Modulo 7 - Fundamentos de Circuitos Elétricos - J735

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MÓDULO 7 – SINAL SENOIDAL, NÚMEROS COMPLEXOS E IMPEDÂNCIA
 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Introdução
Sinal Senoidal
Representação do sinal senoidal no domínio da frequência
Resistência, Indutância e Capacitância em regime senoidal
Bibliografia
 
1. Introdução
 
O sinal elétrico no regime de corrente alternada é uma onda senoidal. Será vista a técnica de transformação fasorial para se determinar a
resposta a uma excitação senoidal.
 
 
2. Sinal Senoidal
 
O termo sinal senoidal é usado para expressar os sinais cuja função no tempo é um seno ou um cosseno.
No estudo de circuitos elétricos em regime C.A. (corrente alternada) é adotada a função cosseno:
 
A = A0.cos(ωt+θ) (Eq.2.1)
 
Onde A0 = amplitude ou valor de pico do sinal
 ω = frequência angular (rad/s)
 ω=2.π.f => f = frequência (Hertz)
 f=1/T => T = período (s)
 t = tempo (s)
 θ = ângulo de fase ou simplesmente fase;
 
Assim são expressas a tensão e a corrente.
No caso de tensão, A e A0 tem como unidade o Volt e no caso de corrente elétrica a unidade é Ampére.
 
Valor eficaz ou rms (valor médio quadrático):
 
O valor eficaz de uma tensão ou corrente é definido como:
 
Onde A é uma função periódica com período T.
 
Para o sinal senoidal A = A0.cos(ωt+θ), o seu valor eficaz é:
Ou seja, o valor eficaz da tensão ou corrente senoidal é o seu valor de pico dividido por raiz quadrada de dois.
Como exemplo, uma tensão senoidal com valor eficaz de 127 Volts, tem um valor de pico de 179,61 Volts.
 
3. Representação do sinal senoidal no domínio da frequência
Como, na maioria dos casos, a análise de circuitos em regime C.A. ocorre numa determinada frequência, na representação dos sinais
senoidais suprime-se esta frequência.
A representação mais utilizada é na forma fasorial:
 
que representa a Eq. 2.1 apenas com o seu valor eficaz e fase.
 
3.1 Fasor nas formas retangular e polar:
A representação do fasor acima está na forma polar. Ele também pode ser representado, dependendo da conveniência, na forma
retangular:
 a+jb
onde j é o número imaginário:
 
3.2 Relações entre as formas polar e retangular:
Para a transformação de uma forma para a outra soa usadas as seguintes relações:
Partindo de:
 
- Da forma retangular para a polar:
 
 
- Da forma polar para a retangular: 
-
 
Graficamente:
 
Exemplos:
 
a) Transformar o seguinte fasor da forma retangular para a forma polar:
 F=3-j5
 
Como existem dois ângulos com a mesma tangente é necessário fazer uma análise, através dos sinais da parte real e imaginária, para
determinar em qual quadrante se encontra o fasor.
Como a parte real é positiva e a imaginária é negativa, o fasor encontra-se no 4º quadrante, portanto o ângulo θ é igual à -59,03°.
F=5,83 |-59,0°
 
b) Transformar o seguinte fasor da forma polar para a forma retangular:
F=29,15 |121,0°
 
F=-15,0+j25,0
 
3.3 Aritmética com fasores:
Soma:
Seja F=a+jb e G=c+jd
Então F+G=(a+c) +j (b+d)
Exemplo: se F=3-j5 e G=-4-j7, então F+G=-1-j12
Subtração:
Seja F=a+jb e G=c+jd
Então F-G=(a-c) +j (b-d)
Exemplo: se F=3-j5 e G=-4-j7, então F-G=7-j2
Multiplicação
Seja F=A1 | θ1 = a+jb e G=A2 | θ2 = c+jd
Então FxG = A1 x A2 | θ1 + θ2 = (ac-bd) + j(ad+bc)
Exemplo: Se F=50 | 30° e G=100 | -120° então F x G = 5000 | -90°
Divisão
Seja F=A1 | θ1 e G=A2 | θ2 
Então 
Exemplo: Se F=50 | 30° e G=100 | -120° então F ÷ G = 0,5 | 90°
 
4. Resistência, Indutância e Capacitância em regime senoidal
A capacitância é a capacidade de armazenamento de cargas elétricas. O capacitor é um componente com esta característica cuja
capacidade de armazenamento de cargas elétricas depende das suas dimensões e do material dielétrico na qual ele é constituído.
A capacitância (C) tem como unidade o Farad (F) e é definida como:
Onde Q é a quantidade de cargas elétricas (Coulomb) armazenadas e v é a diferença de potencial (Volts) aplicada aos terminais do
capacitor.
A partir da equação acima, temos que:
Derivando ambos os termos com relação ao tempo:
Como C é uma constante:
O membro à esquerda desta equação é a corrente elétrica, portanto:
Que mostra que só há passagem de corrente elétrica pelo capacitor se a tensão variar no tempo, ou seja, não há corrente elétrica no
capacitor caso a tensão seja contínua e constante.
O símbolo do capacitor é:
 
 O indutor é um componente constituído de um enrolamento com várias espiras, sobre uma base de material magnético ou meso o ar.
Quando aplicada uma corrente elétrica pelo indutor um campo magnético surgirá perpendicularmente à seção do enrolamento formando um
fluxo magnético. Se este fluxo magnético variar no tempo, então um força eletromotriz (tensão ou diferença de potencial) surgirá entre os
terminais do indutor.
A indutância cuja unidade é o Henry (H) é definida como:
 
Onde Φ é o fluxo magnético (Weber = Wb) e i é a corrente (A).
 Pela Lei de Faraday: 
 
onde v é a tensão (força eletromotriz)
Aplicando esta fórmula na fórmula da indutância:
Como L é uma constante:
Símbolo do indutor:
Em regime senoidal pode-se transformar estas equações de tensão e corrente da indutância e capacitância, para o domínio da frequência,
ou seja, transformar estas equações para a forma fasorial:
Capacitância: 
Indutância:
Onde ω é a frequência angular do sinal senoidal.
A relação V/I é a própria Lei de Ohm e aplicada ao regime senoidal, conforme mostrado acima, recebe a denominação de impedância. A
impedância, portanto, tem unidade Ohm e tem as características de uma resistência.
Temos portanto as seguintes impedâncias nas formas retangular e polar respectivamente, que serão representadas pela letra Z:
Resistência:
 
Capacitância: 
Indutância: 
Os módulos das impedâncias são chamados de reatância.
A impedância é representada pelo símbolo: 
Tanto a Lei de Ohm como as Leis de Kirchhoff são aplicadas às impedâncias, correntes e tensões na forma fasorial e, consequentemente,
as impedâncias equivalentes para as diversas associações (série e paralelo) obedecem às mesmas regras da resistência.
Exemplo:
Dado o circuito a seguir, em regime permanente senoidal, calcular a impedância equivalente “vista” pela fonte e a corrente elétrica na forma
fasorial:
O primeiro passo é transformar todos os valores para a forma fasorial:
Tensão da fonte: 
V=48 | 60° V
Impedância do resistor: ZR=500 | 0° Ω= 500 Ω
Impedância do indutor: ZL=2.π.5.103.10.10-3 | 90° = 314 | 90° Ω= j314 Ω
Impedância do capacitor: 
ZC = 637 | -90° Ω = -j637Ω
Representando, no circuito, as impedâncias e os fasores:
A impedância equivalente vista pela fonte é calculada através da fórmula da associação em série adaptada à impedância:
Zeq=Z1+Z2+Z3......+Zn
No exemplo: Zeq=500+j314-j637 = 500–j323 Ω
Ou na forma polar: Zeq=595 | -32,9° Ω
Aplicando a Lei de Ohm, obtêm-se a corrente:
 
No domínio do tempo a corrente é dada por: i(t)=114,1.cos(2.π.5.103t+92,9º) mA
As tensões em cada componente são achadas facilmente por:
 
VR=ZR.I = 500 | 0° . 0,0807 | 92,9° = 40,4 | 92,9° V= -2,0+j40,3 V
VL= ZL.I = 314 | 90° . 0,0807 | 92,9° = 25,3 | 182,9° V= -25,3-j1,3 V
VC=ZC.I = 637 | -90° . 0,0807 | 92,9° = 51,4 | 2,9° V= 51,3+j2,6 V
Ao aplicar a Lei das Tensões de Kirchhoff, pode-se verificar estes resultados:
V=VR+VL+VC
VR+VL+VC = -2,0+j40,3-25,3-j1,3+51,3+j2,6 = 24,0+j41,6 V = 48 | 60° V
 
BIBLIOGRAFIA
EDMINISTER, J.A.; Circuitos elétricos; 2ª Ed; São Paulo: Pearson (Coleção Schaum).
EDMINISTER, J.A.; Circuitos elétricos: Resumo da Teoria. 350 problemas resolvidos. 493 problemas propostos; São Paulo: Pearson 2003
(Coleção Schaum).
MARIOTTO, Paulo Antonio; Análise de Circuitos Elétricos; Edição 2003, Pearson.
Alexander& Sadiku, Fundamentos de Circuitos Elétricos, Bookman- 2005.
Exercício 1:
O valor eficaz e a frequência da corrente elétrica dada por i(t)=1.cos(9425t+38°) A, são respectivamente:
A)
0,707 A; 1,5 kHz
B)0,707 A; 9,4 kHz
C)
1,000 A; 1,5 kHz
D)
1,000 A; 9,4 kHz
E)
1,414 A; 1,5 kHz
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
A forma polar do número complexo -35-j40 é:
A)
50,0 | 53,1°
 
B)
53,2 | 48,8°
 
C)
50,0 | -126,9°
 
D)
53,2 | -131,2°
 
E)
57,0 | 52,1° 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 3:
 A forma retangular do número complexo 63,25 | -71,5° é:
A)
-60+j20
 
B)
20-j60
 
C)
-46-j43,4
 
D)
-43,4-j46
 
E)
32,2-j63,8
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 4:
 Considere os seguintes números complexos:
 
A=3+j4
 
B=1-j3
 
C=-2-j2
 
O resultado de AxC÷(B-C) é:
A)
-2-j4
 
 
B)
2-j4 
C)
-2+j4
 
D)
2+j4
 
E)
-6+j8
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 5:
Considere os seguintes números complexos:
 
A=20 | 120º 
 
B=25 | 60° 
 
C=18 | -90º 
 
 
 
O resultado de (B+C)/(C-A) é:
A)
2,820 | -90,5º
 
B)
2,820 | 90,5º
 
C)
0,355 | -90,5º
 
D)
0,355 | -57,9º
 
E)
0,355 | 90,5º 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 6:
A impedância equivalente entre os pontos A e B do circuito a seguir, que opera em 30 kHz é:
 
 
A)
234,8 | 22,6° Ω
 
B)
241,0 | 22,6° Ω
 
C)
247,4 | 24,2° Ω
 
D)
304,9 | 14,5° Ω
 
E)
322,0 | 18,5° Ω 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 7:
 A impedância equivalente entre os pontos A e B do circuito a seguir, que opera em 6 kHz é:
A)
3459+j1244 Ω
 
B)
2081-j402 Ω
 
C)
2364-j1207 Ω
 
D)
1999+j977 Ω
 
E)
1359+j387 Ω
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 8:
 Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff no circuito a seguir, obtêm-se que a tensão V1 é igual à:
A)
20,0 | 25,0° V
 
B)
38,1 | -20,0° V
 
C)
40,3 | -70,0° V
 
D)
51,7 | 70,0° V
 
E)
59,7 | 64,1° V 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 9:
Aplicando a Lei das Correntes de Kirchhoff no nó a seguir, obtêm-se que a corrente I1 é igual à:
A)
46,1 | -75,8° A
 
B)
48,5 | -30,0° A
 
C)
51,3 | -160,0° A
 
D)
56,9 | -81,1° A
 
E)
63,7 | -84,5° A 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D)