Artigo sobre Cisalhamento Estruturas I Danilo Alves Aguena

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Artigo 
de Estruturas I 
Cisalhamento 
 
 
 
Ano 
2020 
Danilo Alves Aguena 
Faculdade de Tecnologia de São Paulo 
Ano 2020 
Estruturas I Cisalhamento 
Elaborado por Danilo Alves Aguena 
 
Calcular a armadura de cisalhamento de uma viga de dimensões b = 19cm e d = 44cm para um esforço 
cortante igual a 140kN, dado: concreto C25 e aço CA50 e estribo Ø 8,0mm. 
 
Vsd < Vrd2 
 
Para o cálculo de Vsd faremos da seguinte forma: 
 
Vsd = 𝛄f x V 
Vsd = 1,4 x 140kN 
Vsd = 196kN 
 
Para o cálculo de Vrd2 utilizaremos como unidade para fck o kN/cm² desenvolvendo na fórmula: 
 
Vrd2 = 0,27 x 1 – fck x fcd x b x d 
 25 
 
Vrd2 = 0,27 x 1 – 2,5 x 2,5 x 19 x 44 
 25 1,4 
 
Vrd2 = 362,76kN 
Na calculadora: 
 
Vrd2 = 0,27 x ( 1 – ( 2,5 / 25 ) ) x ( 2,5 / 1,4 ) x 19 x 44 
 
Vrd2 = 362,76kN 
 
Concluímos que as bielas resistem. 
Vsd < Vrd2 
196kN < 362,76kN 
 
 
Para o cálculo de Vc manteremos o fck com a unidade em MPa. 
 
Vc = [ 0,09 x fck 2/3 x b x d ] 
Vc = [ 0,09 x 25 2/3 x 19 x 44 ] 
Vc = 643,29MPa 
Vc = 64,33kN 
Na calculadora: 
Vc = 0,09 x 25 ^( 2/3 ) x 19 x 44 
Vc = 643,29MPa 
Vc = 64,33kN 
 
Agora que obtemos os valores para Vc, Vrd2 e Vsd podemos avaliar em qual das 3 condições devemos 
utilizar para continuidade do exercício. 
 
1° Condição 
Vsd ≤ Vrd2 se essa condição for valida teremos Vco = Vc 
 
2° Condição 
Vc < Vsd < Vrd2 se essa condição for valida teremos Vco = Vc x Vrd2 - Vsd 
 Vrd2 - Vc 
3° Condição 
Vsd = Vrd2 se essa condição for valida teremos Vco = 0 
 
Tendo em vista os valores que obtemos a 2° condição é a que determinaremos para dar continuidade ao 
cálculo. 
 
Vc < Vsd < Vrd2 
64,33kN < 196kN < 362,76kN 
 
2° Condição 
Vc < Vsd < Vrd2 se essa condição for valida teremos Vco = Vc x Vrd2 - Vsd 
 Vrd2 - Vc 
 
Agora que descobrimos a qual condição pertence nosso cálculo descobriremos Vco com a fórmula a seguir: 
 
Vco = Vc x Vrd2 - Vsd 
 Vrd2 - Vc 
 
 
Vco = 64,33 x 362,76 - 196 
 362,76 - 64,32 
 
Vco = 35,95kN 
Na calculadora: 
 
Vco = 64,33 x ( ( 362,76 – 196 ) / ( 362,76 – 64,32 ) ) 
 
Vco = 35,95kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 de Agosto de 2020 
Deus seja louvado! 
Estruturas I Cisalhamento 
Elaborado por Danilo Alves Aguena 
 
Agora descobriremos o Vsw confira a seguir: 
 
Vsw = Vsd – Vco 
Vsw = 196kN – 35,95kN 
Vsw = 160,05kN 
 
Devemos descobrir a taxa de armadura mínima, pela fórmula: 
ρ swmín = 0,2 x 0,3 x fck 2/3 x 100 
 fyk 
 
Para o fck e fyk adotaremos como unidade o MPa onde: fck = C25 = 25MPa e fyk = CA50 = 500MPa 
 
ρ swmín = 0,2 x 0,3 x 25 2/3 x 100 
 500 
ρ swmín = 0,1026% 
 
Na calculadora: 
ρ swmín = ( ( 0,2 x 0,3 x 25 ^ ( 2/3 ) ) / 500 ) x 100 
ρ swmín = 0,1026% 
 
Agora descobriremos a taxa de armadura, vamos comparar com a taxa mínima de armadura: 
 
ρ sw = Vsw 
 0,9 x b x d x fyd 
ρ sw = 160,05 x 100 
 0,9 x 19 x 44 x 50 
 1,15 
ρ sw = 0,4893% 
 
Na calculadora: 
 
ρ sw = ( 160,05 / ( 0,9 x 19 x 44 x ( 50 / 1,15 ) ) x 100 
 
ρ sw = 0,4893% 
 
Agora faremos a comparação, a taxa mínima de armadura deverá ser sempre menor que a taxa de 
armadura: 
 
ρ sw > ρ swmín 
0,4893% › 0,1026% 
 
Teremos agora que analisar nossa escolha do próximo passo avaliando onde nosso cálculo será mais bem 
aplicado utilizando uma das duas opções abaixo: 
 
7cm ≤ S ≤ Smáx 
 
Vsd ≤ 0,67 
Vrd2 
Para tal temos: Smáx ≤ 0,6 x d 
 30cm 
 
 
Vsd > 0,67 
Vrd2 
Para tal temos: Smáx ≤ 0,3 x d 
 20cm 
 
 
Vsd = 196 = 0,54 ≤ 0,67 
Vrd2 362,76 
 
Sendo assim escolheremos o Smáx de menor valor, ou seja: 0,6 x d ∴ 0,6 x 44cm = 26,4cm 
 
7cm ≤ S ≤ Smáx 
7cm ≤ S ≤ 26,4cm 
 
Como b ≤ 40cm teremos uma viga com dois ramos, observando podemos definir o S que é o espaçamento 
entre os estribos na viga pela seguinte fórmula: 
 
S = Ast Ast = 2 x As ∴ Ast = 2 x 0,5cm²; pois a área da barra de Ø 8mm é As = 0,5cm² 
 ρsw x b 
 
Onde o Ast são os dois ramos do estribo vezes a área da seção transversal da barra de aço em centímetros 
quadrados que estão pré estabelecidos na tabela da próxima página, se fossem 4 ramos ou 8 ramos 
seguiríamos com o mesmo raciocínio, lembrando que estamos desenvolvendo este exercício com barras de 
Ø 8,0mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estruturas I Cisalhamento 
Elaborado por Danilo Alves Aguena 
 
Outra observação é que para a taxa de armadura ρsw que até o momento está em porcentagem, deverá ser 
dividida por 100 para continuarmos o cálculo, sendo assim: 
 
 
S = Ast 
 ρsw x b 
 
S = 2 x As 
 0,4893 x 19 
 100 
S = 2 x 0,5 
 0,4893 x 19 
 100 
S = 11cm 
 
 
A resposta para esse exercício de cisalhamento é que teremos estribos 
com diâmetro de 8,0mm e espaçamento entre os estribos de 11cm com 
dois ramos cada estribo. 
 
Resposta: E Ø 8,0 com / 11cm ( 2 R ) 
 
 
Agora veremos de um modo inverso nos cálculos para chegarmos ao V [ característico ] que nos permite 
chegar a um cálculo que visa a economia de armadura de cisalhamento. Para esse exemplo teremos como 
comprimento da viga de eixo a eixo de cada pilar 500cm. 
 
Utilizando na fórmula abaixo a taxa de armadura mínima ( ρ swmín ) veremos que chegaremos a um valor 
muito maior do que o espaçamento máximo ( Smáx ). 
 
 
S = Ast 
 ρswmín x b 
 
S = 2 x As 
 0,1026 x 19 
 100 
S = 2 x 0,5 
 0,1026 x 19 
 100 
S = 51,29cm 
 
 
S = 51,29cm > Smáx = 26,4cm 
Agora na fórmula da taxa de armadura iremos modificar o ρ sw por ρ swmín e isolando o Vsw chegaremos a 
um novo valor: 
ρ sw = Vsw 
 0,9 x b x d x fyd 
ρ swmín = Vsw 
 0,9 x b x d x fyd 
ρ swmín x 0,9 x b x d x fyd = Vsw 
 
Vsw = 0,1026 x 0,9 x 19cm x 44cm x 50kN/cm² 
 100 1,15 
 
Vsw = 33,56kN 
 
Agora vamos descobrir um novo Vsd: 
 
Vsw = Vsd – Vco 
Vsw + Vco = Vsd 
Vsd = 33,56kN + 35,95kN 
Vsd = 69,51kN 
 
Para nosso V [ característico ] faremos: 
 
Vsd = 𝛄f x V 
Vsd / 𝛄f = V 
V = 69,51kN / 1,4 
V [ característico ] = 49,65kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 de Agosto de 2020 
Deus seja louvado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para essa ilustração utilizaremos somente metade 
do diagrama de força cortante, observe a 
ilustração completa na próxima página. 
Realizando o cálculo por semelhança de triângulos 
encontraremos o valor da base do triângulo menor: 
 
140kN = 49,65kN 
250cm x 
 
x . 140kN = 250cm . 49,65kN 
 
x = 250cm . 49,65kN140kN 
 
x = 88,66cm 
Tabela para a área do aço 
Ø (mm) As (cm²) 
6,3 0,315 
8 0,5 
10 0,8 
12,5 1,25 
16 2,0 
20 3,15 
25 5,0 
 
 
 
 
V = 140kN 
V [característico] 
49,65kN 
 250cm 
 Cisalhamento
V = 140kN
V = - 140kN
(+)
V
(-)
49,65kN
500cm
14 de Agosto de 2020
Deus seja louvado!
250cm
88,66cm
 Elaborado por Danilo Alves Aguena