Apostila de vibraçoes-conceitos2

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11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 
 
 
Introdução 
Modelo matemático 
Vibração livre sem amortecimento: freqüências naturais e modos de vibração 
Sistemas torcionais 
Sistemas semi-definidos 
Acoplamento de coordenadas 
Vibração Forçada Harmonicamente 
Absorvedores de vibração 
Exercícios e problemas 
 
Rao: 5.1 a 5.7; 9.11.1; Steidel: 9.7 
Problemas: Rao 5.1 a 5.64; 9.51 a 9.64 
 
 
11.1 Introdução 
 
 Até agora estudamos sistemas mecânicos com apenas 1 GDL: x(t), para a translação, ou 
 θ(t), para a rotação. 
 
 Para a maioria dos sistemas reais, entretanto, há necessidade de usar mais de uma coordenada independente para 
descrever completamente o movimento. Os casos mais simples de sistemas multidimensionais são os sistemas com 2 
GDL. Devido à sua maior simplicidade, usaremos tais sistemas para introduzir conceitos que serão estendidos para 
sistemas com n GDL. 
 
Exemplos de sistemas com 2 GDL: 
 
Ex.: Sistema motor-bomba (Fig. 11.1), o qual é um sistema acoplado por massa 
 
 
 
Fig. 11.1 Sistema motor-bomba e seu modelo simplificado com 2 GDL 
 
Coordenadas generalizadas: 
 
1. deslocamento linear x(t) do centro de gravidade; 
2. deslocamento angular θ(t), o qual representa a rotação da massa m em torno do seu centro de gravidade. 
 
 Logo, o sistema tem dois GDL: x(t) e θ(t). Poderíamos, também, usar outros pares de coordenadas. Por exemplo, 
os deslocamentos verticais das extremidades da base, x1(t) e x2(t). Notemos que o sistema possui apenas uma massa, apesar 
de ter dois graus de liberdade, logo não devemos vincular a quantidade da massas com a quantidade de GDL de um 
sistema. Regra geral para determinar o número de graus de liberdade: 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-2 
No GDL do sistema = no de massas do sistema x no de movimentos possíveis de cada massa. 
 
 Existem n equações de movimento para um sistema com n GDL, uma para cada GDL. No caso mais geral, são n 
equações diferenciais acopladas, isto é, as n coordenadas (e/ou suas derivadas) estão presentes em mais de uma equação. 
Entretanto, se for usado um conjunto adequado de coordenadas, denominadas coordenadas naturais, principais ou 
modais, podemos desacoplar as equações diferenciais, de maneira que elas poderão ser resolvidas independentemente umas 
das outras. 
 
Vibração natural (ou livre) de um sistema com 1 GDL: 
 
• O sistema vibra na sua freqüência natural; 
• Possui 1 freqüência natural. 
 
Vibração natural (ou livre) de um sistema com n GDL: 
 
• Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas freqüências naturais de vibração, 
ou seja, em um certo modo de vibrar denominado modo natural ou normal de vibração; Se forem dadas 
condições iniciais arbitrárias, vibrará em uma superposição dos modos normais; 
• Possui n freqüências naturais; 
• Possui n modos naturais de vibração. 
 
Vibração forçada harmonicamente: 
 
• Neste caso, o sistema vibrará na mesma freqüência da excitação; 
• Existe risco de ressonância em n situações. 
 
Restrições Mecânicas 
 
 Reduzem a quantidade de GDL. Exemplo: Pêndulo Simples. 
 
 
Fig. 11.2 Restrição mecânica de um pêndulo simples 
 
 Admitindo que a massa só possa se movimentar no plano do papel, teremos 2 translações + 1 rotação = 3 GDL. 
Contudo, se L = constante e m uma partícula, a quantidade de GDL fica reduzida a apenas 1, isto é, à rotação em torno do 
ponto de suspensão do pêndulo. 
 
Equações de Restrição: 
 
 Adotando, para o pêndulo simples, as coordenadas x e y, podemos escrever a seguinte equação de restrição 
 
 x2 + y2 = L2 (11.1) 
 
a qual estabelece uma dependência entre as coordenadas x e y, denominadas coordenadas generalizadas dependentes. 
Observemos que 
 no de coordenadas dependentes, ncd = 2 
 
 n
o
 de equações de restrição, ner = 1 
 
e que é válida a relação: nGDL = ncd - ner (11.2) 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-3 
 Entretanto, se adotarmos a coordenada θθθθ (considerando que L é constante), apenas uma coordenada é suficiente 
para descrever o movimento do sistema, a qual não depende das demais coordenadas x e y. Portanto, θ é de fato uma 
coordenada generalizada independente e nci = 1. Verificamos facilmente que 
 
 nGDL = nci = nemm (11.3) 
 
onde nemm é o número de equações diferenciais que compõem o modelo matemático do sistema. 
 
 
11.2 Modelo matemático 
 
 A Fig. 11.3 ilustra o caso mais geral de um sistema com 2 GDL, no qual temos, simultaneamente, amortecimento e 
forçamento. Tal tipo de sistema é denominado sistema acoplado por molas e amortecedores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11.3 Sistema com 2 GDL acoplado por molas e amortecedores 
 
 A Fig. 11.4 mostra o diagrama de corpo livre do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11.4 Diagrama de corpo livre 
 
 Aplicando a 2a Lei de Newton a cada uma das massas, após alguma manipulação algébrica, podemos chegar ao 
modelo matemático composto por duas EDOL’s, cada uma delas deduzidas para o correspondente grau de liberdade. 
 
 ( ) ( ) )(1221212
.
21
.
211
..
1 tFxkxkkxcxccxm =−++−++ (11.4) 
 ( ) ( ) )(2232122
.
211
.
22
..
2 tFxkkxkxccxcxm =++−++− (11.5) 
 
 As eqs. (11.4) e (11.5) não são independentes, pois existem coordenadas e suas derivadas presentes nas duas 
equações. Dizemos que o sistema está acoplado, ou seja, fisicamente o movimento de uma massa depende do movimento 
da outra massa. Uma maneira de desacoplar as duas equações seria fazer k2 = 0 e c2 = 0. Entretanto, tratar-se-ia de um caso 
sem interesse, pois não teríamos mais um sistema com 2 GDL, mas sim 2 sistemas com 1 GDL cada. 
 
 Podemos reunir as equações acima na forma matricial: 
 
 
 (11.6) 
 
 






=











+−
−+
+














+−
−+
+
















)t(F
)t(F
x
x
kkk
kkk
x
x
ccc
ccc
x
x
m0
0m
2
1
2
1
322
221
2
.
1
.
322
221
2
..
1
..
2
1
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-4 
 
 O modelo matemático acima pode ser representado de uma forma bastante compacta por uma equação diferencial 
matricial: 
 (11.7) 
 
 Vemos que a forma (11.7) é a mesma do modelo deduzido para sistemas com 1 GDL. A diferença é que, agora, 
temos presente matrizes e vetores e não escalares. A eq. (11.7) representa um conjunto de equações diferenciais 
independentes somente quando [m], [c] e [k] forem matrizes diagonais. Para o modelo da figura, as matrizes [m], [c] e [k] 
são matrizes simétricas. Vamos, por enquanto, nos ocupar dos casos de vibração livre, isto é, quando o vetor forçamento é 
nulo. Os casos de vibração forçada serão vistos mais adiante. 
 
 
11.3 Vibração livre sem amortecimento 
 
 Fazendo c1 = c2 = 0 (sistema sem amortecimento) e F1 = F2 = 0 (sistema sem forçamento) nas eqs. (11.4) e (11.5), 
obtemos: 
 ( ) 0221211
..
1 =−++ xkxkkxm (11.8) 
 ( ) 0232122
..
2 =++− xkkxkxm (11.9) 
 
 
Procedimento clássico para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração 
 
 Segue, abaixo, o procedimento para obter as freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema acoplado 
por molas, cujo modelo matemático é dado pelas eqs. (11.8) e (11.9) e para os quais a matriz massa é diagonal e a matriz 
rigidez é simétrica. Para os demais casos, devemos primeiramente obter o modelo matemático antes de seguir o 
procedimento abaixo. 
 
1. Considerar que, assim como nos sistemas com 1 GDL, as respostas livres das duas massas sejam também 
harmônicas: 
 ( )φω += tXx cos11 (11.10) 
 
 ( )φω += tXx cos22 (11.11) 
 
 Derivar duas vezes as eqs. (11.10) e (11.1) e substituir nas eqs. (11.8) e (11.9): 
 
( )[ ] ( ) 0cos22121121 =+−++− φωω tXkXkkXm 
 
( )[ ] ( ) 0cos23212222=+++−− φωω tXkkXkXm 
 
 Como cos(ωt + φ) não pode ser nulo a todo instante, as quantidades entre colchetes é que devem ser nulas: 
 
 ( ) 0221211
2
1 =−++− XkXkkXmω (11.12) 
 
 ( ) 0232122
2
2 =++−− XkkXkXm ω (11.13) 
 
 As eqs. (11.12) e (11.13) representam duas equações algébricas homogêneas cujas incógnitas são as amplitudes da 
 resposta livre X1 e X2. Na forma matricial: 
 
 






=














−+−
−−+
0
0
2
1
2
2322
2
2
121
X
X
mkkk
kmkk
ω
ω
 (11.14) 
 
 Como as amplitudes não podem ser nulas, então, para que essa última equação seja satisfeita, é necessário que o 
 determinante da matriz seja nulo: 
 
)(][][][
...
tFxkxcxm
→→
=++
→→
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-5 
 0
2
2322
2
2
121 =
−+−
−−+
ω
ω
mkkk
kmkk
 (11.15) 
 
 Expandindo o determinante, chegamos à conhecida Equação da Freqüência: 
 
 ( ) ( )[ ] 0323121
2
132221
4
21 =++++++− kkkkkkmkkmkkmm ωω (11.16) 
 
2. Resolver a eq. (11.16). As suas raízes são as freqüências naturais. Em geral, a equação da freqüência tem grau 
2n, onde n é o número de GDL do sistema. A eq. (11.16) tem 4 raízes, sendo que duas delas são negativas e, 
portanto, não têm significado físico, pois não existem freqüências naturais negativas. 
 
 Convenção: as raízes (freqüências naturais) são chamadas ω1 e ω2: 
 
 ω1 = freqüência natural fundamental (menor); 
 
 ω2 = 2
a
 freqüência natural (maior). 
 
 A mesma convenção é usada para sistemas com n graus de liberdade. 
 
 Modos Naturais (ou Normais) de Vibração: 
 
 São as maneiras de vibrar (relações entre as amplitudes X1 e X2) nas duas freqüências naturais: 
 
 Na freqüência ω1: 1
0
 modo natural de vibração; 
 
 na freqüência ω2: 2
0
 modo natural de vibração. 
 
3. Para obtermos os dois modos naturais de vibração, vamos definir Fração (ou Razão) Modal como sendo a 
relação entre as amplitudes das duas massas: 
 
 
1
2
X
X
r = (11.17) 
 
 Poderíamos, também, ter definido a fração modal como X1/X2. Entretanto, é mais comum colocarmos no 
 denominador a amplitude da primeira massa como referência. Para sistemas com n graus de liberdade, as frações 
 modais serão definidas sempre em relação à primeira massa: X2/X1, X3/X1, ... , Xn/X1. 
 
 Obtenção da fração modal: é feita a partir da aplicação da definição dada pela eq. (11.17) nas eqs. (11.13) e 
 (11.14): 
 
 
32
2
12
2
2
21
2
11
)1(
1
)1(
2
1
kkm
k
k
kkm
X
X
r
++−
=
++−
==
ω
ω
 (11.18) 
 
 
 
32
2
22
2
2
21
2
21
)2(
1
)2(
2
2
kkm
k
k
kkm
X
X
r
++−
=
++−
==
ω
ω
 (11.19) 
 
 Assim, substituindo em qualquer uma das frações acima: 
 
 ω ← ω1 obtemos o primeiro modo de vibração, r1; 
 
 ω ← ω2 obtemos o segundo modo de vibração, r2. 
 
 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-6 
Ex. 11.1 (Rao Ex. 5.1) - Para simplificar, vamos considerar que as massas e as molas são iguais, ou seja, que 
 
m1 = m2 = m 
 
k1 = k2 = k3 = k 
 
Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração. 
 
Solução 
 
Obtenção das freqüências naturais a partir da eq. (11.16), fazendo as simplificações acima: 
 
( ) ( )[ ]
m
k
m
k
kkmm
kkkkkkmkkmkkmm
3
 e :Resolvendo 
034 
0
21
2242
323121
2
132221
4
21
==
=+−
=++++++−
ωω
ωω
ωω
 
 
Os modos naturais de vibração r1 e r2 são obtidos através da substituição das freqüências naturais nas eqs. (11.18) e (11.19), 
respectivamente: 
1
2
2
21
2
11
)1(
1
)1(
2
1 =
+−
=
++−
==
k
k
m
k
m
k
kkm
X
X
r
ω
 
1
2
3
2
21
2
21
)2(
1
)2(
2
2 −=
+−
=
++−
==
k
k
m
k
m
k
kkm
X
X
r
ω
 
 
Portanto, no primeiro modo as duas massas possuem as mesmas amplitudes de vibração, isto é, 
)1(
1
)1(
2 XX = . Já no segundo 
modo, elas vibram de tal maneira que 
)1(
1
)1(
2 XX −= . A Fig. 11.5 ilustra isso através de um diagrama, onde os nós 
representam pontos que não vibram: 
 
 
 
 
Fig. 11.5 Modos naturais de vibração 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-7 
Vetores Modais 
 
 Os modos normais podem ser expressos pelos chamados vetores modais: 
 
 
 
 
 (11.20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (11.21) 
 
 
 
 
 
Resposta Livre 
 
 A resposta livre nos dois modos naturais de vibração são dadas por 
 
 
1
0
 modo: (11.22) 
 
 
 
 
20 modo: (11.23) 
 
 
 
onde são determinados pelas condições iniciais. 
 
 Se as condições iniciais forem estabelecidas adequadamente, então apenas um dos dois modos naturais pode ser 
excitado. Podemos fazer com que o sistema vibre no seu i-ésimo modo natural (i = 1, 2) sujeitando-o às seguintes 
condições iniciais específicas: 
 
 
 (11.24) 
 
 
 
 Já para condições iniciais impostas arbitrariamente, os dois modos naturais serão excitados. O movimento 
resultante, dado pela solução geral das EDOL’s do modelo matemático, pode ser obtido superpondo os dois modos 
normais, eqs. (11.22) e (11.23): 
 
 
 (11.25) 
 
 
 
 Se as condições iniciais forem arbitrárias, ou seja, dadas pelos valores não nulos 
 
 
 (11.26) 








=








=
)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
Xr
X
X
X
X
Amplitude da massa m1 no 1
0
 modo 
Amplitude da massa m2 no 1
0
 modo 








=








=
)2(
12
)2(
1
)2(
2
)2(
1
)2(
Xr
X
X
X
X
Amplitude da massa m1 no 2
0
 modo 
Amplitude da massa m2 no 2
0
 modo 
)cos(
)(
)(
)( 11)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1)1( φω +








=








= t
Xr
X
tx
tx
tx
)cos(
)(
)(
)( 22)2(
12
)2(
1
)2(
2
)2(
1)2( φω +








=








= t
Xr
X
tx
tx
tx
21
)2(
1
)1(
1 e ,X ,X φφ
0)0( ;)0(
0)0( constante; alguma )0(
2
.
)(
112
1
.
)(
11
==
===
xXrx
xXx
i
i
)tcos(Xr)tcos(Xr)t(x)t(x)t(x
)tcos(X)tcos(X)t(x)t(x)t(x
22
)2(
1211
)1(
11
)2(
2
)1(
22
22
)2(
111
)1(
1
)2(
1
)1(
11
φωφω
φωφω
+++=+=
+++=+=
)0(x ,)0(x
)0(x ,)0(x
2
.
2
1
.
1
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-8 
então podem ser determinadas resolvendo-se as seguintes equações (obtidas substituindo as eqs. 
 
(11.26) nas (11.2515): 
 
 
 (11.27) 
 
 
 
 
 Aparentemente, temos 6 incógnitas para apenas 4 equações. Entretanto, as eqs. (11.27) podem ser vistas como um 
sistema de quatro equações algébricas cujas quatro incógnitas são 
 
 
 
 Após determinar essas quatro incógnitas, podemos calcular, a partir de conhecimentos trigonométricos 
elementares: 
 
 [ ]
2
1
2
2
.
1
.
2
2
212
12
)1(
1
)0(x)0(xr
)0(x)0(xr
rr
1
X
ω






+−
+−
−
= 
 
 [ ]
2
2
2
2
.
1
.
1
2
211
12
)2(
1
)0(x)0(xr
)0(x)0(xr
rr
1
X
ω






−
++−
−
= 
 (11.28) 
 
[ ]









−
+−
=
)0(x)0(xr
)0(x)0(xr
arctg
2121
2
.
1
.
2
1
ω
φ 
 
 
[ ]









+−
−
=
)0(x)0(xr
)0(x)0(xr
arctg
2112
2
.
1
.
1
1
ω
φ 
 
Finalmente, para obtermos a resposta livre completa, basta substituir os parâmetros acima nas eqs. (11.25). 
 
 
 
11.4 Sistemas torcionais 
 
 Comparando os sistemas translacional e rotacional, conforme ilustra a Fig. 11.6, podemos ver que ambos são 
semelhantes, logo podemos aproveitar o modelo matemático do sistema translacional já deduzido e fazer as já conhecidas 
adaptações: 
 
 
Fig. 11.6 Comparação entre sistemas translacional e torcional com 2 GDL 
 
21
)2(
1
)1(
1 e ,X ,X φφ
2
)2(
1221
)1(
1112
.
2
)2(
121
)1(
112
2
)2(
121
)1(
111
.
2
)2(
11
)1(
11
senXrsenXr)0(x
cosXrcosXr)0(x
senXsenX)0(x
cosXcosX)0(x
φωφω
φφ
φωφω
φφ
−−=
+=−−=
+=
2
)2(
11
)1(
12
)2(
11
)1(
1 oscX e oscX ,senX ,senX φφφφ
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-9 
 
 (11.29) 
 
 (11.30) 
 
 Matematicamente, os modelos matemáticos são os mesmos, logo podemos aplicar a mesma análise feita 
anteriormente para os sistemas translacionais aos sistemas torcionais. 
 
 
Ex. 11.2 (Rao Ex. 5.5) - Freqüências naturais de um propulsor marítimo 
 
Dados: 
 
Jvolante = 9000 kg.m
2
; Jmotor = 1000 kg.m
2
; 
Jengr 1 = 250 kg.m
2
; Jengr 2 = 150 kg.m
2
; 
Jhélice = 2000 kg.m
2
; Gaço = 80x10
9
 Pa. 
 
Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração à torção. 
 
Sugestão: considerar o volante como estacionário, tendo em vista 
que o seu momento de inércia é muito maior que os demais. Isso 
simplifica o sistema para 2 GDL. 
 
Solução 
 
 
Modelo adaptado: 
 
 
Usando o Princípio da Conservação da Energia Cinética, podemos determinar o momento de inércia equivalente da 
engrenagem 2 em relação ao eixo 1: 
2
22
2
1
2/22
1
.
2
2
.
2/21/2
2
2
.
2/2
2
1
.
1/2 kg.m 600
20
40
)150(
2
1
2
1
=





=





==⇒=
z
z
JJJJJ GGGGG
θ
θ
θθ 
 
Logo J1 = Jmotor + JG1 + J2/1 = 1000 + 250 + 600 = 1850 kg.m
2
 
 
Usando o mesmo Princípio, podemos determinar o momento de inércia equivalente do hélice em relação ao eixo 1: 
2
22
2
1
2
1
.
2
2
.
2
2
2
.2
1
.
2 kg.m 8000
20
40
)2000(
2
1
2
1
=





=





==⇒=
z
z
JJJJJ PPP
θ
θ
θθ 
 
Para determinar a rigidez à torção equivalente do eixo 2 em relação ao eixo 1, usamos o Princípio da Conservação da 
Energia Potencial: 
N.m/rad 15904350
20
40
1
32
)15,0)((
)1080(
2
1
2
1
2
4
9
2
1
2
2
2/22
2
22/2
2
12 =





==⇒=
π
θ
θ
θθ
x
kkkk tttt 
 
Já a rigidez kt1 pode ser obtida diretamente: 
 
 
)t(Fxkx)kk(xm 1221211
..
1 =−++
)t(Fx)kk(xkxm 2232122
..
2 =++−
)()( 1221211
..
1 tMkkkJ tttt =−++ θθθ
)()( 2232122
..
2 tMkkkJ tttt =++− θθθ
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-10
N.m/rad 981750
8,0
32
)1,0)((
)1080(
4
9
1 ==
π
x
k t 
 
Comparando o sistema propulsor marítimo com o sistema torcional representado na Fig. 11.6, vemos que os mesmos serão 
idênticos se kt3 for nulo. Logo, podemos aproveitar a eq. (11.16), fazendo as adaptações mencionadas: 
 
( )[ ]
rad/s 9758,104 e rad/s 7845,9 :Resolvendo
02500156140956100164511847548000001 
equação na chegamos ndo,simplifica e calculados valoresos doSubstituin
0 
21
24
21
2
12221
4
21
==
=+−
=+++−
ωω
ωω
ωω ttt kkJktJkktJJ
 
 
Os modos naturais de vibração r1 e r2 são obtidos através da substituição das freqüências naturais nas eqs. (11.18) e (11.19), 
respectivamente: 
05,1
15904350
15904350981750)7845,9)(1850( 2
2
21
2
11
)1(
1
)1(
2
1 =
++−
=
++−
=
Θ
Θ
=
t
tt
k
kkJ
r
ω
 
22,0
15904350
15904350981750)9758,104)(1850(
2
2
21
2
21
)2(
1
)2(
2
2 −=
++−
=
++−
=
Θ
Θ
=
t
tt
k
kkJ
r
ω
 
 
Portanto, no primeiro modo as duas massas possuem amplitudes de vibração com relação 
)1(
1
)1(
2 05,1 XX = . Já no segundo 
modo, elas vibram de tal maneira que 
)1(
1
)1(
2 22,0 XX −= . 
 
 
 
11.5 Sistemas semi-definidos 
 
 Também conhecidos como sistemas sem restrição ou sistemas degenerados. A Fig. 11.7 ilustra alguns 
exemplos. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
Fig. 11.7 Exemplos de sistemas semi-definidos 
 
Modelo matemático 
 
 Pode ser obtido a partir da adaptação das eqs. (11.8) e (11.9), fazendo nas mesmas k1 = 0, k2 = k e k3 = 0: 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-11
 0211
..
1 =−+ kxkxxm 
 0212
..
2 =+− kxkxxm 
 
 Aplicando o procedimento para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração, obtemos: 
 
 
21
21
21
)(
 e 0
mm
mmk +
== ωω (11.31) 
 
onde o resultado nulo para a 1a freqüência natural significa que nessa freqüência o sistema não é oscilatório, comportando-
se como um corpo rígido. Tal fato caracteriza os chamados sistemas semi-definidos. 
 
 Os modos de vibração podem ser obtidos a partir da eq. (11.18), fazendo na mesma k1 = 0, k2 = k e k3 = 0: 
 
k
km
X
X
r
+−
==
2
1
1
2
ω
 
 1o modo: usamos a primeira freqüência natural: 
 
1
0
)1(
1
)1(
2
1 =
+
==
k
k
X
X
r 
 
o que confirma que nessa freqüência o sistema não é oscilatório. 
 
 2o modo: usamos a segunda freqüência natural: 
 
2
121
21
1
)2(
1
)2(
2
2
)(
m
m
k
k
mm
mmk
m
X
X
r −=
+
+
−
== 
 
 
 
 
 
11.6 Acoplamento de coordenadas 
 
 Um sistema com n GDL requer n coordenadas generalizadas independentes. Em geral, são coordenadas 
geométricas medidas a partir da posição de equilíbrio estático do corpo vibrante. Dependendo do sistema, é possível 
escolher mais de um conjunto de coordenadas generalizadas independentes. 
 
Exemplo: torno mecânico 
 
 
Fig. 11.8 Acoplamento de coordenadas 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-12
Algumas opções de coordenadas geométricas generalizadas: 
 
1. Deslocamentos verticais x1(t) e x2(t) das extremidades (pontos A e B); 
2. Deslocamento vertical x(t) do CG e rotação θ(t) em torno do CG; 
3. Deslocamento vertical x1(t) da extremidade A e rotação θ(t) em torno do CG; 
4. Deslocamento vertical y(t) de um ponto P situado a uma distância e do CG e rotação θ(t) em torno do ponto P. 
 
 Vamos mostrar a seguir que, conforme as coordenadas escolhidas, podemos ter diferentes tipos de acoplamento. 
Vamos usar dois dos conjuntos mencionados acima para demonstrar isso. 
 
Modelagem usando a opção x(t) e θθθθ(t) 
 
Fig. 11.9 Acoplamento de coordenadas usando x(t) e θ(t) 
 
 2
a
 Lei de Newton para o movimento de translação (coordenada x(t)): 
 
 
..
2211 )()( xmlxklxk =+−−− θθ (11.32) 
 
 2
a
 Lei de Newton para o movimento de rotação (coordenada θ(t)): 
 
 
..
222111 )()( θθθ CGJllxkllxk =+−− (11.33) 
 
 Ordenando e reunindo as duas equações em forma matricial, chegamos ao modelo matemático 
 
 
 (11.34) 
 
 
 
 A existência de termos não-nulos fora da diagonal impede o desacoplamento das equações do movimento, i.é., que 
elas sejam matematicamente independentes. Fisicamente, o acoplamento representa a influência do movimento x(t) sobre o 
movimento θ(t) e vice-versa. Dizemos que: 
 
• se [M] for não-diagonal: existe acoplamento inercial ou dinâmico; 
 
• se [K] for não-diagonal: existe acoplamento elástico ou estático. 
 
 Portanto, no caso em estudo, temos apenas acoplamento estático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição de 
equilíbrio estático 






=












++−
+−+
+














0
0
0
0
2
22
2
112211
221121
..
..
θθ
x
lklklklk
lklkkkx
J
m
CG
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-13
Modelagem usando a opção y(t) e θθθθ(t) 
 
 
Fig. 11.10 Acoplamento de coordenadas usando y(t) e θ(t) 
 
 2
a
 Lei de Newton para o movimento de translação (coordenada y(t)): 
 
 
..
'
22
'
11 )()( xmlyklyk =+−−− θθ (11.35) 
 
 2a Lei de Newton para o movimento de rotação (coordenada θ(t)), onde há necessidade de considerar o momento 
de inércia exmJ CG
....
 inércia de força da momento o e θ : 
 exmJllykllyk CG
....
'
2
'
22
'
1
'
11 )()( +=+−− θθθ (11.36) 
 
 Por outro lado, entre as coordenadas x e y existe a relação 
 
 x = y + eθ 
......
θeyx +=⇒ (11.37) 
 
 Levando em conta o teorema de Steiner 
 
 2meJJ CGP += (11.38) 
 
 Substituindo as eqs. (11.37) e (11.38) nas eqs. (11.34) e (11.35) e as reunindo em forma matricial, chegamos ao 
modelo matemático 
 
 (11.39)Nesse caso, temos ambos os acoplamentos: acoplamento dinâmico, porque a matriz [m] é não-diagonal e 
acoplamento estático, porque a matriz [k] é não-diagonal. 
 
Observações Importantes: 
 
1. No caso mais geral de vibração livre com amortecimento, no qual temos todos os tipos de acoplamentos, as 
equações do movimento têm a seguinte forma matricial: 
 
 
 (11.40) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição de 
equilíbrio estático 






=











+














+














0
0
x
x
kk
kk
x
x
cc
cc
x
x
mm
mm
2
1
2221
1211
2
.
1
.
2221
1211
2
..
1
..
2221
1211
Acoplamento 
inercial ou 
dinâmico 
 Acoplamento de 
amortecimento 
Acoplamento 
elástico ou 
estático 
 






=














++−
+−+
+














0
0
2'
22
2'
11
'
22
'
11
'
22
'
1121
..
..
θθ
x
lklklklk
lklkkkx
Jme
mem
P
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-14
2. As coordenadas adotadas não têm influência nas freqüências naturais e nos modos naturais de vibração do 
 sistema, sendo uma mera questão de conveniência; 
 
3. Por outro lado, a natureza dos acoplamentos depende exclusivamente das coordenadas adotadas, conforme 
 pudemos verificar nas eqs. (11.34) e (11.39). 
 
Ex. 11.3 (Rao Ex. 5.7) – Freqüências naturais e modos de vibração de um automóvel 
 
Dados: Massa = m = 1000 kg; 
 Raio de giração = ρ = 0,9 m; 
 Rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m; 
 Rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m; 
 Dist. eixo dianteiro ao CG = l1 = 1,0 m; 
 Dist. eixo traseiro ao CG = l2 = 1,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 Adotando as coordenadas generalizadas: x(t) = deslocamento. vertical do CG e θ(t) = rotação em torno do CG, 
aplica-se o modelo matemático das eqs. (11.34): 
 
 
 (11.34) 
 
 
onde JCG = mρ
2
 = (1000)(0,9
2
) = 810 kg.m
2
. 
 
 A partir do modelo matemático, aplicamos o procedimento clássico visto anteriormente: 
 
 Considerar que, assim como nos sistemas com 1 GDL, as respostas livres das duas massas sejam também 
harmônicas: 
( )φω += tXx cos 
( )φωθ += tΘ cos 
 
 Derivar duas vezes as equações acima e substituir nas eqs. (11.33). Levando em conta os valores numéricos e 
como cos(ωt + φ) não pode ser nulo a todo instante: 
 
 






=














+−
+−
0
0
6750081015000
15000400001000
2
2
Θω
ω X
 (a) 
 
 Igualando a zero o determinante da matriz acima, chegamos na equação da freqüência: 
 
0247509991,8 24 =+− ωω 
 
donde obtemos as freqüências naturais . rad/s 4341,9 e rad/s 8593,5 21 == ωω 
 
 Os modos de vibração podem ser obtidos pelo desenvolvimento de uma das linhas da eq. (a); usando a 1a linha: 
 
Determinar: (a) Freqüências naturais; 
 (b) Modos de vibração e localização dos nós. 






=












++−
+−+
+














0
0
0
0
2
22
2
112211
221121
..
..
θθ
x
lklklklk
lklkkkx
J
m
CG
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-15
 
( )
400001000
1500
01500400001000
2
2
+−
==⇒=++−
ωΘ
Θω
X
rX 
 1o modo: usamos a primeira freqüência natural: 
 
6461,2
40000)8593,5)(1000(
1500
2)1(
)1(
1 −=
+−
==
Θ
X
r 
 
 2o modo: usamos a segunda freqüência natural: 
 
3061,0
40000)4341,9)(1000(
1500
2)2(
)2(
2 =
+−
==
Θ
X
r 
 
 A localização dos nós pode ser obtida notando que a tangente de um ângulo pequeno pode ser aproximada pelo 
próprio ângulo. Assim, conforme figura abaixo, a distância entre o CG e o nó é -2,6461 para ω1 e 0,3061 para ω2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.7 Vibração Forçada Harmonicamente 
 
 Assim como para um sistema linear com 1 GDL, a resposta total de um sistema linear com muitos GDL é dada 
pela soma das respostas livre e forçada. A resposta livre depende das propriedades do sistema e das condições iniciais, 
enquanto que a resposta forçada depende da forma da excitação. No caso de excitações periódicas, a resposta livre é 
geralmente ignorada, por constituir um transiente. Já no caso de excitações do tipo choque, a resposta livre é muito 
importante. Vamos considerar, a seguir, o caso de um sistema massa-mola-amortecedor submetido a um forçamento 
harmônico sob forma exponencial, o que facilita um pouco o tratamento algébrico. Vale lembrar que 
 
 tte t ωωω jsencosj += (11.41) 
 
 
Resposta permanente de um sistema com 2 GDL 
 
Modelo matemático (caso mais geral): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 11.11 Sistema com 2 GDL submetido a forçamento harmônico 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-16
 Conforme já vimos, o modelo matemático para o caso mais geral de sistemas com 2 GDL é dado na forma 
matricial por 
 
 (11.42) 
 
 
 Considerando forçamento harmônico: 
 teFtF ωj0jj )( = (11.43) 
onde j = 1,2 indica o grau de liberdade considerado, podemos obter a resposta permanente, também harmônica: 
 
 2 1, j )( jjj ==
teXtx ω (11.44) 
 
 Tendo em vista que as matrizes da eq. (11.42) são simétricas (logo, mij = mji, cij = cji, kij = kji), e substituindo as eqs. 
(11.43) e (11.44) e suas derivadas na eq. (11.42), chegamos a: 
 
 
 (11.45) 
 
 
 Definimos Impedância Mecânica Zrs(iω) como 
 
 (11.46) 
 
a qual representa cada elemento da matriz. Podemos, então, reescrever a eq. (11.45) de uma forma mais compacta: 
 
 [ ] 0)( FXiZ rs =ω (11.47) 
onde 
 [ ] 





=
)()(
)()(
)(
2212
1211
ωω
ωω
ω
iZiZ
iZiZ
iZ rs é a matriz impedância 
 
 






=
2
1
X
X
X é o vetor amplitude da resposta 
 
 






=
20
10
0
F
F
F é o vetor amplitude da excitação 
 Podemos resolver a eq. (11.47) para obter 
 
 [ ] 0
1
)( FiZX rs
−
= ω (11.48) 
onde a inversa da matriz impedância é dada por 
 
 [ ] 





−
−
−
=
−
)()(
)()(
)()()(
1
)(
1112
1222
2
122211
1
ωω
ωω
ωωω
ω
iZiZ
iZiZ
iZiZiZ
iZ rs (11.49) 
 
 Substituindo a eq. (11.49) na eq. (11.48) e levando em conta o vetor amplitude do forçamento, obtemos as 
componentes do vetor amplitude da resposta: 
 
 
)()()(
)()(
)(
)()()(
)()(
)(
2
122211
20111012
2
2
122211
20121022
1
ωωω
ωω
ω
ωωω
ωω
ω
iZiZiZ
FiZFiZ
iX
iZiZiZ
FiZFiZ
iX
−
+−
=
−
−
=
 (11.50) 
 
que, levadas nas eqs. (11.44), fornecem a solução completa x1(t) e x2(t). 






=












+














+














2
1
2
1
2221
1211
2
.
1
.
2221
1211
2
..
1
..
2221
1211
F
F
x
x
kk
kk
x
x
cc
cc
x
x
mm
mm






=














++−++−
++−++−
20
10
2
1
222222
2
121112
2
121112
2
111111
2
F
F
X
X
kcimkcim
kcimkcim
ωωωω
ωωωω
2 1, )( 2 =++−= r, skcimiZ rsrsrsrs ωωω
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-17
Ex. 11.4 (Rao Ex. 5.8) - Resposta permanente de um sistema massa-mola. 
 
 
 
Obter as respostas em freqüência das amplitudes, X1(ω) e X2(ω). 
 
Solução 
 Adaptando a eq. (11.42) para este caso: 
 
 
 (a) 
 
 
 Como F10cosωt = Real(F10e
jωt
), consideraremos a solução como sendo também harmônica: 
 
 xj(t) = Real(Xj e
iωt
) = Xjcosωt, j = 1, 2 (b) 
 
 Impedância mecânica, dada pela eq. (11.46): 
 
 (c) 
 
 
 Substituindo as eqs. (c) nas eqs. (11.50): 
 
 
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )kmkm
kF
kkm
kF
X
kmkm
Fkm
kkm
Fkm
X
+−+−
=
−+−
=
+−+−
+−
=
−+−
+−
=
22
10
222
10
2
22
10
2
222
10
2
1
32)(
3
2
2
2
)(
ωωω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
 (d) 
 
 Usando as freqüências naturais já conhecidas do Ex. 11.1, após manipulações algébricas, chegamos a 
 
 














−














−





=














−














−



















−
=
2
1
2
1
2
1
2
10
2
2
1
2
1
2
1
2
10
2
1
1
1
)(
1
2
)(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
k
F
X
k
F
X
 (e) 






=












−
−
+














0
cos
2
2
0
0 10
2
1
2
..
1
..
tF
x
x
kk
kk
x
x
m
m ω
kZ
kmZZ
−=
+−==
)(
2)()(
12
2
2211
ω
ωωω
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-18
 Os gráficos das respostas em freqüência dadas pelas eqs. (e) estão ilustrados na Fig. 11.12: 
 
Fig. 11.12 Resposta em freqüência dos fatores de amplificação das amplitudes 
 
Obs.: a massa 1 não vibra para um certo valor de ω. Essa característica forma a base para o absorvedor dinâmico de 
 vibrações, conforme será estudado mais adiante. Além disso, cumpre observar que existem agora 2 condições de 
 ressonância. 
 
 
 
11.8 Aplicação: absorvedor de vibração (ou Neutralizador de Frahm) 
 
 Se um sistema mecânico com 1 GDL for excitado por uma força harmônica de freqüência constante e que opere 
nas proximidades da ressonância, a amplitude da vibração aumenta, atingindo valores que podem eventualmente provocar a 
falha do sistema. A fim de remediar tal situação, podemos tentar mudar a massa e/ou a rigidez do sistema para fugir da 
condição de ressonância, o que nem sempre é prático ou mesmo possível. 
 
 Uma outra possibilidade será apresentada a seguir, a qual consiste na aplicação do absorvedor dinâmico de 
vibrações, idealizado por Frahm, em 1909. O uso de um absorvedor dinâmico de vibrações (também conhecido como 
Neutralizador de Frahm) está indicado para máquinas rotativas que operam em velocidades constantes, como máquinas 
elétricas síncronas. Basicamente, o Neutralizador de Frahm acrescenta um grau de liberdade ao sistema. Ele consta de uma 
massa e de uma mola auxiliares, ma e ka, que são colocadas em série com o sistema principal M, k, conforme ilustra a Fig. 
11.13. 
 
 
Fig. 11.13 Neutralizador de Frahm 
 
 Comparando a Fig. 11.13 (direita) com a Fig. 11.11, verificamos que elas são idênticas, cabendo apenas as 
adaptações seguintes com relação à Fig. 11.11: 
 
• no neutralizador não existe amortecimento, logo todos os “c” são nulos; 
• no neutralizador não existe a mola k3, logo k3 = 0; 
• no neutralizador não existe o forçamento F2(t), logo F2(t) = 0; 
• no neutralizador o forçamento atua somente na massa m1 e é dado por F1(t) = Fsenωt; 
• m11 = M; m12 = m21 = 0; m22 = ma; 
• k11 = k + ka; k12 = k21 = -ka; k22 = ka. 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-19
 Lançando essas adaptações nas eqs. (11.50): 
 
 
)()()(
)(
)(
)()()(
)()(
)(
)()()(
)(
)(
)()()(
)()(
)(
2
122211
12
22
122211
20111012
2
2
122211
22
12
122211
20121022
1
ωωω
ω
ω
ωωω
ωω
ω
ωωω
ω
ω
ωωω
ωω
ω
ZZZ
FZ
X
iZiZiZ
FiZFiZ
iX
ZZZ
FZ
X
iZiZiZ
FiZFiZ
iX
−
−
=⇒
−
+−
=
−
=⇒
−
−
=
 (11.51) 
 
 Determinação das impedâncias mecânicas através da eq. (11.46), abaixo repetida, 
 
 (11.46) 
 
levando em conta as adaptações citadas: 
 
 
 (11.52) 
 
 
 Substituindo na eq. (11.51): 
 
 
2222
222
2
1
))((
)(
))((
)(
)(
aaaa
a
aaaa
aa
kmkMkk
Fk
X
kmkMkk
Fmk
X
−−−+
=
−−−+
−
=
ωω
ω
ωω
ω
ω
 (11.53) 
 
 Consideremos agora as seguintes definições: 
 
 
 (11.54) 
 
 
 (11.55) 
 
 
 (11.56) 
 
 Dividindo a eq. (11.55) pela eq. (11.54) e levando em conta a eq. (11.56), obtemos: 
 
 
 (11.57) 
 
 
 Levando em consideração as eqs. (11.54) a (11.57), podemos reescrever as eqs. (11.53) e chegar, após 
manipulações algébricas, às formas adimensionais 
 
2
11
2
22
2
22
2
2
11
2
2
11
2
22
2
22
2
1
11
1
/
)(
ω
ω
µ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
µ
ω
ω
ω
−








−








−+
−
=
kF
X
 (11.58) 
 
 
2
11
2
22
2
22
2
2
11
2
2
11
2
22
2
11
1
/
)(
ω
ω
µ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
µ
ω
−








−








−+
=
kF
X
 (11.59) 
 
 Quando ω = ω22, vemos, pela eq. (11.58), que X1 = 0, ou seja, que o movimento da massa principal M cessa 
completamente. Além disso, se X1 = 0, a força transmitida à fundação é nula. Nessas condições, pela eq. (11.59) e usando a 
massas entre relação 
teisoladamen dor,neutraliza do natural freqüência 
teisoladamen principal, sistema do natural freqüência 
2
22
2
11
==
==
==
M
m
m
k
M
k
a
a
a
µ
ω
ω
2 1, )( 2 =++−= r, skcimiZ rsrsrsrs ωωω
 )(
)(
)(
2
22
12
2
11
aa
a
a
kmZ
kZ
kkMZ
+−=
−=
++−=
ωω
ω
ωω
 
2
11
2
22
ω
ω
µ=
k
ka
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-20
eq. (11.57), concluímos que o sistema do neutralizador, (ka, ma), vibra de tal modo que a força da sua mola é igual e oposta 
a Fsenωt em todos os instantes.. 
 
 A Fig. 11.14 mostra o gráfico da amplitude X1 dividida pelo deslocamento estático F/k, em função da relação de 
freqüências ω/ω11 (ou seja, da relação entre a freqüência da excitação e a freqüência natural do sistema principal, 
isoladamente). Nesse caso, foram usadas as relações µ = 1/4 e ω11 = ω22 (ou seja, o neutralizador está sintonizado na 
freqüência natural do sistema principal), bastante comuns na prática. A figura mostra, ainda, a faixa de operação satisfatória 
do sistema, na qual X1/(F/k) < 1, isto é, a faixa em que não há amplificação em relação à amplitude estática. 
 
 
 
Fig. 11.14 Resposta em freqüência da amplitude X1 dividida pelo deslocamento estático F/k 
 
 Portanto, o projeto do neutralizador baseia-se neste fato: escolher a mola e a massa do neutralizador de Frahm, 
ka e ma, de tal modo que a freqüência natural do neutralizador seja igual à freqüência da excitação. A Fig. 11.15 ilustra o 
gráfico da amplitude X2 dividida pelo deslocamento estático F/k, em função da relação de freqüências ω/ω11, para as 
mesmas relações µ = 1/4 e ω11 = ω22: 
 
Fig. 11.15 Resposta em freqüência da amplitude X2 dividida pelo deslocamento estático F/k 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-21
 Dois parâmetros podem ser variados no neutralizador de Frahm: a relação de massas µ e a relação entre as 
freqüências, esta última definida como 
 
 (11.60) 
 
 
Variação de µµµµ: - fica limitada a um restrição prática: um valor grande de µ significa um neutralizador de porte semelhante 
ao do sistema principal. Por outro lado, quanto menor µ, mais estreita será a faixa de operação do neutralizador, conforme 
poderemos ver mais adiante. 
 
Variação de ββββ - a freqüência do neutralizador, ω22, deve ser a freqüência para a qual X1 = 0. Ela deve ser selecionada de 
modo a melhor satisfazer as necessidades de operação, não precisando necessariamente ser igual a ω11, se bem que o uso de 
um neutralizador é mais garantido quando a freqüência do forçamento, ω, estiver bem próxima da freqüência principal do 
sistema principal. Portanto, fazer β = 1 é uma boa solução. 
 
 Como o conjunto é um sistema com dois graus de liberdade, ele possui duas freqüências naturais, ω1 e ω2. Para 
encontrá-las, igualamos a zero o denominador das eqs. (11.58) e (11.59) tornando as amplitudes infinitas, o que caracteriza 
a ressonância: 
 
 
 
 
 Usando a definição de β, dada pela eq. (11.60): 
 
 
 
 
 
 
donde (11.61) 
 
 
 Os valores de ω1 e ω2 que satisfazem as equações acima são, portanto, as freqüências naturais do conjunto. Para o 
caso usualem que β = 1, a eq. (11.61) simplifica para 
 
 
 
 (11.62) 
 
 
 
cujas raízes são (11.63) 
 
 
 
 A eq. (11.63) comprova a afirmação feita anteriormente: valores muito pequenos de µ tornam a faixa de operação 
do neutralizador muito estreita, conforme ilustra a Fig. 11.16. 
11
22
ω
ω
β =
011
2
11
2
22
2
11
2
2
11
2
22
2
22
2
=−








−+








−
ω
ω
µ
ω
ω
ω
ω
µ
ω
ω
011 2
2
11
2
2
2
22
2
=−








−+








− µβ
ω
ω
µβ
ω
ω
[ ] 01)1(1
2
22
2
4
22
2 =+





++−





ω
ω
µβ
ω
ω
β
( ) 012
2
22
4
22
=+





+−





ω
ω
µ
ω
ω
( ) 42
2
1
2
2 2
2
22
−+±
+
=





µ
µ
ω
ω
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-22
 
 
Fig. 11.16 Resposta em freqüência de µ 
 
 
Ex. 11.5 (Rao 5.49) - Uma máquina alternativa de massa m1 está montada sobre uma viga bi-engastada de comprimento l, 
espessura t, largura a e módulo de Young E. Foi acrescentado ao sistema um conjunto massa-mola (m2, k2) com o objetivo 
de reduzir a vibração da máquina. Achar a relação entre m2 e k2 que anula a vibração da máquina quando uma força 
harmônica F1(t) = F0cosωt é desenvolvida na máquina durante a sua operação 
 
 
Solução 
 
 Resposta em freqüência a partir da eq. (11.58): 
 
2
11
2
22
2
22
2
2
11
2
2
11
2
22
2
22
2
1
11
1
/
)(
ω
ω
µ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
µ
ω
ω
ω
−








−








−+
−
=
kF
X
 
 
 Para que não haja vibração da massa m1 é necessário que X1 = 0, logo a condição é dada por 
 
2
222
22
2
2
22
2
01
m
k
=⇒=⇒=− ωωω
ω
ω
 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-23
 
 
11.9 Exercícios e Problemas 
 
 
Exercícios 
 
 
Perguntas 
 
1. Por que é vantajoso estudar os sistemas com 2 GDL antes de partir para o estudo de sistemas com n GDL? 
 
 
 
 
2. O que são coordenadas naturais (ou normais, ou principais)? Qual a vantagem em utilizá-las? 
 
 
 
 
 
3. O que é um modo natural (ou normal, ou principal) de vibração? 
 
 
 
 
 
 
4. Quantas freqüências naturais e quantos modos naturais de vibração possui um sistema com n GDL? 
 
 
 
 
5. Se forem dadas condições iniciais adequadas, o sistema vibrará em uma de suas freqüências naturais de vibração. 
O que acontecerá se forem dadas ao sistema condições iniciais arbitrárias? 
 
 
 
 
6. Quantas situações de risco de ressonância existem se um sistema com 3 GDL for submetido a um forçamento 
harmônico monofreqüencia? E se o forçamento for periódico e desenvolvido em série de Fourier com termos 
senoidais até a 3a harmônica? 
 
 
 
7. Qual o efeito de uma restrição mecânica sobre a quantidade de GDL de um sistema mecânico? 
 
 
 
8. O que é uma equação de restrição? 
 
 
 
9. Quais são os vários tipos de acoplamento em sistemas multidimensionais? Como se pode identificá-los a partir do 
modelo matemático? 
 
 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-24
10. Em que pode influir a escolha de diferentes pares de coordenadas generalizadas? 
 
 
 
11. Descreva o procedimento clássico para determinar as freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema 
com 2 GDL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Qual o significado físico da fração modal r? 
 
 
 
 
13. O que são vetores modais? 
 
 
 
14. Qual o significa físico de um nó no gráfico dos modos naturais de vibração? 
 
 
 
15. O que caracteriza um sistema semidefinido? 
 
 
 
 
 
16. Em que situação é válido utilizar o neutralizador de Frahm? 
 
 
 
 
17. No projeto do neutralizador de Frahm, qual a relação fundamental que deve ser usada? 
 
 
 
 
18. No projeto do neutralizador de Frahm, qual a restrição que envolve o uso de relação de massas muito grande? E 
muito pequena? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-25
 
Problemas 
 
 
11.1 - Dado o sistema mecânico da figura, determinar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração. Esboçar os 
dois modos naturais de vibração. 
 
Dados: M = 2 kg; m = 1 kg; k1 = 10 N/m; k2 = 40 N/m. 
 
Resp.: ω1 = 2,6818 rad/s ω2 = 5,2733 rad/s 
r1 = 3,5615 r2 = -0,5615 
 
 
 
 
 
 
11.2 - Seja o sistema torcional da figura, o qual consiste de dois discos de inércias J1 e J2 unidos por uma mola torcional kt2 
e fixados à parede por uma outra mola torcional kt1. Se forem dadas condições iniciais aos discos em torno do eixo z, o 
sistema entrará em vibração livre em torno do eixo z, sendo θ1 e θ2 as coordenadas generalizadas independentes. Deduzir, 
pelo método clássico, a equação da freqüência do sistema. 
 
 
11.3 - Determinar as freqüências naturais e os modos de vibração para o sistema pendular duplo da figura: 
 
 
Resp.: )(2 222
2
1
lll
a
m
kgg
+== ωω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.4 - Achar as freqüências naturais e os modos naturais 
vibração para o sistema da figura: 
 
 
 Resp.: 
 781,0 281,1 
 562,5 439,1
21
2
2
2
1
−==
==
rr
m
k
m
k
ωω
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-26
11.5 - A figura apresenta um modelo simplificado de um automóvel, no qual são considerados apenas 2 GDL: translação 
vertical da massa m2 (chassis e carroceria) e translação vertical da massa m1 (massas das rodas e eixos). Determinar as duas 
freqüências naturais do movimento. Dados numéricos: 
m1 = 180 kg 
m2 = 670 kg 
2k1 = 538 N/mm 
2k2 = 45,5 N/mm 
 
Resp.: 75,5 ciclos/min; 544 ciclos/min. 
 
 
11.6 - Um guincho A de massa 254 kg está montado na extremidade livre de uma viga de aço engastada e livre (módulo de 
Young 2,07 x 1011 Pa, comprimento 1,525 m, momento de inércia à flexão da seção reta constante 1493 x 10-8 m4). Ele 
suspende uma carga de massa 101,6 kg através de um cabo de aço, o qual se deforma 2,9 mm quando submetido a uma 
força de 9967 N. 
 
 
(a) Desprezando a massa da viga, determinar as freqüências naturais e os modos de vibração do sistema; 
(b) Se o sistema estiver vibrando no primeiro modo natural e se a amplitude do movimento da carga B for 0,254 mm, 
calcular a amplitude do movimento do guincho e a variação da tração no cabo de aço devida apenas à vibração das duas 
massas. 
 
Resp.: (a) 13,18 e 35,87 Hz; 1,254 e -1,993; (b) 0,203 mm e 175,3 N. 
 
 
11.7 - Um automóvel de massa m1 = 1750 kg traciona um trailer de massa m2 = 3800 kg através de uma barra de tração de 
rigidez k = 175 N/mm. Achar as freqüências naturais e os modos naturais de vibração do sistema. Fazer um esboço desses 
últimos. O que esse sistema apresenta de notável? 
 
 
 
 
 
Resp.: 0; 1,92 Hz 
 
 
11.8 - Dois rolos cilíndricos idênticos, cada um com massa m, têm os seus eixos conectados por uma mola de rigidez k. Os 
dois cilindros podem rolar sem deslizar sobre uma mesa horizontal. Determinar as duas freqüências naturais, para pequenas 
oscilações, utilizando o método clássico (equações do movimento, frações modais, equação da freqüência, etc.). 
 
Resp.: ω1 = 0; ω2 = 
m
k
3
4
 
 
 
11.9 - Um sistema mecânico é descrito pelo sistema de equações diferenciais 
022
024
2
..
..
=++
=++
θθ
θ
kakaxJ
kakxxm
 
 
onde m é a massa do bloco e J é o momento de inércia em relação a um eixo passando pelo seu CG. Pede-se: 
 
(a) quantidade de graus de liberdade; (b) coordenadas generalizadas adotadas; 
(c) matriz massa; (d) matriz rigidez; 
(e) existe acoplamento dinâmico? Por quê? (f) existe acoplamento estático? Por quê? 
 
 
 
11 Resposta de sistemas com dois graus de liberdade 11-27
11.10 (Rao 5.48) – Uma bomba centrífuga, de desbalanceamento me, repousa sobre uma fundação rígida de massa m2 
através de um isolador de rigidez k1, conforme figura. O solo possui rigidez k2 e coeficiente de amortecimento c2. Usando o 
método da impedância mecânica, calcularas amplitudes da vibração forçada da bomba e da fundação quando a bomba gira 
a 1200 rpm. 
 
Dados numéricos: mg = 0,5 lbf; e = 6 in; m1g = 800 lbf; m2g = 2000 lbf; k1 = 2000 lbf/in; k2 = 1000 lbf/in; c2 = 200 lbf.s/in. 
 
 
 
Resp.: X1 = (- 40,0042 – 0,01919i)x10
-4 in; X2 = (0.9221 + 0,2948i)x10
-4 in 
 
 
11.11 O painel de uma máquina desbalanceada vibra intensamente quando a máquina está operando nas freqüências 20 Hz 
e 25 Hz. Deseja-se usar um Neutralizador de Frahm com β = 1. Pedem-se: 
 
(a) freqüência natural do neutralizador ω22 (valor 1,5); 
(b) razão de massas µ (valor 1,5). 
 
 
11.12 (Rao 9.51) – Um compressor de ar de massa 200 kg, possui um desbalanceamento de 0,01 kg.m e apresenta grandes 
amplitudes de vibração quando funcionando a 1200 rpm. Determinar a massa e a mola do neutralizador de Frahm a ser 
empregado no sistema, de modo a que as freqüências naturais do sistema estejam afastadas no mínimo a 20% da freqüência 
da excitação. 
 
Resp.: ma = 40,5 kg; ka = 639600 N/m.