Apostila Resistencia dos Materiais I - Aulas 1 a 4_20160804-2209

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Mecânica dos Sólidos I
Prof. Paulo Sergio de BortoliReferência. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. Pearson Prentice-Hall.
4ª. Feira – 19:10 às 20:50 Sala 26 Prédio Tecnológico
6ª. Feira – 19:10 às 20:50 Sala 5 Prédio TecnológicoResistência dos Materiais I
Prof Paulo Sergio de Bortoli
Última alteração: 04/08/2016 17:46:23
4
Mecânica dos Sólidos I
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Resistência dos Materiais I
Curso de Graduação em Engenharia Civil
Prof. Paulo Sergio de Bortoli
Email: paulo.bortoli@uvv.br
+55 27 99243-4322
5
Mecânica dos Sólidos I
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1º
. B
im
es
tr
e
2º
. B
im
es
tr
e
Mecânica 
dos Sólidos I
Prof. M.Sc. Paulo Sergio de Bortoli
paulo.bortoli@uvv.br
+55 27 99243-4322
Aula 01
25/07/2016
Acumulado 02/80
Plano MecSóldos 
I
► Apresentação do curso 01h 01/80
► Tensão 04h 05/80
Deformação 01h 06/80
Propriedades mecânicas dos materiais 02h 08/80
Cargas axiais 16h 24/80
Torção 16h 40/80
Flexão 20h 60/80
Cisalhamento transversal 10h 70/80
Introdução ao Círculo de Mohr 10h 80/80
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METODOLOGIA
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CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Pontuação final:
N1 = (0,8*Prova 1 + 10%*Trabalho 1 + 10%*Workshop 1)
N2 = (0,8*Prova 2 + 10%*Trabalho 2 + 10%*Workshop 2)
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 Provas
 As provas são individuais.
 O aluno deverá assinar sua folha de questões.
 O aluno deverá identificar todas as folhas que utilizar para resolver as
questões, ou seja, escrever seu nome, nome da disciplina, identificação da
prova, data.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
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CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
Workshops
 Objetivo: integrar assuntos desenvolvidos em sala de aula com algumas
situações práticas observadas no dia-a-dia.
 Duração por grupo: 15 minutos (máximo)
 Componentes por grupo: 04 alunos (máximo)
 Apresentação em PowerPoint contendo no mínimo 5 slides. Sugestão:
 Slide 01. Título e nomes dos participantes.
 Slide 02. Descrição do problema contendo texto, fotos, figuras.
 Slide 03. Diagrama de corpo livre.
 Slide 04. Memorial de cálculo.
 Slide 05. Análise dos resultados obtidos.
 Slide 06. Conclusão.
 Em caso de falta na data de apresentação. O aluno que faltar no dia da
apresentação receberá nota igual a 50% da nota recebida pelo grupo.
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 Exercícios no Blog
 Os trabalhos deverão ser entregues da seguinte maneira:
 O trabalho é individual.
 Cada aluno deverá imprimir e assinar a folha de questões
disponibilizada no Blog Acadêmico.
 Cada aluno deverá resolver todas as questões em folha formato A4.
 Cada aluno deverá grampear a folha de questões juntamente com as
folhas de exercícios resolvidos criando um único “bloco”, sendo que a
folha de questões deverá ser a primeira, ou seja, a capa.
 Mais detalhes na folha de questões.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
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INTERDISCIPLINARIDADE
Mecânica dos Sólidos
Derivada
Integral
Conceitos 
gerais
Projeções e 
perspectivas
Propriedades 
mecânicas
Diagramas de 
equilíbrio de 
forças, 
momentos
Matrizes, 
autovalores, 
autovetores
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Básicos:
 HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Prenctice-Hall - 5a. Edição, 2009.
 BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR, E. Russel; DEWOLF, John T. Mechanics of
Materials. Forth American Edition. McGraw-Hill Companies, Inc. 2006.
Complementares:
 BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. Resistência dos Materiais. São Paulo: McGraw-Hill - 3a.
Edição, 1995.
 CRANDALL, S.H.; DAHL, N.; LARDNER, T.J. An introduction to the mechanics of solids.
McGraw-Hill, 1972.
 JUVINAL, R.C.; MARSHEK, K.M. Fundamentos do projeto de componentes de
máquinas. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
 POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: McGraw-Hill, 1981.
 BOTELHO, M.H.C. Resistência dos Materiais: para entender e gostar. São Paulo: Edgard
Blücher, 2008.
 PROVENZA, F.; SOUZA, H.R. Resistência dos Materiais. São Paulo: Edgard Blücher,
1976.
 MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. São Paulo: Editora
Érica - 12a Edição Revisada.
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Conversão de unidades:
1 [pé] = 12” = 12 [pol] = 12 [in] = 0,3048 [m]
1 [kip] = 1000 [lbf] = 453,5 [kgf] = 4,449 [kN]
1 [psi] = 6,895 [kPa]
1 [ksi] = 1000 [psi] = 6,895 [MPa]
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De nsida de Alonga mento
Coe fic ie nt
e
c oefic ient
e de
(mg/m³) % e m 
c orpo de
de 
Poisson
expa nsã o 
te rmica
prova de 
50 mm
tra nsve rsa
l
G (GPa)
100 0 10 00 - 16 0,3 6 9 ,4
0 ,3 2 12
Liga s de 
Titânio Ti- 6 A1- 4 A 4 ,4 3 120 4 4 9 24 9 2 4 -
7 0 3 - 8 00 8 0 0 - 22
5 17 - 40 0 ,2 7 17
Aço-
fe rra me nt
a L2
8,16 2 0 0 7 5 7 03
0,3 2 12
Inoxidá ve l 
30 4 7 ,8 6 193 7 5 2 07 2 0 7 - 5 17
2 5 0 - 4 00 4 0 0 - 30
Liga s de 
Aç o
Estrutura l 
A- 3 6 7 ,8 5 2 0 0 7 5 2 50
2 76 2 7 6 15 2 1 0,3 2 6
0,3 4 17
Liga s de 
Ma gné sio
AM 100 4 -
T61 1,83 44 ,7 18 15 2 152 -
3 4 5 - 6 55 6 5 5 - 20
2 4 1 - 35 0 ,3 5 18
Bronze 
C8 610 0 8 ,8 3 103 3 8 3 45
12
Liga s de 
Cobre
La tão 
ve rme lho 
C8 34 0 0
8 ,7 4 10 1 3 7 70 7 0 - 2 41
- 2 76 5 7 2 - 5 0 ,2 8
Ma leá ve l 
ASTM A-
19 7
7 ,2 8 172 6 8 - -
17 9 6 6 9 - 0 ,6 0 ,2 8 12
0,3 5 2 4
Liga s de 
Ferro 
Fundido 
Cinza 
ASTM 2 0 7,19 6 7 2 7 - - -
2 5 5 13 1 2 90 2 9 0 18 6 12
4 6 9 2 9 0 10 0,3 5 2 3
60 6 1- T6 2,7 1 68 ,9 2 6 2 55
c isa lha me
nto
Liga s de 
Alumínio 
Forjado
20 14 - T6 2 ,7 9 7 3,1 2 7 4 14 4 14 17 2 4 69
Ma te ria is
Módulo de 
e lastic idade Te nsão de esc oa me nto (MPa) Te nsã o última (MPa)
E (GPa ) tra çã o c ompre ssã o
c isa lha me
nto tra çã o
c ompre ss
ã o
FONTE: Internet
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Densidade Alonga mento
Coe fic ie nt
e
c oefic ie nt
e de
(mg/m³) % e m 
corpo de
de 
Poisson
e xpa nsã o 
termic a
prova de 
5 0mm
Ma de ira 
Estrutura l
de Alta 
Qua lidade
 
2 ,5 36 6 ,7 - 0 ,3 1Abe to Branco 3,6 9 ,65 - - -
2 ,1 26 6 ,2 - 0 ,2 9 -P inheiro 
Dougla s
0 ,4 7 13,1 - - -
 9 0  131 -   - 0 ,3 4  -
3 0% de 
vidro 1,4 5  7 2 ,4 -  -  -
7 17    483  2 0 ,3 2 ,8 0 ,3 4  -
- 0 ,15 11
P lástico 
Re forç ado
Keviar 4 9 1,4 5  131 -  -  -
11
Alta 
re sistência 2 ,3 8 2 9 - - 3 8 - - -
12 -   -  - - 0 ,15
c isa lhame
nto traç ã o
c ompre ss
ã o
c isa lhame
nto
Conc reto
Baixa 
re sistência 2 ,3 8 2 2,1 - -  
Ma teria is
Módulo de e la stic ida de Tensão de esc oa me nto (MPa ) Te nsã o última (MP a )
E (GP a)
transve rsa l
G (GP a) traç ã o
c ompre ss
ã o
FONTE: Internet
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Tração
Compressão
Cisalhamento
Torção
Flexão
Flambagem
Tipos de carregamento
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1º
. B
im
es
tr
e
2º
. B
im
es
tr
e
Mecânica 
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Aula 02
29/07/2016
Acumulado 04/80
► Apresentação do curso 01h 01/80
► Tensão 04h 05/80
Deformação 01h 06/80
Propriedades mecânicas dos materiais 02h 08/80
Cargas axiais 16h 24/80
Torção 16h 40/80
Flexão 20h 60/80
Cisalhamento transversal 10h 70/80
Introdução ao Círculo de Mohr 10h 80/80
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 34
34
Exemplo 1.5
Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal em B 
do cano. A massa do cano é de 2 kg/m e ele está sujeito a uma força vertical de 
50 N e a um momento de 70 N·m em sua extremidade ao final de A. O tubo está 
preso a uma parede em C.
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Ex
er
cí
ci
o 
pa
ra
 
En
ge
nh
ar
ia
 C
iv
il
Retornar ao Exemplo 1.5 (Hibbeler. Resistência dos Materiais, 7a. Edição).
Slide 34
Clique na figura
Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável
40
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Ex
er
cí
ci
o 
pa
ra
 
En
ge
nh
ar
ia
 C
iv
il
Problema 1.25 (Hibbeler. Resistência dos
Materiais, 7a. Edição). Determine as cargas
internas resultantes que agem na seção
transversal que passa pelo ponto B do poste
de sinalização. O poste está fixado ao solo,
e uma pressão uniforme de 50 N/m2 age
perpendicularmente à parte frontal da
placa de sinalização.
Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável
Resolver e entregar na aula!
42
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Ex
er
cí
ci
o 
pa
ra
 
En
ge
nh
ar
ia
 M
ec
ân
ic
a
Problema xx.xx (Hibbeler. Estática, 10a. Edição). As asas de um avião a jato
estão sujeitas cada uma a um arranque de T = 8 kN de sua turbina e à força de
elevação resultante L = 45 kN. Se a massa de uma asa é de 2,1 Mg e seu centro
de massa está em G, determine os componentes de reação x, y, z no ponto A,
local onde a asa é fixada na fuselagem
Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável
Resolver e entregar na aula!
43
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kN .21
kN .45
kN .8
Externas Forças






kP
kL
iT






jr
jr
kjr
P
L
T
.5
.15
.5,2.8
Posição Vetores
Solução Problema xx.xx (Hibbeler. Estática, 10a. Edição).
Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável
1. Escrever as forças vetoriais solicitantes e de reação no ponto “A”
2. Escrever o vetor posição de cada força solicitante e de reação em relação ao ponto “A”
3. Calcular os momentos das forças em relação ao apoio “A” (engastado)
4. Determinar as equações de equilíbrio entre as forças atuantes e as forças de reação no
ponto “A”
5. Determinar as equações de equilíbrio entre os momentos das forças atuantes e o
momento de reação no ponto “A”
44
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







iRiRiRR
kP
kL
iT
zyx AAAA
...
kN .21
kN .45
kN .8
Forças






jr
jr
kjr
P
L
T
.5
.15
.5,2.8
Posições








A
P
A
L
A
T
A
R
P
A
P
L
A
L
T
A
T
MMMM
PxrM
LxrM
TxrM
A
Momentos
Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável
00
Forças das Equilíbrio


 ARPLTF 00
Momentos dos Equilíbrio


 ARAPALATAF AMMMMM
Solução Problema xx.xx (Hibbeler. Estática, 10a. Edição)
continuação
45
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Tensão
Equilíbrio de um Corpo Deformável






kiR
Rkki
RPLTF
A
A
A
.24.8
0.21.45.8
00
Forças das Equilíbrio
00
Momentos dos Equilíbrio


 ARAPALATAF AMMMMM
x
z
y
Solução Problema xx.xx (Hibbeler. Estática, 10a. Edição)
continuação
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Apresentação do curso 01h 01/80
► Tensão 04h 05/80
► Deformação 01h 06/80
Propriedades mecânicas dos materiais 02h 08/80
Cargas axiais 16h 24/80
Torção 16h 40/80
Flexão 20h 60/80
Cisalhamento transversal 10h 70/80
Introdução ao Círculo de Mohr 10h 80/80
1º
. B
im
es
tr
e
2º
. B
im
es
tr
e
Mecânica 
dos Sólidos I
Prof. M.Sc. Paulo Sergio de Bortoli
paulo.bortoli@uvv.br
+55 27 99243-4322
Aula 03
01/08/2016
Acumulado 06/80
64
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m 0,3048 12" pé 1
kgf 453,5 lbf 1000 kip 1
MPa 6,895 ksi 1
kPa 6,895 psi 1
[ksi] quadrada polegadapor Quilolibra
[psi] quadrada polegadapor Libras
Segundo-Libras-Pésou Americano-Norte Sistema
][][N/m pascal
nalInternacio Sistema
2




 Pa
Tensão
Sistema de Unidades
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Análise do trecho AB
Análise do trecho BC
Análise do trecho CD
Forças internas em função do 
trecho analisado
Tensão normal média máxima
Tensão
Tensão normal média em uma barra com carga axial
Exemplo 1.6 (Hibbeler. Resistência dos Materiais, 7a. Edição). A barra
apresentada tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a
tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento
mostrado.
72
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Solução Exemplo 1.6 (Hibbeler. Resistência dos Materiais, 7a. Edição).
continuação
Tensão
Tensão normal média em uma barra com carga axial
   
(Resposta) 7,85
10.7,85
10.35.10.10
10.30
pascalou Paou 
m
N 
6
33
3
2
MPa
Pa
A
F









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79
Exemplo 1.12
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de 3.000 N. 
Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas 
definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano 
horizontal definido por EDB.
© 2009 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.slide 80
80
Solução:
As forças de compressão agindo nas áreas de contato são
 
  N 400.20000.3 ;0
N 800.10000.3 ;0
5
4
5
3




BCBCy
ABABx
FFF
FFF
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal secionado EDB é
N 800.1 ;0   VFx
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81
As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do 
elemento inclinado são
  
   (Resposta) N/mm 20,14050
400.2
(Resposta) N/mm 80,1
4025
800.1
2
2


BC
AB


   (Resposta) N/mm 60,04075
800.1 2
méd 
A tensão de cisalhamento média que age no plano 
horizontal definido por BD é
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82
Exemplo 1.14
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na figura abaixo. 
Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro exigido para o pino de aço 
em C se a tensão de cisalhamento admissível para o aço for . 
Note na figura que o pino está sujeito a cisalhamento duplo.
MPa 55adm
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83
Solução:
Para equilíbrio, temos:
      
 
  kN 3002515 ;0
kN 502515 ;0
kN 150125,025075,0152,0 ;0 
5
3
5
4
5
3






yyy
xxx
ABABC
CCF
CCF
FFM
O pino em C resiste à força resultante em C. Portanto,
    kN 41,30305 22 CF
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84
mm 8,18 
mm 45,246
2
 
m 1045,276
1055
205,15
2
26
3
adm
2









 
d
d
VA


O pino está sujeito a cisalhamento duplo, uma força de cisalhamento de 15,205 kN 
age sobre sua área da seção transversal entre o braço e cada orelha de apoio do 
pino.
A área exigida é
Use um pino com um diâmetro d = 20 mm. (Resposta)
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86
Exemplo 1.17
A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de 
diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1.800 mm2. 
Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e C estão submetidos a cisalhamento 
simples. Se a tensão de ruptura do aço e do alumínio forem e 
, respectivamente, e a tensão falha para cada pino for de 
, determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique 
um fator de segurança FS = 2.
  MPa 680
rupaço

  MPa 70rupal 
MPa 900rup 
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87
Solução:
As tenções admissíveis são:
   
   
MPa 450
2
900
FS
MPa 35
2
70
FS
MPa 340
2
680
FS
rup
adm
rupal
admal
rupaço
admaço









Há três incógnitas e nós aplicaremos as equações de equilíbrio
   
    (2) 075,02 ;0
(1) 0225,1 ;0




PFM
FPM
BA
ACB
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88
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão admissível na haste, no 
bloco e nos pinos, respectivamente.
A haste AC exige          kN 8,10601,010340 26admaço   ACAC AF
Usando a Equação 1,    kN 171
25,1
28,106
P
Para bloco B,        kN 0,6310800.11035 66admal  BB AF 
Usando a Equação 2,    kN 168
75,0
20,63
P
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89
Para o pino A ou C,      kN 5,114009,010450 26adm   AFV AC
Usando a Equação 1,
   kN 183
25,1
25,114
P
Quando P alcança seu menor valor (168 kN), desenvolve a tensão normal 
admissível no bloco de alumínio. Por consequência,
(Resposta) kN 168P
100
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Apresentação do curso 01h 01/80
Tensão 04h 05/80
Deformação 01h 06/80
► Propriedades mecânicas dos materiais 02h 08/80
Cargas axiais 16h 24/80
Torção 16h 40/80
Flexão 20h 60/80
Cisalhamento transversal 10h 70/80
Introdução ao Círculo de Mohr 10h 80/80
1º
. B
im
es
tr
e
2º
. B
im
es
tr
e
Mecânica 
dos Sólidos I
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Aula 04
05/08/2016
Acumulado 08/80
106
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Diagrama Tensão-Deformação
Capítulo 3: Propriedades Mecânicas dos Materiais
120
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Relação entre os parâmetros:
 Módulo de elasticidade transversal (G) em GPa
 Módulo de elasticidade longitudinal (E) em GPa
 Coeficiente de Poisson (ν) é adimensional
  1.2
EG
Capítulo 3: Propriedades Mecânicas dos Materiais
121
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Propriedades mecânicas de materiais aplicados na Engenharia
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Propriedades mecânicas de materiais aplicados na Engenharia
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