RCMat No 1 -COMPLETA( 2018)

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REVISTA DO CLUBE DE MATEMÁTICOS
Número 01 - Setembro de 2018
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
 
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RCMat 
REVISTA DO CLUBE DE MATEMÁTICOS 
 
NÚMERO 1 – SETEMBRO DE 2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMITÊ EDITORIAL 
 
André Luís Santos Maia – RJ 
Antônio Eurico da Silva Dias – RJ 
Carlos Eddy Esaguy Nehab – RJ 
Cícero Thiago Magalhães – CE 
Cristiano Marcell – RJ 
Feres Fares – SP 
Haroldo Costa Silva Filho – RJ 
Jean Renato da Cunha Machado de Lira – RJ 
José Régis Azevedo Varão Filho – SP 
Kellem Corrêa Santos – DF 
Pablo Aguiar De Maio – RJ 
Renato de Oliveira Caldas Madeira – RJ 
Ronald Alexandre Martins – DF 
Ronald Simões – RJ 
Samuel Liló Abdalla – SP 
Vinícius do Nascimento S. Mano – RJ 
 
 
 
Capa: Vinícius Mano Imagem: Freepik.com 
 
EXPEDIENTE 
Os artigos assinados são de responsabilidade dos autores. É permitida a reprodução de 
artigos desde que seja citada a fonte. 
A RCMat é uma publicação semestral do Clube de Matemáticos, localizado na Rua 
Luiz Lengruber, 210, Iucas, Teresópolis – RJ. 
 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
 
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RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
 
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SUMÁRIO 
 
Sobre a Matemática (Régis Varão) 1 
Apresentação (Renato Madeira) 3 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
Triplas Pitagóricas (Carlos Nehab) 4 
Matemática na área (Cristiano Marcell) 12 
Rigidez versus Flexibilidade (Daniel Mororó) 19 
Minicurso de teoria dos números (Jean Lira) 22 
Seleção de questões do CMRJ 6º ano 2018 (Renato Madeira) 27 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
E se o raio da circunferência medir 1/2? (Chico Nery) 33 
Logaritmo – resumo e exercícios (Renato Madeira) 34 
Técnicas de fatoração – nível avançado (Samuel Liló Abdalla) 48 
Indo além da solução (Hélio Braga, Vinícius Mano e Vitor Fontes) 57 
PARTE 3 – ENSINO UNIVERSITÁRIO 
O TFA e os números irracionais (Ronald Simões e Pablo De Maio) 66 
PARTE 4 – OLIMPÍADAS 
Teoremas de Ceva, Menelaus e Apolônio (Cícero Thiago Magalhães) 74 
Olimpíadas de Matemática nacionais e internacionais (Ronald Martins) 90 
PARTE 5 – MAGISTÉRIO 
Seleção de questões de teoria dos números de concursos de 
magistério (Renato Madeira) 94 
PARTE 6 – VARIEDADES 
A música dos números (Adílio Titonelli e Luana Titonelli) 101 
Algoritmos genéticos (Samuel Liló Abdalla) 108 
A gente pergunta. Você resolve. 115 
Você pergunta. A gente resolve. 117 
Charges do Professor (Cristiano Marcell) 121 
Um pouco de história (Renato Madeira) 122 
adinhas (Renato Madeira) 124 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
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SOBRE A MATEMÁTICA. 
 
 
Régis Varão – UNICAMP 
Canal Fantástico Mundo Matemático 
 
 
Caros leitores, eu aproveito a estreia da revista para começar com um convite: 
divirtam-se com a matemática, percebam que ela é viva, bela e útil. Esta revista é o 
próprio convite, porém feito muito humildemente, pois entendo que é impossível 
transmitir tudo isso apenas com a criação desta revista, ou de qualquer outra. Portanto, 
este não é “o convite”, mas “um convite”. Este projeto é por si só nossa primeira lição: a 
matemática é uma empreitada colaborativa, com a participação de todos. 
 
Richard Courant e Herbert Robbins possuem um belo livro intitulado “O que é 
matemática?”. O livro apresenta diversos tópicos tais como teoria dos números, álgebra, 
geometria projetiva, geometria não-euclidiana, cálculo, topologia, análise e por aí vai. A 
mensagem é muito clara, a resposta para a provocação levantada pelo título do livro é: 
só aprendendo, fazendo e vivenciando a matemática para descobrir. Assim, a resposta 
para essa pergunta vai sendo construída com o tempo, cada vez que nos maravilhamos 
com um problema, ou ensinamos matemática, ou simplesmente conversamos sobre ela. 
Aqui você terá mais uma opção de aprender, discutir e vivenciar a matemática. E juntos 
vamos a cada edição respondendo a esta inquietação. 
 
A matemática é útil para qualquer sociedade, por exemplo, sem ela não 
avançamos tecnologicamente. Mesmo assim você já deve ter se perguntado ou ouvido 
alguém se questionar “onde eu vou usar isso na minha vida?”. Não quero justificar, 
neste artigo pelo menos, a sua utilidade para o nosso desenvolvimento tecnológico, mas 
seu estudo é diretamente útil para quem o faz. A principal característica desenvolvida 
por alguém que estuda matemática com mais seriedade (ou seja, sem querer apenas 
aplicar fórmulas) é a habilidade em superar obstáculos. E isso está diretamente 
relacionado com a forma com que alguém lida com problemas. Essa é uma aptidão que 
se desenvolve com a matemática, bem como saber lidar com a frustração, correr atrás 
para resolver uma dificuldade, buscar novas alternativas. Note que essas características 
são fundamentais para o sucesso de qualquer pessoa, independente do profissional que 
se queira ser. 
 
A RCMat está dividida em muitas seções, mas o leitor está convidado a 
explorar todas elas. Se por ventura um assunto lhe interessar, leia. A divisão em seções 
serve para organizar, mas aqui vale mais uma sugestão: não veja a matemática de forma 
segmentada. É claro que isso é feito porque é preciso criar uma sequência lógica de pré-
requisitos para que se aprenda de forma coerente. Além de que na sua vida escolar você 
é cobrado assim, cada matéria tem um assunto específico e você será cobrado por ele. 
Mas a matemática deve ser vista como uma só. Siga seus interesses, mas não crie 
preconceitos, não ignore algum assunto pelo simples fato de se auto proclamar mais 
afeito a outro. 
 
Espero que com o tempo cada um, a sua maneira, consiga responder “o que é 
matemática?”, mas existe um ponto crucial que nem sempre é claro, ou colocado de 
uma forma direta, mas é fundamental. É preciso saber que a matemática está 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
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constantemente se desenvolvendo, é viva e dinâmica. Uma boa maneira de descrever 
todo este vigor pode ser muito bem ilustrado pela pesquisa em matemática. Para não me 
alongar coloco mais próximo da minha perspectiva. 
 
Eu sou docente em matemática em uma universidade pública e faço pesquisa 
em matemática. Uma descrição muito rápida sobre isso é assim. Os matemáticos têm 
perguntas que querem responder e as respostas são dadas provando-se novos resultados, 
ou seja, criando-se novos teoremas. E a busca em solucionar esses problemas geram 
mais perguntas em um ciclo interminável de perguntas e respostas. 
 
Resultados matemáticos surgem todos os dias e como esse volume de 
resultados gerados é tão grande daí se faz necessário a divisão em assuntos e temas cada 
vez mais específicos. Os matemáticos participam de eventos, congressos, seminários e 
outras atividades para divulgarem seus resultados e outros matemáticos ficarem sabendo 
e assim a teoria vai se construindo. Esse relato é uma pequena parte da pesquisa e serve 
apenas para ilustrar que a matemática é viva. A pesquisa matemática não é restrita aos 
matemáticos profissionais, há toda uma relação com outras ciências, empresas, 
indústrias etc. 
 
Meu objetivo no momento não é fazer um debate amplo sobre os temas 
levantados, mas apenas contribuir para abrir a mente dos nossos leitores ao apontar que 
há muito mais a se ver além de resultados em um livro didático. A pesquisa é um 
exemplo mais claro e ilustra bem que a matemática está em constante construção. Mas 
ela é apenas uma pequena contribuição. Esta construção é altamente colaborativa, é feita 
sim por todos que se dedicam a matemática. Me repito, pois vale a pena, esta revista é 
um exemplo desta vivacidade: um grupo de pessoas se juntam apaixonadamente para 
escrever e ensinar matemática. Cada artigo carrega consigo um estilo pessoal, a forma 
como esta pessoa enxerga a matemática. E ajunção de todas essas diferentes formas de 
enxergar a matemática também faz parte de como ela é moldada. 
 
Aos poucos tudo que foi levantado aqui será visto com mais cuidado ao longo 
das próximas edições, o que inclui é claro, fazer bastante matemática. Aproveitem. 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
A Revista do Clube de Matemáticos – RCMat – é elaborada por uma equipe 
voluntária composta de mais de 90 matemáticos de todo o Brasil e dos mais diversos 
segmentos. Nosso principal objetivo é democratizar o ensino da Matemática, apresentando 
o assunto de maneira interessante e acessível a todos os estudantes e aos admiradores da 
"Rainha das Ciências". 
 
A publicação é organizada em 6 partes voltadas ao ensino fundamental, ensino 
médio, ensino universitário, olimpíadas de Matemática, Magistério (também ProfMat e 
outros concursos de nível superior) e variedades (aplicações da Matemática, curiosidades, 
história, etc.). Nós convidamos você a dar uma espiada em tudo. É bem provável que você 
encontre algo do seu interesse, também nas outras partes da revista. 
 
Na revista há artigos teóricos, listas de exercícios com resolução, provas de 
concursos resolvidas, questões de desafio, charges e muitas outras coisas úteis e legais. Há 
conteúdo voltado para estudantes que buscam auxílio na escola ou para aqueles que buscam 
um material adicional, para aqueles que se preparam para concursos civis e militares, e 
também para aqueles que simplesmente gostam de Matemática. Professores também 
encontrarão muito material útil para seu aprimoramento, para a preparação de suas aulas ou 
para concursos do Magistério. Teremos também um conteúdo especial para a preparação 
para olimpíadas de Matemática nos diversos níveis. E, para todos os amantes da 
Matemática, temos a parte de “Variedades” onde você encontrará várias seções 
interessantes e divertidas. 
 
Essa primeira edição é um piloto. Nas próximas teremos muitas novidades, mas, 
para que elas sejam ainda melhores, nós precisamos de vocês leitores. Interaja conosco pelo 
e-mail revistarcmat@gmail.com ou pela nossa página no Facebook 
(https://www.facebook.com/revistadoclubedematematicos/). Envie suas dúvidas de 
Matemática, enunciados de questões que você gostaria de ver resolvidas, sugestões de 
pautas, o que você quiser, pois essa revista é de todos nós. Se você é professor(a) ou 
estudante de Matemática, envie também suas sugestões ou junte-se a nós e seja também um 
autor da RCMat. 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:revistarcmat@gmail.com
https://www.facebook.com/revistadoclubedematematicos/
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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Triplas Pitagóricas 
 
Carlos Eddy Esaguy Nehab 
 
Sumário 
 
O objetivo desse artigo é uma introdução às Triplas Pitagóricas, abordando o 
tema até sua clássica propriedade fundamental, em uma abordagem lúdica, passo-a-
passo, e através de pequenos desafios. 
O texto evita o formalismo desnecessário, criando uma narrativa instigante, que 
esperamos gerar, em você, leitor, uma efetiva curiosidade para a aprendizagem desse 
tema(1). 
 
Introdução 
 
Acredito que você conheça o mais famoso e simples dentre os triângulos 
retângulos, que possui lados com medidas iguais a 3, 4 e 5 unidades. Naturalmente, por 
ser um triângulo retângulo, as medidas de seus lados satisfazem ao igualmente famoso 
Teorema de Pitágoras (2). 
Mas sem plagiar o “3, 4, 5”, ou seja, sem considerar seus múltiplos, você 
conhece outros triângulos retângulos cujas medidas dos lados sejam, também, números 
inteiros? Lembra de algum? 
Bem, aí vão vários exemplos! O “5; 12; 13”, o “7; 24; 25”, “8; 15; 17”, “9; 40; 
41” e “20; 21; 29”. Não é formidável? Verifique que cada um deles é, de fato, um 
triângulo retângulo, ou seja, as medidas de seus lados satisfazem ao Teorema de 
Pitágoras! Mas seja esperto. Não utilize a igualdade clássica, pois você terá que elevar 
ao quadrado as medidas dos catetos, o que pode ser trabalhoso! Ao invés da expressão, 
 
2 2 2a b c= + (1) 
 
pense na forma alternativa, 2 2 2b a c= − pois, neste caso, aplicando um produto notável 
simples, transformamos b2 numa expressão multiplicativa, muito mais prática para fazer 
contas mentalmente! Veja: 
 
( )( )2b a c a c= + − (2) 
 
E então? Você percebe que essa igualdade facilita verificar se uma tripla de 
números é pitagórica ou não, com menos esforço?(3) Experimente! 
 
(1) O material aqui apresentado pode ser utilizado, em sua quase totalidade, por alunos do 9º ano do 
Ensino Fundamental. 
(2) A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos 
sobre os catetos, ou seja: se a é a medida da hipotenusa e b e c são as medidas dos catetos de um 
triângulo, a versão algébrica do Teorema de Pitágoras é, então: 
2 2 2a b c .= + 
(3) Mas seja esperto, também, para elevar ao quadrado, mentalmente, um número. Os produtos notáveis 
sempre ajudam... Eu calculo 
228 , de cabeça, assim: ( )
2
30 2 900 120 4 784.− = − + = E você, 
como calcularia 
231 ? 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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Bem, agora vamos adiante! Como o próprio título sugere, pretendemos abordar 
o fascinante tema Triplas Pitagóricas, ou seja, triplas de números inteiros que podem 
representar as medidas dos lados de um triângulo retângulo. E esses triângulos são 
conhecidos como Triângulos Pitagóricos. 
Então, nossa vedete, a tripla “3; 4; 5”, assim como seu dobro – “6, 8, 10” ou 
seu triplo – “9; 12; 15”, são triplas pitagóricas, mas as duas últimas não tem muita 
graça, não é mesmo? Abstraindo o tamanho e se fixando no jeitão, esses triângulos são, 
de certa forma, iguais. Não é à toa que a matemática criou o termo figuras semelhantes, 
para essas situações: iguais na forma! 
 
 
 
Parece, então, que as triplas pitagóricas realmente interessantes são as que 
representam os menores triângulos com uma determinada forma, ou seja, quando os 
números que a compõem não possuem fator em comum: são primos entre si! Essas 
triplas são chamadas de Triplas Pitagóricas Primitivas e os triângulos retângulos 
associados são chamados de Triângulos Pitagóricos Primitivos. 
Assim, as triplas “6; 8; 10” e “9; 12; 15” são pitagóricas, mas não são 
primitivas. Mas atenção: todas as demais triplas já citadas no texto são triplas 
primitivas... 
Agora, para facilitar a notação, vamos representar uma tripla de números, 
escrevendo-os entre colchetes e, de preferência, com os valores em ordem crescente. 
Assim: [3; 4; 5], [5; 12; 13], [7; 24; 25] etc. 
 
Bem. Já está na hora de agitar um pouco os neurônios! Portanto, 
apresentaremos, por intermédio de sucessivos Desafios, propriedades sobre esse 
interessantíssimo tema. Alguns desses desafios serão resolvidos, outros apenas conterão 
dicas e, finalmente, há os presentinhos para VOCÊ, cujo objetivo é mesmo cutucá-lo e 
provocar a discussão com seus colegas e professores. 
 
 
Desafios 
 
Desafio 1. Determine todos os triângulos pitagóricos (primitivos ou não), com 
um lado medindo 12 unidades. Analise, separadamente, a possibilidade de 12 ser a 
medida da hipotenusa ou a medida de um cateto. Repita este desafio também para os 
valores 29 e 41. 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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Solução (para o caso de um cateto medindo 12) 
Se 12 é a medida do cateto b, então ( )( )a c a c 144,− + = certo? E agora? De 
que forma o produto dos inteiros a c− e a c+ pode ser igual a 144? 
Na tabela a seguir exibimos os casos efetivamente úteis para nossa análise 
(pense nos possíveis divisores de 144 e porque privilegiamos apenas os 7 casos 
indicados).1º caso 2º caso 3º caso 4º caso 5º caso 6º caso 7º caso 
a c− 1 2 3 4 6 8 9 
a c+ 144 72 48 36 24 18 16 
 
Como a soma de a c− e a c+ vale 2a (um número par), os casos 1, 3 e 7 não 
nos servem. Analisando os casos 4 e 5, obtemos as triplas [12; 16; 20] e [9; 12; 15], 
ambas múltiplas de [3; 4; 5] e, portanto, triplas pitagóricas não-primitivas. Já nos casos 
2 e 6 obtemos as triplas pitagóricas primitivas [12; 35; 37] e [5; 12; 13], 
respectivamente. Ou seja, há 4 triângulos pitagóricos que admitem 12 como medida de 
um de seus catetos! Agora, complete a solução do desafio! 
 
Desafio 2. Você é capaz de apresentar um triângulo pitagórico com todos os seus 
lados medindo mais do que um bilhão? É mais fácil do que você imagina. E se exigirmos 
que seja pitagórico primitivo? 
 
Desafio 3. Mostre que as triplas exibidas são triplas pitagóricas primitivas. Veja 
lá, hein! Não eleve ninguém ao quadrado, desnecessariamente! 
S1 = [201; 20.200; 20.201]; 
S2 = [2.001; 2.002.000; 2.002.001]; 
S3 = [20.001; 200.020.000; 200.020.001]. 
T1 = [20; 99; 101]; 
T2 = [200; 9.999; 10.001]; 
T3 = [2.000; 999.999; 1.000.001]. 
Você percebe alguma lei de formação nas triplas indicadas? Ou seja, quais 
seriam as próximas triplas, em cada caso? Você percebeu que nos triângulos S1, S2 e S3 a 
diferença entre os dois maiores lados vale 1 e, nos triângulos T1, T2 e T3, vale 2? 
E agora, o Desafio 2 ficou fácil? 
 
Desafio 4. Observe que as triplas [3; 4; 5], [5; 12; 13], [7; 24; 25] e [9; 40; 41] 
satisfazem às seguintes condições: 
• o cateto maior e a hipotenusa são dois números consecutivos; 
• o cateto menor é um número ímpar; 
• a soma do cateto maior com a hipotenusa é igual ao quadrado do cateto menor. 
a) Descubra mais quatro triângulos pitagóricos com esse jeitão. 
b) Responda: é possível o menor cateto de um triângulo desse tipo valer 17?(
4) 
Note que o quadrado de 17 vale 289. E, então? Qual seria a hipotenusa? E o cateto 
maior? 
c) Tente identificar alguma lei de formação para as medidas dos lados desses 
triângulos, mas fique ciente que você NÃO vai descobrir a pólvora! Vai (re)descobrir a 
 
(4) Para evitar que a linguagem fique maçante, quando falarmos dos lados de um triângulo, estaremos nos 
referindo, também, à medida dos referidos lados. Por exemplo, vamos escrever “o cateto vale 12”, 
significando “a medida do cateto” vale 12. 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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famosa Fórmula de Pitágoras. Sim, ELE já sabia disso. Que tal pesquisar a época em que 
ELE viveu? Tem muito, muito tempo! 
 
Solução 
O desafio sugere, essencialmente, que sejam analisados triângulos retângulos, 
onde o cateto maior e a hipotenusa sejam inteiros consecutivos. Parece interessante, 
então, imaginar um inteiro n, qualquer e, fazendo b n,= a n 1,= + analisar o que daí 
decorre, certo? Então, pelo Teorema de Pitágoras: 
 
( )( ) ( )
2
2 2 2 2 c 1c a b a b a b c 1 2n 1 2n 1 n
2
−
= − = − +  =  + = +  = 
 
Como 2n 1+ é sempre ímpar, uma boa ideia é fazer c percorrer os números 
ímpares e calcular os valores correspondentes de a e b, que serão inteiros (porque?). 
 
2c 1
b n
2
−
= = e 
2c 1
a n 1
2
+
= + = 
 
E mais: somando a e b, obtemos, 
2 2
2c 1 c 1 c ,
2 2
+ −
+ = ou seja, a soma do 
cateto maior com a hipotenusa é, de fato, igual ao quadrado do cateto menor! 
Atribuindo a c, valores inteiros ímpares positivos, com c 1, geramos a 
Tabela 1: 
 
 c 2c a b= + b a 
1o 3 9 4 5 
2o 5 25 12 13 
3o 7 49 24 25 
4o 9 81 40 41 
5o 11 121 60 61 
Tabela 1 
 
E agora, responda: qual o décimo, o vigésimo e o milésimo triângulo desse 
tipo? E..., antes tarde do que nunca! Dê uma OUTRA olhadinha no Desafio 2... 
 
Você percebeu que descobrimos uma INFINIDADE de Triângulos Pitagóricos 
Primitivos? Não é incrível? Nesses casos, acredite, é bom fazer como a maioria dos 
matemáticos: dar gritos e pulos de alegria, ao som de Pink Floyd ou de Beethoven, não 
importa! Vai, liga o som, bem alto! 
 
Desafio 5. No triângulo retângulo primitivo [8; 15; 17], a diferença entre 
hipotenusa e o maior cateto vale 2 (ao invés de 1, como no Desafio 4). 
a) Encontre outro triângulo pitagórico primitivo com essa característica (é claro 
que encontrar triângulos pitagóricos que não sejam primitivos é banal, pois basta dobrar 
os triângulos do Desafio 4). 
b) De forma análoga ao Desafio 4, faça b n= e a n 2,= + analisando c e 
investigando qual a necessária restrição sobre n. Espero que você conclua, sem 
dificuldade, que basta que n 1+ seja quadrado perfeito... 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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c) Faça uma tabela análoga à Tabela 1, com pelo menos cinco triângulos desse 
tipo e responda: qual o décimo triângulo dessa tabela? 
 
Desafio 6. Analise a bela questão que se segue, proposta na prova discursiva do 
vestibular de 2005, da UERJ. Uma curiosidade é que a propriedade abordada na questão, 
segundo estudiosos, já era do conhecimento dos babilônios (depois dê uma olhadinha na 
Wikipédia, para saber um pouco mais sobre esse povo e sua época). 
Mas vamos à questão da prova! 
 
Terno pitagórico é a denominação para os três números inteiros que representam 
as medidas, com a mesma unidade, dos três lados de um triângulo retângulo. Um terno 
pitagórico pode ser gerado da seguinte forma: 
• escolhem-se dois números pares consecutivos ou dois números ímpares 
consecutivos; 
• calcula-se a soma de seus inversos, obtendo-se uma fração cujos numerador e 
denominador representam as medidas dos catetos de um triângulo retângulo; 
• calcula-se a hipotenusa. 
a) Utilizando o procedimento descrito, calcule as medidas dos três lados de um 
triângulo retângulo, considerando os números pares 4 e 6. 
b) Considere x um número inteiro maior do que 1, e que x 1− e x 1+ 
representam dois pares ou dois ímpares consecutivos. Demonstre que esses dois números 
geram um terno pitagórico. 
 
Complementando a interessante questão, que tal você investigar, também, quais 
as condições para que os ternos pitagóricos descritos no item (b) sejam primitivos? Note 
que nada é dito, no enunciado, sobre simplificar ou não a fração resultante da soma dos 
inversos... 
 
Desafio 7. O Desafio 4 analisa triângulos pitagóricos onde os dois maiores lados 
são inteiros consecutivos. Mas no triângulo [3, 4, 5], os dois catetos TAMBÉM são 
inteiros consecutivos. Será que há uma infinidade de triângulos pitagóricos com essa 
característica? 
 
Solução 
Veja que, neste caso, fazendo b c 1,= + o Teorema de Pitágoras fornece 
2 2a 2c 2c 1= + + 
Como consequência, devemos procurar valores de c para os quais a expressão 
22c 2c 1+ + é um quadrado perfeito! 
Na Tabela 2 exibimos os 10 (dez) primeiros triângulos deste tipo (omitimos o 
2º). Note que a hipotenusa do 8º triângulo já é maior do que 1 milhão! Você percebeu que 
esses triângulos ocorrem de uma forma bem mais rara, esparsa, do que as famílias de 
triângulos pitagóricos analisados anteriormente? 
Bem, na verdade há sim, uma infinidade de triângulos desse tipo mas, 
infelizmente, obter uma solução geral para esse desafio não é simples (5), pois exige 
conteúdo que está um pouco além do objetivo deste texto. 
 
 
(5) Pode ser obtida uma solução direta ou através da chamada Equação de Pell. Veja [1], na última seção, 
Referência de Leitura. 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
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N c b c 1= + 2a 2c 2c 1= + + 
1º 3 4 5 
2o ? ? ? 
3o 119 120 169 
4o 696 697 985 
5o 4059 4060 5741 
6o 23.660 23.661 33.461 
7o 137.903 137.904 195.025 
8o 803.760 803.761 1.136.689 
9o 4.684.659 4.684.660 6.625.109 
10o 27.304.196 27.304.197 38.613.96 
Tabela 2 
 
a) Determine,por tentativa e erro, o triângulo da 2ª linha. Uma dica: a medida 
da hipotenusa está entre 25 e 35. 
b) Se um triângulo  dessa tabela, possui hipotenusa a e catetos b e c, é 
possível provar que o triângulo ', de hipotenusa a’ e catetos b’ e c’, calculados pelas 
expressões c ' 3b 2a 1,= + + b' c' 1= + e a ' 3a 4c 2,= + + corresponde exatamente ao 
triângulo que sucede  na tabela! 
Use as expressões apresentadas para calcular os lados do 2º e 3º triângulos a 
partir dos lados do triângulo anterior... 
c) Se você já aprendeu a criar fórmulas simples em algum produto tipo 
planilha, use o item anterior e o primeiro triângulo [3; 4; 5] para construí-la. Mas vá 
além, até o 15º triângulo e se surpreenda: você deve encontrar 259.717.522.849 para o 
valor de sua hipotenusa. Isso, quase 260 bilhões! Sinistro, não? 
Concluímos com uma curiosidade: a razão entre as hipotenusas de dois 
triângulos consecutivos dessa tabela se aproxima de 3 2 2 5,83 ,+  à medida em que 
os triângulos crescem... Ou seja, cada triângulo é quase 6 vezes o anterior. Faça umas 
continhas para verificar essa aparente mágica... 
 
Para quem está em dia com Divisão entre Inteiros ou Aritmética Modular e 
possui alguma intimidade com demonstrações nesse contexto, os Desafios 8 e 9 são 
muito interessantes e abordam propriedades simples e curiosas sobre os triângulos 
pitagóricos. Mesmo que você não consiga demonstrar as propriedades neles expressas, 
não se intimide. Brinque com elas. É assim que a gente aprende e apreende mais e mais 
matemática... 
 
Desafio 8. Analisando QUALQUER triângulo pitagórico, note que: 
(1) Se for primitivo, a hipotenusa é ímpar e os catetos possuem paridades 
opostas. 
(2) Se for primitivo, a hipotenusa jamais é um múltiplo de 3. 
(3) Se for primitivo, a hipotenusa jamais é um múltiplo de 4. 
(4) Um dos catetos é necessariamente múltiplo de 3; 
(5) Um dos catetos é necessariamente múltiplo de 4; 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
10 
(6) Se for primitivo, exatamente um dos lados é múltiplo de 5 (ou seja, apenas 
a hipotenusa ou apenas um dos catetos). Se não for primitivo, pelo menos um dos lados 
é múltiplo de 5. (6) 
Prove que todas as características descritas de (1) a (6) são, na verdade, 
SEMPRE verdadeiras, ou seja, são propriedades gerais dos triângulos pitagóricos. 
 
Solução (parcial) 
Se você estudou divisão entre números inteiros, aprendeu que podemos expressar, 
de forma única, qualquer inteiro N, na forma N dq r,= + onde q é o quociente e r é o resto 
da divisão de N pelo divisor d (7). 
No caso de d 3= podemos, então, expressar as medidas dos catetos de um 
triângulo pitagórico da seguinte forma, onde q e q’ são os quocientes e r e r’ são os restos da 
divisão de b e c por 3, respectivamente: 
b 3q r= + e c 3q ' r ',= + onde r, r ' 0,1,2.= 
Estamos preparados, agora, para resolver o item (2): utilizando Pitágoras, temos: 
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2a 3q r 3q ' r ' 3 3q 3q ' 2q 2q ' r r '= + + + =  + + + + + 
Assim, 2a resulta em um múltiplo de 3 somado à expressão ( )2 2r r ' ,+ que 
somente é múltipla de 3 se r e r’ forem simultaneamente nulos (teste as possibilidades). 
Então, só é possível a hipotenusa ser um múltiplo de 3 se também os dois catetos o forem, 
ou seja, quando o triângulo não é primitivo. Esse argumento prova o item (2). 
 
Desafio 9. [para os mais experientes] Dado um triângulo pitagórico primitivo, 
considere d, a diferença entre as medidas de sua hipotenusa e de seu cateto maior (note que 
já estudamos, nos Desafios 4 e 5, as situações d 1= e d 2).= 
a) Analisando os casos d 7= ou d 11,= justifique o fato de que d não pode ser 
um primo ímpar. 
b) A partir da argumentação anterior, prove que a decomposição de d NÃO pode 
conter um fator p , com p primo ímpar e  ímpar, tampouco com p 2= e  par. Analise 
os casos d 12,= d 45= e d 8.= 
 
Desafio 10. Os desafios anteriores nos possibilitaram a descoberta de várias 
famílias curiosas de triângulos pitagóricos primitivos, cada uma com um certo jeitão! Mas 
sem dúvida, resta uma pergunta que, com certeza, sua curiosidade gostaria de ver 
respondida: 
 
“Há alguma uma lei geral, que possibilite a geração de TODAS as 
triplas pitagóricas?” 
 
Para os triângulos pitagóricos primitivos a resposta é afirmativa e vamos analisar 
uma abordagem que requer apenas álgebra básica. Vejamos: 
 
Se m e n são números quaisquer, analise a igualdade que se segue, facilmente 
demonstrável usando produtos notáveis básicos: 
( ) ( ) ( )2 2 2m n m n 2mn+ = − + (3) 
 
(6)
 Pode ocorrer que um mesmo lado seja, simultaneamente, múltiplo de 3, 4 e 5. Por exemplo, na tripla 
[11, 60, 61]. 
(7)
 Onde d 0 e 0 r d .  
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
11 
Note que essa identidade, que envolve três quadrados, pode ser facilmente 
associada ao Teorema de Pitágoras, em um triângulo retângulo cuja medida da hipotenusa 
vale 2 2m n+ e cujas medidas dos catetos valem 2 2m n− e 2mn! E, naturalmente, se m e 
n forem inteiros, a hipotenusa e os catetos também serão números inteiros! 
Resumindo: se m e n são inteiros, com m n 1,  o triângulo cujos lados medem 
a, b e c, definidos pelas equações em (4), a seguir, é um triângulo retângulo (porque 
m n 1?).  
2 2
2 2
a m n
b m n
c 2mn
 = +

 = −

=
 (4) 
 
a) Atribua a m e n os pares de valores indicados na Tabela 3, completando-a e 
verificando se os triângulos obtidos a partir de (4) são primitivos ou não. 
 
m 2 3 3 5 7 
n 1 1 2 2 5 
a 
b 
c 
Tabela 3 
 
b) Verifique que NÃO é possível encontrar valores inteiros para m e n de forma a 
obter o triângulo pitagórico [9, 12, 15]. Conclua, então, que as igualdades em (4), com m e 
n inteiros, NÃO geram todos os triângulos pitagóricos. 
c) Variando m de 2 a 7, e escolhendo m n 1,  criamos a Tabela 4, onde 
explicitamos os triângulos (triplas) obtidos em cada caso. 
 
 m N Tripla m N Tripla m n Tripla m n Tripla 
2 1 [3, 4, 5] 
 
5 
1 
2  [5, 12, 
13] 
 
6 
1 [12, 35, 37] 
 
7 
1 2  [7, 24, 25] 
3 
1 2  [3, 4, 5] 2 [20, 21, 29] 2 8  [3, 4, 5] 2 [28, 45, 53] 
2 [5, 12, 13] 
 
3 
2  [8, 15, 
17] 
 
3 9  [3, 4, 5] 
 
3 
2  [20, 21, 
29] 
4 
1 [8, 15, 17] 
 
4 [9, 40, 41] 
 
4 
4  [5, 12, 
13] 
 
4 [33, 56; 65] 
2 4  [3, 4, 5] 
 
5 [11, 60, 61] 
 
5 
2  [12, 35, 
37] 
3 [7, 24, 25] 6 [13, 84, 85] 
Tabela 4 
 
Identifique, nesta tabela, as situações em que m e n NÃO são primos entre si e, 
também, as situações onde m e n são ambos ímpares. Perceba que, em todos esses casos, o 
triângulo obtido NÃO é um pitagórico primitivo. Tente justificar porque, de fato, nessas 
condições, isso sempre ocorre. 
d) Observe, na Tabela 4, que quando m e n são primos entre si e não são ambos 
ímpares, o triângulo obtido é pitagórico primitivo. Tente provar esse fato, pois ele é 
conhecido como a Propriedade Fundamental das Triplas Pitagóricas. 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
12 
Sugestões de Leitura 
 
Considerando que a bibliografia disponível sobre esse tema é vastíssima sugiro, apenas 
para os leitores seniores, as seguintes referências: 
[1] – “Equações Diofantinas”, de Antonio Caminha Muniz Neto. 
https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf 
Dos autores John A. Fossa e Glenn W. Erickson, da UFRN: 
[2] – o artigo “Sobre a Classificação de Triângulos Pitagóricos”, publicado na revista Principios. 
https://periodicos.ufrn.br/principios/article/view/629/574 
[3] – o livro “Número e razão: os fundamentos matemáticos da metafísica platônica” (Natal: 
EDUFRN, 2005. 152 p) 
https://books.google.com.br/books?id=pfnMhRYI5HgC&printsec=frontcover&dq=isbn:8578610199&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiC_o-
f6rLbAhUDj5AKHTmqBzUQ6AEIKDAA#v=onepage&q&f=false 
[4] – O artigo “When is n a member of a Pythagorean triple?” dos autores Dominic e Alfred Vella, 
publicado no The Mathematical Gazette, 87(508), 102-105”. 
doi:10.1017/S0025557200172183 
[5] – Do professor Jens Høyrup, referência mundial em História da Matemática (da Babilônia, em 
especial), um artigo interessantíssimo para os aficionados, com download permitido para estudo 
pessoal: https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/4340054. 
 
https://www.obm.org.br/content/uploads/2017/01/eureka7.pdf
https://periodicos.ufrn.br/principios/article/view/629/574
https://books.google.com.br/books?id=pfnMhRYI5HgC&printsec=frontcover&dq=isbn:8578610199&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiC_o-f6rLbAhUDj5AKHTmqBzUQ6AEIKDAA#v=onepage&q&f=false
https://books.google.com.br/books?id=pfnMhRYI5HgC&printsec=frontcover&dq=isbn:8578610199&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiC_o-f6rLbAhUDj5AKHTmqBzUQ6AEIKDAA#v=onepage&q&f=false
https://books.google.com.br/books?id=pfnMhRYI5HgC&printsec=frontcover&dq=isbn:8578610199&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiC_o-f6rLbAhUDj5AKHTmqBzUQ6AEIKDAA#v=onepage&q&f=false
https://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/4340054
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
12 
 
MATEMÁTICA NA ÁREA. 
 
Cristiano Marcell 
 
É muito comum nos últimos anos do ensino médio, antes de começarmos a 
expor aos alunos o conteúdo do tópico volume de sólidos geométricos, revisarmos 
fórmulas que calculam as áreas das principais figuras planas, aprendidas no ensino 
fundamental. Reconheço que, por se tratar de um assunto que me agrada bastante, a 
simples apresentação das expressões no quadro negro (hoje, branco) nunca me satisfez. 
Procuro demonstrar todas elas, inclusive o radical de Heron. 
 
Certa feita, numa turma de 3° ano do ensino médio do Colégio Pedro II, lancei 
um conhecido problema, a fim de instigar os alunos, então mais maduros, a encontrarem 
a área de um triângulo de perímetro 2p circunscrito a um círculo de raio r, em função de 
p e r. Observe a figura 1. 
 
 
 
Após ter concedido um tempo para que pensassem sobre o problema, propus 
que partíssemos juntos para solução, ouvindo as sugestões de todos. Em verdade, o que 
rabiscamos não foi muito diferente de minha solução dos tempos de 8ª série, quando eu 
me debruçava horas sobre os livros de geometria plana de Eduardo Wagner 1e Edgar 
Alencar Filho2. 
 
Dividi o triângulo ABC em outros três triângulos menores partindo do centro 
da circunferência indo até os vértices A, B e C. Logo em seguida, tracei os raios nos 
pontos de tangência P, Q e T dos lados AB, AC e BC, respectivamente, que serviram de 
altura para os triângulos AOC, AOB e BOC. Como podemos notar na figura 2. 
 
1 Jorge, M., Morgado, A. C. e Wagner, E. – Geometria I (2° grau) – Livraria Francisco Alves Ed. 
Jorge, M., Morgado, A. C. e Wagner, E. – Geometria II (2° grau) – Livraria Francisco Alves Ed. 
2 Alencar Filho, E. – Exercícios de Geometria Plana – Nobel. 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
13 
 
 
Assim, a soma das áreas dos triângulos AOC, AOB e BOC resulta na área S do 
triângulo ABC. 
 
( ) ( ) ( )S S AOC S AOB S BOC=  +  +  
 
( )
a r b r c r r r
S a b c 2p p r
2 2 2 2 2
  
= + + =  + + =  =  
 
Concluímos que S p r.=  
 
Findou-se a aula e alguns dias se passaram. Um dos alunos me trouxe um 
problema similar para calcular a área do triângulo ABC, contudo A 90=  e era 
fornecido pelo enunciado somente os valores de CT 4 cm= e BT 9 cm= (figura 3). 
 
 
 
Parti para uma resolução mais genérica admitindo que CT x= e BT y.= Daí: 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
14 
 
 
I) AP AQ r,= = formando o quadrado de APOQ; 
II) CT CP x;= = e 
III) BT BQ y.= = 
 
Não é difícil notar que 
 
AP PC AC b x r+ =  − = e 
BQ AQ AB c y r.+ =  − = 
 
Obtivemos a igualdade b x c y b c x y.− = −  − = − 
 
Logo, elevando as duas partes ao quadrado, temos: 
 
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2b c x y b c 2bc x y 2xy IV− = −  + − = + − 
 
Pelo Teorema de Pitágoras, temos 2 2 2a b c .= + 
Como a x y,= + chegamos à substituição ( )2 2 2x y b c+ = + (V) 
Substituindo (V) em (IV), temos: 
 
( )2 2 2 2 2 2 2x y 2bc x y 2xy x 2xy y 2bc x y 2xy+ − = + −  + + − = + − 
2bc 4xy bc 2xy =  = 
 
A área S do triângulo retângulo ABC é dada por 
b c
S ,
2

= daí: 
 
bc 2xy
S x y.
2 2
= = =  
 
No caso específico do exercício temos S 4 9 36 cm.=  = 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
15 
Tratei então de estender um pouco mais o assunto, inscrevendo esse triângulo 
ABC em uma semicircunferência de raio R. Com isso, a 2R= (figura 5). 
 
 
 
Seja o vértice A um ponto pertencente à semicircunferência circunscrita ao 
triângulo retângulo, todos os possíveis triângulos têm base igual a 2 R.=  Isso deixa 
claro que a área do triângulo aumenta ou diminui de acordo com a medida de AH, 
perpendicular ao diâmetro BC. 
 
 
 
Sejam AH e A’H’ tais que AH A 'H ', então 
 
AH A'H ' 2R AH 2R A'H '
AH A'H '
2 2 2 2
 
     
( ) ( )S BAC S BA'C .    
 
O triângulo ABC de área máxima será aquele cuja altura mede R. Isto quer 
dizer que sua área máxima mede 
 
( ) ( )2máx
BC AH 2R R
S ABC R * .
2 2
 
 = = = 
 
Uma abordagem interessante também seria a de expressar essa área em função 
da medida x do segmento CT, ou seja, CT x.= 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
16 
 
 
Observemos que 
( )
( )
S x y VI
x y 2 R VII
= 

+ = 
 
 
De (VII) concluímos que y 2R x.= − 
 
Substituindo (VII) em (VI), temos: 
 
( ) 2S x 2R x S x 2rx.=  −  = − + 
 
Trata-se de uma função quadrática onde x está definido no intervalo 
0 x 2R  e cujo gráfico pode ser representada por 
 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
17 
As coordenadas do vértice V determinarão o valor de x para que a área S seja 
máxima. 
 
( )V
b 2R
x R.
2a 2 1
= − = − =
 −
 
 
Calculamos para a obtenção da coordenada y do vértice, o valor de 
( ) ( )22 2b 4ac 2R 4 1 0 4R . = − = − −  −  = Logo, 
 
( )
2
2
V
4R
y R .
4a 4 1

= − = − =
 −
 
 
Confirmamos o que foi exibido em ( )* através dessa função quadrática. 
 
Por outro lado, olhemos novamente para o triângulo ABC na figura 9, cuja 
altura relativa à hipotenusa mede h, BT x= e CT y.= 
 
 
 
Utilizando o cálculo da área do triângulo convencional, podemos escrever que 
a área do triângulo ABC é dada por 
 
( )
( )x y h
S ABC S .
2
+ 
 = = 
 
Daí, temos que 
 
( )x y h 2xy 1 1 1
xy h h
x y x y 1 12 x y
2xy xy xy x y
2 2
+ 
=  =  = = =
++
+ +
 
1
h
1 1
x y
2
 =
+
 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
18 
Isso nos mostra que h é, na verdade, a média harmônica entre os termos x e y. 
 
Sabemos, porém, que para quaisquer x e y pertencentes aos reais positivos, a 
média harmônica desses valores é sempre menor ou igual à média geométrica desses 
mesmos dois valores. Logo, 
 
21h xy S h S h S.
1 1
x y
2
=  =    
+
 
 
Mostramos assim que, considerando um triângulo retângulo ABC de área S, 
inscrito numa semicircunferência de raio R, cuja altura relativa à hipotenusa mede h 
vale a seguinte desigualdade 
 
2 2h S R .  
 
Após tantos anos de magistério, não deixo de achar incrível como a 
Matemática nos proporciona aprendizados novos a cada aula lecionada. 
 
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19 
Rigidez versus FlexibilidadeDaniel Mororó 
 
Polígonos são utilizados como base para diversos tipos de objetos, desde 
simples alicates até pontes. Observemos as figuras a seguir: 
 
 
 
 
 
As figuras na primeira linha se diferenciam das outras na segunda em termos 
de estrutura. Na segunda linha temos partes móveis que permitem flexibilidade e 
diversas configurações. Por outro lado, construções como pontes, guindastes e quadros 
de bicicletas exigem certo grau de resistência em sua produção, a fim de impedir que 
mudem de forma drasticamente. 
Além da rigidez, as primeiras figuras possuem outra característica comum: a 
forma plana básica em sua constituição são triângulos; os objetos da segunda linha por 
outro lado têm quadriláteros compondo suas partes flexíveis. O que está por detrás 
disso? Um pouco de Geometria Plana! 
A rigidez triangular reside no fato de que só é possível modificar um triângulo 
por descolamentos rígidos (rotações, translações e reflexões). Podemos reescrever essa 
afirmação como "não é possível alterar esse polígono sem deformar seus lados”. O caso 
de congruência de triângulos Lado-Lado-Lado é a prova. Não existem dois triângulos 
diferentes com as mesmas medidas de lados. 
 
Fig 1. Ao deslocarmos o ponto B do triângulo ABC, alteramos as medidas dos lados AC e BC. 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
20 
Num sentido contrário, com as mesmas medidas de lados, é possível desenhar 
diversos quadriláteros diferentes. (modificando apenas seus ângulos). 
 
Fig 2. Ao deslocarmos o ponto A do quadrilátero ABCD, mantém-se os comprimentos de seus 4 lados. 
 
Existem, portanto, dentro de algumas condições, infinitos quadriláteros com as 
mesmas medidas de lados. Que condições são essas? 
Consideramos os pontos A e B, distantes d, e as circunferências centradas em 
A, de raio fixo 1l e B, de raio fixo 2l . Existirá um triângulo ABC de lados d, 1l e 2l se, 
e somente se, essas circunferências forem secantes, ou seja, 1 2 1 2l l d l l .−   + 
 
De maneira análoga, ao considerarmos as circunferências centradas em A e B, 
de raios fixos 3l e 4l , respectivamente, existirá um triângulo ABD se, e somente se, 
3 4 3 4l l d l l .−   + 
 
O quadrilátero ABCD, de lados 1l , 2l , 3l e 4l , existirá caso o sistema a seguir 
admita solução. 
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21 
1 2 1 2
3 4 3 4
l l d l l
.
l l d l l
−   +

−   +
 
Se o sistema tiver solução, ela não será única. Haverá infinitos valores reais 
para d, pois ele pertencerá a um intervalo real. Portanto, haverá inúmeras configurações 
de quadriláteros com lados 1l , 2l , 3l e 4l . 
Assim, quando estruturas exigem rigidez, uma forma de construí-las é 
utilizando peças triangulares encaixadas; quando necessitam de mobilidade, uma ideia é 
utilizar quadriláteros. 
Para exemplificar, tomemos os segmentos 1l 5 cm,= 2l 3 cm,= 3l 4 cm= e 
4l 2 cm.= O sistema de inequações que estabelece as condições de existência desses 
quadriláteros será: 
5 3 d 5 3 2 d 8
2 d 6
4 2 d 4 2 2 d 6
−   +   
    
−   +   
 
Como esse sistema possui infinitas soluções reais para d, então existem 
infinitos quadriláteros com as medidas indicadas. 
Para refletir, percebemos que, na figura do quadro da bicicleta, há um 
quadrilátero convexo, primeiramente "flexível", mas que é ligado por uma de suas 
diagonais, o que faz com que a estrutura venha a se tornar "firme". É possível fazer o 
mesmo com um pentágono ou com um hexágono convexos? Considerando o menor 
número possível de diagonais a serem utilizadas, de quantas formas isso pode ser feito 
em cada um dos polígonos? 
 
 
Referências 
 
ASSOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Geometría: una 
visíon de la planimetría. 2a edição. Peru. Lumbreras Editores. 2008. 944p. 
 
WAGNER, E. Congruência de triângulos. Disponível em <http://www.profmat-
sbm.org.br/ma13/>. Acesso em 01/06/2018 
 
SOCIEDADE PORTUGUESA DEMATEMÁTICA. Isto é Matemática - T10E08 - “O 
Triângulo e o Quadrilátero (Parte 1)”. Disponível em 
<https://www.youtube.com/watch?v=8h6iG8htovY>. Acesso em 01/06/2018 
 
SOCIEDADE PORTUGUESA DEMATEMÁTICA. Isto é Matemática - T10E08 - “O 
Triângulo e o Quadrilátero (Parte 2)”. Disponível em 
<https://www.youtube.com/watch?v=OM3SIVHYo2U>. Acesso em 01/06/2018 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
22 
 
 
MINICURSO DE TEORIA DOS NÚMEROS 
 
Jean Lira 
 
Aqui começaremos um pequeno curso sobre teoria dos números que será 
lançado em cada edição da revista. Para acompanhar esse curso, não será necessário 
conhecimento anterior sobre o tema e juntos desenvolveremos de conceitos básicos até 
alguns mais avançados. 
Em cada edição, teremos uma série de exercícios resolvidos, e outros 
sugeridos, com a intenção de fixar o conteúdo e desafiar o leitor. 
Espero que seja de leitura fácil e prazerosa, e que você, leitor, sinta interesse e 
vontade de seguir conosco até o final dessa jornada. 
 
Sobre a Teoria dos números 
 
A teoria dos números é a parte da matemática responsável por estudar as 
propriedades dos números inteiros, assim como suas consequências. 
Vamos aqui estudar, ao longo deste curso, divisibilidade, números primos, 
congruências entre outras tantas ferramentas poderosíssimas tanto para o aprendizado de 
matemática quanto para provas de cunho militar, técnicas e olimpíadas. 
Entre os principais desenvolvedores dessa teoria estão nomes de peso, como o 
grego Euclides (Sec. III a.c), o francês Pierre de Fermat (1601 – 1665), o Suíço 
Leonhard Euler (1707 – 1783), e outros. Vamos, juntos com eles, entender mais sobre 
os números inteiros e suas intrigantes propriedades! 
 
Divisibilidade 
 
Estudamos na escola, desde pequenos, a divisão. Quando perguntados quanto é 
6 dividido por 2, respondíamos quase que de imediato: 3, afinal, além de termos 
decorado a tabuada, sabíamos que “o 2 cabe 3 vezes dentro do 6”, pois 2 2 2+ + é 6. 
Esse conceito inocente sobre divisão não está de forma alguma errado. Muito pelo 
contrário, é fácil de entender e bastante útil para problemas simples do cotidiano. 
O que vamos fazer aqui é amadurecer essa ideia e nos aprofundar nas 
consequências resultantes desse conceito divisão. Por exemplo, quando tivermos, como 
mencionado acima, um número inteiro a que consegue dividir um outro número inteiro 
b vamos usar a notação: 
 
a|b 
 
que significa dizer “a divide b”, ou seja, existe um número inteiro q para o qual 
podemos escrever: 
 
b a q=  
 
Uma outra forma é dizer que b é um múltiplo de a. 
Usando como exemplo o 6 e o 2 que estávamos falando há pouco, podemos 
escrever: 
 
2 | 6 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
23 
 
Afinal, temos 6 2 3=  (olha aí o tal do “2 cabe 3 vezes dentro do 6”), então 6 
é um múltiplo de 2. 
 
Quando um número inteiro a não consegue dividir outro inteiro b escrevemos: 
 
a | b 
 
ou seja, a não divide b. Sendo assim, não existe nenhum número inteiro q para 
o qual b a q=  e b não é múltiplo de a. Um exemplo disso é a divisão de 8 por 3, 
nenhum número inteiro multiplicado por 3 tem como resultado 8, 8 não é múltiplo de 3, 
logo: 
 
3 | 8 
 
Agora vamos ver algumas propriedades divisão: 
 
(I) Para qualquer valor inteiro de a, temos 1 | a, a | 0 e a | a. 
Todo número inteiro é múltiplo de 1, 0 é múltiplo de qualquer número inteiro e 
todo número inteiro é múltiplo dele mesmo. 
 
Demonstração: 
Independente do valor inteiro de a, temos a 1 a=  e 0 a 0.=  
 
(II) Se a | b então ( )a | k b para qualquer k inteiro. 
Se a divide b, então a vai dividir qualquer múltiplo de b. 
 
Exemplo: 
Como 4 | 8 então 4 | 16, 4 | 24 e 4 | 32, pois 16, 24 e 32 são múltiplosde 8. 
 
Demonstração: 
Se a | b, então existe um inteiro q onde b a q,=  multiplicando ambos os 
lados por um inteiro k, teremos b k a q k, =   porém q k é um número inteiro 2q , o 
que leva a igualdade 2b k a q , =  então ( )a | k b . 
 
(III) Se a | b e a | c então ( )a | bm cn+ para todo m e n inteiros. 
 
Exemplo: 
Como 3 | 9 e 3 | 12 então 3 | 45, pois 45 9 1 12 3.=  +  
 
Demonstração: 
Se a | b então 1b a q .=  Se a | c então 2c a q .=  Logo, 
1 2bm cn aq m aq n,+ = + colocando-se o a em evidência ( )1 2bm cn a q m q n ,+ = + ou 
seja ( )a | bm cn .+ 
 
(IV) Se a | b e b | c então a | c. 
Essa propriedade é chamada de transitividade. 
 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
24 
 
Exemplo: 
Como 7 | 21 e 21 | 42 então 7 | 42. 
 
Demonstração: 
Se a | b então 1b a q .=  Se b | c então 2c b q .=  Portanto, 1 2c a q q=   e, 
chamando 1 2q q de 3q , temos 3c a q ,=  o que implica a | c. 
 
(V) Se a | b então b 0= ou a b . 
Essa propriedade é chamada de limitação. 
 
Exemplo: 
Se x é inteiro, x 0 e, além disso, x | 12 então  x 1,2,3,4,6,12 . 
 
Demonstração: 
Se a | b então b a q.=  Se q 0= temos b 0= e se q 0 então q 1. Daí, 
temos b a q ,=  o que leva a a b . 
 
Algoritmo da divisão de Euclides 
 
Quando tentamos dividir o número 17 por 5, vemos que não é possível, pois “o 
5 cabe 3 vezes dentro de 17”, porém sobram ainda duas unidades para completar 17. 
Nesse caso podemos perceber que 17 5 3 2.=  + Ao 17, damos o nome de dividendo, ao 
5, damos o nome de divisor, o 3, que é o número de vezes que o 5 “cabe” em 17, 
denominamos quociente e chamamos as duas unidades que sobram de resto da divisão. 
Da mesma forma, não conseguiríamos dividir 50 por 11, afinal, 50 11 4 6,=  + 
ou seja, o dividendo seria o 50, o divisor o 11, quociente 4 e o resto 6. 
Generalizando, dizemos que se um número inteiro a dividido por outro inteiro 
d resulta em um quociente q e um resto r, então podemos escrever a d q r,=  + ou seja, 
dividendo é igual ao divisor vezes o quociente mais o resto. 
Se pensarmos um pouquinho, vamos conseguir ver que existe um número de 
valores limitados para o resto, afinal, se o resto for igual ou maior ao divisor d, então o 
divisor “caberia mais uma vez” dentro do dividendo, ou seja, r só pode assumir valores 
inteiros menores que o divisor, temos então que ( ) r 0,1,2,3, , d 1 − ou 
0 r d 1.  − 
 
Exemplo: 
Quais seriam os restos possíveis da divisão de um número inteiro x por 5? 
Ao se dividir um número por 5 os únicos restos possíveis seriam 0,1,2,3 ou 4, 
pois se o resto for maior ou igual a 5 então o 5 “caberia mais uma vez” dentro de x. 
 
Uma situação interessante que podemos perceber é que se dividirmos um 
número inteiro b por outro inteiro a então, pelo algoritmo da divisão teremos: 
 
b a q r=  + 
 
Mas, se r 0,= então b a q.=  Isso quer dizer que a | b, ou seja, a | b quando 
o resto da divisão de b por a for 0. 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
25 
 
 
Uma consequência importante do algoritmo da divisão é o fato de qualquer 
número dividido por 2 só poder deixar resto 0 ou 1. Assim um número b ao ser dividido 
por 2 só pode ser representado como: 
 
b 2q= ou b 2q 1.= + 
 
Quando o resto da divisão por 2 for 0, ou seja, b 2a,= dizemos que esse 
número é par e, quando o resto for 1, com b 2q 1,= + o chamamos de ímpar. Como o 
resto por 2 só pode ser 0 ou 1, então qualquer número inteiro pode ser classificado como 
par ou ímpar. 
 
PROBLEMAS: 
 
Problema 1. Encontre o número natural que ao ser dividido por 7 resulta um quociente 
4 e resto maior possível. 
 
Problema 2. Encontre os números inteiros maiores do que 0 que, quando divididos por 
8, deixam resto igual ao dobro do quociente. 
 
Problema 3. (OBM) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 
pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em 
dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com 
número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas 
reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas 
apareceram duas vezes na lista? 
 
Problema 4. (CN) Se a e b são números naturais e 2a b+ é divisível por 13, então um 
número que com certeza é múltiplo de 13 é: 
a) 91a b+ b) 92a b+ c) 93a b+ d) 94a b+ e) 95a b+ 
 
Problema 5. Provar que qualquer número quadrado perfeito ou é da forma 4k ou da 
forma 4k 1,+ com k sendo um número natural. 
 
SOLUÇÕES: 
 
Solução do problema 1. 
Como os restos possíveis na divisão por 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 então o maior resto 
possível será 6. Assim, chamando o número que queremos achar de N, temos, pelo 
algoritmo da divisão: 
N 7 4 6 34=  + = 
 
Solução do problema 2. 
Chamando o dividendo de N, o quociente de q e o resto de r, temos: 
N 8 q r=  + 
Sabemos que  r 0,1,2,3,4,5,6,7 . 
Pelo enunciado r 2q,= então r é par, o que implica  r 0,2,4,6 . 
Se r 0,= temos 2q 0,= logo q 0= e N 0= (não serve). 
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
26 
 
Se r 2,= temos 2q 2,= logo q 1= e N 8 1 2 10.=  + = 
Se r 4,= temos 2q 4,= logo q 2= e N 8 2 4 20.=  + = 
Se r 6,= temos 2q 6,= logo q 3= e N 8 3 6 30.=  + = 
Portanto, os números são 10, 20 e 30. 
 
Solução do problema 3. 
O problema foi gerado pelo fato de alguns números múltiplos de 3 serem também pares. 
Como o menor par múltiplo de 3 é o 6 (mínimo múltiplo comum de 2 e 3), então as 
senhas que vão apresentar problemas serão as senhas múltiplas de 6. 
Para saber quantos números entre 1 e 125 (incluídos os dos extremos) são múltiplos de 
6, basta perceber que a cada seis unidades na sequência dos números naturais, a partir 
do 1, teremos um múltiplo de 6, então basta saber quantas vezes o 6 “cabe” dentro do 
125. Como 125 dividido por 6 é igual a 20, com resto 5, então há 20 múltiplos de 6 
entre 1 e 125 (incluídos os dos extremos), logo 20 pessoas aparecem duas vezes na lista. 
 
Solução do problema 4. 
Para resolver esse problema utilizaremos a propriedade (III) da divisibilidade, ao se 
somar dos números múltiplos de 13 então o resultado também será múltiplo de 13. 
Analisando as alternativas temos: 
a) ( )91a b 89a 2a b ,+ = + + não é certo, pois 89 não é múltiplo de 13. 
b) ( )92a b 90a 2a b ,+ = + + não é certo, pois 90 não é múltiplo de 13. 
c) ( ) ( )93a b 91a 2a b 13 7a 2a b ,+ = + + =  + + é certo, pois 91 é múltiplo de 13. 
d) ( )94a b 92a 2a b ,+ = + + não é certo, pois 92 não é múltiplo de 13. 
e) ( )95a b 93a 2a b ,+ = + + não é certo, pois 95 não é múltiplo de 13. 
Logo, a resposta correta é letra (c). 
 
Solução do problema 5. 
Um número inteiro N ou é par ou é ímpar. 
Se N é par então N 2q,= logo: 
( )22 2N 2q 4q= = 
Chamando 2q de k ficamos com: 
2N 4k.= 
Se N é ímpar então N 2q 1,= + logo: 
( ) ( )22 2 2N 2q 1 4q 4q 1 4 q q 1= + = + + = + + 
Chamando ( )2q q+ de k ficamos com: 
2N 4k 1.= + 
C.Q.D. 
 
Com isso encerramos esta primeira parte do curso de Teoria dos números. 
Na próxima edição falaremos de critérios de divisibilidade, números primos, 
múltiplos e divisores. 
Espero que você, leitor, tenha gostado e aprendido bastante. 
 
Até a próxima! 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
27 
 
As questões mais legais da prova de Matemática do concurso de admissão ao 6º 
ano do Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ) de 2018 
 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
Nesse artigo é apresentada uma seleção das questões mais interessantes da 
prova de Matemática do CMRJ 2018. 
Não são necessariamenteas questões mais difíceis ou as que envolvem os 
temas mais complexos, mas aquelas que apresentam oportunidade para discussões 
interessantes relacionadas a elas. 
Se você quiser ver a prova completa com as outras resoluções, basta acessar o 
site da revista. 
 
Vamos começar! A seguir são apresentados os enunciados das questões 4, 5, 7, 
10 e 18. Agora é hora de você gastar algum tempo tentando resolvê-las. Depois vou 
apresentar as minhas resoluções e nós vamos conversar um pouco sobre essas questões. 
 
 
4) Durante uma aula de Matemática para o 6º ano do Colégio Militar do Rio de Janeiro, 
o professor Flávio escreveu no quadro a seguinte distribuição dos números naturais: 
 
Mantendo-se a disposição acima, pode-se afirmar que o número que inicia a 21ª linha é 
um 
a) divisível por 7. b) divisível por 3. 
c) múltiplo de 4. d) primo. 
e) par. 
 
5) Observe, na figura abaixo, a quantidade de mesas e o número máximo de lugares 
disponíveis em cada configuração: 
 
 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
28 
Considere que a sequência de configurações continue, segundo o padrão apresentado. 
Então, a soma dos algarismos do número máximo de lugares disponíveis em uma 
configuração com 75 mesas é igual a 
a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) 6 
 
7) Os povos indígenas têm uma forte relação com a natureza. Suponha que a tribo 
indígena Kayapó Gorotire, do Norte do Brasil, celebre o Ritual do Sol de 20 em 20 dias, 
o Ritual da Chuva de 66 em 66 dias, e o Ritual da Terra de 30 em 30 dias. Se os três 
rituais acontecerem hoje, 10 de setembro de 2017, que é um domingo, o próximo dia da 
semana em que os três rituais serão celebrados juntos novamente será 
a) Sábado. b) Terça-feira. c) Quarta-feira. 
d) Quinta-feira. e) Sexta-feira. 
 
10) Três irmãos deveriam dividir entre si os biscoitos de uma cesta. Dona Joana, a mãe 
deles, não lhes disse quantos biscoitos havia na cesta; disse apenas que a divisão seria 
feita pela manhã, ao acordarem, conforme a seguinte regra: “o primeiro a acordar fica 
com metade dos biscoitos; o segundo fica com a terça parte do que restar; o último fica 
com a quarta parte do que restar”. 
Apesar de acordarem em horários diferentes, cada um dos irmãos acreditou que era o 
primeiro a acordar e pegou a metade dos biscoitos que achou na cesta. Dessa maneira, o 
irmão que acordou por último pegou seis biscoitos. Se tivessem seguido a regra de dona 
Joana corretamente 
a) sobraria um único biscoito na cesta. 
b) o irmão que acordou por último pegaria três biscoitos. 
c) o segundo a acordar pegaria a terça parte do que pegou. 
d) o primeiro a acordar pegaria mais biscoitos do que pegou. 
e) o último a acordar pegaria menos biscoitos do que pegou. 
 
18) A figura a seguir apresenta uma linha poligonal construída sobre uma malha 
quadriculada em que cada quadrado tem lado de medida 1 cm. 
 
Utilizando-se a figura acima como padrão de construção, podem-se produzir linhas 
poligonais mais extensas como a representada a seguir. 
 
Pretende-se construir uma linha poligonal de 10 metros de comprimento. Porém, com 
esse perímetro, a extremidade à direita dessa linha poligonal não corresponde ao padrão 
completo. A opção que contém a última figura desenhada nessa poligonal é 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
29 
 
 
 
 
Se você já tentou (e espero que tenha conseguido) resolver as 5 questões, dê 
uma olhadinha em como eu as resolvi e também em alguns detalhes que vale a pena 
comentar sobre elas. 
 
Resolução da questão 4). Veja se você encontrou a alternativa d). 
Precisamos encontrar o número que inicia a 21ª linha escrita no quadro. 
A quantidade de números escritos na linha de ordem n é o n-ésimo número ímpar. Por 
exemplo, na 5ª linha são escritos 9 números, pois 9 é o 5º número ímpar. 
Assim, a quantidade de números escritos na 20ª linha é 2 20 1 39, − = pois 39 é o 
vigésimo número ímpar. 
A quantidade de números escritos até o final da 20ª linha é 1 3 5 37 39,+ + + + + que 
é a soma dos 20 primeiros números ímpares. 
Essa soma pode ser feita da seguinte forma: 
 
S 1 3 5 35 37 39
S 39 37 35 5 3 1
2 S 40 40 40 40 40 40
= + + + + + +
= + + + + + +
 = + + + + + +
 
 
2 S 20 40 S 400  =   = 
 
Logo, até o final da 20ª linha são escritos os 400 primeiros números inteiros positivos. 
Portanto, o número que inicia a 21ª linha é 401, que é um número primo. 
 
Essa soma que foi calculada no problema é a soma dos termos de uma 
progressão aritmética (PA). Uma progressão aritmética é uma sequência de números na 
qual a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante e chamada de razão. 
Outra propriedade interessante dessa sequência é que termos equidistantes dos 
extremos da sequência possuem a mesma soma. Essa propriedade permitiu que nós 
usássemos o artifício acima para calcular a soma S dos termos da sequência. 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
30 
Esse método é similar ao utilizado por Euler1 , quando criança, para calcular 
rapidamente a soma dos 100 primeiros números naturais. 
 
Resolução da questão 5). Veja se você encontrou a alternativa d). 
Uma maneira simples de resolver esse problema é identificar que, em uma configuração 
com 75 mesas, há 75 lugares de um lado, 75 lugares do outro e 2 lugares nas cabeceiras. 
Assim, há um total de 75 75 2 152+ + = lugares, cuja soma dos algarismos é 
1 5 2 8.+ + = 
Vamos agora explorar um pouco mais essa questão 
Observe a seguinte tabela que representa a quantidade de mesas de cada configuração e 
o número de lugares disponíveis. 
 
configuração 1 2 3 4 5 ... 
nº de mesas 1 2 3 4 5 ... 
nº de lugares 4 6 8 10 ... 
 
Na tabela estão representadas as configurações da figura e eu acrescentei que, na 
configuração com 4 mesas, há 10 lugares disponíveis. Tente identificar porque eu usei 
esse valor e depois complete o espaço destinado ao número de lugares na configuração 
com 5 mesas. 
A ideia é que, a cada nova mesa, a quantidade de lugares disponíveis aumenta em 2 
unidades. 
Assim, se começarmos com 1 mesa e 4 lugares, para chegarmos a 75 mesas, temos que 
acrescentar 74 mesas, o que corresponde a um aumento de 74 2 148 = lugares. 
Portanto, o número de lugares disponíveis em uma configuração com 75 mesas é 
4 148 152,+ = cuja soma dos algarismos é 1 5 2 8.+ + = 
 
Assim como na questão anterior, a relação do número de cadeiras em cada 
configuração é uma sequência numérica chamada progressão aritmética e, se você tiver 
n mesas, o número de lugares será dado por ( )4 2 n 1 .+  − Essa expressão é chamada 
de “termo geral” da progressão aritmética. 
Verifique se essa expressão funciona com n 75.= Ela se parece com a conta 
que você fez para encontrar o número de lugares? 
 
Resolução da questão 7). Veja se você encontrou a alternativa b). 
Precisamos calcular depois de quantos dias os três rituais serão realizados juntos 
novamente e que dia da semana será. 
Se os três rituais foram celebrados juntos em 10 de setembro de 2017, eles serão 
celebrados juntos de novo, pela primeira vez, após decorridos um número de dias igual 
ao mínimo múltiplo comum de 20, 66 e 30. Vamos calculá-lo, usando o método das 
decomposições simultâneas. 
 
 
1 Se você nunca ouviu falar de Leonard Euler, faça uma pesquisa sobre ele na internet. Você descobrirá 
coisas muito interessantes. 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
31 
2
220,30,66
210,15,33
35,15,33
55, 5, 11
111, 1, 11
1, 1, 1 3 5 112   
 
 
Assim, ( ) 2MMC 20,30,66 2 3 5 11 660.=    = 
O dia 10 de setembro de 2017 foi um domingo. Os três rituais acontecerão juntos 
novamente após 660 dias. Como 660 7 94 2,= + então transcorrem 94 semanas 
inteiras e mais dois dias, então isso ocorrerá em uma terça-feira. 
 
Observe que para identificar qual seria o dia da semana após determinada 
quantidade de dias decorridos, dividimos a quantidade de dias por 7. Isso ocorre porque 
uma semana completa tem 7 dias. Assim, o quociente da divisão indica quantas semanas 
completas se passaram e o resto servirá para identificar o dia da semana. Cada unidade 
do resto corresponderá ao avanço de um dia da semana em relação ao dia da semana 
original. Que dia da semana seria 75 dias após 10 de setembro de 2007? E 1000 dias 
após essa mesma data? 
 
Resolução da questão 10). Veja se você encontrou a alternativa e). 
Temos que encontrar a quantidade de biscoitos que cada um dos três irmãos pegou nas 
duas situações. 
Se o irmão que chegou por último pegou 6 biscoitos, que era a metade que havia, então 
havia na cesta 6 2 12 = biscoitos. 
Assim, após o segundo irmão pegar seus biscoitos, sobraram 12 biscoitos, o que 
significa que ele pegou 12 biscoitos e que antes havia na cesta 2 12 24 = biscoitos. 
Da mesma forma, após o primeiro irmão pegar seus biscoitos, sobraram 24 biscoitos, o 
que significa que ele pegou 24 biscoitos e que inicialmente havia 2 24 48 = biscoitos. 
Se eles tivessem seguido a regra de dona Joana, o primeiro irmão pegaria 
1
48 24
2
 = 
biscoitos e restariam 24 biscoitos, o segundo irmão pegaria 
1
24 8
3
 = e restariam 16 
biscoitos, e o terceiro irmão pegaria 
1
16 4
4
 = e restariam 12 biscoitos. 
Vamos agora analisar as opções. 
a) INCORRETO, pois sobram 12 biscoitos na cesta. 
b) INCORRETO, pois o irmão que acordou por último pegou 4 biscoitos. 
c) INCORRETO, pois o segundo irmão pegou 12 biscoitos e, seguindo a regra, pegaria 
8 biscoitos, ou seja, 
8 2
12 3
= do que pegou. 
d) INCORRETO, pois nas duas situações o primeiro a acordar pega metade dos 
biscoitos. 
e) CORRETO, pois o último a acordar pegou 6 biscoitos e, seguindo a regra, pegaria 
apenas 4 biscoitos. 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
32 
Observe que esse é um tipo de problema clássico, onde é conveniente calcular 
as coisas “de trás para a frente”. Assim, a partir da quantidade de biscoitos do último 
irmão, conseguimos descobrir a quantidade que pegou o segundo e, baseado nesse, a 
quantidade que pegou o primeiro. 
 
Resolução da questão 18). Veja se você encontrou a alternativa a). 
Temos que encontrar a forma da última figura desenhada na linha poligonal. 
Cada figura padrão tem perímetro 36 cm. Para construir uma linha poligonal de 
10 m 10 100 cm 1000 cm=  = devemos usar 27 figuras padrão completas e restam 
28 cm. 
 
100 '0 ' 36
280 27
28
 
 
Portanto, a extremidade à direita da linha poligonal será composta pela parte da figura 
padrão da esquerda para a direita até obter perímetro 28 cm. Isso corresponde à figura 
apresentada em (a). 
 
 
Observe que nesse problema nós usamos um método similar ao utilizado 
anteriormente para identificar os dias da semana. O quociente da divisão por 36 indica 
quantas figuras padrão completas podem ser desenhadas e o resto representa o 
comprimento da poligonal que será desenhada ao final. 
 
Espero que você tenha aprendido e se divertido com essas questões! 
 
Até a próxima! 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
33 
E se o raio da circunferência medir 
1
2
? 
 
Chico Nery 
 
Será que teríamos algum proveito geométrico se o raio de uma circunferência 
medisse 
1
?
2
 
Vejamos uma primeira consequência: 
 
(a) Primeira etapa 
 
 
Pela lei dos senos teríamos: sen
2R
=  
 
Mas 
1
R ,
2
= então sen .=  
A corda determinada pelo ângulo inscrito de medida  representa o próprio 
sen . 
 
(b) Segunda etapa 
 
 
m
cos m sen cos
sen
 =  =  

 
n
cos n sen cos
sen
 =  =  

 
( )sen m n + = + 
Portanto, ( )sen sen cos sen cos + =   +   
 
Vejam só aonde chegamos fazendo o raio igual a 
1
!
2
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 1 – setembro de 2018 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
34 
 
LOGARITMOS – RESUMO E EXERCÍCIOS 
 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
 
Os logaritmos foram criados no século XVI para facilitar contas complexas 
com números grandes por permitir que operações de multiplicação, divisão, potenciação 
e radiciação sejam transformadas em somas e subtrações. Até a década de 70, 
engenheiros ainda utilizavam “réguas de cálculo”, baseadas em logaritmos, para fazer 
contas que não exigiam muita precisão. Essas réguas só foram substituídas com o 
advento das calculadoras eletrônicas compactas. 
Apesar dos logaritmos terem sido criados para facilitar contas, desde a sua 
criação e até os tempos atuais, os logaritmos têm sido aplicados em diversas áreas da 
Matemática e também para representar grandezas em diversos ramos da ciência. 
Nesse artigo será apresentado um resumo com as principais propriedades dos 
logaritmos e uma lista de exercícios extraídos de vestibulares civis e militares para fixar 
e aprofundar esses conceitos. 
 
1. DEFINIÇÃO 
 
Sejam a e b números reais positivos e a 1, o logaritmo de b na base a é o 
expoente x que satisfaz 
xa b.= 
 
x
alog b x a b=  = 
 
onde b é chamado logaritmando, a é a base e x é o logaritmo. 
 
Assim, 2log 8 3,= pois 
32 8,= 4
1
log 2 ,
2
= pois 
1
24 2= e 2
1
log 1,
2
= − pois 
1 12 .
2
− = 
 
Usando essa ideia obtenha o valor dos logaritmos de 3log 81, 5log 0,2 e 
49log 7.
1 
 
A omissão da base, escrevendo-se apenas log b , indica que se trata de um 
logaritmo decimal, ou seja, a base é a 10.= 
 
 
A notação eln b log b= indica um logaritmo de base e, que é chamado 
logaritmo neperiano. O número e é um número irracional aproximadamente igual a 
 
1 Respostas: 4, 1− e 
1
.
2
 
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
35 
2,7182. Nesse momento, o importante é você saber que a base e dos logaritmos 
neperianos é uma base maior do que 1. 
 
O logaritmando também é chamado antilogaritmo de x na base a e indicado 
por 
 
x
a ab antilog x x log b a b=  =  = 
 
Assim, 28 antilog 3,= pois 
32 8.= 
 
Observe que a definição de logaritmo permite que você resolva diversas 
equações exponenciais, que até então você não conseguia. 
 
Veja, por exemplo, a equação exponencial x2 3,= cuja solução é 2x log 3.=
Mas, qual a vantagem de representar a solução exponencial dessa forma, se nós também 
não sabemos o valor de 2log 3? Nós não sabemos o valor exato de 2log 3 (até porque 
ele é um número irracional), mas nós conseguimos estimar esse valor. Podemos, por 
exemplo, afirmar que 21 log 3 2,  pois o logaritmos de base maior do que 1 é 
crescente e 2 2 2log 2 log 3 log 4.  Além disso, se lançarmos mão das ideias de 
logaritmos decimais (que aparecerão em um próximo artigo) e de tábuas de logaritmos, 
podemos obter o valor do logaritmo com bastante precisão. 
 
 
1.1. Condição de existência: 
 
Para que o logaritmo seja definido a sua base deve ser um número positivo e 
diferente de 1, e o logaritmando deve ser um número positivo. 
 
O logaritmo de b na base a somente é definido quando 
a 0 e a 1
.
b 0
 


 
 
Assim, a expressão ( ) ( )x 1log 2 x+ − somente está definida se a sua base ( )x 1+ 
é positiva e diferente de 1, e seu logaritmando ( )2 x− é positivo. 
x 1 0 x 1+   − 
x 1 1 x 0+    
2 x 0 x 2−    
Fazendo a interseção das três condições, concluímos que esse logaritmo 
somente está definido para  x | 1 x 0 ou 0 x 2 . −     Esse conjunto é o 
chamado domínio de validade desse logaritmo. 
 
Verifique o que aconteceria com seus logaritmos se você adotasse uma base 
negativa, a base igual a1 ou um logaritmando negativo (um de cada vez). 
 
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36 
Você consegue obter o domínio de validade de ( )
( )
2
2
x 1
log x x 6 ?
−
− + + 2 
 
Lembre-se que, sempre que você fizer qualquer problema envolvendo 
logaritmos, você deve verificar se as condições de existência são atendidas. 
 
1.2. Propriedades: 
 
As propriedades dos logaritmos são consequências quase imediatas das 
propriedades das potências e raízes. 
A seguir serão apresentadas as principais propriedades. Você pode demonstrar 
algumas delas como exercício. 
Nas expressões seguintes todos os logaritmandos são positivos e todas as bases 
positivas e diferentes de 1. 
 
• O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero. 
 
alog 1 0= 
 
• Se a base é igual ao logaritmando, o valor do logaritmo é 1. 
 
alog a 1= 
 
Por exemplo, 2log 2 1= e log10 1.= 
 
• Uma potência elevada a um logaritmo cuja base é igual a ela, tem como 
resultado o logaritmando. 
 
alog ba b= 
 
Por exemplo, 2
log 5
2 5.= 
Observe que essa propriedade é uma consequência imediata da definição de 
logaritmo, pois a
log bx
alog b x a b a b.=  =  = 
 
• O logaritmo do produto de dois números é igual à soma dos logaritmos de 
cada um dos números. 
 
a a alog (b c) log b log c = + 
 
Assim, ( )log 2 3 log 2 log3. = + 
 
2 Resposta: 
       
2
2
2
x 1 0 x 1 x 1
x 1 1 x 2 D 2, 2 2, 1 1, 2 2, 3
x x 6 0 2 x 3
−    −  
−      = − −  − −  
− + +   −  





 
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37 
Veja como essa propriedade é consequência de x y x ya a a .+ = Se 
x
alog b x a b,=  = 
y
alog c y a c=  = e ( )
z
alog b c z a b c, =  =  então 
( )z x y x y
a a aa b c a a a z x y log b c log b log c.
+=  =  =  = +   = + 
 
• O logaritmo do quociente de dois números é igual à diferença dos logaritmos 
de cada um dos números. 
 
a a a
b
log log b log c
c
 
= − 
 
 
 
Assim, 
2
log log 2 log3.
3
 
= − 
 
 
Tente demonstrar essa propriedade agora, usando 
x
x y
y
a
a .
a
−= 
 
As duas propriedades anteriores permitem “transformar” multiplicações e 
divisões em somas e subtrações, respectivamente. Isso fazia do logaritmo um 
importante auxílio em contas mais complexas antes do advento das calculadoras 
eletrônicas. 
 
Veja agora se você consegue resolver essa questão que envolve propriedades 
dos logaritmos que apareceu no vestibular da FGV em 2001. 3 
 
Consideremos os seguintes dados: log 2 0,3= e log 3 0, 48.= Nessas condições, o valor 
de log15 é: 
a) 0,78 b) 0,88 c) 0,98 d) 1,08 e) 1,18 
 
• O logaritmo do inverso de um número é igual ao oposto do logaritmo do 
número. 
 
a a
1
log log b
b
 
= − 
 
 
 
Assim, 
1
log log 2.
2
 
= − 
 
 
 
• Um logaritmo, cujo logaritmando é uma potência de expoente real, é igual ao 
produto do expoente pelo logaritmo da base. 
 
a alog (b ) log b
 =  
 
3 Resposta: e 
( )10log 5 log log10 log 2 1 log 2
2
= = − = − 
( ) ( )log15 log 3 5 log3 log5 log3 1 log 2 0, 48 1 0,3 1,18=  = + = + − = + − = 
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38 
 
Assim, ( )52 2 2log 243 log 3 5 log 3.= =  
Note também que 
k
a alog a k log a k 1 k.=  =  = 
 
• Um logaritmo, cuja base é uma potência de expoente real, é igual ao produto 
do inverso do expoente pelo logaritmo de base igual à base da exponencial. 
 
a(a )
1
log b log b = 

 
 
Assim, ( )24 22
1
log 3 log 3 log 3.
2
= =  
 
As duas relações seguintes são consequência imediata desta propriedade. 
 
( )1 a a1 a
a
1
log b log b log b log b
1
− 
 
 
= = = −
−
 
( )k aa
1 1 1
log a log a 1 .
k k k
=  =  = 
 
• Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e somente se, seus 
logaritmandos são iguais. 
 
a alog b log c b c=  = 
 
Essa propriedade representa a injetividade da função logarítmica e permite que 
sejam resolvidas as equações logarítmicas. 
 
Veja, por exemplo, a equação logarítmica ( )2 2log x 1 log 3,+ = cuja solução é 
x 1 3 x 2.+ =  = 
 
Tente agora resolver essa equação exponencial que apareceu no vestibular da 
UNICAMP em 2016. 4 
 
A solução da equação na variável x, ( )xlog x 6 2,+ = é um número 
a) primo. b) par. c) negativo. d) irracional. 
 
 
4 Resposta: a. Vamos primeiro estabelecer as condições de existência. O logaritmando deve ser positivo, 
então x 6 0 x 6.+    − A base deve ser positiva e diferente de 1, então 0 x 1.  Efetuando a 
interseção das duas condições, temos: 0 x 1.  
Vamos agora resolver a equação aplicando a definição de logaritmo. 
( ) 2 2
xlog x 6 2 x 6 x x x 6 0 x 2 x 3+ =  + =  − − =  = −  = 
Mas sabemos que 0 x 1,  então x 2= − não convém. Portanto, a solução da equação é x 3,= que é 
um número primo. 
 
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39 
• O cologaritmo é o oposto do logaritmo, e é igual ao logaritmo do inverso do 
logaritmando e também igual ao logaritmo cuja base é o inverso da base original. 
 
a a a 1
a
1
colog b log b log log b
b   
 
 
= − = = 
 
 (cologaritmo de b na base a) 
 
Assim, 2 2 2 1
2
1
colog 3 log 3 log log 3.
3
= − = = 
 
2. MUDANÇA DE BASE: 
 
Um logaritmo é igual ao quociente do logaritmo do logaritmando em uma nova 
base pelo logaritmo da base original na nova base. 
 
c
a
c
log b
log b
log a
= 
 
Assim, 52
5
log 3
log 3 .
log 2
= 
 
Vamos ver como demonstrar essa propriedade. Sejam 
z
alog b z a b,=  = 
x
clog b x c b=  = e 
y
clog a y c a,=  = então 
( )
z
z y x c
c c a a
c
log b
a b c c x y z log b log a log b log b .
log a
=  =  =   =   = 
 
Um logaritmo é igual ao inverso do logaritmo obtido invertendo-se as posições 
da base e do logaritmando. 
 
b
a
b b
log b 1
log b
log a log a
= = 
 
Assim, 2
3
1
log 3 .
log 2
= 
 
Se você tiver um produto em que os fatores são logaritmos, onde o 
logaritmando de um logaritmo é igual à base do logaritmo seguinte, então o resultado é 
igual ao logaritmo de base igual à primeira base e logaritmando igual ao último 
logaritmando. 
 
c a c
log a log b log b
log a log b log b
log c log a log c
 =  = = 
 
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40 
a b c y
a
log b log c log d log z
log b log c log d log z log z
log z
log a log b log c log y log a
    =
=     = =
 
 
Assim, 2 3 4 98 99 2log 3 log 4 log 5 log 99 log 100 log 100.     = 
 
Use a propriedade acima para resolver a seguinte questão do concurso de 
admissão à EsPCEx de 2002. 
 
Sendo 6 2
log 5 . log 6
y 2= , o valor de y é:5 
a) 2 b) 5 c) 6 d) 12 e) 30 
 
Agora que nós já conhecemos as principais propriedades de um logaritmo, 
vamos praticar um pouco, resolvendo os problemas a seguir, selecionados de concursos 
de vestibulares civis e militares. 
No final da lista, você vai encontrar as respostas e dicas para te ajudar a 
resolver as questões que não tiver conseguido. Após as dicas, são apresentadas as 
resoluções das quatro últimas questões. As resoluções das outras questões da lista, você 
pode encontrar no site da revista. 
 
1) (AFA 1998) O valor de 
2 2
log log 2
 
−  
 
 é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
2) (EsPCEx 2000) Considere a soma 
3 4 5 n
S log log log log
2 3 4 n 1
       
= + + + +       
−       
 
em que n é um número natural. O menor valor de n para o qual S 1 é: 
a) 20 b) 21 c) 22 d) 25 e) 29 
 
3) (EsPCEx 2005) Se 3log 4 a= e 4log 5 b,= então o valor de 3log 5 em função de a