Matemática Aplicada CONTEÚDO II

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Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
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Expressões algébricas e expressões polinomiais 
Daniel de Freitas Barros Neto 
OBJETIVOS DA UNIDADE 
• Compreender os conceitos de expressões algébricas e numéricas; 
• Assimilar a estrutura algébrica das expressões polinomiais e racionais; 
• Manipular algebricamente as expressões polinomiais. 
TÓPICOS DE ESTUDO 
Expressões algébricas e polinomiais 
// Expressões numéricas e algébricas 
// Expressões polinomiais 
Operações e propriedades 
// Adição, subtração, divisão e multiplicação 
// Expressões racionais 
 
Expressões algébricas e polinomiais 
A Matemática é um amplo campo de estudo que lança mão de diversos 
conceitos abstratos, de modo a sistematizar o trabalho com formas, quantidades, 
espaços, medidas, variações, estimativas e afins. Compreender a Matemática 
de maneira passível de ser aplicada a problemas da realidade é ser capaz de 
compreender sua capacidade representativa, seja ela geral ou específica. 
Assim, a presente seção apresenta as expressões 
numéricas e algébricas, tornando possível essa compreensão representativa 
acerca da Matemática. Por fim, será apresentado um tipo específico de 
expressão algébrica: as expressões polinomiais. Serão discutidas, ao longo 
dessa seção, suas principais diferenças conceituais e práticas. 
O conhecimento acerca das expressões algébricas auxiliará o aluno na 
formulação de representações gerais em diferentes contextos da Matemática 
Aplicada; é a partir dessas expressões que se trabalha com generalidades, ou 
seja, com representações que valem para diversas situações e objetos, dentro 
de um mesmo contexto. 
O conhecimento acerca das expressões numéricas, por sua vez, auxiliará 
o aluno na compreensão de situações específicas de determinado contexto. Isso 
será útil para o estudo de uma situação em que se conhece os valores das 
variáveis e deseja-se encontrar resultados numéricos dos problemas reais. 
Por fim, serão apresentadas as expressões polinomiais – um caso específico 
das expressões algébricas –, assim como a estrutura algébrica dessas 
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expressões, enfatizando as definições de monômio, binômio e trinômio, além de 
uma discussão mais profunda acerca de coeficientes, graus e termos. 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICAS 
Um aspecto relevante de muitas áreas da Matemática é a capacidade de 
representação de situações reais. Por meio dos objetos matemáticos, é possível, 
muitas vezes, resolver problemas, modelar cenários e estimar valores ao 
relacionar diversas situações e contextos da realidade. 
Essa capacidade representativa que se obtém por meio dos objetos 
matemáticos é de fundamental importância para a Matemática Aplicada. Aplicar 
a Matemática significa justamente isso: utilizar os objetos matemáticos como 
ferramenta representativa de situações reais visando soluções, modelos e 
predições de problemas inerentes a essas situações. 
As formas mais simples de representação pautam-se em representações 
numéricas que ocorrem por meio de expressões numéricas. Em outras palavras, 
utilizam-se apenas números e operações matemáticas (adição, subtração, 
divisão e multiplicação) para que se consiga representar uma determinada 
situação real ou abstrata. 
Considere, por exemplo, a expressão numérica a seguir: 
 
 
O que se pode observar dessa expressão é que se trata da razão (divisão) 
entre dois números inteiros positivos, e pode ser resolvida com um simples 
cálculo sucinto: 
 
 
Essa expressão numérica seguida do cálculo matemático de seu 
resultado, porém, pode não carregar nenhum sentido real, e representar apenas 
um mero cálculo aritmético. No entanto, a simples introdução de um contexto 
torna essa expressão numérica uma representação de uma situação real. 
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Assim, suponha a seguinte situação: 
Dois indivíduos estão consumindo alimentos em um determinado 
estabelecimento e, ao final do consumo, resolvem dividir os gastos. Ao exigir a 
conta, deparam-se com o valor de R$ 100 em sua comanda. Como decidem 
dividir igualmente os gastos, utilizam a seguinte expressão numérica para 
representar tal situação: 
 
Desse modo, a expressão numérica transformou-se em uma 
representação de uma situação da realidade, e sua resolução representaria a 
resolução do problema real delimitado pelos dois indivíduos. Efetuando o cálculo 
novamente: 
 
O número 50, agora, representa não somente o resultado de uma 
expressão numérica, mas também a solução de uma situação real. Portanto, os 
indivíduos devem pagar R$ 50 cada um para que dividam os gastos (100) da 
refeição de maneira igual. 
 
Figura 1. Situação real representada. 
 
 
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Outras inúmeras expressões numéricas podem representar situações 
reais. Tome como exemplo a seguinte expressão numérica: 
0,02 · 600 + 3 
O que se pode observar dessa expressão numérica é que se trata de um 
produto (multiplicação) entre dois números, sendo um deles real (0,02) e outro 
inteiro positivo (600), acrescidos (adição) de outro número inteiro positivo (3). 
Com a resolução dessas operações numéricas, pode-se determinar um 
resultado para a expressão supracitada: 
0,02 · 600 + 3 = 
12 + 3 = 
15 
Tal como o exemplo anterior, a expressão numérica seguida do cálculo 
matemático de seu resultado pode não carregar nenhum sentido real, e 
representar apenas um mero cálculo aritmético. No entanto, novamente, 
suponha a seguinte situação real: 
Um indivíduo solicita um táxi para realizar o trajeto desejado e pagará o 
dinheiro referente à sua viagem com base no valor apresentado pelo taxímetro. 
O taxímetro do veículo funciona da seguinte maneira: o preço fixo pela corrida é 
3 reais e a cada segundo que passa é acrescido um valor de R$ 0,02. Sabendo-
se que o indivíduo realizou uma corrida de 10 minutos, ou seja, 600 segundos, 
a seguinte expressão numérica representa essa situação real: 
0,02 · 600 + 3 
Desse modo, novamente, uma expressão numérica transformou-se em 
uma representação de um problema real, e sua resolução, portanto, delimitaria 
a solução desse problema. Assim: 
0,02 · 600 + 3 = 
12 + 3 
15 
Cada passo da resolução possui um significado real. Por exemplo, a 
segunda linha do algoritmo representa o valor em dinheiro a ser pago pelos 
minutos rodados (R$ 12) acrescido do valor a ser pago pelo preço fixo de corrida 
(R$ 3), e o valor presente na terceira linha é o valor total a ser pago ao final da 
corrida (R$ 15). Por fim, apresenta-se outra expressão numérica que pode 
representar situações reais. 
 
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Considere a seguinte expressão numérica: 
 
23 
Observa-se que essa expressão numérica se refere a uma potenciação, 
em que a base é o número inteiro positivo 2 e o expoente o número inteiro 
positivo 3. Tendo em vista o conceito de potenciação, pode-se representar essa 
expressão numérica de outra maneira: 
23 = 2 · 2 · 2 
 
Agora, a expressão numérica é composta por múltiplos produtos 
(multiplicações) entre três números inteiros positivos (2). Uma vez que está 
representado nessa forma, pode-se efetuar as operações aritméticas presentes 
e calcular o valor numérico referente a essa expressão numérica: 
2
3 
= (2 · 2) · 2 = 
(4) · 2 = 
8 
Novamente, suponha a seguinte situação real: 
Um estudante de Engenharia deseja calcular o volume de um cubo 
tomando como base a medição de seus lados. O cubo possui arestas de 
tamanho 2 cm e a expressão numérica que representa o volume de um cubo 
com essas medidas é a multiplicação de sua largura, altura e comprimento. A 
Figura 2 apresenta as informações referente ao cubo. 
 
Figura 2. Informações do cubo. 
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Tal relação entre altura, largura e comprimento é descrita conforme aseguinte expressão numérica: 
2 · 2 · 2 
Desse modo, a expressão numérica trabalhada passa a representar uma 
situação real, e sua resolução, portanto, delimitaria a solução dessa situação. 
Assim, pode-se presumir que ambas expressões numéricas representam o 
cálculo do volume de um cubo de arestas de 2 cm, uma vez que anteriormente 
provaram-se equivalentes: 
23 = 2 · 2 · 2 
 Calcula-se, novamente, a expressão numérica: 
2
3
 = (2 · 2) · 2 = 
(4) · 2 = 
8 
O número 8, resultado dessa expressão numérica, representa o volume 
do cubo de arestas de 2 cm. Tendo isso em vista, deve-se atribuir a esse número 
a unidade de medida equivalente ao volume de um sólido; nesse caso, cm³. 
Desse modo, a resposta a esse problema seria 8 cm³. 
Em suma, trabalhar com expressões numéricas na Matemática Aplicada 
significa trabalhar com representações que contenham números e operações de 
modo a representar situações reais. Essas situações estudadas apresentam 
uma característica importante das expressões numéricas para esta área, 
simbolizando situações particulares e específicas de determinado contexto. 
 
Para o cálculo do volume do cubo de 2 cm de aresta, por exemplo, utilizou-
se a representação. No entanto, caso fosse necessário o cálculo do volume de 
outros cubos, a expressão não representaria essas novas situações. Isso posto, 
pode-se concluir que as expressões numéricas não permitem 
generalizações. 
 
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Tendo em vista essa discussão, inicia-se o estudo dos objetos 
matemáticos conhecidos por expressões algébricas. Essas expressões são 
fundamentais para a Matemática Aplicada, uma vez que pode-se representar 
generalidades com esse objeto matemático. 
As expressões algébricas possuem os mesmos elementos das 
expressões numéricas, números e operações aritméticas (soma, divisão, 
multiplicação e subtração). Porém, essas expressões possuem um outro 
elemento fundamental para o processo de generalização: a incógnita. 
A incógnita, também chamada de variável, é uma letra que, no contexto 
matemático, representa qualquer número de um conjunto numérico determinado. 
As letras comumente utilizadas para representar variáveis são x, y e z, porém 
qualquer outra letra possui a mesma capacidade representativa. 
A fim de explicitar as características representativas gerais das 
expressões algébricas, além do significado de uma variável, deve-se analisar os 
exemplos relacionados a expressões numéricas. Tome como exemplo, 
novamente, a expressão numérica que representa a divisão de gastos entre dois 
indivíduos: 
 
O número 2 representa a quantidade de indivíduos que dividiu o valor de 
uma conta de R$ 100. Assim, essa expressão representa uma situação particular 
em que se sabe o número de indivíduos e o valor da comanda. Todavia, é 
possível imaginar uma situação em que, inicialmente, o valor da comanda é 
desconhecido e deseja-se representar essa situação. 
O valor de uma comanda é medido em determinada unidade monetária, 
nesse caso reais, que tem seus valores numéricos variando conforme o conjunto 
dos números reais. Nesse caso, pode-se substituir o número 100 por uma 
variável x, que pertence ao conjunto dos números reais, resultando na seguinte 
expressão: 
 
 
Essa expressão representa, portanto, a divisão de um gasto no valor 
de x reais entre dois indivíduos, sendo x um número real positivo. Portanto, essa 
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expressão simboliza todas as possíveis contas a serem divididas por dois 
indivíduos, uma vez que x pode assumir qualquer valor real. Caso x = 100, tem-
se um caso particular dessa representação. 
Caso x assuma o valor de 200, 300 ou 400, obtém-se outras expressões 
numéricas: 
 
Observa-se, portanto, que as expressões numéricas são casos 
particulares de uma expressão algébrica quando a variável nela presente (x) 
assume um valor específico (100, 200, 300 ou 400). Porém, nesse caso, ainda 
há mais uma generalização que pode ser feita. 
O denominador 2 representa o número de indivíduos que irão dividir os 
gastos. Esse número inteiro positivo pode ser substituído por uma variável y que 
representa qualquer número inteiro positivo, resultando na seguinte expressão: 
 
 
 
Figura 3. Expressões algébrica e numérica. 
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Analisa-se, também, a situação referente ao cálculo do valor de uma 
corrida com base em uma expressão numérica. Toma-se como parâmetro, 
novamente, a seguinte expressão numérica: 
0,02 · 600 + 3 
Para um conjunto de táxis específico, imagina-se que os taxímetros sejam 
os mesmos, ou seja, que os valores fixados de 3 e 0,02 sejam sempre 
constantes. Nesse caso, o tempo de viagem (600) representa um número real 
positivo, uma vez que o tempo é uma grandeza mensurada pelo conjunto dos 
números reais. Logo, pode-se substituí-lo por uma incógnita x que pertence a 
esse conjunto numérico, de tal modo que a expressão supracitada se tornaria: 
0,02 · x + 3 
Desse modo, a expressão numérica dá origem a uma expressão algébrica 
que consegue representar qualquer corrida realizada por um táxi que contenha 
esse taxímetro. Todas as expressões numéricas são casos particulares dessa 
expressão algébrica. 
Por exemplo: corridas de 1000, 2000 e 3000 segundos são casos 
particulares para x = 1000, x = 2000 e x = 3000. Dessa expressão algébrica, 
obtém-se três outras expressões numéricas para a representação dessas 
situações específicas: 
0,02 · 1000 + 3 
0,02 · 2000 + 3 
0,02 · 3000 + 3 
O resultado de cada uma delas representa o resultado de cada situação 
específica. A expressão algébrica, portanto, delineia uma regra geral para o 
cálculo do valor de corridas de táxis. Isso foi possível apenas com a utilização 
de uma incógnita, objeto que representa um número qualquer de determinado 
conjunto numérico. A Figura 4 apresenta a relação entre as expressões. 
 
Figura 4. Relação entre as expressões algébrica e numérica. 
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Por fim, analisa-se a situação em que se deseja efetuar o cálculo do 
volume de um cubo de aresta 2 cm. Retoma-se a expressão numérica que 
representa o cálculo do volume desse cubo, representada como: 
23 
A base (2) dessa expressão numérica representa um número real positivo. 
Isso se deve ao fato de que o número 2 representa uma medida em cm, que é 
mensurada por um número real positivo. Logo, o número 2 pode ser substituído 
por uma variável x que pertence ao conjunto numérico dos números reais. Desse 
modo, a expressão numérica supracitada tornar-se-ia a seguinte expressão 
algébrica: 
x3 
Essa expressão algébrica representaria, portanto, o cálculo do volume 
de qualquer cubo. A expressão numérica anterior representaria apenas um 
caso particular, em que x = 2. Outros cubos com arestas 3, 4 e 5 também podem 
ter seus volumes representados, sendo apenas casos particulares da expressão 
algébrica quando x assume os valores de 3, 4 e 5, dando origem às seguintes 
expressões: 
3
3
 
4
3
 
5
3 
CURIOSIDADE 
Uma vez que x³ pode representar o volume de qualquer cubo 
que tenha aresta x, a representação de x² pode representar a 
área de qualquer quadrado que tenha lado x. Por outro 
lado, x4 não possui representação física; portanto, não é toda 
expressão algébrica que possui 
 
Em suma, na Matemática Aplicada as expressões algébricas tendem a 
representar generalizações de um cenário real, e as expressões numéricas são 
casos particulares dessa situação real. A expressão x3 representa a 
generalização do volume de um cubo, ao passo que as expressões 33, 43 e 53 são 
casos particulares dessa generalização, por exemplo. A Figura 5 explicita essa 
relação. 
 
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Figura 5. Expressões algébrica e numérica do cubo. 
Ambas representações, numérica e algébrica, são importantespara o 
estudo da Matemática Aplicada, uma vez que, conjuntamente, tratam de 
generalizações e particularidades. Ademais, elas são úteis para a 
representações de problemas reais, que são o foco dos trabalhos 
em Matemática Aplicada. 
DICA 
Os contextos reais de aplicação da Matemática podem ser 
interpretados pelo ponto de vista de uma expressão numérica ou 
uma expressão algébrica. Tudo isso depende de alguns fatores, 
dentre eles a particularidade ou generalidade do estudo que se 
almeja. 
 
 
 
 
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A Figura 6 apresenta as diferenças entre as duas expressões. 
 
Figura 6. Diferenças entre expressão algébrica e expressão numérica. 
EXPRESSÕES POLINOMIAIS 
Tendo em vista as discussões da seção passada acerca de expressões 
algébricas, essa seção busca aprofundar-se um pouco mais nesse tipo de 
expressão. Será estudado um caso específico de expressão algébrica: 
as expressões polinomiais. Porém, antes disso, serão discutidos alguns 
conceitos iniciais relacionados a outras expressões algébricas mais simples, que 
compõem as expressões polinomiais. 
Um dos elementos mais simples que compõem as expressões algébricas 
é o monômio. O monômio é uma expressão algébrica composta por um único 
termo e que possui o seguinte formato (STEWART; REDLIN; WATSON, 2013): 
axk 
No qual a refere-se a um número real e k a um número inteiro não 
negativo. Em outras palavras, a refere-se a qualquer valor real (a ∈ ℝ) 
enquanto k pertence ao conjunto dos inteiros, de tal forma que: 
kϵZ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} 
Tendo isso em vista, analisam-se alguns exemplos de monômio: 
x
2
 
6 
2x
5 
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Verifica-se que todos os três exemplos satisfazem a definição de 
monômio. Em x², tem-se que a = 1 e k = 2; já em 6, verifica-se que a = 6 e k 
= 0, de tal modo que: 
6x0 = 6 
Por fim, verifica-se em 2x5 os valores de a = 2 e k = 5. Todos os exemplos 
supracitados referem-se a monômios, mas com diferentes formas. O primeiro 
exemplo não apresenta um número real visível, ao passo que no segundo 
exemplo não se observa a variável x e, por fim, no terceiro exemplo, variável e 
número real estão visíveis. 
Isso ocorre porque os monômios são constituídos de duas partes: a parte 
literal e o coeficiente. A parte literal refere-se à variável de um monômio, 
logo xk. Já o coeficiente refere-se ao número real que acompanha a parte literal, 
logo, refere-se ao valor a. A Figura 7 apresenta essa distinção entre os 
elementos que compõem o monômio. 
 
 
Figura 7. Monômio e seus elementos. 
Portanto, a diferença entre os três exemplos relaciona-se com os 
elementos que os compõem. O primeiro caso (x²) apresenta um monômio que 
contém apenas uma parte literal visível; ao passo que o segundo caso (6) refere-
se a um monômio que é composto, apenas, por um coeficiente visível; por fim, o 
último exemplo (2x5) apresenta um monômio que contém a parte literal e, 
também, um coeficiente. 
A partir do conceito de monômio, é possível definir outras expressões 
algébricas que são compostas por dois ou mais monômios. Para aquelas que 
são compostas pela subtração ou adição de dois monômios, dá-se o nome 
de binômio. Seguem alguns exemplos dessas expressões algébricas: 
 
 
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3x + 5 
4x² + x³ 
2x – 1 
No primeiro exemplo, apresenta-se o binômio 3x + 5, que é composto pelo 
monômio 3x, que possui parte literal (x) e coeficiente (3), e o monômio 5, que 
possui apenas o coeficiente visível, tal como o terceiro exemplo. Já no segundo 
exemplo, é apresentado um binômio composto pelo monômio 4x², que possui 
parte literal (x²) e coeficiente (4), e o monômio x³, que possui apenas parte literal. 
Seguindo a mesma lógica, define-se o trinômio, expressão algébrica que 
é composta por três monômios. 
x
5 
- 2x + 5 
3x
2 
+ 8x - 1 
x
3 
- x
2 
+ x 
No primeiro exemplo, tem-se o polinômio x5 - 2x + 5, composto pelo monômio x5, 
que possui parte literal (x5) e coeficiente 1, pelo monômio -2x, que possui parte 
literal (x) e coeficiente (-2), e o monômio 5, que possui parte literal (x0) e 
coeficiente 5. 
O segundo exemplo refere-se ao trinômio 3x2 + 8x - 1, composto pelo 
monômio 3x2, que contém uma parte literal (x2) e coeficiente (3), pelo 
monômio 8x, com parte literal (x) e coeficiente (8), e o monômio -1, com parte 
literal (x0) e coeficiente (-1). 
Por fim, apresenta-se o terceiro exemplo, referente ao trinômio x3 - x2 + x, que é 
composto pelo monômio x3, com parte literal (x3) e coeficiente (1), pelo 
monômio -x2, com parte literal (x2) e coeficiente (-1), e pelo monômio x, com parte 
literal (x) e coeficiente (1). 
Do mesmo modo que o binômio e o trinômio, é possível definir inúmeras outras 
expressões algébricas compostas por diversos monômios. Tendo isso em vista, 
define-se uma expressão geral que abarca todas essas expressões compostas 
por monômios na forma axk. 
Uma expressão algébrica composta pela soma de monômios é definida como 
polinômio, e possui a seguinte forma geral (STEWART; REDLIN; WATSON, 
2013): 
anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 
 
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Os números a0, a1, a2, a3 ... an referem-se a números reais, ou, como visto 
anteriormente, coeficientes reais. Já o número n refere-se a um número inteiro 
não negativo, ou seja, {0, 1, 2, 3, 4…}. Caso o coeficiente real an seja diferente 
de 0, ou seja, an ≠ 0, diz-se que o polinômio tem grau n. Os 
monômios akxk que compõem todo o polinômio também são chamados de 
termos. 
Com relação ao grau dos polinômios, analisam-se alguns exemplos. 
Considere o seguinte polinômio: 
3x3 – 3 
Como os termos dos polinômios são todos os monômios que o compõem, 
logo 3x³ e 3 referem-se aos termos do polinômio. Dentre esses termos, aquele 
que possui a maior expoente x é o termo 3x², sendo o expoente 2. Logo, diz-se 
que o polinômio supracitado tem grau 2. 
Analisando outro exemplo de polinômio: 
8x12 - 4x2 + 3x + 12 
Como os termos dos polinômios são todos os monômios que o compõem, 
tem-se que 8x12, -4x2, 3x e 12 são termos desse polinômio. Para que se possa 
identificar o grau do polinômio, deve-se sempre olhar o maior expoente de x; 
nesse caso, 12. Desse modo, identifica-se que o polinômio supracitado possui 
grau 12. 
O Quadro 1 apresenta outros exemplos de polinômios, identificando seus 
respectivos termos e determinando seu grau. 
 
Quadro 1. Termos e graus de polinômios. 
 
 
 
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Tendo em vista o conhecimento acerca dos polinômios e sua estrutura, 
resta, portanto, evidenciar como manipulá-los algebricamente. Esse assunto 
será tratado na seção seguinte. 
 
Seção 2 - Expressões algébricas e polinomiais 
 Operações e propriedades 
A seção anterior apresentou a conceituação teórica acerca de expressões 
algébricas e, dentre estas, as expressões polinomiais. Foi possível identificar a 
estrutura algébrica dessas expressões, assim como seus termos, coeficientes e 
grau polinomial – a partir desse conhecimento, a presente seção é estruturada. 
As operações de adição e subtração seguem a noção de agrupamento de 
termos polinomiais iguais para que, depois de agrupados, eles possam ser 
adicionados ou subtraídos uns aos outros. Para isso, deve-se levar em conta o 
grau dos termos e seus coeficientes. 
A multiplicação, por sua vez, é pautada na propriedade distributiva de 
termos, a mesma propriedade utilizada para a multiplicação de números reais. 
Apresenta-se, portanto, diversas propriedades multiplicativas entre termos, que 
poderá ser útil para o que se denomina expansão e fatoração, conceitos 
discutidos ao longo da seção. 
Apresenta-se, por fim, o algoritmo da divisão polinomial, em que se busca 
dividir um polinômio de maior grau por outro de menor grau. Isso possibilita a 
simplificaçãode razões polinomiais, as quais serão apresentadas, também, 
como expressões racionais, ressaltando-se suas propriedades manipulativas. 
 
ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, DIVISÃO E MULTIPLICAÇÃO 
 
Uma vez conhecida a estrutura de um polinômio, é necessário 
compreender como se darão as operações entre esses objetos matemáticos. 
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/060_U_EC/content/_2564653_1/scormcontent/index.html#/lessons/xA6_hDs8RAuBP_C_1XvaUsX6M3ZeuCHd
https://sereduc.blackboard.com/courses/1/060_U_EC/content/_2564653_1/scormcontent/index.html#/lessons/xA6_hDs8RAuBP_C_1XvaUsX6M3ZeuCHd
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Assim, as primeiras operações discutidas nessa seção serão as operações 
de adição e subtração. 
 
 
A ideia principal para que seja possível realizar essa operação é a de que 
os termos iguais devem ser agrupados; somente a partir disso realizam-se as 
adições e subtrações. Assim, os termos com mesmo grau são reagrupados e 
somados aos seus coeficientes. Observe o exemplo a seguir: 
3x2 + 12x2 = (3 + 12)x2 = 15x² 
O mesmo ocorre para a subtração: 
3x2 - 12x2 = (3 - 12)x2 = -9x² 
Portanto, a ideia é sempre agrupar os termos com o mesmo grau e somar 
ou subtrair seus coeficientes. Em uma soma ou subtração polinomial, isso deve 
ser feito com todos os termos. Para aqueles termos que não podem ser 
agrupados com outros por possuírem graus distintos, eles permanecem 
inalterados. Observe o exemplo: 
(12x3 + 2x) + (5x2 + 8x) 
Deseja-se efetuar a soma entre o polinômio 12x3 + 2x e o 
polinômio 5x2 + 8x. Para isso, agrupam-se os termos que contêm o mesmo 
grau. Nesse caso, isso é possível com os polinômios 2x e 8x, uma vez que 
ambos possuem grau 1; por outro lado, 12x3 e 5x2 possuem graus 3 e 2, 
respectivamente, logo não devem ter seus coeficientes somados. O resultado 
dessa operação seria o seguinte: 
(12x3 + 2x) + (5x2 + 8x) = 
12x3 + 5x2 + (2 + 8)x = 
12x3 + 5x2 + 10x 
O mesmo ocorre com a subtração: 
(12x3 + 2x) - (5x2 + 8x) = 
12x3 - 5x2 + (2 - 8)x= 
12x3 - 5x2 - 6x 
Por fim, mais um exemplo: 
(7x3 - 2) - (2x2 + x) + (x3 - 10x) = 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
18 
 
7x3 + x3 - 2x2 - 10x - x - 2 = 
(7 + 1)x3 - 2x2 + (-10 - 1)x - 2 = 
8x3 - 2x2 - 11x – 2 
Outra operação importante referente aos polinômios é a multiplicação, 
também chamada de produto. O produto entre dois polinômios é realizado por 
meio da propriedade distributiva. Considere o exemplo da Figura 8, que 
apresenta a multiplicação entre dois binômios a + b e c + d quaisquer. 
 
Figura 8. Distributiva entre dois binômios. 
Aplicando essa propriedade em um caso particular de binômios, tem-se o 
seguinte exemplo de multiplicação: 
(x2 + 2) · (2x + 3) = 2x3 + 3x2 + 4x + 6 
Existem casos, porém, em que adição e subtração de termos com graus 
semelhantes devem acontecer. Considere o exemplo a seguir: 
(2x + 8) · (x + 1) = 2x2 + 2x + 8x + 8 
Após realizar a propriedade distributiva, deve-se somar os coeficientes 
que acompanham termos com o mesmo grau, de tal forma que: 
2x2 + 2x + 8x + 8 = 
2x2 + (2 + 8)x + 8 = 
2x2 + 10x + 8 
É importante ressaltar que a multiplicação entre polinômios não se limita 
ao caso dos binômios. A propriedade distributiva aplica-se a qualquer 
multiplicação polinomial. Tome o exemplo a seguir, que exemplifica a 
multiplicação de um binômio (x + 3) e um trinômio (x2 + 2x + 1): 
(x + 3) · (x2 + 2x + 1) = 
x3 + 2x2 + x + 3x2 + 6x + 3 = 
x3 + 2x2 + 3x2 + x + 6x + 3 = 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
19 
 
x3 + (2 + 3)x² + (1 + 6)x + 3 = 
x3 + 5x² + 7x + 3 
Existem inúmeras propriedades algébricas acerca do produto entre 
termos. Essas propriedades valem tanto para P e Q sendo números reais 
quanto sendo expressões algébricas. O Quadro 2 apresenta essas 
propriedades, que podem ser utilizadas para resolver determinados produtos de 
maneira mais rápida. 
 
Quadro 2. Propriedades de expansão e fatoração. 
 
Para exemplificar a utilização das informações do Quadro 2, considere o 
seguinte produto de expressões algébricas: 
(x3 - y5)(x3 - y5)(x3 - y5) 
Esse produto pode ser escrito da seguinte forma, considerando as 
propriedades de potenciação: 
(x3 - y5)(x3 - y5)(x3 - y5) = (x3 - y5)³ 
DICA 
Outra maneira que pode ser útil para a visualização dessa escrita em 
forma de potência é imaginar que (x3 - y5) é um termo só, como, por exemplo, a. 
Desse modo, os produtos (x3 - y5)(x3 - y5)(x3 - y5) podem ser reescritos como a 
· a · a, resultando em a a33. Assim, fica mais evidente o motivo pelo qual pode-
se escrever essa sequência de produtos como (x3 - x5)3. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
20 
 
De acordo com o Quadro 2, e considerando a propriedade do cubo da 
diferença (V), pode-se escrever o produto de expressões algébricas supracitado 
da seguinte forma: 
(x3 - y5)3 = x9 - 3x6y5 + 3x3 y10 - y15 
Considere outro exemplo de um produto de polinômios: 
(x2 + 2x)(x2 - 2x) 
Tomando como base o Quadro 2, tem-se que esse tipo de produto se 
enquadra na propriedade da soma e diferença de termos (I). Portanto, ele pode 
ser resolvido da seguinte forma: 
(x2 + 2x)(x2 - 2x) = x4 - 4x2 
Assim, é possível resolver os produtos de expressões algébricas de 
maneira sucinta, uma vez que não é necessário a aplicação de sucessivas 
propriedades distributivas como, por exemplo, nos casos em que há um produto 
de três expressões (IV e V). No entanto, o uso dessas propriedades não se limita 
à resolução de produtos. 
As propriedades presentes no quadro possibilitam escrever os produtos à 
esquerda da igualdade como outras expressões algébricas: as que estão à 
direita da igualdade. Porém, é possível realizar o caminho inverso, ou seja, partir 
de expressões algébricas e escrevê-las como produtos de expressões. 
A fim de exemplificar essa explicação, considere o exemplo a seguir: 
 
x2 – 1 
Essa expressão algébrica pode ser escrita também da seguinte forma: 
x2 - 12 
Observando a propriedade I, percebe-se que essa expressão tem o 
formato P² -Q², expressão essa que se encontra à direita da igualdade e, logo, 
pode ser escrita como o produto que está à esquerda da igualdade. Dessa forma, 
pela propriedade I, tem-se que: 
x2 - 12 = (x+1)(x-1) 
As propriedades do Quadro 2 nos permitem transformar produtos de 
expressões algébricas em novas expressões, assim como transformar 
expressões algébricas em produtos de expressões. Para o primeiro caso, dá-se 
o nome de expansão, ao passo que o segundo caso recebe o nome 
de fatoração. A Figura 9 apresenta essa informação. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
21 
 
 
Figura 9. Expansão do produto e a fatoração de expressão. 
Por fim, apresenta-se a operação de divisão entre os polinômios. Para 
que seja possível dividir um polinômio por outro, o dividendo deve possuir um 
grau maior do que o divisor. Dado um polinômio P(x) e um polinômio G(x), 
determina-se que a divisão de P(x) (dividendo) por G(x) (divisor) seja efetuada 
da seguinte forma: 
 
1. Divide-se o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor, compondo um novo termo do quociente Q(x); 
2. Multiplica-se o divisor pelo novo termo do quociente e subtrai-se o resultado do 
dividendo; 
3. Todo o processo é repetido com o resto R(x) como novo dividendo até que seu 
grau seja menor do que o grau do dividendo Q(x). 
Considere a divisão do polinômio x3 + 4x2 + x - 6 pelo polinômio x + 2. 
Para que seja possível efetuar essa divisão, deve-se, de antemão, verificar se o 
grau do dividendo é maior que o grau do divisor. Nesse caso, o grau do dividendo 
é 3 e o grau do divisor é 1; logo, é possível efetuar a divisão polinomial. 
Seguindo o passo 1 descrito anteriormente, divide-se o termo de maior 
grau do dividendo (x³) pelo termo de maior grau do divisor (x). Desse modo: 
 
Portanto o termo x² será o primeiro termo do quociente Q(x) da divisão, e 
multiplicará o divisorx + 2 de acordo com o passo 2, resultando em: 
(x2)(x + 2) = x3 + 2x² 
Ainda segundo o passo 2, esse resultado deverá ser subtraído do 
dividendo x3 + 4x2 + x - 6, resultando em: 
(x
3
 + 4x
2
 + x - 6) - (x
3
 + 2x²) = 
(1 - 1)x
3
 + (4 - 2)x
2
 + x - 6= 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
22 
 
(0)x
3
 + (2)x
2
 + x - 6 = 
2x
2
 + x – 6 
 
O resultado dessa subtração é o resto R(x), que deve ser submetido aos 
passos 1 e 2 novamente, e, de acordo com o passo 3, até que seu grau seja 
menor do que o divisor G(x). A primeira execução dos três passos é 
representada pela Figura 10. 
 
Figura 10. Primeira execução da divisão polinomial. 
Aplicando os passos novamente, deve-se realizar a divisão do termo de 
maior grau do resto (2x²) pelo termo de maior grau do divisor (x), de acordo com 
o passo 1. Tem-se, portanto: 
 
Desse modo, 2x é o novo termo do quociente Q(x), que deve multiplicar 
o divisor, segundo o passo 2, da seguinte forma: 
(2x)(x + 2) = 2x2 + 4x 
Esse resultado (2x2 + 4x) deve ser subtraído do resto (2x² + x - 6), ainda 
de acordo com o passo 2, resultando em: 
(2x
2
 + x - 6) - (2x
2
 + 4x) = 
(2 - 2)x
2
 + (1 - 4)x - 6 = 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
23 
 
(0)x
2
 + (-3)x - 6 = 
-3x - 6 
 
O resultado dessa subtração é o novo resto R(x), que deve ser submetido 
aos passos 1 e 2 novamente, de acordo com o passo 3, até que seu grau seja 
menor do que o divisor G(x). A segunda execução dos três passos é 
representada pela Figura 11. 
 
Figura 11. Segunda execução da divisão polinomial. 
Aplicando os passos novamente, deve-se realizar a divisão do termo de 
maior grau do resto (-3x) pelo termo de maior grau do divisor (x), de acordo com 
o passo 1. Tem-se, portanto: 
 
Desse modo, -3 é o novo termo do quociente Q(x), que deve multiplicar o 
divisor, segundo o passo 2, da seguinte forma: 
(-3)(x + 2) = -3x – 6 
Esse resultado (-3x - 6) deve ser subtraído do resto (-3x - 6), ainda de 
acordo com o passo 2, resultando em: 
(-3x - 6) - (-3x - 6) = 
0 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
24 
 
O resultado dessa subtração é o novo resto R(x), que tem o grau 
polinomial menor do que o divisor G(x), o que sinaliza o final da divisão 
polinomial. A terceira, e última, execução dos três passos é representada pela 
Figura 12. 
 
Figura 12. Terceira execução da divisão polinomial. 
Portanto, a divisão do polinômio x3 + 4x2 + x - 6 pelo polinômio x + 
2 resulta no quociente x2 + 2x - 3 e no resto 0. A sequência de passos utilizadas 
para efetuar essa divisão polinomial é válida para qualquer outra, desde que o 
grau do dividendo seja maior do que o grau do divisor. 
EXPRESSÕES RACIONAIS 
As expressões racionais são um tipo determinado de expressões 
algébricas que envolvem polinômios de maneira específica. A razão entre dois 
polinômios é chamada de expressão racional; dessa forma, a expressão racional 
é uma fração cujo numerador e o denominador são polinômios. 
Observe alguns exemplos de expressões racionais: 
 
O ponto de partida do estudo de expressões racionais é seu domínio, 
porém para o conhecimento de seu domínio são necessários conhecimentos 
mais avançados, que fogem do escopo desta unidade. Aqui serão discutidas, 
portanto, as operações que podem ser efetuadas com expressões desse tipo. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
25 
 
O Quadro 3 apresenta as operações que podem ser efetuadas com as 
expressões racionais. 
 
Quadro 3. Propriedades das expressões racionais. 
A propriedade I é denominada simplificação. Com ela, é possível 
eliminar termos em comum que estejam presentes em um produto no 
denominador e no numerador da expressão racional. Considere o exemplo a 
seguir, que apresenta sua utilização: 
 
O polinômio (x + 3) está presente em um produto tanto no denominador 
quanto no numerador e, por conta disso, pode ser excluído de ambos. Essa 
propriedade é extremamente útil, também, quando utilizada conjuntamente com 
a fatoração de polinômios. Considere o exemplo a seguir de uma expressão 
racional: 
 
Como apresentado anteriormente, o polinômio x2 - 1 pode ser fatorado da 
seguinte forma, segundo a propriedade I do Quadro 2: 
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
26 
 
Desse modo, a expressão racional anterior pode ser reescrita da seguinte forma: 
 
Utilizando a simplificação (I) presente no Quadro 3, tem-se: 
 
Outra operação importante das expressões racionais é descrita pela 
propriedade da multiplicação (II). Para que ela seja efetuada corretamente, 
deve-se multiplicar denominador por denominador e numerador por numerador 
de ambas as expressões racionais envolvidas. Considere o exercício a seguir: 
 
A divisão (III), por sua vez, possui certa ligação com a multiplicação de 
expressões racionais. Para que seja possível dividir uma expressão racional por 
outra, a expressão racional que seria o divisor deve inverter o denominador e o 
numerador e multiplicar a expressão racional que seria o dividendo. Para uma 
melhor compreensão, considere o exemplo a seguir: 
 
A adição (IV) e a subtração (V) de expressões racionais com o mesmo 
denominador seguem a mesma regra. Deve-se manter o denominador e somar 
ou subtrair os polinômios presentes no numerador. Este exemplo apresenta a 
adição de duas expressões racionais: 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
27 
 
 
O exemplo a seguir apresenta a subtração das mesmas expressões 
racionais utilizadas no exemplo anterior: 
 
Desse modo, apresentou-se as operações possíveis com as expressões 
racionais, de acordo com o enfoque teórico da unidade. É importante ressaltar 
que essas operações devem ser executadas levando em conta, também, as 
propriedades polinomiais estudadas na subseção anterior, tal como foi 
apresentado com relação à propriedade da simplificação (I) do Quadro 3 e a 
fatoração do Quadro 2. 
 
Agora é a hora de sintetizar tudo o que aprendemos nessa unidade. 
Vamos lá?! 
SINTETIZANDO 
Dentre os objetivos estipulados estava a compreensão dos conceitos de 
expressões algébricas e numéricas, alcançado ao final da primeira seção da 
unidade. Além disso, apresentou-se as discussões teóricas acerca da 
conceituação dessas duas expressões e de suas aplicabilidades. A principal 
distinção foi devido à capacidade de generalização das expressões algébricas e 
à capacidade de particularização das expressões numéricas. Tudo isso é 
fundamental para o estudo da Matemática Aplicada. 
Compreender a estrutura algébrica das expressões polinomiais e 
manipulá-las eram, também, objetivos dessa unidade. A compreensão da 
estrutura algébrica dessas expressões foi realizada ao final da primeira seção da 
unidade, uma vez que se discutiu acerca dos elementos que a constitui, tais 
como termos, coeficientes e graus polinomiais. 
Na seção seguinte, apresentou-se as operações que podem ser 
realizadas com esses objetos matemáticos, tais como adição, divisão, subtração 
e multiplicação. Isso foi possível devido aos conceitos de agrupamento de termos 
iguais, fatoração, expansão, e a comparação efetuada acerca dos graus dos 
polinômios, principalmente na divisão polinomial. 
Matemática Aplicada (DISCIPLINA UNINASSAU) II 
 
28 
 
Por fim, apresentou-se a estrutura algébrica das expressões racionais, 
que são expressões compostas por uma razão de polinômios, outro objetivo 
dessa unidade. Além da apresentação da estrutura algébrica, estudou-se 
propriedades manipulativas desses objetos matemáticos, tais como divisão, 
adição multiplicação, subtração e simplificação. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
STEWART, J.; REDLIN, L.; WATSON, S. Precalculus: mathematics for 
calculus. Boston, 2013.