transferencia de calor por condunção

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PNV-2321 TERMODINÂMICA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
 
1) INTRODUÇÃO 
 
Sempre que há um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou 
quando há contato de dois sistemas com temperaturas diferentes há um processo de 
transferência de energia. O processo através do qual a energia é transferida é 
conhecido como transferência de calor. 
 
 O estudo da transmissão de calor está relacionado com a termodinâmica na 
medida em que a primeira e a segunda lei não podem se feridas. 
 A primeira lei é aplicada para garantir a conservação da energia e a segunda 
lei para estabelecer o sentido do fluxo de calor. 
 
 Convencionalmente o estudo da transferência de calor é efetuado admitindo-se 
três mecanismos de transmissão: 
 condução 
 convecção 
 radiação 
 
 
2 MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR 
 
2.1 CONDUÇÃO 
 
 Transferência de calor por condução é a transferência de energia através de 
uma substância, sólido ou fluido, como resultado da presença de um gradiente de 
temperatura dentro da substância. No estado atual do conhecimento atribui-se a 
condução a três fenômenos: 
a) interação molecular 
b) deslocamento de elétrons livres; e 
c) radiação intermolecular 
 
Para obter a taxa de transferência de calor por condução será utilizada a lei de 
Fourier que é dada por: 
 
q kA dT
dx
= − (1) 
 
onde k é a condutibilidade térmica 
 A é a área 
 T a temperatura 
 x é a direção do escoamento do calor 
 O sinal (-) é conseqüência da segunda lei que exige que a direção do fluxo de 
calor seja do ponto de maior para menor temperatura. 
 
 Exemplos de condutibilidade de alguns materiais: 
 
Material Condutibilidade 
térmica (W/mK) 
Cobre 399,0 
Alumínio 237,0 
Água 0,6 
Ar 0.026 
Vidro 0.81 
 
 Convém observar que no interior de uma substância o calor pode fluir em 
várias direções. Se for adotado um sistema de coordenadas cartesianas, o calor pode 
fluir em três direções e poderia, em princípio, ter um valor de condutibilidade térmica 
para cada direção. Se a condutibilidade térmica for igual em todas as direções a 
substância é dita isotrópica. 
 
 
2.1.1 EQUAÇÃO DA CONDUÇÃO DE CALOR 
 
Considere um volume elementar de área transversal A e comprimento dx, 
conforme mostrado na Fig.1, onde há transferência de calor em x e x+dx e com uma 
taxa de geração interna de calor. O primeiro princípio a termodinâmica estabelece 
que: 
 
− + = − − + +
+
kA T
x
q A x kA T
x
A xc T x x t
t
x
g
x x
∂
∂
∂
∂ ρ
∂
∂&
( ,∆ ∆ ∆
∆
2 )
 (2) 
 
 Dividindo a equação (2) por A x∆ obtemos: 
 
k T x T x
x
q c T x x t
t
x x x
g
( ) ( ) & ( , )∂ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ ∂
+ − + = +∆∆
∆ 2
 
 
Fig. 1 Volume de Controle Condução Unidirecional em coordenadas retangulares 
 
Efetuando ∆x → 0pode-se obter 
 
k T
x
q c T
tg
∂
∂ ρ
∂
∂
2
2
+ =& (3) 
 
Fisicamente, o primeiro termo do lado esquerdo da equação (3) representa a 
taxa líquida de condução de calor no volume de controle por unidade de volume e o 
segundo termo é a taxa de geração de energia por unidade de volume dentro do 
volume de controle. O termo do lado direito da equação (3) representa a taxa de 
aumento de energia interna dentro do volume de controle por unidade de volume. 
Se considerarmos o fluxo de calor nas três direções e admitindo o corpo como 
sendo isotrópico obtemos: 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂ α
∂
∂
2
2
2
2
2
2
1T
x
T
y
T
z
q
k
T
t
g+ + + =& (4) 
 
onde α ρ=
k
c
 é a difusibilidade térmica 
 
 
2.1.2 Casos particulares da equação (4) 
 
a) Regime permanente 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2 0
T
x
T
y
T
z
q
k
g+ + + =& (5) 
 
b) Regime permanente e sem geração interna de energia 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2 0
T
x
T
y
T
z
+ + = (6) 
 
 A equação (6) é conhecida como equação de Laplace e, normalmente, é 
expressa utilizando-se o operador de Laplace que tem o símbolo ∇2 , isto é: 
 
∇ =2 0T (7) 
 
A vantagem desta notação é que ela pode ser aplicada em qualquer sistema de 
coordenadas. Utilizando o operador de Laplace, a equação geral de condução de calor 
é dada por: 
 
∇ + =2 1T q
k
T
t
g&
α
∂
∂ (8) 
 
A forma diferencial do Laplaciano depende do sistema de coordenadas 
adotado. Para coordenadas cilíndricas, como mostrado na Fig.2, a equação (8) pode 
ser escrita como: 
 
1 1
2
2
2
2
2r r
r T
r r
T T
z
q
k
T
t
g∂
∂
∂
∂
∂
∂φ
∂
∂ α
∂
∂
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ + + + =
& 1
 (9) 
 
 
 
Fig.2 Sistema de coordenadas cilíndricas 
 
 
2.1.3 Exemplos de condução de calor em regime permanente para geometrias 
simples 
 
a) Escoamento uniforme em uma parede (área infinita) sem geração de calor 
interno. 
 
Seja uma parede de espessura L com condutibilidade térmica k. A equação (4) 
neste caso é escrita como: 
 
d T
dx
2
2
0= (10) 
 
Integrando esta equação obtém-se que a temperatura é dada por: 
 
 (11) T x c x c( ) = +1 2
 
 Admitindo que T T e ( )0 1= T L T( ) = 2 tem-se: 
 
 T x T T
L
x T( ) = − +2 1 1 (12) 
 Substituindo a equação (12) em (1) obtém-se que a taxa de transferência de 
calor é dada por: 
 
q kA T T
L
T
L kA
= − − =2 1 ∆ (13) 
 
O termo L kA é denominado de resistência térmica por analogia com os sistemas 
elétricos onde a diferença de tensão é representado pela diferença de temperatura. 
 
R L
kA
= (14) 
 
Com esta definição a taxa de transferência de calor por condução por ser expressa 
por: 
 
R
Tq ∆= 
 Se houver uma parede com diferentes materiais tem-se que a resistência total é 
dada por: 
 
∑ ∑== Ak
L
RR
i
i
iT (15) 
 
 
b) Escoamento uniforme em uma parede cilíndrica sem geração de calor interno. 
 Neste caso o problema é determinar a distribuição de temperatura na parede de 
um cilindro vazado de comprimento L, com raios internos e externos dados, 
respectivamente por e e cujas temperaturas internas e externas são, 
respectivamente, T
ir er
i e Te . Admite-se neste tipo de problema que não há fluxo de calor 
na direção longitudinal do cilindro e desta forma a equação (9) reduz-se a: 
 
d
dr
r dT
dr
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 0 (16) 
 
Integrando uma vez em relação ao raio obtém-se: 
 
dT
dr
c
r
= 1 (17) 
 
A integração desta equação resulta em: 
 
T c r c= +1 ln 2
)
ri
 (18) 
 
Com as condições de contorno dadas tem-se que as constantes são: 
 
c T T r re i e i1 = −( ) / ln( / (19) 
c T ci2 1= − ln (20) 
 
T r T
T T
r r
r r
i
e i
i
e i
( ) ln( / )
ln( / )
−
− = (21) 
 
A taxa de transferência de calor por condução, neste caso, é dada por: 
 
)r/rln(
TT
Lk2
r
C)rL2(k
dr
dTkAq
ie
ei1 −=−=−= ππ (22) 
 
Definindo-se a resistência térmica como: 
 
Lk2
)r/rln(
R ieπ= (23) 
 
a taxa de transferência de calor pode ser expressa por: 
 
R
TT
q ei
−= (24) 
Se houver em torno do cilindro n camadas com materiais distintos a resistência total 
pode ser obtida como: 
 
∑= n
1
jT RR (25) 
onde 
 
Lk2
)r/rln(
R 1jjj π
−= 
 
2.2 CONVECÇÃO 
 
 A convecção é essencialmente uma forma modificada da condução, na qual o 
meio se desloca internamente. Dessa maneira, verifica-se uma superposição de 
transferência macroscópica de energia ao processo microscópico de condução de 
calor. Tais deslocamentos internos estão necessariamente restritos aos meios fluidos. 
Se forem causados por diferenças de densidade em virtude de variações de 
temperatura no seio do fluido, tem-seo mecanismo conhecido como convecção livre 
ou natural. Por outro lado, se forem provocados por um agente externo, tem-se a 
chamada convecção forçada. 
 O estudo da convecção diz respeito à transmissão de calor entre uma 
superfície sólida a uma dada temperatura e um fluido adjacente a uma temperatura 
diferente. Observe-se que a temperatura da massa de fluido deve ser tomada a uma 
distância tal da superfície sólida, que o gradiente de temperatura na direção 
perpendicular a esta seja desprezível. Em outras palavras, deve-se medir a 
temperatura da massa de fluido de maneira que o seu valor não venha a ser 
influenciado pelo valor da temperatura da parede sólida adjacente. 
Na Fig.4 é mostrado o perfil de velocidade e de temperatura para uma 
transferência de calor por convecção quando há escoamento forçado. Na Fig. 3 
mostra-se o perfil de velocidade e de temperatura quando a convecção é natural, isto 
é, não há escoamento forçado do fluido: 
 
 
 
 
Fig. 4 Distribuição de temperatura e velocidade de transferência de calor por 
convecção forçada laminar em uma placa aquecida a temperatura Ts 
 
 
 
Fig 5. Distribuição de temperatura e velocidade em convecção natural na superfície 
de uma placa aquecida inclinada de um angulo β em relação à horizontal. 
 
 A troca de calor por convecção é dada por: 
 
0yfc |y
TAkTAhq =∂
∂−== ∆ (26) 
 
onde hc coeficiente médio de transmissão de calor por convecção. 
 A é a área de transferência de calor 
 ∞−= TTT s∆ é a diferença de temperatura entre a superfície e a temperatura 
do fluido em um determinado ponto (normalmente afastado da superfície). 
 
Exemplos de coeficiente de transmissão de calor por convecção: 
 
Fluido ch (W/m
2K) 
ar convecção livre 6 – 30 
Vapor superaquecido ou ar (conv. 
Forçada) 
30-300 
Óleo (convecção forçada) 60 - 1,800 
Água (convecção forçada) 300 – 18,000 
Água (ebulição) 3,000-60,000 
Vapor condensando 6,000-120,000 
 
 
Por esta tabela percebe-se que o h varia bastante mesmo para o mesmo fluido 
e que o ar apresenta o menor h o que equivale a ter a maior resistência térmica. 
 
 A equação (26), por ser apenas uma definição de e não a expressão de uma 
lei que descreve o fenômeno da convecção, aparenta uma falsa simplicidade, pois a 
determinação do coeficiente de transmissão de calor por convecção é, via de regra, 
uma tarefa complexa nos problemas de engenharia. Este coeficiente depende do tipo 
ch
de escoamento, da diferença de temperatura entre a corrente de fluido e a parede 
sólida considerada, e das propriedades termofísicas do fluido como densidade, 
condutibilidade térmica, viscosidade dinâmica e calor específico. 
 
 No caso de escoamento forçado obtém-se a seguinte correlação: 
 
 Pr)(Re,fNu =
 
onde: 
 
k
Lh
Nu c= é número de Nusselt 
 Re = L Uρµ é o número de Reynolds 
 Pr = c
k
p µ é o número de Prandtl 
 
 A forma exata da função depende da geometria do corpo, do tipo de 
escoamento e das condições de contorno. 
De um modo geral, verifica-se que o coeficiente é maior no escoamento 
forçado e em regime turbulento. 
ch
 
 
2.2.1 Aletas 
 
 A troca de calor de um corpo para o meio externo depende do coeficiente de 
transmissão de calor por convecção (h) e da área. No entanto, há limites para o h. Se 
se desejar aumentar a troca de calor a única solução é aumentar a área de transferência 
de calor. Isto pode ser obtido através de aletas que são superfícies estendidas para 
transferência de calor. A forma das aletas depende de vários fatores tais como espaço 
disponível, peso, custo, temperatura desejada e material utlizado. Na Fig. 3 são 
mostrados exemplos de geometria de aletas típicas. 
 
 Fig.3 Aletas típicas 
2.3 RADIAÇÃO 
 
 A radiação é o mecanismo de transmissão de calor associado à propagação de 
ondas eletromagnéticas. Ao contrário da condução e da convecção, a radiação pode se 
dar tanto no vácuo, quanto através de um meio qualquer. 
 A radiação térmica varia tanto em intensidade quanto em qualidade, com a 
temperatura da superfície emissora. A uma dada temperatura, as superfícies emitem 
energia em uma ampla faixa de comprimentos de onda, e a quantidade de energia 
emitida em cada comprimento de onda depende, ao mesmo tempo, da temperatura e 
das características da superfície emissora. 
 Qualquer corpo está continuamente emitindo energia, bem como absorvendo 
quantidades de energia radiante que sobre ele incidem provenientes do meio que o 
cerca. Nos corpos reais, porém, nem toda a energia radiante incidente é absorvida. 
Parte pode ser refletida e parte pode ser transmitida através do corpo, o que nos leva a 
escrever: 
 
 1tra =++
onde: 
 a é a absortividade, fração da radiação incidente absorvida pelo corpo; 
 r é a refletividade, fração da radiação refletida pela superfície do corpo; e 
 t é a transmitividade, fração da radiação incidente que atravessa o corpo sem 
ser absorvida. 
 
 Para calcular o calor transmitido por radiação utiliza-se o conceito de corpo 
negro ou irradiador ideal. Ele é definido como um corpo que absorve toda radiação 
incidente sobre ele e não reflete ou transmite ou, como um irradiador que emite a 
máxima quantidade de energia possível em todos os comprimentos de onda a uma 
determinada temperatura. A energia irradiada por um corpo negro é proporcional à 
quarta potência da temperatura absoluta: 
 
 4TAqn σ=
 
onde: 
 o índice n se refere a um corpo negro; 
)/(107,5 428 KmW−=σ 
 A é a área da superfície emissora; e 
 T é a temperatura absoluta da superfície emissora 
 
 As superfícies dos corpos reais absorvem e emitem, na unidade de tempo, uma 
quantidade de energia total menor do que a superfície equivalente de um corpo negro 
na mesma temperatura, ou seja: 
 4TAq σε=
onde ε é a emissividade total hemisférica do corpo real, definida pela relação: 
 
nq
q=ε 
 
 
 
2.3.1 Trocas de energia por radiação 
Para dois corpos reais (cinzentos) mantidos, respectivamente, em temperaturas 
diferentes e constantes e , a troca líquida de calor por radiação entre eles pode 
ser determinada pela seguinte expressão geral: 
iT jT
 jiejii FFTTAq )(
44 −= σ
onde 
 é um fator de emissividade que leva em conta o fato de não serem dois 
corpos negros; 
eF
 é um fator de configuração que leva em conta a geometria e a disposição 
dos corpos. 
jiF
 Tanto como , para configurações simples, podem ser encontrados na 
literatura técnica. 
eF jiF
 
 
 
 
Referência 
 Kreith, F. Princípios da Transmissão de Calor, Editora Edgard Blucher Ltda, 1973 
 
 
Netto, C. A Considerações sobre o Emprego de Sistemas de Isolação Térmica em 
Engenharia Naval, dissertação de Mestrado apresentado a Escola Politécnica, 1987 
 
	PNV-2321 TERMODINÂMICA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR
	2 MECANISMOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR
	Kreith, F. Princípios da Transmissão de Calor, Editora Edgar