Exercicios Probabilidade e Estatística

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Universidade Federal do Paraná - Departamento de Estat́ıstica
Projeto de Extensão Estat́ıstica com Recursos Computacionais
Lista de Exerćıcios: Caṕıtulo 2
1. (Exatas/Tecnológicas) Uma companhia produz circuitos em três fábricas,
I, II e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III
produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito inte-
grado produzido por essas fábricas não funcione são 0,01; 0,04; e 0,03;
respectivamente.
(a) Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual
a probabilidade de o mesmo não funcionar?
(b) Suponha agora que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso.
Determine qual a probabilidade de ele ter sido fabricado por I.
2. (Exatas/Técnológicas) Discos de policarbonato plástico, provenientes
de um fornecedor, são analisados com relação à resistência a arranhões
e choque. Os resultados de 100 discos estão resumidos a seguir:
Resistência Resistência a choque
a arranhão Alta Baixa
Alta 80 9
Baixa 6 5
Faça A denotar o evento em que um disco tenha alta resistência a
choque e faça B denotar o evento em que um disco tenha alta resistência
a arranhão. Determine as seguintes probabilidades:
a. P(A);
b. P(B);
c. P(A/B);
d. P(B/A).
3. (Exatas/Técnológicas) Amostras de uma peça de alumı́nio fundido
são classificadas com base no acabamento (em micropolegadas) da su-
perf́ıcie e nas medidas de comprimento. Os resultados de 100 peças são
resumidos a seguir:
Acabamento Comprimento
da superf́ıcie Exelente Bom
Excelente 75 7
Bom 10 8
1
Faça A denotar o evento em que um disco tenha excelente acabamento
na superf́ıcie e faça B denotar o evento em que um disco tenha excelente
comprimento. Determine:
a. P(A);
b. P(B);
c. P(A/B);
d. P(B/A).
e. Se a peça selecionada tiver excelente acabamento na superf́ıcie, qual
será a probabilidade do comprimento ser excelente?
f. Se a peça selecionada tiver bom comprimento, qual será a probabi-
lidade de que o acabamento na superf́ıcie seja excelente?
4. (Exatas/Técnológicas)A análise de eixos para um compressor está re-
sumida de acordo com as especificações:
Obedece ao acabamento Obedece ao aspecto arredondado
da superf́ıcie Sim Não
Sim 345 5
Não 12 8
a. Se soubermos que um eixo satisfaz o requerimento de aspecto ar-
redondado, qual será a probabilidade de que o eixo atenda aos
requerimentos de acabamento na superf́ıcie?
b. Se soubermos que um eixo não satisfaz o requerimento de aspecto
arredondado, qual será a probabilidade de que o eixo selecionado
atenda aos requerimentos de acabamento na superf́ıcie?
5. (Biológicas) Num peŕıodo de um mês, 100 pacientes sofrendo de deter-
minada doença foram internados em um hospital. Informações sobre
o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final
estão no quadro abaixo.
Tratamento A B Soma
Cura total 24 16 40
Cura parcial 24 16 40
Morte 12 8 20
Soma 60 40 100
a. sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a proba-
bilidade de o paciente escolhido:
a1. ter sido submetido ao tratamento A;
2
a2. ter sido totalmente curado;
a3. ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado;
b. os eventos (morte) e (tratamento A) são independentes ? Justificar.
c. sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de que:
c1. tenham recebido tratamentos diferentes ?
c2. pelo menos um deles tenha sido curado totalmente ?
6. (Biológicas) Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de
refeições: salada completa ou um prato à base de carne. Considere
que 20% dos fruegueses do sexo masculino preferem a salada, 30% das
mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses são homens e os seguinte
eventos:
H: Freguês é homem; M: Freguês é mulher; A: Freguês prefere salada;
B: Freguês prefere carne
Calcular:
(a) P(H), P(A/H), P(B/M);
(b) P(A∩H), P(A∪H);
(c) P(M/A)
7. (Biológicas) É bem conhecido que daltonismo é hereditário. Devido
ao fato do gene responsável ser ligado ao sexo, o daltonismo ocorre
mais frequentemente nos homens do que nas mulheres. Numa grande
população humana, a distribuição de daltonismo da cor vermelha-verde
segundo sexo foi:
Daltonismo Masculino Feminino Total
Presente 4,23% 0,65% 4,88%
Ausente 48,48% 46,64% 95,12%
Total 52,71% 47,29% 100,00%
Uma pessoa é escolhida, ao acaso, dessa população. Calcule a proba-
bilidade de ela ser:
a. Daltônica;
b. Do sexo feminino;
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c. Daltônica sabendo-se que é do sexo feminino;
d. Daltônica sabendo-se que é do sexo masculino.
8. (Biológicas) Um grupo de pessoas foi classificado quanto a peso e
pressão arterial de acordo com as proporções mostradas na tabela
abaixo.
Pressão arterial Peso Excesso Peso Normal Peso Deficiente Total
Elevada 0,10 0,08 0,02 0,20
Normal 0,15 0,45 0,20 0,80
Total 0,25 0,53 0,22 1,00
a. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso naquele
grupo ter pressão elevada?
b. Considerando que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual
a probabilidade de ter também pressão elevada?
c. Qual a probabilidade da pessoa ter excesso de peso dado que
tem pressão elevada?
9. (Biológicas) Wiener et al. (1979) compararam os resultados do teste er-
gométrico de tolerância a exerćıcios entre indiv́ıduos com e sem doença
coronária. O teste foi considerado positivo quando se observou mais
de 1mm de depressão ou elevação do segmento ST, por no mı́nimo
0,08s, em comparação com os resultados obtidos com os pacientes em
repouso. O diagnóstico definitivo foi feito através de angiografia. A ta-
bela abaixo é o resultado do teste ergométrico de tolerância a exerćıcios
em 1465 pessoas.
Doença Coronáriana Teste Positivo (T+) Teste Negativo (T−) Total
Presente (D+) 815 208 1023
Ausente (D−) 115 327 442
Total 930 535 1465
a. A probabilidade do teste ser positivo sabendo-se que o paciente
que está sendo examinado é doente.
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b. A probabilidade de o teste ser negativo sabendo-se que o paciente
examinado não é portador da doença.
10. (Biológicas) Lind e Singer (1986) estudaram a qualidade da tomogra-
fia computadorizada para o diagnóstico de metástase de carcinoma de
f́ıgado, obtendo os resultados da tabela abaixo. Um total de 150 paci-
entes foram submetidos a dois exames: a tomografia computadorizada
e a laparotomia. Este último é tomado como padrão ouro, ou seja,
classifica o paciente sem erro.
Metástase Tom. Positiva (T+) Tom. Negativo (T−) Total
Presente (D+) 52 15 67
Ausente (D−) 9 74 83
Total 61 89 150
Calcule:
a. A probabilidade do teste ser positivo sabendo-se que o paciente
que está sendo examinado é doente.
b. A probabilidade de o teste ser negativo sabendo-se que o paciente
examinado não é portador da doença.
c. Para uma população cuja prevalência de metastáse de carci-
noma de f́ıgado é de 2%, quais é probabilidade do paciente estar
realmente doente quando o resultado do teste é positivo e a proba-
bilidade do paciente não estar doente quando o resultado do teste
é negativo.
11. (Biológicas) A detecção precoce do câncer cervical uterino é crucial
para o tratamento e cura da paciente. O papanicolau é um dos tes-
tes utilizados nos diagnósticos. Na tabela abaixo temos os resultados
deste teste para 600 mulheres. As mulheres foram classificadas como
portadoras ou não da doença atráves de biópsia cervical.
Paciente Positivo Negativo Total
Com câncer 94 6 100
Sem câncer 250 250 500
Total 344 256 600
Calcule:
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a. A probabilidade do papanicolau ser positivo sabendo-se que o
paciente que está sendo examinado é doente.
b. A probabilidade do papanicolau ser negativo sabendo-se que o
paciente examinado não é portador da doença.
c. Qual é probabilidade do paciente estar realmente doente quando
o resultado do teste é positivo
d. Qual é a probabilidade do paciente não estar doente quando o
resultado do teste é negativo..
12. (Biológicas) A creatinina fosfocinase (CFC) é um marcador para o di-
agnóstico de infarto agudo do miocárdio. Pacientescom infarto agudo
no miocárdio apresentam valores elevados de CFC. A tabela a seguir
apresenta os valores de CFC para 360 pacientes de um hospital do
coração, sendo 230 com infarto agudo do miocárdio.
Valores de CFC Infarto agudo Não Infarto agudo Total
CFC < 80 15 114 129
80 ≤ CFC < 280 118 15 133
CFC ≥280 97 1 98
Total 230 130 360
a. Considerando como resultado positivo valores de CFC maiores
ou iguais a 80 (teste 1), calcule:
a1. A probabilidade do teste ser positivo sabendo-se que o paciente
que está sendo examinado é doente.
a2. A probabilidade do teste ser negativo sabendo-se que o paciente
examinado não é portador da doença.
b. Considerando como resultado positivo valores maiores ou iguais
a 280 (teste 2), calcule:
b1. A probabilidade do teste ser positivo sabendo-se que o paciente
que está sendo examinado é doente.
b2. A probabilidade do teste ser negativo sabendo-se que o paciente
examinado não é portador da doença.
c. Considerando que a prevalência de infarto em hospitais do coração
seja aproximadamente igual a desse estudo, calcule:
c1. A probabilidade do paciente estar realmente doente quando o
resultado do teste é positivo.
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c2. A probabilidade do paciente não estar doente quando o resultado
do teste é negativo.
13. (Biológicas) Dor persistente no tendão de Aquiles (tendão calcanear)
durante mais de seis meses pode ser causada por ruptura parcial do
tendão. Essa lesão é geralmente refratária a tratamento conservador,
sendo frequente a necessidade de intervenção cirurgica para aĺıvio da
dor. Para avaliar o valor diagnóstico da ultrasonografia nesses casos,
37 pacientes tiveram seus achados do exame pré-operatório comparados
com os da cirurgia. Os 30 resultados positivos encontrados na ultra-
sonografia foram confirmados, mas dos 7 resultados negativos 2 eram
na realidade positivos.
a. A probabilidade da ultra-sonografia para o diagnóstico da rup-
tura do tendão de Aquiles ser positivo sabendo-se que o paciente
que está sendo examinado é doente.
b. A probabilidade da ultra-sonografia para o diagnóstico da rup-
tura do tendão de Aquiles ser negativo sabendo-se que o paciente
examinado não é portador da doença.
14. (Humanas) De 100 pessoas com MBA no ano passado, em uma grande
empresa, 40 possuiam experiência anterior e 30 possuiam certificado
profissional internacional, vinte tinham tanto experiência anterior como
certificado internacional e foram incluidos na contagem dos dois grupos.
Qual é a probabilidade de um candidato ser escolhido ao acaso e ter
experiência ou certificado profissional?
15. (Humanas) Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que
2.000 segurados (1.000 homens e 1.000 mulheres) usaram o hospital.
Os resultados são apresentados na tabela:
Homens Mulheres
Usaram o Hospital 100 150
Não Usaram o Hospital 900 850
(a) Qual a probabilidade de que uma pessoa segurada use o hospital?
(b) O uso do hospital independe do sexo do segurado?
(c) A pessoa segurada é um homem, qual a probabilidade de que ele
use o hospital?
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16. Nos últimos anos, as empresas de cartões de crédito intensificaram es-
forços no sentido de abrir novas contas para alunos de faculdade. Su-
ponha que uma amostra de 200 alunos em sua faculdade apresentam
as seguintes informações em termos do aluno possuir ou não cartão de
crédito bancário e/ou cartão de crédito de viajem e entreterimento.
Cartão de crédito Cartão de viajem e entreterimento
Sim Não
Sim 60 60
Não 15 65
Se um aluno é selecionado aleatóriamente, qual a probabilidade de:
a. O aluno possua um cartão de crédito bancário?
b. O aluno não possua um cartão de crédito bancário?
c. O aluno possua um cartão de crédito de viajem e entreterimento?
d. O aluno não possua um cartão de crédito de viajem e entreteri-
mento?
e. O aluno possua um cartão de crédito e um cartão de viajem e
entreterimento?
f. O aluno não possua um cartão de crédito e possua um cartão de
viajem e entreterimento?
17. Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição:
Homens Mulheres
Menores 5 3
Adultos 5 2
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de ser homem?
b. Qual a probabilidade de ser adulto?
c. Qual a probabilidade de ser menor ou mulher?
d. Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade
de ser menor?
18. Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiação
partidária, a seguinte composição:
8
Partido X Partido Y
Homens 21 39
Mulheres 14 26
Calcular:
a. A probabilidade de um escolhido ser homem.
b. A probabilidade de um escolhido ser mulher do partido Y.
c. A porcentagem dos partidários do Y.
d. A porcentagem dos homens filiados a X.
e. Se o sorteado for do X, qual a probabilidade de ser mulher.
f. Se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser do Y.
g. A probabilidade de ser do partido X ou Y.
19. A tabela a seguir, que resume os dados de 985 mortes de pedestres que
foram causadas por acidentes (com base em dados da Administração
Americana de Segurança de Tráfego nas Rodovias).
Pedestre
Motorista Embreagado Não Embreagado
Embreagado 59 79
Não Embreagado 266 581
Calcular:
a. A probabilidade de o pedestre estar embreagado ou o motorista
estar embreagado.
b. A probabilidade de o pedestre nao estar embreagado ou o motorista
não estar embreagado.
c. A probabilidade de o pedestre estar embreagado ou o motorista
não estar embreagado.
d. A probabilidade de o motorista estar embreagado ou o pedestre
não estar embreagado.
Referências
[1] Montgomery, Douglas C.. Probabilidade e Estatistica na Engenha-
ria. editora: LTC quarta edição
9
[2] Morettin, Luiz Gonzaga. Estat́ıstica Básica volume 1. editora: Ma-
kron Books sétima edição
[3] Martins, G. A. Estat́ıstica Geral. Editora Atlas, terceira edição.
[4] Soares, José Francisco de Siqueira, Arminda Lucia. Introdução à
Estat́ıstica Médica. Editora COOPMED segunda edição.
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