Fundações - Parte 4

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7 Blocos e Sapatas 
12V L+2t 
qmax Ltgfi L2+12t2 
v. Se a resultante cai na Zona 5 (ver Fig. 7.6c): 
e 	e 
L B 
V 
q01 = 	a 112-3,9(6a-1)(1-2a)(2,3-2a)] BL 
(a) 	 (b) 	 (C) 
Fig. 7.6 - Zonas comprimidas de uma sapata retangular 
(c) Fundaçao em anel 
Definindo-se para este caso (Fig. 7.7) os parâmetros: 
r 2 
k1 =O,25R 1+- 
R2 
1 r 
k2=-R R4 
16 	r3 
R3 
(714) 
(7.15) 
(7.16) 
(7.17) 
(7.18) 
ha três possibilidades (considerando que e = M/V). 
L 10 caso: e :~ k1 
v( e 
qmax = 	I 1 + 	I A 	k1 ) 
(7.19) 
ii. 20 caso: e> k2 
Esta situaçao é inadmissIvel. Segundo a norma alemã DIN 1054 (1969), 
para r= 0: e< 0,59. 
iii. 3° caso: k1 <e:~k2 
	
,7( e 
	
( 	
e 	(I, r ] v 	
11 i-I qmax 
- A k1 [ 	k1 	) 	k2 ) 	R 
I 	 () 
Fig. 7.7 - Fundacao em anel 
(7.20) 
135 
Velloso e Lopes 
7.2.2 Pressöes de contato considerando-se a area efetiva 
As sapatas podern ser dimensionadas corn pressOes de contato supostas uniformes, 
calculadas a partir da area efetiva defundacao, A', descrita no Cap. 4. A pressão na area efetiva 
é calculada corn (Fig. 4.17) 
(7.21) 
Para o dimensionarnento estrutural da fundaçao, pode-se admitir que essa pressao 
atue sob toda a area da sapata. 
7.2.3 Pressôes de contato - sapata rIgida sobre meio elástico 
As pressOes de contato de urna sapata rIgida podern ser calculadas como se ela estives-
se assente sobre urn meio elástico. Este enfoque é bastante cornum na literatura alemã (p. ex., 
Schultze, 1959, 1966). Essa hipótese de comportarnento do solo, entretanto, conduz a pressOes 
extremarnente elevadas nos bordos. Isso se explica pelo fato de que urn material purarnente 
elástico (que não se plastifica ou rompe) é capaz de suportar as pressOes elevadas que decorrern 
de urna solução desse tipo. Entretanto, conforrne discutido no item 6.2, as pressOes de contato 
nos bordos são lirnitadas pela resistência ao cisalharnento do solo, e, por isso, os diagramas 
obtidos pela Teoria da Elasticidade devern ser adaptados ao cornportarnento real do solo. 
Na pratica, nas fundacOes em solos, tais solucOes não são utilizadas, pois conduzern a 
dirnensionamentos extremamente conservadores; em fundacOes em rochas, por outro lado, ha 
espaco para o ernprego dessas soluçoes. Serão apresentadas, a seguir, as soluçOes para sapatas 
rIgidas, corridas e circulares, corn cargas centradas, apenas a tItulo de exernplo. 
(a) Fundaçao rIgida corrida submetida a carregamento centrado 
Neste caso, as pressOes são dadas por (Fig. 7.8a): 
(7.22) 
V 
(a) 
V 
R I R 
0,75R1 
- 0,5 
(
I )Teoria da EIasticidad\ I 
I 
/ 	 q/qm 
I r( 	I 
/ 	 diagrama I 
/ 	 simplificado / I 
/1 	 /1 	2,68 
(b) 
Fig. 7.8 - Fundacao (a) corrida e (b) circular, submetidas a carregamento centrado 
136 
7 Blocos e Sapatas 
(b) Fundacão rIgida circular submetida a carregamento centrado 
Corn (Fig. 7.8b): 
V 
qIII 
= R2 
tern-se: 
q, 
21- 	
2 
ou: 	 R 
q = qIII 
sendo i fornecido na Tab.7.1. 
Segundo Grasshoff (1954), é possivel calcular os rnornentos na fundacao corn o diagra-
ma aproxirnado, mostrado na Fig. 7.8b, obtendo-se para os rnornentos tangencial e radial: 
= i'R2 q ; M. = i"R2 q, 	 (7.26) 
corn os parârnetros i' e i" fornecidos na Tab. 7.1. 
Tab. 7.1 Valores de I, i e i para fundação rIgida circular 
rIR 	0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 	1,0 
i 	0,500 01503 0,510 0,524 0,546 0,578 0,625 0,699 0,833 1,147 	00 
i' 	0,119 0,119 0,117 0,114 0,111 0,107 0,103 0,096 0,088 0,079 	0,068 
i" 	0,119 0,118 0,115 0,109 0,102 0,094 0,085 0,072 0,053 0,030 	0,000 
7.3 SAPATAS CENTRADAS E EXCENTRICAS 
Urna sapata é dita centrada quando a resultante do carregarnento passa pelo centro 
de gravidade da area da base. Exemplos de sapatas centradas podern ser vistos na Fig. 7.9a; 
exemplos de sapatas excêntricas, na Fig. 7.9b. Urna situacão de excentricidade comum na práti-
ca de projeto de edifIcios é a das fundaçoes de pilares junto a divisa, urna situacao proble-
rnática, já que a sapata excêntrica irnpOe flexão ao pilar. Urna obra de escavação no vizinho 
que cause uma descompressão do terreno aurnentará a excentricidade e, consequenternente, a 
flexão no pilar. Essa foi a causa do colapso de urn prédio no Centro do Rio de Janeiro, em 1955. 
Assirn, diversas normas (entre elas a NBR 6122/96) prescrevem que as sapatas de pilares junto 
as divisas devern ter suas excentricidades elirninadas por vigas de equilIbrio. 
A norma brasileira NBR 6122 versão de 1986 estabelecia, para outras situaçOes que nao 
a acima, que uma fundaçao excêntrica deveria atender as seguintes prescricOes: 
• A resultante das cargas permanentes deve passar pelo nücleo central da base da 
fundacao. 
• A excentricidade da resultante das cargas totals é lirnitada a urn valor tal que o 
centro de gravidade da base da fundaçao fique na zona comprimida, determinada 
na suposicao de que entre o solo e a fundacao não possa haver pressOes de traçao. No 
caso de fundacao retangular de dirnensOes a e b, as excentricidades u e v, medidas 
paralelamente aos lados a e b, respectivarnente, devem satisfazer a condiçao: 
(7.23) 
(7.24) 
(7.25) 
137 
Velloso e Lopes 
(
2 U)2+ 
vl 
 17) 9 
1 	 Modebo 
I de ca/cub 
10, 
(a) 
(7.27) 
V 
j e 	
Div 
, 	Momento fletor 
M = ye 
(b) 
Fig. 7.9 - Exemplos de sapatas (a) centradas e (b) excêntricas 
No caso de fundaçao circular de raio r: e < 0,59. 
A norma brasileira NBR 6122 versão de 1996 eliminou essas exigências, quando 
passou a adotar o conceito de area efetiva. Entretanto, os autores são de opiniao que a limita-
ção das excentricidades é critério recomendável e prudente, mesmo adotando-se o conceito 
de area efetiva. A versão de 2010 da norma não aborda este assunto. 
Vigas de EquilIbrio 
As vigas de equilIbrio são elementos estruturais que ligam a sapata de urn pilar na 
divisa corn urn pilar interno da obra, fazendo corn que a sapata trabaihe corn carga centrada. A 
Fig. 7.10 mostra urna viga de equilIbrio, corn seu funcionamento e seus esforcos internos. 
Na prática de projeto, frequentemente surgem algumas complicacoes. Por exemplo, o 
pilar no interior da obra mais próxirno do pilar na divisa nao está localizado numa normal a 
divisa (Fig. 7.11a). As vezes, ha urna cortina de escoramento de subsolo, e a sapata junto a divisa 
precisa afastar-se dela (Fig. 7.11b). Outras vezes, o prédio é muito estreito e so tern pilares nas 
divisas; nesse caso, a soluçao pode ser aquela mostrada na Fig. 7.11c. 
7 Blows e Sapatas 
Elevacão 
Mais usual_____________ 
Planta 
Q1 	 Q2 
TRI > Q1 
	 TR2 < Q2 Esquema de cálculo da viga 
tEm geral se toma R2 
DM 
+ 	 IDQ 
17 
Fig. 7.10 - V/gas de equ/IIbria princIplo de func/onamento 
ct 
I Planta 
de Cblculo 
( i 0) 	 ________ 
I Planta *— Cortina 
ll I 
• +—Cortina Elevacao 
(b) 
Eleva ção 
Iv 	 Iv 
Esquema de célculo 	1j 
tR 	 t 
DM 
DQ 
(c) 
Fig. 7.11 - V/ga de equ//Ibrio em situacaes especiais 
139 
Velloso e Lopes 
7.4 ASPECTOS PRATICOS DO PROJETO E DA ExEcucAo DE 
FuNDAcOES SUPERFKIAIS 
Disposicao de fundacOes superficlais 
A Fig. 7.12 apresenta urn prédio hipotético, para o qual serão projetadas fundaçOes 
superficiais. Procurou-se apresentar tipos variados de fundacao superficial para i!ustrar as 
so!uçOes possIveis. 0 prédio é encostado em uma divisa !ateral e nos fundos, enquanto na 
frente ha urn afastamento da divisa, exigido pelo Código de Obras local. 
0 conjunto de pilares P1, P2, P6 e P7 recebeu fundaçao associada como forma de tratar 
as excentricidades de três dos pilares. Como as cargas dos pilares não exigem uma area de 
sapata que ocupe todo o quadrangu!o formado pe!os pilares, decidiu-se deixar urn trecho 
vazio. Esse tipo de fundacao pode ser considerado uma greiha defundacao. Os pilares P3, P4, 
P5, P8, P9, P10, P13, P14 e P15 receberam uma fundaçao associada, atua!mente denominada 
pe!a NBR 6122/2010 de radier (parcial). Em ambos os casos, deve-se procurar fazer corn que 
o centro de gravidade da area da fundaçao fique o maispróxirno possIvel do ponto de passa-
gem da resu!tante das cargas dos pilares. Esses dois tipos de fundaçao serão abordados nos 
Caps. 8 e 9. 
Divisa nos fundos 
I 
P1 	 P2 	P3 	P4 	P5 
P6 	 P7 	 P8 	P9 	P10 
I 	 lk 	 . 	I 
Viga de 
P14 P15 ui!ibrio "PI3 
P16 	 P18 	P19 
P22 	P2 
P20 P21 
V/ga de 
P24 equilIbrio 	P25 	 P26 	17P2 
---------J 
Divisa na frente 	
Projecao do predio 
Fig. 7.12 - Exemplo de disposicao de furidacOes super ficiais 
co 
140 
7 Blocos e Sapatas 
Os pilares P11, P16 e P20 estão junto a divisa direita e suas fundaçOes foram centradas 
através de soluçOes diferentes, consistindo a prirneira no uso de viga de equilIbrio e as duas 
outras, na adoçao de fundaçao associada corn o pilar do interior da obra. Essas duas ültimas 
solucOes são, a rigor, uma viga defundacao (os pilares estão alinhados), ernbora a ültima seja 
usualmente denominada sapata associada. 
Como é cornum em nossas cidades, a faixa de recuo exigida pelos Codigos de Obras 
acaba incorporada a calcada e, nesse caso, é interessante que as fundaçOes se situem debaixo 
da projecão do prédio. Assirn, a linha de pilares P24 a P27 foi recuada em relacao a fachada do 
prédio, de comurn acordo corn o projetista da estrutura, para evitar rnais uma linha de sapatas 
excêntricas (em especial, para evitar uma dupla excentricidade do pilar P24). 
Cintas 
Outro aspecto irnportante do projeto diz respeito as cintas. As fundacOes isoladas 
devem ser, sempre que possIvel, ligadas por cintas em duas direcOes ortogonais. As cintas 
desempenharn papéis irnportantes, como (i) irnpedir deslocamentos horizontais das funda-
cOes, (ii) limitar rotaçOes (absorvendo rnornentos) decorrentes de excentricidades construtivas, 
(iii) definir o comprirnento de flambagern do prirneiro trecho de pilares, nos caso de funda-
çOes profundas ou de sapatas implantadas a grande profundidade e (iv) servir de fundação 
para paredes no pavimento térreo. As cintas norrnalrnente não tern o propósito de reduzir 
recalques diferenciais (isso pode ser feito, porém, corn dimensOes e armacOes fora do que e 
usual nessas pecas). Por outro lado, em prédios que sofrem recalques consideráveis, estes são, 
em geral, rnaiores no centro da obra, e as cintas acabam sendo solicitadas a tração (e interes-
sante, portanto, que as armaçOes longitudinais das cintas sejam devidamente ancoradas em 
suas extremidades). 
Aspectos construtivos 
A execução de sapatas ou de qualquer fundação superficial deve ser cercada de alguns 
cuidados, entre os quais destacarnos: 
a. 0 fundo da escavacao deve ser nivelado e seco. Depois de preparado, o fundo deverá 
receber uma carnada de concreto magro de, pelo rnenos, 5 cm de espessura. 
b. Caso a escavacão atinja o lençol d'água, o fluxo de água para o interior da cava deverá 
ser controlado. 0 controle deverá ser feito por sisterna de rebaixarnento do lençol 
d'água (ponteiras ou injetores) ou, caso o solo tenha baixa perrneabilidade, por um 
sistema de drenagern a céu aberto (canaleta periférica - fora da area da sapata - e 
bomba de lama). 
Outros cuidados estão relacionados na NBR 6122. 
REFERENCIAS 
ALONSO, U.R. ExercIcios defundacOes. São Paulo: Editora Edgard Blucher, 1983. 
GRASSHOFF, H. der einfluss der schichtstarke auf die sohldruckverteilung und die biegemomente einer kreisformi-
gen grundungsplatte. Bautechnick, n. 31, p. 330, 1954. 
LANGENDONK, T. van. Ccilculo de Concreto Arinado. 2. ed. São Paulo: Associação Brasileira de Cimento Portland, 
v.1, 1954. 
SCHIJLTZE, E. Flachengrundungen und Fundainentsetzungen - Erbauterungen und Berechnungsbeispiele fur die 
Anwendung der Normen DIN 4018 und DIN 4019, Blatt 1, Berlin: W. Ernst und Sohn, 1959. 
SCHULTZE, E. Druckverteilung und Setzungen. Grundbau - Taschenbuch, Band I, 2. Aufiage. Berlin: W. Ernst und 
Sohn, 1966. 
CapItulo 8 
VIGAS E GRELHAS 
Este capItulo aborda a análise da interacao solo-fundacao de vigas e greihas de fundacao. 
8.1 INTRODUcAO 
São chamadas vigas de fundacao as fundaçOes associadas para dois ou mais pilares 
alinhados. A Fig. 8.1 mostra algumas soluçOes de fundacao (para três pilares, no caso) que 
podem ser chamadas de vigas defundacao. 
[l 
Corte AA 
	
(a) 	
Plante 
A-1 	 B-1 MT AL 
A-1 	 B 	Elevacao 	
Corte BB 
	
Eixo da viga
(b) 	
- - 
- ~Plata - 	
Corte CC 
Fig. 8.1 - V/gas de fundacao: (a) corn largura constante e enrijecirnento longitudinal (corn 
alternativa de secao transversal tipo bloco ou tipo sapata) e (b) de largura var/a vet e topo piano 
Quando uma viga de fundaçao tern grande rigidez (comparada a rigidez do terreno) e 
quando o carregamento é centrado (a resultante das cargas passa pelo centro de gravidade da 
area de contato), todos os pontos da viga e, portanto, os pontos de ligacão dos pilares, terão o 
mesmo recaique. Nesse caso, o cálculo de recaiques feito corno descrito no Cap. 5 é suficiente, 
e os esforços internos, necessários ao dimensionamento estrutural da viga podem ser obtidos 
a partir de pressOes de contato uniformes (Hipótese de Winkler). Este, entretanto, é urn caso 
particular. Frequentemente, a viga tern uma flexibilidade que, se considerada nos cálculos, 
pode levar a esforços internos diferentes, ao mesmo tempo que conduz a recalques desiguais 
(ver Fig. 8.2). Não se pode dizer, a priori, se os diagramas de esforços internos corn a hipótese 
de viga rIgida são a favor ou contra a seguranca. Nesses casos, é necessária uma análise da 
interaçao solo-fundacao, considerando-se a flexibilidade da viga. 
Quando o carregamento não é centrado e a viga tern grande rigidez relativa, a análise 
da interação pode ser dispensada, e as pressOes de contato e os recaiques calculados a partir da 
resultante do carregamento (como descrito no item 8.3.2). 
Velloso e Lopes 
Os métodos de análise de interacao serão descritos, a seguir, para vigas e, mais adiante, 
para greihas de fundacao. No caso das vigas, a análise é feita como urn problema bidimensio-
nal, corn a viga reduzida a urn elemento unidimensional (ver Fig. 8.2). No caso das grelhas, se 
a análise é feita como urn sistema de vigas associadas, o problema é, tarnbérn, tratado corn as 
vigas reduzidas a elementos unidimensionais. 
Os rnétodos de solução de vigas de fundaçao podem ser classificados em: 
• rnétodos estáticos; 
• métodos baseados na Hipótese de Winkler; 
• métodos baseados no meio elástico contInuo. 
1 
(a) DM 	
f' = 
q 
(b) Rea/ 
DM 	
V 
Fig. 8.2 - PressOes de contato e diagrarna de momentos fletores em uma viga (a) sem e (b) corn a 
consideracao de sua flexibilidade 
8.2 VIGAS - METODOS ESTATICOS 
Nos chamados métodos estáticos, a iinica preocupacao é corn o equilIbrio entre as 
cargas e as pressOes de contato, para cuja distribuiçao são feitas hipóteses simples, tais como: 
• variaçao linear das pressOes de contato (Fig. 8.3a); 
• pressOes uniformes nas areas de influência dos pilares (Fig. 8.3b). 
A primeira hipótese sobre a distribuicao das pressOes se aplica a vigas mais rIgidas, 
enquanto a segunda hipótese, a vigas mais flexIveis. Ha outras hipóteses sobre a distribuiçao 
das pressoes, como aquela proposta pelo American Concrete Institute - A.C.I. (1966), baseada 
no trabaiho de Kramrich e Rogers (1961). 
Hipótese de variaçao linear das pressoes de contato 
Corn a hipótese de variacao linear das pressOes de contato, o cálculo é bastante simples, 
urna vez que se pode considerar apenas a resultante do carregamento (ver Fig. 8.3a). A distri-
buiçao das pressOes de contato obedece a expressao: 
8 Vigas e Gre/has 
(a) 
	
(b) 
Fig. 8.3 - PressOes de contato em uma viga por critérios estáticos: (a) var/a cão linear 
ao Ion go da viga e (b) pressOes constantes na faixa de influência dos pilares 
2R[ (1-2
a\x +q--- 3 2—i— 2-3 
L 	L)L ( 	L)j 	 (8.1) 
onde: 
R = resultante do carregamento; 
a = distância da resultante a extremidade da viga (origem do eixo x); 
L = comprimento da viga. 
8.3 VIGAS - METODOS BASEADOS NA HIPOTESE DE WINKLER 
8.3.1 Introduçâo 
Hetenyi (1946)definiu a rigidez relativa solo-viga como: 
k B 	
(8.2) 
4 E I 
onde: 
= coeficiente de reação vertical (corrigido para a forma e dimensao da viga); 
B = dimensão transversal da viga; 
E = Módulo de Young do material da viga (concreto, p.ex.); 
I = mornento de inércia da secão transversal da viga. 
Hetenyi classificou as vigas, de acordo corn a rigidez relativa viga-solo, como: 
• A <itI4L -> viga de rigidez relativa elevada; 
• t/4L <A <2r/L -> viga de rigidez relativa media; 
• A > Jv/L -> viga de rigidez relativa baixa. 
No primeiro caso, a viga pode ser resolvida como rIgida, sem prejuIzo da precisão dos 
resultados (cálculo que será mostrado no item 8.3.2). Nos segundo e terceiro casos, a viga deve 
ser analisada como flexIvel (cálculo conhecido como de viga sobre base elástica). 
Para o cálculo das vigas considerando sua flexibilidade, Hetenyi propôs urn cálculo 
como se a viga tivesse corn primento infinito e os efeitos de extremidade, corrigidos pela ação de 
forcas auxiliares (o que é conhecido como método de Hetenyi). Esse método seth visto no item 
8.3.4, juntamente corn urn método semeihante, o de Bleich-Magnel, e o método aproximado de 
145 
Velloso e Lopes 
Levinton. Como a viga de comprimento infinito é necessária para o método de Hetenyi, ela será 
estudada antes, no item 8.3.3. 
No item 8.3.5 será apresentada sucintamente a resolucao de vigas por métodos numéri-
cos (Método das Diferencas Finitas e Método dos Elementos Finitos). No Apêndice 4, o leitor 
encontrará urn exercIcio de cálculo de uma viga de fundacao, usando-seos métodos descritos 
neste capItulo. 
8.3.2 Vigas rIgidas 
Uma viga de rigidez relativa elevada tern deslocamentos que podem ser considerados 
como de corpo rIgido. Assim, os recaiques variam linearmente ao longo da viga (Fig. 8.4b). A 
distribuicao dos recaiques obedece a expressao: 
(b) 
(c) 
Fig. 8.4 - PressOes de contato e reca/ques de uma viga 
rIgida pela Hipótese de Winkler 
2R[ / ax / 	a 1 
w=-' —3 11-2— I—+ 2-3— 	(8.3) 
KL[ 	L)L 	Ljj 
onde: 
K é coeficiente de reaçao vertical, incorporando a 
dimensao transversal da viga (K= kB). 
Pela Hipótese de Winkler, as press6es de 
contato também variam linearmente ao longo da 
viga, como mostrado na Fig. 8.4c (também na 8.3a). 
As pressOes de contato coincidem corn aquelas do 
método estático corn a hipótese de variação linear 
das pressOes (Eq. 8.1). Corn efeito, a distribuiçao 
das pressOes de contato pode ser obtida, ainda, 
rnultiplicando-se a Eq. (8.3) por K, que reproduz 
a expressão (8.1), isto é, no caso de vigas rIgidas, 
a Hipótese de Winkler e o método estático corn 
variaçao linear de pressOes coincidem. 
8.3.3 Vigas de comprimento infinito 
(a) Equacao diferencial da viga sobre apoio elástico 
Vamos inicialmente estabelecer a equação diferencial da viga sobre apoio elástico, de 
acordo corn a Hipótese de Winkler. No elemento de viga mostrado na Fig. 8.5, de comprimento 
dx, atua na extremidade esquerda M, e Q, e na direita: 
M'—M+dM e Q'= Q+dQ 
Como IV= 0, tern-se: 
Q - p dx + q dx - (Q + dQ) = 0 	ou 	dQ/dx=-p+q 
Como Q = dM/dx, e lancando mao da equaçao da elástica da viga: 
tira-se: 
d 2W 
EI = —M 
dx2 
(8.4) 
owe 
x 
8 Vigas e Gre/has 
Fig. 8.5 - V/ga in f/n/ta sobre base elástica: (a) deformada da viga, (b) distr/buicao de pressOes de 
contato e (c) elernento da viga corn esforcos nele atuantes (esforcos /ndicados: convenc/onados 
positivos) 
d 4 
	
EI dx 
	
(8.5a) 
Introduzindo q = Kw (Hipótese de Winkler), onde K= k B, verifica-se: 
d 4W 
EI 
dx4 
-=p–Kw 	 (8.5b) 
No trecho não carregado da viga (p = 0), tern-se: 
EI=– q= –Kw 	 (8.50 
A integracao da Eq. (8.5c) fornece: 
w = eAx (c1 cos Ax + C2 sen 'x)+ e 3 cos Ax + C4 sen x) 	 (8.6) 
onde)L é definido pela Eq. (8.2). 
As constantes de integracão C1, C2, C3, C4 dependern das condicOes de contorno da viga. 
As equacoes para os esforcos cortantes Q e ângulo da deformada 0 serão derivadas das 
equacOes da viga: 
EI4 (8.7) =–Q 
	
dw 	
(8.8) 
—=tan 0 
dx 
(b) Caso de uma carga concentrada vertical 
Para o caso de urna carga concentrada vertical (Fig. 8.6), tern-se para x = ce, w = 0; 
então C1 = C2 = 0. Como para x =0, dw/dx = 0, então C3 = C4 . A Eq. (8.6) se reduz a (fazendo C3 
C,= C): 
w = C e1X (cos )x+sen Ax) 	 (8.9) 
147 
w 
e 
DM 
Velloso e Lopes 
Fig. 8.6 - Recaiques, rota cOes e esforcos intern os em viga infinita sob carga vertical 
Como IV= 0, então: 
2 f ° qdx=V 
Ainda, como: 
1 
2 K Cf0 'e—A' cos Ax + sen Ax)dx = 2K C 	 (8.10) 
então: 	 2KC--=V 
A 	 (8.11a) 
As sim: 
VA 	 (8.11 b) c=- 
2K 
VA v.a 
w=—e- (cos Ax+sen Ax) 	 (8.12) 
2K 	 2K 
dw 	V.2.2 	 VA2 	 (8.13) 
sen - —B 
0 dxK 	 K 
M=—EI4-- 	
V 	
C 	 (8.14) = 	e (cos Ax - sen Ax) = 
Q=—EI=— e cosAx=--'--D 	
(8.15) 
dx 2 	 2 
As fun cOes A, B, C e D foram tabeladas em funcao de Ax por Hetenyi (1946) e podem 
ser vistas na Tab. 8.1. Os sinais das Eqs. (8.13) e (8.15) valem para secOes a direita do ponto 
de aplicacao da carga. Os diagramas de deslocamentos verticais, rotaçOes e esforcos internos 
podem ser vistos na Fig. 8.6. E interessante observar que os pontos de ordenada nula indepen-
dem da intensidade da carga. 
148 
8 Vigas e Greihas 
Tab. 8.1 - Funcöes A, B, C D (Hetenyi, 1946) 
Ax A 	B 	C 	D jx A 	B 	C 	D 
0,0 1,0000 0,000 1,0000 1,0000 
0,5 ,8231 12908 ,2415 ,5323 
1,0 ,5083 13096 -,1108 1988 
1,5 1,5 ,2384 12226 -,2068 ,0158 
2,0 ,0667 11231 -,1794 -,0563 
2,5 -,0166 ,0491 -,1149 -,0658 
3,0 -,0423 ,0070 -,0563 -,0493 
3,5 -,0389 -,0106 -,0177 -,0283 
4,0 -,0258 -,0139 ,0019 -,0120 
4,5 -,0132 -,0109 ,0085 -,0023 
5,0 -,0045 -,0065 ,0084 -,0019 
5,5 ,0000 -,0029 10058 ,0029 
6,0 ,0017 -,0007 10031 ,0024 
6,5 ,0018 10003 ,0011 ,0015 
7,0 ,0013 ,0006 ,0001 ,0007 
7,5 ,007 10005 -,0003 ,0002 
8,0 ,0003 10003 -,0004 ,0000 
9,0 ,0000 10000 -,0001 -,0001 
(c) Caso de momento aplicado 
Para o caso de momento aplicado, este pode ser substituIdo por duas forcas verticais 
(Fig. 8.7a). A equacao do recaique fica: 
W = 
V) 	/ 	
V) A(x-I-a) 	
(8.16a) - - 
2K 	2K 
(Va)A A(x-i-a)-A(x) 	 (8.16b) 
2K 	a 
M0 
(a) 	 V 	 V 	 M=llmVa 
a > 
w 
B 
(b) 
DM 
DQ 
Fig. 8.7 - V/ga in fin/ta sob momento aplicado: (a) carregamento e (b) recaiques, rota çOes e esforços 
intern os 
Fazendo a tender para zero e Vpara o infinito, de tal forma que o produto Va tenda para 
M0, ye-se que: 
149 
Velloso e Lopes 
M0 A 	 A 2 
w=-------(-2AB)=M ° B 
2K 	 K 	 (8.16c) 
As equacOes restantes são: 
dw 
== 
M,A3 
dx 	K 	 (8.17) 
M 
M= 
2 
—9-D 	 (8.18) 
M 
Q=- AA 	 (8.19) 
Os diagramas de deslocamentos, rotacOes e esforcos internos estão representados na 
Fig. 8.7b. 
(d) Outros casos de carregamento 
Outros casos de carregamento, como carga distribuIda etc., estão detaihados em 
Hetenyi (1946), Bowles (1974) e Süssekind (1973), entre outros. Um exemplo, na prática, de viga 
de comprimento infinito é ø de urna viga de fundaçao sobre a qual corre urn guindaste. Por 
outro lado, quando a carga chega próxirno da extrernidade, a solução de viga infinita precisa ser 
corrigida. 
8.3.4 Vigas de comprimento finito 
(a) Método de Hetenyi 
Segundo Hetenyi (1946), as vigas flexIveis podem ser separadas em duas categorias, de 
acordo corn sua rigidez relativaA definida pela Eq. (8.2): 
• rI4L <A <ir/L - viga de rigidez relativa media (ou "viga de comprimento médio') 
• A > 7t/L -> viga de rigidez relativa baixa (ou "viga longa") 
0 método de Hetenyi (1946) consiste ern resolver a viga (que tern comprimento finito) 
como se fosse infinita, porém aplicando esforços auxiliares (V, M'4, V'B, M B) nos pontos que 
correspondem as extremidades tais que ali anulem os esforços da viga infinita (Fig. 8.8). 
 MA 	 B 
QA 	
\4r 
: 
vQB 
~ 
Fig. 8.8 - Método de Hetenyi 
As equaçOes que deterrninam os esforços a serern aplicaclos nos pontos que 
correspondent as extremidades da viga são: 
150 
8 Vigas e Greihas 
	
MA 	+ 	+ 	+ 	= 0 (MomentoemA=Q) 	(8.20) A42 2 42 2 
VA 
	
Q - 	—A 	+ 	+ 2 	= 0 (CortanteemA=O) 	(8.21) A 2 2 2 2 
	
MB + VA C + MA D + VB + MB = 0 (Momenta em B = 0) 	(8.22) 
2 	42 	2 
 VA D QB - 	-A ---A + 	+ A 	-=o (CortanteemB=0) 	(8.23) 
São, assirn, quatro equacoes corn quatro incógnitas: V'A, M'A, V'B, M's. 
No caso ern que a viga é denorninada de comprimento médio, o sistema de equaçOes a 
ser resolvido deve ser exatarnente o apresentado acima. No caso em que a viga e denominada 
longa, os esforcos de correcão de urna extremidade não afetam a outra extrernidade. Neste 
caso, o sistema de equaçOes acirna se sirnplifica, pois nas duas prirneiras equacOes entram 
apenas os esforcos V, M, enquanto que nas duas ültimas entram apenas V's, M'B, ficando: 
MA 
V ' + -- + M 	0 
42 
QA 
_AMA = 0 
MB 
; 
+ MB + - = 0 
42 2 
QB 
VB 
+ 
MB 
+2 ----=0 
ou seja, o sistema de quatro equacOes a quatro incognitas se reduz a dois sistemas de duas 
incógnitas cada urn. 
No Apêndice 4, encontra-se urn exercIcio resolvido por este método, no qual podern ser 
observados os sinais dos esforcos. 
(b) Método de Bleich-Magnel 
Neste método (Bleich, 1937; Magnel, 1938) serão aplicadas quatro cargas concentradas, 
espacadas de.7r/4A dos pontos que correspondem as extremidades da viga finita, corn o objetivo 
de anu!ar os esforcos naque!es pontos (Fig. 8.9). E!e é baseado no fato jd assina!ado de que, na 
viga de comprirnento infinito, os pontos onde os esforcos so!icitantes são nulos independern 
dos valores das cargas. 
Escrevemos as mesmas quatro equacOes do método anterior: 
MA + MT1 + MT3 + MT4 = 0 	 (8.24) 
QA + QTI + QT3 + QT4 = 0 	 (8.25) 
MB + MT1 + MTS + MT4 = 0 	 (8.26) 
QB + QTJ + Q7 9 + Q = 0 	 (8.27) 
151 
Velloso e Lopes 
(a) I 
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ 
T T2 I I 	T3 T4 
(b) 
Fig. 8.9 - Método de Bleich-Magnel 
A matriz fica mais simples, pois em cada equação falta urn termo (p. ex., nao tern MT2 
na primeira, pois é zero). 
Se o comprimento da viga for grande (major que 3/2), o efeito das cargas auxiliares 
de urn lado é desprezIvel no extrerno oposto da viga. Neste caso, podem-se calcular as forcas 
auxiliares por (Verdeyen et al., 1971): 
2 MA 
	
0,052 	
(8.28a) 
2 
	
= 
0,1612 	 (8.28b) 
2 
	
1'3 =+ QB 	 (8.28c) 
	
MB 	 (8.28d) 
0,052 
(c) Método de Levinton 
Este e urn método aproximado. 0 diagrama de pressOes de contato é reduzido a uma 
poligonal definida por quatro ordenadas (Fig. 8.10a). Para se calcular as quatro ordenadas, são 
necessárias quatro equaçOes: duas equacOes de equilIbrio e duas equaçOes de compatibilidade 
de deslocamentos (flechas) da viga. 
Sejam ML e MR os momentos do carregamento da viga em relação a L e R, definidos como 
mostra a Fig. 8.10b. As duas equacOes de equilIbrio de momentos em relacao a estes dois pontos 
são escritas: 
1 	1 	1 	1 	4 	1 	1 	7 
M-q7aa--q2aa--q3a-a--q3a2a--q4a-a_-0 (8.29a) 
1 	1 	1 	1 	4 	1 	1 	7 
(s.29b) 
ou, simplificando: 	
6ML ' q2 +10 q3 +7q4 = 
	
a 	 (8.30a) 
152 
8 Vigas e Greihas 
 
<—a )< a )1< a-
Centro de gravidade- 
q1 	011 	
6)Y 
R q 
(b) 
4 
a,3 
wl 
W4 
(c) 
w2,c 
(d) 
tiiirlirl::v 
(e) 
Fig. 8.10 - Esquema de cilculo pe/o método de Levinton 
" q, +10 q2 +4q3 =---j— 	 (8.30b) a 
Para estabelecer as outras duas equacoes, faz-se o seguinte raciocInio (Fig. 8.10c): 
1. supOe-se a viga rIgida, seus extremos recalcando w1 e w4 (linha tracejada); 
2. supOe-se que a viga retome sua flexibilidade e trabaihe apoiada nos extremos (linha 
traco-ponto); 
3. aplicam-se, então, as pressOes de contato a viga (biapoiada), que recup era parte dos 
recaiques (linha cheia). 
Deste raciocInio, tira-se para os pontos 2 e 3: 
W2 = W2,r +f2 - W2,c 	 (8.31a) 
W3 = w3,1 +f3 . W3 	 (831b) 
onde: 
f2 ef3 são as flechas da viga biapoiada sob acao do carregamento (Fig. 8.10d), que podem ser 
obtidas em formulários da Resistência dos Materiais; 
W2 r e w3 ,, são os deslocamentos da viga rIgida: 
1 	 (8.32a) 
W2 r 
2 	 (8.32b) 
w 31. = WI + - - w1 ) 
153 
Velloso e Lopes 
w2 e w3 , são as flechas da viga biapoiada, sob acao do diagrama de pressOes de contato, forne-
cidas por Levinton (Fig. 8.10e): 
4 
	
a 
JJ 	(94 q1 + 429 q2 +390q3 + 77q4 ) 	 (8.33a) •JjJ 
a4 
W3 ,C 	 77 q + 390 q2 + 429 q3 +94 q4) 	 (8.33b) ' 1080E1 
Assim, pode-se escrever que o recaque no ponto 2 é (para K' = 1/K): 
2 	1 	 a2 
	
W2 =K'q2 = K'q1 +K'q4 +f2 1080 	
q1 +429 q2 +390 q3 +77 q1 ) 
oil: 
94_ 2 N) 
\ 	
+ 77– 
N ( 	\1 
( 	q1 + (429 + N) q2 + 390 q3 	
/ 	a4 
— q4 = 
1080E1j2 	
(8.34a) 
3 	 3 
sendo: 
N = 1080 ElK' 
No ponto 3, tern-se: 
(77_i) q1 +390 q2 +(429+N) q3 +(94_ 	
_ .N) q4 1080 Elf3 
(8.34b) 
- a4 
As Eqs. (8.34) completam, corn as Eqs. (8.30), as quatro equaçOes necessárias para a 
deterrninaçao das quatro ordenadas de pressão de contato que resolvem o problerna. 
8.3.5 Métodos numéricos 
Os métodos numéricos mais utilizados na análise de vigas de fundacao são o Método 
das Diferencas Finitas (MDF) e o Método dos Mementos Finitos (MEF). Ambos produzem a 
solução do problema apenas em alguns pontos selecionados (solucao discreta) e, portanto, 
quanto maior o nürnero de pontos, major a precisao da solucão. 0 aumento do nümero de 
pontos em estudo, por outro lado, aurnenta o trabaiho computacional. 
(a) Método das Diferenças Finitas 
0 Método das Diferenças Finitas consiste na substituiçao da equacao diferencial que 
governa o fenômeno por urn sistema de equacOes algebricas; a integracão da equação diferen-
cial é sub stitulda pela resoluçao desse sistema. 
No caso de uma viga de fundacão, o método substitui a equacao diferencial da defor-
mada da viga por equaçOes algébricas que relacionam o deslocamento de urn ponto aos deslo-
camentos de pontos vizinhos (ou o momento fletor de urn ponto aos deslocarnentos do próprio 
ponto e de pontos vizinhos). A viga é estudada através de urn nümero finito de pontos, que 
definern segrnentos dessa viga (Fig. 8.11a). 
Para a transformação da equacao diferencial, os coeficientes diferenciais são substitu-
Idos por funcoes dos deslocamentos dos nós da rnalha (w no ponto genérico n). Adotando-se 
segrnentos de mesmo comprirnento Ax, tern-se (por dferença central): 
154 
8 Vigas e Gre/has 
w11+1 —wfl_1 	 (8.35a) 
	
dx Ax 	Ax 
	
d 2 w A 2 - 	- 2w + w...1 
	
A.x - 	Ax2 	
(8.35b) 
	
d 3 A3w - w +2 —2w 1 +W_1 	
(8.35c) 
2Ax3 
As equacOes diferenciais da viga (8.4) e (8.7) se transformam em: 
	
w01-2w+w..1 
=-- 	 (8.36) 
El 
w, 2 — 2w +1 +W_1 —W,2 	Q 	 (8.37) 
2Ax3 	 El 
elemento 
nO 
mo/a: K=kV B a 
9'/ 	/y 	
Altemativa: \ I propriedades 
LA=K \IE,A,L 
L 
(b) 	elemento de v/ga 
Fig. 8.11 - V/ga sobre solo do Winkler pelo (a) MDF e (b) MEF 
Uma descricao completa do método está fora do escopo deste trabaiho, mas pode ser 
vista, por exemplo, em Bowles (1974, 1988). 
(b) Métodos dos Mementos Finitos 
Antes da formulaçao geral do Método dos Elementos Finitos, estruturas eram analisa-
das com o auxilio de computadores pelos chamados Métodos Matriciais, sendo mais utiliza- 
155 
Velloso e Lopes 
do o Método das Forcas. 0 Método dos Elementos Finitos, que se tornou o principal método 
numérico, é uma derivacao do Método dos Deslocamentos. A soluçao da viga sobre base elásti-
ca (modelo de Winkler) pode ser programada dentro da técnica de anáiise matricial, como 
encontrado em Bowles (1974). 
o Método dos Elementos Finitos é normairnente usado por meio de programas corner-
dais, disponIveis no mercado. São utilizados programas para análise linear bidimensional de 
estruturas (tipo portico piano), corn elementos de viga (elementos unidimensionais corn trans-
rnissão de momento nos nós) corn apoios eiásticos (molas). 
Quando o programa não dispOe de elementos de viga corn apoio eiástico continuo ao 
longo do seu comprimento, pode-se rnodelar o problerna como uma viga corn apoios discretos 
em molas nos nós (Fig. 8.11b). Ainda, se o programa não dispOe de apoio em mola, urn elemen-to de treliça (barra birrotulada) pode ser usado. Como os apoios eiásticos estão nos nós, a 
rigidez desses apoios deve levar em conta os espacarnentos (comprimento de influência), como 
mostrado na figura. 
o uso de apoios discretos (nos nOs), quando não se dispOe de apoios continuos (ao longo 
do elernento), produz esforços rnenores e pode ser compensado corn a adoção de urn rnaior 
nümero de elementos. 0 exercIcio resolvido do Apêndice 4 ilustra este ponto. 
A potencialidade do método pode ser reconhecida quando se deseja tratar uma viga 
de inércia variável ao longo de seu comprimento, apoiada em trechos de solos diferentes. Uma 
descricão do método está fora do escopo deste trabaiho, mas pode ser encontrada em livros-
-texto como Zienkiewicz (1971), Brebbia e Connor (1973), Brebbia e Ferrante (1975) e Soriano e 
Lima (1996). 
8.4 VIGAS - METODOS BASEADOS NO MEIO ELASTICO CONTINUO 
Urn método de cálculo de vigas de fundacão, considerando o solo como urn meio elásti-
co contInuo, foi desenvolvido por Ohde (1942). 
(a) Método de Ohde - Introducao 
Do ponto de vista do cálculo estrutural, o rnétodo de Ohde (1942) se baseia na aplicacao 
da Equacão dos Três Momentos. Dados os apoios i, k, /de uma viga continua que sofre desloca-
mentos verticais (Fig. 8.12), a Equação dos Três Momentos estabelece que: 
LkMi+2(Lk+Ll)Mk+jMl+LkRk+LRl— O 	(8.38a) 
Lk 4 
onde: 
L'k, L'1 = comprimentos elásticos dos vãos; 
I, = mornento de inércia de cornparacão; 
E = módulo de elasticidade da viga; 
M = momentos; 
sendo: 
W,•+W1 Wj+2wkWf 
OkWk 
2 = 	2 	
(8.38b) 
e Rk e R1 os termos de carga. 
Se Lk = L1 = a e I = constante, pode-se fazer L'k = L'1 = a, e não havendo carregarnento 
aplicado, tern-se Rk = R1 = 0, e a Eq. (8.38a) se reduz a: 
156 
8 V/gas e Gre/has 
M- +4 Mk +M1 = EIôk 
ou ainda, corn (8.38b): 
M, + 4 Mk + MI = 
6 El— j—(—w1 + 2Wk - w1 ) a 
1 	
Lk 	 L1 
1! 	1k 
Wk 
(8.38c) 
(8.38d) 
Lk IC =L'k 
Ik 
L1 IC = L'j 
Fig. 8.12 - V/ga continua e sua deformada 
(b) Método de Ohde - Concepcao e formulacao 
Suponha-se que a viga de fundacao abaixo seja dividida em n placas iguais (Fig. 8.13). 
Suponha-se a açao provida pelo solo (que é continuo) substituIda por acOes discretas (forcas) 
nos centros de gravidade das placas, e o carregamento, substituldo por forcas que atuam nos 
mesmos pontos (P1 ... Pa). Os recaiques w1 a w podem ser calculados pelo seguinte método 
(segundo Kany, 1959). 
2 	 4 	
L= ma 	
n-1 	fl b 
___ 
P1 
	
M. 
 JJ,Pi 4,P2 43 44 	Pi 	 Pfl - i4
Mn 
	
A A A A 	 A A) 
I 	I 	I 	 I 	 I 
	
q q1 = 	
Q 
Q 	2 Q3 Q4 
Fig. 8.13 - Esquema de cilculo do método de Ohde: div/são da v/ga em placas, 
deformada da v/ga, acOes, pressöes de contato 
Inicialmente, calcula-se o recaique da superfIcie do terreno quando uma das placas 
(de a x b) é carregada. Aplique-se urn carregamento unitário nessa area (Fig. 8.14). 0 terreno 
se deforma, e os recalques c0, ..., c, sob a area carregada e sob as areas vizinhas, podem ser 
calculados corn: 
1—v2 
c0=a E (8.39) 
157 
Velloso e Lopes 
1—v 2 
C2 =a E 12 
Co 
C1 
onde: 	
K1 =(f2_i) 0,3536 
a 	a 	a 	a 
C
l 	 C O 	
C
l 
a 	k 	a 
(8.40) 
(8.41) 
(8.42) 
Pontos 
Ll 
+ + 
q1,O 	b 
+ + 
a 
Fig. 8.14 - Recaiques da super fIcie do terreno devidos ao carregamento de uma placa 
Os valores dos fatores de formaf0 ef2 para as Eqs. (8.39) e (8.40) podem ser obtidos dos 
Abacos A1.6 e A1.7 do Apêndice 1. Esses ábacos apresentam solucOes da Teoria da Elasticida-
de para o cálculo de recaiques nos chamados pontos caracterIsticos, que SãO OS pontos onde os 
recaiques são iguais, tanto para placas flexIveis ("carregamento frouxo") como rIgidas (Fig. 8.14). 
Usando esta figura de recaique como uma linha de influência (o carregamento unitário 
se desloca para cada urn dos elementos e, no elemento ern que ele estiver, dará uma influência 
C., no vizinho c1, no outro c2 etc.), pode-se escrever o sistema de equacOes: 
recaique sob a la placa: w1 = qc0 + q2c1 +... + 
recaique sob a 2a placa: w2 = q1c1 + q7c0 + q3c1 +... + 
recaique sob a placa n: w,, =ql c,,-, +... +q,c0 	 (Sistema 8.43) 
Aplicando agora a Equaçao dos Três Momentos: 
6E I apoio2: M1 +4M2 +M3 = 	(—w1 +2w2 —w3 ) 
a 
apoio 3: M2 + 4M3 + M4 = 
6E I
a (—
w2+2w3—w4) 
apoio n-i: M0_2 +4M,,.. 1 +M,, = 
6E
a2C
1 
(—w_2 +2w,_1 —iv,,) 	(Sistema 8.44) 
Tern-se, assim, n-2 equacOes. Escrevendo os momentos nos pontos 1 an, obtém-se o siste-
ma de equacöes: 
158 
8 Vigas e Gre/has 
=M I 
= M1 + (Q1 - a 
M3 =M1 +(Q1—P1 )2a+(Q2 —P2 )a 
M, = 	 (Sistema 8.45) 
Substituindo no Sistema (8.44) os valores dos recaiques (Sistema 8.43) e dos momentos 
(Sistema 8.45), obtém-se, finalmente: 
—(C1 +a). q j + (c0 
- 
	_ M 
6 	 6 	1 
 
—(C2 + 2a) . q1 - (C1 +a). q + CO( -) 
q3 - 
C1 
. - . -...=—a (2P2 +P2 +E3--MI 
—(C3 + 3a) q1 - (C2 + 2a) q2 - (C1 - a) q3 + (c0 
-
a) . - C I . q5 
(3p, +2p2 + 3 +__ 1 ) 
—(C4 +4a) q1 —(C3 +3a) q2 —(C2 +2a) q3 —(C1 +a)q4 +(c0 
-) q
5 -c1 q6 ... 
=—a 4p1 +3P2 +2p3 +p4 +P-5 -M, 6 	 (Sistema 8.46) 
onde: 
C0 =2(c0 —c1 ) 
C1 = c0 - 2c1 + C2 
CIL = c,_1 - 2c, + C,+1 	 (Sistema 8.47) 
4 b 
	
a= a - 	 (8.48) 
e: 
EI 
	
m =L 	 (8.49) 
a 2 b 
Tern-se n incógnitas (qj, q2, ...,q) e n-2 equacOes (Sistema 8.46). Faltam, pois, duas 
equaçOes para resolver o problema. Sejam escritas, então, as equacOes de equilIbrio: 
	
v=o 	 (8.50) 
ou: 
q1 +q2 + ... +q,2 =p1 +p2 +...+p, 	 (8.51) 
(8.52) 
159 
Veiloso e Lopes 
oil: 	
(n-1)(q1 -Pi -q +p11 )+ 
	
+(n-3)(q2 P2 —an_i +pT)+ 	 (8.53) 
+(n-5)(q3 - p3 -q. 2 +p,,_2 )+ 
+(n-7)(q4 -p4 —an-3 +p_3)+ 
+.+R=O 
Para n par, tern-se: 
R = q -p, -q 	p 	
(8.54) 2 2 2 2 
Para n Impar, tern-se: 
	
R2 [
qn-I Pn-1 q fl i +n+ij 	
(8.55) 
222 	2 
Observacao: M1 a M SãO OS mornentos, devidos ao carregamento da viga, sobre Os 
apoios fictIcios. Como o carregamento é transformado em uma série de cargas concentradas 
sobre o centro das placas, M1 e Mn são nulos (so ha M2 a M 1), salvo se houver urn momento 
aplicado nestes dois extrernos. 
(c) Método de Ohde - Roteiro de cálculo 
Para aplicacao do rnétodo de Ohde, pode-se seguir o seguinte roteiro: 
1. Cálculo de a (Eq. 8.48) 
2. Cálculo dos p, (pressöes decorrentes das cargas aplicadas) 
3. Cálculo da linha de influência dos recaiques, por meio de: 
a. Cálculo de c0 (Eq. (8.39) e Abaco A1.6 do Apêndice 1) 
b. Cálculo de c2 (Eq. (8.40) e Abaco A1.7 do Apêndice 1) 
c. Cálculo de K1 (Eq. (8.42)) 
d. Cálculo dos c (Eq. (8.41)) 
4. Cálculo dos C1 (Eqs. (8.47)) 
5. Montagem e resolucao do sistema de equacOes: 
Eqs. (8.46) 	n-2 equacoes 
Eq. (8.51) 	1 equação 	 (2Q = 2P) 
Eq. (8.53) 	1 equacao 	 (M = 0) 
n equaçOes 
6. Obtençao do diagrama das tensOes de contato q 
7. Obtençao dos diagramas de esforços internos (rnornentos e cortantes) 
(d) Método de Ohde - Cargas nos elementos da viga 
Os seguintes pontos precisam ser considerados quando se faz o cálculo das cargas 
aplicadas nos elernentos da viga (Pa: 
1. Nos métodos baseados em coeficiente de reacao (Hipótese de Winkler), o carrega-
mento uniformemente distribuldo não provoca rnornentos fletores; neste rnétodo, 
provoca. Portanto, deve-se incluir também o peso próprio da viga. 
ii. As cargas concentradas podem ser consideradas centradas nas placas (divisOes da 
viga). Se as excentricidades forem grandes, é necessário calcular como foi mostrado 
na Fig 8.15a. 
Mul 
8 Vigas e Gre/has 
Cargas concentradas excêntricas podem ser tambérn resultantes de carregarnentos 
triangulares ou trapezoidais. 
iii. Os momentos aplicados são substituIdos por duas forcas nos centros dos dois 
elernentos adjacentes (exemplo na Fig. 8.15b). 
(a) 
Pi ll' 	F4', f= P+P , 
A 
F'4' 	P34' 
(b) 
i/'M=l0kNm 
2,00 
25kN 4,z5kN 
- 	4 5 6 
Fig. 8.15 - Preparacão do carregamento para o método de Ohde 
8.5 GRELHAS 
As greihas podern ser calculadas de duas maneiras: 
(a) Cálculo rigoroso 
Urncálculo rigoroso é feito corno greiha sobre base elástica, o que requer o uso de urn 
rnétodo nurnérico. 0 rnétodo nurnérico gerairnente usado é o Método dos Elernentos Finitos, 
corn as vigas representadas por elernentos unidimensionais (tipo viga) e o solo, por molas 
(Hipótese de Winkler) de forma semeihante a que foi descrita no item 8.2.5 (Fig. 8.16). 
iga 
Fig. 8.16 - PossIvel esquema de cilculo de uma gre/ha pelo MEF 
(b) Cálculo aproximado 
Urn cálculo aproxirnado pode ser feito analisando-se as vigas separadarnente. Segundo o 
A. C. I. (1966), pode-se fazer uma partição da carga dos pilares para as vigas que neles se cruzam, 
de acordo corn a rigidez destas, corno mostrado na Fig. 8.17. Essa particão das cargas deve ser 
161 
Velloso e Lopes 
abandonada (tomando-se a totalidade da carga em cada direcao) para um dimensionamento 
mais seguro. 
2 	 Qj = 	
= 
Off M1 
7A 	
corn 
HipOtese do Winkler 
Fig. 8.17 - Esquema de part!çao de cargas de p//ares para cálcu/o de gre/has como v/gas (4. CL, 1966) 
REFERENCIAS 
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by ACT Committee 436. Journal of the A. C. I., p. 1041-1057, Oct. 1966. 
BLEICH, H. Berechnung von Eisenbeton - Streifenfundamenten als elastich gestutzte Trager. Die Bautechnik, v. 15, 1937. 
BOWLES, I. E. Analytical and computer methods in foundation engineering. New York: MacGraw-Hill, 1974. 
BOWLES, J. E. Foundation analysis and design. 4. ed. New York: MacGraw-Hill, 1988. 
BREBBIA, C. A.; CONNOR, J. J. Fundamentals offinite element techniques. London: Butterworths, 1973. 
BREBBIA, C. A.; FERRANTE, A. J. The finite element technique. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1975. 
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KANY, M. Berechnung von Flachengrundungen. Berlin: W. Ernst und Sohn, 1959. 
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Division, ASCE, v. 88, n. SM5, p. 19-44,1961. 
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MAGNEL, G. Le calcul des poutres sur terrain elastique. Technique des Travaux, 38, 1938. 
OHDE, J. Die berechnung der sohldruckverteilung unter grundungskörpern, Bauingenieur, 23 Jahrgang, Helf 14/16, 
Helf 17/18,1942. 
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SUSSEKIND, J. C. Curso de análise astrutural. Rio de Janeiro: Editora Globo, 1973. 
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VERDEYEN, J.; ROISIN, V.; NUYENS, J. Applications de la mécanique des sols. Paris: Vander/Dunod, 1971. 
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Division, ASCE, v. 89, n. SM 1, Feb. 1963. 
WOLFER, K.-H. Elastich Gebettete Balken. Wiesbaden: Bauverlag GmbH, 1971. 
ZIENKIEWICZ, 0. C. The finite element method in engineering science. 2. ed. London: McGraw-Hill, 1971. 
162 
(C) 	 (d) 
CapItulo 9 
RA DIERS 
Segundo a norma brasileira de fundaçOes, a expressao radier pode ser usada quando 
uma fundacao superficial associada recebe todos os pilares da obra (radier geral) ou quando 
recebe apenas parte dos pilares da obra (radier parcial). Do ponto de vista de projeto, entretan-
to, estes dois casos podem ser tratados da mesma maneira. 
9.1 INTRODUçAO 
Uma fundacao em radier é adotada quando: 
• as areas das sapatas se aproximam umas das outras ou mesmo se interpenetram (em 
consequência de cargas elevadas nos pilares e/ou de tensöes de trabaiho baixas); 
• se deseja uniformizar os recaiques (através de uma fundacao associada). 
Uma orientação prática: quando a area total das sapatas for maior que a metade da area 
da construção, deve-se adotar o radier. 
Quanto a forma ou sisterna estrutural, os radiers são projetados segundo quatro tipos 
principals (Fig. 9.1): 
radiers lisos; 
• radiers corn pedestais ou cogumelos; 
• radiers nervurados; 
• radiers em caixão. 
Os tipos estão listados em ordem crescente da rigidez relativa. H, ainda, os radiers em 
abóbadas invertidas, pouco comuns no Brasil. 
(a) (b) 
Fig. 9.1 - Radiers: (a) I/sos, (b) corn pedestals ou ern laje cogurnelo, (c) nervurados (vigas invertidas) 
e (d) em caixão 
Velloso e Lopes 
9.2 METODOS DE CALCULO 
E difIcil classificar os métodos de cálculo de radiers, como foi feito no caso das vigas 
de fundaçao, separando métodos estáticos aproxirnados de métodos matematicamente mais 
elaborados, de métodos numéricos, de acordo corn a natureza do método, ou separando 
rnétodos baseados na Hipótese de Winkler de métodos baseados no serniespaço elástico, de 
acordo corn o rnodelo para o solo, urna vez que os rnétodos disponIveis tern mais de urna destas 
caracterIsticas. Assirn, decidiu-se apresentar os métodos sern classificá-los. 
Uma leitura introdutória sobre o assunto é o trabalho de Teng (1975) do livro edita-
do por Winterkorn e Fang (1975). Outros trabaihos importantes são: Wiasow e Leontiew (1966), 
Zeevaert (1972), Sherif e Koning (1975), Selvadurai (1979) e Scott (1981). Como trabalhos brasi-
leiros sobre radiers, citarn-se os de Berberian (1972), Melo e Silva (1981) e Santos (1987). 
9.2.1 Cálculo por método estático 
Como no caso das vigas de fundação, os esforços internos em radiers podem ser calcu-
lados pelos chamados métodos estáticos, que se baseiam em alguma hipótese sobre a distribui-
ção das pressOes de contato, como: 
• as pressOes variam linearmente sob o radier; 
• as pressOes são uniformes nas areas de influência dos pilares. 
Essas duas hipóteses podem ser vistas, no caso das vigas, na Fig. 8.3. A primeira hipóte-
se se aplica mais a radiers mais rIgidos, enquanto a segunda, a radiers mais flexIveis. Assim, o 
cálculo que segue a prirneira hipótese será charnado de cálculo corn variação linear de pressOes, 
enquanto o que segue a segunda hipótese, de cálculo pela area de influencia dos pilares. 
Nos métodos estáticos, nenhurna consideracão é feita quanto a compatibilidade de 
deformacoes do solo e da estrutura corn as reaçOes do solo. Leva-se em conta apenas o equilI-
brio estático das cargas atuantes e da reacao do terreno. Assirn, esses métodos são indicados 
apenas para o cálculo de esforcos internos na fundaçao para seu dimensionamento estrutural (e 
não para avaliação da distribuiçao dos recaiques). 
RadierL 'R 
	/ 
q21) 
Modolo de 
ca/cub 
q1b 
Fig. 9.2 - PressOes de contato variando linearmente sob 
urn radier esquerna de cilculo de urna faixa 
(a) Cálculo como radier rIgido on corn variacão 
linear de pressöes 
Urn cálculo por método estático em que se 
adrnite variaçao linear de pressOes de contato coinci-
de corn aquele em que o radier é suposto rIgido sobre 
solo de Winkler. Nurn cálculo deste tipo, as pressOes 
de contato são determinadas somente a partir da 
resultante do carregarnento (Fig. 9.2). As equacoes 
das pressOes de contato sob sapatas rIgidas podem 
ser utilizadas (ver item 7.2.1). 
Este método normalmente é utilizado para 
radiers de grande rigidez relativa, como no caso de 
radiers nervurados e em caixão. Para efeito de análi-
Se, 0 radier é dividido em dois conjuntos de faixas 
ortogonais. Segundo o A.C.I. (1988), urn radier pode 
ser considerado rIgido Se: 
164 
9 Radiers 
i. o espacamento entre colunas 1 atender a: 
1,75 
/kb 
4 E I 
onde: 
b = largura da faixa de influência da linha de colunas; 
= coeficiente de reacao vertical (corrigido para a forma e dirnensão do radier); 
E I = rigidez a flexão da faixa; 
ii. a variaçao nas cargas e espaçamentos das colunas não for major que 20%. 
Para dirnensionamento estrutural, as faixas são calculadas como vigas de fundação 
independentes. As pressOesde contato atuantes em cada faixa são projetadas para o eixo das vigas 
para urn cálculo como elemento unidimensional (Fig. 9.2). 0 problema a resolver recai, então, 
naquele em que as vigas tern as pressOes de contato supostas variando linearmente (Fig. 8.3a). 
(b) Cálculo pela area de influência dos pilares 
0 cálculo pela area de influência dos pilares é geralmente aplicado em radiers de rigidez 
relativa media. 0 procedimento seguido é (Fig. 9.3a): 
a. Determinar a area de influência de cada pilar, A,. 
b. Calcular a pressão media nessa area: 
Qi 
q A 
c. Determinar uma pressao media atuando nos painéis (media ponderada dos Q 
naquele painel). 
d. Calcular, como numa laje de superestrutura, os esforcos nas lajes e vigas e as reacOes 
nos apoios (pilares). 
Se as reaçOes nos apoios forern muito diferentes das cargas nos pilares, devem-se redefi-
nir as pressOes médias nos painéis. 
Este método é análogo àquele em que as vigas tern suas pressOes de contato supostas 
uniformes nas areas de influência dos pilares (Fig. 8.3b). Por outro lado, considera a carga dos 
pilares sem majoracao, a despeito da aproximacao feita na definiçao das pressOes de contato. 
1. Faixa3 
(a) 
	
(b) 
Fig. 9.3 - Esquerna de cjkulo de urn rad/er (a) pela area de /nfluênc/a dos pilares e (b) como urn 
s/sterna de vigas 
65 
Velloso e Lopes 
Método de Baker 
Baker (1957) propôs urn rnétodo sirnp!ificado para cálculo de radiers assentes em terre-
nos cujas propriedades variarn horizontalmente, que pode ser considerado urn método estáti-
Co. 0 rnétodo fornece resultados muito próxirnos de uma solução pelo modelo de Winkler 
quando o terreno é hornogeneo. Alérn do trabaiho de Baker (1957), uma descricao do método 
pode ser vista em Scott (1981). 
9.2.2 Cálculo como urn sistema de vigas sobre base elástica 
Nurn cálculo como urn sisterna de vigas sobre base e!ástica, separa-se o radier em dois 
sistemas de faixas, como rnostrado na Fig. 9.3b (e descrito no item 9.2.1). A partir daI, cada faixa 
é tratada como uma viga de fundaçao isolada sobre base elástica (geralmente corn a Hipótese 
de Winkler). Os métodos descritos nos itens 8.3.4 e 8.3.5 podern ser utilizados. Em cada direçao 
de estudo, deve-se tornar a totalidade da carga nos pilares. No Apêndice 6, ha um exercIcio 
resolvido no qual esse rnétodo é utilizado. 
9.2.3 Soluçoes para radiers em situacão especial 
Ha a!gumas so!uçOes rnatemáticas para radiers de forma especial e que estão sujeitos a 
carregarnentos especiais. São casos de radiers corridos, caracterizando urn prob!erna de estado 
piano de deformacao, ou circulares, caracterizando urn prob!erna axissimétrico. São exemplos 
(Fig. 9.4): ga!erias de águas, de rnetrô etc. (plano-deformacao); caixas d'água ou cisternas circu-
!ares, tanques de ó!eo, fundaçoes de torres e chaminés (axissimétrico). 
(a) 	 (b) 
Fig. 9.4 - Casos especials: (a) estado piano de deformacaes e (b) axissimétrico 
A!gurnas soluçOes para carregamentos simples de placa circular, como carga distribu-
Ida ern toda a area on carga concentrada no centro da p!aca, foram obtidas por Brown (1969a, 
1969b), por exernp!o. So!uçOes para outras possibilidades de carregamento, rnais encontradas 
na prática, foram desenvo!vidas por autores a!ernães, como: 
• Kany (1959) -> prob!ernas p!anos (Fig. 9.4a); 
• Beyer (1956) -> prob!emas axissimétricos (Fig. 9.4b); 
• Grasshoff (1966) -> problernas axissirnétricos (Fig. 9.4b). 
Esses métodos utilizarn como mode!o o meio e!ástico contInuo. 0 rnétodo de Grasshoff 
tarnbérn foi forrnu!ado corn base no mode!o de Winkler. As formu!acOes desse rnétodo constarn 
ILS1S] 
9 Radiers 
do Apêndice 5. Berberian (1972) mostrou, em trabaiho experimental, que, para radiers em 
areias, a formulaçao baseada no meio elástico continuo é mais próxima da realidade. 
Urna revisão de métodos mais elaborados matematicamente pode ser vista, por 
exemplo, em Selvadurai (1979), Scott (1981) e Hernsley (1998). 
9.2.4 Método da placa sobre solo de Winkler 
0 problema da placa delgada sobre solo de Winkler foi estudado por Schleicher (1926) 
e Hetenyi (1946). 0 A. C. I. (1966) propôs o cálculo de radiers com base na solucao obtida por 
aqueles autores, conforme desenvolvido adiante. 
Equaçoes das deformacOes e esforços internos de placa delgada sobre solo de 
Winkler 
A equacao diferencial dos deslocamentos de urna placa delgada assente sobre urn siste-
ma de molas (Hipótese de Winkler), considerando uma regiao distante dos carregamentos, é: 
( aw 	294w 	t3w'\ 
+—I+kw=O 	 (9.2) 
x4 axay2 ay4 ) 
Nesta equacao, o parâmetro D é a rigidez aflexao da placa (analogo a El nas vigas) e e 
dado por: 
E t3 C 	 (9.3) 
12 (1-v2) 
onde: 
t = espessura da placa; 
E = Módulo de Young do material da placa (concreto, p.ex.); 
v = Coeficiente de Poisson do material da placa (concreto, p.ex.). 
Se a placa e o carregamento possuem simetria radial, a Eq. (9.2) pode tomar a forma: 
D 
(dw 
-+- - 
2 d3w 1 d 2 1 dw 	 (9.4) 
-- 
dr4 rdr3 r 3 dr) 
Numa analogia corn o problema da viga, pode-se definir um parâmetro caracterIstico 3 
(chamado de raio de rigidez efetiva): 
rj- 
(9.5) 
V 
A solucao da Eq. (9.4) pode ser escrita na forma: 
w=C1 z1()+c2 
Z2(r)+C3 
 z3()+c4 z4() 	 (9.6) 
167 
Velloso e Lopes 
onde: 
Cl, C2, C3, C4 são constantes de integraqão; 
Z1, Z2, Z3, Z4 são funcOes tabuladas por Hetenyi (1946), mostradas na Fig. 9.5. 
10,0 0,5 
Z,I 
I 	0,4 
/ 1 	0,3 
	
/ 	•5,0 
0,2 
, 
	
IZ'2 	01 
? —r--... 	./ 	1-0 	o 
r/B 
-0,1 
-0,2 
-5,0 
-0,3 
-0,4 
-10,0-0,5 
Fig. 9.5- FunçOes Z1 , Z2, Z3, Z'3, Z4, Z'4 (Hetenyi, 1946) 
Para urna carga concentrada distante das bordas da placa, C1 = C2 = C4 = 0, a equacao 
do recaique fica: 
w=C3 Z3 	 (9.7) 
A constante C3 é obtida igualando-se a carga P corn as pressOes de contato, o que leva a: 
w=!'Z3 - 	 (9.8) 
4D /3 
As rotaçOes e os esforcos internos, mostrados na Fig. 9.6, são obtidos pelas equacOes: 
dw 2 
	
3 . 	 (99) dr 4D 
MT = —D(+)=— Z4()— (1— V) 	 (9.10)r d4 
d2w 1 dw 	PI 	z( 
	
M0 --D Iv+ —I=--v Z,4 
	
v)_ ) 	(9.11) 
dr 	r dr) 	4 	 I 
7 ) 
	
1dw 1 d2w 1 dw' 	P 
Q1 = –D --+-- ---- ;---;:-)= —Z4 W 	(9.12) 
onde Z'3 e Z são as primeiras derivadas de Z3 e Z4. Não ha momentos volventes (ou torso res), 
devido a axissirnetria. 
9 Radiers 
(a) 
	
(b) 
Fig. 9.6 - Esforcos internos em urn elemento de placa - problerna axissimétrico - (esforcos 
indicados: con vencionados positivos) 
Quando se examinam os esforcos na origem (r = 0), ou seja, no ponto de aplicacao da 
carga, estes tendem para o infinito, o que mostra que a teoria não é satisfatória sob uma carga 
concentrada. Para contornar esse problema, admite-se que a força concentrada se distribui em 
uma pequena area, por exemplo sobre urn cIrculo de raio r0 (pilares de qualquer secao podem 
ser transformados em circulares). Nesse caso, segundo Selvadurai (1979), os esforços no ponto 
de aplicacao da carga serão: 
M,(r=0)=M0(r=O)= 
P(1+v) 
 log—+-- , =0,5772157 	(913) 
4r 	
2/31
i, 2 
Qr(r0) 
2n 	 (9.14) 0 
Método do American Concrete Institute 
0 Método proposto pelo A. C. I. (1966) se baseia na solucao acima descrita e e aplicá-
yel a radiers lisos e flexIveis. Calculam-se os momentos fletores e os cortantes em cada ponto 
da placa, produzidos por cada pilar. As açOes de cada pilar são posteriormente sornadas nos 
pontos em estudo (Fig. 9.7a). 
P P4 
ponto em 
estudo 
(a) 
x 
Myx 
Mr 
MO 
(b) 
Fig. 9.7 - (a) Esquema de cilculo pelo método do A. C I. e (b) transformacao de momentos fletores 
obtidos em coordenadas ci/Indricas para coordenadas retangulares 
o procedirnento do rnétodo é o seguinte: 
a. Calcula-se a rigidez a flexão da placa D (eq. 9.3). 
I We 
MXY 
(c) 
Velloso e Lopes 
b. Calcula-se o raio de rigidez efetivaj3 (eq. 9.5). 
c. Escoihe-se urn námero de pontos da placa nos quais os esforcos internos serão 
calculados. Para cada ponto, são seguidos os passos (d) a (g) abaixo. 
d. Calculam-se os momentosfletores radial e tangencial (Eqs. 9.10 e 9.11). 
e. Convertem-se os momentos fletores radial e tangencial para momentos, segundo 
coordenadas retangulares corn (Fig. 9.7b): 
M = M. cos2 0 + M0 sen2 0 	 (9.15) 
M = Mr sen2 0 + M0 cos2 0 	 (9.16) 
f. Calcula-se o esforço cortante radial corn a Eq. (9.12) e converte-se para cortantes, 
segundo coordenadas retangulares corn: 
Q = Qr COS 0 
	
(9.17) 
Qy = Qr sen 6 
	
(9.18) 
g. Os passos (d) a (f) são repetidos para cada pilar, e os resultados são sornados 
algebricarnente. 
Para os esforços ern coordenadas retangulares, a notacão e a convencão de sinais são as 
apresentadas na Fig. 9.8, que seguem Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959). Nessa conven-
ção, assirn corno naquela apresentada na Fig. 9.6, os momentos fletores são positivos quando 
associados a tensOes de tracao nas fibras inferiores da placa. 
Como o rnétodo foi concebido para placa infinita, se a borda do radier estiver dentro do 
raio de influência de urn pilar (r 53), ha que se fazer correçOes corn o objetivo de elirninar 
momentos fletores e cortantes naquela borda. As correcOes consistem em calcular os momen-
tos fletores e cortantes na borda e aplicá-los corn sinai contrário. 
Fig. 9.8 - (a) Momentos fletores e volventes em urn elemento de placa, (b) esforcos cortantes e 
(c) representacao dos momentos em planta (esforcos indicados: convencionados positivos) 
170 
9 Radiers 
9.2.5 Método das Diferenças Finitas 
Como mencionado no item 8.2.5, no Método das Diferencas Finitas substitui-se a 
equação diferencial da deformada da placa por um sistema de equacOes algebricas que relacio-
na o deslocamento de um ponto aos deslocamentos de pontos vizinhos. Na placa, é imaginada 
uma maiha em cujos cruzamentos estão os pontos em estudo (Fig. 9.9). A primeira formulaçao 
do método se deve a Allen e Severn (1960, 1961, 1963). 
Para a transformação da equacao diferencial em uma equação de diferencas finitas, 
as derivadas de w são substituIdas, de forma aproximada, por funçOes dos deslocamentos dos 
nós da maiha (Wk no ponto genérico k). Usando-se uma interpolaçao com operadores centrais, 
obtém-se: 
TIw = A Wk = Wk+J 	'k1 	 (9.19a) 
aXk Ax 2Ax 
	
(aw = A Wk = Wi—wi 	 (9.19b) 
Ay 2Ay 
\ - A 2 W = W1 —W1_j —Wl+l +Wi_l 	 (9.19c) 
	
\axay)k Ax Ay 	4AxAy 
(a2w - A2 Wk - Wk+1 — 2wk +Wkj 	 (9.19d) 
Jk Ax2 
- 	Ax2 
(82w - A2 wk - w1 2Wk +W1 	 (9.19e) 
0y2)k Ay - Ay 
(83w) =A3 Wk - Wk+2 2Wk+J +2Wkl Wk-2 
A x 3 - 	2A X3 
(83w') - A3 Wk - W, 2w1 +2w1 w,,
0y3)k Ay - 	2Ay3 
I a4 	- A4 Wk - 4Wk —2(wk+j + Wk_j +w1 +w1 )+(w1_1 +w 1 +w1 +w11) 	(9.19h) 
0y2 )k - Ax2 Ay2 - 
	 Ax2 Ay2 
(84w) - A4 Wk - Wk+2 41 k+1 + 6Wk 4Wk_J 
Ax4 - 	 Ax4 
A4 Wk W, - 4Wl+6Wk4Wj+Wh 	 (9.19j) 
	
ay 4 )k Ay - 	Ay 
171 
Velloso e Loper 
A equação diferencial da placa (9.4) se transforma (incluindo uma sobrecarga unifor-
me p) em: 
,&4 Wk2A4wk A4 WkPk k Wk 
A x4 + A x2 A y2 + A y 4 D 	D 	
(9.20) 
Fazendo: 	
A y2 
= a 
Ax 
tern-se: 
wk(6(a+_)+8)_4[(1 +a)(wk+j + wk_1) +(1 + 	+ w 1 )]+ 2(w_1 + w +w11 + w +1 )+ 
1 	 Ax4 	Ax4 
+a(wk+2 +wk2)+ —( Wm +wh)pk ----ìç Wk a 	 (9.21) 
Essa expressao é válida para urn ponto k distante das bordas da placa, como mostra-
do no trecho de maiha interno a placa na Fig. 9.9a e como visto no esquerna da Fig. 9.10h. Na 
Fig. 9. 10h, os termos chamados de Xseguidos de urn nümero são os coeficientes que multipli-
cam os deslocarnentos Wk, Wk+1 etc. da Eq. (9.21) acirna (o coeficiente de Wk 6 6(a-i-1/a)+8, p. 
ex). Esses coeficientes são üteis para efeito de prograrnacão do método e são apresentados na 
Tab. 9. 1, multiplicados por 1r2. sendo r= Ax! Ay. 
Se Ax = A y = s, a Eq. (9.21) se simplifica em: 
20Wk —8(wk+1 +Wk..j +w1 +w)+2(iv_1 +wj....1 +w1 1 +w1+1)+ 
(9.22) 
+(wk+2 +Wk_2 +w, +w,Z)pk ---kl , Wk —D 
Para pontos da placa próximos das suas bordas, os nos vizinhos se situariam fora do 
domInio da placa, conforme mostrado na Fig. 9.9a. Para contornar esse problema. ha duas alter-
nativas: (a) adotar pontos fictIcios fora da placa (Fig. 9.9b) ou (b) adotar outras expressOes no 
lugar de (9.21) corn derivadas para a frente e para trás, que não requerern pontos fora da placa. 
Na primeira alternativa, devem-se buscar mais equacOes, uma vez que se tern urn 
major nürnero de incognitas. Essas equacOes adicionais são dadas pelas condicoes de contor-
no de Kirchhoff associadas a uma placa retangular, de dimensöes L e L, corn as bordas livres, 
que são: 
(a) bordas paralelas ao eixo dos y 
M(O,y)=MJL ,y)=O 
a 
V=Q — 	para x=O e x=L 
ay 
(b) bordas paralelas ao eixo dos x 
My(x,O) M y (x,Ly )= 0 
M 
Vy = - 	' =
0 para y=0 e y = L, 
172 
9 Radiers 
m 
L-IL L+ 
k-2 k-1 k k+lk+2 
i-I 1 1+1 
h 
II 	I 	I 	 (a) 
y,v* 
I 
-- - TIIPo,ifoFict, 
Ponto Real 
n 
y 
(b) 
Fig. 9.9 - Maiha para emprego do Método das Diferencas Fin/tas 
Adicionalmente, tern-se as condiçOes de reacOes nulas nos cantos das placas: 
=0 	parax=0 y=O 
aXCY 	parax=Lx y=O 
parax=0 y=Ly 
parax=Lx y=Ly 
Considerando urna maiha de m x n pontos nodais (Fig. 9.9b), tern-se urn total de 
(mn + 4m + 4n + 4) incógnitas (que 5O os deslocamentos Wk dos pontos reais e fictIcios). Pelas 
equacOes aplicadas aos pontos da maiha longe das bordas da placa, obtêrn-se m x n equacOes. 
Considerando as condicOes de contorno de Kirchhoff de rnomentos fletores M e M1, e forças 
V e V, nulos, tern-se quatro (m + n) equaçOes adicionais. As quatro equaçOes remanescentes 
são obtidas através da condiçao de reação nula nos cantos da placa. A partir desse conjunto 
de equacOes, os deslocamentos Wk podern ser obtidos pela resolucao do sisterna assim gerado. 
do 
173 
Velioso e Lopes 
Na segunda alternativa, os deslocarnentos dos pontos da placa são relacionados a 
pontos apenas no domInio da placa, resultando, portanto, nurn sisterna de m x n equacOes. 
Esse processo é descrito por Bowles (1974), e as equacOes para pontos próxirnos ou sobre as 
bordas da placa estão indicadas na Fig. 9.10 e seus coeficientes, na Tab. 9.1. 
(a) (b) 
X3 	X2 	Xl X2 	X8 	X7 	Xl 
T X4 X5 X9 	X12 	X9 X6 
(c) (d) 
X5 	X9 
Xl 	X7 	Xli 	X7 
X14 	X13 
X9 	X12 	X9 p X19 	X9 X10 
(e) (0 X6 
X9 	X12 	X9 
X19 	X9 
X13 	X27 
7 	X16 	X17 
Xl 9 
X18 	X15 
(g) (h) 
X4 	X12 	X9 
X15 	X18 
1X16X27 
6X22X16X27 
X9 	X15 	X18 
X15 	X18 
X10 
I.' 
(I) xio (j) 
r.h 
X9 	X15 	X18 
X13 	X20 	X16 	X 
X9 	X15 	X18 
Ay 
 
X10 
Ax 
Fig. 9.10 - Esquema das equacöes para pontos em diferentes posicães da placa e identificacao dos 
coeficientes de des/ocamento (Bow/es, 1974) 
Nas deduçOes feitas ate o mornento, adrnitiu-se que a carga externa atuante em toda a 
placa é urn carregarnento distribuIdo de valor p (corn dirnensão FL-2). Quando a carga aplicada 
for concentrada ern urn ponto da placa, seus efeitos podern ser levados em consideracao de 
rnaneira aproxirnada, substituindo-a por urna carga distribuIda equivalente, corno mostrado 
na Fig. 9.l la. Se a carga concentrada não atuar exatamente em urn no da placa, basta distribul-
la pelos nós vizinhos (Fig. 9.1 1b). 
174 
9 Radiers 
Tab. 9.1 - Coeficientes de deslocamento multiplicados por a ou hr2 (ver Fig. 9.10) 
Xi= 	(i-v) 	 X2=1 (iv2)4- (i-v) 
x4=4(1-v) 
X5=-4 (1 v)(1 v2) 	 6=L (_V2) 
X7=2 	—2- 
	 X8=_(1v2)f4(1v)+1 
X9=-4 (2-v) 
	
X1O = 1 
xii=4-(i v2)4(lv)il 	 X12=4(2v)-2 
X13=-4-4(2v) 	 X14=-4+4-(] - v)+-(1 - v2 
X15=- -- -4 
	 XI6=4-4 
X17=4-+4-+5 	 X18=4 
X19=-4 
(IV 
)2(1 v2) 	 x2o=--+4-+6 
X21=4+4-+5 	 X22=--+4-+6 
X23= 1 --+ 4 	v)+ --(1 
i 	r 	
- 	3(1 - v2) 	 X274 (abs.: ver ma Fig. 9.1Oj) 
Incluindo a carga concentrada, a equacao diferencial de flexão da placa, em termos de 
diferenças finitas, (9.20) passa a ser: 
A 4Wk 2A 4wk A4Wk Pk k + Wk 	P 
Ax4 +22+4=D 	D 	A A 	
(9.23) 
75 
Veiloso e Lopes 
(a) 
	
P1 	P2 
(b) 	 11P3• 
P1 = P2 = P3 = P4 = 
Fig. 9.11 - Formas de consideracao de uma carga concentrada atuando na placa 
Após o cálculo dos deslocarnentos dos pontosda maiha, é possIvel, empregando 
também equacOes de diferencas finitas centrais, calcular os esforços internos na placa. Pela 
teoria das placas, ternos as seguintes equacOes diferenciais para momentos fletores e volventes 
e esforços cortantes (ver convenção de sinais na Fig. 9.8): 
(a 2Wa2w\ 
+v 	 (9.24) 
ax 2 	äy2 ) 
(a 2 	8 2'\ 
My =—D 
ay 2 ax 2 
+3' 	I 	 (9.25) 
) 
=—M, =—D (1—v) 	 (9.26) 8x &y 
+ 8Myx 	 (9.27) 
8x 	8y 
QY 
&M 
- 	 (9.28) 
ay 	äx 
Utilizando-se diferenças finitas, temos as seguintes expressOes para os esforços inter-
nos em termos dos deslocamentos nodais para urn ponto k genérico: 
	
( —wk+1 +2Wk 	
+ 
Wk-1 V (-w1 +2Wk —w1) 	
(9.29) MX,k=D 	
Ax2 	 Ay 	) 
+2Wk —w1 + v ( — wk+J +2Wk —Wk_J) 	 (9.30) MY kD 
Ay 2 	 zXx2 	) 
M,k = 4 Ax A (w
11 —w 1_1 —w 1+1 +w1_1) 	 (9.31) 
Qx,k= 
MX k+i - MX + ki 	- M1 	 (9.32) 
2Ax 	2Ay 
M 1 - M 1 M,k+i - M,k_l 
	
Qy,k= 2Ay - 2Ax 	
(9.33) 
176 
(b) 
Fig. 9.12 - PossIveis mode/os para aná/ise 
de urn radier pe/o MEF 
9 Radiers 
As pressOes de contato podem ser obtidas facilmente através da Hipótese de Winkler: 
qk - k1, TVk 
	
(9.34) 
Os esforcos obtidos são expressos por unidade de largura, sendo os cortantes corn dimen-
são FL-' (p. ex., em kN/rn) e os rnornentos fletores corn dimensão FLU' (p. ex., em kNrn/m). 
Mais detaihes sobre o método e sua programacao podem ser vistos em Bowles (1974), 
Cheung (1977), Selvadurai (1979) e Santos (1987). 
9.2.6 Método dos Elementos Finitos 
O Método dos Elementos Finitos é normalmente utilizado por rneio de programas 
comerciais. São utilizados programas para análise linear hi e tridimensional de estruturas, 
preferencialmente corn elementos de placa disponIveis e com possibilidade de apoio elástico. 
Para análise do radier, um modelo bastante simples consiste no uso de elemen-
tos de placa para representar o radier, e de molas ou apoios elásticos para representar o solo 
(Fig. 9.12a). Um segundo modelo de cálculo utiliza elementos de placa ou sólidos para repre-
sentar o radier, e elementos sólidos para representar o solo (Fig. 9.12b). fi um modelo hem mais 
complexo, que permite levar em conta a heterogeneidade espacial do solo. 
Comparado a diferenças finitas, urn modelo de elemen- 
tos finitos apresenta maiores possibilidades de acompanhar 
uma geometria mais complicada da placa (não so em planta, 
rnas também em termos de espessuras) e uma variacao do solo 
 
num plano horizontal. Caso elementos de placa não estejam 
disponIveis, urn modelo em que faixas do radier são substituIdas 
por elementos unidimensionais (tipo viga) conduz a urn modelo 	
(a) 
de grelha, como aquele mostrado na Fig. 8.16. 
Os resultados do MEF são influenciados pelo refinarnen-
to da malha e pelo tipo de elemento finito implantado no progra-
ma. Assim, o engenheiro deve procurar ganhar experiência corn 
o programa, inicialmente analisando casos que tern solucão por 
outros métodos. 
Exemplos de aplicacão do método podern ser vistos em 
Cheung e Nag (1968), Melo e Silva (1981) e Santos (1967). Segun-
do o A. C. I. (1988), as molas nas bordas da placa devern ter sua 
rigidez aumentada para compensar o fato de que no modelo de 
Winkler a placa causa recalques apenas sob ela, e não em sua 
vizinhança. 
9.3 EXEMPLO DE FUNDAcA0 EM RADIER 
Para ilustrar a aplicacao de radier na fundaçao de urn edifIcio, apresentarnos, na 
Fig. 9.13, as fundacoes do Hotel Meridien, no Rio de Janeiro. 0 edifIcio do hotel tern 40 pavirnen-
tos, incluindo 4 pavirnentos de subsolo. 0 terreno no local é constituIdo basicamente por areia 
fina e media de compacidade crescente, corn profundidade ate cerca de 20,0 rn, onde aparece 
solo residual de gnaisse. 0 nIvel d'agua está a cerca de 2,0 rn de profundidade. Como o projeto 
177 
Velloso e Lopes 
previa subsolos ate a profundidade de 12,70 m, optou-se por uma fundacao em radier em 
caixão, aproveitando-se o ültimo nIvel de subsolo para uma cisterna. A tensão media aplicada 
pelo radieré da ordem de 500 kN/m2 (0,5 MPa ou 5 kgf/cm2). Levando-se em conta a subpressao 
na base do radier, devida a submersão de cerca de 11,0 m, a tensão efetiva aplicada ao solo é 
da ordem de 400 kN/m2 . 0 subsolo foi executado por método convencional, sendo a escavacao 
suportada por parede diafragma atirantada. A parede diafragma foi incorporada a estrutura 
do subsolo. 
Outros exemplos podem ser vistos em Hemsley (2000). 
X III 	 -9,60 
LH L1z6o_J 
:. 	: : H 	. 	. 	: 
	CORTE A:4H 
r 	fr 
1 
Avenida Princesa Isabel 
Fig. 9.13 - Radier de fundaçao do Hotel Meridien, Rio de Janeiro (cortesia Projectum Enga.) 
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9 Radiers 
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179 
CapItulo 10 
INTRODUcAO AS FUNDAcOES PROFUNDAS 
Este capItulo apresenta algumas definiçOes e classificaçOes das fundaçOes profundas, 
corn urn breve histOrico do desenvolvimento das fundaçOes ern estacas. 
10.1 CONCEITOS E DEFINIcOE5 
DefinicOes da Norma Brasileira 
No Cap. 2, o conceito de fundaçao profunda já foi estabelecido, conforrne a norma NBR 
6122: a fundacao profunda transmite a carga ao terreno pela base (resistência de ponta), por sua 
superfIcie lateral (resistência de fuste) ou por uma combinacao das duas, e estä assente em pro-
fundidade superior ao dobro de sua rnenor dirnensão em planta e, no minimo, a 3 m. Nesse tipo 
de fundaçao incluem-se as estacas, os tubulOes e os caixOes. Ainda segundo a norma, as estacas 
distinguem-se dos tubulOes e caixOes pela exeduçao apenas por equipamentos ou ferrarnentas, 
sern descida de operario em seu interior em nenhuma fase. A diferenca entre tubulão e cajxão 
está na geometria: o primeiro é cilIndrico e o ditimo, prismático. 
A norma reconhece a exeducao no Pals dos seguintes tipos de estacas: de madeira, de 
concreto pr&moldado e de aço cravadas (por perdussao, prensagem ou vibraçao), estaca tipo 
Strauss, tipo Franki, estaca escavada (sem revestimento, com revestimento de aço - provisório 
ou perdido - e corn escavação estabilizada por fluido), estaca raiz, microestaca injetada e estaca 
hélice. 
Classificacao das Estacas 
As fundaçOes em estacas podem ser classificadas segundo diferentes critérios. De acordo 
corn o material, podem ser classificadas em estacas (i) de madeira, (ii) de concreto, (iii) de aço 
e (iv) mistas. De acordo corn o processo executivo, as estacas podem ser separadas segundo o 
efeito no solo (ou tipo de deslocamento) que provocam ao serem executadas e são classificadas 
como: 
a. "de deslocamento", onde estariam as estacas cravadas em geral, uma vez que o solo no 
espaço que a estaca vai ocupar é deslocado (horizontalmente), e 
b. "de substituição", onde estariam as estacas escavadas em geral, uma vez que o solo no 
espaço que a estaca vai ocupar é removido, causando algum nIvel de reduçao nas tensOes 
horizontais geostáticas. 
Em alguns processos de estacas escavadas, em que não ha praticamente remocao de solo 
e/ou, na ocasião da concretagem, são tomadas medidas para restabelecer as tensOes geostáticas 
(ao menos parcialmente), estas estacas podem ser classificadas numa categoria intermediária, 
que chamamos de "sem deslocamento". 
Essa terrninologia segue a norma inglesa de fundaçOes (Code of Practice CP 2004:1972) 
que classifica as estacas em dois grandes grupos: displacement piles e replacement piles. 
Velloso e Lopes 
A Tab. 10.1 procura situar nas categorias acima Os principais tipos de estaca executados 
no Pals. As estacas hélice continua estão classificadas em duas categorias, uma vez que, depen-
dendo de haver remoçao ou não de solo durante sua execução, elas podem se aproximar de 
uma estaca escavada ou de uma estaca cravada (quando são chamadas de "estacas hélice de 
deslocamento"). 
Tab. 10.1 - Tipos de estacas 
Tipo de execucão 	 Estacas 
(i) Madeira, 
(ii) pré-rnodadas de concreto, 
Grande 	(Hi) tubos de aco de ponta fechada, 
(iv) tipo Franki, 
De deslocarnento 
	 (v) microestacas injetadas 
(I) Perfis de aço, 
(ii) tubos de aço de ponta aberta (desde que nao haja embu- 
Pequeno charnento na cravacao), 
(Hi) estacas hélice especiais ("estacas hélice de desoca-
mento") 
(i) Escavadas corn revestimento rnetálico perdido que avanca 
Sern deslocarnento 	 a frente da escavaçao, 
(H) estacas raIz 
(i) Escavadas sem revestimento ou corn uso de lama, 
De substituicao 	 (H) tipo Strauss, 
(iii) estacas hélice continua ern geral 
Apresenta-se também a classificação clássica de Terzaghi e Peck (1967), segundo a qual 
as estacas podem ser agrupadas em trés tipos: 
Estacas de atrito em solos granulares muito permeáveis: transferem a major parte da 
carga por atrito lateral. 0 processo de cravação dessas estacas, prOximas entre si, em gru-
pos, reduz especialmente a porosidade e a compressibilidade do solo dentro e em tomb 
do grupo. Consequentemente, as estacas desta categoria são, algumas vezes, chamadas 
estacas de compactaçao. 
• Estacas de atrito em solos finos de baixa permeabilidade: também transferem ao solo as 
cargas que lhes são aplicadas pelo atrito lateral, porém nao produzem compactacão apre-
ciável do solo. FundaçOes suportadas por estacas deste tipo são comumente conhecidas 
como fundacoes em estacasfiutuantes. 
• Estacas de ponta: transferem as cargas a uma camada de solo resistente situada a uma 
profundidade considerãvel abaixo da base da estrutura. 
10.2 BREVE HISTORICO 
0 emprego de fundaçOes em estacas remonta a pré-histOria, com a construçao de pa-
lafitas. No livro de Straub (1964) sobre a história da Engenharia Civil, encontram-se algumas 
passagens que ilustram a utilização das estacas no passado, transcritas a seguir. 
182 
10 Introduçao as Fundaçoes Pro fundas 
Na construcao de estradas, "em regiOes pantanosas ou em regioes em que os rnateriais 
rochosos eram escassos, os romanos recorriarn a passadicos de madeira apoiados em estacas". 
Nas fundaçOes de pontes, conforme descricao de Vitruvius (De architecture libri decein): 
Se o terreno firme não puder ser encontrado e o terreno for pantanoso ou fofo, o local deve ser 
escavado, limpo e estacas de amieiro, oliveira on carvalho, previamente chamuscadas, devem 
ser cravadas corn uma máquina, tao prOximas umas das outras quanto possfvel, e os vazios 
entre estacas cheios corn cinzas. A fundaçao mais pesada pode ser assentada em urna tal base. 
Na Idade Media, o dominicano Fra Giocondo (1433-1515) sugere, na reconstruçao da 
Ponte della Pietra, Verona, a proteçao da fundaçao de urn pilar no meio do rio por meio de 
urna cortina de estacas-prancha. Esse mesrno construtor utiliza estacas na fundacao da ponte 
de Rialto, Veneza. Para Straub, 
Embora a famosa ponte, familiar a todos os visitantes de Veneza, nao tenha dimensOes extraor-
dinárias (vao de 28,5 m e altura de 6,4 m), Os detalhes técnicos são de interesse. Os encontros, 
formando carnadas inclinadas de alvenaria, são adaptados a direçao do empuxo do arco e 
o estaqueamento é adequadamente disposto. Durante a execução das fundaçOes, o local foi 
mantido mais on menos livre da água corn o uso de muitas bombas (con uso di molte tro in be). 
Quando as fundaçOes estavam completamente terminadas, sua estabilidade foi posta em dii-
vida pelos céticos. Em particular, o mestre responsável foi repreendido por ter usado estacas 
muito curtas ou estacas insuficientemente cravadas. Foi feita uma investigaçao durante a qual 
o mestre teve oportunidade de mostrar que as estacas estavarn corretamente cravadas. Uma 
testemunha atestou que as estacas foram cravadas ate urna penetraçao não major que 2 dedos 
para 24 golpes. 
Em 1485, o italiano Leon Bathista Alberti publica urn tratado de construcao, De re aedifi-
catoria, corn algurnas especificacoes referentes as estacas: a largura do estaquearnento deve ser 
igual ao dobro da largura da parede a ser suportada; o comprimento das estacas não deve ser 
menor de 1/8 da altura da parede e o diârnetro não deve ser rnenor de 1/12 do comprimento das 
estacas. 
No final do século XVIII o engenheiro frances Jean Rodoiphe Perronet, responsável pela 
construção das farnosas pontes de Neuilly e da Concórdia sobre o Sena, publicou urn ensaio "Sur 
les pieux et sur les pilots ou pilotis" no qual se encontrarn, aldrn de regras priticas sobre corn-
primento, seçao transversal, espacarnento e qualidade das estacas, algurnas indicacoes sobre a 
resistência a cravacao: 
As estacas devern ser cravadas ate que a penetraçao para os Ultimos 25 a 30 golpes nao seja 
major que 1/12 a 1/6 de polegada on 1/2 polegada no caso das estacas menos carregadas. A 
força de cravaçao do martelo é proporcional a altura de queda, porém nao