Unidade 1-20200808

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Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 879 
DOI: http://dx.doi.org/10.5007/2175-7941.2016v33n3p879 
Detecção de ondas gravitacionais + * 
 
José Maria Filardo Bassalo1 
Academia Paraense de Ciências 
Belém – PA 
M. Cattani2 
Instituto de Física – USP 
São Paulo – SP 
Resumo 
Em 11 de fevereiro de 2016, por ocasião de uma Conferência realizada 
na National Science Foundation (NSF), em Washington, D.C., o físico 
norte-americano David Reitze, Diretor Executivo do Laser Interferometer 
Gravitacional-Wave Observatory (LIGO) anunciou que haviam sido ob-
servadas em 14 de setembro de 2015 Ondas Gravitacionais (OG). Esse 
evento foi denominado GW150914. Uma segunda observação de OG foi 
feita também pelo LIGO em 26 de dezembro de 2015 denominado de 
GW151226. Os sinais detectados nesses eventos são similares e foram ge-
rados pela coalescência (fusão) de um sistema binário formado pois dois 
Buracos-Negros (BN). As fontes de OG estariam localizados, respectiva-
mente, a distâncias de ~ 410 Mpc e de ~ 440 Mpc da Terra. Para enten-
dermos o significado desses extraordinários eventos, faremos um breve 
resumo histórico sobre as OG e os BN. 
 
Palavras-chave: Teoria de Gravitação de Einstein; Ondas gravitacio-
nais; Pulsares; Buracos-negros. 
 
+
 Detections of the Gravitational Waves 
* Recebido: maio de 2016. 
 Aceito: junho de 2016. 
1 E-mail: jmfbassalo@gmail.com 
2 E-mail: mcattani@if.usp.br 
http://dx.doi.org/
mailto:jmfbassalo@gmail.com
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 880 
Abstract 
On February 11, 2016, during a conference held at the National Science 
Foundation (NSF), in Washington, D.C., the American physicist David 
Reitze, Executive Director of the Laser Interferometer Gravitacional-
Wave Observatory (LIGO) announced that it had been observed on 
September 14, 2015 Gravitational Waves (GW). This event was named 
GW150914. A second observation was also done by the LIGO on 
December 26, 2015 named GW151226. The signals of these two events are 
similar and are due to the coalescence of a binary black holes (BH). The 
GW sources are distant, respectively, of ~ 410 Mpc and ~ 440 Mpc from 
the Earth. To understand the significance of this extraordinary events we 
will make a historical summary of the GW and the BH. 
 
Keywords: Einstein´s gravitation theory; Gravitational waves; Pulsars; 
Black-holes. 
I. Introdução 
Em dezembro de 19153, o físico germano-suíço-norte-americano Albert Einstein 
(1879-1955; PNF, 1921), formulou a hoje famosa Teoria da Relatividade Geral (TRG), tradu-
zida pela também hoje célebre Equação de Einstein (EE): 
 
R - (1/2) g R = - K T , 
 
sendo R o tensor geométrico de Ricci (R ), R = g R , g = g o tensor métrico riemanni-
ano, K = 8πG/c4 a constante gravitacional de Einstein, G a constante de gravitação universal 
de Newton-Cavendish e c a velocidade da luz no vácuo, e T o tensor energia-matéria. Note-
se que Einstein chegou à TRG aplicando a Teoria da Gravitação Newtoniana (TGN) ao pro-
blema da atração gravitacional entre corpos, chegando à conclusão de que essa atração não era 
devida a uma força que agia a distância, como afirmavam os newtonianos, e sim dada pela 
curvatura do espaço-tempo riemanniano (R ), provocado pela presença de T . Desse modo, 
quando um corpo “cai” em qualquer planeta (Terra, por exemplo), ele não é puxado pela “força 
de atração gravitacional do planeta” e sim, ele se desloca na curva do espaço-tempo produzida 
pela presença da massa planetária, isto é, ele se movimenta na geodésica de g (= g ) induzida 
por essa massa. 
 
3 Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften, v. 2, p. 778; 799; 831; 844, 1915. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 881 
No começo de 19164, o astrônomo alemão Karl Schwarzschild (1873-1916) encontrou 
uma solução [conhecida como a Métrica de Schwarzschild (MS)] para a EE e definida pela 
expressão: 
ds2 = (1 – 2mG/R) c2 dt2 – [1/(1 – 2mG/R)] dr2 – r2 (dθ2 – sen2θ dφ2), 
 
na qual m é a massa de uma partícula puntiforme colocada em um campo gravitacional isotró-
pico e estático, G é a constante gravitacional, e (r, θ, φ) representam as coordenadas esféricas. 
Por essa expressão vê-se, claramente, que quando R = 2 m G, há uma singularidade de ds, isto 
éμ ds ∞. Esse valor ficou conhecido como o Raio de Schwarzschild (RSch) o que corresponde 
a conhecida Singularidade de Schwarzschild (SS). 
II. Ondas Gravitacionais. Emissão Quadrupolar 
Ainda em 19165, Einstein obteve uma solução aproximada da EE, ao considerar cam-
pos gravitacionais fracos e, como resultado dessa consideração, concluiu pela existência de on-
das gravitacionais. Ainda nesses trabalhos, Einstein tentou calcular a radiação gravitacional 
(RG) (de comprimento de onda ) emitida por um sistema mecânico isolado excitado (sendo v 
a velocidade média de suas partículas internas), com dimensões lineares r (r << ), e no regime 
não-relativista ( v << c). Observe-se que, em 19176, o matemático alemão David Hilbert (1862-
1943) estudou as ondas gravitacionais (OG) decorrentes da solução da EE. Em 19187, Einstein 
voltou a calcular a RG, ocasião em que corrigiu um erro que havia cometido no artigo de 1916 
sobre o mesmo tema, e apresentou sua célebre fórmula da RG decorrente da perda de energia 
mecânica. Em notação atual, essa Fórmula do Quadrupolo de Einstein (FQE) é dada por: 
 
2
3,2,1,
3
3
25 


 ji ijdtQdcGdtdE , 
 
na qual    xdrxxQ ijjiij 32)3/1(  é o momento de quadrupolo, ρ é a densidade da fonte 
gravitacional, δij é o tensor de Kronecker, r2 = x2 + y2 + z2 e d3x = dx dy dz (lembrar que: x1 = 
x, x2 = y, x3 = z). Destaque-se que, em 19238, o astrônomo inglês Sir Arthur Stanley Eddington 
(1882-1944) realizou um estudo teórico da propagação das ondas gravitacionais einsteinianas 
(OGE). Em 19359, o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933) estudou 
 
4 Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenschaften, v. 1, p. 189, 1964. 
5 Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenchaften, v. 1, p. 423; 688, 1916. 
6 Königlich Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Nachrichten, Mathematisch-Physikalische 
Klasse, v. 1, p. 53, 1917. 
7 Sitzungsberichte Preussische Akademie der Wissenchaften, v. 1, p. 154, 1918. 
8 Proceedings of the Royal Society of London, A102, p. 268, 1923. 
9 Annals of Mathematics, v. 36, p. 657; 37, p. 429, 1935. 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 882 
a quantização das OGE, denominadas por ele de grávitons, confirmando esse nome que já havia 
sido provavelmente proposto, em 193410, pelos físicos russos Dmitri Ivanovich Blokhintsev 
(1908-1979) e F. M. Gal´perin. Logo depois, em 193611, Einstein analisou a possibilidade do 
desvio da luz devido à ação do campo gravitacional de uma estrela. Esse efeito ficou então 
conhecido como lente gravitacional (LG). Em 193712, Einstein e o físico norte-americano Na-
than Rosen (1909-1955) estudaram as ondas gravitacionais cilíndricas como solução da EE, 
de 1915. É oportuno notar que, em 1941, os físicos russos Lev Davidovich Landau (1908-1968; 
PNF, 1962) e Evgeny Mikhaillovich Lifshitz (1915-1985) publicaram o livro intitulado Teoriya 
Polya (Nauka, Moscow) no qual mostraram que as auto-interações gravitacionais estão incluí-
das na FQE. O mesmo foi mostrado
pelo também físico russo Vladimir Alexandrovich Fock 
(1898-1974) no livro Teoriya Prostranstva Vremeni i Tyagoteniya (Fizmatgiz, Moscow), pu-
blicado em 1955. 
Por sua vez, em 195713, o astrofísico austro-inglês Sir Hermann Bondi (1919-2005) 
encontrou uma solução de ondas gravitacionais planas na EE. Ainda em 195714, os físicos 
norte-americanos John Archibald Wheeler (1911-2008) e Joseph Weber (1919-2000) analisa-
ram as ondas gravitacionais cilíndricas de Einstein-Rosen. Em 195815, L. Bel investigou a RG. 
Ainda em 1958, G. Gaposhkin16 e o astrônomo holandês Peter van de Kamp (1902-1995)17, 
investigaram as RG de estrelas binárias eclipsantes e típicas, respectivamente. As soluções de 
ondas planas exatas das OG foram encontradas, em 195918, por Bondi, Felix A. E. Pirani e I. 
Robinson. Também, em 196219, Bondi, M. G. J. van der Burg e A. W. K. Metzner estudaram 
as OG de sistemas isolados com simetria axial. Em trabalhos independentes realizados também 
em 1959, os físicos norte-americanos R. L. Arnowitt e Stanley Deser (n.1931)20 e Dirac21 de-
 
10 Pod Znamenem Marxisma, v. 6, p. 147, 1934. 
11 Physical Review, v. 49, p. 404; Science, v. 84, p. 506, 1936. 
12 Journal of the Franklin Institute, v. 223, p. 43, 1937. 
13 Nature, v. 179, p. 1072, 1957. 
14 Reviews of Modern Physics, v. 29, p. 509, 1957. 
15 Comptes Rendus de l´Académie de Sciences de Paris, v. 247, p. 1094, 1958. 
16 Handbuch der Physik, v. 50, p. 225, 1958. 
17 Annals of Physics, v. 50, p. 187, 1958. 
18 Proceedings of the Royal Society of London A251, p. 519, 1959. 
19 Proceedings of the Royal Society of London A269, p. 21, 1962. 
20 Physical Review, v. 113, p. 745, 1959. 
21 Physical Review, v. 114, p. 924, 1959. 
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senvolveram um formalismo hamiltoniano não-covariante da gravitação para calcular amplitu-
des de transição da RG. Como Dirac, em 195822, havia iniciado esse formalismo [completado 
em 195923], ele passou a ser conhecido como Universo de Dirac. 
III. Detectores Ressonantes de Ondas Gravitacionais 
A ideia de construir um equipamento para medir as OG foi apresentada por Weber, em 
196024, constituído de grandes cilindros de alumínio (A  ). Em 1961 e 196225, R. K. Sachs 
estudou as OG no espaço-tempo plano assintótico. Também, em 196226, Bondi, M. G. J. van 
der Burg e A. W. K. Metzner estudaram as OG de sistemas isolados com simetria axial. Em 
1963, os físicos norte-americanos Julian Seymour Schwinger (1918-1994; PNF, 1965)27 e Ri-
chard Philips Feynman (1918-1988; PNF, 1965)28 usaram a Teoria de Campos para quantizar 
o campo gravitacional (gráviton). Por sua vez, as LG foram estudadas pelo astrofísico norue-
guês Sjur Refsdal (1935-2009), em 196429. Ainda em 196430, o físico norte-americano Steven 
Weinberg (n.1933; PNF. 1979) estudou a probabilidade de emissão de OG usando a Mecânica 
Quântica. Em 196531, o físico russo V. S. Braginsky discutiu como detectar as OG. Em 196632, 
em 196733 e em 196834, Weber voltou a descrever a construção de grandes cilindros de A  para 
detectar as OG. 
A partir dessa proposta de Weber, foi desenvolvida a técnica de detectores ressonan-
tes, que usa a oscilação de sólidos muito rígidos (geralmente na forma cilíndrica e esférica) para 
detectar as OG. Para detalhes sobre a emissão e detecção das OG, ver os artigos de um dos 
autores (Cattani), publicados em 201035. 
 
22 Proceedings of the Royal Society of London A246, p. 333, 1958. 
23 Physical Review, v. 114, p. 924, 1959. 
24 Physical Review, v. 117, p. 307, 1960. 
25 Proceedings of the Royal Society of London A264, p. 309, 1961; A270, p. 103, 1962. 
26 Proceedings of the Royal Society of London A269, p. 21, 1962. 
27 Physical Review, v. 130, p. 1253, 1963. 
28 Acta Physica Polonica, v. 24, p. 697, 1963. 
29 Monthly Notices of the Royal Society of London, v. 128, p. 295, 1964. 
30 Physics Letters 9, p. 357; Physical Review B135, p. 1049; B140, p. 516, 1964. 
31 Uspekhi Fizika Nauk, v. 86, p. 433, 1965. 
32 Physics Review Letters, v. 17, p. 1228, 1966. 
33 Physics Review Letters, v. 18, p. 498, 1967. 
34 Physics Review Letters, v. 20, p. 1307, 1968. 
35 Gravitacional Waves I: Basic Emission Equations [arXiv:1001.2518v1 (gr-qc)]; Gravitacional Waves II: 
Basic Emission Systems Equations [arXiv:1003.2105v1 (gr-qc)]; e Gravitacional Waves III: Detecting Sys-
tems [arXiv:1004.2470v1 (gr-qc)]. 
 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 884 
IV. Detectores Interferométricos, Pulsares, Buracos Negros e Big Bang 
Após 30 anos de pesquisas verificou-se que os detectores sólidos são muito pouco 
eficientes e que se alguma OG fosse detectada seria um evento fortuito. Assim, a partir de 1990 
esses detectores deixaram de ser usados e começaram a ser substituídos pelos grandes interfe-
rômetros (LIGO ou VIRGO) como veremos a seguir (CATTANI, op. cit.). 
Nesta oportunidade, é interessante destacar que a detecção das OG se intensificou com 
a descoberta dos pulsares. Vejamos como ocorreu essa descoberta. Em agosto de 1967, a as-
trônoma irlandesa Susan Jocelyn Bell Burnell (n.1943), então estudante do radioastrônomo in-
glês Antony Hewish (n.1924; PNF, 1974), encontrou objetos celestes, na nebulosa de Caran-
guejo, que emitiam vibrações regulares de ondas de rádio. Ao comunicar essa descoberta a 
Hewish, os dois então pensaram que haviam realizado contato com uma civilização extraterres-
tre, razão pela qual deram o nome de Little Green Men (LGM1) (“Pequenos Homens ↑erdes”). 
No entanto, a análise mais detalhada dessa observação levou Hewish e sua equipe (Burnell, J. 
H. D. Pilkington, Paul F. Scott e R. A. Collins) a anunciar, em 196836 a descoberta de uma 
estrela da ordem da massa solar e de raio da ordem de 10 km, e que gira em torno de si com um 
período de ≈ 1,γγ7 s. Note-se que essa estrela recebeu o nome de CP 1919, onde CP significa 
Cambridge Pulsar e 1919 indica sua posição nos céus. Denote-se que, em 196837, Weber dis-
cutiu a possibilidade de o pulsar NP 0532, na nebulosa de Caranguejo, ser um emissor de OG. 
Em 196938 e em 197039, ele anunciou que havia encontrado evidências experimentais da RG, 
pois observou a coincidência de pulsos dessa radiação em cilindros de A  colocados a uma 
distância de 1.000 km, entre o College Park, em Maryland, e o Argonne National Laboratory, 
em Illinois. 
 Em 1972, o físico brasileiro Jayme Tiomno (1920-2011), em parceria com os astrofí-
sicos, o norte-americano Marc Davis (n.1947) e o italiano Remo Ruffini (n.1943)40 e com Ru-
ffini e o astrofísico indiano C. V. Vishveshwara41 realizaram trabalhos sobre, respectivamente, 
a radiação gravitacional (RG) e a radiação eletromagnética de corpos caindo nas proximida-
des de uma SS. 
Em dezembro de 1973, o astrofísico norte-americano Russell Alan Hulse (n.1950; 
PNF, 1993) foi trabalhar no Arecibo Radio Telescope, em Porto Rico, operado pela Cornell 
University, na frequência de 430 MHz, no qual havia registros de cerca de 100 pulsares até 
então conhecidos. Seu objetivo era o de preparar sua Tese de Doutoramento sob a orientação 
do astrofísico norte-americano Joseph Hooton Taylor Junior (n.1941; PNF, 1993) que ensinava 
 
36 Nature, v. 217, p. 709, 1967. 
37 Physics Review Letters, v. 21, p. 395, 1968. 
38 Physical Review Letters, v. 22, p. 1320, 1969. 
39 Physics Review Letters, v. 24, p. 276; 25, p. 180, 1970. 
40 Physical Review D, v. 12, p. 2932, 1972. 
41 Nuovo Cimento Letters, v. 3, p. 211, 1972. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016.
885 
na University of Massachusetts, especialista em pulsares, pois, em 197242, juntamente com 
Richard N. Manchester e G. R. Huguenin desenvolvera um algoritmo de dispersão-compensa-
ção para estudar 22 pulsares. Entre dezembro de 1973 e janeiro de 1975, Hulse descobriu 40 
novos pulsares. Contudo, um deles, observado no dia 02 de julho de 1974, na constelação de 
Águia, não se enquadrava na crença geral de que esses objetos celestes eram estrelas de nêutrons 
solitárias e girantes. Esse pulsar, denominado de PSR 1913 + 16, onde PSR significa pulsar e 
o número é a sua posição no céu, apresentava um período de 0,05903 s. Contudo, no dia 25 de 
agosto de 1974, Hulse tentou obter um período mais acurado para esse pulsar. Depois de reali-
zar um ajuste do efeito Doppler (1842)-Fizeau (1848) devido ao movimento da Terra, Hulse 
encontrou uma diferença de β7 s (1 s = 10-6 s) em suas medidas. Em princípio, pensou tratar-
se de uma falha em seu programa de computador, o ZBTREE. Reescreveu-o e voltou a observar 
o PSR 1913 + 16, entre 01 e 02 de setembro de 1974. Novamente encontrou uma variação do 
período com o tempo, variação essa que permaneceu nas observações subsequentes. Então, no 
dia 18 de setembro de 1974, escreveu uma carta para Taylor, que se encontrava em Amherst, 
dizendo-lhe que o PSR 1913 + 16 era um pulsar-binário, com período de ~ 8 horas. Desse 
modo, Hulse e Taylor, em Arecibo, começaram a realizar uma análise desse objeto celeste 
usando as leis de Kepler, encontrando os seguintes dados: velocidade orbital ~300 km/s, tama-
nho da órbita da ordem do raio do Sol (RS) (= 6,96 108 m), massas do sistema binário da 
ordem da massa solar (mS = 1,99 × 1030 kg), e período de 7 h 45 min. Essa descoberta foi 
anunciada em 197443 e em 197544. Registre-se que Hulse deixou de trabalhar com pulsares, a 
partir de 1977. 
Registre-se que foi no artigo citado acima que Hulse e Taylor afirmaram que esse ob-
jeto celeste poderia servir para testar as OG, pois qualquer sistema que radiasse esse tipo de 
onda perderia energia. Assim, em virtude dessa perda de energia, as estrelas do pulsar-binário 
se aproximariam uma da outra e, em consequência, haveria uma diferença em seu período or-
bital. Considerando essa possibilidade, Taylor e colaboradores passaram a verificar se havia 
essa diferença no período do PSR 1913 + 16. O primeiro resultado dessa variação foi anunciado, 
em 197945, por Taylor, Lee A. Fowler e Peter M. McCulloch. Mais tarde, em 198246, Taylor e 
Joel M. Weisberg apresentaram o seguinte resultado: (2,40 0,09) × 10-12 s/s, sendo o valor 
teórico einsteniano de: (2,403  0,02) × 10-12 s/s. 
Esse resultado levou Taylor a fazer o seguinte comentário: 
- Portanto, 66 anos depois de Einstein prever as ondas gravitacionais, um experimento 
foi realizado e que apresenta clara evidência de sua existência. 
 
42 Nature-Physical Science, v. 240, p. 74, 1972. 
43 Astrophysical Journal Letters, v. 191, p. L59, 1974. 
44 Astrophysical Journal, v. 195, p. L51; Astrophysical Journal Letters, v. 201, p. L55, 1975. 
45 Nature 277, p. 437, 1979. 
46 Astrophysical Journal 253, p. 908, 1982. 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 886 
Essa concordância entre experiência e teoria foi confirmada por Taylor em 199247. 
Observe-se que antes, em 1991, Taylor48 mostrou que os pulsares milissegundos (períodos entre 
1 e 10 ms) descobertos e estudados por ele são os relógios naturais mais estáveis do Universo, 
e que Taylor e Thibault Damour investigaram a mudança do período orbital do PSR 1913 + 16. 
É interessante registrar que, em 199249, Alexander Wolszczan (n.1942) e Dale A. Frail (n.1961) 
anunciaram a descoberta de um sistema de dois planetas, três vezes mais massivos do que a 
Terra, girando em torno do pulsar milissegundo PSR 1257 + 12. Note-se que Wolszczan, em 
199450, anunciou a existência de um terceiro planeta girando em torno desse PSR 1257 + 12, 
com um período de 25, 34 dias. 
Em 199251, A. Abramovici, →. E. Althouse, Ronald (“Ron”) →. P. Drever (n.1λγ1), 
Y. Gursel, S. Kawamura, F. J. Raab, D. Shoemaker, L. Sievers, R. E. Spero, Kip Stephen 
Thorne (n.1λ40), Rochus E. (“Robbie”) ↑ogt, Rainer (“Rai”) →eiss (n.1λγβ), S. E. →hitcomb 
e M. E. Zucker apresentaram o projeto Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory 
(LIGO) (“Observatório de Ondas Gravitacionais por Interferômetro Laser”) cujo objetivo fun-
damental era o de observar as OG de origem cósmica. [É interessante registrar que a concepção 
inicial do LIGO foi apresentada por Weiss, em 1968, no Massachusetts Institute of Technology 
(MIT) e imediatamente aceita por muitos físicos, dentre eles: Drever, Thorne e Vogt]. Ele foi 
construído em 1999 e opera com dois observatórios (em forma de L, com 4 km de comprimento 
de lado) para detectar as OG: o Hanford Observatory, do Hanford Nuclear Reservation, pró-
ximo de Richland, Washington, e o Livingston Observatory, em Livingston, Louisiana, separa-
dos por 3.002 km, que corresponde a 10 ms (1 ms = 10-3 s) na chegada das OG, uma vez que 
esta viaja, teoricamente, com a velocidade da luz no vácuo (c = 300.000 km/s). Observe-se que 
o LIGO, que é composto de interferômetros do Tipo Michelson-Morley (1887) e com Cavidades 
Fabry-Pérot (1898), começou a operar em 23 de agosto de 2002, mas somente foi finalizado 
em 2010 por falta de investidores. 
Em 199452, os físicos, os brasileiros José Carlos Nogueira Araújo (n.1968), José An-
tônio de Freitas Pacheco (n.1942) e Cattani, e o argentino Jorge Emiliano Horvath (n.1959) 
analisaram as OG emitidas por pulsares cambaleantes (“wobbling pulsars”). 
Em 200053, o físico norte-americano Ezra Ted Newman (n.1929), Simonetta Frittelli e 
Thomas P. Kling estudaram a distorção da imagem de objetos ópticos em uma lente gravitaci-
onal não perturbativa. 
 
47 Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v. 341, p. 117, 1982. 
48 Proceedings of the Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE), v. 79, p. 1054, 1991. 
49 Nature, v. 355, p. 145, 1992. 
50 Science, 264, p. 538, 1994. 
51 Science, 256, p. 325, 1992. 
52 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 271, p. L31, 1994. 
53 Physical Review D, v. 63, article number (a.n.) 023007, 2000. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 887 
Em 200154, o físico russo-norte-americano Sergei Kopeikin (n.1956) apresentou a 
ideia de usar o planeta Júpiter como uma lente gravitacional para interagir com a luz (onda 
eletromagnética) emitida pelo quasar (JO842+1835) que se alinharia com aquele planeta e a 
Terra em 08 de setembro de β00β, às 16hγ0min GTM (“Greenwich Mean Time”). Desse modo, 
ele e o radioastrônomo norte-americano Edward Formalont (n.1940) usaram um arranjo de te-
lescópios terrestres, inclusive o ↑LBI (“↑ery Large Baseline Interferometry”) e, por intermédio 
da TRG encontraram para a velocidade da OG o valor: (1,06  0,21) × c. Os resultados dessa 
medida foram apresentados por eles, em 200355, em 200656, em 200757 e, em 200958, sendo este 
com a colaboração de Gabor Lanyi e John Benson. Observe-se que o VLBI foi idealizado pelo 
radioastrônomo inglês Roger Clifton Jennison (1922-2006) em trabalhos realizados, em 195859 
e 196160, porém só muito utilizado a partir de 1974, usando três antenas61. 
Em 2002, os astrofísicos norte-americanos Andrew E. Lange (1957-β010), James (“Ja-
mie”) J. Bock [California Institute of Technology (Department of Physics) (CALTECH-DP) e 
do Jet Propulsion Laboratory (JPL)], Brian G. Keating [University of California (Department 
of Physics), em San Diego (UC/SD-DP)] e William L. Holzapfel (n.1965)
[University of Cali-
fornia (Department of Physics), em Berkeley (UCBe/DP)] começaram a desenvolver um pro-
jeto para a construção de um radiotelescópio para medir a polarização da Cosmic Microwave 
Background [“Radiação Cósmica de Fundo de Micro-onda” (RCFM)], projeto esse conhecido 
como Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization (BICEP) (“Imageamento de 
Fundo da Polarização Cósmica Extragaláctica”). O principal objetivo desse projeto era o de 
medir os modos-B (“componentes torcidos”) de polarização da RCFM. 
Antes de prosseguirmos, vejamos a razão pela busca desses modos-B. Segundo o as-
trofísico norte-americano Lawrence Maxwell Krauss (n.1954) [Cicatriz do Big Bang62], logo 
em seu começo, o Universo sofreu um período de expansão muito acelerada, isto é, uma infla-
ção, durante o qual o Universo passou do tamanho de um próton [cujo raio (rP) vale: rP ≈ 0,85 
× 10-15 m] para o tamanho de uma uva (aumentou cerca de 1050 vezes), durante o período de 
10-35 s contado a partir do Big Bang (BB), e emitiu a RCFM. Porém, essa radiação primordial 
só passou a ser observável quando o Universo começou a esfriar suficientemente pela primeira 
vez, no tempo ≈ γ8 × 104 anos depois do Big Bang (que aconteceu há 13,8 × 109 anos), dando 
 
54 The Astrophysical Journal, v. 556, p. L1, 2001. 
55 The Astrophysical Journal, v. 598, p. 704, 2003. 
56 Foundations of Physics, v. 36, p. 1244, 2006. 
57 General Relativity and Gravitation, v. 39, p. 1583, 2007. 
58 The Astrophysical Journal, v. 699, p. 1395, 2009. 
59 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 118, p. 276, 1958. 
60 Proceedings of the Physical Society, v. 78, p. 596, 1961. 
61 en.wikipedia.org/wiki/LIGO; Edward_Formalont; Sergei_Kopeikin, 1974. 
62 Scientific American Brasil, v. 150, p. 46, Nov. 2014. 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 888 
início a era inflacionária do Universo. Por essa ocasião, prótons livres capturaram elétrons 
livres formando átomos neutros, tornando o Universo transparente para a RCFM, radiação essa 
que chegou até nós. As primeiras tentativas para estimar o seu valor [em termos de temperatura 
absoluta (T)], ocorreram na década de 1940, devido ao trabalho do físico russo-norte-americano 
George Antonovich Gamow (1904-1968) sobre a formulação de um modelo para explicar a 
expansão do Universo observada pelo astrônomo norte-americano Edwin Powell Hubble 
(1889-1953), em dezembro de 1924. Desse modo, Gamow e os físicos norte-americanos Ralph 
Asher Alpher (1921-2007) e Hans Albrecht Bethe (1906-2005; PNF, 1967) (de origem alemã) 
desenvolveram o famoso modelo cosmológico α (α-Alpher, -Bethe, -Gamow), em 194863, 
que previa o valor (≈ β5 K) para a RCFM. Ainda em 1λ4864, Alpher e físico norte-americano 
Robert C. Herman (1922-1λλ7), alunos de Gamow, estimaram (≈ 5 K) para aquele valor. Note-
se que a RCFM só foi medida em maio de 196465 [(3,5 ± 1) K], pelos radio-astrônomos norte-
americanos Arno Allan Penzias (n.1933; PNF, 1979) (de origem alemã) e Robert Woodrow 
Wilson (n.1936; PNF, 1978). 
Ainda segundo Krauss, se na ocasião da inflação cósmica já existissem as OG, estas 
poderiam distorcer o espaço numa direção preferencial e, desse modo, a RCFM poderia ser 
polarizada. Acontece, no entanto, que a polarização dessa radiação primordial pode também 
ocorrer por outros efeitos, como, por exemplo, por sua flutuação da temperatura. Assim, a 
polarização da RCFM pode apresentar dois modos: modo-B (causada pelas OG) e modo-E (ou-
tras causas, como, p.e.: flutuação de temperatura e radiação emitida por poeira polarizada de 
nossa Via-Láctea). É interessante destacar que como a anisotropia térmica [oscilações em torno 
de γ0 K (1 = 10-6)] da RCFM, foi registrada pelo satélite Cosmic Background Explorer 
(COBE) (“Explorador da Radiação Cósmica de Fundo”) (lançado em 18 de novembro de 1λ8λ), 
em 1992, os astrofísicos apresentavam esses dois modos por intermédio de uma relação r (ten-
sor/escalar) entre um possível sinal de polarização por onda gravitacional e a intensidade do 
sinal da flutuação de temperatura medido. 
Voltemos ao BICEP. O BICEP1, basicamente desenvolvido na UC/SD-DP, foi insta-
lado no Observatório Astronômico Americano, na Amundsen-Scott South Pole Station (A-
SSPS), localizada no Polo Sul, começou a funcionar em janeiro de 2006 e ficou ativo até de-
zembro de 2008. Durante esse período de funcionamento, o BICEP1 observou o céu nas fre-
quências de: a) 100 GHz (1 GHz = 109 Hz; 1 Hz = 1 ciclo/segundo), com a resolução de 0,930 
e constituído de um par de 25 sensores (pixels) cada; b) 150 GHz, com a resolução de 0,600 e 
composto de um par de 24 sensores (pixels) cada. Esses sensores foram projetados para detec-
tarem os modos-B da polarização da RCFM. Registre-se que o BICEP 1, além dos pesquisado-
res da UC/SD-DP e do JPL, contou com a colaboração de pesquisadores de 23 instituições de 
 
63 Physical Review, v. 73, p. 803, 1948. 
64 Physical Review, v. 74, p. 1198, 1948. 
65 Astrophysical Journal, v. 142, p. 419, 1965. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 889 
pesquisa (15 dos Estados Unidos da América; 2 da França, 2 do Canadá; 1 da África do Sul; 1 
do Chile; 1 do Reino Unido; e 1 do Japão). 
É oportuno destacar que, em 11 de junho de 2008, a NASA lançou o foguete DELTA 
II7920-H levando a bordo o Fermi Gamma-ray Burst Monitor (GBM) ou Gamma-ray Large 
Area Space Telescope (GLAST), com o objetivo de observar raios gama ( ). 
A partir de 2008, o programa BICEP começou a elaborar o BICEP 2 [com a participa-
ção de novos colaboradores, como os cosmólogos norte-americanos John M. Kovac (n.1970), 
do Harvard-Smithsonian Centre for Astrophysics (H-SCA), e Chao Lin Kuo, da Stanford Uni-
versity [Kavli Institute for Particle Astrophysics and Cosmology, SLAC National Accelerator 
Laboratory (SU-KIPAC/SLAC)], usando o mesmo telescópio-polarímetro, agora com outros 
detectores instalados usando uma tecnologia inteiramente nova, ou seja, um arranjo (bolômetro) 
contendo um sensor de transição de borda [Transition Edge Sensor (TES)] colocado no plano 
focal da lente de 26 cm de abertura, contendo um par de 256 sensores (pixels) cada, operando 
em 150 GHz e com uma resolução de 0.920. Ele foi instalado em 2009, na Amundsen-Scott 
South Pole Station (A-SSPS), na Antártida, perto do Polo Sul Terrestre e funcionou entre 2010 
e 2012. 
É interessante registrar que, segundo o grupo da European Space Agency (ESA), res-
ponsável pelo Satélite Planck (lançado em 14 de maio de 2009), r é representado pelo intervalo: 
(0,00-0,13). Note-se que o Planck Collaboration (com 264 colaboradores sendo alguns do BI-
CEP), apresentou seus resultados em 20 de março de 2013 [arXiv:1303.5076 (astro-ph.CO)] e 
revisado em 20 de março de 2014 [arXiv:1303.5076v3 (astro-ph.CO)] e submetido à publicação 
na revista Cosmology and Nongalactic Astrophysics, com o artigo intitulado: Planck 2013 Re-
sults. XVI. Cosmological Parameters. 
A partir de 2013, o grupo do BICEP começou a publicar seus resultados, com destaque 
para dois deles: 
1) O BICEP1 (composto de 34 pesquisadores) encontrou, em 04 de outubro de 2013 
[arXiv:1310.1422v2 (astro-ph.CO)], o seguinte valor para a importante relação r, qual seja: r = 
0,0γ ( +0,β7 -0,23) ou r < 0,70 com CL = 95%. No entanto, o espectro do modo-B é consis-
tente com o valor zero (0), ou seja: ausência de OG. Note-se que esse artigo foi publicado em 
14 de fevereiro de 201466; 
2) O BICEP2 (composto de 47 pesquisadores) encontrou, em 14 de março de 2014 
[arXiv:1403.3885v1 (astro-ph.CO)] queμ r = 0,β0 ( +0,07 -0,05), acima
do limite máximo para 
r (que é: r = 0,13, como vimos acima). Como esse resultado indicava que o valor r = 0 era 
desfavorável no nível de CL = 7σ [5,λσ, subtraído o fundo (foreground), com 5σ representando 
menos do que um em um milhão de chances de erro], portanto, tal resultado sugeria a existência 
de OG. Esse trabalho do BICEP2 foi publicado em 19 de junho de 201467. 
 
66 Astrophysical Journal, v. 783, p. 67, 2014. 
67 Physical Review Letters, v. 112, a.n. 241101, 2014. 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 890 
Note-se que o resultado acima foi analisado em uma reunião da American Astronomi-
cal Society, realizada em 05 de junho de 2014, ocasião em que o astrofísico norte-americano 
David Nathaniel Spergel (n.1961), professor da PU [Department of Astrophysical Sciences 
(PU-DAS)], arguiu que o modo-B detectado pelo BICEP2 poderia ser resultado da emissão 
térmica polarizada (modo-E) pela poeira (dust) das estrelas de nossa Galáxia. Em 22 de setem-
bro de 2014, o Planck Collaboration (com 400 colaboradores, sendo alguns do BICEP) confir-
mou a conjectura de Spergel [arXiv:1409.5738v1 (astro-ph.CO)], submetido à publicação na 
revista Cosmology and Nongalactic Astrophysics], com o artigo intitulado: Planck Intermediate 
Results. XXX. The Angular Power Spectrum of Polarized Dust Emission at Intermediate and 
High Galactic Latitudes. 
Registre-se que logo que o BICEP2 terminou sua missão, em 2012, o BICEP Collabo-
rartion começou o BICEP3 (com 29 pesquisadores), usando um telescópio-polarímetro (do tipo 
do Keck Array, mas com uma abertura de 55 cm), contendo um par de 1280 sensores (pixels) 
cada, operando em 95 GHz e com uma resolução de 0.370, proposto em 22 de julho de 2014 
[arXiv:1407.5928v1 (astro-ph.CO)]. Note-se que, em fevereiro de 2015, a colaboração BI-
CEP2/Keck/Planck confirmou mais uma vez a conjectura de Spergel, isto é: a ausência de OG 
[arXiv:1502.00612v1 (astro-ph.CO)]. É interessante registrar que o Keck Array (consiste de 
cinco polarímetros similares ao BICEP2), foi projetado inicialmente por Lange e pertence ao 
A-SSPS. Quando esta Estação Astronômica Norte-Americana foi inaugurada, em 1995, nas 
Montanhas Usarp, na Antártica, o observatório contendo o Keck Array recebeu o nome de 
Martin A. Pomerantz Observatory (MAPO), para homenagear o físico norte-americano Martin 
Arthur Pomerantz (1916-2008), então Diretor do Bartol Research Institute, da University of 
Delaware, e o líder no desenvolvimento da Astronomia Norte-Americana na Antártica. O Keck 
Array funcionou entre 2011 e 2013. Para maiores detalhes sobre as OG, ver: <wikipedia.org/BI-
CEP_KickArray; www.searadaciencia.ufc.br/curiosidadesdafisica>). 
Vejamos agora como surgiu o conceito de BN. A Métrica de Schwarzchild (MS) vista 
acima vale para pontos fora (e sem matéria) da superfície do corpo (de raio R e massa M) que 
produziu o campo gravitacional como (p. e: uma estrela) e com a seguinte condição: r > 2 G M. 
E para pontos internos, isto é: r < 2 G M? Para examinar essa questão, vejamos o estudo a 
evolução estelar. Em 1914, o astrônomo inglês Sir Arthur Eddington (1882-1944) escreveu o 
livro intitulado Stellar Movements and the Structure of the Universe (Cambridge University 
Press), no qual apresentou uma verdadeira súmula de todo o conhecimento existente sobre a 
distribuição e dinâmica das estrelas nos diversos tipos de nebulosas. Logo depois, em 191568, 
estimou que a massa total (M) de um aglomerado (clusters) de estrelas em equilíbrio estatístico, 
como sendo dada por M ≈ β Rcℓ <v2>/G, sendo Rcℓ um adequado raio que depende da distribui-
ção de massa do aglomerado e <v2> representa a velocidade média quadrática das estrelas do 
aglomerado. Em 191669, Eddington apresentou a ideia de que o equilíbrio estelar deve-se ao 
 
68 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 76, p. 525, 1915. 
69 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 77, p. 16, 1916. 
http://www.searadaciencia.ufc.br/curiosidades
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 891 
balanço entre a atração gravitacional e as pressões: gasosa e de radiação. Já em 192070, em uma 
Reunião da Sociedade Britânica para o Progresso da Ciência, Eddington propôs que o meca-
nismo de geração de energia das estrelas decorria da conversão (fusão) de quatro átomos de 
hidrogênio (H) em um núcleo de hélio (He). Ainda nessa Reunião, ele afirmou que, devido a 
essa conversão, a estrela [principalmente a anã branca, que é o objeto celeste resultante do 
processo evolutivo de estrelas de até 10 MS (MS = massa do Sol)] perde energia e contrai-se 
provocando um aumento de temperatura e, consequentemente, esse tipo de estrela radiaria in-
tensamente de acordo com a teoria clássica da relação entre energia térmica (E) e temperatura 
absoluta (T)μ E = σ T4, onde σ é a constante de Stefan (1879)-Boltzmann (1884). 
Em 192471, Eddington retomou a ideia que tivera, em 1916, sobre o equilíbrio estelar 
e mostrou que nas anãs brancas o campo gravitacional é tão forte que produz uma grande con-
tração, reduzindo-lhe o tamanho e, em consequência disso, os átomos perdem a maioria de seus 
elétrons, restando um gás altamente ionizado formando assim um estado de matéria degene-
rada, com uma densidade média de 108 kg/m3. Nesse trabalho, Eddington calculou como sendo 
da ordem de β0 km/s o desvio para o vermelho do comprimento de onda ( ) de um raio luminoso 
emitido por uma estrela desse tipo. 
Contudo, esse Modelo de Eddington apresentava uma grande dificuldade, pois a rela-
ção massa  luminosidade por ele utilizada indicava que, por apresentar uma alta temperatura, 
uma anã branca deveria irradiar intensamente de acordo com a relação entre energia térmica e 
temperatura vista acima. Isso, no entanto, não era observado. Essa dificuldade foi contornada 
pelo matemático inglês Sir Ralph Howard Fowler (1889-1944), em 192672, ao mostrar que na-
quele tipo de estrela, no processo de converter H em He, ela perde energia e contrai-se até que 
a pressão interna (p) torna-se tão grande, o bastante para causar o colapso de sua estrutura atô-
mica, configurando um estado de matéria degenerada formada apenas de elétrons. Desse modo, 
usando a estatística de Fermi-Dirac (1926), Fowler demonstrou que o puxão gravitacional 
ocorrido na estrela é equilibrado pela repulsão dos elétrons “degenerados”, repulsão essa de-
corrente do princípio da exclusão de Pauli (1λβ5). Desse modo, para essa matéria “degene-
rada”, Fowler encontrou a seguinte relação entre p e a densidade (ρ)μ p  ρ5/3, e que essa Equa-
ção de Estado independe de T. Registre-se que foi ainda em 1926, que Eddington publicou seu 
livro The Internal Constitutions of the Stars (Cambridge University Press), no qual apresenta 
suas pesquisas sobre a evolução estelar, iniciadas em 1914. 
O Modelo de Eddington-Fowler foi modificado pelo astrofísico indiano-norte-ameri-
cano Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995; PNF, 1983), entre 1931 e 193273, ao levar em 
 
70 Observatory, v. 43, p. 353, 1920. 
71 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 84, p. 308, 1924. 
72 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 87, p. 114, 1926. 
73 Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 91, p. 456, 1931; Philosophical Magazine, v. 11, p. 
592, 1931; Astrophysical Journal, v. 74, p. 81, 1931; Zeitschrift für Astrophysik, v. 5, p. 321, 1932. 
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M.
892 
conta os efeitos relativísticos na Equação de Estado do gás de elétrons “degenerados”. Assim, 
quando a estrela se torna suficientemente densa, a repulsão eletrônica pauliana não será capaz 
de vencer a atração gravitacional. Desse modo, Chandrasekhar descobriu que nenhuma anã 
branca pode ter massa maior do que 1,44 MS, valor esse que ficou conhecido como limite de 
Chandrasekhar. Note-se que, em 193874, Bethe e o físico norte-americano Charles Louis 
Critchfield (1910-1994) apresentaram o famoso ciclo Hidrogênio-Hidrogênio (H-H) como ge-
rador da energia das estrelas tão (ou menos) massivas quanto o Sol. Ainda em 193875, o físico 
alemão Barão Carl Friedrich von Weizsäcker (1912-2007) propôs o igualmente famoso ciclo 
Carbono-Nitrogênio-Oxigênio-Carbono (C-N-O-C) como gerador de energia das estrelas mais 
massivas do que o Sol, ciclo esse confirmado por Bethe, em 193976. 
Em 193877, os físicos norte-americanos Julius Robert Oppenheimer (1904-1964) e Ro-
bert Serber (1909-1997) e, em 1939, Oppenheimer, com a colaboração do físico russo-norte-
americano George Michael Volkoff (1914-2000)78 e do físico-norte-americano Hartland Snyder 
(1913-1962)79 mostraram que, quando todas as fontes termonucleares de energia são exauridas 
de uma estrela suficientemente pesada, então a contração gravitacional continuará indefinida-
mente até seu colapso total. Como esse colapso gravitacional relaciona-se com o Raio de 
Schwarzschild (RSch), ele passou a ser conhecido como a Singularidade de Schwarzschild (SS). 
Em 194280, Chandrasekhar e o físico brasileiro Mário Schenberg (1914-1990) apre-
sentaram uma análise da evolução do Sol e de estrelas semelhantes que compõem a chamada 
sequência principal do Diagrama de Hertzsprung (1911) – Russell (1914). Nessa análise, na 
qual há um estudo da luminosidade desse tipo de estrela em função de sua massa, basicamente, 
foi verificado o que acontecia quando fosse queimado todo o H do centro dessas estrelas. Ainda 
nesse trabalho eles mostraram que não existe estrela estável na qual o caroço de He contém 
mais de 10% da massa da estrela. Esse resultado, conhecido como Limite de Schenberg-Chan-
drasekhar, explica a formação de estrelas vermelho-gigantes durante o curso da evolução este-
lar 
Em 1957, o físico norte-americano John Archibald Wheeler (1911-2008) discutiu com 
o físico e matemático norte-americano Martin David Kruskal (1925-2006) a ideia de contornar 
a dificuldade encontrada no tratamento matemático do espaço-tempo na região em torno da SS. 
Com efeito, à medida que ocorre o colapso estelar, a estrela decresce rapidamente de tamanho 
até uma distância crítica de seu centro, distância essa conhecida, conforme vimos acima, como 
 
74 Physical Review, v. 54, p. 248, 1938. 
75 Physikalische Zeitschrift, v. 39, p. 633, 1938. 
76 Physical Review, v. 55, p. 434, 1939. 
77 Physical Review, v. 54, p. 540, 1938. 
78 Physical Review, v. 55, p. 374, 1939. 
79 Physical Review, v. 56, p. 455, 1939. 
80 Astrophysical Journal, v. 96, p. 161, 1942. 
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 893 
o RSch, de modo que, nessa situação, a luz paira acima da estrela. Assim, o volume esférico no 
espaço-tempo traçado com esse raio por essa luz é chamado de horizonte de eventos da SS (hoje, 
horizonte de eventos do buraco negro). Em 196381, o matemático neozelandês Roy Patrick Kerr 
(n.1934) encontrou uma nova métrica (conhecida como Métrica de Kerr, e que significa uma 
generalização da MS) que representava objetos colapsados gravitacionalmente rotativos (com 
spin) e descarregados. Em 196582, o físico norte-americano Ezra Ted Newman (n.1929) e seus 
colaboradores W. E. Cough, K. Chinnapared, A. Exton, A. Prakash e R. J. Torrence descreve-
ram buracos negros rotativos e carregados, por intermédio de uma métrica, hoje conhecida 
como Métrica de Kerr-Newman. Vejamos como apareceu o nome desses objetos colapsados 
gravitacionalmente. 
Em agosto de 1967, a astrônoma irlandesa Susan Jocelyn Bell Burnell (n.1943), então 
estudante do astrônomo inglês Antony Hewish (n.1924; PNF, 1974), descobriu um objeto ce-
leste na nebulosa de Caranguejo que emitia vibrações regulares de ondas de rádio, com o perí-
odo aproximado de 1,337 s, e que, jocosamente, chamou-o de LGM (Little Green Man) (“Pe-
queno Homem ↑erde”). No outono daquele ano, o físico italiano ↑ittorio M. Canuto (n.1λγ7), 
então chefe administrativo do Goddard Institute for Space Studies, da National Aeronautics 
and Space Administration (NASA), sediado em New York, convidou Wheeler para apresentar 
uma conferência objetivando uma possível interpretação dessa descoberta. Em certo instante de 
sua exposição, na qual argumentava sobre a possibilidade de o centro de tais objetos ser um 
objeto colapsado completamente pela gravidade, alguém da plateia sugeriu um nome mais 
compacto: - How about black hole? (“Que tal buraco negro?”). Como procurava desesperada-
mente por um nome compacto para descrever aquela situação física, Wheeler aceitou a sugestão 
e passou a adotá-la oficialmente, no dia 29 de dezembro de 1967, na conferência realizada na 
Sigma X-Phi Beta Kappa, sediada também em New York. Contudo, na literatura científica, o 
nome buraco negro (BN) (“black hole”) apareceu nos artigos que →heeler publicou no Ameri-
can Scholar 37, p. 248 e no American Scientist 56, p. 1, ambos em 1968. [John Archibald 
Wheeler and Kenneth Ford, Geons, Black Holes and Quantum Foam (W. W. Norton & Com-
pany, 1998)]. É oportuno destacar que existem evidências observacionais de que o centro das 
galáxias seja um BN como, por exemplo, o de nossa Via Láctea e que teria uma massa em torno 
de 4,3  106 MS. Por exemplo, no dia 27 de fevereiro de 2013, astrônomos da National Aero-
nautics and Space Administration (NASA) e da European Space Agency (ESA) anunciaram 
que haviam medido a velocidade de rotação de um BN supermassivo (2  106 MS) no centro 
da galáxia em espiral NGC 136583. 
 
 
81 Physical Review Letters, v. 11, p. 237, 1963. 
82 Journal of Mathematical Physics, v. 6, p. 918, 1965. 
83 Mais detalhes sobre os BN, ver: Charles W. Misner, Kip S. Thorne and John Archibald Wheeler, Gravitation 
(W. H. Freeman and Company, 1973); Kip S. Thorne, Black Holes & Time Warps: Einstein´s Outrageous Leg-
acy (W. W. Norton & Company, 1994); wikipedia/black_hole; www.nasa.gov/nustar. 
http://www.nasa.gov/nustar
 Bassalo, J. M. F. e Cattani, M. 894 
V. Detecção das Ondas Gravitacionais 
Vejamos agora como aconteceu a detecção das OG. Segundo vimos no Resumo deste 
artigo, em 11 de fevereiro de 201684, por ocasião de uma Conferência realizada na NSF, em 
Washington, D.C., o físico norte-americano David Reitze (n.1961), Diretor Executivo do LIGO 
anunciou que dois LIGOS da Scientific Collaboration (LSC) haviam detectado (em 14 de se-
tembro de 2015) Ondas Gravitacionais (OG) provindas da fusão (merger) de um binário de 
buracos-negros (BN) com cerca de 62 MS (≈ 1β,5 × 1031 kg) e a uma distância 1,2 × 109 anos-
luz (≈ 1,β × 1025 m) da Terra, evento esse conhecido como GW150914. Note-se que essas OG 
(“ondas no espaço-tempo”) produziram expansões e contrações nos lados dos dois LIGOS da 
LSC (cujos braços estariam em posição favorável para a medida, inclusive com uma frequência 
de 250 Hz pouco antes do merger), registradas em cada um de seus detectores (um em Hanford 
e o outro em Livingston) e com uma diferença de tempo de 7 × 10-3 s85. É interessante destacar 
que este resultado corresponde ao confidence limit (“limite de confiança”)μ CL > 5,1 σ 
(99,9999%, significando ser menor do que um evento em cada 203.000 anos).
É também opor-
tuno destacar que o gráfico abaixo é muito parecido pelo deduzido por Tiomno, Davis e Ruffini, 
em 1972 (op. cit.). 
Por sua vez, existe outra interpretação para esse evento (GW150914). Vejamos qual. 
Com uma visão instantânea de 70% do céu e 0,4 s depois do mesmo, o GBM detectou a presença 
de uma fonte fraca de energia eletromagnética acima de 50 keV e com a duração de 1 s. No 
artigo publicado pelo GBM [arXiv:1602.03920v3 (astro-ph.HE)], em seu Abstract, seus 29 
principais pesquisadores dizem que essa observação parece não estar conectada com nenhuma 
outra atividade astrofísica (solar, terrestre ou magnetosférica). Porém, por ser consistente com 
a direção do GW150914, tal observação sugere que tenha ocorrido uma erupção de raios gama 
( ) e, portanto, incompatível com a fusão de buracos negros. Em vista disso, esses pesquisado-
res passaram a calcular a luminosidade (L) correspondente a emissão de raios-X duros, entre 1 
keV e 10 MeV, e encontraram que: L = [1,8+1,5-1,0 × 1049 (erg/s)]. Esse valor, ainda segundo os 
autores, tem uma confiabilidade de 75% e, mais ainda, assumindo que os dois eventos 
(LIGO/GBM) sejam correspondente ao mesmo GW150914, uma colaboração futura desses 
dois observatórios possa reduzir a 90% o intervalo de confiança numa locação do céu de 601 
para 199 deg2. Observe-se que deg2 [≡ (0)2] (“graus quadrados”) é uma medida de ângulo sólido, 
dado pela expressãoμ (π /180)2 ≈ γ,046β × 10-4 esferoradianos. 
É oportuno registrar que, em 01 de junho de 2016, os físicos J. Greiner, J. M. Bur-
gess, V. Savchenko e H.-F. Yu escreveram um artigo intitulado On the GBM event seen 0.4 sec 
after GW 150914 [arXiv:1606.00314v1 (astro-ph.HE)], no qual afirmaram que o referido 
evento não foi gerado pela emissão de OG, mas, somente, por fótons emitidos. 
 
84 Physical Review Letters, v. 116, article number 061102 (12/02/2016), 2016. 
85 Para detalhes sobre como ocorrem os registros nos detectores, ver: Cattani [aXiv:1004.2470v1 (gr-qc)] (op. 
cit.). 
https://arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Greiner_J/0/1/0/all/0/1
https://arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Burgess_J/0/1/0/all/0/1
https://arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Burgess_J/0/1/0/all/0/1
https://arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Savchenko_V/0/1/0/all/0/1
https://arxiv.org/find/astro-ph/1/au:+Yu_H/0/1/0/all/0/1
Caderno Brasileiro de Ensino de Física, v. 33, n. 3, p. 879-895, dez. 2016. 895 
Uma segunda observação de OG foi feita pelo LIGO em 26 de dezembro de 2015. 
Esse evento denominado de GW151226 foi publicado na revista Physical Review Letters 116, 
241103 (15/06/2016). O sinal detectado identicamente ao do evento GW150914 foi gerado pela 
coalescência de um sistema binário formado por dois buracos negros (BN) com massas ~ 14.2 
Mʘ e ~ 7.5 Mʘ. A fonte de OG estaria localizada a uma distância de ~ 440 Mpc da Terra. A 
onda detectada durou cerca de 1 s e a frequência das ondas variou de 35 a 450 Hz. 
Acreditamos que essa segunda observação, o evento GW151226, feita pelo LIGO, veio 
confirmar que realmente as OG foram detectadas, descartando a dúvida apresentada pelo GBM 
citado acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
astro.03.pdf
Astrofísica Geral
Tema 03: Noções de Gravitação
Alexandre Zabot
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação2 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação3 / 46
Johannes Kepler
27/12/1571 – 15/11/1630
Mysterium Cosmographicum (1596)
I Defendeu o heliocentrismo de
Copérnico (1543).
1600: início do trabalho com Tycho
Brahe
1609: Astronomia Nova
I Trabalho com dados de Brahe
I Duas primeiras leis
1619: Harmonices Mundi
I Terceira lei
Muito ignorado por contemporâneos,
como Galileu e Descartes.
Kepler em 1610.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação4 / 46
Geocentrismo
Geocentrismo era o modelo
mais aceito na época de Kepler
Matematizado por Ptolomeu no
Almagesto (∼100 dC).
Órbitas circulares
Epiciclos
Explicava os dados e era
consistente com a filosofia
Sistema Geocêntrico de Ptolomeu.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação5 / 46
Elipse
Como desenhar uma elipse. Definição geométrica.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação6 / 46
Leis de Kepler
1a lei
Todos os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol em um
dos focos.
Primeira lei de Kepler.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação7 / 46
Leis de Kepler
2a lei
Uma linha ligando qualquer planeta ao Sol varre áreas iguais em
tempos iguais.
Segunda lei de Kepler.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação8 / 46
Leis de Kepler
3a lei
O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do
semi-eixo maior de sua órbita:(
P1
P2
)2
=
(
a1
a2
)3
Terceira lei de Kepler aplicada ao Sistema Solar.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação9 / 46
Período de Júpiter
Exercício 3.1
O semi-eixo maior de Júpiter é 5.20 UA. Qual é o período da órbita de
Júpiter em torno do Sol?
1 Unidade Astronômica (UA) é a distância média da Terra ao Sol.
A órbita da Terra é praticamente circular, então podemos assumir que aT = 1 UA.
O período da órbita da Terra em torno do Sol é 1 ano (PT = 1 ano).
Assim, aplicamos a 3a lei de Kepler:
(
PJ
PT
)2
=
(
aJ
aT
)3
→
(
PJ
1
)2
=
(
5.20
1
)3
→ PJ =
√
5.203
∴ PJ = 11.86 anos
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação10 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação11 / 46
Isaac Newton
25/12/1642 – 20/03/1727
Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica (1687)
I Livro mais importante da história da
ciência
I Base de toda mecânica dos próximos
200 anos!
I Leis da mecânica
I Leis da gravitação
I Dedução das leis de Kepler
Retrato de Isaac Newton em
1689 (46 anos) por
Godfrey Kneller.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação12 / 46
Isaac Newton
“Se vi mais longe foi por estar de pé sobre ombros de gigantes."
Isaac Newton, carta a Robert Hooke – 5/2/1676
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação13 / 46
Leis da Mecânica
1a Lei
Um corpo em repouso permanece em repouso a não ser que uma
força externa atue sobre ele. Um corpo em movimento continua em
movimento com velocidade constante e em linha reta a não ser que
uma força externa atue sobre ele.
2a Lei ∑
~F = m~a
3a Lei
Quando dois corpos interagem entre si, a força ~FBA exercida pelo
corpo B sobre o corpo A tem a mesma magnitude e o sentido oposto
ao da força ~FAB exercida pelo corpo A sobre o corpo B.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação14 / 46
Lei da Gravitação Universal
~F12 = −
Gm1m2
r212
r̂12
(a) Vetores na lei da Gravitação.
(b) As partículas exercem forças
iguais e opostas.
Lei UNIVERSAL
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação15 / 46
Imponderabilidade
Exercício 3.2
Qual é a aceleração da gravidade na altura da órbita da Estação
Espacial Internacional?
Estação Espacial
Internacional.
Pela 2a lei de Newton, ~F = m~a
Se a força ~F é a força da gravidade, então
podemos escrever ~Fg = m~g.
Usando a lei da gravitação,
Fg =
GmM
r2
= mg → g =
GM
r2
Substituindo os valores, MT = 5.97× 1024 kg,
r = RT + h = 6371 + 400 km,
temos:
∴ g = 8.7 m/s2
que é só 11% menor do que a aceleração na
superfície da Terra!
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação16 / 46
Massa inercial e gravitacional
Duas leis diferentes:
I ~F = m~a
I ~FG = Gm1m2r̂/r2
Duas massas distintas: inercial e
gravitacional
Queda livre, F = FG e g = GmT/R2T
ma = gmg
m =massa inercial e mg =massa
gravitacional
Experimento de Galileu:
I a = gmg/m
I Corpos diferentes de massas iguais
caem juntos? Torre de Pisa
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação17 / 46
Velocidade de escape
Velocidade mínima para
escapar da atração
gravitacional de um corpo:
ve =
√
2GM
R
Órbitas possíveis
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação18 / 46
Velocidade de escape
Algumas velocidades de escape:
Local Vel. (km/s)
Sol 617.5
Terra 11.2
Lua 2.4
Marte 5.0
Via Láctea 594
Buraco Negro > vel luz
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação19 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação20 / 46
Forças de maré
Efeito importante!
Marés na Terra
Face fixa da Lua
Vulcões em Io (Júpiter)
Quebra de cometas
Aneis de Saturno
Precessão
Em todo universo!
Maré
Face fixa da Lua
Io, lua de Júpiter
Comet Shoemaker-Levy 9
Saturno com seus anéis
Precessão do eixo da Terra
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação21 / 46
Forças de maré
Efeito de maré: Forças Diferenciais.
Temos
F1 =
GMm
(d − R)2
e F2 =
GMm
(d + R)2
então,
∆F = F2 − F1 =
GMm
d2
[(
1 +
R
d
)−2
−
(
1−
R
d
)−2]
≈ −
4GMmR
d3
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação22 / 46
Forças de maré
(a) Forças relativas à Lua. (b) Forças relativas ao centro da Terra.
∆F =
4GMmR
d3
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação23 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação24 / 46
Limite de Roche
O limite de Roche é a distância mínima do
centro do planeta que um satélite pode
chegar sem se tornar instável frente a
rompimento por maré.
Édouard Roche, 17/10/1820 –
27/04/1883.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação25 / 46
Limite de Roche
d = C 3
√
ρp
ρs
Rs
A distância mínima (d) depende da
densidade do Planeta (ρp) e do satélite
(ρs), do raio do satélite (Rs) e da
constante de Roche, que varia com o
tipo de corpo (C = 2.44 para satélites
líquidos e C = 1.38 para satélites
rochosos).
Satélite destruído por forças de maré
quando ultrapassa o limite de Roche.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação26 / 46
Limite de Roche para a Lua
Exercício 3.3
Qual a menor distância que a Lua pode chegar da Terra sem se
romper?
Considerando:
MT = 5.97× 1024 kg
RT = 6370 km
ML = 7.35× 1022 kg
RL = 1738 km
Temos
ρT =
MT
4
3 πR
3
T
= 5514 kg/m3
ρL =
ML
4
3 πR
3
L
= 3342 kg/m3
e assim
d = 1.38× 3
√
5514
3342
× 1738 = 2834 km
que é cerca de 135 vezes menor do que a distância média da Lua à Terra.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação27 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação28 / 46
Albert Einstein
14/03/1879 – 18/04/1955
Escritório de Patentes
1905 – Annus Mirabilis (26
anos).
I Efeito fotoelétrico
I Relatividade especial
I Movimento browniano
1907-1915 – Relatividade Geral
Muitos outros trabalhos:
I Cosmologia
I Mecânica Quântica
I Mecânica Estatística
I Termodinâmica
I Colaborações com todos os
grandes nomes da física do
séc. XX
Albert Einstein em 1921
(42 anos), quando recebeu o
Prêmio Nobel.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação29 / 46
Relatividade Especial
Crise na Física: Eletromagnetismo × Mecânica
I Em que meio a luz se move?
F E: nenhum (éter); M: material
I A velocidade depende do Referencial?
F E: não; M: sim
O estudo da natureza e comportamento da
luz causaram uma revolução da Física do séc. XX.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação30 / 46
Postulados da Relatividade Especial
Princípio da Relatividade
As leis da física são iguais em todos os sistemas de referência
inerciais.
Constância da velocidade da luz
A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os
referenciais inerciais, independentemente da velocidade do
observador ou da velocidade da fonte emitindo a luz.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação31 / 46
Dilatação do tempo
Medida do tempo de percurso da luz.
Sabemos que, v = ∆x
∆t .
então,
c =
2L
Ta
c =
2
√
L2 + (vTb/2)2
Tb
Igualando as duas equações
(a velocidade da luz é constante!),
2L
Ta
=
2
√
L2 + (vTb/2)2
Tb
obtemos Tb :
Tb =
Ta√
1− (v/c)2
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação32 / 46
Contração do espaço
Encolhimento devido à velocidade.
L = L0
√
1 − (v/c)2
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação33 / 46
Simultaneidade
Eventos simultâneos num referencial podem não ser simultâneos em outro.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação34 / 46
Verificação experimental
Sem considerações relativísticas, múons criados na atmosfera e descendo com uma velocidade
de 0.98c percorreriam apenas ao redor de 600 m antes de decair com um tempo de vida médio
de 2.2 µs. Assim, um número muito pequeno de múons alcançaria a superfície da Terra. Com
considerações relativísticas, o tempo de vida do múon é dilatado de acordo com um observador
na Terra. Como resultado disso, de acordo com esse observador, o múon pode percorrer cerca
de 5000 m antes de decair. Isso resulta em muitos múons chegando à superfície.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação35 / 46
Verificação experimental
Dois aviões decolaram (em tempos diferentes) de Washington, onde fica o Observatório Naval
dos EUA. Os aviões viajaram para o leste e o oeste em volta da Terra (rotação). Relógios
atômicos a bordo dos aviões foram comparados com relógios similares que ficaram no
Observatório para mostrar que relógios os em movimento nos aviões andaram mais devagar.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação36 / 46
Relatividade Geral
Relatividade Especial não trata de referenciais acelerados.
O problema da massa inercial e gravitacional continuava em
aberto.
A Relatividade Geral relacionou os efeitos de gravidade com a forma do espaço.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação37 / 46
Postulado da Relatividade Geral
Princípio da equivalência
Um campo gravitacional é equivalente a um sistema de referência
acelerado na ausência de efeitos gravitacionais.
Um observador dentro de um elevador não sabe se o elevador
está parado sobre a Terra ou então acelerando para cima com a = g.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação38 / 46
Curvatura da luz
A luz se curva na presença de um campo gravitacional.
R ≈ c
2
g
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação39 / 46
Verificação experimental
Lentes gravitacionais só são explicadas pela Relatividade Geral. Atualmente este efeito é usado
para muitas medidades em Astrofísica, até mesmo para descobrir novos exoplanetas.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação40 / 46
Verificação experimental
Figura do artigo de Kelly et al, publicado na Science em 6/3/2015. As imagens do telescópio
espacial
Hubble, com três diferentes filtros, mostram o aparecimento simultâneo de 4 imagens
da mesma supernova. Entre a supernova e a Terra havia uma galáxia, que curvou a luz,
conforme predito pela Relatividade Geral. Pelas propriedades da imagem é possível estudar a
galáxia que curvou a luz, agindo como lente.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação41 / 46
Ondas gravitacionais
Video (onda_grav)
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação42 / 46
LIGO
LIGO: Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory
Observatório LIGO de Livingston. O LIGO é composto de dois observatórios.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação43 / 46
LIGO
Detecção do LIGO em 11/02/2016.
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação44 / 46
Outline
1 Leis de Kepler
2 Lei da gravitação de Newton
3 Força de maré
4 Limite de Roche
5 Conceitos de Relatividade
6 Bibliografia
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação45 / 46
Bibliografia
Fontes para estudo
Várias seções em http://astro.if.ufrgs.br/
Física, Paul Tipler & Gene Mosca, Volume 2, Capítulos R e 11
Alexandre Zabot Astrofísica Geral Tema 03: Noções de Gravitação46 / 46
http://astro.if.ufrgs.br/
		Leis de Kepler
		Lei da gravitação de Newton
		Força de maré
		Limite de Roche
		Conceitos de Relatividade
		Bibliografia
FiscaII_aula1_2017_1.pdf
Aula 1 
Gravitação 
 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Sumário 
I. Introdução 
II. Lei da gravitação de Newton (Teorema das cascas) 
III. Gravitação e o princípio da superposição das forças 
IV. Gravitação nas proximidades da superfície da Terra 
V. Gravitação no interior da Terra (Teorema das cascas) 
VI. Energia Potencial gravitacional 
VII. Leis de Kepler 
VIII.Satélites: órbitas e energias 
 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Introdução 
• Um dois mais antigos objetivos da física é 
compreender a força gravitacional. 
• Esta força mantém a Lua em órbita em torno da 
Terra; mantém a Terra em órbita em torno do Sol 
• Ela se estende ao espaço intergaláctico, 
mantendo unida todas as galáxias. 
• Ela tenta retardar a expansão do universo. 
• Esta força também é responsável pelo buraco 
negro. 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Lei da Gravitação de Newton 
• Em 1665, Isaac Newton (23 anos!), 
demonstrou que não existe diferença entre a 
força que mantém a Lua em órbita e a força 
responsável pela queda de uma maçã. 
• Ele conclui que não apenas a Terra atrai a 
maçã e a Lua, mas também que cada corpo do 
universo atrai todos os demais. 
• Essa tendência dos corpos se atraírem 
mutuamente é chamada de gravitação. 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
• Lei da gravitação de Newton: 
Toda partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força 
gravitacional cujo módulo é dado por: 
 
 2r
mM
GF 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
A constante G é chamada de constante gravitacional. Seu valor 
no SI é: 
 
 
 
 
Experimento da balança de torção de Henry Cavendish, 1797 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
John Michell (1724-1793) 
- Inventor da balança 
de torção. 
- Supôs a existência de 
Buracos negros. 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
(Alonso e Finn, volume 1) 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Lei de Gravitação Universal de Newton: a interação gravitacional entre dois 
corpos pode ser expressa por uma força central, atrativa, proporcional às 
massas dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre eles. 
 
•A Força Gravitacional não é alterada pela presença de outros objetos, mesmo 
que estejam situados entre as partículas. Ou seja, esta força não pode ser 
blindada por outras partículas. 
 
•Esta lei se aplica a partículas, mas podemos aplicá-la em boa aproximação 
para objetos reais, desde que os tamanhos sejam pequenos comparados com a 
distância entre eles. A Lua e a Terra, podem ser tratados como partículas. 
 
 
•E o que dizer do caso de uma maçã e da Terra?? 
Teorema das Cascas 
• Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma 
partícula que se encontra fora da casca como se toda a 
massa da casca estivesse concentrada no seu centro. 
(para demonstração ver: Halliday, vol.2, 5ª.ed.; Chaves e Sampaio, vol.1) 
• A Terra pode ser imaginada como um conjunto de cascas, uma 
dentro da outra, cada uma atraindo uma partícula localizada fora da 
superfície da Terra como se a massa da casca estivesse no seu 
centro. 
• Assim do ponto de vista da maçã, a Terra se comporta como 
partícula, cuja massa está localizada no centro da Terra e possui 
uma massa igual a massa da Terra. 
• Note que as forças de atração são iguais em módulos, 
mas as acelerações produzidas, são diferentes! 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Gravitação e o princípio da superposição 
das forças 
• Dado um conjunto de partículas podemos 
determinar a força gravitacional a que uma delas 
está submetida devido à presença das outras usando 
o Princípio da superposição. 
• No caso de n partículas, a força resultante sobre a 
partícula 1 será: 
 




n
i
ires
nres
FF
FFFF
2
1,1
11312,1 ...


Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Exemplo 1 
Determine a força resultante sobre a partícula 1. 
m1=6kg; m2=m3=4kg; a=2cm 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Exemplo 2 
A figura abaixo mostra um arranjo de cinco partículas, de massa m1=8kg, 
m2=m3=m4=m5=2kg; a=2cm e θ=30
0. Qual é a força resultante que as outras 
partículas exercem sobre a partícula 1? 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Gravitação nas proximidades da superfície 
da Terra 
Suponha que a Terra é uma esfera uniforme de massa M. O módulo da F.G. 
que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m localizada fora da Terra é 
dada pela Lei da Gravitação de Newton. Se a partícula é liberada ela cai em 
direção ao centro da Terra com uma aceleração que chamamos de aceleração 
da gravidade ag . 
Aplicando a segunda Lei de Newton, temos 
 
 
 
• Em qual situação ag=g ? 
 
2r
GM
ag 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
• Na prática ag≠g, pois 
 A massa da Terra não está distribuída 
uniformemente 
 A Terra não é uma esfera perfeita 
 A Terra está girando 
 
 
 
A rotação da Terra faz com que a aceleração de queda livre, 
seja menor que a aceleração gravitacional. 
 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
g = ag – ω
2R 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Para vermos como g ≠ ag , analisamos o seguinte exemplo: 
 um caixote de massa m está sobre uma balança no equador. 
Gravitação no interior da Terra 
• Uma casca uniforme de matéria não exerce 
força gravitacional resultante sobre uma 
partícula localizada no seu interior. (Teorema das 
Cascas no. 2) 
( para demonstração ver: Halliday, vol.2, 5ª.ed.; Chaves e Sampaio, vol.1) 
 
 
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Exemplo 4 
Em De Pólo a Pólo, um conto de ficção científica escrito por George Griffith em 1904, 
três exploradores viajam em uma cápsula em um túnel formado naturalmente que vai 
do pólo Sul ao pólo Norte. De acordo com a história, quando a cápsula se aproxima do 
centro da Terra a força gravitacional experimentada pelos exploradores aumenta 
assustadoramente e, depois, exatamente no centro, desaparece de repente, mas 
apenas por um momento. Em seguida, a cápsula atravessa a outra metade do túnel e 
chega ao pólo Norte. 
Verifique se a descrição de Griffith está correta calculando a força gravitacional 
experimentada pela cápsula de massa m quando está a uma distância r do centro da 
Terra. Suponha a Terra uniforme de massa específica ρ. 
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De acordo com o teorema das cascas de Newton,
temos três ideias chaves: 
 
• Quando a cápsula se encontra a uma distância r do centro da Terra a parte da 
Terra situada do lado de fora de uma esfera de raio r não produz uma força 
gravitacional resultante sobre a cápsula. 
 
• A parte da Terra localizada no interior dessa esfera produz uma força gravitacional 
resultante sobre a cápsula. 
 
• Podemos tratar a massa Mint dessa parte interior da Terra como sendo a massa de 
uma partícula situada no centro da Terra. 
Energia potencial gravitacional 
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Energia potencial gravitacional perto da superfície do planeta: 
Velocidade de escape 
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Logo: 
 
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Exemplo 13-5 
• Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 12 km/s em 
relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da 
Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o asteroide, determine 
a velocidade do asteroide, vf, ao atingir a superfície da Terra. 
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As leis de Kepler 
• Um dos maiores êxitos dos séculos XVI e XVII foi a verificação 
dos seguintes fatos: 
 
1. A Terra também é um planeta (Copérnico, 1543) 
2. Todos os planetas descrevem órbitas em torno do Sol (idem) 
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra 
podem ser usados para uma determinação precisa de suas 
órbitas (Kepler entre 1601 e 1619, utilizando dados 
compilados por Tycho Brahe) 
 
Pelo método de tentativas, Kepler formulou três leis empíricas. 
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Lei das órbitas 
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Lei das áreas 
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/gravity.htm 
 
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http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/gravity.htm
Lei dos períodos 
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Também vale para órbitas elipticas! 
r  a 
Exemplo 13-6 
• Cometa Halley gira em torno do Sol com um período de 76 
anos. Em 1986, a distância do periélio chegou Rp = 8,9 x 10
10 
m. Qual é a distância do afélio? Qual é a excentricidade e da 
órbita do cometa Halley? 
 
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Órbita do cometa Halley 
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Satélites: órbitas e energias 
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Referências 
• Halliday, volume 2, cap. 13, 8ª. Ed. 
• Sears and Zemansky; Young e Freedman, volume 2, cap. 12, 12ª. Ed. 
• http://zabot.paginas.ufsc.br/files/2015/07/astro.03.pdf 
 
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http://zabot.paginas.ufsc.br/files/2015/07/astro.03.pdf
http://zabot.paginas.ufsc.br/files/2015/07/astro.03.pdf
FiscaII_aula2_2017_1.pdf
Aula 2 
Gravitação 
 
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Sumário 
I. Introdução 
II. Lei da gravitação de Newton (Teorema das cascas) 
III. Gravitação e o princípio da superposição das forças 
IV. Gravitação nas proximidades da superfície da Terra 
V. Gravitação no interior da Terra (Teorema das cascas) 
VI. Energia Potencial gravitacional 
VII. Leis de Kepler 
VIII.Satélites: órbitas e energias 
IX. Einstein e a Gravitação 
 
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Energia potencial gravitacional 
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Mudança na energia potencial gravitacional perto da superfície do planeta: 
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Energia potencial gravitacional para um sistema de partículas 
 
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Velocidade de escape 
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“Se encontrasse um objeto com a mesma densidade média do Sol e com raio de 500 Rs, toda luz emitida 
por esse corpo seria atraída para o seu interior.” 
Logo: 
 
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Exemplo 13-5 
• Um asteroide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 12 km/s em 
relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da 
Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o asteroide, determine 
a velocidade do asteroide, vf, ao atingir a superfície da Terra. 
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As leis de Kepler 
• Um dos maiores êxitos dos séculos XVI e XVII foi a verificação 
dos seguintes fatos: 
 
1. A Terra também é um planeta (Copérnico, 1543) 
2. Todos os planetas descrevem órbitas em torno do Sol (idem) 
3. Os movimentos aparentes dos planetas vistos da Terra 
podem ser usados para uma determinação precisa de suas 
órbitas (Kepler entre 1601 e 1619, utilizando dados 
compilados por Tycho Brahe) 
 
Pelo método de tentativas, Kepler formulou três leis empíricas. 
Física II - 2017/1 Profa. Maria Simone 
Lei das órbitas 
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Lei das áreas 
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/gravity.htm 
 
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Conservação do momento angular! 
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/gravity.htm
Lei dos períodos 
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Também vale para órbitas elipticas! 
r  a 
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𝑇2
𝑎3
 = 
4π2
𝐺𝑀
 
Também vale para órbitas elípticas! r  a 
Exemplo 13-6 
• Cometa Halley gira em torno do Sol com um período de 76 
anos. Em 1986, a distância do periélio chegou Rp = 8,9 x 10
10 
m. Qual é a maior distância do cometa ao sol, que é chamada 
de distância do afélio Ra ? Qual é a excentricidade e da órbita 
do cometa Halley? 
 
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Órbita do cometa Halley 
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• Quando um satélite gira em torno da Terra em 
órbita elíptica tanto a velocidade (K), como a 
distância ao centro da Terra (U), variam com o 
tempo. Mas a energia mecânica é conservada! 
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Satélites: órbitas e energias 
Satélites: órbitas e energias 
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𝐸 = −
𝐺𝑀𝑚
2𝑟
 (energia total de um satélite em órbita circular) 
𝐸 = − 
𝐺𝑀𝑚
2𝑎
 (energia total de um satélite em órbita elíptica) 
Órbitas de mesma E, pois tem mesmo a Órbita circular 
Depende apenas do semieixo maior a, e não da excentricidade da elipse e. 
Esses resultados são muito importante quando se quer colocar um satélite artificial em órbita. 
Suponha que esse satélite seja lançado da Terra. Após alcançar sua altura máxima h, ele recebe 
um impulso final, no ponto A, que lhe dá uma velocidade horizontal v0. 
A energia total do satélite em A é, portanto, 
𝐸 = 
1
2
 𝑚𝑣0
2 − 
𝐺𝑚𝑀
𝑅 + ℎ
 
Se a energia for muito baixa, a órbita elíptica intersectará a Terra e o satélite cairá. Caso contrário, 
permanecerá movendo-se numa órbita fechada ou escapará da Terra, dependendo do valor de v0. 
Einstein e a Gravitação 
 
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Curvatura do Espaço 
 
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Afinal o que é gravitação? 
 
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Referências 
• Halliday, volume 2, cap. 13, 8ª. Ed. 
• Sears and Zemansky; Young e Freedman, volume 2, cap. 12, 12ª. Ed. 
• http://zabot.paginas.ufsc.br/files/2015/07/astro.03.pdf 
• Artigos