Atividade 3 - Calc Num Comp (Felipe Rodrigues)[12300]

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Implementação dos Métodos Numéricos para Resolução de 
Equações Unidade 01 
Disciplina (s) Cálculo Numérico Computacional 
Data da 
última 
atualização 
03/02/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio de métodos numéricos para obtenção de raízes de equações (Métodos 
Gráfico, Bisseção, Newton, Iteração Linear). 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. Consulte o material de apoio (e-book unidade 1). 
II. Equipamentos, materiais, reagentes ou produtos 
Descrição Quantidade 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
Computador ou Notebook 1 
III. Introdução 
Existem alguns métodos numéricos para a obtenção de raízes de equações. As técnicas numéricas nos fornecem 
soluções próximas da solução exata. De modo geral, esses métodos geram uma sequência de números reais, que se 
aproximam de uma raiz exata da equação. Para a aplicação dos métodos, podemos utilizar recursos computacionais 
acessíveis e de fácil manuseio, como Excel e o software GeoGebra. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Aplicar o método da iteração linear para determinar uma aproximação refinada para uma raiz de uma função. (
Capstone) 
▪ Realizar o refinamento da raiz através dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
▪ Avaliar as vantagens e desvantagens dos métodos da bisseção, de Newton e da iteração linear. 
 
 
 V. Experimento 
ETAPA 1: Método Gráfico 
 
1. Utilizando o Método Gráfico, determine a quantidade e os sinais das raízes da função: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 20𝑥 + 30. 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico da função plotado no Geogebra, a função apresentara 3 raízes, sendo duas de sinal 
positivo e uma de sinal negativo. 
Aplicando o método gráfico, temos o seguinte: 
x g(x) h(x) 
-5 -175 -130 
-4 -96 -110 
-3 -45 -90 
-2 -16 -70 
-1 -3 -50 
0 0 -30 
1 -1 -10 
2 0 10 
3 9 30 
4 32 50 
5 75 70 
 
Ou seja, o método gráfico reafirma as raízes observadas no gráfico plotado. Onde tem-se 3 raízes nos intervalos 
{-5;-4} , {1;2} e {4;5}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Compare as respostas obtidas no item anterior a partir da utilização do Software GeoGebra 
(https://www.geogebra.org/). Use as mesmas funções escolhidas para 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥). 
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 
f(x) = x³-2x² - 20x + 30 g(x) = x³-2x² h(x) = 20x-30 
 
 
ETAPA 2: Método da Bisseção 
 
3. No Excel, sem utilizar a função “SE”, aplique o Método da Bisseção para calcular a quinta (𝑥4) aproximação 
da raiz positiva da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 10. Para tanto, isole a raiz num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 naturais) de 
comprimento 1, isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1. 
 𝑥4 𝑓(𝑥4) |𝑥4 − 𝑥3| 
3,15625 -0,038085938 0,03125 
 
4. Agora, fazendo uso da função “SE”, calcule a trigésima (𝑥29) aproximação da raiz. 
 𝑥29 𝑓(𝑥29) |𝑥29 − 𝑥28| 
3,1622776594012900 -4,85145E-09 1,86265E-09 
 
5. Calcule √10 com uma calculadora científica e compare o valor encontrado com 𝑥29. 
 
Valor calculado pela calculadora científica: 
3,1622776601683793319988935444327 
 
Valor calculado pelo método de bisseção: 
3,1622776594012900 
 
A diferença entre os valores encontrados é de: 0,000000024% 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
ETAPA 3: Método de Newton 
 
6. No Excel, isolando a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4 num intervalo [𝑎, 𝑏] (𝑎 e 𝑏 inteiros) de comprimento 1, 
isto é, 𝑏 − 𝑎 = 1 e utilizando o Método de Newton, complete o quadro abaixo: 
 𝜀 (Tolerância) Nº mínimo de 
iterações 
𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛) 10−1 2 -2,354305393 -0,000169475 10−4 3 -2,354242759 -1,38967E-09 10−9 4 -2,354242758 0 
 
7. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) e determinar sua raiz. Em seguida, compare suas 
respostas para a raiz encontrada no caso em que a tolerância é 𝜖 ≤ 10−9. 
 
 
 
 
 
 
Conforme gráfico acima, plotado no Geogebra, a raíz da função é -2,3542427583668. 
A raíz encontrada utilizando o método de Newton é -2,354242758. 
 
A diferença entre os valores é de: 0,0000000155% 
 
 
ETAPA 4: Método da Iteração Linear 
 
 
8. Em relação ao Método da Iteração Linear, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥) e 𝑥0 = 0,5. Justificando 
sua resposta, quais as possibilidades para a função de iteração 𝐹(𝑥)? 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) ⁡ = ⁡𝑥³⁡ − ⁡𝑐𝑜𝑠⁡(𝑥) 𝑥³⁡ − ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) ⁡ = ⁡0 𝑥³⁡ = ⁡𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝐹(𝑥) ⁡ = ⁡ ∛cos⁡(𝑥) 
 
 
Justificando a função de iteração acima através da aplicação do método de Iteração Linear no Excel: 
 
n Xn F(Xn) En 
0 0,5 0,95740567 
1 0,95740567 0,831861746 0,45740567 
2 0,831861746 0,876555383 0,125543924 
3 0,876555383 0,861685113 0,044693638 
4 0,861685113 0,866753875 0,014870271 
5 0,866753875 0,865039927 0,005068762 
6 0,865039927 0,86562107 0,001713948 
7 0,86562107 0,865424206 0,000581143 
8 0,865424206 0,865490915 0,000196864 
9 0,865490915 0,865468313 6,67092E-05 
10 0,865468313 0,865475971 2,26026E-05 
11 0,865475971 0,865473376 7,65858E-06 
12 0,865473376 0,865474256 2,59497E-06 
13 0,865474256 0,865473958 8,7926E-07 
14 0,865473958 0,865474059 2,97922E-07 
15 0,865474059 0,865474024 1,00946E-07 
16 0,865474024 0,865474036 3,42036E-08 
17 0,865474036 0,865474032 1,15893E-08 
18 0,865474032 0,865474033 3,92683E-09 
19 0,865474033 0,865474033 1,33054E-09 
20 0,865474033 0,865474033 4,5083E-10 
 
 
 
 
 
 
9. Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − cos⁡(𝑥), 𝑥0 = 0,5 e uma função de iteração 𝐹(𝑥) convenientemente escolhida. No Excel, 
levando em consideração a sequência de raízes 𝑥𝑛, complete a tabela abaixo: 
 𝑥𝑛 Raiz aproximada 𝑓(𝑥𝑛) Erro (|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1|) 𝑥5 0,866753875 0,865039927 0,005068762 𝑥15 0,865474059 0,865474024 1,00946E-07 𝑥18 0,865474032 0,865474033 3,92683E-09 𝑥32 0,865474033 0,865474033 9,99201E-16 
 
 
 
 
 
10. Use o GeoGebra para esboçar o gráfico da função 𝑓(𝑥) determinar sua raiz. Por fim, compare suas respostas 
para a raiz encontrada (𝑥32). 
 
 
 
Conforme gráfico acima, plotado no Geogebra, a raíz da função é 0,8654740342229. 
A raíz encontrada utilizando o método de iteração linear é 0,865474033. 
 
A diferença entre os valores é de: 0,0000001413% 
 
 
 
VI. Avaliação do experimento 
 
O experimento acima demonstrou, através da pratica, a aplicabilidade de cada um dos métodos numéricos de 
determinação de raízes de equação para funções complexas lineares e polinomiais. 
Estes métodos envolvem processos que se aproximam das raízes a cada passo. Como em todos os processos 
iterativos, devem ser estabelecidos critérios de parada, isto é, a partir de alguma regra específica, devemos ser 
capazes de determinar o momento de encerrar a aplicação do método, obtendo a raiz com a precisão desejada. 
Ademais antes da aplicação de cada um destes métodos, é necessário verificar se são atendidos os parâmetros de 
aplicação para cada caso. 
 
Enfim, todos os métodos testados se mostraram eficazes em sua aplicação, onde uns são mais rápidos e outros 
mais lentos. 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
BARROSO, L. C; BARROSO, M. M. A.; FILHO, F. F. C.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. L. Cálculo Numérico com aplicações; 
2ª Edição. São Paulo; Harbra, 1987