Medidas de dispersão

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Mauricio Martins do Fanno
Medidas de Dispersão
Objetivos do módulo
As medidas de dispersão completam a informação contida nas medidas de posição, revelando o afastamento ou desvio dos elementos do valor central. Quanto menor for a dispersão de uma amostra maior será a qualidade da informação contida na medida de posição, ou em outras palavras, menor a margem de erro que será assumido considerando a medida de posição como representante de toda a amostra.
Existem basicamente dois grandes grupos de medidas de dispersão: 
· Medidas de dispersão absolutas – levam em conta a dispersão propriamente dita
· Medidas de dispersão relativas – levam em conta simultaneamente uma medida de posição e a medida de dispersão correspondente. São úteis para efetuarmos comparações entre amostras.
O objetivo deste capítulo é tomarmos contato com ambos os grupos.
4.1 – Medidas de dispersão absolutas
1.1.1 – Amplitude total
A amplitude total (At) já é nossa conhecida e é a mais elementar das medidas de dispersão. È extremamente fácil de ser calculada, mas de difícil interpretação, em especial quando os dados extremos são muito grandes ou muito pequenos. São mais utilizadas, portanto, quando as distribuições apresentam certa homogeneidade.
Por exemplo, suponha que tenhamos as valorizações mensais das ações de duas diferentes empresas A e B, com os seguintes valores (em porcentagem):
Empresa A = {21,5; 18,0; 26,3; 32,4; 45,1; 18,6; 37,6}
Empresa B = {15,3; 19,7; 23,9; 16,7; 25,9; 14,6; 18,9; 25,8}
As amplitudes seriam respectivamente de 45,1 - 18,0 = 27,1% para a s ações da empresa A e de 25,9 – 14,6 = 11,3% para a empresa B. Em outras palavras as variações máximas seriam de 27,1% para as ações da empresa A e de 11,3% para a empresa B. Logo, o risco de oscilação é maior para a empresa A do que para a empresa B.
1.1.2 – Desvio Médio
É definido como a média aritmética do módulo
 dos desvios dos elementos em relação à média dos mesmos. Entende-se por desvio a diferença entre o valor de um elemento da amostra para a média dessa mesma amostra: 
27
8
216
=
Þ
=
Þ
S
=
X
X
N
x
X
i
Portanto o desvio médio será dado pela fórmula:
O exemplo abaixo deixará mais claro esse processo.
Exemplo 1
Calcular o desvio médio da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29; 32; 37}.
O primeiro passo será calcular a média aritmética destes valores e em seguida os desvios de cada um dos valores. Em seguida somaremos o módulo destes valores dividindo-os pelo número total de elementos da amostra. O quadro abaixo mostra passo a passo esses cálculos:
Valores
Módulo dos 
desvios
11818 - 27 =-99
22121 - 27 =-66
32222 - 27=-55
42727 - 27=00
52828 - 27=11
62929 - 27 =22
73333 - 27=66
83838 - 27=1111
Soma21640
40/8 = 5
Ordem dos 
Elementos
Média 216/8=27
Desvios
0
Desvio 
médio (dm)
)(X Xxd
ii
 || Xxd
ii

 
Observe que a soma dos desvios é zero, o que é evidente. O próprio conceito de média (valor eqüidistante de todos os elementos da amostra) nos conduz a isso. O conceito de desvio médio só tem sentido quando utilizamos o módulo dos desvios. Para ficar mais claro veja abaixo os cálculos feitos, utilizando-se das fórmulas informadas:
Cálculo da média: 
Cálculo do desvio médio:
Quando trabalhamos com dados agrupados em classes ou não utilizaremos exatamente o mesmo processo de cálculo, evidentemente com alterações nas fórmulas de cálculos introduzindo-se o conceito de freqüência simples, como se mostra a seguir:
Observar que para dados agrupados em classes o cálculo dos desvios é dado por:
X
pm
d
i
i
-
=
Os exemplos a seguir demonstram esses cálculos.
Exemplo 2
Calcular o desvio médio da amostra de distribuição abaixo, relativa ao número de acidentes diários numa estrada federal.
Número de 
Acidentes 
Diários
Dias 
pesquisados
ValorFrequencia
xi.fi
0120-3,63,643,5
11515-2,62,639,4
22856-1,61,645,6
423920,40,48,6
519951,41,426,1
68482,42,419,0
86484,44,426,2
104406,46,425,5
112227,47,414,7
121128,48,48,4
Somas118428257,0
Média3,62,2Desvio Médio
DISTRIBUIÇÃO DE ACIDENTES POR DIA - ESTRADA X
Valor x 
frequencia
Desvios
Módulo 
dos 
desvios
Módulo 
dos desvios 
x 
frequencia
Xxd
ii
 || Xxd
ii

Exemplo 3
Calcular o desvio médio da amostra de distribuição abaixo, relativa ao tempo de mão de obra gasto com a manutenção dos aviões de uma empresa aérea
Pontos 
médios de 
classe
Manutenções
pesquisadas
ValorFrequencia
li lspmi
pmi.fi
10|---31,52639-4,14,1106,0
23|---64,52090-1,11,121,5
36|---97,5161201,91,930,8
49|---1210,5101054,94,949,2
512|--|1513,56817,97,947,5
Somas78435255,1
Média5,63,3
Classes
Limites de 
classes
DISTRIBUIÇÃO DAS HORAS DE MANUTENÇÃO - AERO X
Desvio Médio
Valor x 
frequencia
Desvios
Módulo 
dos 
desvios
Módulo 
dos 
desvios x 
frequencia
|| Xxd
ii
Xxd
ii

1.1.3 – Variância
A definição de desvio médio leva em consideração os desvios dos elementos tomados a 1ª potencia. Matematicamente demonstra-se que os efeitos de desvio são mais bem representados quando tomados ao quadrado. Essa consideração nos leva à definição das duas mais importantes medidas de variabilidade absolutas: a variância e o desvio padrão que veremos em seguida.
A variância é o somatório dos desvios tomados ao quadrado, ou seja, é basicamente a mesma definição do desvio médio alterando-se apenas a potencia dos desvios
:
No caso em que estivermos trabalhando com dados agrupados a forma naturalmente deverá incluir o conceito de freqüência simples, ou seja:
Os exemplos de 1 a 3 no próximo item mostram o cálculo da variância nos vários casos possíveis.
1.1.4 – Desvio Padrão
O cálculo ou análise da variância tem um grande inconveniente prático: Ela apresenta unidades ao quadrado em relação à medida de tendência central. Por exemplo, suponha que queremos descrever uma amostra de salários de uma empresa. Poderíamos afirmar que o salário médio da empresa é de 1340 reais e a variância de 11025 reais ao quadrado.
Observe a estranheza que causa a unidade: “reais ao quadrado”. Sem falar do número extravagante que resultou dos cálculos. Para contornar-se esse problema define-se a mais utilizada das medidas de variabilidade: o desvio padrão.
Conceitualmente o desvio padrão é a raiz quadrada da variância e é simbolizado pela letra S maiúscula. Dessa forma é calculado pelas fórmulas:
Para dados isolados, e
Para dados agrupados em classes ou não.
Nos exemplos de 1 a 3 a seguir são calculados os valores do desvio padrão e da variância, de maneira semelhante ao que foi feito anteriormente para o desvio médio. Observe que o cálculo segue os seguintes para em ambos os casos:
1. Calcular a média da distribuição.
2. Calcular os desvios de cada elemento
3. Calcular o quadrado dos desvios 
4. Somar o quadrado dos desvios (usando o conceito de freqüência caso sejam dados agrupados)
5. Dividir a soma obtida pelo número de elementos menos 1, obtendo-se a variância, e
6. Extrair a raiz quadrada, obtendo-se o desvio padrão.
Exemplo 1
Calcular a média e o desvio padrão da amostra {18; 21; 22; 27; 28; 29; 32; 37}.
Valores
Desvios ao 
quadrado
11818 - 27 =-981
22121 - 27 =-636
32222 - 27=-525
42727 - 27=00
52828 - 27=11
62929 - 27 =24
73333 - 27=636
83838 - 27=11121
Soma216304
304/7 = 43,4
6,6
Ordem dos 
Elementos
Média 216/8=27
Desvios
0
Variância
Desvio padrão
)(X Xxd
ii

 
27
8
216
=
Þ
=
Þ
S
=
X
X
N
x
X
i
27
8
216


 XX
N
x
X
i
Cálculo da média: 
Cálculo da Variância:
Cálculo do Desvio Padrão:
Exemplo 2
Calcular a variância e o desvio padrão da amostra de distribuição abaixo, relativa ao número de acidentes diários numa estrada federal.
Número de 
Acidentes 
Diários
Dias 
pesquisados
ValorFrequencia
xi.fi
x
0120-3,613,2157,9
11515-2,66,9103,5
22856-1,62,674,1
423920,40,13,2
519951,41,935,8
68482,45,645,0
86484,419,1114,7
104406,440,6162,5
112227,454,4108,7
121128,470,170,1
Somas118428875,6
Média3,67,5
2,7Desvio Médio
VariânciaDISTRIBUIÇÃO DE ACIDENTES POR DIA - ESTRADA X
Valor x 
frequencia
Desvios
Quadrado 
dos 
desvios
Quadrado 
dos desvios 
x 
frequencia
Xxd
ii

Cálculo da variância:
Cálculo do Desvio padrão:
Exemplo 3
Calcular o desvio padrão da amostra de distribuição abaixo, relativa ao tempo de mão de obra gasto com a manutenção dos aviões de uma empresa aérea
Pontos 
médios de 
classe
Manutenções
pesquisadas
ValorFrequencia
li lspmi
pmi.fi
x
10|---31,52639-4,116,6432,2
23|---64,52090-1,11,223,2
36|---97,5161201,93,759,2
49|---1210,5101054,924,2242,4
512|--|1513,56817,962,8376,7
Somas784351133,5
Média5,614,7
3,8Desvio Padrão
Classes
Limites de 
classes
DISTRIBUIÇÃO DAS HORAS DE MANUTENÇÃO - AERO X
Variância
Valor x 
frequencia
Desvios
Quadrado
dos 
desvios
Quadrado 
dos 
desvios x 
frequencia
Xxd
ii

Cálculo da variância:
Cálculo do Desvio padrão:
O desvio padrão é a mais utilizada medida de dispersão e quando relacionada com a média informar a quantidade de elementos da amostra ou da população que se situam em torno da média. 
O mais comum, na Estatística é que essa relação entre média e desvio padrão seja feita pela chamada distribuição normal, a qual nós voltaremos no curso de Estatística para Administradores. Nessa relação, valida na maior parte dos casos práticos, segue-se os seguintes Intervalos:
1. Entre a média mais uma vez o desvio padrão e a média menos uma vez o desvio padrão estão contidos 68% dos elementos da amostra ou da população.
2. Entre a média mais duas vezes o desvio padrão e a média menos duas vezes o desvio padrão estão contidos 85% dos elementos da amostra ou da população.
3. Entre a média mais três vezes o desvio padrão e a média menos três vezes o desvio padrão estão contidos 99,74% dos elementos da amostra ou da população.
4. Entre a média mais quatro vezes o desvio padrão e a média menos quatro vezes o desvio padrão estão contidos 100% dos elementos da amostra ou da população.
Exemplo: Um estudo estatístico com 4850 alunos de Administração da Produção de uma Universidade mostrou que a nota final média deles foi de 5,3 com desvio padrão 1,2. Quantos alunos tiveram médias finais entre 4,1 e 6,5?
Observe que as notas: 4,1 e 6,5 correspondem exatamente à média menos um desvio padrão (5,3 – 1,2 = 4,1) e à média mais um desvio padrão (5,3 + 1,2 = 6,5). Portanto 68% dos alunos estão contidos nesse intervalo, ou seja: 68% de 4850 são 3280 alunos. 
Podemos, portanto afirmar que 3280 alunos tiveram notas entre 4,1 e 6,5.
4.2 – Medidas de dispersão relativas
A maneira mais comum de se informar de maneira sintética (resumida) dados quantitativos é através de uma medida de posição (média, mediana ou moda) em conjunto com uma medida de dispersão absoluta (desvio médio, variância ou desvio padrão). O mais comum é o par de informações: média - desvio padrão.
Freqüentemente, no entanto, é interessante utilizar-se as chamadas medidas de dispersão relativas que analisam simultaneamente uma medida de posição e a mediada de dispersão correspondente. São especialmente interessantes essas medidas quando fazemos comparações entre amostras diferentes.
A rigor podemos obter essas medidas, costumeiramente chamadas de coeficientes de variação, dividindo uma medida de dispersão por uma medida de posição, no entanto, as mais comuns são:
1. Coeficiente de variação de Pearson: divisão do desvio padrão pela média:
100
ou 
 
´
=
=
X
S
Cv
X
S
Cv
p
p
2. Coeficiente de variação de Thorndike: divisão do desvio padrão pela mediana:
100
ou 
 
´
=
=
Me
S
Cv
Me
S
Cv
p
p
O exemplo a seguir mostra uma aplicação dos coeficientes de variação, num caso de ordem prática:
Um especialista estudou, estatisticamente, dois tipos de investimentos chegando às conclusões do quadro abaixo. Qual é o investimento que apresenta menor risco?
XY
RETORNO ESPERADO12%20%
DESVIO PADRÃO9%10%
O especialista teria chegado a 
essas conclusões através de um 
estudo estatístico no qual 
pesquisou e resumiu os retornos 
ocorridos no passado, conforme 
vimos no item 3.1
Analogamente o especialista 
teria calculado o devio padrão 
conforme vimos no item 4.1.4
APLICAÇÕES
ESTATÍSTICASOBSERVAÇÕES
Observe que se o especialista comparasse as aplicações somente com base em seus desvios padrões, ele preferiria a aplicação X, uma vez que essa aplicação tem um desvio padrão menor que Y (9% versus 10%). Essa comparação seria baseada no fato de que sendo mais homogênea a aplicação A “daria menos sustos”. No entanto, se ele calculasse e comparasse os coeficientes de variação, chegaria a conclusões diferentes:
XY
RETORNO ESPERADO12%20%
DESVIO PADRÃO9%10%
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO 
DE PEARSON
75%50%
APLICAÇÕES
ESTATÍSTICAS
A Comparação dos coeficientes de variação das aplicações mostra que o especialista estaria cometendo um erro sério se escolhesse a aplicação X em vez da aplicação Y, já que a dispersão relativa, ou risco, das aplicações, conforme refletida no coeficiente de variação é menor para o ativo Y do que para o X (50% versus 75%). Evidentemente, o uso do coeficiente de variação para comparar o risco da aplicação é melhor porque este também considera o tamanho relativo, ou retornos esperado, das aplicações
5.1 – Relações Gráficas entre as medidas estatísticas
Nos estudos e análises estatísticos é interessante e importante visualizar as informações contidas nos dados através do uso dos diversos gráficos, assunto esse que tratamos no Modulo 2. 
Quando utilizamos os histogramas é facilmente perceptível que as freqüências dos valores mais centrais tendem a serem maiores que as dos valores extremos. Este comportamento nos permitirá conclusões importantes no capítulo da Estatística Indutiva, porque, via de regra, ocorre de modo repetitivo. 
Observações do padrão de comportamento das distribuições mostram que grande parte delas tende a se apresentar da maneira conhecida como Distribuição Normal.
A figura 5.1 mostra o comportamento estatístico de uma distribuição de freqüências relativa aos pesos de um grupo de pessoas qualquer. Observe que os pesos próximos da média têm maior freqüência e o longe da média menor. Observe também a curva que se forma pela distribuição das colunas. 
No curso de Estatística para Administradores iremos retornar ao assunto quando diremos, por exemplo, que é pouco provável alguém ter peso acima de 100 kg ou abaixo de 35 kg, e utilizaremos essa curva para determinar qual é essa probabilidade, se houver.
Por ora iremos nos preocupar com a variação de formatos desse tipo de curva, chamada de Curva Normal, ou Curva de Gauss ou ainda de Curva do Sino. Em teoria espera-se que essa curva tenha comportamento mostrado nas curvas desenhada em linha continua nas figuras 5.2 e 
5.3.
Mas na prática ocorrem deformações nessas curvas, demonstradas nas curvas pontilhadas das mesmas figuras. Essas deformações são chamadas respectivamente de Assimetria (figura 5.2) e curtose (figura 5.3).
 
1.1.1 Assimetria
A Assimetria mede o quanto a distribuição se afasta da média. Esse afastamento pode ocorrer para a direita ou para a esquerda, gerando respectivamente as assimetrias positiva e negativa.
O grau de assimetria é dado freqüentemente pelo chamado 1º coeficiente de Pearson
:
S
Me
X
As
-
=
Onde: 
As = coeficiente de assimetria
X
= Média
Me = Mediana
S = Desvio Padrão
Caso:
As = 0 a distribuição é simétrica
As > 0 a distribuição é assimétrica positiva ou à direita
As < 0 a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda
Por esse critério costuma-se classificar as distribuições da seguinte maneira:
Caso As ≤ -1
: assimétrica negativa forte
Caso -1 < As < 0
: assimétrica negativa fraca 
Caso As = 0
: simétrica 
Caso 0 < As < 1
: assimétrica positiva fraca 
Caso As ≥ 1
: assimétrica positiva forte
1.1.2 Curtose
A Curtose mede o quanto a distribuição se alonga ou achata em relação à curva teórica.. A curva teórica é chamada de mesocúrtica; as mais alongadas de leptocúrtica e as mais achatadasde platicúrtica
O grau de curtose é dado freqüentemente pelo coeficiente:
Onde: K = coeficiente de curtose
 = desvios
 = Desvio Padrão
Caso:
K = 0 a distribuição é mesocúrtica
K > 0 a distribuição é leptocúrtica
K < 0 a distribuição é platicúrtica
O exemplo a seguir demonstra o cálculo da assimetria e da curtose de uma distribuição referente ao consumo de energia elétrica entre 1245 famílias de determinada região.
Observando os cálculos da próxima página notamos que a distribuição (e a curva dela decorrente) é assimétrica negativa fraca, ou seja, ligeiramente deslocada para a esquerda e que é platicúrtica, ou seja, achatada, A curva teria a aparência aproximada abaixo (a curva pontilhada é a do exercício a cheia é a padrão):
Número de 
famílias
Frequencia
l
i 
l
s
 xxx
10|----50158251583.950-19236.9445.837.1891.364.876.602215.650.503.107
250|----100100752587.500-14220.2232.022.335408.984.00040.898.400.046
3100|----15011212537014.000-928.502952.27772.291.9848.096.702.259
4150|----20016417553428.700-421.782292.1803.174.048520.543.855
5200|----25017522570939.37586110.6233.685644.833
6250|----30028027598977.000583.340935.14911.154.3893.123.228.929
7300|----350843251.07327.30010811.619975.991134.999.65511.339.970.993
8350|----400633751.13623.62515824.8981.568.577619.912.97639.054.517.468
9400|----450564251.19223.80020843.1772.417.9211.864.267.846104.398.999.377
10450|---|500534751.24525.17525866.4563.522.1834.416.437.760234.071.201.262
1.245270.42518.534.426657.154.712.129
Desvios 
ao 
quadrado
Desvio ao 
quadrado x 
frequencias
Desvios a 
quarta 
potência
Desvios a quarta 
potência x 
frequenciasValor
SOMATÓRIOS
Classes 
número
Consumo 
Mensal por 
Pontos 
médios 
de classe
Frequencia 
aumulada 
crescente
pontos 
médios x 
frequencias
Desvios
Xxd
ii

· Cálculo da Média:
· Cálculo do Desvio Padrão:
· Cálculo da Mediana:
· Elemento Mediano:
· Mediana:
· Cálculo da Assimetria:
· Cálculo da Curtose:
Referências Bibliográficas
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MEDEIROS, E.; MEDEIROS, E.; GONÇALVES, V.; MUROLO, A. C. Tabelas de Estatística para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1999.. 
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WITTE, R. S.; WITTE, J.S.. Estatística. 7ª. Ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 2005.
. 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� Define-se módulo ou valor de um número a distância deste número para zero, independente do sinal, ou seja, modulo de um número positivo e modulo de um número negativo é o seu simétrico, ou seja, o mesmo número positivo. Para efeito do cálculo do desvio médio, consideramos o número sempre positivo seja qual for seu sinal. 
� Observe também uma alteração no denominador da fórmula, ao invés de N é N-1. Essa alteração é importante quando tratarmos dos assuntos relativos a Estimação Estatística (no Curso de Estatística para Administradores). A rigor utilizaremos a fórmula acima para amostras e a mesma fórmula com denominador igual a N para populações.
� Adaptado de GITMAN, Lawrence J. – Princípios de Administração Financeira. São Paulo: Harbra, 2003.
� Existem outras medidas de assimetria, alem do 1º coeficiente de Pearson
� Existem outros coeficientes de curtose, além do apresentado aqui.
27
8
216
=
Þ
=
Þ
S
=
X
X
N
x
X
i
27
8
216


 XX
N
x
X
i
_1347187871.unknown
Plan1
		DISTRIBUIÇÃO DE ACIDENTES POR DIA - ESTRADA X
		Número de Acidentes Diários		Dias pesquisados		Valor x frequencia		Desvios		Quadrado dos desvios		Quadrado dos desvios x frequencia
		Valor		Frequencia
						xi.fi						x
		0		12		0		-3.6		13.2		157.9
		1		15		15		-2.6		6.9		103.5
		2		28		56		-1.6		2.6		74.1
		4		23		92		0.4		0.1		3.2
		5		19		95		1.4		1.9		35.8
		6		8		48		2.4		5.6		45.0
		8		6		48		4.4		19.1		114.7
		10		4		40		6.4		40.6		162.5
		11		2		22		7.4		54.4		108.7
		12		1		12		8.4		70.1		70.1
		Somas		118		428						875.6
				Média		3.6		Variância				7.5
								Desvio Médio				2.7
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

Plan1
		ESTATÍSTICAS		APLICAÇÕES				OBSERVAÇÕES
				X		Y
		RETORNO ESPERADO		12%		20%		O especialista teria chegado a essas conclusões através de um estudo estatístico no qual pesquisou e resumiu os retornos ocorridos no passado, conforme vimos no item 3.1
		DESVIO PADRÃO		9%		10%		Analogamente o especialista teria calculado o devio padrão conforme vimos no item 4.1.4
_1347187882.unknown
_1347187883.unknown
Plan1
		Classes número		Consumo Mensal por familia						Número de famílias		Pontos médios de classe		Frequencia aumulada crescente		pontos médios x frequencias		Desvios		Desvios ao quadrado		Desvio ao quadrado x frequencias		Desvios a quarta potência		Desvios a quarta potência x frequencias
				Valor						Frequencia
				li 				ls								 x						x				x
		1		0		|----		50		158		25		158		3,950		-192		36,944		5,837,189		1,364,876,602		215,650,503,107
		2		50		|----		100		100		75		258		7,500		-142		20,223		2,022,335		408,984,000		40,898,400,046
		3		100		|----		150		112		125		370		14,000		-92		8,502		952,277		72,291,984		8,096,702,259
		4		150		|----		200		164		175		534		28,700		-42		1,782		292,180		3,174,048		520,543,855
		5		200		|----		250		175		225		709		39,375		8		61		10,623		3,685		644,833
		6		250		|----		300		280		275		989		77,000		58		3,340		935,149		11,154,389		3,123,228,929
		7		300		|----		350		84		325		1,073		27,300		108		11,619		975,991		134,999,655		11,339,970,993
		8		350		|----		400		63		375		1,136		23,625		158		24,898		1,568,577		619,912,976		39,054,517,468
		9		400		|----		450		56		425		1,192		23,800		208		43,177		2,417,921		1,864,267,846		104,398,999,377
		10		450		|---|		500		53		475		1,245		25,175		258		66,456		3,522,183		4,416,437,760		234,071,201,262
		SOMATÓRIOS								1,245						270,425						18,534,426				657,154,712,129
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

Plan1
		ESTATÍSTICAS		APLICAÇÕES
				X		Y
		RETORNO ESPERADO		12%		20%
		DESVIO PADRÃO		9%		10%
		COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON		75%		50%
_1347187878.unknown_1347187879.unknown
Plan1
		DISTRIBUIÇÃO DAS HORAS DE MANUTENÇÃO - AERO X
		Classes		Limites de classes						Pontos médios de classe		Manutençõespesquisadas		Valor x frequencia		Desvios		Quadradodos desvios		Quadrado dos desvios x frequencia
										Valor		Frequencia
				li 				ls		pmi				pmi.fi						x
		1		0		|---		3		1.5		26		39		-4.1		16.6		432.2
		2		3		|---		6		4.5		20		90		-1.1		1.2		23.2
		3		6		|---		9		7.5		16		120		1.9		3.7		59.2
		4		9		|---		12		10.5		10		105		4.9		24.2		242.4
		5		12		|--|		15		13.5		6		81		7.9		62.8		376.7
										Somas		78		435						1133.5
												Média		5.6		Variância				14.7
																Desvio Padrão				3.8
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

Plan1
		DISTRIBUIÇÃO DAS HORAS DE MANUTENÇÃO - AERO X
		Classes		Limites de classes						Pontos médios de classe		Manutençõespesquisadas		Valor x frequencia		Desvios		Módulo dos desvios		Módulo dos desvios x frequencia
										Valor		Frequencia
				li 				ls		pmi				pmi.fi
		1		0		|---		3		1.5		26		39		-4.1		4.1		106.0
		2		3		|---		6		4.5		20		90		-1.1		1.1		21.5
		3		6		|---		9		7.5		16		120		1.9		1.9		30.8
		4		9		|---		12		10.5		10		105		4.9		4.9		49.2
		5		12		|--|		15		13.5		6		81		7.9		7.9		47.5
										Somas		78		435						255.1
												Média		5.6		Desvio Médio				3.3
|
|
X
x
d
i
i
-
=
|| Xxd
ii

X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

Plan1
		Ordem dos Elementos		Valores		Desvios						Desvios ao quadrado
		1		18		18 - 27 		=		-9		81
		2		21		21 - 27 		=		-6		36
		3		22		22 - 27		=		-5		25
		4		27		27 - 27		=		0		0
		5		28		28 - 27		=		1		1
		6		29		29 - 27 		=		2		4
		7		33		33 - 27		=		6		36
		8		38		38 - 27		=		11		121
		Soma		216		0						304
		Média 		216/8=27		Variância						304/7 = 43,4
						Desvio padrão						6.6
)
(
X
)(X
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

_1347187875.unknown
Plan1
		DISTRIBUIÇÃO DE ACIDENTES POR DIA - ESTRADA X
		Número de Acidentes Diários		Dias pesquisados		Valor x frequencia		Desvios		Módulo dos desvios		Módulo dos desvios x frequencia
		Valor		Frequencia
						xi.fi
		0		12		0		-3.6		3.6		43.5
		1		15		15		-2.6		2.6		39.4
		2		28		56		-1.6		1.6		45.6
		4		23		92		0.4		0.4		8.6
		5		19		95		1.4		1.4		26.1
		6		8		48		2.4		2.4		19.0
		8		6		48		4.4		4.4		26.2
		10		4		40		6.4		6.4		25.5
		11		2		22		7.4		7.4		14.7
		12		1		12		8.4		8.4		8.4
		Somas		118		428						257.0
				Média		3.6		Desvio Médio				2.2
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

|
|
X
x
d
i
i
-
=
|| Xxd
ii

_1347187868.unknown
Plan1
		Ordem dos Elementos		Valores		Desvios						Módulo dos desvios
		1		18		18 - 27 		=		-9		9
		2		21		21 - 27 		=		-6		6
		3		22		22 - 27		=		-5		5
		4		27		27 - 27		=		0		0
		5		28		28 - 27		=		1		1
		6		29		29 - 27 		=		2		2
		7		33		33 - 27		=		6		6
		8		38		38 - 27		=		11		11
		Soma		216		0						40
		Média 		216/8=27		Desvio médio (dm)						40/8 = 5
)
(
X
)(X
X
x
d
i
i
-
=
Xxd
ii

|
|
X
x
d
i
i
-
=
|| Xxd
ii

_1347187870.unknown
_1347187867.unknown