437797825-2ª-Apostila-Experimentacao-Agricola

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1. PARCELA PERDIDA
Muitas vezes, ocorre o fato de chegarmos ao final do experimento e não conseguirmos obter o valor
observado em uma ou mais parcelas do experimento. Quando isto ocorre, temos o que denominamos de
parcelas perdidas. Existem várias explicações para a ocorrência de parcelas perdidas num experimento,
dentre as quais citamos:
a) morte da maioria das plantas responsáveis pela parcela;
b) falha do experimentador na coleta dos dados (por exemplo, inclui a produção da bordadura na da área
útil da parcela);
c) extravio da ficha onde estão anotados os dados da parcela;
d) a parcela apresenta um valor muito discrepante dos demais e não é considerado para efeito de analise;
e) a parcela apresenta um valor duvidoso.
1.1. PARCELA PERDIDA EM DBC
No caso do delineamento em blocos casualizados com uma parcela perdida, para podermos efetuar a
analise de variância, devemos inicialmente calcular uma estimativa da parcela perdida, que vai nos
possibilitar a execução da aná1ise do experimento. 
A perda de uma parcela em DBC é estimada através do método dos mínimos quadrados, pela seguinte
fórmula:
X

 = 
)1()1( 

JI
GJBIT
, onde:
I = numero de tratamentos do experimento;
T = total das parcelas existentes no tratamento que teve a parcela perdida;
J = numero de blocos do experimento;
B = total das parcelas existentes no bloco que teve a parcela perdida;
G’ = total de todas as parcelas existentes no experimento.
Obtida a estimativa da parcela perdida, completamos o quadro de valores observados e calculamos as
somas de quadrados da maneira usual, como se não houvesse parcela perdida. Ao montar o quadro de analise
de variância do experimento, devemos lembrar que a parcela perdida foi estimada, o que acarreta a perda de
um grau de liberdade para o total e, conseqüentemente, para o resíduo. Portanto, o esquema de analise de
variância de um experimento em blocos casualizados com I tratamentos, J repetições e uma parcela perdida
será:
1
CAUSA DA VARIAÇÃO G.L.
TRATAMENTOS Nº TRAT - 1
BLOCOS Nº BLOC - 1
RESÍDUO (ERRO) DIF.
TOTAL T – 2
Exemplo:
Cinco provadores de cerveja fizeram um teste de sabor para 3 marcas conhecidas. Os resultados 
obtidos foram:
MARCA DE CERVEJA
PROVADORES BAMBA ESCORIA ANÁRQUICA TOTAL
TOTAL
O provador______________não se sentiu bem e por isso não avaliou a cerveja escoria
Pergunta-se: existe diferença nos sabores das 3 marcas de cerveja?
1º Passo: calculo da parcela perdida através da fórmula:
X

 = 
)1()1( 

JI
GJBIT
2º Passo: Coloca-se a estimativa da parcela perdida no quadro de resultados e refaz o somatório dos 
tratamentos e dos blocos;
3º Passo: Calcula-se as somas de quadrados de maneira usual;
SQTotal =  2 -  
2
N
SQ Trat’s = 1/r  T²i – C
2
SQ Blocos = 1/n  B²i – C
4º Passo: Calcula-se a anava de maneira usual.
F.V. G.L. S.Q.. Q.M. Fc Ft
TRATAMENTOS
BLOCOS
ERRO
TOTAL
5º Passo: Conclusões da ANAVA
1.2. PARCELA PERDIDA EM DIC
Quando temos 1 parcela perdida em delineamento inteiramente casualizado não é necessário estimar a 
parcela, pois as condições experimentais são tidas como homogêneas, porém deve-se levar em conta a perda 
de 1 grau de liberdade para o total, e que determinado tratamento terá um número menor de repetição.
Exemplo:
Um DIC foi instalado para testar o efeito da época de aplicação de fungicida no controle da ferrugem
do cafeeiro. Cada parcela útil era composta por 4 plantas e a partir de cada uma delas se determinou o
número médio de pústulas obtido a partir de 10 folhas por planta.
ÉPOCA S O N D J TEST
2,4 2,5 2,4 2,8 8,5 4,9
1,8 1,7 4,6 3,3 7,8 5,3
2,6 1,9 3,3 3,1 6,5 5,2
2,2 2,8 2,7 3,2 X 6,1
TOTAL
Pede-se fazer a anava e tirar as conclusões de interesse.
1º Passo: Calcula-se as somas de quadrados de maneira usual;
SQTotal =  2 - 
  2
N
3
SQ Trat’s = 1/r  T²i – C
2º Passo: Calcula-se a anava de maneira usual.
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc Ft
TRATAMENTOS
ERRO
TOTAL
3º Passo: Conclusões da anava:
EXERCÍCIOS: PARCELA PERDIDA EM D.B.C.
1. Num experimento de competição de variedades de cana-de-açúcar foram obtidos os seguintes dados
referentes a produção em t/ha. 
VARIEDADES 1 2 3 4 TOTAIS
1 - CB 50-70 135 148 133 149
2 - CB 50-72 X 142 142 142
3 - CB 50-76 95 110 94 110
4 - CB 50-80 124 130 100 140
5 - CB 50-84 139 142 133 147
TOTAIS
Pede-se:
a) Estimar a parcela perdida
b) Fazer a ANAVA e tirar as conclusões de interesse.
2. Em um experimento para comparar a produção de quatro variedades de alho foi utilizado o D.B.C com 4
repetições. Os dados em Kg/parcela são apresentados no quadro seguinte:
VARIEDADES I II III TOTAL
AMARANTE 23,19 20,13 24,52
GIGANTE LAVÍNIA 21,90 24,56 27,13
QUITÉRIA 26,27 X 24,15
CHONAN 21,32 27,58 36,05
TOTAL
Pede-se:
a) Estimar a parcela perdida
b) Fazer a ANAVA e tirar as conclusões de interesse.
2. NOÇÕES DE CONTRASTE, CONCEITOS DE COVARIÂNCIA E ORTOGONALIDADE 
4
Os testes de comparações múltiplas, ou testes de comparações de médias, servem como um
complemento do teste de “F”, para detectar diferenças entre os tratamentos, o teste de TUKEY é um deles,
porém existem outros, e para sua melhor compreensão é necessário o conhecimento de alguns conceitos.
2.1 CONTRASTE DE MÉDIAS
Se tivermos a seguinte função linear:
Y = f (x) = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn
E verificarmos que:
 ai = a1 + a2 + ...+ an = 0
Dizemos que Y é um contraste nas variáveis x
Por exemplo:
Y = x1 + x2 – x3 – x4.
Y é um contraste, pois temos:
a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1 e a4 = 1, e temos:
1 + 1 + ( 1) + ( 1) = 0
Se, as variáveis x forem médias, teremos um contraste de médias. Suponha 4 tratamentos, cujas 
médias verdadeiras são: M1, M2, M3, M4, as seguintes relações constituem contraste de médias:
Y1 = M1 – M2
Y2 = M1 + M2 – 2M3
Y3 = M1 + M2 + M3 – 3M4
Fica claro que o número de contrastes que podemos formar com grupos de médias é grande, e numa
análise estatística formamos aqueles que realmente são de interesse da pesquisa.
Quando temos as estimativas das médias, obtemos também as estimativas dos contrastes, e
representamos por:
Ŷ c 1 m̂ 1 + c 2 m̂ 2 + . . . + c n m̂ n , onde: 
c i = 0
2.3 CONTRASTES ORTOGONAIS
5
A ortogonalidade entre dois contrastes indica uma independência entre eles, isto é, a variação de um é
completamente independente da variação do outro.
Os contrastes são ortogonais quando o somatório dos coeficientes de cada média em cada contraste é
igual a zero.
Considerando o exemplo temos:
Y M1 M2 M3 M4
Y1
Y2
Y3

Dizemos então que os contrastes Y1, Y2 e Y3 são ortogonais entre si.
Considerando os seguintes contrastes:
Y1 = M1 + M2 – M3 – M4
Y2 = M2  M3 
Temos:
Y M1 M2 M3 M4
Y1
Y2

Dizemos que os contrastes Y1 e Y2 não são ortogonais entre si.
2.4 COVARIÂNCIA DE DOIS CONTRASTES
A covariância, ou variância da estimativa de um contraste, quando as médias possuem o mesmo
número de repetições, o que é mais freqüente em análise de variância, é dado por:
Cov (Y 1, Ŷ 2) = (a1x1 + a2x2 + ...+ anxn)  
r
s 2
Ou mais simplesmente:
V ( Ŷ ) = 
r
QMERRO
  2ia , Onde ai indica os coeficientes dos contrastes envolvidos
Exemplo:
6
As médias de produção de frutos de abacaxi (em t/ha), num estudo de consórcio na cultura do abacaxi
foram as seguintes:
1 - abacaxi (0,90 x 0,30 m) monocultivo m1 = 53,5 t/ha 
2 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) monocultivo m2 = 56,5 t/ha 
3 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) + amendoim m3 = 62,0 t/ha 
4 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) + feijão m4 = 60,4 t/ha
Verificando os tratamentos, temos que 2 são monocultivo e 2 são em consórcio. Interessa comparar
esses 2 grupos de tratamentos, bem como comparar dentro de cada grupo. Os contrastes de médias que nos
dão essas comparações são:
Y1 = m1 + m2 - m3 - m4 
Y2 = m1 - m2
Y3 = m3 - m4
As estimativas desses contrastes são:
Ŷ 1 = m1 + m2  m3  m4 = 
Ŷ 2 = m1  m2 = 
Ŷ 3 = m3  m4 = 
Observamos que o contraste Ŷ 1 compara as médias do grupo de monocultivoe do grupo em
consórcio, isto é:
Ŷ 1 = 




2
43
2
21
2
ˆ mmmmY
E isto nos indica que o grupo monocultivo produz, em média, ____t/ha de frutos a menos que o grupo 
em consórcio.
Para os outros temos:
Ŷ 2 = O tratamento em monocultivo no espaçamento 0,90 x 0,30 m produz, em média, ____ t/ha a menos
do que o abacaxi no espaçamento 0,90 x 0,30 m
Ŷ 3 = O consorcio abacaxi + amendoim produz em média ___ t/ha. De frutos a mais que o consórcio
abacaxi + feijão.
3. OUTROS TESTES ESTATÍSTICOS
3.1 Teste de SCHEFFÉ
É utilizado para contrastes que envolvam grupos de médias.
Para sua utilização, temos os seguintes passos:
7
1º) Escolha do contraste:
Y = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn
2º) Formulação das hipóteses:
H0 : Y = 0 (o contraste é não significativo)
H1 : Y  0 (o contraste é significativo)
3º) Calculo da estatística do teste:
S = 2)1( iaR
QMERRO
fxI  , onde:
I = número de tratamentos do experimento;
fx = valor de tabela (geralmente 5%) em função dos números de graus de liberdade de tratamentos e resíduo
(erro) (tabela de F);
R = Número de repetições do tratamento;
2
ia = Somatório dos coeficientes, ao quadrado, dos contrastes envolvidos.
4º) Estimativa do contraste:
Y = a1y1 + a2y2 +...+ anyn
5º) Aplicação do teste:
Se Y  S  H0 (aceita-se H0),
Se Y  S  H1 (rejeita-se H0, e aceita-se H1)
Um exemplo:
Um experimento foi conduzido com a finalidade de se testar cultivares de arroz em solos sob
vegetação de cerrado. As médias relativas à matéria seca total (em gramas) das cultivares analisadas estão
apresentadas no quadro abaixo:
CULTIVAR MÉDIAS
A - IAC 64 2,28
B - IR 30 1,28
C - PRETO PRECOCE 2,21
D - CICA 1,21
A ANAVA foi:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc Ft
TRATAMENTOS 3 2,9934 0,9978 25,54 4,07
ERRO 8 0,3126 0,0391
TOTAL 11 3,3060
Quero comparar a cultivar IAC 64 com as demais.
Aplicando o teste de Scheffé:
1º Escolha do contraste:
8
Ŷ = 3 x mA – mB – mC – mD 
2º Formulação das hipóteses
H0  mA = (mB + mC + mD)/3, ou seja: a produção média da cultivar IAC 64 é igual a produção média
das outras três cultivares.
HA  mA  (mB + mC + mD)/3, ou seja: a produção média da cultivar IAC 64 é diferente da produção
média das outras três cultivares.
3º Calculo da estatística do teste:
S = 2)1( iaR
QMERRO
fxI 
S = 
S = 
S  
S  
4º Estimativa do contraste
Ŷ = 
Ŷ = 
5º Aplicação do teste:
Como Ŷ > S = ____ 
Outro exemplo:
Em um experimento de competição de adubos nitrogenados para o abacaxizeiro, foram utilizados 6 
tratamentos (5 adubos e 1 testemunha) e 4 repetições, no delineamento em blocos casualizados. Os 
tratamentos utilizados, com as respectivas médias de produção, em Kg/ parcela foram:
TRATAMENTOS MÉDIAS
1 – Testemunha 21,57
2 – Sulfato de amônio 27,76
3 – Salitre do Chile 24,58
4 – Uréia 28,44
5 – Nitrocalcio de Cubatão 28,85
6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre 28,30
Dados: Q.M. ERRO = 0,64, G.L. ERRO = 15
Pede-se:
Verificar pelo teste de Scheffé se existe diferença, ao nível de 5% de probabilidade, entre o Nitrocálcio
de Cubatão (com e sem enxofre) e os demais adubos nitrogenados.
9
1º Escolha do contraste:
Ŷ = 
2º Formulação das hipóteses
H0  
HA  
3º Calculo da estatística do teste:
S = 2)1( iaR
QMERRO
fxI 
S = 
S = 
S =  S = 
4º Estimativa do contraste
Ŷ = 
Ŷ = 
Ŷ = 
Ŷ = 
5º Aplicação do teste:
Como Ŷ = 
10
3.2 Teste “t” de STUDENT
O teste de “t” serve para comparar médias, ou grupos de médias. Geralmente o interesse é verificar se 
a estimativa do contraste difere significativamente de zero. (valor que deveria assumir se a hipótese H0 fosse 
verdadeira).
Outra aplicação do teste é comparar a estimativa do contraste com um valor arbitrário.
Em qualquer das aplicações, o valor da estatística “t” deve ser comparado (em valor absoluto) com os 
valores críticos de “t”, tabelados em função do número de graus de liberdade (G.L.) associado à variância e 
do nível de significância do teste.
A estatística “t” é dado pela seguinte fórmula:
t = 
)ˆ(ˆ
0ˆ
YV
Y 
, onde:
Ŷ = é o contraste de interesse;
)ˆ(ˆ YV = 
r
QMERRO
 .  2ia , onde cada 2ia indica os coeficientes dos contrastes envolvidos.
Exemplo: 
Considere o exemplo anterior (competição de adubos nitrogenados)
Pede-se : 
Verificar, pelo teste de “t”, se os adubos nitrogenados possuem efeito na produção do abacaxizeiro.
O contraste que nos permite fazer essa comparação é:
Ŷ =______________________________________________________, e a sua estimativa é:
Ŷ = ______________________________________________________
Ŷ =______.Kg/parcela.
Isto indica que os adubos nitrogenados proporcionam, em média um aumento de produção de
_____Kg/parcela ( Ŷ /5) em relação a testemunha.
Calculo da estatística “t”
t = 


2
0ˆ
iaR
QMERRO
Y
t = 
t = 
t = 
11
t = 
Na tabela de “t” temos para 15 G.L. do Erro = 2,13 (5%) 
Como a estatística “t” (calculada) supera (em valor absoluto) o valor crítico ao nível de 5% de
probabilidade, concluímos que o contraste é significativo, ou seja, existe uma probabilidade superior a 95%
que os adubos nitrogenados proporcionem um aumento médio de _____ kg/parcela na produção do
abacaxizeiro, quando comparados com a testemunha.
3.3 Teste de DUNCAN
O teste de DUNCAN fornece resultados mais discriminados que os do teste de TUKEY. Sendo menos
rigoroso que ele, porém de aplicação mais trabalhosa.
A diferença fundamental está na obtenção da estatística do teste, enquanto o teste de TUKEY tem
apenas uma DMS, o teste de DUNCAN tem várias, ou seja uma para cada número de médias abrangidas
pelo contraste.
A estatística do teste é dada por:
Dn = Zn  
d
QMERRO
, onde:
Zn = É a amplitude total estudentizada cujo valor é encontrado em tabela, em função do número de
médias abrangidas pelo contraste (i) e do número de graus de liberdade do erro.
Para aplicação do teste as médias devem ser colocadas em ordem decrescente.
Exemplo:
Considere o exemplo anterior (competição de adubos nitrogenados)
As médias devem estar em ordem decrescente, então:
TRATAMENTOS MÉDIAS
5 – Nitrocalcio de Cubatão 28,85
4 – Uréia 28,44
6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre 28,30
2 – Sulfato de amônio 27,76
3 – Salitre do Chile 24,58
12
1 – Testemunha 21,57
1º Contraste que abrange 6 médias
Ŷ 1 = M5 – M1  28,85  21,57 = 7,28 Kg/parcela.
Para testar o contraste calculamos:
D6 = Z6  
4
64,0
  Z6 (5%) (6 médias e 15 G.L. Erro) = 3,36
D6 = 3,36  16,0 
D6 = 1,34 Kg/ parcela
Como Ŷ 1  D6, O contraste é significativo, rejeitamos H0 e concluímos que M5  M1
2º Contraste que abrange 5 médias
Ŷ 2 =
Ŷ 3 =
Para testar os contrastes Ŷ 2 e Ŷ 3 calculamos:
D5 = Z5  
4
64,0
  Z5 (5%) (5 médias e 15 G.L. Erro) = _____
D5 = ____ 16,0 
D5 = ____ Kg/ parcela
Como Ŷ 2 
Como Ŷ 3 
3º Contraste que abrange 4 médias
Ŷ 4 = 
Ŷ 5 =
Ŷ 6 =
Para testar os contrastes Ŷ 4, Ŷ 5 e Ŷ 6 calculamos:
D4 = Z4  
4
64,0
  Z4 (5%) (4 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D4 = ____ 16,0 
D4 = ____ Kg/ parcela
Como Ŷ 4 
13
Como Ŷ 5 
Como Ŷ 6
4º Contraste que abrange 3 médias
Ŷ 7 = 
Ŷ 8 = 
Para testar os contrastes Ŷ 7 e Ŷ 8 calculamos:
D3 = Z3  
4
64,0
  Z3 (5%) (3 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D3 = ____ 16,0 
D3 = ____ Kg/ parcela
Como Ŷ 7
Como Ŷ 8
5º Contraste que abrange 2 médias
Ŷ 9 = 
Ŷ 10 =
Para testar os contrastes Ŷ 9 e Ŷ 10 calculamos:
D2 = Z2  
4
64,0
  Z2 (5%) (2 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D2 = ____  16,0 
D2 = ____ Kg/ parcela
Como Ŷ 9
Como Ŷ 10
Em resumo temos:
TRATAMENTOS MÉDIAS
5 – Nitrocalcio de Cubatão 28,85
4 – Uréia 28,44
6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre 28,30
2 – Sulfato de amônio 27,76
3 – Salitre do Chile 24,58
1 – Testemunha 21,57
Médias ligadas por uma barra não diferem entre si pelo teste de
DUNCAM ao nível de 5% de probabilidade.
OBSERVAÇÃO:
14
Nesteexemplo o teste de DUNCAN apresentou resultados iguais aos do teste de TUKEY, o que nem
sempre ocorre, pois freqüentemente o teste de DUNCAN acusa diferenças significativas entre médias que
não diferiram pelo teste de TUKEY.
EXERCÍCIOS: TESTES DE SCHEFFÉ, t DE STUDENT e DUNCAN.
1. Foram comparadas diferentes fontes de Nitrogênio em um ensaio segundo o delineamento inteiramente
casualizado com 3 repetições na cultura do repolho. Os dados seguintes referem-se as produções em Kg
por 10 m² 
REPETIÇÕES
TRATAMENTOS I II III
Nitrocálcio dose 1 70,3 64,3 79,0
Nitrocálcio dose 2 81,0 75,1 71,3
Sulfato de Amônia 75,5 63,0 65,4
Nitrato de Cálcio 85,2 80,5 83,6
Testemunha 35,7 39,6 45,5
Pede-se:]
a) Apresente a análise de variância e tire as conclusões de interesse
b) Monte um grupo de contrastes ortogonais de interesse prático e aplique um teste adequado.
c) Responda através de um teste adequado se a adubação nitrogenada na cultura do repolho é significativa.
2. Um experimento foi realizado com o objetivo de avaliar os efeitos de 5 tratamentos em relação ao
crescimento de mudas de Pinus scarpa, 60 dias após a semeadura. O ensaio foi executado num viveiro
onde havia uma grande homogeneidade nas condições experimentais. Optou-se por um delineamento
inteiramente casualizado com 4 repetições. Os tratamentos utilizados foram os seguintes:
A - Solo de cerrado (SC)
B - Solo de cerrado + esterco (SC + E)
C - Solo de cerrado + esterco + NPK (SC + E + NPK)
D - Solo de cerrado + vermiculita (SC + V)
E - Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC + V + NPK)
Os resultados obtidos para as alturas médias de plantas, em cm, foram:
REPETIÇÕES
TRATAMENTOS 1 2 3 4 TOTAIS
15
SC 6,0 5,5 5,2 4,5 21,2
SC + E 7,1 7,3 6,7 6,1 27,2
SC + E + NPK 6,8 6,6 7,2 5,8 26,4
SC + V 5,0 5,8 5,7 5,9 22,4
SC + V + NPK 6,5 6,7 6,7 5,7 25,6
A) Faça a ANAVA e interprete-a
B) Aplique o teste de Duncan e interprete
C) Teste um contraste de interesse usando Scheffé.
4. EXPERIMENTOS FATORIAIS 
Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos de apenas um tipo ou fator, permanecendo
os demais fatores constantes. Assim, nesses experimentos, quando comparamos inseticidas, todos os demais
fatores, como, por exemplo: variedades, adubações, tratos culturais etc., devem ser mantidos constantes, isto
é, devem ser os mesmos para todos os inseticidas estudados.
Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente para que
possam nos conduzir a resultados de interesse. Para tanto, nos utilizamos dos experimentos fatoriais, que são
aqueles nos quais são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores.
Cada subdivisão de um fator é denominada de nível do fator e os tratamentos nos experimentos
fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
Por exemplo, podemos, em um experimento fatorial, combinar 2 variedades de cana-de-açúcar, com 3
diferentes herbicidas. Então, teremos um fatorial 2x3, com os fatores: Variedades (V) e Herbicidas (H),
sendo que o fator Variedades ocorre em 2 níveis (V1 e V2), o fator Herbicidas ocorre em 3 níveis (H1, H2 e
H3) e os 6 tratamentos são:
Outro exemplo:
Podemos, num experimento fatorial 3x3x2, combinar 3 Variedades (V1, V2 e V3), 3 Adubações (A1,
A2 e A3) e 2 Épocas de plantio (E1 e E2) e teremos 18 tratamentos, que são todas as combinações possíveis
dos 3 fatores em seus diferentes níveis. Os 18 tratamentos são:
16
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental, e sim um esquema
orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em qualquer dos
delineamentos experimentais.
Os experimentos fatoriais nos permitem tirar conclusões mais amplas. Assim, se num experimento
fatorial competirmos diversos adubos para uma cultura e diversos espaçamentos de plantio, podemos estudar
o comportamento dos adubos, dos espaçamentos e ainda, se o comportamento dos adubos, quando
associados a um determinado espaçamento de plantio, se altera se for associado aos outros espaçamentos
(ou, se o comportamento dos espaçamentos de plantio, quando associados a um determinado adubo, se altera
se for associado aos outros adubos).
Nos experimentos fatoriais, após uma análise de variância preliminar, de acordo com o delineamento
adotado, procedemos ao desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, isolando os efeitos principais
dos fatores e os efeitos das interações entre os fatores.
As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos experimentos simples são:
A) Permitem estudar os efeitos simples e principais dos fatores e os efeitos das interações entre eles;
B) Todas as parcelas são utilizadas no cálculo dos efeitos principais dos fatores e dos efeitos das interações,
razão pela qual o número de repetições é elevado.
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são:
A) Sendo os tratamentos constituídos por todas as com binações possíveis entre os níveis dos diversos
fatores, o número de tratamentos aumenta muito e, muitas vezes, não podemos distribuí-los em blocos
casualizados, devido à exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. Isto nos obriga a
utilizar a técnica do confundimento e a trabalhar com blocos incompletos equilibrados, o que leva a
algumas complicações na análise estatística;
B) A análise estatística é mais trabalhosa que nos experimentos simples e a interpretação dos resultados se
torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.
4.1 ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
O esquema da ANAVA, para o caso de DBC fica:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc
BLOCOS B – 1 SQB QMB QMB/QME
1º FATOR 1º F – 1 SQF1 QMF1 QMF1/QME
2º FATOR 2º F – 1 SQF2 QMF2 QMF2/QME
INTERAÇÃO (1ºF – 1).(2ºF – 1) SQI QMI QMI/QME
17
ERRO  SQE QME
TOTAL TOTAL – 1
Exemplo:
Um experimento fatorial 2X3, com 2 níveis de calagem (C1 e C2) e 3 níveis de adubação (A1, A2 e
A3) teria os seguintes tratamentos:
E poderia ter a seguinte casualização, se fosse instalado em 4 blocos ao acaso:
1º B 2º B 3º B 4º B
O esquema da ANAVA preliminar seria:
F.V. G.L.
TRATAMENTOS
BLOCOS
ERRO
TOTAL
Os graus de liberdade de tratamentos devem ser desdobrados de acordo com o esquema fatorial 2X3,
ficando:
Calagem (C) =
Tratamentos = 5 G.L. Adubação (A) =
Interação (CxA) =
O esquema de análise de variância, com desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, de
acordo com o esquema fatorial 2X3 fica:
F.V. G.L.
(TRATAMENTOS)
BLOCOS
ERRO
CALAGEM (C)
ADUBAÇÃO (A) 
INTERAÇÃO (CXA)
TOTAL
18
4.2 INTERAÇÃO ENTRE FATORES:
A interação mede a dependência entre os dois ou mais fatores em estudo, e podemos ter: Interação não
significativa, e Interação significativa.
4.2.1 Interação não significativa 
Quando o comportamento de um fator é semelhante para todos os níveis do outro fator, dizemos que a
interação não é significativa, isto é, os dois fatores agem independentemente. Exemplo:
Considere que temos dois fatores A e B, sendo que o fator A ocorre em dois níveis (0 e 1), e o fator B
ocorre em três níveis (0, 1 e 2), temos o seguinte quadro de interação:
0 1 2
0
1
Observa-se claramente que o comportamento do fator B é o mesmo para os dois níveis de A; da
mesma forma o comportamento de A é o mesmo para os três níveis de B.
Representando graficamente, temos:
Observa-se que há uma tendência das retas serem paralelas quando a interação não é significativa.
4.2.2 Interação significativa 
Quando o comportamento de um fator varia dependendo do nível do outro fator, dizemos que a
interação é significativa, isto é, os dois fatores são dependentes.
Considere o exemplo anterior com os seguintes valores:
0 1 2
0
1
19
FATOR A
FATOR B
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20
FATOR B
FATOR A
Neste caso o comportamento do fator B para o nível 0 do fator A; é diferente do comportamento para
o nível 1 de A.
Representandograficamente, temos:
Neste caso as retas não são paralelas e inclusive, geralmente, se cruzam.
Considere ainda o exemplo anterior, agora com os seguintes valores:
0 1 2
0
1
Neste caso vemos que o efeito do fator B para o nível 0 do fator A; é menor do que o efeito de B para
o nível 1 do fator A.
Representando graficamente, temos:
Neste caso a tendência das retas são de se afastarem entre si.
A) EXEMPLO DE FATORIAL COM INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA:
Um experimento em blocos ao acaso foi conduzido com a finalidade de se estudar o efeito do cycocel 
no desenvolvimento de duas cultivares de arroz. Os dados obtidos para altura das plantas na época da 
maturação dos grãos foram:
20
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20
FATOR B
FATOR A
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 10 20
TRATAMENTOS
BLOCOS
IAC 25 IAC 47
TOTAL
0 50 100 150 0 50 100 150
I 88,0 81,9 71,4 75,8 75,4 70,9 64,6 68,3 596,3
II 85,5 77,6 74,6 72,6 78,7 73,4 66,2 69,5 597,1
III 80,0 81,3 73,2 72,3 78,5 72,8 66,1 69,1 593,3
TOTAL 253,5 240,8 219,2 220,7 232,6 217,1 196,9 206,9 1787,7
SQTotal = 
SQTrat’s = 
SQBlocos = 
O quadro de ANAVA preliminar fica:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc Ft
Trat’s
Blocos
Erro
Total
Como podemos observar o teste de F deu resultado altamente significativo para tratamentos, porém 
este resultado é de pouco interesse, pois não se sabe para cada cultivar de arroz qual a dosagem de cycocel é 
recomendada. Devemos então isolar essas dosagem para cada cultivar, o que é feito montando-se o quadro 
de interação, da seguinte maneira:
21
0 50 100 150
IAC 25
IAC 47
Calculamos, então, as somas de quadrado de doses, cultivares e da interação entre as doses e as 
cultivares.
SQCultivar = 
SQDoses = 
SQ Cult. X Doses = 
Com as somas de quadrados montamos o novo quadro de ANAVA, que fica:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc Ft
(Trat’s)
Blocos
Erro
Cultivar
Doses
C x D
Total
Vemos então que a cultivar IAC apresenta plantas mais altas independente da dosagem de cycocel.
Para se verificar qual a melhor dose de cycocel há necessidade de aplicar um teste de médias, no caso,
vamos aplicar o teste de Tukey.
DMS = q . 
d
QMerro
  DMS = 
22DOSES
CULTIVAR
DOSES médias Letras
As médias seguidas de mesma letra não
diferem entre si pelo teste de Tukey ao nível de
5% de significância.
B) EXEMPLO DE FATORIAL COM INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA:
Considere o mesmo exemplo anterior, porém com os dados obtidos em relação à produção de grãos 
(g/vaso)
TRATAMENTOS
IAC 25 IAC 47
BLOCOS 0 50 100 150 0 50 100 150
I 7,25 7,45 9,70 9,15 5,10 6,30 4,45 8,10 57,50
II 6,40 6,90 9,10 8,30 4,20 5,10 6,05 7,65 53,70
III 6,00 7,40 9,85 8,20 2,70 4,74 6,15 7,11 52,15
TOTAL 19,65 21,75 28,65 25,65 12,00 16,14 16,65 22,86 163,35
Completar:
EXERCÍCIOS: EXPERIMENTOS FATORIAIS
1. Um experimento fatorial 3x2 de adubação PK em cana-de-açúcar foi instalado para avaliar a sua
produção. Os dados de produção, em t/ha, foram os seguintes:
23
TRAT’S BLOCO I BLOCO II BLOCO III BLOCO IV TOTAL
00 46,2 77,3 54,5 63,2 241,20
01 61,8 59,9 60,8 61,9 244,40
02 46,9 55,6 59,3 53,4 215,20
10 54,9 64,9 59,1 57,8 236,70
11 58,6 74,6 71,3 68,6 273,1
12 61,0 72,6 63,8 65,3 262,7
20 67,4 77,8 68,8 70,8 284,8
21 72,8 76,0 68,6 73,6 291,0
22 66,0 89,0 51,5 75,7 282,2
TOTAL 541,6 648,8 556,6 590,8 2337,8
As doses de nutrientes empregadas foram:
N = 70 Kg/ha, sendo 1/3 no plantio e 2/3 em cobertura;
P = 0 – 75 – 150 Kg/ha, no plantio;
K = 0 – 75 – 150 Kg/ha, no plantio;
Tire todas as conclusões de interesse
2. Considere o experimento onde são comparados 2 variedades de aveia e 4 tratamentos de sementes (3
produtos químicos e testemunha não tratada) quanto ao efeito sobre a produção (g/parcela). 
As variedades utilizadas foram: V1 = Vicland infectada com H. victoriae,
V2 = Vicland não infectada
Os tratamentos de sementes foram: T1 = Testemunha (não tratada)
T2 Ceresan M
T3 Panogen
T4 Agrox
VARIEDADES
TRAT.
SEMENTES
BLOCOS
TOTAIS
1 2 3 4
1 42,9 41,6 28,9 30,8 144,2
V1 2 53,8 58,5 43,9 46,3 202,5
3 49,5 53,8 40,7 39,4 183,4
4 44,4 41,8 28,3 34,7 149,2
1 53,3 69,6 45,4 35,1 203,4
V2 2 57,6 69,6 42,4 51,9 221,5
3 59,8 65,8 41,4 45,4 212,4
4 64,1 57,4 44,1 51,6 217,2
TOTAIS
Tire as conclusões de interesse.
5. EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS
Os experimentos em esquema fatorial geralmente recebem críticas quanto ao fato de não tornarem
prática a instalação de determinado tipo de tratamento como por exemplo: sistema de irrigação e densidade
24
de plantio, cultivares e adubação, cultivares e espaçamento adubação, raças e doses de vermífugo, tipos de
rações e raças etc.
Para exemplificar melhor, considere um experimento para comparar 2 variedades (A e B)e 3 níveis de
irrigação (0,1 e 2). Instalando este experimento em blocos ao acaso no esquema fatorial poderíamos ter no 1º
bloco o seguinte:
É obvio que a instalação deste experimento não seria prática. Se tivéssemos mais variedades e/ou mais
níveis de água o problema seria mais grave.
Uma opção para resolver o problema seria a seguinte; inicialmente sorteamos o fator que torna difícil
a instalação no esquema fatorial (irrigação), assim:
A seguir sorteamos dentro de cada parcela o outro fator (variedades). Desta forma teremos no 1º bloco:
O que fazemos neste caso é simplesmente subdividir a parcela em subparcelas e nesta utilizar outro
fator.
Qualquer que seja o caso, devemos colocar nas subparcelas aquele fator mais importante ou no qual
estejamos mais interessados.
5.1 ESQUEMA GERAL DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Para o caso mais comum relativo ao modelo quando temos “A” tratamentos nas parcelas e “B”
tratamentos nas subparcelas e “r” repetições, a análise de variância fica:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc
BLOCOS r – 1 SQB - -
TRAT. A A – 1 SQT A QMT A QMT A / QME A
ERRO A (A – 1) (r – 1) SQE A QME A
PARCELAS A.r  1 SQ PARC.
TRAT. B B – 1 SQT B QMT B QMT B / QME B
A x B (A – 1) (B – 1) SQ AxB QMAxB QMAxB / QME B
ERRO B A (B – 1) (r – 1) SQE B QME B
SUB PARCELAS A B r – 1
Uma característica importante deste esquema é a existência de dois erros (QME A e QME B) e
geralmente o QME B é menor que QME A pelo seguinte: 
1. O tratamento que vai nas subparcelas é repetido maior número de vezes originando maior número
de graus de liberdade para o Erro B, o que implica em que ele seja menor.
2. O que mede o Erro A é a variação entre parcelas enquanto que o Erro B é proveniente das
25
variações entre subparcelas. Como se espera que as subparcelae destro das parcelas variem menos
do que as parcelas dentro dos blocos normalmente QME B < QME A.
Exemplo:
Um experimento em blocos ao acaso foi instalado para estudar o efeito do corte das plantas baixeiras
do milho, foram utilizadas trás densidades de plantio. O esquema experimental utilizado foi o de parcelas
subdivididas:
Nas parcelas: DENSIDADE 1 = 25.000 plantas/ha
DENSIDADE 2 = 50.000 plantas/ha
DENSIDADE 2 = 75.000 plantas/ha
Tratamentos nas subparcelas: A – Sem corte das folhas
B – Corte das folhas baixeiras aos 50 dias
C – Corte das folhas baixeiras aos 60 dias
D – Corte das folhas baixeiras aos 70 dias
Esquema de uma parcela:
D1 D3 D2
A C B D B A C D D A C B
Os dados de produção em kg / parcela foram:
BLOCOS
DENSIDADE CORTE I II III IV V VI
1
A 4,4 4,2 3,5 4,0 7,5 2,2
B 2,4 3,4 2,8 3,2 2,3 2,5
C 2,8 4,2 3,2 3,2 2,4 3,0
D 2,6 3,6 3,3 3,1 2,8 3,2
2
A 5,4 4,6 4,2 3,1 4,5 4,4
B 5,0 4,3 2,6 3,2 5,2 4,1
C 5,0 4,2 3,9 4,8 3,6 3,9
D 5,0 3,7 2,7 4,3 3,7 4,1
3
A 6,3 4,9 5,4 2,8 4,2 4,7
B 6,0 5,0 5,5 3,6 3,1 4,8
C 5,7 3,6 4,6 2,4 3,6 4,6
D 5,3 3,6 4,3 5,7 3,0 4,9
TOTAL 55,9 49,3 46,0 443,4 45,9 46,4
QUADROS AUXILIARES
1º) Quadro de interação de blocos com o tratamento nas subparcelas
BLOCOS
D
E
N
S
ID
A
D
E I II III IV V VI
1 12,2(4)
2
3
26
286,9(72)
2º) Quadro de interação de tratamentos
CORTE
D
E
N
S
ID
A
D
E A B C D
1 25,8(6)
2
3
286,9(72)
SQ Blocos = 
SQ Densidade = 
SQ Parcelas = 
SQ Erro A = SQ Parcelas – SQ Blocos – SQ Densidade
SQ SubParcelas= 
SQ Épocas = 
SQ E x D = ??????? – C – SQE - SQD
27
SQ Erro B = SQ SubParcelas – SQ Parcelas – SQ Épocas – SQ E x D
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
F.V. G.L. S.Q. Q.M. Fc
BLOCOS
Densidade
Erro A 
Parcelas
Épocas
D x E
Erro B
SubParcelas
5.2. TESTES DE MÉDIAS
5.2.1 Caso em que a interação não é significativa
A) Comparações entre os tratamentos que foram nas parcelas (densidades)
Seria o único caso necessário de ser aplicado no presente exemplo, pois foi o único efeito que deu
significativo:
DMS = q . 
d
QMerroA
  DMS = 3,88 . 
24
78,1
  DMS =1,06
DENSIDADE médias Letras
D 3
D 2
D 1
28
As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si
pelo teste de Tukey ao nível de 5% de significância.
B) Comparação entre tratamentos nas subparcelas (épocas de corte)
5.2.2 Casos em que a interação é significativa
A) Comparar dois ou mais tratamentos que foram nas subparcelas um mesmo nível do tratamento da parcela.
No presente caso seria comparar duas ou mais épocas de corte para cada densidade.
B) Comparar 2 ou mais tratamentos que foram nas parcelas num mesmo nível do tratamento da subparcela.
No nosso caso seria comparar duas ou mais densidades para cada época de corte.
EXERCÍCOS: PARCELAS SUBDIVIDIDAS
1. Um experimento para testar o efeito da irrigação (ausência e presença) em milho, além de 3 stands (A = 
20.000; B = 26.000; C = 32.000 plantas/lha) nos forneceu os seguintes resultados:
BLOCO I
I 0 I 1
C B A B A C
2,66 2,73 2,92 3,50 2,67 2,98
BLOCO II
I 0 I 1
A C B C A B
29
2,58 2,29 3,02 4,01 3,16 3,16
BLOCO III
I 1 I 0
A B C B C A
2,78 3,21 3,77 3,07 2,54 2,61
BLOCO IV
I 0 I 1
B A C A C B
2,52 2,53 2,57 3,01 3,85 3,66
Tire conclusões de interesse
2. Um DBC com parcelas subdivididas foi instalado para testar 3 métodos de aração (Ml, M2, M3) para 4 
variedades (A, B, C, D) de soja. Os resultados (em Kg/parcela) estão abaixo:
M2 M1 M3
BL I C D A B B A C D A C D B
63 57 45 52 23 18 31 22 28 45 39 33
M1 M2 M3
BL II D A C B C A B D A B D C
31 29 43 36 81 60 63 76 37 45 50 56
Faça o quadro de ANAVA e tire conclusões gerais
6. REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
O estudo da regressão exerce papel relevante dentro do campo da Estatística Experimental, devido a
sua larga aplicação na interpretação de resultados experimentais, e tem por objetivo determinar a relação
existente entre uma característica qualquer de interesse experimental, dependente, e outra característica
independente, tomadas juntas. O pesquisador, geralmente, escolhe os valores da variável independente e
depois estabelece a relação existente entre os valores das duas variáveis. Tal relação é expressa por uma
função matemática (equação de regressão), onde se diz que a variável depende (Y) é uma função da variável
independente (X).
A regressão tem por objetivo estudar a relação entre duas ou mais varáveis visando descobrir uma
curva que a descreva, utilizando-se esta para fins de estimativa ou predição de uma das varáveis. Como
exemplo, podemos citar: 
 Rendimento das culturas e a quantidade de chuva caída;
30
 Peso dos animais e idade;
 Rendimento e densidade de plantio;
 Temperatura e ataque de insetos;
 Produção das culturas e níveis de irrigação;
 Produção e nível de adubação;
 Etc.
Como exemplo, temos um experimento para determinar o efeito de doses crescentes de nitrogênio
(variável independente X), na produção de uma forrageira (variável dependente Y). 
PARCELAS 1 2 3 4 5
DOSES DE NITROGÊNIO (KG/ PARCELA) - (VARIÁVEL X) 0,0 50 100 150 200
PRODUÇÃO DE FORRAGEM (KG/PARCELA) - (VARIÁVEL Y) 36 48 56 62 67
Observa-se que o aumento na dose de nitrogênio, aumenta a produção de forragem. Verifica-se que a
relação entre as duas variáveis é aproximadamente linear e pode se representada por uma linha reta (curva de
regressão), passando entre os pontos de um diagrama de dispersão, conforme apresentado na figura 01.
Porém nem sempre é assim, pois a regressão pode não ser linear, mas polinomial tornando mais
complexo o seu estudo.
Figura 01. Diagrama de dispersão entre doses de nitrogênio e a produção de forragem.
6.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO POR POLINÔMIOS ORTOGONAIS 
A análise de variância só tem validade se atender as suas hipóteses básicas: Aditividade,
Independência, Normalidade e Homogeneidade de variâncias. 
Uma delas é que os erros de observação devem ser independentes, consequentemente não
correlacionados. Quando esta hipótese não se verifica, a análise de variância deve refletir a dependência
31
entre os erros de observção, sob pena de não ser válida; Assim nos experimentos em que os tratamentos são
quantitativos, como, por exemplo: níveis crescentes de adubo, inseticida, fungicida etc., se justifica a
existência de uma correspondência funcional, denominada equação de regressão, que ligue os valores dos
tratamentos (X) aos dados analisados (Y)
Essa correspondência pode ser sentida no exemplo anterior, onde:
X = dose de nitrogênio aplicado
Y = produção de forragem por parcela, obtida para cada X.
PARCELAS 1 2 3 4 5
DOSES DE NITROGÊNIO (KG/ PARCELA) - (VARIÁVEL X) 0,0 50 100 150 200
PRODUÇÃO DE FORRAGEM (KG/PARCELA) - (VARIÁVEL Y) 36 48 56 62 67
Verificamos portanto, que há uma tendência de aumento na produção (Y) a medida que aumentamos a
dose de nitrogênio (X).
Para se fazer a análise de variância para o estudo da regressão utilizamos o método dos polinômios
ortogonais, que é de fácil aplicação quando os níveis que compõem os tratamentos são igualmente
espaçados, pois nos permitem a utilização de coeficientes dados em tabelas
Um exemplo:
Para se estudar o efeito de doses de gesso na cultura do feijoeiro (Phaseolus vulgaris L.), RAGAZZI
(1979) utilizou um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições, para estudar os efeitos de 7
doses de gesso: 0, 50, 100, 150, 200, 250, e 300 kg/ha sobre diversas características do feijoeiro.
Para a característica: peso de 1.000 sementes, os resultados obtidos, em gramas, são apresentados no
quadro abaixo.
Peso de 1.000 sementes, em gramas
Tratamentos REPETIÇÕES
(kg/ha) 1 2 3 4 total
1 - 0 134,8 139,7 147,6 132,3 554,4
2 - 50 161,7 157,7 150,3 144,7 614,4
3 - 100 160,7 172,7 163,4 161,3 658,1
4 - 150 169,8 168,2 160,7 161,0 659,7
5 - 200 165,7 160,0 158,2 151,0 634,9
6 - 250 171,8 157,3 150,4 160,4 639,9
7 - 300 154,5 160,4 148,8 154,0 617,7
4.379,1
Inicialmente, faz-se uma análise de variância preliminar:
F. V. G.L. S.Q. Q.M. Fc
TRAT. 6 1.941,83 323,64 7,67 **
ERRO 21 886,34 42,21
TOTAL 27 2.828,17
32
Observando os resultados do experimento, verificamos que há uma tendência de resposta crescente até
um certo ponto para depois diminuir. 
Num caso como este, em que os tratamentos são quantitativos e em mais de dois níveis, uma análise
completa deve levar em conta a regressão, subdividindo-se os 6 graus de liberdade de tratamentos, no
entanto, regressão maior que 3º grau não tem interesse prático, de modo que, na análise de variância,
podemos considerar as regressões maiores que 3º grau como uma única causa de variação, que denominamos
desvios de regressão, ficando para o nosso exemplo, o desdobramento seguinte:
F. V. G.L.
Regressão linear 1
Regressão quadrática 1
Regressão cúbica 1
Desvios de Regressão 3
(Tratamentos) (6)
Como os níveis são eqüidistantes (0, 50, 100, 150, 200, 250, 300), esta decomposição pode ser feita de
modo simples pelo método dos polinômios ortogonais, com o auxílio de coeficientes dados em tabela.
Montamos, então um quadro onde aparecem os totais (Ti) dos tratamentos e os coeficientes (Ci) a
serem usados para os componentes de 1º grau (C1i), 2º grau (C2i) e 3º grau (C3i)
Quadro 1. Coeficientes (Ci) e Totais (Ti) para o experimento com 7 tratamentos
TOTAIS DE TRATAMENTOS
COEFICIENTES PARA N= 7 NÍVEIS
1º GRAU 2º GRAU 3º GRAU
(Ti) C1i C2i C3i
T1 = 554,4 - 3 + 5 - 1
T2 = 614,4 - 2 0 + 1
T3 = 658,1 - 1 - 3 + 1
T4 = 659,7 0 - 4 0
T5 = 634,9 + 1 - 3 - 1
T6 = 639,9+ 2 0 - 1
T7 = 617,7 + 3 + 5 + 1
K 28 84 6
M 1 1 1/6
Com estes coeficientes (Ci) e totais (Ti) estabelecemos contrastes ortogonais, sendo um contraste para
a Regressão linear, outro para a regressão quadrática e outro para a cúbica.
As tabelas já nos fornecem a soma dos quadrados dos coeficientes (K), e uma constante (M) que será
utilizada na determinação da equação de regressão.
Calculamos os contrastes através das fórmulas:
Soma de quadrados de regressão linear  
 
1
2
.
kr
yc
SQRL
ii
Soma de quadrados de regressão quadrática  
 
2
2
.
kr
yc
SQRQ
ii
33
Soma de quadrados de regressão cúbica  
 
3
2
.
kr
yc
SQRC
ii
Onde:
ci = coeficiente do nível (1º, 2º ou 3º grau (tabela),
yi = total do tratamento
“r”= número de parcelas somadas para obter cada total (Ti) de tratamentos, no nosso caso = 4
“k” = soma dos quadrados dos coeficientes, (dados em tabela)
Para a soma de quadrados de regressão linear temos:
 ii yc )7,617(3)9,639(2)9,634(1)7,659(0)1,658(1)4,614(2)4,554(3  =
217,7g
 
1
2
.
kr
yc
SQRL
ii    15,423
284
7,217 2


 SQRLSQRL
Da mesma forma calculamos para a regressão quadrática e cúbica, e obtemos:
 
2
2
.
kr
yc
SQRQ ii
 = 1.285,84
 
3
2
.
kr
yc
SQRC ii
 = 155,04
A SQDesvios de regressão pode ser calculada por diferença:
SQDR = SQTrat – SQRL – SQRQ – SQRC, e temos
SQDR = 1.941,83 – 423,15 – 1.285,84 – 155,04 = 77,80
Com estes valores montamos o quadro de análise de variância para estudo da regressão
F. V. G.L. S.Q. Q.M. Fc
Regressão Linear 1 423,15 423,15 10,02 **
Regressão quadrática 1 1.285,84 1.285,84 30,46 **
Regressão cúbica 1 155,04 155,04 3,67 NS
Desvios de Regressão 3 77,80 25,93 0,61 NS
TRAT. (6) (1.941,83) - -
ERRO 21 886,34 42,21 -
TOTAL 27 2.828,17 - -
34
Verificamos que a regressão linear e a regressão quadrática foram significativas, indicando que é
possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso colocada (X) e o peso de 1.000 sementes
(Y) do feijoeiro.
Devemos, então, determinar a equação de regressão, que será a correspondente à regressão de mais
alto grau que foi significativa, mesmo que outra de grau menor seja não significativa.
No nosso exemplo, devemos determinar uma equação de 2º grau.
Quando o teste de “F” para desvios de regressão for significativo, isto indica que existe alguma
regressão significativa, de grau maior que o 3º e, se tivermos interesse em estuda-la, devemos desdobrar os
desvios de regressão.
6.2 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO
A fórmula geral da equação de regressão é:
kkk PMBPMBPMByy  ...ˆ 222111
Onde:
:y média geral do experimento; :,...,, 21 kBBB coeficientes correspondentes aos componentes linear,
quadrático, cúbico, ..., k-ésimo grau; :,...,, 21 kMMM multiplicadores dados nas tabelas de polinômios
ortogonais; :,...,, 21 kPPP polinômios constantes das tabelas.
Alguns destes são:
 
q
xx
P

1 
12
12
2
2






 

n
q
xx
P x
n
q
xx
P
20
73 2
3
3






 

onde: :x média dos níveis; n: número de níveis;
1
.
1
kr
yc
B
ii 
2
.
2 kr
yc
B ii
 
3
.
3 kr
yc
B ii

Para o nosso exemplo, a equação de regressão será:
222111ˆ PMBPMByy 
Onde: y média geral = 156,3964

1
.
1 kr
yc
B ii 9438,1
284
7,217
1 
B
2
.
2 kr
yc
B
ii = 9563,1
844
3,657
2 

B
M1 = 1 (tabela)
M2 = 1 (tabela)
P1 = x (tabela)
P2 = x²-
12
12 n
, n = número de níveis = 7
P2 = x²-
12
172 
= x² - 4
35
Logo, a equação de regressão fica:
ŷ = 156,3964 + 1,9438x – 1,9563 (x² - 4)
ŷ = 164,2216 + 1,9438x – 1,9563 x²
x é uma variável auxiliar dada por ²000783,02737,07835,140ˆ xy 
50
150

x
x
Substituindo o valor de x em (1), fica:
2)
50
150
(9563,1)
50
150
(9438,12216,164ˆ




xx
y
)
500.2
500.22300²
(9563,1)
50
150
(9438,12216,164ˆ




xxx
y
²000783,02737,07835,140ˆ xy  , onde :
ŷ peso de 1.000 sementes ( em gramas)
x = dose de gesso (em kg/ha)
6.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Quando determinamos uma equação de regressão é conveniente apresentar o correspondente 
coeficiente de determinação (R²) que representa, em percentagem, quanto da variação na resposta é 
explicada pela regressão em questão.
O coeficiente de determinação R2 é calculado como segue:
Efeito Linear Efeito quadrático Efeito Cúbico
SQT
SQRL
R 2
SQT
SQRQSQRL
R

2
SQT
SQRCSQRQSQRL
R

2
O coeficiente de correlação linear (r) é a raiz quadrada do coefiente de determinação. É dado por: 
SQT
SQRL
r 
O coeficiente de correlação linear, medindo o grau de associação entre variáveis, pode ser negativo ou 
positivo. Seu campo de variação se estende de – 1, que indica perfeita associação negativa até + 1, que 
indica uma perfeita associação positiva. Um valor de r nulo mostra que não existe ligação entre as variáveis.
36
No nosso caso fica:
SQT
SQRQSQRL
R

2 = 8801,0
83,941.1
84,285.115,423
² 

R = 88,01%
O coeficiente de determinação r2 = 88,01% (0,8801) nos informa que 88,01% das variações no peso 
de 1000 sementes são devidas às variações nas doses de gesso aplicadas em Kg/ha. 
Por fim devemos calcular os valores esperados ( ŷ ) através da equação, e os valores observados (y 
obs) pelas médias dos tratamentos, e traçar a curva de regressão.
Devemos ter   yyobs ˆ , então temos:
TRATAMENTOS (X) Y Obs Y estimado
0 138,60 140,78
50 153,60 152,51
100 164,53 160,32
150 164,93 164,22
200 158,73 164,20
250 159,98 160,27
300 154,43 152,42
 1.094,80 1.094,72
135
140
145
150
155
160
165
170
0 50 100 150 200 250 300 350
Doses de gesso (kg/ha)
P
es
o 
de
 1
.0
00
 s
em
en
te
s
6.4 A PREDIÇÃO E SEUS PROBLEMAS
As equações de regressão são muito usadas nos estudos de séries temporais, nos experimentos 
agrícolas de adubação, espaçamento e outros tipos onde os tratamentos constituem níveis crescentes de um 
fator. 
Todo cuidado deve ser tomado em relação ao seu uso, a fim de evitar os abusos que são muito comuns 
quando se emprega a técnica de regressão. Sempre que se pretende usar a experiencia adquirida no passado 
37
para prever eventos no futuro, devemos estar confiantes de que os dados passados são pertinentes, ou seja, 
que as mesmas considerações fundamentais de operação que existiam no passado, prevaleçam na época em 
que se aplica a predição.
O uso da equação de regressão é, em peral, válido dentro do intervalo de variação da variable 
independente. A extrapolação para valores fora dos limites da variable é perigosa e só é válida se temos 
conhecimento do fenómeno em estudo. O problema que surge é que não sabemos se fora dos limites no qual 
estimamos a curva de regressão, ela ainda continua a mostrar aquele comportamento. Por tanto, estime a sua 
equação, use e abuse dele em seu intervalo e esteja previnido contra os perigos danosos da extrapolação, que
podem levar a resultados ilusórios.
EXERCÍCOS: ANÁLISE DE REGRESSÃO
1 : Um experimento foi realizado na Fazenda Itamarati, localizada em Ponta Porá, MS, com o objetivo de 
estudar o efeito de doses de cloreto de mepiquat, sobre algumas características do algodoeiro. O 
delineamento experimental foi o de blocos casualizados com quatro repetições. A doses utilizadas na 
aplicação foram: 0, 25, 50, 75 e 100 g/ha de ia de mepiquat. Os dados de massa seca de folhas se 
encontram na tabela 1 e do número de capulhos por planta na tabela 2.
Tabela 1. Massa seca de folhas (g/planta)
Blocos
Doses 1 2 3 4 total
0 23,9 25,2 23,4 24,0 96,5
25 22,3 22,8 23,1 20,5 88,7
50 20,1 19,8 21,4 20,9 82,2
75 18,5 18,4 17,6 19,1 73,6
100 17,6 17,3 18,0 17,1 70,0
Total 102,4 103,5 103,5 101,6 411,0
2 : Um trabalho foi realizado com o objetivo de estudar o efeito de seis espaçamentos (entre plantas na linha
de plantio) na produção de frutos do maracujazeiro amarelo. O experimento foi conduzido no Centro de
Pesquisae Extensão em Fruticultura tropical, em Porto Lucena, RS. O delineamento experimental foi de
blocos casualizados com 4 repetições. Os dados de peso de fruto em t/há encontram-se a seguir. 
Tabela 1. Os dados de peso de frutos em t/ha
Espaçamento
BLOCOS
1 2 3 4
1,25 46,36 46,28 48,50 45,97
2,00 44,16 40,00 43,29 43,20
2,75 42,58 40,00 40,27 40,56
3,50 41,74 33,29 41,00 43,00
4,25 40,82 38,29 43,87 41,57
5,00 44,63 50,27 48,00 45,00
38
39
	1 1 + 2 2 + . . . +n n , onde:
	Cov (1, 2) = (a1x1 + a2x2 + ...+ anxn) 
	S = , onde:
	S =
	S =
	S =
	S 
	S =
	S =
	S =
	S =  S =
	REPETIÇÕES
	REPETIÇÕES
	TRAT’S
	BLOCOS
	TOTAIS
	1
	V1
	P2 = x²-, n = número de níveis = 7
	6.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO