3AKX1 - Exam 2014-01

Prévia do material em texto

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Faculteit Technische Natuurkunde
Eindtoets Variabelen, Dimensies en Dynamica (3AKX1)
dinsdag 28 januari 2014, 14.00-17.00 uur.
De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
opgeschreven te worden. Motiveer al uw antwoorden!
Het gebruik van boeken, aantekeningen en andere hulpmiddelen is niet toege-
staan.
Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is
aangegeven.
Opgave 1 [5 ptn]
Beantwoord de volgende vragen met “ja” of “nee” en geef daarbij een korte ar-
gumentatie.
(a) Een dynamisch systeem wordt beschreven door
dx
dt
= α(x+ 1)3 + βt2 − 1, (1)
met α en β constanten. Is het waar dat de faseruimte van dit systeem
één-dimensionaal is? [1 ptn]
(b) Beschouw nogmaals het dynamisch systeem (1). Is het waar dat de geline-
ariseerde versie van dit systeem voor kleine x wordt gegeven door
dx
dt
= 3αx+ 2βt?
[1 ptn]
(c) Beschouw een variant van het Lotka-Volterra-populatiemodel, waarbij een
van de soorten (y) met een harmonische ”bron”geforceerd wordt:
ẋ = ax− cxy,
ẏ = −by + cxy + A [1− cos(Ωt)] ,
met a, b en c constanten, A en Ω de forcerings-amplitude en -frequentie. Is
het waar dat dit systeem chaotisch gedrag kan vertonen? [1 ptn]
(d) De verplaatsing x (dimensie [m]) van een massa als functie van de tijd t
(dimensie [s]) wordt bepaald door de volgende evolutievergelijking:
d2x
dt2
+ α
dx
dt
+ g sin
(x
L
)
= 0.
1
Is het waar dat een dimensieloze vorm van deze vergelijking wordt gegeven
door
d2x̃
dt̃2
+
dx̃
dt̃
+ S sin(x̃) = 0,
met S = α2L/g? [1 ptn]
(e) Een dynamisch systeem wordt beschreven door de twee grootheden x(t) en
y(t), welke zijn gegeven door:
x(t) = (1 + e−t) sin(t),
y(t) = (1− e−t) cos(t).
Is het waar dat dit systeem evolueert naar een limit cycle? [1 ptn]
Opgave 2 [6 pt])
Beschouw een cilindrisch waterreservoir met doorsnede-oppervlak A0. Via een
toevoerbuis aan de bovenzijde stroomt water naar binnen (volumeflux ϕ1(t)),
terwijl via een afvoerbuis aan de onderzijde water uit het reservoir wegstroomt
(volumeflux ϕ2(t)), zie figuur 1.
Figuur 1: Tekening bij Opgave 2
(a) Stel de evolutievergelijking op die de verandering van de waterhoogte h(t)
in het reservoir relateert aan de in- en uitgaande volumefluxen. [1 ptn]
Er is gegeven dat de ingaande volumeflux constant is: ϕ1(t) = ϕ̄1 = constant,
terwijl de uitgaande volumeflux afhangt van de waterdiepte: ϕ2(t) = α
√
h(t),
met α een positieve constante.
(b) Bepaal de dimensie van de constante α. [1 ptn]
Na enige tijd stelt zich een evenwicht in, waarbij het waterniveau niet meer ver-
andert in de tijd: h(t) = constant = h̄.
(c) Bepaal deze waterdiepte h̄. [1 ptn]
2
De in- en uitstroomcondities worden nu gewijzigd: de ingaande volumeflux wordt
constant gehouden (ϕ1(t) = ϕ̄1 = constant) terwijl de uitgaande volumeflux in
de tijd verandert:
ϕ2(t) = ϕ̄2 sin(ωt),
met ϕ̄2 en ω positieve constanten.
(d) Bepaal de oplossing voor h(t). Geef deze oplossing grafisch weer voor de
gevallen (i) ϕ̄1 = ϕ̄2 en (ii) ϕ̄1 > ϕ̄2. [3 ptn]
Opgave 3 [6 pt])
De evolutie van een populatie x(t) wordt beschreven door
dx
dt
= βx− αx, (2)
waarbij α en β factoren zijn die sterfte (= afname) en geboorten (= toename)
beschrijven. Als α en β constanten zijn, schrijven we r = β − α (= constant).
(a) Geef de algemene oplossing van (2). [1 ptn]
(b) Indien r > 0 neemt de populatie x(t) toe in de tijd. Geef een uitdrukking
voor de tijd T waarin de populatie verdubbelt. [2 ptn]
We bekijken nu de situatie dat de sterfte toeneemt met de omvang van de po-
pulatie (bijvoorbeeld door te weinig voedsel), waarbij α in (2) wordt vervangen
door α+γx(t), met α en γ positieve constanten. Vergelijking (2) wordt daarmee:
dx
dt
= βx− (α + γx)x. (3)
(c) Laat zien dat er voor r > 0 twee stationaire toestanden bestaan: een triviale
en een niet-triviale. [1 ptn]
(d) Schets het gedrag van de oplossing x(t) van (3). [2 ptn]
Opgave 4 [3 ptn]
Beschouw het volgende twee-dimensionale systeem:
ẋ = y,
ẏ = x2 − 1.
(a) Bepaal de stationaire punten van dit systeem. [1 ptn]
(b) Onderzoek de aard (elliptisch of hyperbolisch) van deze stationaire punten.
[2 ptn]
3
Opgave 5 [4 ptn]
We beschouwen een systeem dat bifurcatiegedrag kan vertonen.
(a) Wat is een bifurcatie? Geef ook een voorbeeld. [2 ptn]
(b) Wat is hysterese? Geef een voorbeeld. [2 ptn]
Opgave 6 [4 ptn]
De evolutie van een dynamisch systeem wordt beschreven door de functies x(t)
en y(t), welke zijn gegeven door:
x(t) = sin(t),
y(t) = cos(t) + F (t).
Hierin is F (t) = sin(Ωt) de bronterm met Ω de bronfrequentie.
(a) Karakteriseer het gedrag van dit systeem door middel van Poincaré-secties
voor Ω = 2 en voor Ω = 3. [2 ptn]
(b) Hoe zien de Poincaré-secties eruit voor Ω = 5/3 en voor Ω =
√
5 ? [2 ptn]
Opgave 7 [2 pt]
Vanaf een tijdstip t = 0 voert een plaat een heen-en-weergaande beweging uit in
zijn eigen vlak met een frequentie ω. De plaat bevindt zich onder een vloeistof
waarvan de stroperigheid wordt bepaald door de viscositeit ν, welke een dimensie
[m2s−1] heeft. De vloeistoflaag heeft een diepte H. De tijd die verstrijkt voordat
men aan het vrije oppervlak (op hoogte H) iets merkt van de oscillerende plaat
wordt aangeduid met de tijdschaal T . Leid met behulp van een dimensieanalyse
het verband af tussen deze tijdschaal T en de andere relevante variabelen.
4