Aula - 3 Probabilidades (menor)

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PROF: Severino Cavalcante de Sousa Júnior 
• Ferramenta matemática que permite o estudo
de fenômenos ou dos experimentos.
• Permite prever o que pode ocorrer e ainda
dimensiona a chance de ocorrência de cada uma
das possibilidades.
• Serve para exprimir a chance de ocorrência de
um determinado evento.
• Termo muito utilizado no cotidiano.
• Importante na tomada de decisão.
 O termo probabilidade se refere ao estudo 
da aleatoriedade e da incerteza. Elementos 
básicos:
 1. Definições iniciais
 2. Eventos
 3. Definições de probabilidade
 4. Propriedades
 5. Probabilidade condicional
 6. Independência entre eventos
 Fenômenos:
◦ Determinísticos ou não aleatórios
 Os resultados são sempre os mesmos.
 O fenômeno é determinístico quando o 
conhecemos de antemão (previamente) 
e podemos prever com certeza seu 
resultado;
 Ex.: temperatura de ebulição da água
 Fenômenos:
◦ Aleatórios
 Os resultados não são previsíveis.
 Objeto do estudo das probabilidades.
 Ex.: as condições climáticas do próximo 
domingo; taxa de inflação do próximo mês;
 as produções de cada planta serão diferentes 
e não previsíveis;
 a produção agrícola de uma determinada 
espécie; previsão do tempo.
 1. Modelo Determinístico – Modelo não
aleatório
 É aquele modelo em que, a partir de
condições em que o experimento é
realizado, pode-se determinar seu resultado.
 Os resultados são sempre os mesmos.
 Não envolve probabilidade.
 Ex: ponto de ebulição da água; nascer do 
sol. 
 2. Modelo Probabilístico – Modelo
aleatório
 É aquele modelo em que as condições de
execução de um experimento não
determinam o seu resultado final.
 Os resultados não são previsíveis.
 Envolve probabilidade.
 2. Modelo Probabilístico ou Modelo aleatório
 Ex: Deseja-se determinar qual precipitação
pluviométrica que ocorrerá em determinada
localidade como resultado de uma tempestade que
está chegando.
 Dispõe-se de informações sobre pressão
barométrica em vários pontos, variação da pressão,
velocidade do vento, etc. Embora essas informações
sejam importantes, não são capazes de responder a
questão levantada, a de quanta chuva irá cair.
 Este fenômeno é explicado por um modelo
probabilístico.
Experimento
• Designaremos por EXPERIMENTO todo
processo que nos fornece dados.
• Qualquer situação que pode ser
reproduzida e envolva incerteza.
 Observação de um experimento controlado
para testar a fadiga de materiais.
 verificar o resultado de um exame de sangue.
 As produtividades de diferentes áreas de
floresta de Pinus que receberam adubação.
 O número de árvores com cancro numa
parcela de floresta de eucalipto.
 3. Experimentos Probabilísticos ou Aleatórios:
• São aqueles cujos resultados podem não ser os 
mesmos, mesmo que sobre condições idênticas.
 Ex.: fenômenos estudados pela estatística
 lançamento de uma moeda 10 vezes
 Os resultados finais de cada tentativa serão 
diferentes e não previsíveis.
 Resultado a cada experimento aleatório: 
evento aleatório.
4. Espaço amostral (Ω ou S ):
Conjunto de todos os possíveis resultados
de um experimento aleatório.
É o conjunto universo relativo aos resultados
de um experimento.
Espaço Amostral (Ω ou S ):
1) E1: lançamento de um dado ↔
S1: {1, 2, 3, 4, 5,6}
2) E2: naipe de uma carta de baralho comum ↔
S2: {espadas, ouros, copas, paus}
3) E3: Sorteio de um algarismo ↔
S3:{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
4) E4: Sexo da cria ↔ 
S4: {macho; fêmea}
Ponto amostral  cada um dos elementos de S
Dado1 Dado 2
1 2 3 4 5 6
1 1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6
2 2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6
3 3;1 3;2 3;3 3;4 3;5 3;6
4 4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6
5 5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6
6 6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6
Ponto AmostralEspaço amostral (S)
Experimentos aleatórios Espaços amostrais
E1: Lançar uma moeda 10 
vezes e observar o n° de 
caras.
S1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
E2: Selecionar uma carta de 
um baralho com 52 cartas 
e observar seu naipe.
S2={ouro, paus, copas,
espada}
E3: Jogar um dado ao ar e 
observar a sua face 
superior
S3: {1,2,3,4,5,6}
E4: realizar o mesmo 
experimento de Mendel e 
observar a cor e 
rugosidade das sementes
S4: {amarelas lisas, 
amarelas rugosas, verdes
lisas, verdes rugosas}
5. Evento:
É qualquer subconjunto do espaço amostral S.
A é um evento de S, ou seja A é um subconjunto
de S.
⇒ Eventos são subconjuntos de S.
SA
A ⊂ S
1) No lançamento de um dado, o S={1, 2, 3, 4 
,5 6} e o evento ocorrer um número par é 
A={2, 4, 6}.
SA.2
.6
.4
.1
.5 .3
Experimento Eventos associados
Lançamento de uma 
moeda
Cara (K) ou Coroa (C)
Lançamento de um dado 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Lançamento simultâneo 
de duas moedas
KK, KC, CK ou CC
Sorteio da Mega-sena 01, 02, 03, 04, ..., 59 ou 
60
 Se o espaço amostral S é um espaço amostral
discreto e enumerável composto de n pontos
amostrais, existem 2n subconjuntos ou
eventos que podem ser formados a partir de
S.
 N° de eventos = 2n
 n= pontos amostrais
 Ex.: Seja S = {1,2,3}
 Temos então, n = 3 ⇨N° de eventos = 2n
 N° de eventos = 23 = 8 eventos
 A1 = ∅, A2 = {1}, A3={2}, A4 = {3}, A5={1,2}, 
A6 = {1,3}, A7 = {2,3}, A8 = {1,2,3}
 Ex.: Lançamento de dois dados 
simultaneamente:
 S={36 resultados possíveis}
 Número de eventos???
 União de dois eventos: A ∪ B ⇒representa a
ocorrência de pelo menos, um dos eventos.
 A∩B, é a ocorrência simultânea de A e B.
 1. Evento simples;
 2. Evento composto;
 3. Evento certo;
 4. Evento impossível;
 5. Eventos dependentes;
 6. Evento mutuamente exclusivo.
 7. Eventos Equiprováveis;
 8. Eventos Independentes;
 9. Evento complementar;
 Formado por um único elemento do espaço 
amostral S.
 Quando for unitário.
 Ex.: E1: Lançamento de uma moeda
 Evento: Obter coroa
• Quando formado por mais de um elemento 
do espaço amostral.
 Ex.: Jogarmos dois dados  nos pares na 
face superior
 É aquele que sempre ocorre S ⊂ S
 Que se iguala ao espaço amostral (S)
 Ex: Ocorrência de um valor par ou ímpar no 
lançamento de um dado.
 Ex: Lançar um dado e obter número ≤6
 Que não possui elementos;
 E = ∅
 É todo aquele evento que nunca ocorre
 ∅ ⊂ S
 Ex: Lançamento de um dado, o evento
“número maior ou igual a 7” é um evento
impossível.
 Enquanto o evento “número menor ou igual
a 6” é um evento certo.
 Quando a ocorrência de um evento
influencia a ocorrência do outro.
 Ex.: em um jogo de bolas enumeradas de 1
a 10 pretendo escolher a bola 5 e a bola 8,
sequencialmente.
 Quando dois eventos A e B não podem
ocorrer simultaneamente.
 A realização de um evento exclui a
realização de outro evento
 Não possuem elementos em comum
 A ∩ B =∅
 Ex.: Se nasce menino, não pode ser menina
 Se a carta é de copas não pode ser de
ouros.
 Quando todos os elementos tem a mesma
probabilidade de ocorrer.
 Ex.: Lançar uma moeda – Evento A: obter
cara / Evento B: obter coroa
 Lançar um dado.
 Quando a ocorrência de um não influencia a 
ocorrência do outro. 
 Quando a probabilidade de A ocorrer não for 
afetada pela ocorrência prévia ou não de B.
Ex.: Jogar dois dados - E1 – obter o no 2 na face 
superior / E2 - obter o no 5 na face superior
 Chama-se evento complementar de um 
evento A, de um espaço amostral S, ao evento 
tal que: A
ASA 
S
A
A
 Ex.: Lançamento de um dado, o evento
complementar do evento “número par” é o evento
“número ímpar” .
 A = {2,4,6}⇒ ⇒ ={1,3,5}
 Note: A∪ =S A∩ =∅
ASA 
S
2
A
4
6
1
3 5
A A
 É o número que resulta da divisão do
número de casos favoráveis a um evento
pelo número total de casos possíveis.
 Medida da possibilidade de ocorrência de u
determinado evento.
 Em uma moeda podemos calcular a
probabilidade de sair “cara” assim:
Probabilidade 
de sair “cara” =
Número de vezes que o evento 
“cara” pode sair numa jogada
Número total de casos possíveis
Probabilidade 
de sair “cara” =
1
2 =
0,5
 Numa ÚNICA jogada de um dado, qual a 
probabilidade de sair FACE 5?
 Casos possíveis ⇒ S = {1,2,3,4,5,6} 6 pontos amostrais ou casos possíveis
 Casos favoráveis à ocorrência
 P( ) = 1/6=0,1666... 
 Calcular a probabilidade ao jogar um dado 
sair, numa ÚNICA jogada, múltiplo de 3?
 As únicas faces que servem são:

 P(múltiplo de 3)=2/6=1/3=0,333....
 ATENÇÃO:
 A PROBABILIDADE É SEMPRE EXPRESSA POR 
UM NÚMERO PURO, ISTO É, SEM UNIDADE 
DE MEDIDA.
 Valor que varia entre 0 e 1 ou 0 a 100%
 Da observação desses problemas, podemos 
tirar a fórmula
 P(X): probabilidade de ocorrer o evento X
 f: número de casos favoráveis
 n: número de casos possíveis, número total 
de pontos amostrais.
n
fXP )(
 Seja E um experimento e S um espaço amostral,
a ele associado, composto por n pontos
amostrais. Define a probabilidade de ocorrência
de um evento A, indicada por P(A), como sendo
a relação de ponto favoráveis (f ) à realização do
evento A e o número total de pontos (n), ou
seja:
n
fAP )(
 f não pode ser maior do que p, mas pode ser 
igual.
 Qual a probabilidade de sair C ou K numa 
única jogada?
 P(C ou K)=P(C) ou P(K)= 
 P(C)+P(K)= ½+ ½=1
n
fXP )(
nf 
 Seja o espaço amostral referente ao número 
de caras e coroas obtidas em 3 lances de uma 
moeda e A o evento: ocorrência de uma cara. 
 Qual P(A)?
 S={CCC,CCK,CKC,KCC,CKK, KCK,KKC,KKK)
 A={CKK,KCK,KKC}
8
3)( 
n
fAP
 Seja E um experimento e A um evento. Se após
n realizações do experimento E, n
suficientemente grande, forem observados m
resultados favoráveis a A, então P(A) é dada
pela freqüência relativa:
 P(A) = n° de vezes em que A ocorreu
n° de vezes em que o experimento foi 
repetido
n
mfAP )(
 Em 660 lançamentos de uma moeda, foram
observados 310 caras. Qual a probabilidade
de, num lançamento dessa moeda, obter
coroa?
5303,0
660
350

n
mf
 Ache a probabilidade de uma pessoa adulta
escolhida aleatoriamente ter voado em um avião
comercial.
 Solução: S = {a pessoa selecionada voou em um
avião comercial ou não}.
 Com os seguintes resultados de um pesquisador:
entre 855 adultos escolhidos aleatoriamente,
710 confirmaram ter voado em algum avião
comercial.
 P(voar de avião comercial)=?
%04,838304,0
855
710)( 
n
mvoarP
 Seja E um experimento e S um espaço amostral,
a ele associado. A cada evento A de S
associaremos um número real P(A),
denominado probabilidade da ocorrência do
evento A, se forem satisfeitas as seguintes
condições ou axiomas:
 1) P(A)≥0, para qualquer evento A em S
 2) P(S) =1
 3) Se A e B são dois eventos de S e são
mutuamente exclusivos, então
 P(A∪B) = P(A) + P(B)
A
 Daí decorre duas propriedades:
 a) 0≤P(A)≤1
 b) P( )=P(S)-P(A)=1-P (A)
O conceito axiomático fornece condições para o
cálculo da probabilidade.
O processo de cálculo da probabilidade é válido
desde que satisfaça os axiomas.
 Probabilidade: é uma medida da chance de
ocorrência de um fenômeno de interesse
(evento).
 O cálculo de probabilidades, além dos
axiomas, possui nos teoremas a serem
estudados um poderoso instrumento de
auxílio.
 Teorema 6.1. Se ∅ é um conjunto vazio,
então:
 P(∅)=0
 Porém P(A) = 0 não implica que A seja um
conjunto vazio.
 Teorema 6.2. Se é o complemento de A,
então:
 P(A) = 1 – P ( )
 P(S) = 1
 P(A)+P( ) = 1
A
A
S
A
A
A
• Teorema 6.3. Teorema da soma das 
probabilidades
Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A∪B)=P(A) + P(B) – P(A∩B)
Para três eventos quaisquer:
P(A∪B∪C)=P(A) + P(B)+P(C) – P(A∩B)-P(A∩C)-
P(B∩C)-P(A∩B∩C)
• Teorema 6.3. Teorema da soma das 
probabilidades
 Quando temos dois eventos A e B, a 
probabilidade de ocorrência de A ou de B é:
 a) Quando os eventos A e B são 
independentes:
 Se AB = ø, então P(AB) = 0
 P(AB) = P(A) + P(B)
 Sorteando baralho, qual a possibilidade de 
sair um valete de ouros ou valete de copas?
 1/52 + 1/52 = 2/52 = 0,038
 b) Quando os eventos A e B são dependentes:
 P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
 Sorteando carta do baralho, qual a
possibilidade de sair uma carta de ouros ou o
nº 2?
 Resp: 13/52 + 4/52 – 1/52= 16/52=0,307
• Teorema do produto
 Sejam dois eventos A e B, a probabilidade de 
ocorrência de ambos (A e B) é:
 P(A B)= P(A)  P(B/A)
a) Se os eventos A e B são independentes, então 
P(B/A)=P(B)
 P(AB) = P(A)  P(B)
• Ex: Ao jogarmos duas moedas qual a 
probabilidade de se obter duas caras?
 P(Ca, Ca) ?
 A probabilidade de dois eventos
independentes ocorrerem simultaneamente
é igual ao produto das P dos eventos
ocorrerem isoladamente
 P (A e B) = P(A) . P(B)
Probabilidade de ocorrer algo em uma 
determinada condição!
Qual a probabilidade de ocorrer o nº 5 visto 
que saiu um nº ímpar?
Nº nascimento de um bezerro, interessa saber 
se nascerá mocho sabendo-se que a pelagem é 
preta.

 É a probabilidade de ocorrer um determinado
evento sob uma dada condição
 Ex.: Ao jogar um dado, qual a chance de cair
o nº 2, sabendo que ocorreu um nº par?
 P = 1/3 = 0,33 ou 33%
 P(A∣B) = P(A) sob a condição de ter ocorrido B
 Bom Almoço (Português)
 Good lunch (Inglês)
 Buen almuerzo (Espamhol)
 Buon pranzo (Italiano)
 Gutes Mittagessen (Alemão)
 Bon déjeuner (Francês)
 Dobry lunch (polonês)
 Goeie middagete (Africanês)
 Prandium bonum (Latim)