se, logicamente:
PGi = 0
e/ou
QGi = 0
As equações (2.9) e (2.10) retratam que a produção total de potência ativa e 
reativa deve ser igual à demanda total mais as perdas. Porém, as equações nada dizem 
sobre dividir a geração entre as fontes P e Q. 
2�5 O BALANÇO DA POTÊNCIA ATIVA E SEUS EFEITOS SOBRE 
A FREQUÊNCIA DO SISTEMA
Existem pelo menos três razões pelas quais deve-se manter as flutuações da 
frequência de um sistema dentro de limites rigorosos. A primeira é que a maioria dos 
tipos de motores de corrente alternada gira com velocidades diretamente relacionadas 
com a frequência. A segunda é o aumento de dispositivos eletrônicos utilizados 
atualmente como: smartphones, computadores, inversores e placas eletrônicas em 
eletrodomésticos como geladeiras, máquinas de lavar, etc. Este fenômeno é conhecido 
como internet das coisas. E, finalmente, o funcionamento global de um sistema de 
potência pode ser mais efetivamente controlado se mantivermos o erro de frequência 
dentro de limites rigorosos.
A primeira das razões acima não impõe, em particular, restrições muito severasàs flutuações de frequência. A maioria das cargas acionadas por motores de corrente 
alternada, provavelmente, não é sensível a flutuações da ordem de 60 ± 2 Hz. As duas 
outras razões são as mais importantes. Variações incomuns na frequência de um 
sistema são uma indicação de que há algo errado com ele. Quando o sistema está 
doente, os indicadores de frequência funcionam como termômetros clínicos. A diferença 
é que em um corpo doente a temperatura sobe, enquanto a frequência de um sistema 
com alguma falta, usualmente, cai. Nos sistemas de potência a constância da frequência 
é normalmente mantida nos limites de ± 0,05 Hz.
2�5�1 MECANISMO CARGA - FREQUENCIA
A frequência está intimamente relacionada com o balanço de potência ativa na 
rede inteira. Sob condições normais de funcionamento, os geradores do sistema giram 
em sincronismo, e juntos, geram a potência que, a cada instante, está sendo consumida 
por todas as cargas, mais as perdas ativas de transmissão. Estas consistem em perdas 
ôhmicas nos vários componentes da transmissão, em perdas nas linhas, e em perdas 
nos núcleos, nos transformadores e geradores. Deve-se lembrar que a energia está 
sendo transmitida quase a velocidade da luz, e, uma vez que ela não é armazenada 
50
Análise de Sistemas de Potência
em nenhuma parte do sistema, conclui-se que a taxa de produção de energia deve ser 
igual à taxa de consumo (mais perdas).
Deve-se ressaltar que o funcionamento sincronizado dos geradores representa 
um estado estável do sistema. Com isto conclui-se que, uma vez que um gerador tenha 
sido sincronizado numa rede, aparecem forças eletromecânicas no interior da máquina, 
que tendem a mantê-la girando na mesma velocidade que o resto da rede. Com a 
velocidade do gerador amarrada à do restante do sistema, pode-se controlar a geração 
de potência ativa, controlando o conjugado aplicado ao gerador, pela máquina motriz. 
Abrindo a válvula de vapor e, portanto, aumentando a pressão do vapor nas lâminas 
da turbina, ou, no caso de uma turbina hidráulica, abrindo as entradas de água, aplica-
se um conjugado maior ao gerador, tendendo, portanto, a acelerá-lo. Contudo, sua 
velocidade está presa a do resto do sistema e o que ocorre é que o rotor avança seu 
ângulo de rotação de uns poucos graus. Isso resulta num aumento na corrente e na 
potência fornecidas e, ao mesmo tempo, a corrente cria um conjugado de desaceleração 
no interior da máquina, que é exatamente oposto ao aumento do conjugado de aceleração.
Como a carga do sistema pode ser prevista apenas dentro de certos limites, suas 
flutuações são inteiramente aleatórias, sendo realmente impossível conseguir um 
perfeito equilíbrio instantâneo entre geração e demanda, o que faz com que sempre 
haja um pequeno excesso ou deficiência na geração, e esse constante desiquilíbrio 
causará flutuações de frequência.
Para entender esse fato, observe-se o que aconteceria se um sistema estivesse 
funcionando a 60,00 Hz, com perfeito equilíbrio de potência e, subitamente, experimentasse 
uma pequena diminuição na carga. A regulagem das válvulas dos equipamentos de 
acionamento dos geradores permanece inalterada (uma vez que elas ignoram a mudança 
na carga), o que significa que os conjugados de acionamento não variam. A diminuição 
na carga resulta num decréscimo da corrente que seria distribuída por todos os geradores, 
acarretando em uma ligeira diminuição dos conjugados eletromecânicos de todas as 
máquinas. Todas elas experimentarão, portanto, um pequeno aumento no conjugado 
de acionamento, resultando num aumento na velocidade (e na frequência).
A taxa segundo a qual a velocidade (e a frequência) aumentou, depende do 
momento de inércia total do equipamento girante. Todos os milhares de motores 
que, nesse instante, estão sendo alimentados pela rede, também sofrem o aumento 
da frequência; suas velocidades e seus conjugados crescem e eles retiram uma 
maior potência da rede. O aumento de carga resultante logo equilibrará a diminuição 
que iniciou essa longa cadeia de eventos, e então a frequência elevar-se-á, atingindo 
um novo valor. No caso real, a regulagem dos equipamentos de acionamento dos 
geradores não permanece fixa em face das variações da frequência, ela é usada 
no sensor de controle.
Um análogo mecânico: Considera-se uma composição ferroviária de carga 
formada por diversas máquinas e vários vagões de carga. Deseja-se manter a velocidade 
do trem, automaticamente controlada, em 60 ± 0,05 km/h, apesar das diversas rampas 
existentes ao longo do percurso. A maneira óbvia de realizar essa tarefa seria medir a 
velocidade com um sensor, suficientemente preciso e fazer com que o sinal do sensor, 
amplificado, comandasse o aumento ou a redução da potência fornecida, sempre que 
a velocidade do trem saísse da referência. Esse é um exemplo clássico do problema 
de controle.
51
Análise de Sistemas de Potência
Com o controle, surge o problema da estratégia de controle: no caso citado, 
deve-se perguntar como o sinal de erro da velocidade deve fazer variar a potência da 
máquina. O sinal pode comandar uma variação proporcional ao erro da velocidade 
(controle proporcional), ou fazer com que a potência aumente antes de uma variação 
real da velocidade, usando um controle derivado. Há uma outra questão importante: 
pode-se comandar as variações de potência para todos os motores, ou deixar alguns 
constantes e controlar a regulagem dos demais.
2�5�2 O BALANÇO DA POTÊNCIA REATIVA E SEUS EFEITOS 
SOBRE A TENSÃO DO SISTEMA
Assim como a constância da frequência do sistema é a melhor garantia de que 
o balanço da potência ativa está sendo mantido, também um perfil constante de tensão 
de barra garante que o equilíbrio está sendo mantido, entre a potência reativa produzida 
e consumida. Sempre que o módulo de uma dada tensão de barra sofrer variações, 
isso significará que o balanço de Q não está sendo mantido na barra em questão.
As seguintes hipóteses simplificadoras serão consideradas para este cálculo:
1� A tensão de barra V1 é mantida com módulo constante, por meio do controle 
de campo de G1. Escolhe-se V1 como tensão de referência.
2� A impedância da linha de transmissão é puramente indutiva, isto é:
Z = j X (2.23)
1� A potência da linha é igual a P + j Q. Uma vez que desprezou-se a resistência 
da linha, isso não implica em aproximação, no que diz respeito a P. Todavia, devido às 
perdas reativas na reatância da linha, a potência reativa é um pouco maior no terminal 
correspondente ao gerador.
Devido a queda de tensão ao longo da linha, tem-se a seguinte relação entre tensões:
V2 = V1 – I Z (2.24)
A corrente de linha I satisfaz à relação
V1 I
* ≈ P + j Q (2.25)
A última passagem decorre da escolha de V1 como fasor de referência, isto é o 
ângulo de V1 é igual a zero. Da equação (2.25) tem-se, portanto:
(2.26)
Uma variação da potência ativa P afeta o fasor queda de tensão que é perpendicular 
a V1. Portanto, não ocorrerá nenhuma variação apreciável no módulo de V2.
Uma variação da potência reativa Q afeta o fasor queda de tensão que está em fase 
com V1. A variação do módulo de V2, é por consequência, essencialmente proporcional a 
Q. Para manter-se constante, o módulo de , deve-se fazer com que as demandas 
variáveis de Q sejam compensadas localmente na barra 2, de modo que elas não necessitem 
ser transportadas pela linha, com os fortes efeitos que resultam sobre a tensão.
A geração local de Q pode ser conseguida por capacitores em paralelo e/ou 
capacitores síncronos. As cargas típicas são indutivas. Com o aumento da carga ativa, 
52
Análise de Sistemas de Potência
segue-se um aumento da carga reativa. Existe, portanto, num sistema em operação 
normal, a tendência da queda das tensões durante os períodos de pico de carga.
Efeitos opostos ocorrem durante os períodos em que a carga é baixa, nas madrugadas. 
Devido a sempre presente capacitância em paralelo nas linhas, particularmente, nos cabos, 
pode-se realmente ter em um excesso de potência reativa. Isso significaque o fluxo de 
Q, muda de sentido, o mesmo ocorrendo com o fasor XQ/V1, resultando na transformação 
da queda de tensão em um aumento de tensão. Pode ser necessário, durante os períodos 
de carga baixa, ligar elementos consumidores de Q, isto é, reatores em paralelo, a certos 
pontos da rede, para evitar o crescimento exagerado da tensão.
Deve-se observar que não existe necessidade prática de uma rigidez excessiva 
quanto às exigências de constância de tensão, devido ao fato de praticamente todos 
os equipamentos usados num sistema de potência serem projetados para funcionar 
num dado nível de tensão, a tensão nominal ou tensão de placa. Se a tensão do sistema 
afastar-se desse valor, o desempenho desses equipamentos, bem como sua expectativa 
de vida diminuem. Por exemplo, o conjugado de um motor de indução é proporcional 
ao quadrado da tensão aplicada, o fluxo luminoso de uma lâmpada varia fortemente 
com a tensão.
São, portanto, fortes os motivos que podem ser considerados para controlar o 
nível de tensão num sistema de potência. Entretanto, não há necessidade de controlá-
lo, mantendo-o entre estreitos limites, como no caso da frequência. Existem padrões 
que fixam as variações toleráveis da tensão da rede, em valores relativamente amplos. 
Na maioria das situações práticas, tolera-se um perfil maior de tensão no sistema de 
transmissão durante as horas de baixa carga, do que nas horas de pico. Mudando a 
relação de transformação nos transformadores mais importantes, pode-se compensar 
esse perfil variável da tensão primária e manter a tensão secundária constante, nos 
níveis do consumidor. 
2�6 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO LINEAR: ALGORITMOS BÁSICOS
Já foi apresentada uma formulação genérica sobre fluxo de carga, incluindo-se 
a dedução das equações básicas do problema, a descrição do modo dos principais 
componentes da rede de transmissão e a definição dos tipos mais comuns de barras 
(PQ, PV e Vq). Também foi mencionado que, além das equações básicas, existe um 
conjunto adicional de inequações/equações que representam as restrições de operação 
da rede e a atuação de dispositivos de controle, que também devem ser obedecidas 
pela solução do problema. Este problema será retomado em sua forma mais geral, 
conforme a formulação não-linear e serão discutidos os métodos para sua solução 
como o método de Newton e o método desacoplado.
2�6�1 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA BÁSICO
As equações básicas do fluxo de carga que foram deduzidas em (1.57) pela 
aplicação das Leis de Kirchhoff, resultam em:
(2.27)
(2.28)
53
Análise de Sistemas de Potência
Para k = 1; NB; sendo NB o número de barras da rede. Os métodos computacionais 
para o fluxo de cálculo em geral são constituídos de duas partes: a primeira, também 
chamada de algoritmo básico, trata da resolução por métodos iterativos de um sistema 
de equações elétricas do tipo de (2.27) e (2.28); a outra parte do processo de resolução 
do problema considera a atuação dos dispositivos de controle e da representação dos 
limites de operação do sistema. As duas partes do problema podem ser resolvidas 
alternadamente, intercalando-se a solução das equações básicas com a representação 
dos controles e limites de operação. Outra possibilidade consiste em alterarem-se as 
equações (2.27) e (2.28) para incluir a representação dos dispositivos de controle, 
nesse caso as duas partes do problema são resolvidas simultaneamente.
Considere-se inicialmente um problema no qual são dados Pk e Qk para as barras 
PQ, Pk e Vk para as barras PV; e Vk e q k para as barras Vq (referência angular); e pede-
se calcular Vk e q k para as barras PQ, q k e Qk para as barras PV; e Pk e Qk na barra de 
referência. Uma vez resolvido este problema, será conhecido o estado (Vk, qk) para 
todas as barras da rede (k = 1,NB), o que torna possível o cálculo de outras variáveis 
de interesse, como, por exemplo, os fluxos de potência nas linhas de transmissão, 
transformadores. Sejam NPQ e NPV, respectivamente, o número de barras PQ e PV da 
rede (note-se que, inicialmente, será considerada a existência de apenas uma barra Vq 
). O problema formulado anteriormente pode ser decomposto em dois subsistemas de 
equações algébricas conforme indicado a seguir:
Subsistema 1 (dimensão: 2NPQ + NPV)
Neste subproblema são dados Pk e Qk para as barras PQ e Pk e Vk nas barras 
PV; pretende-se calcular Vk e q k nas barras PQ, e q k nas barras PV. Ou seja, trata-se 
de um sistema de 2 NPQ + NPV equações algébricas não-lineares com o mesmo 
número de incógnitas: 
(2.29)
(2.30)
Subsistema 2 (dimensão: NPV + 2)
Após resolvido o Subsistema 1 e, portanto, já sendo conhecidos Vk e q k para 
todas as barras, deseja-se calcular Pk e Qk na barra de referência, e Qk nas barras PV. 
Trata-se de um sistema com NPV + 2 equações algébricas não-lineares com o mesmo 
número de incógnitas, no qual todas as incógnitas aparecem de forma explícita, o que 
torna trivial o processo de resolução. Note-se que o mesmo não ocorre com o Subsistema 
1, no qual as incógnitas são implícitas, o que exige um processo iterativo de resolução.
(2.31)
(2.32)
No processo de resolução apresentado anteriormente não foram consideradas 
as restrições de operação e a atuação de dispositivos de controle que correspondem 
a um conjunto adicional de inequações/equações. Um exemplo dessas restrições de 
operação são os limites (máximo e mínimo) na geração de potência reativa das barras 
PV; se durante o processo iterativo um desses limites for ultrapassado, Qk será fixado 
no valor extremo correspondente e a barra PV transformar-se-á em PQ; isto significa 
54
Análise de Sistemas de Potência
que a magnitude da tensão da barra PV não pode ser mantida no valor especificado; 
nesse caso, faz-se e a equação correspondente do Subsistema 2 passa 
para o Subsistema 1; eventualmente, em uma iteração seguinte, a barra poderá voltar 
a ser do tipo PV. 
As incógnitas do Subsistema 1 podem ser agrupadas no vetor x dado a seguir:
(2.33)
em que q é o vetor dos ângulos das tensões das barras PQ e PV, e V é o vetor das 
magnitudes das tensões das barras PQ. As expressões (2.29) e (2.30), que formam o 
Subsistema 1, podem ser reescritas do seguinte modo:
(2.34)
(2.35)
As funções DPk e DQk podem ser colocadas na forma vetorial
DP = Pesp – P (V, q ) (2.36)
DQ = Qesp – Q (V, q ) (2.37)
Em que P é o vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV, e Q, o 
das injeções de potência reativa nas barras PQ. 
Seja g(x) a função vetorial dada por
(2.38)
Por meio dessa função, o Subsistema 1 dado pelas expressões (2.34) e (2.35), 
pode ser colocado na forma: 
g(x) = 0 (2.39)
Este sistema de equações algébricas não-lineares pode ser resolvido por um 
número considerável de métodos, sendo que os mais eficientes são os métodos de 
Newton e o dasacoplado rápido. 
2�7 FLUXO DE POTÊNCIA NÃO LINEAR
Definindo como N o número de barras (nós elétricos) do sistema, as equações 
gerais para a injeção líquida de potência, já referidas anteriormente (1.57), são:
(2.40)
(2.41)
Para k = 1, ..., N, K é o conjunto das barras vizinhas à barra-k, inclusive k. Para 
cada barra, temos quatro grandezas: Pk ,Qk, Vk, e q k. Como tem-se N barras, tem-se 
4N variáveis. Tem-se portanto, 2N equações e 4N variáveis. Dessas variáveis, algumas 
são conhecidas (como, por exemplo, potência ativa e reativa em uma barra, ou a tensão 
desejada em uma outra na qual há controle de tensão). Uma barra em especial terá 
seu ângulo q especificado. Se isso não ocorrer, o sistema será indeterminado.
55
Análise de Sistemas de Potência
Utilizando-se as definições de barras, é possível fazer com que em cada barra 
duas grandezas sejam conhecidas e duas sejam incógnitas. Através dessas definições, 
tem-se os tipos das barras já definidos anteriormente: tipo Vq, PV e PQ. Pelo tipo de 
barra conhecemos: V e q para as do tipo Vq, P e V para as do tipo PV e P e Q para as 
do tipo PQ. As incógnitas são, portanto P e Q para as barras do tipo Vq, Q e q para as 
barras do tipo PV e V eq para as barras do tipo PQ.
Dessa forma, obtém-se um sistema com 2N equações a 2N incógnitas. O sistema 
de equações (2.41) pode ainda ser alterado para retirar as equações referentes à(s) 
barra(s) Vq, pois as incógnitas P e Q para essas barras somente aparecem no lado 
esquerdo das equações, podendo ser obtidas apenas com um cálculo se as demais 
incógnitas forem conhecidas.
Assim, a dimensão do sistema de equações não-lineares a ser resolvido diminui 
para 2N – 2NVq , onde NVq é o número de barras Vq (normalmente existe apenas uma 
barra Vq no sistema). Porém, existem casos especiais em que são necessárias mais 
de uma barra Vq.
Em barras do tipo PV, tem-se uma situação semelhante, pois a potência reativa 
dessas barras (que são incógnitas) aparecem também somente do lado esquerdo, 
diminuindo a dimensão para 2N – 2NVq – 2NPV. Essas barras, contudo, são especiais. 
Existem limites para a potência reativa dessas barras (assim como para a potência 
reativa da barra Vq). Esses limites devem ser respeitados na solução.
2�7�1 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS ALGÉBRICOS PELO MÉTODO 
DE NEWTON
Considere-se inicialmente um sistema unidimensional do tipo:
g(x) = 0 (2.42)
Em que g(x) e x são escalares. Pretende-se determinar o valor de x para o qual 
a função g(x) se anula. Em termos geométricos, como mostra a figura, a solução da 
equação (2.42) corresponde ao ponto em que a curva corta o eixo x. A resolução desse 
problema pelo método de Newton segue os seguintes passos:
Figura 2�16: Método de Newton.
56
Análise de Sistemas de Potência
a) Fazer n = 0 e escolher uma solução inicial x = x(v) = x(0);
b) Calcular o valor da função g(x) no ponto x = xv;
c) Comparar o valor calculado g(xv) com a tolerância especificada e; se , 
então x = xv será a solução procurada dentro da faixa de tolerância ± e; se , o 
algoritmo deverá prosseguir;
d) Linearizar (conforme a figura 2.3) a função g(x) em torno do ponto (xn; g(xn)) 
por intermédio da série de Taylor:
g(xv + Dxv) ≈ g(xv) + g’(xv)Dxv (2.43)
Sendo g’(x) = dg/dx. Este passo se resume, de fato, ao cálculo da derivada de 
g’(xn)
e) Resolver o problema linearizado, ou seja, encontrar Dx tal que:
g(xv)+ g’(xv) Dxv = 0 (2.44)
 significa que a nova estimativa de x passa a ser:
xv+1 = xv + Dxv (2.45)
Sendo:
Dxv = - g(xv) / g’(xv) (2.46)
f) Fazer n + 1 → n e voltar para o passo b).
Uma variante do método de Newton é obtida considerando-se a derivada constante, 
isto é, no passo d) do algoritmo faz-se g’(xv) = g’(x0). Nesta versão o número de iterações, 
para uma dada tolerância de convergência, em geral é maior que no método original, 
mas cada uma das iterações se torna mais rápida pois a derivada não precisa ser 
recalculada a cada passo.
Considere agora a resolução do seguinte sistema n-dimensional:
g(x) = 0 (2.47)
Sendo g(x) uma função vetorial (n x 1) e x o vetor das incógnitas (n x 1), ou seja:
g(x) = [g1(x), g2(x), ... , gn(x)]
t (2.48)
x = [x1, x2, ..., xn ]
t (2.49)
A resolução da equação (2.47) segue, basicamente, os mesmos passos do 
algoritmo apresentado anteriormente para o caso unidimensional. A principal diferença 
está no passo d), no qual, agora, aparece a matriz jacobiana. A linearização da função 
vetorial g(x) para x = xv é dada pelos dois primeiros termos da série de Taylor:
g(xv + Dxv) ≈ g(xv) + J(xv) Dxv (2.50)
sendo a matriz jacobiana J dada por:
57
Análise de Sistemas de Potência
(2.51)
O vetor de correção Dx é calculado impondo-se que n
g(xv)+ J(xv) Dxv = 0 (2.52)
que é a maneira linearizada de se resolver o problema g(xv + Dx). No caso particular 
em que, por exemplo, n = 2, a equação (2.47) assume a forma:
(2.53)
O algoritmo para resolução do sistema de equações g(x) = 0 pelo método de 
Newton é:
a) Fazer n = 0 e escolher uma solução inicial x = x(v) = x(0);
b) Calcular g(xv);
c) Testar convergência: se para i = 1, n, o processo convergiu para 
solução xv, caso contrário, passar para d);
d) Calcular matriz jacobiana J(xv);
e) Determinar nova solução x(v+1)
x(v+1)= xv + Dxv (2.54)
Dxv = – [J(xv)]-1 g(xv) (2.55)
Fazer n + 1 → n e voltar para o passo b).
2�7�2 FLUXO DE CARGA PELO MÉTODO DE NEWTON
Será aplicado o método de Newton para a resolução do Subsistema 1 (g(x, y) = 
0). O ponto central do processo de resolução consiste em se determinar o vetor de 
correção Dx, o que exige a resolução do sistema linear dado em (2.52), reescrito a seguir:
g(xv) = – J(xv) Dxv (2.56)
No caso em que o sistema de equações a ser resolvido é o Subsistema 1 tem-se:
g(x) = (2.57)
58
Análise de Sistemas de Potência
Dxn = (2.58)
J(xn) = 
NPQ + NPV NPQ
(2.59)
Considerando-se as expressões dos vetores DP e DQ dadas em e (2.34) e (2.35), 
e lembrando de que Pesp e Qesp são constantes, a matriz jacobiana (2.59) pode ser 
reescrita da seguinte maneira:
J(xn) = (2.60)
As submatrizes que compõem a matriz jacobiana J, dada em (2.60), são geralmente 
representadas por:
H = N = 
M = L = 
(2.61)
Utilizando-se as expressões (2.60) e (2.61), a Equação (2.56) pode, finalmente, 
ser colocada na forma:
= (2.62)
As componentes das submatrizes jacobianas H, N, M e L são dadas por:
H (2.63)
N (2.64)
M (2.65)
L (2.66)
59
Análise de Sistemas de Potência
Os elementos Hkk, Nkk, Mkk e Lkk podem ser colocados em função das injeções 
de potência ativa e reativa na barra k, conforme pode ser deduzido das expressões 
(2.63) a (2.66).
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)
A partir das expressões (2.63) a (2.66), pode-se concluir que, se Ykm = Gkm + j 
Bkm for nulo, então os elementos Hkm, Nkm, Mkm e Lkm, também serão nulos. Isto implica 
que as matrizes H, M, N e L tem as mesmas características de esparsidade que a 
matriz Y. Logo, o sistema de equações a ser resolvido é esparso. As submatrizes H, 
M, N e L têm elementos não-nulos apenas nas posições correspondentes às ligações 
entre barras, além das diagonais (as submatrizes têm estrutura semelhante à da matriz 
de admitância nodal). Dada a dimensão do sistema e as características dessas matrizes, 
o sistema é resolvido via fatoração triangular, com esquemas espaciais para explorar 
a esparsidade das matrizes.
O método de Newton aplicado à resolução do Subsistema 1 é descrito a seguir:
a) Fazer n = 0 e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras 
PQ e PV (q = q º) e as magnitudes das tensões das barras PQ (V = Vº);
b) Calcular Pk (Vv, q v) para as barras PQ e PV e Qk (Vv, qv) para as barras PQ, 
e determinar os resíduos ;
c) Testar convergência: se Max e Max o processo iterativo 
convergiu para a solução (Vv, q v); caso contrário passar para d;
d) Calcular a matriz jacobiana
(2.71)
Determinar a nova solução (Vv+1, q v+1):
(2.72)
(2.73)
Sendo Dq v e DVv determinados resolvendo-se o sistema linear
(2.74)
Fazer n + 1 → n e voltar para o passo b).
60
Análise de Sistemas de Potência
2�7�2�1 MÉTODO DESACOPLADO RÁPIDO
Considere a equação 
(2.75)
para a condição de flat-start (todas as magnitudes de tensão iguais a um pu e todos os 
ângulos iguais a zero). Mostra-se que o sistema de equações (2.75) pode ser reescrito como:
(2.76)
Onde Leq = L – MH-1N e DQeq = DQ – MH-1DQ. Pode-se dividir essa equação em
HDq + NDV = DP (2.77)
e 
 Leq DV = DQeq (2.78)
Desprezando a submatriz N, podemos obter a correção Dq e também os novos 
ângulos q novo. O desajustamento da matriz DQeq pode ser resolvido e aproximado por:
≈DQeq(V, q novo) = Q esp – Q(V, q novo) (2.79)
Logo, as tensões são obtidas de:
 Leq ≈ DV= DQ esp ≈ DQ (V, q novo) (2.80)
Mostra-se, ainda, que não é necessário o cálculo de ângulos exatos (considerar 
a matriz N). Mias, a matriz H calculada para flat-start é a parte imaginária da matriz 
admitância nodal, se não forem considerados os elementos shunt. A matriz Leq, no caso 
de sistemas radiais e de sistemas com relação reatância / resistência uniforme pode 
ser obtida simplesmente calculando-se a matriz original L, desprezando-se as resistências 
das linhas de transmissão. Essas matrizes são chamadas de B’ e B” e independem 
das tensões.Ou seja, têm que ser montadas e fatoradas apenas uma vez se o conjunto 
de equações não for alterado. A regra de formação dessas matrizes é:
(2.81)
e
= –
(2.82)
Onde Ωk já definido anteriormente, é o conjunto das barras vizinhas à barra k, 
Bkm é a parte imaginária do elemento km da matriz admitância nodal, xkm é a reatância 
do ramo k – m e, ainda, é a soma de todas as admitâncias shunts que ligam a 
barra k à terra. A seguir será dado o algoritmo completo do método desacoplado rápido. 
61
Análise de Sistemas de Potência
Nota-se que uma iteração completa do método de Newton passou a ser resolvida em 
duas meias iterações. Essas são chamadas de 1/2 iteração Pq e 1/2 iteração QV.
(2.83)
O esquema geral do processo iterativo de obtenção da solução é:
I� Escolher valores iniciais para V e q;
II� Calcular erros (DP e DQ). Testar convergência. Se convergiu vai para vi;
III� Calcular correção e atualizar ângulos (Dq);
IV� Calcular erros (DP e DQ). Testar convergência. Se não convergiu voltar para ii;
V� Calcular correção e atualizar tensões ((DV);
VI� Calcular demais grandezas do sistema. 
VII� Fim
Deve ser considerada a hipótese de não-convergência. Para isso, ou testam-se 
valores das tensões (divergência) ou limita-se o número máximo de iterações.
2�8 EXEMPLOS
2�8�1 EXEMPLO 2�1:
Considere-se o sistema de duas barras representado na figura 2.2. Os dados 
estão na tabela 2.1. Nesse exemplo, o problema se resume a determinação do ângulo 
q 2, pois V1, q 1, e V2 são dados.
Barra Tipo P Q V q
1 Vq - - 1,0 0
2 PV -0,4 - 1,0 -
Linha r x bsh
1-2 0,05 0,1 0,02
Tabela 2�1: Dados da rede de 2 barras. Tolerância: 0,001 pu em DP e DQ. 
A impedância série e a admitância série da linha 1-2, são, respectivamente
z12 = r12 + j x12 = 0,05 + j 0,1
y12 = g12 + j b12 = (z12 )-1 = 4 - j 8
A admitância shunt da linha é:
A matriz admitância nodal é:
62
Análise de Sistemas de Potência
Sendo as matrizes G e B dadas, respectivamente por:
A expressão de potência ativa na barra 2 é:
O sistema a ser resolvido é:
A partir dos dados, tem-se = -0,40; V1 = = 1,0; V2 = = 1,0; q21 = 
q2 - q1 = q2; G21 = -4; B21 = 8; G22 = 4. Substituindo-se esses valores na equação de 
P2, obtém-se:
P2 = 4 (1 – cos q2) + 8 sen q2
Nessa equação, a incógnita q 2 aparece de forma implícita, enquanto o valor 
conhecido P2 aparece de forma explícita. A obtenção de q 2 pode ser feita através do 
método de Newton, por exemplo.
2�8�2 EXEMPLO 2�2:
No exemplo estudado anteriormente (figura 2.2), as tensões das duas barras são 
especificadas: a barra 1 é do tipo Vq e a barra 2, do tipo PV. Por isso, o Subsistema 1 
é formado por uma única equação (DP2 = 0), que é resolvida para se determinar a 
incógnita q2. Considere-se agora a mesma rede com os dados mostrados na tabela 
2.2. Uma das alterações consistiu em substituir a barra PV por uma barra PQ. Neste 
novo exemplo, o Subsistema 1 passa a ter duas equações (DP2 = 0 e DQ2 = 0) duas 
incógnitas (q2, V2).
Barra Tipo P Q V q
1 Vq - - 1,0 0,0
2 PQ -0,40 0,07 - -
Linha r x
1-2 0,05 0,1 0,02
Tabela 2�2: Dados da rede de 2 barras. Tolerância: 0,001 pu em DP e DQ. 
Os cálculos efetuados na construção dessa tabela estão detalhados a seguir. As 
matrizes G e B são as mesmas já calculadas anteriormente, ou seja,
As expressões das potências ativa e reativa da barra 2 são:
P2 = G22 + V1 V2 (G21 cos q21 + B21 sen q21),
Q2 = B22 + V1 V2 (G21 sen q21 - B21 cos q21)
O Subsistema 1 é formado pelas equações:
DP2 = – P2 = 0
DQ2 = – Q2 = 0
63
Análise de Sistemas de Potência
A partir dos dados, têm-se:
 = - 0,40,
 = 0,07,
V1 = = 1,0,
q21 = q2 - q1 = q2,
G21 = - 4,
B21 =8
G22 = 4,
B21 = - 7,98.
Substituindo-se esses valores nas expressões de P2 e Q2, obtêm-se:
P2 = 4V2 (V2 - cos q2 ) + 8V2 sen q2
Q2 = 7,98 - 4V2 sen q28V2 cos q2
Aplicando-se o método de Newton, é possível determinar de forma iterativa a 
magnitude e o ângulo da tensão da barra 2 (respectivamente, q2 e V2):
1ª Iteração
a) 
b) 
c) e
o processo iterativo continua:
d) 
J( , ) = 
= - ( )2 B22 = 8
= = 4
= - ( )2 G22 = 4
= = 7,96
64
Análise de Sistemas de Potência
e) 
= 
= 
= = 
= = 0,0000 0,0445 = 0,0445
= = 1,0000 0,0110 = 0,9890
f) n = 0 + 1 = 1
2ª Iteração
b) P2 ( , ) = 4 ( cos ) + 8 sen = 0,3915
Q2 ( , ) = 0,9415 ( )2 0,1923( sen ) 
0,9615 cos = 0,0768
D = 0,0085 D = 0,0068
c) e ;
o processo iterativo continua:
d) 
J( , ) = 
= - ( )2 B22 = 7,7279
= = 3,5599
= - ( )2 G22 = 4,3037
= = 7,9695
65
Análise de Sistemas de Potência
e) 
= 
= 
= = 
= = 0,0445 0,0006 = 0,0450
= = 0,9890 0,0012 = 0,9878
f) n = 1 + 1 = 2
3ª Iteração
b) P2 ( , ) = 4 ( cos ) + 8 sen = 0,39999
Q2 ( , ) = 7,98 ( )2 [4 sen ) 8 cos = 0,070009
D = 10-5 D = 10-5
c) e ; e ;
A terceira iteração não precisa ser efetuada.
Uma síntese do processo iterativo resultante da aplicação do método de Newton 
é dada na tabela 2.3.
Iteração n
Variáveis
0 0 1 -0,4000 0,090 -0,0445 -0,0110
1 -0,0445 0,9890 -0,0085 -0,0068 -0,0006 -0,0012
2 -0,0450 0,9878 -10-5 -10-5 - -
Tabela 2�3: Síntese do processo iterativo – Método de Newton. 
Com a tensão na barra 2 obtida pode-se calcular a potência ativa e reativa na 
barra 1, obtendo-se P1 = 0,4086 e Q1 = -0,0922.
66
Análise de Sistemas de Potência
2�8�3 EXEMPLO 2�3:
Considere novamente a resolução do problema formulado na figura 2.2 e tabela 
2.2. Esse problema que já foi resolvido anteriormente pelo método de Newton será 
estudado a seguir utilizando-se o método desacoplado rápido. As matrizes B’ e B” são 
unidimensionais e dadas por:
Nos passos abaixo, p é o contador de passos de 1/2 iterações P - q e q o de 1/2 
iterações Q – V.
1ª Iteração Pq
I� 
II� 
 
 
 
Teste de convergência
ir para o bloco iii
III� 
= D ; 0,40 = 8 D ; D = 0,05
= + D = 0 0,05 = 0,05
p = 0 + 1 = 1
1ª Iteração QV
IV� Q2 ( ) = 7,98 ( )2 4 sen 8 cos = 0,1899
P2 ( ) = 4 ( cos ) 8 sen = 0,3948
DQ2 ( ) = 0,1199
DP2 ( ) = 0,0052
Teste de convergência
 ir para o bloco v
67
Análise de Sistemas de Potência
ir para o bloco v
V� 
= B”D ; 0,1199 = 9,96 D ; D = 0,0120
= + D = 1,0000 0,0120 = 0,9880
q = 0 + 1 = 1
Voltar ao bloco ii
2ª Iteração Pq
II� P2 ( ) = 4 ( cos ) + 8 sen = 0,4377
DP2 ( ) = 0,0377 ; ir para o bloco iii
III� 
= B’ D ; 0,0377 = 8 D ; D = 0,0047
= + D = 0,05 0,0047= 0,04529
p = 1 + 1 = 2
2ª Iteração QV
IV� Q2 ( ) = 7,98 ( )2 4 sen 8 cos = 0,0114
DQ2 ( ) = 0,0114
ir para o bloco v
V� 
= 0,00235 B”D ; 0,00235 = 9,96 D ; D = 0,00024
= + D = 0,9880 0,00024 = 0,9877
q = 1 + 1 = 2
Voltar ao bloco ii
3ª Iteração Pq
II� P2 ( ) = 4 ( cos ) + 8 sen = 0,40222
DP2 ( ) = 0,0022; ir para o bloco iv
p = 2 + 1 = 3
68
Análise de Sistemas de Potência
3ª Iteração QV
III� Q2 ( ) = 7,98 ( )2 4 sen 8 cos = 0,06928
DQ2 ( ) = 0,00072
; o subproblema QV convergiu e esta iteração não 
precisa ser efetuada; ir para o bloco ii.
4ª Iteração Pq
II� P2 ( ) = 4 ( cos ) + 8 sen = 0,40008
DP2 ( ) = 0,00008
; ir para o bloco vii.
VII� A solução obtida é q2 = = 0,0450 e V2 = = 0,9877.
Uma síntese do processo iterativo resultante da aplicação do método desacoplado 
rápido é dada na tabela 2.4.
Iteração 
Variáveis
p = q = 0 0,000 1,000 -0,4000 -0,090 -0,05 -0,0120
p = q = 1 -0,050 0,9880 0,03766 -0,0227 -0,0047 -0,0002
p = q = 2 -0,0453 0,9877 0,00222 -0,00047 0,0003 -
p = 3 -0,0450 - -0,0008 0,0008 - -
Tabela 2�4: Síntese do processo iterativo – Método desacoplado rápido. 
Nota-se que, dentro da tolerância especificada (e = 0,001), os resultados obtidos 
(q2 eV2) são os mesmos calculados anteriormente, utilizando-se o método de Newton; 
para que as estimativas de q2 eV2 obtidas pelos dois métodos se aproximem ainda 
mais, basta que se diminua a tolerância de convergência e, o que exigiria um número 
maior de iterações. O fato de o método desacoplado rápido utilizar uma iteração Pq 
adicional não deve ser encarado como uma desvantagem uma vez que, como as 
matrizes B’ e B” são constantes, as iterações são menos trabalhosas.
2�9 AJUSTES E CONTROLES
Entre os controlesque geralmente são representados em programas de fluxo de 
carga estão: controle de magnitude de tensão nodal (local e remota) por injeção de 
69
Análise de Sistemas de Potência
reativos; controle de magnitude de tensão nodal por ajuste de tap (transformadores 
em fase); controle de fluxo de potência ativa (transformadores defasadores) e controle 
de intercâmbio de áreas. Os limites de operação mais comuns são: limites de injeção 
de potência reativa em barras PV; limites de tensão em barras PQ; limites dos taps dos 
transformadores e limites de fluxos em circuitos.
2�9�1 MÉTODOS DE REPRESENTAÇÃO
Existem basicamente três maneiras de representar os controles mencionados 
anteriormente:
1� Classificação por tipo de barra (PQ, PV, Vq) e o agrupamento das equações 
correspondentes nos Subsistemas 1 e 2. Isso significa que, por exemplo, o controle de 
tensão em barras PV já está representado nas equações básicas do fluxo de carga, 
pela própria definição de barras PV. Este procedimento é utilizado eficientemente tanto 
com o método de Newton como com os métodos desacoplados.
2� Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa 
do Subsistema 1, ou seja, durante o cálculo de uma iteração as variáveis de controle 
permanecem inalteradas e, entre uma iteração e outra, essas variáveis são reajustadas 
procurando-se fazer que as variáveis controladas se aproximem cada vez mais dos 
respectivos valores especificados.
3� Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição 
de equações e variáveis dependentes desse subsistema por novas equações e/ou 
variáveis. Por exemplo, um transformador defasador puro, cuja variável de controle é o 
ângulo jkm e a variável controlada é o fluxo de potência ativa Pkm (ver o modelo dado 
pela figura 2.4), pode ser representado por uma equação adicional anexada ao Subsistema 
1 ( = 0) e pela incógnita j km agregada ao vetor de variáveis dependentes 
x (ver a equação 2.33). Por outro lado, um transformador em fase (cuja variável de 
controle é a relação de transformação akm e a variável controlada é, por exemplo, a 
magnitude da tensão Vm, pode ser representado pela simples alteração do vetor de 
variáveis dependentes x, no qual a magnitude da tensão controlada Vm é substituída 
pela relação de transformação akm, mantendo-se inalterado o conjunto de equações do 
Subsistema 1. Esse procedimento, em geral, apresenta bons resultados quando aplicado 
ao método de Newton, apesar de exigir alguns cuidados adicionais para o cálculo da 
matriz jacobiana.
Figura 2�17: Transformador em fase.
A introdução da representação de controles automáticos traz algumas complicações 
adicionais em relação ao processo de resolução das equações básicas do fluxo de 
potência. A convergência do processo iterativo geralmente fica mais lenta. A interferência 
70
Análise de Sistemas de Potência
entre controles que são eletricamente próximos pode levar, em algumas situações, à 
não-convergência do processo iterativo. Pode-se acrescentar também a ocorrência de 
soluções múltiplas para um mesmo problema.
2�9�2 AJUSTES ALTERNADOS
O procedimento de ajustes iterativos, efetuados alternadamente com as iterações 
do processo de resolução do Subsistema 1, objetiva manter a variável controlada z em 
um valor especificado zesp, corrigindo-se convenientemente a variável de controle u:
Du = a Dz = a (zesp - zcal) (2.84)
Em que Du é a correção na variável de controle; Dz é o erro na variável controlada 
(valor especificado monos valor calculado); e a é a relação de sensibilidade entre as 
variáveis u e z.
O esquema geral de procedimento de ajuste é descrito a seguir:
I� Definir os valores iniciais das variáveis de controle u = u0.
II� Obter uma solução inicial do Subsistema 1, que fornece o estado do sistema. 
Essa solução pode ser obtida com tolerâncias maiores que as exigidas da solução final 
ou, então, com um certo número prefixado de iterações.
III� Estimar os valores atuais das variáveis controladas zcal e verificar se os erros 
Dz já estão dentro das tolerâncias especificadas; dependendo dos erros DP e DQ das 
equações do Subsistema 1, o processo iterativo pode já ter terminado; se não estiver 
dentro do erro esperado, ir para iv.
IV� Determinar os novos valores das variáveis de controle utilizando-se das 
relações do tipo (2.84), avaliando-se previamente, quando necessário, os fatores de 
sensibilidade a.
V� Efetuar mais uma iteração (método de Newton ou desacoplado) no processo 
de resolução do Subsistema 1 e voltar para o passo iii.
A convergência desse processo iterativo depende tanto da evolução dos controles 
(equação 2.84) quanto da resolução do Subsistema 1, sendo que, em geral, são os 
controles que determinam a convergência do processo como um todo. Isso será tão mais 
verdadeiro quanto maior o número e a variedade de controles e limites representados. 
Deve-se notar, finalmente, que o efeito dos dispositivos de controle e os limites de 
operação só devem ser incorporados ao processo iterativo de resolução após ter sido 
obtida uma convergência parcial na resolução do Subsistema 1. Com isso evitam-se 
problemas como a atuação indevida de dispositivos de controle e violações de limites 
motivadas pela escolha de valores iniciais muito distantes do ponto solução. 
2�9�3 CONTROLE DE TENSÃO EM BARRAS PV
Nas barras de geração e nas barras em que são ligados compensadores síncronos, 
o controle da magnitude da tensão nodal é feito pelo ajuste da corrente de campo de 
máquinas síncronas, que podem operar sobre ou subexcitadas, injetando ou absorvendo 
reativos da rede de transmissão; o mesmo tipo de controle pode ser conseguido também 
pela atuação de dispositivos estáticos. Conforme já mencionado a representação desse 
tipo de controle está embutida na própria formulação básica do problema do fluxo de 
carga, pela definição das barras PV. As equações de injeção de potência reativa Qk 
71
Análise de Sistemas de Potência
nas barras PV não aparecem no Subsistema 1 e, sim, no Subsistema 2. Por outro lado, 
a magnitude de tensão Vk é mantida igual a seu valor especificado . O fato de Qk 
não estar no Subsistema 1 e de Vk ser constante implica que a matriz jacobiana não 
contém as linhas cujos elementos seriam ∂Qk/∂qm e ∂Qk/∂Vm e as colunas correspondentes 
às derivadas ∂Pm/∂Vk e ∂Qm/∂Vk. Situação análoga é observada em relação à matriz 
B” do método desacoplado rápido que, como se sabe, nada mais é que uma aproximação 
da submatriz jacobiana L.
Considere-se uma barra PV na qual Vk = e, inicialmente, . 
Imagina-se, por exemplo, que, a cada iteração se aumente a injeção de reativos 
necessária para manter a tensão no valor especificado até que o limite seja 
atingido. A partir daí, a tensão Vk tenderá a cair devido à insuficiência de suporte de 
potência reativa. Raciocínio análogo vale quando é atingido o limite , caso em que 
a magnitude de tensão Vk tenderá a subir. As injeções de potência reativa nas barras 
PV devem, portanto, ser recalculadas ao final de cada iteração utilizando-se os valores 
atualizados do estado da rede, para constatar se esses valores estão dentro dos limites 
especificados ou não. Se cair fora dos limites, os tipos das barras nas quais isso 
ocorre são redefinidos, passando de PV para PQ, com injeções de reativos especificadas 
no limite violado ( ,); ao mesmo tempo, as magnitudes Vk das tensões dessas 
barras são liberadas, passando a ser calculadas a cada iteração, como parte do vetor 
das variáveis dependentes x. Quando ocorre uma dessas mudanças de tipo de barra 
(PV para PQ), devem ser reinseridas na matriz jacobiana as linhas que contêm as 
derivadas em relação a Vk, isto é, ∂Qk/∂qm e ∂Qk/∂Vm e as colunas correspondentes às 
derivadas em relação a Vk, isto é, ∂Pm/∂Vk e ∂Qm/∂Vk. A mesma observação vale em 
relação à matriz B”. Essas alterações na matriz jacobiana e em B” decorrem das próprias 
mudanças no Subsistema 1.
Após uma barra PV ter sido transformada em PQ, deve-se testar, a cada iteraçãosubsequente, a possibilidade de essa barra voltar a seu tipo original. Considere-se, por 
exemplo, um caso em que a injeção de reativos esteja fixada no limite máximo, ou seja, 
. A variável Vk correspondente, recalculada a cada iteração, poderá ser 
maior, menor ou igual ao valor especificado . Se , nada se altera, pois, 
para se aumentar a magnitude de tensão , dever-se-ia aumentar a injeção de reativos 
na barra, o que seria impossível já que . Entretanto, se , para 
se diminuir a magnitude de tensão , basta que a injeção de reativos na barra seja 
diminuída, o que é perfeitamente viável, pois . Isso significa que, se 
, a barra poderá ser reconvertida a seu tipo original, ou seja, 
ao tipo PV. Por raciocínio semelhante, chega-se à conclusão de que isso também é 
possível quando .
2�9�4 LIMITES DE TENSÃO EM BARRAS PQ
Para alguns estudos de planejamento da operação e da expansão de um sistema 
de energia elétrica, é conveniente que os programas de fluxo de potência limitem a variação 
da magnitude das tensões das barras PQ dentro de uma faixa especificada, mesmo que 
nessas barras não existam realmente dispositivos de controle capazes de realizar tal tarefa. 
Por exemplo, em estudos sobre a expansão a longo prazo da rede de transmissão, é 
comum determinar-se inicialmente uma (ou mais) rede (s) de transmissão que atenda aos 
requisitos de geração/demanda, utilizando um modelo simplificado da rede (fluxo de carga 
72
Análise de Sistemas de Potência
CC). Em uma fase subsequente devem ser avaliados o desempenho reativo e o perfil de 
tensões da rede que está sendo planejada, e para tanto são utilizados métodos convencionais 
de fluxo de carga CA. Nesses casos, devido ao fato de o planejamento reativo ainda não 
ter sido feito, são comuns situações nas quais não se consegue convergência. A limitação 
das magnitudes das tensões dentro de uma faixa especificada (±10% em torno dos valores 
nominais) permite em geral que se obtenha a convergência e, além disso, é possível se 
obter uma indicação das barras nas quais existem problemas de suporte de potência 
reativa (barras cujas magnitudes de tensão estão fixadas no limite).
Em um programa de cálculo de fluxo de carga, as magnitudes das tensões das 
barras PQ são recalculadas a cada iteração durante o processo de resolução do 
Subsistema 1. Quando o valor calculado de Vk cai fora dos limites e , o 
tipo da barra na qual ocorre a violação é redefinido, passando de PQ para PV, com 
magnitude de tensão especificada no limite violado ( ); ao mesmo tempo, 
a injeção de reativo Qk nessa barra é liberada, passando a ser recalculada a cada 
iteração. Considere-se, por exemplo, que a magnitude da tensão seja especificada 
no valor mínimo, ou seja, . Neste caso, na iteração em que ocorre a 
fixação no limite, o valor calculado da injeção de reativos na barra será + 
DQk, em que DQk é um valor positivo (correspondendo, por exemplo, a um capacitor 
ligado à barra para impedir que a magnitude da tensão nodal caia abaixo do mínimo 
permitido). Analogamente, quando a violação ocorre no limite superior , 
o incremento DQk na injeção de reativos será negativo (correspondendo, por exemplo, 
a um indutor shunt ligado à barra para impedir que a magnitude da tensão nodal suba 
acima do máximo permitido).
Quando Vk é fixado em um de seus valores limites, essa variável deve ser 
removida do vetor das variáveis dependentes x enquanto a equação de resíduo
 = 0 correspondente do Subsistema 1. Note-se que o decréscimo do número 
de equações que formam o Subsistema 1 é igual à redução no número de incógnitas. 
Como decorrência das alterações no Subsistema 1, quando ocorre essa mudança de 
tipo de barra (de PQ para PV), devem-se remover da matriz jacobiana a linha que 
contém as derivadas ∂Qk/ ∂qm e ∂Qk/ ∂Vm e a coluna correspondentes às derivadas 
em relação a Vk, isto é, ∂Pm/∂Vk e ∂Qm/∂Vk. Comentário análogo vale para a matriz B” 
do método desacoplado rápido.
Após uma barra PQ ter sido transformada em PV, deve-se testar, a cada 
iteração subsequente, a possibilidade de essa barra voltar a seu tipo original. 
Considera-se, por exemplo, que a magnitude da tensão esteja fixada no limite mínimo, 
isto é . A variável Qk correspondente, recalculada a cada iteração, poderá 
ser maior, menor ou igual ao valor especificado . Se , nada se altera, 
pois a injeção extra de reativos, ou seja DQk = > 0, é indispensável para 
não deixar a magnitude de tensão Vk cair abaixo de . Entretanto, se 
, a injeção incremental DQk será negativa, significando que, se ela for eliminada, a 
magnitude de tensão Vk aumentará, entrando na faixa permitida. Isso significa que, 
se , a barra poderá ser reconvertida a seu tipo original, isto 
é, ao tipo PQ. Por raciocínio análogo, chega-se à conclusão de que isso também é 
possível quando .
73
Análise de Sistemas de Potência
2�9�5 TRANSFORMADORES EM FASE COM CONTROLE 
AUTOMÁTICO DE TAP
Os transformadores com controle automático de tap podem ser utilizados na 
regulação de magnitudes de tensões nodais. No capítulo 1, foi apresentada uma discussão 
detalhada sobre a modelagem de transformadores e foi analisado o efeito da relação 
de transformação sobre as magnitudes das tensões terminais do transformador. Neste 
capítulo será analisada a inclusão do efeito dos transformadores com tap variável no 
processo iterativo de resolução das equações do fluxo de carga.
Considere-se um transformador em fase com os terminais k e m , cuja relação 
de transformação akm deve ser variada para controlar a magnitude Vm de uma das 
tensões terminais. Os fluxos de potência em um transformador em fase obedecem ao 
mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de transmissão, com a única 
diferença de que, em lugar de Vk, aparece akmVk:
Pkm = (akm Vk)2 gkm – (akm Vk) Vm gkm cos qkm – (akm Vk) Vm bkm sen qkm
Qkm = - (akm Vk)2 km + (akm Vk) Vm bkm cos qkm – (akm Vk) Vm gkm sen qkm
(2.85)
A relação de sensibilidade: 
Dakm = a D Vm (2.86)
Pode ser utilizada na determinação da correção Dakm a ser introduzida na variável 
de controle akm objetivando corrigir o erro:
(2.87)
Em que é o valor especificado e é o valor calculado na iteração mais 
recente. Se a barra k, que é o terminal oposto do transformador, for rígida, ou seja, se 
a magnitude de tensão Vk for pouco suscetível às variações da relação de transformação 
akm, então o fator de sensibilidade a será aproximadamente unitário.
Já foi mencionado anteriormente que os métodos desacoplados introduzem 
aproximações na matriz jacobiana, mas não no cálculo dos resíduos DP e DQ. No método 
desacoplado rápido, por exemplo, além do desacoplamento da matriz jacobiana, trabalha-
se com as matrizes constantes B’ e B” (calculadas no ponto V = 1 pu e q = 0) durante 
todo o processo iterativo, mas no cálculo de DP e DQ são utilizados, a cada iteração, 
os valores atualizados de V e q. Esta é a razão de o método desacoplado rápido 
apresentar a mesma solução final que o método de Newton, apesar de ter convergência 
distinta. No que se refere aos transformadores com tap variável, segue-se o mesmo 
tipo de política, isto é, na formação de B’ e B” considera-se sempre akm = , enquanto 
no cálculo dos resíduos DP e DQ utilizam-se os valores atualizados de akm.
Em vez de se utilizar o procedimento de ajustes alternados, pelo qual as correções 
nas variáveis de controle (equação 2.86) são intercaladas ao processo iterativo de 
resolução do Subsistema 1 de tal forma a incluir-se diretamente a representação do 
efeito de transformadores automáticos. Considere-se novamente o transformador de 
terminais k e m representado na figura 2.4, em que a variável de controle akm regula a 
magnitude de tensão Vm. A barra m passa a ser classificada como sendo do tipo PQV, 
74
Análise de Sistemas de Potência
isto é, as variáveis Pm, Qm e Vm são especificadas. Com isso, o Subsistema 1 fica com 
uma incógnita a menos (Vm) que é então substituída no vetor x de variáveis dependentes 
pela relação de transformação akm. Esquematicamente,a matriz jacobiana passa a ter 
a seguinte forma geral:
(2.88)
Em que NPQ é o número de barras PQ; NPV é o número de barras PV; NT é o 
número de transformadores com controle automático de tap e NPQV é o número de 
barras PQV (na equação 2.88 foi feita a suposição de que todas as barras PQV têm 
suas tensões reguladas por transformadores, ou seja, NT = NPQV). As derivadas ∂P/∂a 
e ∂Q/∂a, que aparecem na equação (2.88) são análogas às derivadas ∂P/∂V e ∂Q/∂V, 
e podem ser facilmente obtidas a partir das equações (2.85).
2�9�6 TRANSFORMADORES DEFASADORES COM CONTROLE 
AUTOMÁTICO DE FASE
Esse tipo de transformador pode ser utilizado para regular o fluxo de potência 
ativa nos ramos onde são inseridos. Os fluxos de potência através do defasador puro 
(tkm = ejjkm ) obedecem ao mesmo tipo de equação que os fluxos em uma linha de 
transmissão, com a única diferença de que, em vez da abertura angular qkm, aparece 
o ângulo qkm + jkm em que jkm é a fase do defasador.
Pkm = (Vk)2 gkm – Vk Vm gkm cos (qkm + jkm) – Vk Vm bkm sen (qkm + jkm)
Qkm = - Vk2 km + Vk Vm bkm cos (qkm + jkm) – Vk Vm gkm sen (qkm + jkm)
(2.89)
A simulação do controle do fluxo de potência ativa através do defasador pode ser 
feita utilizando-se a relação de sensibilidade:
Djkm = a DPkm (2.90)
Em que Djkm é a correção introduzida na variável de controle jkm e DPkm é o erro:
(2.91)
Figura 2�18: Equivalente reduzido de uma rede utilizada na análise da atuação de um defasador puro.
75
Análise de Sistemas de Potência
Sendo do o valor especificado do fluxo no defasador e o valor calculado 
na iteração mais recente.
O significado do fator de sensibilidade a pode ser melhor entendido pela análise 
do circuito equivalente linearizado da figura 2.5, no qual a rede foi reduzida aos dois 
nós terminais do defasador. O equivalente é caracterizado por dois parâmetros: a 
resistência equivalente e as injeções equivalentes e .Note-se que é 
a reatância equivalente entre os nós k e m, excluindo-se o defasador. As duas leis de 
Kirchhoff aplicadas ao circuito da figura 2.5 resultam em:
(2.92)
(2.93)
Utilizando-se a equação (2.92) para eliminar o fluxo da equação (2.93), obtém-se:
(2.94)
Seja DPkm a alteração provocada no fluxo Pkm pela correção Dj km no ângulo do 
defasador; da relação (2.94) chega-se a: 
(2.95)
Ou seja, o fator de sensibilidade a é dado por:
(2.96)
Esse fator pode ser interpretado da seguinte maneira. Se, além do defasador, 
existirem caminhos alternativos de baixa reatância entre os nós k e m, a reatância 
equivalente será pequena, o que implica que a próximo a xkm, ou seja a será 
pequeno. Neste caso, uma pequena variação na variável de controle jkm será suficiente 
para produzir uma alteração significativa no fluxo Pkm. Por outro lado, se o único caminho 
entre k e m for pelo próprio defasador (), ou, se os caminhos paralelos apresentarem 
reatâncias muito elevadas ( ), então Pkm será insensível, ou praticamente 
insensível, às variações de jkm.
Da mesma forma que ocorre com os transformadores em fase, em vez de se 
efetuarem as correções dadas pela equação 2.96, pode-se representar o efeito dos 
transformadores defasadores redefinindo-se o Subsistema 1: para cada defasador é 
incluída uma nova equação ( – Pkm = 0) e uma nova variável dependente (j km), 
ou seja, o Subsistema 1 fica acrescido de uma equação e uma incógnita. Esquematicamente, 
a matriz jacobiana passa a ser:
76
Análise de Sistemas de Potência
(2.97)
Em que ND é o número de defasadores, DPD é o vetor de resíduos cujos 
componentes são ;e Dj é o vetor de correções nos ângulos de controle jkm. 
As derivadas ∂P/∂j e ∂Q/∂j, ∂PD/∂q , ∂PD/∂V e ∂PD/∂j, podem ser facilmente obtidas 
a partir das equações xx.
2�9�7 CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS
Em uma rede interligada é necessário que sejam controlados os intercâmbios de 
potência ativos entre as várias áreas que compõem o sistema. Em uma rede com NA 
áreas são controlados os intercâmbios de NA – 1 áreas, pois o intercâmbio de uma 
delas fica definido pelas demais (primeira Lei de Kirchhoff). O intercâmbio líquido de 
potência ativa de uma área é definido como a soma algébrica dos fluxos nas linhas e 
nos transformadores que interligam essa área com as demais (as exportações são 
consideradas positivas e as importações são consideradas negativas). A cada área do 
sistema é associada uma barra de folga (slack), sendo que a barra de folga de uma 
das áreas funciona também como farra de folga do sistema (em geral é uma barra do 
tipo Vq, que serve também como referência angular para o sistema). Com exceção da 
barra de folga do sistema, as injeções de potência ativa nas barras de folga das demais 
áreas são ajustadas para manter os intercâmbios líquidos dessas áreas nos valores 
especificados. Note-se que o controle de intercâmbio regula o intercâmbio total de uma 
área, ou seja, mantém em um valor especificado a soma algébrica dos intercâmbios 
individuais nas linhas e nos transformadores que interligam a área com o resto do 
sistema. Se, além do intercâmbio líquido, for necessário o controle do fluxo de potência 
ativa em uma ligação específica, deve-se utilizar um transformador defasador (esta 
solução não é válida para ligação radial).
Uma maneira de se considerar o controle de intercâmbio entre áreas consiste 
em intercalarem-se as correções dadas pela relação de sensibilidade (equação 2.84) 
entre duas iterações consecutivas do processo iterativo de resolução do Subsistema 
1. Neste caso, a equação (2.84) assume a forma:
DPFi = DPIi (2.98)
Em que a = 1; DPFi é a correção na geração da barra de folga da área i; e DPIi 
é o erro no intercâmbio líquido da barra i, dado por:
(2.99)
Sendo o valor especificado para o intercâmbio da área i; e , o valor 
calculado na iteração mais recente.
A representação do controle de intercâmbio entre área também pode ser feito 
por alterações introduzidas no Subsistema 1. As barras de folga das áreas, com 
77
Análise de Sistemas de Potência
exceção da barra de folga do sistema (barra Vq), são classificadas como do tipo V 
(só as magnitudes das tensões nodais são especificadas), ou seja, as injeções de 
potência ativa nessas barras deixam de ser especificadas e as equações dos resíduos 
correspondentes ( ) saem do Subsistema 1 e Pk passa a ser calculada 
no Subsistema 2; no lugar dessa equação é introduzida a equação de intercâmbio da 
área ( ), mantendo-se dessa forma a igualdade entre o número de equações 
e incógnitas do Subsistema 1. Note-se que o conjunto de variáveis dependentes 
continua o mesmo. Esquematicamente, a matriz jacobiana passa a ser:
(2.100)
Em que NV é o número de barras tipo V e NA é o número de áreas (o único controle 
aqui representado foi o controle de intercâmbio entre áreas). A expressão algébrica que 
dá o intercâmbio PIi, da área i, em função do estado dos nós terminais das interligações, 
é análoga à expressão da injeção de potência em uma barra (a única diferença é que 
a equação de intercâmbio expressa a Lei de Kirchhoff em uma área ao invés de um nó). 
Deve-se observar que é possível o aparecimento de zeros na diagonal principal da 
submatriz ∂PI/∂qF; isso ocorre sempre que a barra de folga não é terminal de nenhuma 
interligação (linha ou transformador). A existência de zeros na diagonal principal pode 
trazer algumas dificuldades durante o pivoteamento. Existem duas alternativas para se 
evitar esse tipo de problema: deixando-se para pivotear por último as linhas e as colunas 
correspondentes ao controle de intercâmbio, conforme se indica na equação (2.100); 
ou utilizando-se esquemas especiais de numeração de equações.
2�10 A ANÁLISE DA SENSIBILIDADE E O PROBLEMA DO CONTROLE
Admita-se que o sistema funcione em um regime permanente nominal x0, 
correspondendo aos valores nominais u0 e p0 dos vetores u e p, respectivamente:
f(x0, u0, p0) = 0 (2.101)
Deseja-se manter o sistema em seu estado de funcionamento, porém, devido a 
flutuações nas demandas, o vetor p sofre variações Dp em torno do valorenominal p0. 
Se o vetor de controle for deixado constante, o resultado será variações no vetor de 
estado x. Isso não pode ser tolerado, assim, para compensar os efeitos de Dp, deve-se 
exercer um controle sobre o sistema variando o vetor u de um certo Du. Se esse controle 
obter sucesso, então, as variações Dx no estado, serão reduzidas a zero.
De fundamental importância pra o projeto de um sistema de controle é o completo 
entendimento de como variações em p e u afetam o estado x, ou, de como o estado 
x é sensível a variações em p e u. Tal entendimento pode ser obtido a partir da análise 
da perturbação ou da sensibilidade.
78
Análise de Sistemas de Potência
2�10�1 ANÁLISE DA PERTURBAÇÃO OU DA SENSIBILIDADE
Admita que todos os três vetores x, u e p sofram perturbações Dx, Du e Dp 
respectivamente. A equação (2.16) passa a ser:
f(x0 + Dx, u0 + Du, p0 + Dp) = 0 (2.102)
Ou, sob a forma de componentes:
(2.103)
Se for feita a expansão numa série de Taylor em torno do valor nominal fn (x0, 
u0, p0) e se admitir-se que as perturbações sejam tão pequenas que possa-se desprezar 
os termos de ordem maiores, obtém-se:
(2.104)
ou tendo em vista a equação (2.101):
Dx1 + Dx2 + ...+ Du1 + Du2 + ... + Dp1 + Dp2 +...
= 0 para n = 1, 2, ... ,2n
(2.105)
Todas as derivadas parciais da equação (2.105) devem ser calculadas para os 
valores nominais das variáveis.
Lembrando que a variável de estado di foi feita, arbitrariamente, igual a zero. Isso 
significa que deve-se fazer Dx1 = 0 em todas as 2n equações (2.105). Com essa restrição 
para Dx1, as últimas equações podem ser tabuladas da seguinte forma matricial:
+ +
(2.106)
2�10�1�1 MATRIZES JACOBIANA E DE SENSIBILIDADE
As matrizes cujos elementos são derivadas parciais são designadas por jacobianas. 
Devido ao valor zero de Dx1, divide-se as matrizes da forma indicada e, nesse processo, 
79
Análise de Sistemas de Potência
obtém-se a matriz quadrada Jx de dimensão 2n – 1 e as matrizes retangulares Ju e Jp, 
de dimensões 2n – 1 por 2n. Em termos dessas matrizes tem-se, logicamente:
Jx + Dx + Ju Du + Ju Dp = 0 (2.107)
Agora será introduzido os vetores de perturbação
Dx Dp (2.108)
Tirando o valor de Dx da equação (2.107)
Su – Ju (2.109)
Sp – Jp (2.110)
Que de fato, informam o quão sensível é x em relação as variações de u e p.
2�10�2 O PROBLEMA DO CONTROLE
Quando o vetor demanda desvia-se de seu valor nominal p0 de uma quantidade 
pequena e imprevisível Dp, o estado do sistema sofrerá uma variação Dx. O sistema 
de controle deve detectar essas variações e iniciar, em tempo real, um conjunto de 
variações contrárias da força de controle Du, que elimine tão rápida e eficientemente 
quanto possível, a variação de estado Dx.
Figura 2�19: Sistema de controle com múltiplas entradas e múltiplas saídas.
A figura 2.6 mostra a estrutura geral do sistema de controle. As variáveis de estado 
do sistema são controladas por meio de sensores, cujas saídas serão chamadas de 
variáveis controladas c1, c2, .... Algumas variáveis de estado, tais como os módulos 
das tensões de barra , podem ser medidas diretamente, sendo, portanto, facilmente 
controladas. Outras, como os ângulos de fase das tensões, , são mais difíceis de medir, 
e só podem ser obtidos por medições indiretas, por exemplo, medindo-se as potências 
ativas de linha que, como se sabe, são funções daqueles ângulos.
80
Análise de Sistemas de Potência
As variáveis controladas são comparadas com entradas de referência r1, r2, ..., 
em comparadores, que fornecem sinais de erro e1, e2, .... Quando, as entradas de 
referência são constantes, o sistema é chamado de regulador.
Os sinais de erro, usualmente, de nível de potência muito baixo, constituem as 
entradas do controlador, que processa esses sinais, amplificando, misturando e 
transformando-os, em transdutores, tornando-os forças de controle u1, u2, ..., que afetam 
diretamente o estado da planta de geração de energia. Como tem-se que:
(2.111)
Verifica-se que o funcionamento do sistema de controle é baseado em sinais que 
representam desvios das regulagens nominais, ou seja, trata-se de análise incremental. 
Este sistema também é chamado de controle com múltiplas entradas e múltiplas saídas 
(em inglês multiple input multiple output – MIMO). A dificuldade do projeto está relacionado 
com o projeto do controlador, que constitui o cérebro e os músculos do sistema, somado 
ao grau de acoplamento entre as várias entradas, com a severidade das exigências 
de controle e com a complexidade do modelo de sistema. 
2�10�2�1 VARIÁVEIS DE ESTADO DINÂMICAS
No funcionamento estático a frequência angular nominal é:
(2.112)
É constante através do sistema e as tensões individuais de barra têm a forma:
(2.113)
Identificou-se como variáveis de estado estáticas. Quando o sistema é 
submetido a uma pequena perturbação dinâmica, essas variáveis sofrerão pequenas 
mudanças. Pode-se escrever:
(2.114)
E as tensões de barra serão, portanto, da forma:
) (2.115)
A velocidade angular wi da barra i vale:
)= (2.116)
81
Análise de Sistemas de Potência
E não é mais constante, uma vez que ela é caracterizada por uma perturbação 
diferente de zero:
(t/s) (2.117)
Ou, expresso em ciclos por segundo:
(Hz) (2.118)
Devido à elevada inércia dos geradores síncronos, é geralmente verdade que:
(2.119)
A energia cinética armazenada na máquina síncrona ligada a uma barra varia 
com o quadrado da velocidade ou frequência. Como uma barra em dois instantes 
diferentes pode ser caracterizada por perturbações de fase ∆δi idênticas, porém 
velocidades diferentes, é óbvio que a variável ∆δi sozinha não pode carregar todas as 
informações sobre o estado. Deve-se adicionar a velocidade ∆fi à lista das variáveis 
de estado dinâmicas, que totalizam três: ∆ , ∆δi e ∆fi.
2�10�2�2 CONTROLE PF VERSUS CONTROLE QV
As seguintes observações podem ser feitas em relação às propriedades de 
sensibilidade estática de uma rede típica:
 ▪ As variações estáticas ∆Pi, na potência ativa de barra, afetam, essencialmente, 
apenas as fases de tensão de barra (e, portanto, o fluxo de potência ativa na linha), 
porém deixam os módulos de tensão de barra (e, portanto, o fluxo de potência reativa 
na linha), praticamente inalterados;
 ▪ As variações estáticas ∆Qi, na potência reativa de barra, afetam, essencialmente, 
apenas os módulos de tensão de barra (e portanto, o fluxo de potência reativa na linha), 
porém deixam as fases de tensão de barra (e, portanto, o fluxo de potência ativa na 
linha), praticamente inalteradas.
 ▪ As variações estáticas na potência reativa de uma dada barra, afetam mais 
fortemente o módulo da tensão naquela barra e, em grau menor, os módulos de tensão 
nas outras barras.
É importante ressaltar que essas propriedades aplicam-se somente quando as 
cargas da linha, como no caso normal, estão bem abaixo dos limites de estabilidade 
estática das linhas e os desvios dos valores nominais são pequenos (em linguagem 
matemática de primeira ordem). 
Com base nas propriedades de sensibilidade pode-se dividir o trabalho de controle 
global nos dois canais seguintes (ver figura 2.7):
82
Análise de Sistemas de Potência
Figura 2�20: Controles do gerador.
Canal de controle Megawatt-frequência ou Pf: O objetivo desse canal de controle 
é exercer controle sobre a frequência e simultaneamente sobre a troca de potência ativa 
entre as linhas. O erro de frequência ∆fi e os incrementos nas potências ativas nas linha 
de ligação são sentidos e isso proporcionará, indiretamente, informações sobre o erro 
incremental de estado, ∆δi. Esses sinais do sensor são amplificados, misturados e 
transformados num sinal de comando de potência ativa ∆Pci, que é enviado à máquina 
motriz para obter um aumento no conjugado. Como resultado, obtém-se uma variação 
∆PGi na potência ativa gerada que, então, causará a variação dos incrementos de estado 
inicialmente sentidos.
Canal de controle Megavar-tensão ou QV: O objetivo desse canal é controlar 
o estado de tensão . O erro D é sentido