Gabarito Lista 03 - probabilidade

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Gabarito Lista 03
1. (a) 40.
(b) 9.
2. (a) iii-Probabilístico e Empiríco.
(b) Observacional.
(c) Retrospectivo.
(d) 140.
(e) Sim, pois a soma das probabilidades nunca será igual a 1.
3. Não, pois a soma dos eventos não é 1.
4. FFVV
5. Questões de Provar.
6. P = (A ∩ C)−B
E = (A ∪B)− C
F = [(A ∩ C)−B] ∪ [(B ∩ C)−A]
(a) Sim, pois D∩C existe, ou seja, quando um ocorre não necessariamente o outro deixará
de ocorrer.
(b) Não.
(c) D: A e C.
E: A e B.
F: A, B e C.
7. (a) (F ∩ Ē ∩ C̄) ∪ (F̄ ∩ Ē ∩ C) ∪ (F̄ ∩ E ∩ C̄)
(b) (C ∩ F ∩ Ē) ∪ (E ∩ C ∩ F̄ )
(c) (C̄ ∩ F̄ ) ∪ E
(d) F̄ ∪ C̄ ∪ Ē
Não, pois a P (A ∩B) = 0. Logo são mutualmente exclusivos.
8. (a) 44100 .
(b) 0,79
(c) Não são independentes.
(d) Observacional.
(e) Transversal.
9. Questão de Provar.
10. 26
11. (a) 60.
(b) 11% ou 0,11.
12. (a) 1260.
(b) 24.
13. 0,2.
14. (a) 0,57
1
(b) 0,58
15. (a) São independentes.
(b) Não são independentes.
16. 76,8%.
17. (a) Figura I : A ∩B ∩ C. O sistema está funcionando se A, B e C estão funcionando.
Figura II : (A∩B)∪C. O sistema está funcionando se A e B funcionam ou se somente
C funciona.
(b) Não.
(c) 99,48%.
18. Campeão-Pai-Campeão.
19. O segundo júri.
20. (a) 26,35%.
(b) 29,67%.
(c) 44,44%.
21. 47 .
22. (a) Branca.
(b) 14 .
23. (a) 40%.
(b) 0,2.
(c) São independentes.
24. 46,67%.
25. (a) 0,00315 ou 0,315%
(b) 0,8253 ou 82,53%
26. (a) 7,44%.
(b) 94,15%.
(c) 99,6%.
27. 66,67%.
28. 9,61%.
29. (a) A.
(b) Não comprar novos microcomputadores.
30. 51,28%.
31. (a) Diagrama de Blocos.
(b) 90.
(c) 140.
(d) 0,01273 ou 1,273%
32. (a) p0 + p− 2 ∗ p ∗ p0
(b) 1− p− p0 + 2 ∗ p ∗ p0
2
(c) 0, 95
(d) 0, 05
33. Seja A o conjunto dos alunos matriculados em Cálculo Fundamental e B o conjunto dos
alunos matriculados em Física Fundamental.
Do enunciado temos:
P (A) = 0,9
P (B) = 0,8
P (A ∪B) = 0,02 (alunos que não estão matriculados em nenhuma destas duas disciplinas)
(a) Da equação acima temos que: P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 0,02 = 0,98
Mas sabemos que:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Substituindo os valores conhecidos, temos:
0,98 = 0,9 + 0,8− P (A ∩B) =⇒ P (A ∩B) = 1,7− 0,95 = 0,75
Portanto, 75% dos alunos estão matriculados nas duas disciplinas.
(b)
P (B|Ā) = P (B ∩ Ā)
P (Ā)
=
P (B)− P (A ∩B)
1− P (A)
=
0,8− 0,75
1− 0,9
=
0,05
0,1
=
1
2
Portanto, 50% dos alunos que fazem Cálculo estão matriculados em Física.
(c) São Independentes.
34. (a) 0,27 ou 27%
(b) 0,6666 ou 66,66%
(c) 0,0298 ou 2,98%
35. (a) Como as cartas são numeradas de 2 a 10, podemos montar as seguintes sequencias
(usando 5 cartas consecutivas):
2 a 6
3 a 7
4 a 8
5 a 9
6 a 10
Para cada uma das cinco possibilidades acima, podemos usar o Princípio Fundamental
da Contagem, pelo qual montar uma sequencia é uma atividade em 5 etapas, onde em
cada etapa temos 4 opções (os naipes). Logo, para cada possibilidade acima temos:
45 formas de montar uma sequencia.
Portanto, o número de formas de se montar a sequencia desejada é: 5×45 = 5×210 =
5.120
(b) Cada jogo possível é uma `combinação' diferente (e não um arranjo, já que dois jogos
com as mesmas cartas são indistintos - a ordem das cartas não importa). Assim:
C525 =
(
52
5
)
= 52!(52−5)! 5! =
52×51×50×49×48×47!
47! 5! = 2.598.960
(c) A quantidade de sequencias diferentes do mesmo naipe é de 13×12×11×10×95! = 1.287
(são combinações de 5 cartas escolhidas de um conjunto de 13, ou seja: C135 ). Como
são 4 naipes, temos: 4× 1.287 = 5.148 jogos diferentes do mesmo naipe.
Portanto, dentre todos os 2.598.960 possíveis jogos, há 5.148 em que as cinco cartas
são do mesmo naipe. Logo, a probabilidade é de:
5.148
2.598.960
= 0,00198
ou 0,198%
3
36. (a) 0,75 ou 75%
(b) 0,08 ou 8%
(c) Não são independentes.
(d) São independentes.
37. (a) Norte : 8,4%.
Nordeste : 27,8%.
Sul : 14,3%.
Sudeste : 42,1%.
Centro-Oeste : 7,4%.
(b) Seja A o conjunto dos brasileiros analfabetos. Do enunciado, temos que:
P (A|N) = 0,091
P (A|NE) = 0,161
P (A|S) = 0,041
P (A|SE) = 0,043
P (A|CO) = 0,057
O percentual total de analfabetos no país é dado por:
P (A) = P (A|N)P (N)+P (A|NE)P (NE)+P (A|S)P (S)+P (A|SE)P (SE)+P (A|CO)P (CO)
P (A) = (0,091×0,084)+(0,161×0,278)+(0,041×0,143)+(0,043×0,421)+(0,057×0,074)
P (A) = 0,008 + 0,045 + 0,006 + 0, 018 + 0, 004 = 0,081
Logo, o índice de analfabetismo no país é de 8,1%
(c) Nesse caso, desejamos saber a probabilidade de alguém ser da região NE dado que é
analfabeto, ou seja:
P (NE|A) = P (A ∩NE)
P (A)
=
P (A|NE)P (NE)
P (A)
=
0,161× 0,278
0,081
=
0,045
0,081
= 0,555
Ou seja, 55,5% dos analfabetos são nordestinos.
(d) No item (b) foi dito que P (A|SE) = 4,3%. Mas calculamos que P (A) = 8,1%.
Portanto, como P (A|SE) 6= P (A) os eventos NÃO SÃO independentes.
Outra forma de ver isso é notando que P (A ∩ SE) 6= P (A) × P (SE), como se vê
abaixo:
P (A ∩ SE) = P (A|SE)P (SE) = 0,043× 0,421 = 0,018
P (A)× P (SE) = 0,081× 0,412 = 0, 0339
38. (a) Contínuos, Quantitativo, Racional.
(b) A Família Silva consumir menos de 300 litros de água em um dia.
(c) 0,6428 ou 64,28%
(d) Não são independentes.
39. (a) São independentes.
(b) 24,26%
40. (a) Trata-se de um problema de permutações com elementos similares: 8! permutações
com grupos de 3!× 3!× 2! sequencias indistintas.
Logo: 8!3!3!2! = 560 modelos diferentes são possíveis.
(b) P (modelo existente) = número de modelos existentesnúmero total de códigos possíveis =
140
560 =
1
4 = 0,25
4
(c) Por haver reposição, os sorteios de códigos são independentes. logo em cada sorteio, a
probabilidade de obter um modelo existente é de p = 0,05 (calculado no item anterior).
Assim:
P (pelo menos um produto existente) = 1− P (nenhum produto existente) = 1− (1−
p)3 = 1− (0,95)3 = 1− 0, 8574 = 0, 1426 = 14,26%
Note que nos cálculos acima, �zemos: P (nenhum produto existente) = (1−p)3 devido
à independência dos sorteios.
41. De�na os eventos:
A = {Defeito na primeira estação}
B = {Defeito na segunda estação}
Assim, é dado que: P (A) = 0,03, P (B) = 0,05 e P (A ∩B) = 0,015.
(a) Note que: {interrupção no abastecimento da cidade} = A ∪B
Logo:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0,03 + 0,05− 0,015 = 0,065 ⇒ 6,65%
(b) P (A|B) = P (A∩B)P (B) = 0,015/0,05 = 0,3 ⇒ 30%
(c) Note que: P (A|B) 6= P (A), logo os eventos NÃO SÃO INDEPENDENTES!
42. (a) 18% ou 0,18.
(b) 25% ou 0,25.
(c) Não são independentes.
43. De�na os eventos:
A = {Defeito na primeira estação}
B = {Defeito na segunda estação}
Assim, é dado que: P (A) = 0,01, P (B) = 0,04 e P (A ∩B) = 0,004.
(a) Note que: {interrupção no abastecimento da cidade} = A ∪B
Logo:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 0,01 + 0,04− 0,004 = 0,046 ⇒ 4,6%
(b) P (A|B) = P (A∩B)P (B) = 0,004/0,04 = 0,1 ⇒ 10%
(c) Note que: P (A|B) 6= P (A), logo os eventos NÃO SÃO INDEPENDENTES!
(d) Deseja-se saber a probabilidade do evento: A ∩ (B ∪ C), sendo P (A) = P (B) =
P (C) = p = 0,05
P (A ∩ (B ∪ C)) = P (A)P ((B ∪ C)) = P (A)(1− P (B ∩ C)) = P (A)(1− P (B̄)P (C̄))
P (A ∩ (B ∪ C)) = p(1− (1− p)2)
P (A ∩ (B ∪ C)) = 0,05(1− (0,95)2) = 0,004875 ⇒ 0,4875%
44. (a) P (Investigado) = P (Invest|SIM)P (SIM) + P (Invest|NÃO)P (NÃO) +
P (Invest|ABST)P (ABST)
P (Investigado) = 0,049×0,715+0,029×0,267+0,111×0, 018 = 0,035035+0,007743+
0,001998
P (Investigado) = 0,044776 = 4,48%
Logo, o número de deputados investigados é de 4,48% dos 513 = 23 deputados.
(b) �78,24 % dos deputados investigados na Operação Lava Jato votaram a favor
do impeachment�
P (SIM|Investigado) = P (Invest|SIM)P (SIM)
P (Investigado) =
0,049×0,715
0,0448 =
0,035
0,0448 = 0, 7824 = 78,24%.
(c) Dos itens anteriores, temos:
P (Investigado|SIM) = 4, 9% 6= P (Investigado) = 4,48%
P (SIM|Investigado) = 78,24%
5
6= P (SIM) = 71,5%
Logo, os eventos NÃO SÃO INDEPENDENTES.
45. (a) 6.
(b) 14.
(c) São Independentes.
(d) 56.
46. (a) 3,75%
(b) Falha fabricante A = 16%
Falha fabricante B = 44%
Falha fabricante C = 40%
(c)
6