Curso de Matemática para Negócios

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MATEMÁTICA
Revisão de Conjuntos
Aula 1: Revisão 
de Conjuntos
Aula 2: Revisão de 
Potenciação,
Radiciação e 
Fatoração
Aula 3: Revisão e 
Equações e
Sistemas de 
Equações
MATEMÁTICA 
Revisão de Matemática Básica (Aulas 1, 2 e 3)
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Cojuntos Numéricos
 União de Conjuntos
 Intersecção entre Conjuntos
 Diagrama de Venn
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS INTEIROS
Números inteiros positivos: N*= {1,2,3,4,5,6,...}
Números naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,...}
Da impossibilidade de efetuarmos a subtração a-b
para todos os valores a e b de N, introduzimos os
números inteiros negativos.
Assim, o conjunto dos números inteiros é:
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS RACIONAIS
•Observe que qualquer inteiro a também é
racional, pois
•Todo número racional pode ser representado
sob a forma decimal, bastando para isso
dividirmos a por b.
•A representação decimal pode ser finita, ou
infinita e periódica (caso onde a divisão resulta
em uma dízima periódica).
Q = {2/5; 2,3; – 0,05; – 2; 18; 5; 2,25} 
.
1
a
a 






 0,,| bZbZa
b
a
Q
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS IRRACIONAIS
• Um número irracional usado em Geometria é o
número pi ( π ), dado por 3,141592...
• Se calcularmos o valor de algumas raízes na
calculadora, perceberemos que o seu valor é um
número irracional, como:
√2 = 1, 414221...
√3 = 1, 73205...
I = {√8; –√6; 2,36521452 ...}
CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS REAIS
Chama-se conjunto dos números reais (R)
aquele formado pela união dos conjuntos dos
números racionais e irracionais.
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
•O conceito de conjunto é intuitivo; um conjunto é
constituído de elementos, e costumam ser indicados
pelas letras maiúsculas latinas: A, B, C...
•Para indicarmos que um certo elemento pertence a
um conjunto, usamos o símbolo Є, e para indicarmos
que o elemento não pertence ao conjunto, usamos o
símbolo .
•Um conjunto que não apresenta nenhum elemento é
chamado vazio e indicado por Ф ou { }.

SUBCONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é
um subconjunto de B quando todo elemento de A
pertence a B.
Dizemos que A está contido em B, e
indicamos por .BA
SUBCONJUNTOS
O conjunto B = {5,6,7} é subconjunto de
A = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, ou seja, B ⊂ A.
UNIÃO E INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
•Dados dois conjuntos A e B,
chamamos união de A e B ao
conjunto dos elementos que
pertencem a ao menos um dos
dois conjuntos dados. 
•Dados dois conjuntos A e B,
chamamos intersecção de A e
B ao conjunto dos elementos
que pertencem
simultaneamente a A e B. 
UNIÃO DE CONJUNTOS
A = {0, 1, 3, 4, 5,}
B = {1, 3, 6, 8, 9}
A ∪ B = {0, 1, 3, 4, 5 6, 8, 9}
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
A = {0, 1, 3, 4, 5,}
B = {1, 3, 6, 8, 9}
A ∩ B = {1, 3}
CONJUNTOS DISJUNTOS
Se dois conjuntos não tem nenhum elemento
comum a intersecção deles será um conjunto
vazio. Nesse caso, eles são chamados de
CONJUNTOS DISJUNTOS.
DIAGRAMA DE VENN
Os diagramas de Venn são utilizados na
melhor visualização das propriedades dos
conjuntos, facilitando cálculos e a
interpretação de situações problema.
APLICANDO O CONHECIMENTO
1) Uma avaliação contendo 
duas questões foi dada a 
200 alunos. Sabendo que:
50 alunos acertaram
as duas questões.
100 alunos acertaram a 
primeira questão.
99 alunos acertaram a 
segunda questão.
Quantos alunos erraram as 
duas questões?
APLICANDO O CONHECIMENTO
1) Uma avaliação contendo 
duas questões foi dada a 
200 alunos. Sabendo 
que:
50 alunos acertaram
as duas questões.
100 alunos acertaram a 
primeira questão.
99 alunos acertaram a 
segunda questão.
Quantos alunos erraram 
as duas questões?
APLICANDO O CONHECIMENTO
1) Uma avaliação contendo 
duas questões foi dada a 
200 alunos. Sabendo 
que:
50 alunos acertaram
as duas questões.
100 alunos acertaram a 
primeira questão.
99 alunos acertaram a 
segunda questão.
Erraram as duas questões → 200 – 50 – 50 – 49= 
51alunos
APLICANDO O CONHECIMENTO
2) Um levantamento
socioeconômico entre 200
famílias de um bairro
revelou que:
34 têm casa própria;
44 têm automóvel;
16 têm casa própria e
automóvel.
Qual o número de famílias
que não têm casa própria
nem automóvel?
APLICANDO O CONHECIMENTO
2) Um levantamento
socioeconômico entre 200
famílias de um bairro
revelou que:
34 têm casa própria;
44 têm automóvel;
16 têm casa própria e
automóvel.
Qual o número dessas
famílias que não têm casa
própria nem automóvel?
APLICANDO O CONHECIMENTO
2) Um levantamento
socioeconômico entre 200
famílias de um bairro
revelou que:
34 têm casa própria;
44 têm automóvel;
16 têm casa própria e
automóvel.
x = 200 – 62
Logo, o número das famílias que não têm casa 
própria nem automóvel é 
x = 138.
APLICANDO O CONHECIMENTO
3) Uma editora estuda a possibilidade de lançar
novamente as publicações A Hora da Estrela (HE),
Memórias Póstumas de Brás Cubas (BC) e Grande Sertão:
Veredas (GS). Para isto, efetuou uma pesquisa de
mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas:
600 leram HE;
400 leram BC;
300 leram GS;
200 leram HE e BC;
150 leram HE e GS;
100 leram GS e BC;
20 leram as três obras.
Calcule o número de pessoas que leu apenas uma das
obras.
APLICANDO O CONHECIMENTO
3) Uma editora estuda a possibilidade de lançar
novamente as publicações A Hora da Estrela (HE),
Memórias Póstumas de Brás Cubas (BC) e Grande Sertão:
Veredas (GS). Para isto, efetuou uma pesquisa de
mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas:
600 leram HE;
400 leram BC;
300 leram GS;
200 leram HE e BC;
150 leram HE e GS;
100 leram GS e BC;
20 leram as três obras.
Calcule o número de pessoas que leu apenas uma das
obras.
APLICANDO O CONHECIMENTO
3) 600 leram HE; 
400 leram BC; 
300 leram GS; 
200 leram HE e BC; 
150 leram HE e GS; 
100 leram GS e BC; 
20 leram as três obras. 
O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 
270 + 120 + 70 = 460.
APLICANDO O CONHECIMENTO
4) Uma pesquisa sobre a preferência dos leitores
de uma cidade em relação aos jornais A, B e C foi
realizada. Foram entrevistados 360 leitores entre
homens e mulheres maiores de 18 anos de idade.
Os dados coletados na pesquisa foram os seguintes:
120 leem o jornal A.
170 leem o jornal B.
150 leem o jornal C.
40 leem o jornal A e B.
15 leem os jornais A e C.
30 leem os jornais B e C.
05 leem os jornais A, B e C.
Quantos leitores preferem ler somente o
jornal C?
APLICANDO O CONHECIMENTO
4) Uma pesquisa sobre a preferência dos leitores
de uma cidade em relação aos jornais A, B e C foi
realizada. Foram entrevistados 360 leitores entre
homens e mulheres maiores de 18 anos de idade.
Os dados coletados na pesquisa foram os seguintes:
120 leem o jornal A.
170 leem o jornal B.
150 leem o jornal C.
40 leem o jornal A e B.
15 leem os jornais A e C.
30 leem os jornais B e C.
05 leem os jornais A, B e C.
Quantos leitores preferem ler somente o
jornal C?
APLICANDO O CONHECIMENTO
4) Uma pesquisa sobre a preferência dos leitores
de uma cidade em relação aos jornais A, B e C foi
realizada. Foram entrevistados 360 leitores entre
homens e mulheres maiores de 18 anos de idade. Os
dados coletados na pesquisa foram os seguintes:
120 leem o jornal A.
170 leem o jornal B.
150 leem o jornal C.
40 leem o jornal A e B.
15 leem os jornais A e C.
30 leem os jornais B e C.
05 leem os jornais A, B e C. 110 preferem ler
somente o jornal C; 70 preferem ler somente o
jornal A e 105 preferem ler somente o jornal B.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Revisão de Equações do 1 grau, 
Inequações do 1 grau e
Sistemas de Equações do 1 grau
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Equações do 1 grau
 Inequações do grau
 Sistemas de Equações do 1 grau
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
•Chamamos equação do primeiro grau na
incógnita x, no universo real, toda equação
redutível à forma:
•Em que a e b são números reais quaisquer, com
a diferentede zero.
•Para resolvermos esse tipo de equação, basta
dividirmos ambos os membros por a:
a
b
x
a
b
a
xa


,bxa 
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
.68124 xx 
 2
2
10
20
2010
12864
68124






S
x
x
x
xx
xx
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
6
1
2
3
3
2



 xx
   
5
14
145
94132
13322
6
1
6
2
3
6
3
2
6









x
x
xx
xx
xx







5
14
S
INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
•Inequações do primeiro grau na incógnita x são
aquelas redutíveis a uma das formas:
•Em que a e b são números reais quaisquer, com
a diferente de zero.
bxaoubxa
ou
bxaoubxa


INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
  .243  xx
 
 7|
7
142
2123
243





xRxS
x
x
xx
xx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
•Chamamos sistemas lineares com duas equações
e duas incógnitas, x e y, todo sistema de equações
do tipo:
em que a, b, c, d, m, n são números reais
quaisquer.
Dizemos que o par ordenado (,β) é solução do
sistema se substituindo  no lugar de x e β no
lugar de y as duas equações tornam-se sentenças
verdadeiras (isto é, igualdades numéricas).





ndycx
mbyax
SISTEMAS DE EQUAÇÕES: Método da Substituição





2132
8
yx
yx
 
5383
213242
21832
8





yx
xx
xx
xy
SISTEMAS DE EQUAÇÕES: Método da Substituição
•Esse método consiste em isolar uma das incógnitas,
numa das equações e substituir a expressão
encontrada na outra equação.
X + Y = 5
X = 5 – Y
Substituindo
(5 – Y) – Y = 3. 
Resolvendo
Y = 1
Substituindo
X = 4.
Solução: (4, 1)
SISTEMAS DE EQUAÇÕES: Método da Adição
•Para resolver um sistema pelo método da adição,
adicionamos membro a membro as equações de
modo a anular uma das incógnitas.
 
 
3x
5y














21532
211632
2132
1622
2132
822
x
yy
yx
yx
yx
yx
solução





2132
8
yx
yx
SISTEMAS DE EQUAÇÕES: Método da Adição
•Para resolver um sistema pelo método da adição,
adicionamos membro a membro as equações de
modo a anular uma das incógnitas.
Substituindo X por 7 na equação X + Y = 8, temos que
Y= 1Logo, a solução do sistema é o par ordenado (7, 1)





6
8
yx
yx
7x
2
14
x








142
6
8
x
yx
yx
solução
APLICANDO O CONHECIMENTO:
1) Método da Adição 





6
20
yx
yx





1
7
yx
yx
APLICANDO O CONHECIMENTO:
2) Método da Adição
APLICANDO O CONHECIMENTO:
3) Método da Adição 





232
52
yx
yx
APLICANDO O CONHECIMENTO:
4) Método da Substituição 





1032
2
yx
yx
APLICANDO O CONHECIMENTO
5) Em um estacionamento há carros e motos. O
número de motos é o triplo do número de carros.
Somando-se o número de pneus dos carros e das
motos, obtemos 60. Qual é o número de carros e de
motos neste estacionamento?
a) 18 carros e 6 motos
b) 5 carros e 15 motos
c) 6 carros e 18 motos
d) 21 carros e 7 motos
e) 7 carros e 21 motos
APLICANDO O CONHECIMENTO
• O número de motos é o triplo do número de 
carros. Podemos então escrever a primeira 
equação:
m = 3c
• As motos possuem 2 pneus e os carros 
possuem 4 pneus. Podemos então escrever a 
segunda equação:
2m + 4c = 60
m = 3c
2m + 4c = 60
Resolva o sistema abaixo
a) 18 carros e 6 motos
b) 5 carros e 15 motos
c) 6 carros e 18 motos
d) 21 carros e 7 motos
e) 7 carros e 21 motos
APLICANDO O CONHECIMENTO
6) Juntos, João e Maria possuem 20 livros de
administração, no entanto João possui 4 livros a
mais que Maria. Quantos livros João e Maria possuem
respectivamente?
a) 15 livros e 5 livros
b) 11 livros e 9 livros
c) 12 livros e 8 livros
d) 13 livros e 7 livros 
e) 14 livros e 6 livros
APLICANDO O CONHECIMENTO
•Como juntos (João e Maria) possuem 20 livros de
Administração, temos a primeira equação:
20MJ
•Como João tem 4 livros de Administração a mais,
temos a segunda equação:
4 MJ





4
20
MJ
MJ
Resolva o sistema abaixo
a) 15 livros e 5 livros
b) 11 livros e 9 livros
c) 12 livros e 8 livros
d) 13 livros e 7 livros 
e) 14 livros e 6 livros
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Razão e Proporção
 Grandezas diretamente e
inversamente proporcionais
 Porcentagens
RAZÃO
Chama-se de razão entre dois números racionais a e
b, com b # 0, ao quociente entre eles. Indica-se a
razão de a para b por
a
b
onde o primeiro termo a chama-se antecedente e o
segundo termo b chama-se consequente.
Número racional
(representado por
fração)
Razão (representada por
fração)
1/2 lê-se: um meio 1/2 lê-se: um para dois ou
um está para dois
3/4 lê-se: três quartos 3/4 lê-se: três para quatro
ou três está para quatro
5/3 lê-se: cinco terços 5/3lê-se: cinco para três
ou cinco está para três
7/10lê-se: sete
décimos
7/10 lê-se: sete para dez
ou sete está para dez
RAZÃO
RAZÕES EQUIVALENTES
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma
razão por um mesmo número diferente de zero,
obtém-se outra razão equivalente à primeira.
Veja o exemplo:
16
12
12
9
8
6
4
3

lIrredutíveForma
5
4
15
12
30
24
60
48

RAZÃO
RAZÃO CENTESIMAL = PORCENTAGEM (%)
1/100 = 0,01 = 1%
25/100 = 1/4 = 0,25 = 25%
30/100 = 3/10 = 0,3 = 30%
A razão tem por objetivo relacionar dados de certas
situações, oferecendo parâmetros de comparação
através de números percentuais.
PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre razões.
Dizemos que a está para b assim como c está para d. 
Desta forma temos que:
simplesoporção
y
x
Pr
5
2

contínuaoporção
zyx
Pr
354

PROPORÇÃO
Propriedade Fundamental
A propriedade fundamental da
proporção diz que o produto dos extremos
é igual ao produto dos meios.
cbda
d
c
b
a
.. 
Porcentagem
Introdução:
Utilizamos o cálculo de porcentagem
constantemente no nosso cotidiano. Dois
simples exemplos:
1) Uma loja lança uma promoção de 10% no
preço dos seus produtos. Se uma mercadoria
custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a
custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00.
Logo:
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00:
120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
12
100
1200
100
10
120 x
Solução:
2) Uma sala de aula possui 100 alunos,
sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade
de meninas e de meninos?
quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
40
100
4000
100
40
100 x
Exemplos:
3) O preço de uma casa sofreu um aumento de
20%, passando a ser vendida por 35 000 reais.
Qual era o preço desta casa antes deste
aumento?
Exemplos:
Porcentagem Preço
120 35 000
100 x
Solução:
4) Aumentando-se 10% uma grandeza positiva x 
e do resultado diminui-se 10% obtemos:
(A) x
(B) 0,9·x
(C) 0,99·x
(D) 1,1·x
(E) 1,2·x 
Exemplos:
Acrescentar 10% em X significa dizer que x 
passa a ser 1,1 x.
Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11
Logo : 
1,1x – 0,11x = 0,99x
Solução:
5) Com o reajuste de 10% no preço da
mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da
mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de
5% no preço da mercadoria B, o novo preço
dessa mercadoria se igualará ao preço da
mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o
preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%,
em R$ é?
Exemplos:
Temos: 
1,1 A = B + 9,99 e que 0,95 B = A
1,1( 0,95 B ) = B + 9,99
1,045 B = B + 9,99
1,045B – B = 9,99
0,045B = 9,99
B = R$ 222,00
Solução:
Exemplos: Razão e Proporção
1) Dois números estão na razão de 2 para 3. 
Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão 
na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois 
números é:
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
Solução:
5
3
2
2
3
2




y
x
quee
y
x
96.log12)4.(3;8)4(.2
:
4106910691010
3)23(5)22(
5
3
23
22
:
3
3
.2
2






yxoyx
temosyexemadevalorodosubstituin
aaaaa
xaxa
a
a
temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin
aya
y
eaxa
x
Exemplos:
9
5

y
x
2) Sabendoque x + y = 42, determine x e y na 
proporção 
42
9
5
 yxe
y
x
27)3.(9;15)3(.5
:
3
14
42
4214429542
:
9
9
5
5



yx
temosyexemadevalorodosubstituin
aaaayx
temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin
aya
y
eaxa
x
Solução:
Exemplos:
3) A soma da idade do pai e do filho é 45
anos. A idade do pai está para a idade do filho,
assim como 7 está para 2. Determine a idade do
pai e do filho.
10)5.(2;35)5(.7
:
5
9
45
459452745
:
2
2
.7
7



FP
temosFePemadevalorodosubstituin
aaaaFP
temosproporçãooutranaFePdevaloresosdosubstituin
aFa
F
eaPa
P
Solução:
45
2
7
 FPe
F
P
4) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. 
Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 
anos.
a)14 e 20 anos
b)14 e 21 anos
c)15 e 20 anos
d)18 e 17 anos
e)13 e 22 anos
Exemplos:
35;
3
2
 ba
b
a
21)7.(3;14)7(.2
:
7
5
35
355353235
:
3
3
;2
2



ba
temosbeaemxdevalorodosubstituin
xxxxba
temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin
xbx
b
xax
a
Solução:
5) A diferença dos volumes de dois sólidos é
9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.
a)17cm³ e 28cm³
b)18cm³ e 27cm³
c)19cm³ e 28cm³
d)20cm³ e 27cm³
e)n.d.a
Exemplos:
9;
3
2
 ab
b
a
27)9.(3;18)9(.2
:
99239
:
3
3
;2
2



ba
temosbeaemxdevalorodosubstituin
xxxab
temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin
xbx
b
xax
a
Solução:
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas variáveis são diretamente
proporcionais quando, aumentando ou diminuindo
uma delas numa determinada razão, a outra
aumenta ou diminui nessa mesma razão.
x y ou x y   
1- Num papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos
iguais a quantia de 8,75 euros.
Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles
cadernos?
Exemplos:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7
cadernos estão para 8,75 euros, pelo que 9
cadernos estarão para x euros. Assim:
Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago
11,25 euros.
RESOLUÇÃO:
7 9 8,75 9 78,75
11,25
8,75 7 7
x x x
x

      
2- Para fazer um determinado bolo, a razão entre o
peso (em grama) do açucar e o peso da farinha é
de 5:2.
Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de
farinha deves usar?
Exemplos:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g
de açucar estão para 2 g de farinha, pelo que
160 g de açucar estarão para x g de farinha.
Assim:
Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.
RESOLUÇÃO:
5 160 2 160 320
64
2 5 5
x x x
x

      
3- Uma torneira libera água uniformemente, para
um tanque que de inicio estava vazio, 4 litros de
água por minuto.
Ao fim de meia hora quantos litros de água
liberou a torneira ?
Exemplos:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que
4 litros de água estão para 1 minuto, pelo que x
litros de água estarão para 30 minutos (meia hora).
Assim:
Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou
120 litros de água.
4 4 30 120
120
1 30 1 1
x
x x x

      
RESOLUÇÃO:
4- A mãe da Teresa comprou 1232 dólares
americanos por 1000 euros.
À mesma taxa de câmbio, quantos dólares
americanos poderia comprar com 50 euros?
Exemplos:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos
que 1232 dólares americanos estão para 1000
euros, pelo que x dólares americanos estarão
para 50 euros. Assim:
Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia
ter comprado 61,6 dólares americanos.
RESOLUÇÃO:
1232 1232 50 61600
61,6
1000 50 1000 1000
x
x x x

      
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Função Afim
 Função Linear
 Função Crescente
 Função Decrescente
ESTUDO DE FUNÇÕES
Quando os conjuntos A e B são numéricos, as
relações são formadas de pares ordenados de
números.
Um par ordenado de números é um conjunto
formado por dois números em uma certa ordem.
Em um par ordenado (a,b) o primeiro elemento
do par é a e o segundo é b.
Um par ordenado de números reais pode ser
representado geometricamente por dois eixos
perpendiculares, sendo o horizontal chamado eixo
das abscissas, ou eixo x, e o vertical de eixo das
ordenadas, ou eixo y.
ESTUDO DE FUNÇÕES
Um par ordenado de números reais pode ser
representado geometricamente por dois eixos
perpendiculares, sendo o horizontal chamado eixo
das abscissas, ou eixo x, e o vertical de eixo das
ordenadas, ou eixo y.
ESTUDO DE FUNÇÕES
ESTUDO DE FUNÇÕES
ESTUDO DE FUNÇÕES
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
Esse tipo de função apresenta um grande
número de aplicações.
Chama-se função do primeiro grau, ou
afim, aquela cuja sentença for dada por y = ax
+ b, sendo a e b constantes reais, com a
diferente de zero.
Verifica-se que o gráfico de uma função de
primeiro grau é uma reta. Assim, o gráfico
pode ser obtido por meio de dois pontos
distintos.
y = ax + b
• A constante a é chamada coeficiente
angular: quando a > 0, o gráfico corresponde
a uma função crescente; quando a < 0, o
gráfico corresponde a uma função
decrescente.
• A constante b é chamada coeficiente linear e
representa, no gráfico, a ordenada do ponto
de intersecção da reta com o eixo y.
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM
DOMÍNIO E IMAGEM
•Nas situações de funções dadas por sentenças
do tipo y = f(x) em que x e y são variáveis
numéricas, e não é mencionado o domínio,
convenciona-se que ele seja formado por todos
os valore reais de x para os quais existam as
respectivas imagens y.
•Observemos, porém, que, em funções
envolvendo situações práticas, o domínio é
constituído por todos os valores reais de x
para os quais tenha significado o cálculo da
imagem.
Dizemos que uma função f é crescente em um
intervalo [a,b] se dentro do intervalo, à medida que
aumenta o valor de x, as imagens correspondentes
também aumentam, ou seja,
FUNÇÃO CRESCENTE
Dizemos que uma função f é decrescente em um
intervalo [a,b] se dentro do intervalo, à medida que
aumenta o valor de x, as imagens correspondentes
vão diminuindo, ou seja,
FUNÇÃO DECRESCENTE
FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
(a > 0) a função é crescente.
Exemplo. 
Esboce o gráfico da seguinte função.
y = 2x + 5
y = ax + b
FUNÇÃO DO 1º GRAU CRESCENTE – (a > 0)
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
(a< 0) a função é decrescente.
Exemplo. 
Esboce o gráfico da seguinte função.
y = –2x +3
y = ax + b
FUNÇÃO DO 1º GRAU DECRESCENTE – (a < 0)
Para determinar a raiz ou o zero de uma
função do 1º grau é preciso considerar y = 0.
De acordo com gráfico, no instante em que y
assume valor igual a zero, a reta intersecta o
eixo x em um determinado ponto,
determinando a raiz ou o zero da função.
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 
intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
Construa o gráfico da função acima.
1) RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
2) RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
y = – 7x + 7
y = 0
–7x + 7 = 0
–7x = –7
x = 1
A reta representada pela função y = –7x + 7 
intersecta o eixo x no seguinte valor: 1
Construa o gráfico da função acima.
Obtendo a raiz da função f(x) = 3x – 6
3x – 6 = 0
3x = 6
x = 6/3
x = 2
A raiz da função é igual a 2.
A reta representada pela função f(x) = 3x – 6 
intersecta o eixo x no seguinte valor: 2
Construa o gráfico da função acima.
3) RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Função Receita
Função Custo
Ponto de Equilíbrio
Função Lucro
Margem de Contribuição
Custo Médio de Produção
APLICAÇÕES
Função Receita R(x)
Para fazer frente aos custos o empresário
precisa vender seu produto, a fim de obter sua
receita, que é o resultado dessas vendas. A
receita também pode ser definida como.
a= preço de venda por unidade
x= quantidade vendida.
XaXR .)( 
Função Receita R(X)
Os custos de uma empresa resultam da combinação
de uma série de fatores: a capacitação tecnológica e
produtiva relativa aos processos, produtose gestão;
nível de atualização da estrutura organizacional e a
qualificação da mão de obra. Num contexto geral
temos dois tipos de custos. Os custos fixos e os
custos variáveis.
CUSTOS
CUSTOS FIXOS E CUSTOS VARIÁVEIS
•Seja X= quantidade produzida de um produto e
CV = custo variável por unidade.
• O custo total de produção depende de x, e
chamamos a relação entre eles função custo total, e
a indicamos por C(X).
• Existem custos que não dependem da
quantidade produzida, como aluguel, seguro, etc. A
soma desses custos, chamamos custos fixos e
indicamos por CF.
• A parcela do custo que depende de x chamamos
custo variável e indicamos por CV.
FUNÇÃO CUSTO C(X)
XCCXC VF .)( 
FUNÇÃO CUSTO É UMA FUNÇÃO AFIM
O custo fixo mensal de fabricação de um produto é
R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. Qual A Função Custo Total C(X):
5000.10)(  XXCXCCXC VF .)( 
FUNÇÃO CUSTO
– A quantia que a firma gasta pagando pelos
insumos de produção.
X= quantidade produzida de um produto e
CV = custo variável por unidade.
FUNÇÃO RECEITA 
 A quantia que a firma recebe pela venda de 
seus produtos
R(x) = Preço de venda x Quantidade Vendida
XaXR .)( 
XCCXC VF .)( 
Resumo
Função Lucro L(X)
A partir dos elementos apresentados até
agora, podemos examinar o elemento que
estimula o empresário a produzir e, portanto, a
oferecer bens e serviços no mercado. Esse
elemento é o LUCRO que é a diferença entre a
receita total e o custo total do empresário.
).(.)(
)()()(
XCCXaXL
XCXRXL
VF 

Gráfico da Função Lucro L(X)
).(.)(
)()()(
XCCXaXL
XCXRXL
VF 

Exemplos
1) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$
30,00.
a) Qual a Função Custo Total C(X)
b) Qual a Função Receita Total R(X)
c) Qual a Função Lucro L(X)
a) Qual a Função Custo Total C(X)
Resolução
XCCXC VF .)( 
XXC .10000.5)( 
Resolução
XXR .30)( 
XaXR .)( 
b) Qual a Função Receita Total R(X)
Resolução
c) Qual a Função Lucro L(X)
).(.)(
)()()(
XCCXaXL
XCXRXL
VF 

)10000.5(30)( XXXL 
500020)(  XXL
XXXL 10000.530)( 
Exemplos
2) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$
30,00.
a) Qual a Função Custo Total C(x)
b) Custo de 600 unidades
a) Qual a Função Custo Total C(x)
XXC 10000.5)( 
XCCXC VF .)( 
Resolução
b) Custo de 600 unidades
Resolução
600.10000.5)600( C
XXC 10000.5)( 
000.11)600( C
XCCXC VF .)( 
3) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$
30,00.
a) Qual a Função Receita Total R(x)
b) Receita de 600 unidades
Exemplos
Resolução
a) Qual a Função Receita Total R(x)
XaXR .)( 
XXR 30)( 
600.30)600( R
000.18)600( R
b) Receita de 600 unidades
Resolução
XXR 30)( 
4) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$
30,00.
a) Qual a Função Lucro L(X)
b) lucro de 600 unidades
Exemplos
Resolução
a) Qual a Função Lucro L(X)
).(.)(
)()()(
XCCXaXL
XCXRXL
VF 

)10000.5(30)( XXXL 
XXXL 10000.530)( 
500020)(  XXL
Resolução
b) lucro de 600 unidades
500020)(  XXL
5000600.20)600( L
000.7)600( L
PONTO DE EQUILÍBRIO, PONTO DE NIVELAMENTO 
OU PONTO CRÍTICO
Utilizado para apurar o momento exato em que a
empresa atinge o ponto de cruzamento das
receitas (R(X)) com os custos totais (C(X)) fixos e
variáveis).
)()( XCXR 
XCCXa VF .. 
Quantidades
Variáveis
Fixos
Custos e
Despesas
Totais
Receitas
Totais
Ponto de
Equilíbrio
*X
)(XR )(XC
Positivo. Lucro C(X),R(X) então X*,X Se * 
prejuízo.ou Negativo Lucro C(X),R(X) então X*,X Se * 
Nulo. Lucro C(X),R(X) então X*,X Se * 
PONTO DE EQUILÍBRIO
5) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$5.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$10,00. O preço unitário de venda do produto é R$
30,00.
Quantas unidades devem ser produzidas para que
seja alcançado o ponto de equilíbrio?
Exemplos
XCCXa
XCXR
VF ..
)()(


500020 X
20
5000
X
unidadesX 250
XX 10000.530 
50001030  XX
)()( XCXR 
XCCXa VF .. 
Resolução
Quantidades
Variáveis
Fixos
Custos e
Despesas
Totais
Receitas
Totais
Ponto de
Equilíbrio
250
)(XR )(XC
PONTO DE EQUILÍBRIO
7.500
5.000
X R(X) = 30X
0 30.0 = 0
250 30.250 = 7.500
X C(X) = 5.000+10X
0 5.000+10.0 = 5.000
250 5.000+10.250 = 7.500
6) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$ 2.000,00 e o custo variável por unidade é de
R$ 30,00. O preço unitário de venda do produto é
R$ 50,00.
a) Qual a Função Custo Total C(X)?
b) Qual a Função Receita Total R(X)?
c) Qual a Função Lucro L(X)?
d) Quantas unidades devem ser produzidas para
que seja alcançado o ponto de equilíbrio?
Exemplos
Resolução
a) Qual a Função Custo Total C(X)?
XCCXC VF .)( 
XXC 30000.2)( 
Resolução
b) Qual a Função Receita Total R(X)?
XaXR .)( 
XXR 50)( 
Resolução
c) Qual a Função Lucro L(X)?
).(.)(
)()()(
XCCXaXL
XCXRXL
VF 

)30000.2(50)( XXXL 
XXXL 30000.250)( 
000.220)(  XXL
Resolução
d) Quantas unidades devem ser produzidas para que
seja alcançado o ponto de equilíbrio?
XCCXa
XCXR
VF ..
)()(


unidadesX
X
X
XX
XX
100
20
000.2
000.220
000.23050
30000.250





7) O custo fixo mensal de fabricação de um produto
é R$ 8.000,00 e o custo variável por unidade é de R$
60,00. O preço unitário de venda do produto é R$
100,00.
a) Qual a Função Custo Total C(x)
b) Qual a Função Receita Total R(x)
c) Qual a Função Lucro L(x)
d) Quantas unidades devem ser produzidas para
que seja alcançado o ponto de equilíbrio?
Exemplos
a) Qual a Função Custo Total C(x)
Resolução
XXC
XCCXC VF
60000.8)(
.)(


b) Qual a Função Receita Total R(x)
Resolução
XXR
XaXR
100)(
.)(


c) Qual a Função Lucro L(x)
Resolução
000.840)(
60000.8100)(
)60000.8(100)(
).(.)(
)()()(





XXL
XXXL
XXXL
XCCXaXL
XCXRXL
VF
d) Quantas unidades devem ser produzidas para
que seja alcançado o ponto de equilíbrio?
Resolução
unidadesX
X
X
XX
XX
XCCXa
XCXR
VF
200
40
000.8
000.840
000.860100
60000.8100
..
)()(







Margem de Contribuição
a = Preço de Venda por Unidade
= Custo Variável por Unidade
VC CaM 
VC
Custo Médio de Produção
X
XCC
XCme
X
XC
XCme
VF .)(
)(
)(



C(X) = Função Custo
X = Quantidade Produzida
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Função Quadrática; Função Receita Quadrática e
Função Lucro Quadrática
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Função Quadrática
 Função Receita Quadrática
 Função Lucro Quadrática
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei
de formação
f(x) = ax² + bx + c
Ou
y = ax² + bx + c, 
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
EXEMPLOS
y = f(x) = x2 + 3x – 1
é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
y = f(x) = –x2 + 5
é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
y = f(x) = –2x2 + 4x
é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
y = f(x) = x2
é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c =0.
NÚMERO DE RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
• Para resolver uma equação de 2º grau usamos a
fórmula de Bhaskara
a2
b
x

 sendo  = b2 – 4ac
O número real  é o discriminante da equação.
O valor dele indica se a função tem ou não
raízes reais.
  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
(ou 1 raiz real dupla).
  < 0 ⇔ não tem raízes reais.
Exemplo 1:
y = 3x2 – x – 2 a2
b
x

 sendo  = b2 – 4ac
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac ⇒  = (–1)2 – 4.3.(–2) ⇒  = 25
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3
⇒ A parábola cortao eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) 
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada
para cima.
Veja o gráfico da função 
y = 3x2 – x – 2
x y
–2/3 0
1 0
0 –2
1/6 –25/12
x0 1/6
1–2/3
–2
–25/12
Raiz
Raiz
= 
2.(3)
= 1/6 
–b
2a
–(–1)
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac ⇒  = (2)2 – 4.1.(3) ⇒  = –8
Como a > 0, a parábola tem concavidade 
voltada para cima.
O coeficiente c = 3, indica que a parábola 
corta o eixo y no ponto (0, 3) 
 < 0, a função não tem raízes reais, logo a 
parábola não corta o eixo x.
Exemplo 2:
y = x2 + 2x + 3 a2
b
x

 sendo  = b
2 – 4ac
Veja o gráfico da função 
y = x2 + 2x + 3
x
0
3
2
–1–2
3–2
2–1
30
yx
= 
2.(1)
= –1 xV = 
–b
2a
–2
Exemplo 4: 
y = x² - 2x + 6
0202446.1.4)²2( 
Como ∆ < 0, a função não tem zero real
Solução:
a2
b
x

 sendo  = b
2 – 4ac
FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de
um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o
custo da produção dado por
C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser
vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o
lucro máximo?
L(x) = R(x) – C(x)
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8
L(x) = – x² + 6x – 8
FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA
O número de unidades vendidas mensalmente
para se obter o lucro máximo será determinado
por Xv.
L(x) = – x² + 6x – 8
= 
2.(-1) = 3 unidades
xV = 
–b
2a
–6
-2
–6
= 
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades 
sejam vendidas.
A equação do 2º grau possui duas soluções
distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas
raízes reais e distintas. A parábola intersecta o
eixo das abscissas (x) em dois pontos.
y = ax² + bx + c
A equação do 2º grau possui uma única solução,
isto é, a função do 2º grau terá apenas uma
raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das
abscissas (x) em apenas um ponto.
y = ax² + bx + c
A equação do 2º grau não possui soluções
reais, portanto, a função do 2º grau não
intersectará o eixo das abscissas (x).
y = ax² + bx + c
PONTOS NOTÁVEIS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
DO 2º GRAU
O vértice da parábola constitui um ponto
importante do gráfico, pois indica o ponto de valor
máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com
o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos.
Quando o valor do
coeficiente a for menor
que zero, a parábola
possuirá valor máximo.
Quando o valor do
coeficiente a for maior
que zero, a parábola
possuirá valor mínimo.
O valor do coeficiente c na lei de formação da
função corresponde ao valor do eixo y onde a
parábola o intersecta.
y = ax² + bx + c
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Introdução ao Limite de uma Função
LIMITES
•A definição de limite é utilizada no intuito de
expor o comportamento de uma função nos
momentos de aproximação de determinados
valores, ou seja, o que acontece com o
comportamento de uma função a medida que ela
se aproxima de um determinado valor a.
•O limite de uma função possui grande
importância no cálculo diferencial e em outros
ramos da análise matemática, definindo
derivadas e continuidade de funções.
LIMITE A DIREITA
Intuitivamente, dada uma função f(x) e um ponto
a do domínio, dizemos que o limite da função é L1
quando x tende a a pela direita se, à medida que x
se aproxima de a pela direita, os valores de f(x) se
aproximam de L1 e escrevemos
  1lim Lxf
ax


Obs.: Assumir valores pela direita (+) não significa
assumir valores positivos e sim assumir valores
maiores que a.
LIMITE A ESQUERDA
Analogamente, dada uma função f(x) e um ponto a
do domínio, dizemos que o limite da função é L2
quando x tende a a pela esquerda se, à medida que
x se aproxima de a pela esquerda, os valores de
f(x) se aproximam de L2 e escrevemos
  2lim Lxf
ax


Obs.: Assumir valores pela esquerda (-) não
significa assumir valores negativos e sim assumir
valores menores que a.
EXISTÊNCIA DO LIMITE
Caso L1=L2, ou seja, os limites laterais são iguais,
dizemos que existe o limite de f(x) quando x tente
a a e escrevemos
    LLLLxfLxf
axax

 
2121 limlim
Quando os limites laterais são DIFERENTES,
dizemos que não existe o limite de f(x) quando x
tende a a.
  Lxf
ax


lim
Ou seja
FUNÇÃO CONTÍNUA
 
 
 a. em contínua dita é )( caso, 
).(lim o que teremosD(f), a 
),( se e lim de limite o 
xfNeste
afxfcom
afLLxfQuando
ax
ax




MOTIVAÇÃO 1
Dada a função f(x), determine o seu
comportamento para x=2
14)(  xxf
MOTIVAÇÃO 2
Dada a função f(x), determine o seu
comportamento para x=0
x
xf
1
)( 
EXEMPLOS E APLICAÇÕES
longos? ostreinament
para )( de ntocomportame o é Qual
5
20
)( 
 onde dia,por escomputador monta
to, treinamende dias após empregado um que
determina escomputador de montadora Uma-1
2
2
xmm
xx
x
xm
m
x



EXEMPLOS E APLICAÇÕES
resultado. o Interprete b)
cresce. quando médio custo o Determine a)
.600.325,0)(por dado é produto certo um
 de unidades produzir para reais em custo O-2
x
xxC
x

EXEMPLOS E APLICAÇÕES
resultado. o Interprete b)
prima. matéria de squilograma 2
 temse quando )( de produção a Determine a)
2
4
)( 
por dada é logramas,
-qui em prima, matéria de quantidade à relação
em bem certo um de produção de funçãoA -3
2
xP
x
x
xP



EXEMPLOS E APLICAÇÕES
   
contínua? é )( funçãoA c)
;lim e lim Determine b)
);( função da gráfico o sboce a)
 
10 ,146,0
100 se ,2
)( 
:por dado é que produto certo um para
 custo função seguinte a temempresa Uma-4
1010
xC
xCxC
xCE
xx
xx
xC
x
xx  









TIPOS DE INDETERMINAÇÕES
Quando se resolve uma função f(x) qualquer e o
resultado é um dos listados abaixo, dizemos que
esse valor é indeterminado.










 ,1 ,0 , ,
, ,,
0
0
 ,0 onde 
0
 a
a
Existem vários tipos de indeterminação. Aqui
listamos os principais.
ALGUMAS PROPRIEDADES DE FATORAÇÃO
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
ALGUMAS PROPRIEDADES DE FATORAÇÃO
).).(( 5)
).).(( 4)
..2)).(( 3)
..2)).(( 2)
)).(( 1)
2233
2233
222
222
22
bbaababa
bbaababa
bbaababab)(a
bbaababab)(a
bababa





1
34
lim 8) 
x2
x4
 lim)4
4
16
lim 7) 
1
1
lim)3
1x
1x
 lim 6) 
12
18
lim)2
x4
x8
 lim 5) 
4
2
lim 1)
2
2
1
2
2 x
2
4
2
1
2
3
1 x
3
21
2
3
2 x22




















x
xx
x
x
x
x
 
x
x
x
x
x
x x
/x
x
CALCULE O LIMITE DAS SEGUINTES FUNÇÕES
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
 Derivada de uma
Função
 Custo Marginal
 Recita Marginal
DERIVADA
•O conceito de derivada foi introduzido em
meados do século XVII em estudos de problemas de
Física.
•As ideias preliminarmente introduzidas na Física
foram aos poucos sendo incorporadas a outras áreas
do conhecimento.
•Em Economia e Administração o conceito de
derivada é utilizado principalmente no estudo
gráfico de funções, determinação de máximos e
mínimos e cálculo de taxas de variação de funções.
DERIVADA
•Consideremos uma função f(x) e sejam x0 e x1
dois pontos do seu domínio.
• Chamamos taxa média de variação de f, para
x variando de x0 até x1, ao quociente:
• Essa taxa mede o ritmo de variação da imagem
em relação à variação de x.
   
01
01
xx
xfxf
x
f





EXEMPLO
1) Calcule e interprete o valor da taxa de média de
variação da função no intervalo [1, 3].
2) Calcule e interprete o valor da taxa de média de
variação da função no intervalo [1, 3].
2xy 
43
10



x
x
y
DERIVADA
Derivada de uma função em um ponto
Interpretação da derivada
FUNÇÃO DERIVADA
• Dada uma função f(x) podemos pensar em
calcular a derivada de f(x) em um ponto genéricox, em vez de calcular em um ponto particular. A
essa derivada, calculada em um ponto genérico x,
chamamos de função derivada de f(x).
• O domínio dessa função é o conjunto dos
valores de x para os quais existe a derivada de f(x).
FUNÇÃO DERIVADA
Exemplo 1: Qual a função derivada de f(x)=x²?
 
   
 
   
  xxx
x
xxx
x
xxx
xf
x
xfxxf
xf
xxx
x
22lim
2
limlim'
lim'
0
2
0
22
0
0












REGRAS DE DERIVAÇÃO
 
 
 
 
2
''
'
'''
1'
'
)]([
 )().()().(
)( 
)(
)(
Quociente. do Regra)4
 )().()().()( )().(
Produto. da Regra 3)
..)( .
Potência. da Regra 2)
. constante uma é c onde ,0)( 
Constante. da Regra )1
xg
xgxfxgxf
xh
xg
xf
xh
xgxfxgxfxhxgxfxh
xanxfxaxf
xfcxf
nn






FUNÇÃO DERIVADA
    23 3' xxfxxf 
FUNÇÃO DERIVADA
Exemplo 3: Qual a função derivada de f(x)=x4 ?
    34 4' xxfxxf 
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Seja f(x) uma função e x0 um ponto de seu
domínio. Chamamos derivada de f no ponto x0,
se existir e for finito, o limite dado por:
Indica-se a derivada de f(x) no ponto x0 por
   
x
xfxxf
x
f
xx 





00
00
limlim
     .' 000 x
dx
dy
oux
dx
df
ouxf
FUNÇÃO DERIVADA
Exemplo 1: Qual a derivada de f(x)=x² no ponto x0=3?
 
  63.23'
: temos,3 ponto No
2'



f
x
xxf
Exemplo 2: Qual a derivada de f(x)=x³ no ponto x0=3?
FUNÇÃO DERIVADA
    23 3' xxfxxf 
FUNÇÃO DERIVADA
Exemplo 3: Qual derivada de f(x)=x4 no ponto x0=2?
    34 4' xxfxxf 
Calcule a Derivada das seguintes funções no 
ponto indicado
FUNÇÕES MARGINAIS
•Em economia e administração, dada uma função
f(x), costuma-se utilizar o conceito de função
marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por
uma pequena variação de x.
• Chama-se função marginal de f(x) à função
derivada de f(x).
• Assim, a função custo marginal é a derivada
da função custo, a função receita marginal é a
derivada da função receita,e tc...
CUSTO MARGINAL
Seja C(x) a função custo de produção de x unidades
de um produto. Chamamos custo marginal à
derivada de C(x). Indicamos o custo marginal da
forma que segue:
Exemplo: Consideremos a função custo C(x)=0,01x³-
0,5x²+300x+100. O custo marginal é dado por:
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte
forma:
   xCxCmg '
  300²03,0  xxxCmg
 
x
C
xC
x
mg



 0
lim
Exemplo: Suponhamos que C(x) seja o custo total
de fabricação de x pares de calçados da marca
Caminhar Bem dado pela equação
Determinar o custo marginal quando x = 50 .
  11020²02,0  xxxC
CUSTO MARGINAL
  2004,0'  xxC   222050.04,050' C
Assim sendo, a taxa de variação do custo total,
quando 50 pares de calçados da marca Caminhar
Bem são fabricados, é R$22,00 por par fabricado.
Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades
de um produto. Chamamos receita marginal à
derivada de R(x) em relação a x. Indicamos a receita
marginal da forma que segue:
Exemplo: Dada a função receita R(x)=-2x² +1000x, a
receita marginal é:
Esse resultado pode ser interpretado da seguinte
forma:
RECEITA MARGINAL
   xRxRmg '
  .10004  xxRmg
 
x
R
xR
x
mg



 0
lim
Exemplo: Suponha de R(x) seja a receita total
recebida na venda de x home theater da loja Vídeo
Som dada pela equação R(x)=-4x² +2000x .
Calcular a receita marginal para x = 40.
A receita efetiva da venda dos 40 home theater é
R$ 1.680,00 por produto.
  20008'  xxR
  680.1200040.840' R
RECEITA MARGINAL