Equações Diferenciais para a Transferência de Massa

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Faculdade de Engenharia Química (FEQ)
Departamento de Termofluidodinâmica (DTF)
Disciplina EQ741 - Fenômenos de Transporte III 
Capítulo II – Equações Diferenciais para a Transferência
de Massa
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 1
Professora: Katia Tannous
Monitor: Rafael Firmani Perna
Agenda
1. Equações Diferenciais para a Transferência de Massa
2. Formas Especiais da Equação Diferencial para a T.M.
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 2
2. Formas Especiais da Equação Diferencial para a T.M.
3. Condições Limites Comumente Encontradas
1.Equações Diferenciais para T.M.
xA
N
y
Considerando o volume de controle (∆x∆y∆z) através do qual uma
mistura, incluindo o componente A, está escoando.
zA
N
yyA
N
∆+
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 3
xxA
N
∆+
∆x
∆y
∆z
z
x
Fig. 1: Volume de Controle Diferencial
Exemplo: Cubo dentro de uma
xícara de café, através do qual o
açúcar encontra-se difundindo.
zzA
N
∆+
yA
N
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
∫∫ ∫∫∫ =ρ∂
∂
+ρ
SC VC
0dA.
t
dA).n.v.(
rr
A expressão do volume de controle para a conservação da massa fica : 
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 4
Taxa de acúmulo de 
massa dentro do V.C.
Considerando a conservação de uma dada espécie A, a relação acima deve
incluir um termo considerando a produção ou o desaparecimento de A
pela REAÇÃO QUÍMICA dentro do volume de controle.
Taxa líquida de massa 
através do V.C.
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Relação geral para o balanço de massa da espécie A para o novo
V.C. pode ser dado por:
Taxa líquida do 
comp. A através 
Taxa de acúmulo 
de A dentro do 
Taxa de produção 
química de A + - = 0
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 5
comp. A através 
do V.C.
de A dentro do 
V.C.
química de A 
dentro do V.C.
+ - = 0
A taxa líquida mássica através do V.C. pode ser avaliada considerando:
(1)
Discussão sobre seus significados:
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
xxAA zyv ∆∆,ρ
A massamassa dede AA transferidatransferida através da superfíciesuperfície dede controlecontrole ((área)
∆y∆z em relação a x é dada por:
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 6
xxA zyn ∆∆,
AAA vn
rr
ρ=ou em termos do vetor fluxo, , esta será :
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
xxAxxxA zynzyn ∆∆−∆∆ ∆+ ,,
A taxa líquida mássica do componente A será:
Direção x
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 7
yy,Ayyy,A zxnzxn ∆∆∆∆ ∆ −+Direção y
Direção z zz,Azzz,A yxnyxn ∆∆∆∆ ∆ −+
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
zyx
t
A ∆∆∆
∂
∂ρ
A taxataxa dede acúmuloacúmulo de A no volume de controle é dado por:
Se A é produzido dentro do volume de controle por uma reação
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 8
Se A é produzido dentro do volume de controle por uma reação
química para uma taxa rA, a taxataxa dede produçãoprodução de A é:
zyxrA ∆∆∆
massa de A / (volume x tempo)
Esse termo de produção é análogo ao termo de geração de energia, que
aparece na equação diferencial da transferência de calor (cap. 16)!!!!
Atenção !!!
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
+−+− ++ yy,Ayyy,Axx,Axxx,A zxnzxnzynzyn ∆∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆
Substituindo cada termo na equação (1), tem-se:
(2)
0=−
∂
∂
+−+ zyxrzyx
t
yxnyxn A
A
zz,Azzz,A ∆∆∆∆∆∆
ρ
∆∆∆∆ ∆
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 9
0
,,,,,,
=−
∂
∂
+
∆
−
+
∆
−
+
∆
− ∆+∆+∆+
A
AzzAzzzAyyAyyyAxxAxxxA r
tz
nn
y
nn
x
nn ρ
Dividindo pelo volume ∆x∆y∆z e cancelando termos, tem-se:
(3)
∂t
0,,, =−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
A
A
zAyAxA r
t
n
z
n
y
n
x
ρ
(4)
EquaçãoEquação dada continuidadecontinuidade parapara oo componentecomponente AA !!!!!!
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Levando a eq. (3) ao limite para ∆x, ∆y e ∆z tender a zero, tem-se:
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 10
EquaçãoEquação dada continuidadecontinuidade parapara oo componentecomponente AA !!!!!!
An
r
0r
t
n A
A
A =−
∂
ρ∂
+⋅∇
r
Desde que nA,x, nA,y e nA,z sejam componentes regulares do vetor fluxo
mássico, , a equação (4) pode ser escrita :
(5)
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
0,,, =−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
B
B
zByBxB r
t
n
z
n
y
n
x
ρ
Uma equação similar da continuidade pode ser desenvolvida para um
desejado componentecomponente BB da mesma forma. As equações diferenciais são:
(6)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 11
,,,
∂∂∂∂
BzByBxB
tzyx
0r
t
n B
B
B =−
∂
ρ∂
+⋅∇
r
e
(7)
Taxa para o qual B será 
produzido dentro do V.C. 
pela reação química
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
0=+−
∂
+∂
++⋅∇ )rr(
t
)(
)nn( BA
BA
BA
ρρrr
Somando as equações (5) e (7), tem-se:
(8)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 12
vvvnn BBAABA
rrrrr
ρ=ρ+ρ=+
ρρρ =+ BA
Para uma mistura de A e B, tem-se:
BA rr −=
Fluxo mássico
Densidade mássica total
(8.1)
(8.2)
(8.3)Taxa de reação
( reação estequiométrica)
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
0=
∂
∂
+⋅∇
t
v
ρ
ρ
r
Substituindo as equações (8.1), (8.2) e (8.3) na equação (8), tem-se:
Equação da continuidade 
para misturas, sendo idêntica 
a equação da continuidade 
para fluido homogêneo
(9)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 13
∂tpara fluido homogêneo
A equação (9) pode ser escrita em termos da derivada substantiva.
Rearranjando-a, tem-se :
0=⋅∇+ v
Dt
D r
ρ
ρ
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
ρ
ρA
Aw =
Através dos arranjos matemáticos similares, a equação da continuidade
para a espécie A, em termos da derivada substantiva, pode ser obtida
da seguinte forma:
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 14
0=−⋅∇+ AA
A rj
Dt
Dw
ρ
r
ρ
A
dz
dw
Dj AABA ρ−=
AAA vn ρ=
(10)
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Se RRAA representa a taxataxa dede produçãoprodução molarmolar dede AA e RRBB representa a taxataxa
dada produçãoprodução molarmolar dede BB, ambas por unidade de volume, as equações
na unidade equivalente-molar são :
Pode-se seguir o mesmo desenvolvimento em termos de unidades molares.
de (5)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 15
0=−
∂
∂
+⋅∇ A
A
A R
t
c
N
r
0=−
∂
∂
+⋅∇ B
B
B R
t
c
N
r
Componente A 
Componente B 
(11)
(12)
0=+−+
∂
∂
++⋅∇ )RR()cc(
t
)NN( BABABA
rr
Mistura (13)
de (5)
de (7)
Equações Diferenciais para T.M. (cont.)
Portanto, quando a estequiometria da reação é:
→→→→→
=+=+ VcvcvcNN BBAABA
ccc BA =+
Mistura binária 
sabendo que:
A B
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 16
considera-se que uma molécula de B é produzida
para cada mol de A consumido, sendo: RA = -RB
Em geral, a equação da continuidade para a mistura em unidades
molares fica:
0=+−
∂
∂
+⋅∇
→
)RR(
t
c
Vc BA
(14)
2.Formas Especiais para a Equação 
Diferencial da T.M.
)NN(yycDN BAAAABA
→→→→
++∇−=
→→→
(1.21)
No uso das equações na avaliação dos perfisperfis dede concentraçãoconcentração, deve-se
substituir os fluxos, mássico e molar (nA e NA), por expressões apropriadas e
desenvolvidas no Cap. 1. Tais expressões são:
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 17
→→→
+∇= VcycDN AAABA
)(
→→→→
++∇−= BAAAABA nnwwDn ρ
→→→
+∇−= vwDn AAABA ρρ
ou equivalente:
E,
(1.22)
ou equivalente
0=−
∂
∂
+⋅∇
→
A
A
A R
t
c
N
Substituindo a eq. (1.21) na eq. (11), tem-se a equação (15):
0=−
∂
∂
+⋅∇+∇⋅∇−
→→→→
A
A
AAAB R
t
c
VcycD
(11)
(15)
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 18
0=−
∂
∂
+⋅∇ A
A
A r
t
n
ρr
0=−
∂
∂
+⋅∇+∇⋅∇−
→→→
A
A
AAAB r
t
vwD
ρ
ρρ
E Substituindo a eq. (1.22) na eq. (5), obtém-se a equação (16), onde:
(5)
(16)
Eqs. (15) e (16) descrevem, também, os perfisperfis dede concentraçãoconcentração dentro de um
sistema de difusão – aplicáveis com hipóteses restritas
As formas importantes da equação da continuidade, com suas hipóteses,
incluem 4 considerações, relatadas à seguir :
(i) Se a densidade, ρ, e o coeficiente de difusão, DAB, são constantes, a 
equação (16) torna-se:
2 ∂
→→ρrrr
0 (escoamento viscoso e incompressível)
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 19
0
2 =−
∂
∂
+∇⋅+⋅∇+∇−
→→
A
A
AAAAB r
t
vvD
ρ
ρρρ
rrr
AAAB
A
A RcD
t
c
cv +∇=
∂
∂
+∇⋅ 2
rrr
Dividindo cada termo pela massa molecular de A e rearranjando, tem-se:
(17)
(ii) Se o termo de produção, RA = 0, e se a densidade e o coeficiente de 
difusão são assumidos constantes, a equação (17) reduz-se a:
AAB
A
A cD
t
c
cv
2∇=
∂
∂
+∇⋅
rrr
(18)
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 20
AAB
A cD
Dt
Dc 2∇=
r
derivada substantiva de CA
Reescrevendo o lado esquerdo 
da equação (18), tem-se:
(19)
T
C
k
Dt
DT
p
2∇
ρ
=
r
T
Dt
DT 2∇α=
r
Analogia à equação da T.C.:Analogia à equação da T.C.:
ou
(α - difusividade térmica)
(iii) Na situação na qual não há movimento do fluido, v = 0, não há o termo 
de produção (RA = 0) e nenhuma variação na difusividade ou densidade. 
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Analogia à eq. da T.C. (cond. de calor):Analogia à eq. da T.C. (cond. de calor):
A equação (18) reduz-se para:
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 21
AAB
A cD
t
c 2∇=
∂
∂ r
(20)
2ª Lei de Fick da Difusão
Analogia à eq. da T.C. (cond. de calor):Analogia à eq. da T.C. (cond. de calor):
T
t
T 2∇α=
∂
∂ r
2ª Lei de Fourier 
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
0=∂∂ tcA
AAABA RcDcv +∇=∇⋅
→→
2
r
(iv) As equações (17), (18) e (20) podem ser simplificadas quando o 
processo está em estado estacionário, ou seja, 
Para uma densidade e coeficiente de difusão constantes, tem-se:
(21)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 22
Além disso, considerando sem produção química, ou seja, RA = 0:
(22)AABA cDcv
2∇=∇⋅
→→ r
02 =∇ Ac
r
Se v = 0, a equação reduz-se para:
Equação de Laplace 
em termos de 
concentração molar
(23)
Hipótese
Equação de Conservação 
da espécie A
Usada para
ρ ou c = constante;
DAB = constante
Soluções líquidas diluídas com
pressão e temperatura
constantes; regime transiente
ρ ou c = constante; Gases de baixa densidade 
AAAB
A
A RcD
t
c
cv +∇=
∂
∂
+∇⋅
→→→ 2
c
2→→→ ∂
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Formas simplificadas da Equação da Difusão da Massa – Resumo
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 23
ρ ou c = constante;
DAB = constante
RA = 0
Gases de baixa densidade 
com pressão e temperatura 
constantes; regime transiente
ρ ou c = constante;
DAB = constante;
RA = 0
v =0 (s/ movimento)
Sólidos; líquidos estacionários; 
difusão equimolar de gases 
contra-corrente; regime 
transiente
ρ ou c = constante;
DAB = constante; 
RA = 0
v =0 e dcA/dt=0
Qualquer um dos meios acima 
quando o regime for 
permanente
AAB
A
A cD
t
c
cv
2→→→
∇=
∂
∂
+∇⋅
AAB
A cD
t
c 2∇=
∂
∂ r
02 =∇ Ac
r
Cada uma das equações de (15) a (23) foram escritas na forma vetorial, que
são aplicadas à sistemas de coordenadas ortogonais.
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 24
2∇Operador laplaciano deve ser escrito, ,na forma apropriada ao sistema de
coordenada aplicável.
Veja a seguir as diferentes formas
Coordenadas cilíndricas
z
z
(x,y,z) ou 
(r,θθθθ,z)
z
Coordenadas esféricas
z
(x,y,z) ou 
(r,θθθθ,φφφφ)
θθθθ
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 25
x
yr
y
x
z
θθθθ
zz
y/x arctanθ
yxr
22
=
=
++=x = r cosθ
y = r senθ
z = z
x
yr
y
x
z
φφφφ
x = r senθ cos φ
y = r senθ senφ
z = r cos θ
y/x arctanz
/zyx arctanθ
zyxr
22
222
=





 +=
+++=
A
z,Ay,Ax,AA R
z
N
y
N
x
N
t
c
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Equação geral para a T.M. ou Equação da continuidade do componente A
(27)
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Coordenadas retangulares
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 26
A
z,A,A
r,A
A R
z
NN
r
)rN(
rrt
c
=





∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ θ11
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
A
,A
,Ar,A
A R
N
rsen
)senN(
rsen
)Nr(
rrt
c
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
φθ
θ
θθ
φ
θ
111 2
2
(28)
(29)
Equação da continuidade do componente A para ρρρρ e D constantes
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
Coordenadas retangulares
A
AAA
AB
A
y
A
y
A
x
A R
z
c
y
c
x
c
D
z
c
v
y
c
v
x
c
v
t
c
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
Coordenadas cilíndricas
(24)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 27
A
AAA
AB
A
z
AA
r
A R
z
cc
rr
c
r
rr
D
z
c
v
c
r
v
r
c
v
t
c
+








∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
11
θθ
θ
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
A
AAA
AB
AAA
r
A R
c
senr
c
sen
senrr
c
r
rr
D
c
rsen
v
c
r
v
r
c
v
t
c
+








∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
222
2
2
11111
φθθ
θ
θθφθθ
φθ
(25)
(26)
Coordenadas retangulares






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
z
c
y
c
x
c
D
t
c AAA
AB
A
(27)
Formas Especiais para a Equação Diferencial da T. M. (cont.)
2ª Lei de Fick da Difusão
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 28






∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
22
2 11
z
cc
rr
c
rr
c
D
t
c AAAA
AB
A
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas








∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
222
2
2
111
φθθ
θ
θθ
AAA
AB
A c
senr
c
sen
senrr
c
r
rr
D
t
c
(28)
(29)
3. Condições Limites Comumente Encontradas
O processo de T.M. pode ser descrito resolvendo uma das equações
diferenciais, usando as condições limites ou iniciais apropriadas ou
ambas para determinação das constantes de integração.
Condições limites e iniciais usadas na T.M. são similares as da T.C..
A condição inicial em processos de T.M. diz respeito a concentraçãoconcentração dada
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 29
A condição inicial em processos de T.M. diz respeito a concentraçãoconcentração dada
espécieespécie, expressa em unidades de concentração mássica ou molar. A
concentraçãoconcentração podepode serser simplesmentesimplesmente umauma constanteconstante,
• p/ t = 0 → cA = cAo (unidade molar)
• p/ t = 0 → ρA = ρAo (unidade mássica)
ou mais complexa se a distribuição da concentração é função da variável
espaço no início da medida de tempo.
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
Por outro lado, pode-se citar algumas condições limites típicas, tais como:
I – A especificação da concentração sobre uma superfície
Pode ser expressa em termos da:
a) Concentração mássica ρA = ρAs
b) Concentração molar CA = CAs
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 30
b) Concentração molar CA = CAs
c) Fração mássica wA = wAs
d) Fração molar xA = xAs (líquidos ou sólidos) ou yA = yAs (gases)
Para sistema gasoso � a concentraçãoconcentração pode ser dada em termos da pressão pressão 
parcialparcial (Lei de Dalton) : pA = pAs = yAs P
Para difusão de fase líquida dentro de fase gasosa � a condição limite é definida 
para solução líquida idealsolução líquida ideal (Lei de Raoult) : pAs = xA PA, onde PA é a pressão de vaporpressão de vapor.
Por exemplo, JA = JAs ou NA = NAs. Os casos de interesse na engenharia são:
a) Fluxo de massa especificado
∂ρ
II – A especificação do fluxo sobre uma superfície
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 31
b) Superfície impermeável. Por exemplo: barreira de vapor
0=∂
∂
−=
z
A
ABAs
z
DJ
ρ
0=AsJ 0
0
=
∂
∂
=z
A
z
ρ
(30)
(31)c) Fluxo de massa para fluido circundante
Se a equação da difusão de massa for escrita para um sólido através
do qual ocorre difusão, a massa pode ser perdida da superfície do corpo
para o fluido circundante de acordo com a relação:
)cc(kN AAscAs −=
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
(**) (32)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 32
onde kc = coeficiente de transferência de massa convectivo
cAs = concentração mássica na superfície
cA∞ = concentração mássica na corrente do fluido
)cc(kN AAscAs ∝−=
** Análoga a Lei de Newton do resfriamento
(**) (32)
III – A especificação da velocidade de reação química
A espécie A pode aparecer (ou desaparecer) numa superfície de
acordo com a reação química de primeira ordem:
sAAs
ckN 1=
Condições Limites Comumente Encontradas (cont.)
2º sem. de 2011 Katia Tannous e Rafael F. Perna 33
s
onde k1 é a constante da taxa da reação de 1º ordem
Quando a espécie difundida desaparece no limite de uma reação
instantânea, a concentração dessa espécie é normalmente assumido
ser a zero.