apol 2 cálculo numérico 2

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Questão 1/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método iterativos para sistemas de equações lineares: 
 
"Em álgebra linear, a decomposição LU (em que LU vem do inglês lower e upper) é uma 
forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular 
inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar 
a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação. Esta decomposição se usa 
em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou 
encontrar as matrizes inversas." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposi%C3%A7%C3%A3o_LU}. Acesso em 19 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numéricocálculo numéricocálculo numérico sobre sistemas de equações lineares e 
o método de fatoração LU,assinale a alternativa com as matrizes L e U do sistema de 
equações a seguir, obtidas pelo método de fatoração LU. 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+3y+5z=102x+4y+7z=12x+y=−2{x+3y+5z=102x+4y+7z=12x+y=−2 
 
Nota: 10.0 
 
A L=⎡⎢⎣100310111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−3−200−2⎤⎥⎦L=[100310111] e U=[1350−3−200−2] 
 
 
B L=⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−2−300−2⎤⎥⎦L=[100210111] e U=[1350−2−300−2] 
 
Você acertou! 
Comentário:Comentário: Primeiro escalonamos a matriz 
A=⎡⎢⎣135247110⎤⎥⎦.A=[135247110]. 
 
Efetuamos as seguintes operações: −2L1+L2→L2−2L1+L2→L2 e −L1+L3→L3−L1+L3→L3. 
 
⎡⎢⎣1350−2−30−2−12⎤⎥⎦[1350−2−30−2−12] 
 
Agora, efeutamos −L2+L3→L3−L2+L3→L3, 
 
⎡⎢⎣1350−2−300−2⎤⎥⎦[1350−2−300−2] 
, temos as matrizes L e U: 
 
L=⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−2−300−2⎤⎥⎦L=[100210111] e U=[1350−2−300−2] 
, agora resolvemos o sistema Ly=b,Ly=b, 
 
⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦⎡⎢⎣y1y2y3⎤⎥⎦=⎡⎢⎣1012−2⎤⎥⎦[100210111][y1y2y3]=[1012−2] 
, temos y1=10,y2=−8,y3=−4y1=10,y2=−8,y3=−4, agora resolvemos o sistema Ux=y:Ux=y: 
 
⎡⎢⎣1350−2−300−2⎤⎥⎦⎡⎢⎣xyz⎤⎥⎦=⎡⎢⎣10−8−4⎤⎥⎦[1350−2−300−2][xyz]=[10−8−4] 
, temos que x=−3,y=1,z=2x=−3,y=1,z=2. (livro-base p. 88-90). 
 
C L=⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−5−400−3⎤⎥⎦L=[100210111] e U=[1350−5−400−3] 
 
 
D L=⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−1−200−5⎤⎥⎦L=[100210111] e U=[1350−1−200−5] 
 
 
E L=⎡⎢⎣100210111⎤⎥⎦ e U=⎡⎢⎣1350−4−600−8⎤⎥⎦L=[100210111] e U=[1350−4−600−8] 
 
 
Questão 2/10 - Cálculo Numérico 
Considerando o conteúdo do roteiro de estudo, Aula 5 - Videoaula 4, Tema 3 
Polinômio Interpolador por Lagrange e por Newton, assinale a alternativa que 
apresenta o valor aproximado do consumo de combustível, de um veículo, quando a 
sua velocidade é de 115 Km/h, pelo polinômio interpolador de Newton, utilizando todos 
o valores da tabela abaixo. 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 9,12 Km/l 
 
B 7,12 Km/l 
 
C 8,85 Km/l 
 
D 8,264 Km/l 
Você acertou! 
Cálculo das diferenças divididas; 
 
 
Polinômio interpolador 
 
 
Roteiro de estudo - aula 5 - Videoaula 4, Tema 3 -0:47 s. 
 
E 8,51 Km/l 
 
Questão 3/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho a seguir sobre métodos de Taylor para equações diferenciais: 
 
"Consideramos um primeiro esquema numérico, muito simples e que consiste em 
efetuar uma truncatura da expansão da série de Taylor e substituir a derivada pela 
expressão explícita dada na equação diferencial ordinária. As derivadas seguintes são 
obtidas efetuando a derivação sucessiva do segundo membro. [...][...] da expressão 
truncada y(tm+1)=y(tm)+f(tm,y(tn))hy(tm+1)=y(tm)+f(tm,y(tn))h, 
definimos ym=y(tm)ym=y(tm), e partindo do valor y0=y(t0)y0=y(t0), obtemos o método 
de Euler: 
 
 ym+1=ym+f(tm,y(tn))h.ym+1=ym+f(tm,y(tn))h. " 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~calves/cursos/Eqdiford.htm}. Acesso em 06 jul. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre métodos numéricos de solução de equações diferenciais e o método 
de Euler, resolva o problema a seguir, apresentando todo o desenvolvimento: 
Dado o PVI 
 
dydx=x−y+2,y(−1)=edydx=x−y+2,y(−1)=e 
 
Assinale a alternativa que dá o valor de y(1)y(1), usando o método de Euler, com passo 
h=0,5h=0,5. 
Nota: 10.0 
 
A y(1)=3,2541588.y(1)=3,2541588. 
 
 
B y(1)=2,55369.y(1)=2,55369. 
 
 
C y(1)=2,687999y(1)=2,687999 
 
D y(1)=2,169892614.y(1)=2,169892614. 
 
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temos que x0=−1x0=−1 e y0=ey0=e 
 
Passo jxjyjj=0−1ej=1−0,5y=e+0,5.(−1−e+2)=1,859141j=10y=1,859140914+0,5.(−0,5−1,859140914+2)=1,679570457j=10,5y=1,679570457+0,5.(0−1,679570457+2)=1,839785229j=11y=1,839785229+0,5.(0,5−1,839785229+2)=2,169892614Passo jxjyjj=0−1ej=1−0,5y=e+0,5.(−1−e+2)=1,859141j=10y=1,85914
0914+0,5.(−0,5−1,859140914+2)=1,679570457j=10,5y=1,679570457+0,5.(0−1,679570457+2)=1,839785229j=11y=1,839785229+0,5.(0,5−1,839785229+2)=2,169892614 
 
Solução: y(1)=2,169892614.y(1)=2,169892614. (livro-base p. 128-131) 
 
E y(1)=2,25699.y(1)=2,25699. 
 
 
Questão 4/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho a seguir sobre ajuste de curvas: 
 
"O ajuste de curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados tem por objetivo ajustar 
g(x)=f(x)g(x)=f(x), de forma que os desvios quadráticos sejam mínimos, ou seja, os 
coeficientes aiai que fazem com que g(x)g(x) se aproxime ao máximo de f(x)f(x), são 
os que minimizam a função: 
minimizar∑ni=1(f(xi)−g(xi))2,minimizar∑ni=1(e2i)→minimzar(erros)2minimizar∑i=1n(f(
xi)−g(xi))2,minimizar∑i=1n(ei2)→minimzar(erros)2 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://wwwp.fc.unesp.br/~adriana/Numerico/Ajuste.pdf}. Acesso em 13 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre ajuste de curvas e a tabela a seguir: 
x−2−10123y−0,010,510,820,880,810,49x−2−10123y−0,010,510,820,880,810,49 
 
 
Assinale a alternativa que dá a função polinomial do 2° grau, ajustada pelo método dos 
mínimos quadrados, para os dados da tabela. 
Nota: 10.0 
 
A y=0,7722012144+0,21221x−0,11111247x2y=0,7722012144+0,21221x−0,11111247x2 
 
 
B y=0,806285714+0,201x−0,102142857x2y=0,806285714+0,201x−0,102142857x2 
 
Você acertou! 
Comentário:Comentário: O ajuste é para uma função do 1º grau: y=a0+a1x+a2x2y=a0+a1x+a2x2 e o sistema de equações para encontrar os coeficientes a0,a1 e a2a0,a1 e a2 é: 
 
⎧⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪⎩Σna0+Σxia1+Σx2ia2=ΣyiΣxia0+Σx2ia1+Σx3ia2=ΣxiyiΣx2ia0+Σx3ia1+Σx4ia2=Σx2iyi{Σna0+Σxia1+Σxi2a2=ΣyiΣxia0+Σxi2a1+Σxi3a2=ΣxiyiΣxi2a0+Σxi3a1+Σxi4a2=Σxi2yi 
 
Calculamos os somatórios: 
 
m=4Σxi=−2−1+0+1+2+3=3Σx2i=4+1+0+1+4+9=19ΣX3i=−8−1+0+1+16+81=27Σx4i=16+1+0+1+16+81=115Σyi=−0,01+0,51+0,82+0,88+0,81+0,49=3,5Σxiyi=0,02−051+0+0,88+1,62+147=3,48Σx2iyi=−0,04+0,51+0+0,88+3,24+4,41=9m=4Σxi=−2−1+0+1+2+3=3Σxi2=4+1+0+1+4+9=19ΣXi3=−8−1+0+1+16+81=
27Σxi4=16+1+0+1+16+81=115Σyi=−0,01+0,51+0,82+0,88+0,81+0,49=3,5Σxiyi=0,02−051+0+0,88+1,62+147=3,48Σxi2yi=−0,04+0,51+0+0,88+3,24+4,41=9 
Resolvemos os sistema: 
 
⎧⎪⎨⎪⎩6a0+3a1+19a2=3,53a0+19a1+27a2=3,4819a0+27a1+115a2=9{6a0+3a1+19a2=3,53a0+19a1+27a2=3,4819a0+27a1+115a2=9 
Temos a0=0,806285714, a1=0,201 e a2=−0,102142857a0=0,806285714, a1=0,201 e a2=−0,102142857, então y=0,806285714+0,201x−0,102142857x2y=0,806285714+0,201x−0,102142857x2 (livro-base p. 114-120) 
 
C y=0,9825647+0,32011x−0,111447x2y=0,9825647+0,32011x−0,111447x2 
 
D y=1,00628+0,239991x−0,15896656x2y=1,00628+0,239991x−0,15896656x2 
 
E y=0,9065648874+0,2221x−0,19999x2y=0,9065648874+0,2221x−0,19999x2 
 
Questão 5/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método das secantes: 
 
"É muito semelhante ao Método de Newton, 
mas substitui o cálculo das derivadas pelo cálculo de uma razão incremental. Geometri
camente, corresponde a substituir o papel da tangente, no método de 
Newton, por uma secante (de onde vem o nome). 
É claro que isto significa que vamos precisar sempre de dois pontos para a determinar, 
o que implica que tenhamos que considerar duas iteradas iniciais, que designamos por
 x−1 e x0x−1 e x0". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~calves/courses/eqn/capii213.html.
Acesso em 03 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre o método das secantes e a função, assinale a alternativa cujo valor é 
o 
zero da função com valor inicial x0=0,x1=1x0=0,x1=1, pelo método das secantes,com 
critério de parada |xn−xn+1|xn+1|xn−xn+1|xn+1 e precisão ϵ=0,1ϵ=0,1. 
 
Complete a tabela a seguir (utilize 
as primeiras linhas que forem necessárias, até atingir a precisão desejada). Use 
a tabela: 
 
nxn−1xn+1f(xn−1))f(xn)xn+1|xn−xn+1|xn+1012345nxn−1xn+1f(xn−1))f(xn)xn+1|xn−xn+1|xn+
1012345 
Nota: 10.0 
 
A 0,841245540,84124554 
 
B 0,870353470,87035347 
Você acertou! 
Comentário: Construindo a tabela, pelo método das secantes, temos: use a tabela: 
 
nxn−1xn+1f(xn−1))f(xn)xn+1|xn−xn+1|xn+10011−0,4596976940,6850733570,459697694110,685073357−0,4596976940,4528502340,8413551260,18575006420,6850733570,8413551260,4528502340,0708759680,8703534710,033317895345nxn−1xn+1f(xn−1))f(xn)xn+1|xn−xn+1|xn+10011−0,4596976940,6850733570,4
59697694110,685073357−0,4596976940,4528502340,8413551260,18575006420,6850733570,8413551260,4528502340,0708759680,8703534710,033317895345 
 
A raiz é x=0,870353 e o erro absoluto é igual 0,033318. 
(Livro-base p. 46-48) 
 
C 0,804211130,80421113 
 
D 0,910045660,91004566 
 
E 0,9245785560,924578556 
 
Questão 6/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho a seguir sobre ajuste de curvas: 
 
"Em geral, usar interpolação linear quando: 
* Deseja-se extrapolar ou fazer previsões em regiões fora do intervalo considerado; 
* Os dados tabelados são resultados de experimentos, onde erros na obtenção destes 
resultados podem influenciar a sua qualidade; 
O objetivo é obter uma função que seja uma 'boa aproximação' e que permita 
extrapolações com alguma margem de segurança." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: \url{http://www.inf.ufpr.br/kunzle/disciplinas/ci164/2017-2/slides/7c-regress%C3%A3o.pdf}. Acesso em 13 
jun. 2018. 
 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre ajuste de curvas e a tabela a seguir: 
 
x−2−1,5012,23,1y−30,5−20,2−3,38,916,821,4x−2−1,5012,23,1y−30,5−20,2−3,38,9
16,821,4 
 
Assinale a alternativa que da a função polinomial do 2° grau, ajustada pelo método dos 
mínimos quadrados, para os dados da tabela. Apresente todos os cálculos necessários. 
Nota: 10.0 
 
A y=−2,2222+11,9856478x−1,66666x2y=−2,2222+11,9856478x−1,66666x2 
 
B y=−2,999+11,5520120x−1,2333x2y=−2,999+11,5520120x−1,2333x2 
 
C y=−2,01765+11,33155x−1,222231x2y=−2,01765+11,33155x−1,222231x2 
Você acertou! 
Comentário:Comentário: O ajuste é para uma função do 2º grau: y=a0+a1x+a2x2y=a0+a1x+a2x2 e o sistema de equações para encontrar os coeficientes a0 e a1a0 e a1 é: 
 
⎧⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪⎩Σna0+Σxia1+Σx2ia2=ΣyiΣxia0+Σx2ia1+Σx3ia2=ΣxiyiΣx2ia0+Σx3ia1+Σx4ia2=Σx2iyi{Σna0+Σxia1+Σxi2a2=ΣyiΣxia0+Σxi2a1+Σxi3a2=ΣxiyiΣxi2a0+Σxi3a1+Σxi4a2=Σxi2yi 
 
Calculamos os somatórios: 
 
m=6Σxi=−2−1,5+0+1+2,2+3,1=2,8Σx2i=(−2)2+(−15)2+0+1+2,22+3,12=21,7ΣX3i=−8−3,375+0+1+10,648+29,791=30,064Σx4i=16+5,0625+0+1+23,4256+92,3521=137,8402Σyi=−30,5−20,2−3,3+8,9+16,8+21,4=−6,9Σxiyi=203,5Σx2iyi=128,416m=6Σxi=−2−1,5+0+1+2,2+3,1=2,8Σxi2=(−2)2+(−15)2+0+1+2,22+3,1
2=21,7ΣXi3=−8−3,375+0+1+10,648+29,791=30,064Σxi4=16+5,0625+0+1+23,4256+92,3521=137,8402Σyi=−30,5−20,2−3,3+8,9+16,8+21,4=−6,9Σxiyi=203,5Σxi2yi=128,416 
Resolvemos os sistema: 
 
⎧⎪⎨⎪⎩6a0+2,8a1+21,7a2=−6,92,8a0+21,7a1+30,064a2=203,521,7a0+30,064a1+137,8402a2=128,416{6a0+2,8a1+21,7a2=−6,92,8a0+21,7a1+30,064a2=203,521,7a0+30,064a1+137,8402a2=128,416 
 
Temos a0=−2,01765 a1=11,33155 e a2=−1,222231a0=−2,01765 a1=11,33155 e a2=−1,222231, então y=−2,01765+11,33155x−1,222231x2y=−2,01765+11,33155x−1,222231x2 
(livro-base p. 114-120) 
 
D y=−2,22236+12,3656x−1,4444x2y=−2,22236+12,3656x−1,4444x2 
 
E y=−2,225478+11,7778x−1,3333x2y=−2,225478+11,7778x−1,3333x2 
 
Questão 7/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método sistemas de equações lineares: 
"Sistema pode ser representado pela equação matricial Ax=bAx=b. [...] Resolver o 
sistema consiste em resolver a equação matricial Ax=bAx=b em ordem ao vector 
x. Vamos resolver apenas sistemas em que o número de equações é igual ao número 
de incógnitas (m = n), nesse caso a matriz A é quadrada." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: {http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/1011/M1/cap3_aula.pdf}. Acesso em 05 jun. 2018. 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre sistemas de equações lineares e o método de eliminação de Gauss, 
assinale a alternativa que é a solução do sistema de equações abaixo, pelo método de 
eliminação de Gauss, 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+8y−z=166x−y+z=7x+y+5z=18{x+8y−z=166x−y+z=7x+y+5z=18 
 
Executando as seguintes operações: 1ª pivoteamento: −6L1+L2→L2−6L1+L2→L2 e 
−L1+L3→L3−L1+L3→L3, 2ª pivoteamento: 
L2⟷L3L2⟷L3 e −7L2+L3→L3−7L2+L3→L3. 
Nota: 10.0 
 
A X=(x,y,z)=(1,010122;2,525411141;3,12454477)X=(x,y,z)=(1,010122;2,525411141;3,12454477) 
 
B X=(x,y,z)=(1,00008;2,5242111;2,8952214)X=(x,y,z)=(1,00008;2,5242111;2,8952214) 
 
C X=(x,y,z)=(0,90002144;2,321454;3,122345)X=(x,y,z)=(0,90002144;2,321454;3,122345) 
 
D X=(x,y,z)=(1,04897;2,236734;2,942857)X=(x,y,z)=(1,04897;2,236734;2,942857) 
Você acertou! 
Comentário: Executando as seguintes operações: 1ª pivoteamento - −6L1+L2→L2−6L1+L2→L2 e −L1+L3→L3−L1+L3→L3, 2ª 
pivoteamento - L2⟷L3L2⟷L3 e −7L2+L3→L3−7L2+L3→L3. 
no primeiro pivoteamento o resultado é 
⎧⎪⎨⎪⎩x+8y−z=16−49y+7z=−89−7y+6z=2{x+8y−z=16−49y+7z=−89−7y+6z=2 
 
no segundo pivoteamento o resultado é 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+8y−z=16−7y+6z=2−49y+7z=−89{x+8y−z=16−7y+6z=2−49y+7z=−89 
 
 e 
⎧⎪⎨⎪⎩x+8y−z=16−7y+6z=2−35z=−103{x+8y−z=16−7y+6z=2−35z=−103 
 
a solução é X=(1,04897;2,236734;2,942857)=(257245,548245,10335)X=(1,04897;2,236734;2,942857)=(257245,548245,10335), 
(livro-base p. 80-84). 
 
E X=(x,y,z)=(1,578147;2,3352412;2,8214577)X=(x,y,z)=(1,578147;2,3352412;2,8214577) 
 
Questão 8/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método iterativos para sistemas de equações lineares: 
 
"Técnicas iterativas são raramente usadas para resolver sistema lineares de 
pequena dimensão, desde que o tempo requerido para uma exatidão suficiente excede 
ao tempo requerido pôr técnicas diretas como o método de eliminação de Gauss. Para 
grandes sistemas com alta porcentagem de zero entrados, no entanto, estas técnicas 
são eficientes em termos de armazenamento e tempo de computação. Sistemas deste 
tipos frequentemente surgem em análise de circuito e soluções numéricas de problemas 
de fronteiras e equações diferencias parciais." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: http://www.rc.unesp.br/igce/demac/balthazar/analise/cap3.pdf. Acesso em 06 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre sistemas de equações lineares e o método de Gauss-Seidel, 
responda: se o sistema satisfaz o critério de linhas, assinale a alternativa que apresenta 
a solução do sistema de equações a seguir, com atribuição inicial 
x(0)=⎡⎢⎣0,20,320,111429⎤⎥⎦x(0)=[0,20,320,111429] 
 
e com precisão ϵ<0,2ϵ<0,2, pelo método de Gauss-Seidel, 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+0,5y+0,1z=0,20,3x+2y+0,2z=0,7−0,5x+y+7z=1{x+0,5y+0,1z=0,20,3x+2y
+0,2z=0,7−0,5x+y+7z=1 
Nota: 0.0 
 
A x=0,0299990,y=0,22569688 e z=0,211133,x=0,0299990,y=0,22569688 e z=0,211133, 
 
B x=0,023320,y=0,52255159 e z=0,33119,x=0,023320,y=0,52255159 e z=0,33119, 
 
C x=0,071220,y=0,4222559 e z=0,2556119,x=0,071220,y=0,4222559 e z=0,2556119, 
 
D x=0,01245557,y=0,300121 e z=0,08522455.x=0,01245557,y=0,300121 e z=0,08522455. 
 
E x=0,028857,y=0,334529 e z=0,111429.x=0,028857,y=0,334529 e z=0,111429. 
Comentário: O sistema satisfaz o critério de linhas: linha 1: 1>0,5+0,11>0,5+0,1, segunda linha: 2>0,3+0,22>0,3+0,2 e terceira linha: 7>0,5+17>0,5+1. Resolução: isolamos as variáveis da diagonal principal. 
 
⎧⎪
⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪⎩x=−0,5y−0,1z+0,2y=0,7−0,3x−0,2z2z=1+0,5x−y7{x=−0,5y−0,1z+0,2y=0,7−0,3x−0,2z2z=1+0,5x−y7 
 
Calculo da iteração x(1)x(1): 
 
⎧⎪ 
⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪⎩x=−0,5.0,32−0,1.0,111429+0,2=0,028857y=0,7−0,3.0,0,028857−0,2.0,1114292=0,334529z=1+0,5.0,028857−0,,,45297=0,0097129{x=−0,5.0,32−0,1.0,111429+0,2=0,028857y=0,7−0,3.0,0,028857−0,2.0,1114292=0,334529z=1+0,5.0,028857−0,,,45297=0,0097129 
 
Critério de parada: 
x:|0,2−0,028857|=0,171143<ϵx:|0,2−0,028857|=0,171143<ϵ 
y:|0,32−0,334529|=0,014529<ϵy:|0,32−0,334529|=0,014529<ϵ 
z:|0,111429−0,097129|=0,0143<ϵz:|0,111429−0,097129|=0,0143<ϵ 
 
a solução é x=0,028857,y=0,334529 e z=0,111429x=0,028857,y=0,334529 e z=0,111429, (livro-base p. 78-79). 
 
Questão 9/10 - Cálculo Numérico 
Leia o enunciado: 
 
Considerando os conteúdos do livro-base Cálculo Numérico sobre interpolação na 
forma de Newton, assinale a alternativa que dá o polinômio de grau menor ou igual a 2 
que interpola os valores apresentados na tabela, pelo método de interpolação 
polinomial, isto é, utilize apenas a função polinomial f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. 
 
 
xx0=0,1x1=0,2x2=0,3x3=0,4x4=0,5f(x)0,1250,0640,0270,0080,001xx0=0,1x1=0,2x2=
0,3x3=0,4x4=0,5f(x)0,1250,0640,0270,0080,001 
Nota: 10.0 
 
A f(x)=0,65x2−0,69x+0,56f(x)=0,65x2−0,69x+0,56 
 
B f(x)=0,7x2−0,61x+0,16f(x)=0,7x2−0,61x+0,16 
 
C f(x)=0,59x2−0,6x+0,255f(x)=0,59x2−0,6x+0,255 
 
D f(x)=0,77x2−0,52x+0,156f(x)=0,77x2−0,52x+0,156 
 
E f(x)=0,6x2−0,61x+0,156f(x)=0,6x2−0,61x+0,156 
Você acertou! 
Utilizando o operador de diferenças divididas, construímos a tabela das diferenças divididas 
 
Ordem01234x0=0,10,125−0,61x1=0,20,0641,2−0,37−1x2=0,30,0270,90−0,19−1x3=0,40,0080,6−0,07x4=0,50,001Ordem01234x0=0,10,125−0,61x1=0,20,0641,2−0,37−1x2=0,30,0270,90−0,19−1x3=0,40,0080,6−0,07x4=0,50,001 
 
Agora utilizamos a fórmula de Newton para diferenças divididas, para um intervalo com três pontos que contenham 0.5: P(x)=0,27+(x−0,3).(−0,19)+(x−0,3)(x−0,4).0,6.P(x)=0,27+(x−0,3).(−0,19)+(x−0,3)(x−0,4).0,6. A aproximação 
para f(0,5) é f(0,5)=0,6x2−0,61x+0,156=0,001f(0,5) é f(0,5)=0,6x2−0,61x+0,156=0,001, (livro-base p. 108-110) 
 
Questão 10/10 - Cálculo Numérico 
Leia o trecho sobre o método iterativos para sistemas de equações lineares: 
 
"O método de Jacobi é um algoritmo para resolver sistemas de equações lineares. Trata-
se de uma versão simplificada do algoritmo de valores próprios de Jacobi. O método 
tem o nome do matemático Alemão Carl Gustav Jakob Jacobi." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Jacobi. Acesso em 06 jun. 2018. 
 
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo 
Numérico sobre sistemas de equações lineares e o método de Gauss-jacobi, responda: 
Se o sistema satisfaz o critério de linhas, assinale a alternativa que é a solução do 
sistema de equações a seguir, com atribuição inicial 
x(0)=⎡⎢⎣0,20,350,142857⎤⎥⎦x(0)=[0,20,350,142857] e com precisão ϵ<0,2ϵ<0,2, pelo 
método de Gauss-Jacobi, 
 
⎧⎪⎨⎪⎩x+0,5y+0,1z=0,20,3x+2y+0,2z=0,7−0,5x+y+7z=1{x+0,5y+0,1z=0,20,3x+2y
+0,2z=0,7−0,5x+y+7z=1 
 
Nota: 10.0 
 
A x=0,0170,y=0,305714 e z=0,107143.x=0,0170,y=0,305714 e z=0,107143. 
Você acertou! 
Comentário: O sistema satisfaz o critério de linhas: linha 1: 1>0,5+0,11>0,5+0,1, segunda linha: 2>0,3+0,22>0,3+0,2 e terceira linha: 7>0,5+17>0,5+1. Resolução: isolamos as variáveis da diagonal principal. 
 
⎧⎪ 
⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪⎩x=−0,5y−0,1z+0,2y=0,7−0,3x−0,2z2z=1+0,5x−y7{x=−0,5y−0,1z+0,2y=0,7−0,3x−0,2z2z=1+0,5x−y7 
 
Calculo da iteração x(1)x(1): 
 
⎧⎪ 
⎪ 
⎪⎨⎪ 
⎪ 
⎪⎩x=−0,5.0,35−0,1.0,142857+0,2=0,0170y=0,7−0,3.0,2−0,2.0,1428572=0,305714z=1+0,5.0,2−0,357=0,107143{x=−0,5.0,35−0,1.0,142857+0,2=0,0170y=0,7−0,3.0,2−0,2.0,1428572=0,305714z=1+0,5.0,2−0,357=0,107143 
 
Critério de parada: 
x:|0,2−0,010714|=0,189286<ϵy:|0,35−0,305714|=0,044286<ϵz:|0,142857−0,107143|=0,035714<ϵx:|0,2−0,010714|=0,189286<ϵy:|0,35−0,305714|=0,044286<ϵz:|0,142857−0,107143|=0,035714<ϵ 
 
a solução é x=0,0170,y=0,305714 e z=0,107143x=0,0170,y=0,305714 e z=0,107143, (livro-base p. 78-79). 
 
B x=0,0333,y=0,401245 e z=0,25455.x=0,0333,y=0,401245 e z=0,25455. 
 
C x=0,0222,y=0,39999 e z=0,19888.x=0,0222,y=0,39999 e z=0,19888. 
 
D x=0,023565,y=0,23564814 e z=0,056663.x=0,023565,y=0,23564814 e z=0,056663. 
 
E x=0,04588,y=0,425555 e z=0,199855.x=0,04588,y=0,425555 e z=0,199855.