Microeconomia - capítulo 5, Exercícios Resolvidos - Incerteza - Pindyck & Rubinfeld

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Pindyck & Rubinfeld, Capítulo 5, Incerteza :: EXERCÍCIOS 
1. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de 
0,1 para o recebimento de $100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de 
$50 e uma probabilidade de 0,7 para o recebimento de $10. 
a. Qual é o valor esperado dessa loteria? 
O valor esperado, VE, da loteria é igual à soma dos retornos 
ponderados por suas probabilidades: 
VE = (0.1)($100) + (0.2)($50) + (0.7)($10) = $27. 
b. Qual é a variância dos resultados dessa loteria? 
A variância, σ2, é a soma dos quadrados dos desvios da média, $27, 
ponderados por suas probabilidades: 
σ2 = (0.1)(100 - 27)2 + (0.2)(50 - 27)2 + (0.7)(10 - 27)2 = $841. 
c. Quanto uma pessoa neutra a riscos pagaria para participar dessa loteria? 
Uma pessoa neutra a riscos pagaria o valor esperado da loteria: 
$27. 
2. Suponha que você tenha investido em uma nova empresa de computadores 
cuja lucratividade dependa de: (1) aprovação ou rejeição, por parte do Congresso 
dos EUA, de um imposto de importação que aumente o preço de venda dos 
computadores japoneses, e (2) crescimento lento ou rápido da economia dos EUA. 
Quais seriam os quatro cenários (mutuamente exclusivos) com os quais você 
deveria se preocupar? 
Os quatro cenários mutuamente exclusivos podem ser 
representados da seguinte forma: 
 O Congresso aprova 
a tarifa 
O Congresso não aprova a 
tarifa 
Taxa de 
crescimento 
baixa 
Cenário 1: 
Baixo crescimento 
com tarifa 
Cenário 2: 
Baixo crescimento sem 
tarifa 
Taxa de 
crescimento 
alta 
Cenário 3: 
Crescimento rápido 
com tarifa 
Cenário 4: 
Crescimento rápido sem 
tarifa 
3. Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal. 
Cada bilhete custa $1, e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na 
tabela abaixo: 
Probabilidade Retorno 
0,50 $0,00 
0,25 $1,00 
0,20 $2,00 
0,05 $7,50 
a. Qual seria o valor esperado do payoff de Richard caso ele adquirisse um 
bilhete de loteria? Qual seria a variância? 
O valor esperado da loteria é igual à soma dos retornos ponderados 
por suas probabilidades: 
VE = (0,5)(0) + (0,25)($1,00) + (0,2)($2,00) + (0,05)($7,50) = $1,025 
A variância é a soma dos quadrados dos desvios da média, $1,025, 
ponderados por suas probabilidades: 
σ2 = (0,5)(0 - 1,025)2 + (0,25)(1 - 1,025)2 + (0,2)(2 - 1,025)2 + (0,05)(7,5 - 1,025)2, 
ou 
σ2 = $2,812. 
b. O apelido de Richard é “Rick sem risco”. Trata-se de uma pessoa 
extremamente avessa a riscos. Ele adquiriria o bilhete? 
Um indivíduo extremamente avesso a riscos provavelmente não 
compraria o bilhete, apesar do ganho esperado ser maior que o 
preço, $1,025 > $1,00. A diferença no retorno esperado não seria 
suficiente para compensar Rick pelo risco de aquisição do bilhete. 
Por exemplo, se sua riqueza fosse $10 e ele comprasse um bilhete 
de $1,00, ele obteria, sob cada um dos possíveis cenários, $9,00, 
$10,00, $11,00, e $16,50, respectivamente. Supondo que sua função 
de utilidade fosse U = W0,5, onde W é sua riqueza, sua utilidade 
esperada seria: 
EU = 0.5( ) 90.5( )+ 0.25( ) 100.5( )+ 0.2( ) 110.5( )+ 0.05( ) 16.50.5( )= 3.157. 
que seria menor que a utilidade obtida sem o bilhete, 3.162: 
(U(10) = 100,5 = 3,162). Ele preferiria uma renda certa igual a $10. 
c. Suponha que tenha sido oferecido a Richard um seguro contra a perda de 
qualquer quantia. Se ele adquirisse 1.000 bilhetes de loteria, qual valor 
ele estaria disposto a pagar para segurar sua aposta? 
Se Richard comprasse 1.000 tickets, seu ganho esperado seria 
$1.025 menos o montante pago de $1.000, ou seja, $25. 
Possivelmente, ele não compraria nenhum seguro, tendo em vista 
que o retorno esperado, $1.025, seria maior que o custo, $1.000; a 
aquisição de um número elevado de bilhetes poderia funcionar 
como um seguro indireto para ele. Entretanto, dado que Richard é 
avesso a riscos, ele possivelmente estaria disposto a comprar o 
seguro. O montante que ele estaria disposto a pagar para evitar o 
risco seria dado pelo prêmio de risco. Veja a figura 5.4 no texto. 
Para calcular o prêmio de risco, é necessário conhecer a função de 
utilidade de Richard. Se a função de utilidade fosse U = W0,5, a 
utilidade esperada associada à aquisição dos 1.000 bilhetes de 
loteria seria: 
EU = 0.5( ) 00.5( )+ 0.25( ) 10000.5( )+ 0.2( ) 20000.5( )+ 0.05( ) 75000.5( )= 21.18. 
que seria menor que a utilidade associada à sua riqueza certa de 
$1000, dada por U=10000,5=31,62. Para calcular o prêmio de risco, 
é necessário, primeiro, calcular o nível de renda que garantiria a 
Richard a utilidade de 21,18, que é $448,59. Ele estaria, portanto, 
disposto a pagar até $1000-$448,59=$551,41 para segurar sua 
aposta. 
d. A longo prazo, levando em consideração o preço do bilhete de loteria e as 
informações da tabela anterior sobre probabilidade/retorno, o que você 
imagina que o governo faria a respeito dessa loteria? 
No longo prazo, a loteria irá à falência! Dado o preço do bilhete e as 
probabilidades envolvidas, a loteria é deficitária. O governo 
deveria aumentar o preço do bilhete ou reduzir a probabilidade dos 
ganhos positivos. 
4. Suponha que um investidor esteja preocupado com uma escolha de 
investimentos envolvendo três alternativas possíveis, cujas respectivas 
probabilidade e retornos são os seguintes: 
Probabilidade Retorno 
0,2 $100 
0,4 50 
0,4 -25 
Qual é o valor esperado do investimento incerto? Qual é sua variância? 
O valor esperado do retorno nesse investimento é 
VE = (0,2)(100) + (0,4)(50) + (0,4)(-25) = $30, 
A variância é 
σ2 = (0,2)(100 - 30)2 + (0,4)(50 - 30)2 + (0,4)(-25 - 30)2 = $2.350. 
5. Você é um corretor de seguros e deve preencher uma apólice para um novo 
cliente cujo nome é Sam. A empresa de Sam, a Sociedade para Alternativas 
Criativas para a Maionese (SACM), está trabalhando no desenvolvimento de um 
substituto para a maionese contendo baixos teores de gordura e colesterol, que 
será fornecido à indústria de condimentos de sanduíche. Esta última pagaria 
altas somas em dólares para o primeiro que inventasse um substituto para a 
maionese. A SACM tem para você o aspecto de uma empresa de alto risco. Você 
já calculou os possíveis retornos de Sam e os apresentou na tabela a seguir. 
 
Probabilidade Retorno 
0,999 -$1.000.000 (Sam vai à falência) 
0,001 $1.000.000.000 (Sam é bem-sucedido e 
vende sua fórmula) 
a. Qual é o retorno esperado do projeto de Sam? Qual é sua variância? 
O retorno esperado, ER, do investimento é 
ER = (0,999)(-1.000.000) + (0,001)(1.000.000.000) = $1.000. 
A variância é 
σ2 = (0,999)(-1.000.000 - 1.000)2 + (0,001)(1.000.000.000 - 1.000)2 , ou 
σ2 = 1.000.998.999.000.000. 
b. Qual seria o maior valor que Sam estaria disposto a pagar pelo seguro? 
Suponha que ele seja neutro a riscos. 
Tendo em vista que Sam é neutro a riscos e o resultado esperado é 
$1.000, Sam não está disposto a contratar o seguro. 
c. Suponha que você tenha descoberto que os japoneses estão na iminência 
de lançar seu próprio substituto para a maionese já no próximo mês. Sam 
não dispõe dessa informação, sendo que acaba de recusar sua oferta final 
de $1.000 para fazer o seguro. Caso Sam venha lhe dizer que a SACM está 
a apenas seis meses da conclusão do projeto, você, conhecedor dos fatos 
relacionados aos japoneses, aumentaria ou reduziria o valor do prêmio da 
apólice em outra eventual proposta que viesse a fazer a ele? Baseando-se 
nas informações de que dispõe, Sam aceitaria sua proposta? 
A entrada dos japoneses no mercado reduz a probabilidade de Sam 
obter um payoff positivo. Por exemplo, supondo que a 
probabilidade do payoff de 1 bilhão de dólares caia para zero, o 
resultado esperado é: 
(1.0)(-$1.000.000) + (0.0)(($1.000.000.000) = -$1.000.000. 
Logo, você deveria aumentar substancialmente o valor do prêmio 
da apólice. Contudo, por não saber da entrada dos japoneses no 
mercado, Sam continuaria a recusar suas propostas de seguro. 
6. Suponha que a função de utilidadede Natasha seja expressa por: u(I) = I0,5, 
na qual I representa sua renda anual em milhares de dólares. 
a. Natasha é amante do risco, neutra a riscos, ou avessa a riscos? Explique. 
Natasha é avessa a riscos. Isso pode ser verificado da seguinte 
forma. Suponha que ela tenha $10.000 e lhe seja oferecida uma 
aposta na qual ela ganha $1.000 com probabilidade 0,5 e perde 
$1.000 com probabilidade 0,5. A utilidade associada a $10.000 é 
3.162, (u(I) = 100,5 = 3.162). A utilidade esperada da aposta é: 
EU = (0,5)(90.5 ) + (0,5)(110.5 ) = 3.158 < 3.162. 
logo, ela não aceitaria a aposta. Se ela fosse neutra a riscos, ela 
seria indiferente entre os $10.000 e a aposta; e se fosse amante do 
risco, ela preferiria a aposta. 
Sua aversão a riscos também pode ser verificada pela representação 
gráfica da função de utilidade (veja a Figura 5.6), que mostra que a 
função apresenta utilidade marginal decrescente. 
(Alternativamente, observe que a segunda derivada da função é 
negativa, o que implica utilidade marginal decrescente.) 
U tilidade
Renda (em $1000)
U ( I )
1
2
3
4
5
5 10 15 20 
Figura 5.6 
b. Suponha que Natasha atualmente esteja recebendo uma renda de $10.000 
(I = 10), podendo com certeza obter a mesma renda no ano que vem. Ela 
recebe, então, uma oferta para um novo emprego com rendimentos de 
$16.000, com probabilidade de 0,5 e rendimentos de $5.000, com 
probabilidade de também 0,5. Ela deveria assumir o novo emprego? 
A utilidade de seu salário atual é 100,5, ou seja, 3.162. A utilidade 
esperada do novo emprego é 
EU = (0,5)(50,5 ) + (0,5)(160,5 ) = 3.118, 
que é menor que 3.162. Logo, ela recusaria o novo emprego. 
c. No item (b), Natasha estaria disposta a adquirir um seguro para poder se 
proteger contra a renda variável associada ao novo emprego? Em caso 
afirmativo, qual o valor que estaria disposta a pagar por tal seguro? 
(Sugestão: Qual é o prêmio de risco?) 
Supondo que Natasha aceitasse o novo emprego, ela estaria 
disposta a pagar um prêmio de risco igual à diferença entre $10.000 
e o nível de renda certa associado à utilidade da aposta, de modo a 
garantir um nível de utilidade igual a 3.162. Sabemos que a 
utilidade da aposta é igual a 3.118. Inserindo esse valor na sua 
função de utilidade, obtemos 3.118 = I0.5, e resolvendo para I 
encontramos a renda associada à aposta de $9.722. Logo, Natasha 
estaria disposta a pagar pelo seguro o valor dado pelo prêmio de 
risco: $10.000 - $9.722 = $278. 
7. Desenhe uma função de utilidade sobre a renda u(I) capaz de satisfazer a 
condição de que um determinado consumidor seja apreciador de risco quando 
sua renda é baixa, porém se torne avesso a riscos quando sua renda é alta. Você 
poderia explicar a razão pela qual tal função de utilidade seria capaz de 
descrever razoavelmente bem os gostos de uma pessoa? 
Considere um indivíduo que necessita de determinado nível de 
renda, I*, para sobreviver. Um aumento na renda além de I* 
apresentará utilidade marginal decrescente. Abaixo de I*, o 
indivíduo será amante do risco e aceitará apostas muito arriscadas 
com o objetivo de obter aumentos de renda significativos. Acima de 
I*, o indivíduo comprará seguro contra possíveis perdas. 
U tilidade
Renda
U ( I )
I*
 
Figura 5.7 
8. Um município está estudando o valor mais adequado para o gasto com 
parquímetros. As seguintes informações encontram-se à disposição do 
administrador municipal: 
 i. A contratação de um funcionário para fazer a medição custa 
$10.000 por ano. 
 ii. Havendo uma pessoa contratada para o monitoramento, a 
probabilidade de um motorista ser multado cada vez que estacione 
ilegalmente é igual a 0,25. 
 iii. Havendo duas pessoas, a probabilidade é de 0,5; se forem três, a 
probabilidade passa para 0,75; e se forem quatro pessoas, a 
probabilidade é igual a 1. 
 iv. A multa atualmente cobrada por estacionamento além do tempo 
permitido é de $20, havendo duas pessoas contratadas para efetuar 
o monitoramento dos medidores. 
a. Suponha que todos os motoristas sejam neutros a riscos. Qual a multa 
que você estabeleceria para o estacionamento ilegal e quantas pessoas 
contrataria para o monitoramento (1, 2, 3, ou 4) a fim de, com o mínimo 
custo, poder atingir os atuais níveis de desencorajamento ao 
estacionamento ilegal? 
Se os motoristas são neutros a riscos, seu comportamento depende 
apenas da multa esperada. Com duas pessoas monitorando os 
estacionamentos, a probabilidade de detecção do estacionamento 
ilegal é 0,5 e a multa é $20. Logo, a multa esperada é $10 = 
(0,5)($20). A mesma multa esperada pode ser obtida através da 
contratação de apenas um funcionário, aumentando-se a multa 
para $40, da contratação de três funcionários, diminuindo-se a 
multa para $13,33, ou da contratação de quatro funcionários, 
diminuindo -se a multa para $10. 
Supondo que o único custo a ser minimizado seja o custo de 
contratação dos funcionários responsáveis pelo monitoramento dos 
estacionamentos, isto é, $10.000 por ano, você deveria minimizar o 
número de funcionários, contratando apenas um funcionário e 
aumentando a multa para $40. 
b. Agora suponha que os motoristas sejam substancialmente avessos a 
riscos. Como você modificaria sua resposta para a questão (a)? 
Se os motoristas são avessos a riscos, a utilidade de um valor obtido 
com certeza é maior do que a utilidade de um valor esperado igual 
ao valor certo, o que significa que eles se esforçarão mais do que 
motoristas neutros a riscos para evitar uma multa. Logo, uma 
multa inferior a $40 seria suficiente para manter o atual nível de 
desincentivo ao estacionamento ilegal. 
c. (Para discussão) O que ocorreria se os motoristas pudessem fazer seguros 
contra o risco de multa por estacionamento ilegal? Seria de interesse 
público a autorização para que houvesse tal modalidade de seguro? 
Os motoristas podem proceder de várias formas com o objetivo de se 
proteger do risco das multas por estacionamento ilegal; por 
exemplo, eles podem estacionar longe de seu destino, em local sem 
parquímetro, ou podem utilizar o transporte público. Uma 
companhia de seguro privada poderia oferecer uma apólice de 
seguro que protegesse os motoristas contra o risco das multas por 
estacionamento ilegal, cujo prêmio dependeria da probabilidade de 
cada motorista ser multado e do custo de oportunidade desse 
serviço. (Observação: um seguro total geraria problemas de risco 
moral, conforme será discutido no Capítulo 17.) 
A política pública deve procurar maximizar a diferença entre os 
benefícios e os custos para todas as partes. Dados os custos de 
transação envolvidos, a oferta de seguro privado pode não ser a 
solução ótima. Uma solução alternativa seria a oferta de outro tipo 
de seguro, como a venda de adesivos para estacionamento; os 
automóveis estacionados ilegalmente deveriam ser multados. 
9. Um investidor moderadamente avesso a riscos investe 50% de sua carteira 
em ações e os outros 50% em títulos do Tesouro, considerados ativos sem risco. 
Mostre de que forma cada um dos eventos abaixo afetaria a linha de orçamento 
do investidor e a proporção de sua carteira investida em ações: 
 a. O desvio padrão do retorno das ações aumenta, mas seu retorno 
esperado permanece inalterado. 
Conforme a seção 5.4, a equação da linha do orçamento é 
Rp =
Rm − Rf
σm
 
 
 
 
 
 σ p + Rf , 
onde Rp é o retorno esperado da carteira, Rm é o retorno esperado do 
ativo arriscado, Rf é o retorno esperado do ativo sem risco, σm é o 
desvio padrão do retorno do ativo arriscado, e σp é o desvio padrão 
do retorno da carteira. A linha do orçamento mostra a relação 
positiva entre o retorno da carteira, Rp, e o desvio padrão do 
retorno da carteira, σp. 
No caso em questão, o aumento do desvio padrão do retorno das 
ações, σm, torna a linha do orçamento menos inclinada, de modo 
que, para qualquer nível de retorno da carteira, o desvio padrão 
associado ao retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira 
investida em ações devediminuir. 
 b. O retorno esperado das ações aumenta, mas seu desvio padrão 
permanece inalterado. 
O aumento do retorno esperado das ações, Rm, torna a linha do 
orçamento mais inclinada, de modo que, para qualquer nível de 
desvio padrão do retorno da carteira, σp, o retorno aumenta. Logo, 
a proporção da carteira investida em ações deve aumentar. 
 c. O retorno dos títulos do Tesouro aumenta. 
Nesse caso, ocorre um aumento de Rf, tal que a linha do orçamento se torna 
menos inclinada e se desloca para cima. Em conseqüência, a proporção da 
carteira investida em ações pode aumentar ou diminuir. Por um lado, os títulos 
do Tesouro apresentam retorno mais elevado e são, portanto, mais atrativos. Por 
outro lado, dado o maior retorno de cada título, o investidor pode obter, a partir 
de uma menor quantidade de títulos, o mesmo fluxo total de pagamentos que 
recebia antes. Por essa razão, o investidor pode estar disposto a direcionar mais 
recursos para o ativo arriscado. O resultado final depende das preferências 
específicas do investidor, bem como das magnitudes dos retornos dos dois ativos. 
Uma situação análoga ocorre na determinação do nível de poupança quando a 
taxa de juros aumenta: por um lado, a poupança poderia aumentar devido ao 
maior retorno; por outro lado, ela poderia diminuir pelo fato de que, a partir de 
um menor montante de poupança, o consumidor poderia auferir o mesmo nível 
de renda no futuro.