2-SINAIS SENOIDAIS - 21 A 54

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Os circuitos elétricos trabalham com tensões e correntes contínuas
e alternadas.
Em diversos dispositivos, a forma de onda da corrente depende da
forma de onda da tensão neles aplicada, além da natureza dos mesmos, ou
seja, se são resistivos, indutivos ou capacitivos.
Este capítulo tem por objetivo o estudo gráfico e matemático da
forma de onda senoidal, que é a mais importante para a análisede circuitos
em corrente alternada.
ginal Contínuo (CC ou DC)
O sinal contínuo (CC - Corrente Contínua ou DC -Direct Current)
tem sempre a mesma polaridade, podendo seu valor ser constante ou
variável. A figura 2.1(a) mostra um resistor alimentado por uma fonte de
tensão contínua e constante, bem como as formas de onda da tensão (b)e da
corrente (c).
Sinais Senoidais 21
~
UR
VIvI I(A)
v
(a) Circuito (b) Tensão Contínua (c) Corrente Contínua
Figura 2.1 - Formas de Onda da Tensão e Corrente Contínuas
Sinal Alternado (CA ou AC)
o sinal alternado (CA - Corrente Alternada ou AC - Alternate
Current) varia de polaridade e valor ao longo do tempo e, dependendo de
como essa variação ocorre, tem-se diversas formas de sinais alternados
(senoidal, quadrada, triangular etc).
Dessas formas de onda, a mais importante para nosso estudo é a
senoidal, que será abordada daqui em diante.
Representação Gráfica
Uma tensão senoidal pode ser representada graficamentede duas
formas: nos domínios temporal e angular, como mostra a figura2.2.
22
v(t}[v]
Vpp
t (5)
(a) Domínio Temporal
v(6}[v]
rot =6 (rd)
(b) Domínio Angular
Figura 2.2 - Gráficos da Tensão Senoidal
Valor de Pico e Valor de Pico a Pico
A amplitude máxima, positiva ou negativa, que a tensão senoidal
pode atingiré denominada tensão de pico V e a amplitudetotal, entre osp
valores máximos positivoe negativo, é denominada tensão de pico a pico
V , sendo:pp
Sinais Senoidais 23
Período e Freqüência
o tempo que a funçãonecessitapara completarumcicloé chamado
de período (T) e o número de vezes que um ciclose repete por segundo é
chamado de freqüência (f), sendo a relação entre eles a seguinte:
Onde: [TI= s
[~ = Hz ou c/s
=> segundo
=> Hertz ou ciclos/segundo
Representação Matemática
Matematicamente, os gráficos da tensão senoidal nos domínios
temporal e angular podem ser representados, respectivamente, por:
Onde: v(t)= v(e) = valorda tensão no instante t ou para o ângulo
e (emV)
V = valor de pico ou amplitude máxima da tensão (em V)p
ro = freqüência angular (em rd/s)
e = ângulo (em rd)
FreqüênciaAngular
A freqüência angular ouvelocidade angular, representadapela
letragrega ro(ômega),corresponde à variaçãodo ângulo e dosinalem função
do tempo.
Das expressões matemáticas anteriores, tem-se a relação: e = oí .
24
Pelos gráficos da figura 2.2, quando e = 2n, tem-se que t = T.
Assim,é válidaa relação 2n = 00.T . Portanto, a freqüênciaangular 00pode
ser calculadapor:
Exemplo:
Analisemos o seguinte sinal senoidal:
v(v)
1(5)
o 1,0
Tensão de pico: V = 5 Vp
Tensão de pico a pico: V = 10 Vpp
Como um ciclocompleto se repete a cada 0,25 s, seu períodovale:
T = 0,25 s.
Em 1 s são completados 4 ciclos, istoé, a freqüênciavale: f = 4 c/
s = 4 Hz.
Matematicamente, tem-se, portanto: f =.! =~ =4Hz
T 0,25
A freqüência angular vale: 00=2n. f =2n.4 =8n rd / s
Como esta tensão está representada graficamente no domínio
tempo, sua expressão é:
-J,.
Sinais Senoidais 25
l'
v(t) = Vp.senrot => v(t) = 5. sen 81tt
Para sabermos o valor da tensão num determinado instante t, por
exemplo, em t = 0,6 s, basta substituirmoseste valor na sua expressão
matemática:
v(t) = 5.sen(81t.0,6)= 2,94V
vIvI
1,0
t(s)
Fase Inicial
Nos circuitos elétricos, nem sempre um sinal senoidal inicia o seu
ciclo no instante t=O s. Neste caso, dizemos que o sinal possui uma fase
inicial 80.
Assim sendo, a expressão completa para representar o sinal senoidal
deve incluir esta fase inicial, conforme segue:
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 80 é positivo. Se o sinal
inicia o seu ciclo atrasado, 80 é negativo, como mostra a figura 2.3.
28
v(v)
wt(rd)
(a) Sinal Adiantado
vIVI
wt(rd)
-vP1------------------------
(b) Sinal Atrasado
Figura 2.3 -Representação Gráfica da Fase Inicial
Exemplo:
Representar graficamente os seguintes sinais senoidais:
VI (t) = 10.sen(20k1t1: + 1t/ 3) (V)
v2(t) = 15.sen(8k1t1: - 30°) (V)
A freqüência de vI(t) vale: f =~ = 20k1t = 10kHz21t 21t
Portanto, seu período é de: T = !
f = ~ = O,lms = 100flS10k -v
Sinais Senoidais 27
1-
o sinal inicia o seu ciclo adiantado de 1t/ 3 rd, e para t = O, tem-se:
1t
VI(O)= 10.sen- = 8,66V3
v\(Vj
t(J.IS)
100
A freqüência de v2(t)vale: f =~ = 8k1t =4kHz21t 21t
Portanto, seu período é de: T = !
f = 1- = 0,25ms = 250J.lS4k
o sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° (ou 1t/6 rd), e para
t = O, tem-se:
V2(0) = 15.sen(-300) = -7,5V
V2(Vj
t(J.IS)
~O"!
-15 L "
28
Defasagem
Num circuito elétrico, é muito comum a análise de mais de um sinal
senoidal, sendo necessário, às vezes, conhecer a diferença de fase entre eles.
A diferença de fase ~e entre dois sinaisde mesma freqüência
é denominada defasagem, sendo quea mesma é medidatomando-seum dos
sinais como referência.
Exemplos:
Qual a defasagem entre os seguintes sinais:
a) VI (t) = lO.sen(rot + 1t / 2) (V)
vz(t) =5.senrot (V)
Graficamente, tem-se:
vIVI v
10 ! 1
wt(rd)
-5
Portanto, VIestá adiantado de 1t/2 rd em relação a Vzou Vz
está atrasado de 1t/ 2 rd em relação a vI" Istosignificaque
a defasagem de vI em relação a Vzé de ~e =1t /2 rd ou a
defasagem de Vzem relação a vI é de ~e =-1t / 2 rd.
-v
Sinais Senoidais 29
l'
b) V1(t) =18.sen(rot -1t / 4) (V)
V2(t)=12.sen(rot -1t / 4) (V)
Graficamente, tem-se:
vIVI
41t
rot(rd)
-18+-----------------
Portanto, V1e v2 iniciam o ciclo atrasados em 1t/4 rd, mas
a defasagem entre eles é nula (de =O), isto é, os sinais estão
em fase ou em sincronismo.
c) V1(t) =12.sen(rot + 1t/4) (V)
v2(t) = 8.sen(ot -1t / 2) (V)
Graficamente, tem-se:
v(V)
o o>t(rd)
w
30
l'
Em relação a vI' tem-se:
1t 1t- - 31trd
~O=°02 - °01 =- 2 - 4 - 4
Portanto, v2 está atrasado de 31t/ 4 rd em relação a vI.
Em relação a v2' tem-se:
1t
(
1t
)
31t
~O =°01 - °02 = 4 - - 2 =4rd
Portanto, vI está adiantado de 31t/ 4 rd em relação a v2.
Outra forma de representar um sinal senoidal é através de um fasor ou
vetor girante de amplitude igual ao valor de pico (V ) do sinal, girando nop
sentido anti-horário com velocidade angular ro . A este tipo de representação,
dá-se o nome de diagrama fasorial, como mostra a figura 2.4.
vIa)
Função
Senoidal
vIi)
'\=~
Figura 2.4 - Diagrama Fasorial de um Sinal Senoida/
Sinais Senoidais 31
A projeção do segmento OP = V no eixo vertical é uma funçãop
seno, reproduzindo, portanto, a tensão senoidal v(t) ou v(a):
A figura 2.5 mostra o diagrama fasorial e os valores instantâneos de
tensão para vários valores de a ou rot:
ro..---
90"
v(9)
180°
27ft'
9 = rot(rd)
Figura 2.5 - Valores Instantâneos de um Sinal Senoidal
Os valores instantâneos podem ser calculados facilmente por:
a=o ~
a = 30° ~
e =60° ~
e = 90° ~
a = 120° ~
v(a) = Vp.senOo= o
v(a) = Vp.sen300= 0,5. Vp
v(e) = Vp.sen600= 0,866. Vp
v(e) = Vp.sen900= Vp
v(a) = Vp.sen1200= 0,866. Vp
e assim por diante, para quaisquer outros valoresde a.
Se no instante t=O o vetor OP formar um ângulo ao com a
referência do diagrama fasorial (parte positiva do eixo horizontal), isto
significaque o sinalpossuiuma fase inicial e, portanto, o valor instantâneo
da tensão será dado por:
32
Se o sinal inicia o seu ciclo adiantado, 90 é positivo. Se o sinal
inicia o seu ciclo atrasado, 90 é negativo, como mostra a figura 2.6.
O>-...
v(8)
ro
-....
v (6)
rot
(a) Sinal Adiantado (b) Sinal Atrasado
Figura 2.6 - Representação Fasorial da Fase Inicial
Exemplo:
Representar os seguintessinaissenoidaisgraficamentee atravésdo
diagrama fasorial correspondente:
VI(t) =10. sen(1001tl:+ 1t/3) (V)
vz(t) = 15.sen(201tl:-300) (V)
A freqüência de vI(t) vale: f =~ = 1001t =50Hz21t 21t
Portanto, seu períodoé de: T = !f =~ =20ms50
o sinal inicia o seu ciclo adiantado de 1t/ 3 rd , e para t = O, tem-
se:
1t
VI (O)=10.sen- = 8,66V3
-.v
Sinais Senoidais 33
l'
00=100 wd/s
~
VI
v,(V).
10
t (ms)
-10
A freqüência de v2(t) vale: f = ~ = 22°1t1t = 10Hz
Portanto, seu período é de: T = !f = 1:... = 100ms10
o sinal inicia o seu ciclo atrasado de 30° (ou 1t/6 rd), e para
t = O, tem-se:
V2(0) = 15.sen(-300) = -7,5V
0>=20md/s
~
V2
V2(V)
15'
t (ms)
A defasagem ~9 entre dois sinais senoidais de mesma freqüência
pode, também, ser visualizada num diagrama fasorial.
34
Exemplo:
Representar os seguintes sinaissenoidaisgraficamentee através do
diagrama fasorial correspondente, determinando a defasagem entre eles:
VI(t) =5.sen(1001tt + 1t/3) (V)
vz(t) = 8.sen(1001tt -1t / 6) (V)
Pelas expressões, as representações gráfica e fasorial desses sinais
são as seguintes:
w=10Ü1trdls
.....---
v(V)
wt(rd)
Assim, tanto pelo diagrama fasorial como pelo gráfico, é possível
verificar que a defasagem entre os sinais é de 1t/ 2 rd ou 90° , sendo que
vI está adiantado em relação a vz.
Como foi visto no Capítulo 1, um número complexo tem um
módulo e fase, como na representação fasorial. Isto sugere a possibilidade
de se representar um sinalsenoidaltambém por um número complexo,sendo
a amplitude e a fase inicial do sinal correspondentes respectivamenteao
módulo e ao ângulo do número complexo.
Sinais Senoidais 35
Nomenclaturas utilizadas matematicamente:
Expressão trigonométrica: v(t)= Vp.sen(ot + 90)
v(t) ~ tensão instantânea (variável)
V ~ tensão de pico (valor fixo)p
Expressão em número complexo:
~ letra minúscula
~ letra maiúscula
v = Vp ~ = Vp.cos90 + jVp.sen90
v ~ tensão complexa (variável)
V ~ tensão de pico (valor fixa)p
~ letra minúscula
~ letra maiúscula
Exemplo:
Representar as tensões v1(t)e v2(t)a seguir na forma de números
complexos:
OBSERVAÇÃO:
No caso de tensões, correntes e potências elétricas
representadas por números complexos, os módulospodem
ser dados tanto por valores de pico quanto por valores
eficazes,sendo que este últimoconceito será estudadomais
adiante neste capítulo.
Por que quatro formas de representação de um sinal
senoidal?
.
. Forma de Onda: Representa visualmente o sinal, tal como
ele é e como aparece no osciloscópio, durante a análise de
um circuito. Ele pode estar no domínio temporal v(t) ou
angular v(9).
38
Forma Trigonométrica Número Complexo
v1(t) =10.sen ot (V) v1 = 10 l..Q: V
v2(t) =15.sen(rot +60°) (V) v2 = 15 160° V
. Diagrama Fasorial: Representa o fenômeno graficamente
de forma mais simplificada que a forma de onda, permitindo,
inclusive, operações de soma e subtração de vários sinais.
Expressão Trigonométrica: Representa matematicamente
a função com todos os seus detalhes, como: amplitude,
freqüência angular e fase inicial, além de permitir o cálculo
de valores instantâneos.
Número Complexo: Representa matematicamente a
função de forma mais simplificada que a expressão
trigonométrica, informando apenas a amplitude e a fase
inicial, facilitando, porém, operações de soma, subtração,
multiplicação e divisão de vários sinais.
.
.
Exemplo:
Vejamos as quatro formas diferentes de se representar uma tensão
senoidal:
Forma de Onda:
/,.
/'
/',
L-Q.-
90=60°
v(9)[V]
12
wt
-12
Diagrama Fasorial:
v(6)
Sinais Senoidais 37
Expressão Trigonométrica: v(t)= 12.sen(rot+600)(V)
Número Complexo: v =12 160° V ou v = 6 + j10,39 V
Para a resolução de circuitos elétricos em corrente alternada, são
necessárias diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e
potências.
As operações de adição e subtração podem ser realizadas tanto com
diagrama fasorial como através dos números complexos, embora este último
processo seja o mais indicado, devido à facilidade e, principalmente, à
precisão dos resultados. Já, as operações de multiplicação, divisão, potenciação
e raiz quadrada devem ser realizadas somente por números complexos, dadas
as limitações do digrama fasorial.
Adição e Subtração
Já vimos no Capítulo 1, como as operações de adição e subtração
podem ser feitas com números complexos. Obviamente, isto vale também
quando os números complexos representam tensões, correntes e potências.
Com o diagrama fasorial, tais operações podem ser realizadas
através de um processo gráficodenominado método do paralelogramo.
Para isso,é necessárioconheceruma propriedade darepresentação
por diagrama fasorial, como segue:
Número Negativo (ou Multiplicado por -1)
Num diagramafasorial,dado um fasor,o seu negativocorrespondeao
deslocamento do fasor em 180°. Nos números complexos, isto corresponde a:
Forma Polar:
Somar ou subtrair 180° na fase.
Forma Cartesiana:
Trocar os sinaisdas partes real e imaginária.
38
Exemplos:
Dadas as tensões a seguir, obter V1+ V2 e V1- V2 por diagrama
fasorial e por números complexos, representando o resultado graficamente:
a) V1 = 20 ~ V e v2 = 5 LQ: V
V1+v2 =20~ + 5100=20+5=25=25LQ: V
v(V)
25 -
t---;;'V'20 - --L:::'---------------------.
V2 VI VI+V2
-25-1-----------------
v
\00
V1 - V2 =20 LQ:.- (5 LQ~J=20 LQ:.+ 5 1180° =>
v1-v2 =20-5=15=15 LQ: V
v
V(V)
20 -t ~--------------------
oot
360"
\ro
-v. VI-V.VI
-15 -, ~
-20 -'------------------ -Jt
9inais genoidais 39
b) VI = 20 lJ!:.V e v2 = 12 1-90° V
l'
VI + V2= 20 l..Q:. + 12 1-90° = 20 - j12 = 23,32 l30,96° V
vIVI
23321 .
~I+V!___-------_.
, VI20 ---
V
V.
V,
rol
-20...-------------
-23,32
VI-V2=20Ut:..- (121-90° )=20Ut:..+ 12 1-900+1800~
VI-v2=20UE.+ 12190° =20+j12=23,32 130,96° V
V
VI
vIVI
i VI- .V2 -------23,32 --,...---------20 -1.--
12
rot3600
-20..-------------
-23,32
~
40
c) VI = 20 160° V e V2= 10 1-30° V
l'
vI+vz=20 160° + 10 1-30° =10+j17,32+8,66-j5=>
VI+ Vz = 18,66 + j12,32 = 22,36133,43° V
v
v(V)
22,36 -1-'1 +V2
20 ---------
-------.
rol
VI -V2 = 20 160° - (10 I-30°) =>
VI -Vz = 20 160° + 10 1-30°+180° =>
vI-v2 =10+jI7,32-8,66+j5=1,34+j22,32=>
VI - Vz = 22,36 186,56° V
v
~
,', ~ro
/lIvl-~" \I
/
/
v(V)
22,36 -i-,:!~V2
20 ------
----------
rol
Sinais Senoidais 41
Multiplicação e Divisão
Para realizar operações de multiplicação e divisão envolvendo
tensões, correntes e potências complexas, basta utilizara forma polar,
conforme foi visto no Capítulo 1, uma vez que através de diagrama fasorial,
tais operações seriam extremamente complicadas.
A resistência elétrica, quando submetidaa uma tensão alternada,
produz uma corrente elétrica com a mesma forma de onda, mesma
freqüência e mesma fase da tensão, porém, com amplitudeque depende
dos valoresda tensão aplicadae da resistência,conforme a Primeira lei de
Ohm, que pode agora ser generalizadapara sinaisalternados senoidais.
Tensão e Corrente na Resistência Elétrica
Considere o circuito a seguir, no qual uma fonte de tensão senoidal
v(t) alimenta um resistor R:
~ Sendo: v(t) =Vp.sen(ot + 80)
Pela Primeira Lei de Ohm, tem-se:
v(t)1- R i(t) = v(t) =:}i(t) = Vp .sen(ot + 80) =:}R R
i(t) = Ip.sen(rot+80)
V
onde: Ip = E.. é o valor de pico da corrente.R
Figura 2.7- Circuito Resistivo em C.A.
42
A forma de onda da tensão e da corrente, bem como a representação
fasorial desses sinais estão mostradas na figura 2.8.
v(8)
rol
(a) Diagrama Fasorial (b) Formas de Onda
Figura 2.8 - Tensão e Corrente C.A. num Resistor
Como se vê, o resistor não provoca nenhuma defasagem entre
tensão e corrente e, portanto, a resistência elétrica pode ser representada por
um número complexo com módulo R e fase nula (na forma polar) ou
composto apenas pela parte real R (na forma cartesiana), isto é:
Representando a Primeira Lei de Ohm com números complexos,
tem-se, portanto:
v = Vp ~ e R=R~
'-~=~= Vp
1 80-00
l-R RLQ:... R =>i = Ip ~
Sinais Senoidais 43
PotênciaDissipadapela ResistênciaElétrica
Vejamos agora o que acontece com a potência elétrica numa
resistência submetida a uma tensão alternada senoidal.
A potência instantânea p(t) dissipada por uma resistência elétrica R
pode ser obtida pelo produto, ponto a ponto, entre v(t)e i(t),ou em função
de R,isto é:
A figura 2.9 mostra como fica a forma de onda da potência:
p(t)
v,i
pp
rol
Figura 2.9 - Tensão, Corrente e Potência C.A. num Resistor
Como resultado, tem-se que a potência elétrica consumida é pulsante
e sempre positiva, pois num mesmo instante, a tensão e a corrente são
ambas positivas ou negativas, o que prova que, independente da polaridade
da tensão ou do sentido da corrente, a resistência comporta-se sempre como
um receptor, consumindo a potência fornecida pela fonte, que por sua vez,
comporta-se sempre como um gerador.
Além disso, nota-se que a freqüência da forma de onda da potência
é o dobro da freqüência da tensão e da corrente.
44
Neste caso, P representa a potência de pico, e vale:p
Pela figura 2.9, percebe-se também que, enquanto a corrente e a
tensão têm valores médios iguais a zero, a potência média P dissipada pelo
resistor é a metade da potência de pico, ou seja:
Como será visto a seguir, a potência média é a que interessa na
análise da potência nos circuitosem corrente alternada.
Para sinais alternados senoidais, existe um conceito muito importante
denominado valor eficaz ou rms.
o valor eficaz V f ou V de uma tensão alternada correspondee rms
ao valor de uma tensão contínua que, se aplicada a uma resistência, faria com
que ela dissipasse a mesma potência média caso fosse aplicada essa tensão
alternada.
As medidas de tensão e corrente alternadas realizadas por multímetros
são dadas sempre em valores eficazes.
Matematicamente, para uma tensão alternada senoidal, a tensão
eficaz V pode ser calculada a partir do valor de pico V ou de pico a pico
V rtl}s d . t - P, atraves as segum es expressoes:PP
Sinais Senoidais 45
OBSERVAÇÕES:
. A sigla rms significa root mean square ou raiz média
quadrática;
O conceito de valor eficaz é aplicado também à corrente
elétrica;
.
. As tensões da rede elétrica são dadas em valores eficazes
(110 V e 220 V ).rms rms
Para compreender melhor o significado físico deste valor,
consideremos um sinal senoidal com tensão de pico V alimentando um
resistor R, conforme a figura 2.10: p
viI)
~
v"'"
T
i(1)
R I,.,.
T
(a) Circuito (b) Sinais
Figura 2.10 -Sinais Senoidais num Circuito Resistivo
A tensão e a correnteeficazesno resistorvalem,respectivamente:
Vp
Vrms=J2
e Ip
Irms =J2
Vp
onde: Ip = R
48
A potência dissipada pelo resistor, calculada em função dos valores
eficazes de corrente e tensão, é equivalente à potência média P analisada
no tópico anterior, ou seja:
V I Vp.Ipp~=-
P = Vrms.Irms= .J2'.J2 2
Desta forma, para sinais alternados senoidais, é muito mais fácil
trabalhar em função de valores eficazes, uma vez que a potência resultante nos
cálculos já corresponde à potência média P.
Essa mesma potência seria dissipada caso fosse aplicada ao resistor
uma tensão C. C. de valor igual ao da tensão eficaz, conforme mostra a figura
2.11.
~ 1,,=I,ms-
v(t)=Vp.senrot
Vp
V,,=V,ms = {2'
R R
Finura 2.11 - Correspondência entre V e V;;:" rInS cc
Desta forma, a potência pode ser calculada por uma das seguintes
expressões:
Apenas para finalizar, já vimos que as tensões e correntes alternadas
senoidais num circuito podem ser representadas por números complexos.
Daqui em diante, os seus módulos poderão ser expressos em valores de
pico ou eficazes, sendo que neste último caso, suas grandezas ou
unidades deverão vir acompanhadas da sigla rms, para que não sejam
confundidas, isto é:
Sinais Senoidais 47
Exemplos:
1) Uma fonte C.A. com tensão de pico V = 100V alimentap
um resistor de valor R::: 100a. Qual a tensão C.e. que,
aplicada a este resistor, faz com que ele dissipe a mesma
potência?
A tensão eficaz vale:
v(t)=lOO.sencot 1- R=lOOQ
V
Vrms ::: E..- 100
.J2 - .J2 ::: 70,7 V
A potência dissipada pelo resistor vale:
2
p::: Vrms ::: (70,7f ::: 50W
R 100-
Assim, a mesma potência seria dissipada se fosse ligada ao
resistor de 100a uma tensão contínua de 70,7V.
2) No Brasil, as residências recebem pela rede elétrica as
tensões de 110V e 220V , ambas com freqüência derms rms
60 Hz. Determinar, para ambos os sinais:
a) O período: I
O período é o mesmo para ambos os sinais:
1 1
T::: -::: - ==1667ms
f 60 '
b) A freqüência angular:
A freqüência angular é a mesma para ambos os sinais:
ro ::: 21t.f ::: 21t.60 ::: 1201t ==377 rd / s
48
l'
c) Valores de pico e de pico a pico:
V =110Vrms
Vp = 12.Vrms =12.110 ==156V
Vpp =2J2,Vrms =212.110 ==311V
V = 220 Vrms
Vp =J2,Vrms =12.220==311V
Vpp = 212. Vrms= 212.220 == 622V
d) Expressões matemáticas:
V =110Vrms
v(t) = Vp.senrot=>v(t)= 156.sen377t M
V = 220 V
rms
v(t) = Vp.senrot => v(t) = 311.sen377t M
3) Um chuveiro elétrico residencial tem o circuito interno e
especificações a seguir:
I=?
220V"",
60Hz
I=?
a) Qual o valor das resistências RI e R2?
Na posição inverno, apenas a resistência RI é alimentada.
Assim sendo, seu valor pode ser calculado da seguinte forma:
~
Sinais Senoidais 49
R, R,
Alimentação: 220 Vrms
Potência Inverno: 3500 W-----
I
Verão
Potência Verão: 2500 W.Desligado
l'
v2 2202
Pi = ~s =>RI = 3500 =>RI ==13,830
Na posição verão, as duas resistências ficam associadas em
série. Assim sendo, o valor de R2 pode ser calculado da
seguinte forma:
v2 2202
Pv = RI :R2 =>RI +R2 = 2500 =>RI +R2 = 19,360
:. R2 = 19,36 - RI =>R2 = 19,36 -13,83 =>R2 = 5,530
b) Qual o valor dos fusíveisque devem ser utilizadospara
proteção da instalação elétrica?
A corrente é mais intensa quando o chuveiroestá na posição
inverno:
I - Pi I 3500rms - _v => rms= -=> I -1591Arms 220 rms- ,
o valor de pico desta corrente vale:
Ip = ../2.Irms =>Ip = ../2.15,91 => Ip = 22,5A
Assim, os fusíveisdevem ser dimensionados para uma corrente
maior que 22,5 A. Comercialmente, existe, por exemplo,
fusível de 30 A.
50
Análise Gráfica e Matemática do Sinal Senoidal
2.1- Dado o gráfico das tensões senoidais a seguir, pedem-se,
para ambos os sinais:
VI(V)
o
------------------------------
10
t (ms)
-12~------------------------
Vz(V)
16
o 15 20 25 t (ms)
a) Valor de pico e valor de pico a pico;
b) Período, freqüência e freqüência angular;
c) Fase inicial e defasagem entre eles;
d) Expressão matemática.
Sinais Senoidais 51
2.2- Uma tensãosenoidal tem frequênciade 100Hz, valorde pico
de 10V e iniciao ciclocom atraso de 1t/3 rd. Pedem-se:
a) Período e frequência angular;
b) Expressão matemática;
c) Representação gráfica.
Diagrama Fasorial
2.3- Represente os sinais do ExercícioProposto 2.1 através de
diagrama fasorial.
Representação com Números Complexos
2.4- Represente os sinais do ExercícioProposto 2.1 através de
números complexos.
Operações com Diagrama Fasorial e Números Complexos
2.5- Dadas as tensões vI = 30 10° V e
v2(t) = 20.sen(rot+ 1t/ 2) M, pedem-se os sinais:
a) v3 = vI + v2 fasorialmente;
b) v3 = vI + v2 matematicamente através de números
complexos;
c) v3 = vI + v2 matematicamente através das expressões
trigonométricas;
d) v3 = vI + v2 graficamente (soma ponto a ponto);
e) v4 = vI - v2 fasorialmente;
f) v4=vI - v2matematicamente através de números complexos;
g) v4 = vI - v2 matematicamente através das expressões
trigonométricasj
h) v4 = vI - v2 graficamente (subtração ponto a ponto).
52
Circuitos Resistivos em C.A.
2.6- Dado o circuitoa seguir, detennine:
VI-
it
RO=:=3><2 ~)"V=12~ vp1-
a) Expressões de v(t) e i(t) nas fonnas trigonométrica e
complexa;
b) Fonnas de onda e representações fasoriaisde v(t)e i(t);
c) Expressões de vl(t) e v2(t)nas fonnas trigonométrica e
complexa;
d) Fonnas de onda e representações fasoriais de vl(t) e v2(t);
e) Potências de pico e média fomecida pelo gerador e
dissipada por cada resistor;
f) Fonnas de onda das potências do item anterior.
2.7- Dado o circuitoa seguir, detennine:
-4
~il !i2
v=12~ vp1- RI=2kn R2=3kQ
a) Expressões de v(t) e i(t) nas fonnas trigonométrica e
complexa;
b) Fonnas de onda e representações fasoriais de v(t)e i(t);
c) Expressões de il (t) e i2(t) nas fonnas trigonométrica e
complexa;
Sinais Senoidais 53
d) Formas de onda e representações fasoriaisde il (t) e i2(t);
e) Potências de pico e média fornecida pelo gerador e
dissipada por cada resistor;
f) Formas de onda das potências do item anterior.
Valor Eficaz
2.8- Um aquecedor elétricopara torneira tem o circuitoa seguir:
llOVrms
60Hz
a) Qual a potência média e de pico dissipada pelo aquecedor
em cada posição?
b) Qual a corrente eficaz e de pico consumida pelo aquecedor
em cada posição?
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