APOSTILA_REAÇÃO_ ESTRUTURAS ISOSTATICAS

Prévia do material em texto

REAÇÕES DE APOIOS PARA 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
BV
B
VA
AH A
5tf
2tf
3tf
3tf
6tf
2tf
7tf
5.00m
0.8m0.8m 0.8m0.9m 0.8m0.9m
4
.3
m
1
.4
m
1
.4
m
1
.5
m
 
Curso: Edificações 
Disciplina: Resistência dos Materiais 1 
Profª.: Fabiana Santos Alves 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
1 
 
REAÇÕES DE APOIOS PARA ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Os apoios (ou vínculos) são de fundamental importância nas estruturas 
de um modo geral, uma vez que seu comportamento (das estruturas) 
depende do modo como estão interligados os seus elementos 
componentes. 
As figuras 1, 2 e 3, aparentemente iguais, nos mostram claramente a 
importância dos apoios no comportamento das estruturas . 
VA
B
BV
P
B
AV
A
VB
P
HB
A
HA
A
AV
H
VB
B
B
P
AH
MBA
FIG.1 FIG.2 FIG.3
 
 
A função dos apoios é a de restringir graus de liberdade das estruturas, 
despertando com isto, reações nas direções dos movimentos impedidos. 
O cálculo destas reações é feito a partir das equações de equilíbrio da 
estática. 
As reações de apoios têm ponto de aplicação e direção conhecidos, tais 
que equilibrem o carregamento aplicado à estrutura, porém seus 
sentidos são arbitrados. Se o sinal encontrado na reação for positivo, 
confirma o sentido arbitrado, do contrário, o módulo da reação será o 
encontrado, porém o sentido correto será o inverso do arbitrado, não 
sendo necessário refazer os cálculos. 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
2 
 
CÁLCULOS DAS REAÇÕES PARA CARGAS 
CONCENTRADAS 
a
AV BV
A BHA
P = Psen
P
y
b
P = Pcosx
y
x
yF
xF
M
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) Teremos: 
 
 
 
Quando P está na vertical ( α = 90°) 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
3 
 
CÁLCULOS DAS REAÇÕES PARA UM NÚMERO “n” DE 
CARGAS CONCENTRADAS VERTICAIS: 
b1
AAH
a1
VA1
B
VB1
P1 P2 3P Pn
...
a2 b2
b3a3
an bn
A2V B2V
A3V B3V
AnV BnV
AV BV
 
 
 
 
 
 
 
. . 
. . 
. . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
4 
 
CÁLCULOS DAS REAÇÕES PARA CARGAS DISTRIBUÍDAS: 
 
Para o cálculo das reações dos apoios, no caso de carga distribuída, 
substituem-se estas cargas distribuídas por cargas concentradas 
equivalentes aplicadas no centro de gravidade da área de distribuição 
 
Exemplos: 
a) Carga distribuída com área retangular: 
 
q
A B
BH
l
VA BV
l
AV
A
BV
B
BH
=
P=ql
l/2 l/2
 
Usando as equações da estática: 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
 
 
Usando a fórmula, demonstrada anteriormente para carga 
concentrada, termos: 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
5 
 
 
b) Carga distribuída com área triangular: 
 
l
AV
A
q
VB
B
BH
l
AV
2l/3
=
A
l/3
P=
BV
B
HB
ql
2
 
 
Usando as equações da estática: 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
 
 
Usando a fórmula, demonstrada anteriormente para carga 
concentrada, termos: 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
6 
 
c) Carga distribuída com área trapezoidal: 
 
l
A
VA
A
VB
B
VA VB
B
=
HB
2
BH
1
1
l/2l/2
l
l/32l/3
P =q l1 (q -q )2 1
P =2
l
q
2q
 
Usando as equações da estática: 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
 
 
Usando a fórmula, demonstrada anteriormente para carga 
concentrada, termos: 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
7 
 
CÁLCULOS DAS REAÇÕES PARA CARGA MOMENTO: 
Para o cálculo das reações de apoio, o ponto de aplicação da carga 
momento é qualquer, ou seja, a reação independe de onde a carga momento 
está aplicada. 
 
Exemplos: 
a) Apenas uma carga momento: 
a
AV
HA A
VB
M
B
b
l
.
 
 
Usando as equações da estática: 
 
 
 (1) 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
b) Várias cargas momento: 
M1
b d
l
AV
AH A
VB
.M B=
a
l
AV
AHA
c
BV
.M2 B.M3.
 
 
Quando se tem mais de uma carga momento, calcula-se o momento 
resultante ( . A partir do sentido do giro do momento resultante é que se 
define qual é a reação negativa e a reação positiva. Para a figura acima, 
como o apoio B está sendo “puxado” ele terá reação negativa e o apoio A, 
que esta sendo “empurrado” terá reação positiva, ou seja: 
 
 e 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
8 
 
 
APLICAÇÕES: 
1) 
P=2tfP 
4
22
VA
P 
HA B
y
VB
B
45°
x
 
Usando as equações da estática: 
 
 
 (1) 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
Usando a fórmula, demonstrada anteriormente para carga 
concentrada, termos: 
 
 
OBS.: Quando a carga está aplicada no meio do vão, “a” e “b” são 
iguais a l/2. Temos, portanto uma fórmula mais simplificada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
9 
 
 
 
2) 
1tf 2tf
BV
1m
AV
2m
3tf
A
B
5m
1m 1m
A=0H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
A B
3m 2m 2m 1m
5tf
1m 3m
12m
2m
4tf
1m 2m 1m 1m 1m1m
5tf
1.5m
3tf 3tf
0.5m
1m
BH =0
BVVA
AV
A
3tf
2tf/m
2tf/m
V
B
B
H =0B
3tf/m
1tf/m
 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
10 
 
 
 
4) 
2tfm
4m
AV
4m
3tfm
..
V
. =
B VA
1tfm
.
BV
4tfm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
A B
P =2×1=2 tf
2
P =2×4=8 tf
1
M =(2×1) x 0,5 =1 tfm
4m
4m
VA
AH =0
A
BV
2m2m
2tf/m
B
1m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
11 
 
 
6) 
 
4tf
4tf
1
0
m3
m
A
VA
B
VB
BH
3
m
C D
4
m
5m
1.5m 2m 1.5m
5tf 5tf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
12 
 
 
 
 
7) 
 
2
m
2m
HA
3tf
3m1m
VA
AM
A
1tf
1tf/m
1tf
2
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
13 
 
 
PÓRTICOS 
São estruturas formadas por barras retas ligadas entre si formando uma poligonal 
no plano ou no espaço. 
EXEMPLO:
 
Para os pórticos isostáticos o cálculo das reações de apoio é feito utilizando as 
equações de equilíbrio da estática. 
0 (para pórticos plano) 
; 0 (para pórticos no 
espaço). Exemplo 
1m
AV
A
VB
B
2tf
6
m
2m
E
D F
3
m
3
m
4tf
HA
3m
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) Teremos: 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
14 
 
Exemplo 2: 
HA
BV
2
tf
/m
5tf
7,5m
5
m
3
m
7,5m
VA
A
C
E
D
B
8tf
 
 
Ex.:3 
4
m
1
m
VA
3
tf
/m
VB
9tf
1,90m1,90m
B
5tf
C D
A
B
5
m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) Teremos: 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
15 
 
TRELIÇAS 
São estruturas reticuladas ligadas por barras retas com extremidades rotuladas. 
São submetidas apenas a carregamento nodal (nos nós). Os esforços que surgem 
na barra são axiais (no eixo), ou seja, as barras não sofrem flexão, são submetidas 
a esforços normais de tração ou compressão. 
 
Ex.: 
ESTRUTURA 
 DEFORMÁVEL INDEFORMÁVEL
ESTRUTURA CARGA APLICADA
NO NÓ 
 
Para as treliças isostáticas o cálculo das reações de apoio é feito utilizando as 
equações de equilíbrioda estática. 
 
BH
VBAV
A B
VB
A
AV
BHA
 
 
Vejamos os exemplos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
16 
 
VA
A
BV
B BH
3tf
2tf 2tf
2m 1m 1m 2m
A)
 
 
 
 (1) 
 
 
 
De (1) teremos: 
 
 
VA
2tf
2tf
5tf
VB
HA
2m 2m 2m 2m
2
m
2
m
B )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: 
 IFPE PROF.ª Fabiana S. Alves 
17 
 
 
AV VB
4
m
4
m
4
m
AH
2tf
2tf
4m
C )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De (1) teremos: