Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - EMC02

Prévia do material em texto

2017
Geometria analítica e 
ÁlGebra Vetorial
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Copyright © UNIASSELVI 2017
Elaboração:
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
515.35
J51g Jenske, Grazielle
Geometria analítica e álgebra vetorial / Grazielle Jenske; 
Leonardo Garcia dos Santos; Luiz Carlos Pitzer: UNIASSELVI, 
2017.
263 p. : il. 
ISBN 978-85-515-0078-1
 1. Equações Diferenciais.
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
III
apresentação
Prezado acadêmico! Seja bem-vindo à disciplina de Geometria Analítica e 
Álgebra Vetorial. Ao iniciarmos este estudo, deveremos nos remeter inicialmente 
ao matemático francês René Descartes (1596 –1650, criador do ramo da matemática 
chamado Geometria Analítica), inspirando-nos com seu trabalho. Trabalho este 
que proporcionou a criação e aplicação do objeto principal de estudos desta 
disciplina, que é o de estudar o comportamento algébrico de entes geométricos, 
tais como retas, planos, vetores e curvas quadráticas.
Além disso, iremos trazer a você algumas aplicações de ferramentas e 
o modo como elas contribuem para a área da tecnologia e engenharia, sempre 
comentando seus aspectos teóricos e procurando envolver a prática necessária 
para o entendimento real dos seus conceitos.
Este livro de estudos está dividido em três unidades, que irão abordar 
a fundamentação necessária para a incorporação do conhecimento a respeito 
da Geometria Analítica e da Álgebra Vetorial, compreendendo matrizes, 
determinantes, sistemas de equações lineares, vetores e suas operações 
básicas, operações vetoriais, transformações lineares e aplicações e autovalores 
e autovetores.
Na Unidade 1 traremos todo um alicerce para a formação dos 
conteúdos que irão surgir nas unidades 2 e 3. Iremos estudar os conceitos de 
matrizes que posteriormente serão representações de vetores e transformações 
lineares, determinantes que serão excelente ferramenta de apoio às operações 
vetoriais e caracterização de conjuntos de vetores. E, por fim, a teoria dos 
sistemas de equações lineares, que servem de instrumento de cálculo para 
diversas aplicações na tecnologia e engenharia como um todo.
Na sequência, na Unidade 2, conheceremos a linguagem vetorial, que 
permite descrever de um modo bastante específico diversos fenômenos físicos, 
abordando, como forma de motivação, o papel fundamental que os vetores 
desempenham na área das ciências em geral. Além disso, perceberemos que 
esta linguagem descreve analiticamente situações extremamente práticas. 
Em particular, desenvolveremos suas principais operações aritméticas 
e vetoriais e, num segundo momento, trataremos de como este estudo (o 
dos vetores) pode ser entendido e compreendido como uma poderosa 
ferramenta que proporcionou grande avanço tecnológico, com o estudo das 
transformações lineares e dos autovalores e autovetores. 
Por fim, na Unidade 3 iremos conhecer o estudo de importantes entes 
geométricos no plano e no espaço. Este estudo percorrerá desde definições 
básicas de ponto, reta e plano, até a representação de curvas em R² e R³. Essa 
unidade será de grande valia para seus estudos, pois formará uma importante 
base para o estudo do Cálculo Diferencial e Integral e outras disciplinas 
específicas de seu curso.
IV
Deve ser aqui salientado que este material busca trazer uma abordagem 
profunda da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial. Porém, 
obviamente, não se trata de todo o material possível que pode ser encontrado 
sobre estes assuntos (seria tema para mais de 500 páginas!). Sendo assim, 
sinta-se à vontade para buscar materiais de apoio e leituras complementares 
para aprofundar seus conhecimentos.
Como estudante, você sempre deve lembrar que para que ocorra 
seu aprendizado efetivo algumas coisas são fundamentais: a disciplina, a 
organização e um horário de estudos predefinido. 
Esperamos que você, ao final deste estudo, possa ter alcançado os 
objetivos necessários, com um aprendizado sólido e que propicie a base 
fundamental para seu sucesso como acadêmico.
Bons estudos! 
Profª. Grazielle Jenske
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Prof. Luiz Carlos Pitzer
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
sumÁrio
UNIDADE 1 - MATRIZES E SISTEMAS LINEARES....................................................................... 1
TÓPICO 1 - MATRIZES .......................................................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 ESTUDO DAS MATRIZES ................................................................................................................. 4
3 ELEMENTOS CORRESPONDENTES .............................................................................................. 7
3.1 IGUALDADE DE MATRIZES ........................................................................................................ 7
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES .......................................................................................................... 8
4.1 MATRIZ TRANSPOSTA ................................................................................................................. 8
4.2 MATRIZ OPOSTA ............................................................................................................................ 10
4.3 MATRIZ QUADRADA ................................................................................................................... 10
4.3.1 Matriz Triangular ................................................................................................................... 11
4.3.2 Matriz Diagonal ...................................................................................................................... 12
4.3.3 Matriz Identidade ................................................................................................................... 12
4.3.4 Matriz Simétrica ...................................................................................................................... 12
5 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES .................................................................................................... 13
5.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃODE MATRIZES ................................................................................... 13
5.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL ........................................ 15
5.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .............................................................................................. 18
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 29
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 30
TÓPICO 2 - DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES ................................................... 35
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 35
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE ............................................................................................... 35
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1ª ORDEM .............................................................. 36
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2ª ORDEM .............................................................. 37
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3ª ORDEM – REGRA DE SARRUS ..................... 37
2.4 COFATOR ......................................................................................................................................... 40
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3........................................................................................... 41
2.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ................................................................................ 42
3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES............................................................................................... 44
3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ ............................................................................. 44
3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ................................................................................... 45
3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE ............................................. 50
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 52
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 53
TÓPICO 3 - SISTEMAS LINEARES .................................................................................................... 55
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 55
2 EQUAÇÃO LINEAR............................................................................................................................. 55
2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ...................................................................................... 56
2.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................................................... 56
3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ..................................................................................... 59
VIII
3.1 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO ..................................................................................................... 59
3.2 MÉTODO DA ADIÇÃO .................................................................................................................. 61
3.3 REGRA DE CRAMER ..................................................................................................................... 66
3.4 SISTEMAS EQUIVALENTES ......................................................................................................... 70
3.4.1 Propriedades dos sistemas equivalentes ............................................................................. 70
3.5 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS .............................................................. 71
4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ....................................................................................... 77
5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES ...................................................................................... 79
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 83
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 86
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 87
UNIDADE 2 - VETORES E SUAS APLICAÇÕES ............................................................................. 91
TÓPICO 1 - VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS ............................................................... 93
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 93
2 PLANO CARTESIANO ....................................................................................................................... 94
3 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO............................................................................................ 96
3.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETOR ......................................................................... 97
3.2 DEFINIÇÃO ALGÉBRICA DE VETOR ........................................................................................ 98
4 OPERAÇÕES ENTRE VETORES ...................................................................................................... 100
4.1 SOMA DE VETORES ....................................................................................................................... 100
4.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR ........................................................ 103
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 106
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 107
TÓPICO 2 - OPERAÇÕES VETORIAIS .............................................................................................. 109
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 109
2 MÓDULO OU NORMA DO VETOR ............................................................................................... 109
3 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO ..................................................................................... 110
4 PRODUTO ESCALAR ......................................................................................................................... 112
5 ÂNGULO ENTRE VETORES ............................................................................................................. 112
6 PRODUTO VETORIAL ....................................................................................................................... 114
6.1 CÁLCULO DE ÁREA ...................................................................................................................... 117
7 PRODUTO MISTO .............................................................................................................................. 121
7.1 CÁLCULO DE VOLUMES ............................................................................................................. 122
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 124
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 125
TÓPICO 3 - DEPENDÊNCIA LINEAR ................................................................................................129
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 129
2 COMBINAÇÕES LINEARES ............................................................................................................. 129
3 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................................... 131
4 BASE ........................................................................................................................................................ 135
4.1 BASE ORTOGONAL ....................................................................................................................... 137
4.2 BASE ORTONORMAL ................................................................................................................... 137
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 139
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 140
TÓPICO 4 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR, AUTOVALORES E AUTOVETORES .................. 141
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 141
2 DEFINIÇÃO ........................................................................................................................................... 141
3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO ................................................................. 143
IX
4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ............................................... 144
5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO .................................. 148
6 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS ................................................................................. 151
6.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO .......................................................................................... 151
 6.1.1 Em torno do eixo X ................................................................................................................ 151
 6.1.2 Em torno do eixo Y ................................................................................................................ 152
6.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO .......................................................................................... 153
 6.2.1 Projeção sobre o eixo X .......................................................................................................... 153
 6.2.2 Projeção sobre o eixo Y .......................................................................................................... 154
6.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO ................................................... 155
 6.3.1 Na direção do vetor ( α ∈ ) ......................................................................................... 155
 6.3.2 Na direção do eixo X (horizontal)........................................................................................ 156
 6.3.3 Na direção do eixo Y (vertical) ............................................................................................. 157
6.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO α
 NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO) .................................................................................................. 158
7 AUTOVALORES E AUTOVETORES ............................................................................................... 160
7.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ .......................................................... 161
7.2 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO ......................... 165
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 166
RESUMO DO TÓPICO 4........................................................................................................................ 170
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 171
UNIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA ......................................................................................... 173
TÓPICO 1 - A RETA ................................................................................................................................ 175
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 175
2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA.................................................................................................... 175
3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA ...................................................................................... 177
3.1 RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS........................................................................................ 178
4 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA ............................................................................................. 178
5 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA .............................................................................................. 180
6 RETAS PARALELAS AOS PLANOS E AOS EIXOS COORDENADOS ................................... 181
7 ÂNGULO DE DUAS RETAS .............................................................................................................. 186
8 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS ................................................................... 188
9 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS ........................................................ 189
10 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS .......................................................... 190
11 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS .................................................................................. 191
12 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS.................................................................................................... 192
13 RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS .......................................................................................... 193
14 DISTÂNCIAS ...................................................................................................................................... 194
14.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA ........................................................................... 195
14.2 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS ........................................................................................... 196
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 199
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 200
TÓPICO 2 - O PLANO ............................................................................................................................ 203
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 203
2 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO ....................................................................................................... 203
2.1 DETERMINAÇÃO DE UM PLANO ............................................................................................. 206
2.2 PLANOS PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS
 COORDENADOS – CASOS PARTICULARES ............................................................................ 210
2.2.1 Planos que Passam pela Origem ........................................................................................... 210
X
2.2.2 Planos Paralelos aos Eixos Coordenados ............................................................................ 210
2.2.3 Planos Paralelos aos Planos Coordenados ..........................................................................212
3 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO .................................................................................. 213
4 ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS ................................................................................................... 214
5 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE DOIS PLANOS ...... 216
6 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO ............................................................................... 217
7 CONDIÇÃO DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO ..... 218
8 INTERSEÇÃO ENTRE DOIS PLANOS ........................................................................................... 219
9 INTERSEÇÃO DE RETA COM PLANO .......................................................................................... 220
9.1 INTERSEÇÃO DE PLANO COM OS EIXOS E PLANOS COORDENADOS ......................... 220
10 DISTÂNCIAS ...................................................................................................................................... 221
10.1 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO .......................................................................... 222
10.2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS ......................................................................................... 223
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 224
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 226
TÓPICO 3 - CÔNICAS ........................................................................................................................... 229
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 229
2 CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................................................. 229
2.1 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................ 233
2.2 RECONHECENDO UMA EQUAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA ............................................ 235
3 PARÁBOLA ............................................................................................................................................ 238
3.1 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA ........................................................................................................ 239
4 ELIPSE ..................................................................................................................................................... 243
4.1 EQUAÇÕES DA ELIPSE ................................................................................................................. 245
5 HIPÉRBOLE ........................................................................................................................................... 249
5.1 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE ....................................................................................................... 250
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 256
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 259
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 260
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................... 263
1
UNIDADE 1
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• conceituar, operacionar e interpretar matrizes; 
• calcular o determinante de uma matriz; 
• utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como instru-
mento para interpretar dados e soluções; 
• utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o escalonamento 
para a resolução e discussão de sistemas lineares.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você 
encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.
TÓPICO 1 - MATRIZES
TÓPICO 2 - DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
TÓPICO 3 - SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
MATRIZES
1 INTRODUÇÃO
A Matemática é uma ciência muito antiga, que desde os primórdios esteve 
presente no cotidiano das pessoas através da necessidade de quantificar coisas e 
animais, bem como medir o tempo. Já nos primeiros milênios de desenvolvimento 
da Matemática houve um problema que chegou a impossibilitar o seu avanço e 
até hoje é um grande desafio para os aprendizes dessa ciência. Este problema é o 
modo de representar matematicamente quantidades, expressões e situações, ou 
seja, transformar a linguagem falada para a notação matemática. 
Atualmente, a Álgebra Linear, uma subárea da matemática, se propõe 
a estudar a forma de representar situações cotidianas através da notação e 
metodologia matricial. E não as encontramos apenas no estudo da matemática, 
mas também na engenharia, informática, nas tabelas financeiras etc. 
As matrizes e os sistemas lineares têm larga aplicação em problemas 
práticos, especialmente na área de Engenharia. Por exemplo, na Engenharia 
Civil o uso das matrizes é de extrema importância para a divisão dos metros e 
distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação; em 
situações que envolvem grande número de variáveis para resolver problemas de 
Elementos Finitos, especialmente utilizados em problemas de Engenharia Civil 
e Mecânica; em projetos de estruturas metálicas, que exigem a resolução de um 
sistema de equações lineares; nos estudos da elasticidade e das deformações e 
tensões em placas metálicas; em projetos de eixos traseiros de um automóvel, por 
envolver grande número de variáveis a serem testadas e analisadas; em análises 
de circuitos elétricos; em problemas que relacionam o deslocamento e o tempo; 
para codificar e decodificar mensagens, em modelos populacionais, em modelos 
de probabilidades, em pesquisas operacionais e outras diversas situações.
É importante salientar que existem dois problemas que dificultam trabalhar 
com aplicações de matrizes: 1) para modelar certos problemas é necessário um 
maior conhecimento matemático; 2) mesmo nos problemas fáceis de modelar, suas 
soluções, na maioria das vezes, exigem conhecimento de teorias mais sofisticadas. 
Desta forma, o objetivo deste tópico é dar uma visão geral do conteúdo de matrizes, 
ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns tipos de matrizes, suas 
operações aritméticas, como também estabelecer algumas de suas propriedades 
algébricas para que possa servir de subsídio na construção de conhecimentos 
futuros.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
4
2 ESTUDO DAS MATRIZES
Matrizes são formas de organizarmos informações em linhas e colunas, 
obtendo agrupamentos retangulares, de modo a facilitar a interpretação e 
manipulação das informações ali descritas. Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-
se "matriz do tipo m x n (lê-se m por n) toda tabela de números dispostos em m 
linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ) ou colchetes 
[ ]". 
Acompanhe a seguinte situação de montagem de uma matriz: Um 
engenheiro que trabalha de segunda a sexta realizou a supervisão do seguinte 
número de projetos da sua equipe por dia em três semanas de trabalho: 
• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.
• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.
• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.
Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho 
e nas colunas os projetos supervisionados, nos cinco dias da semana em ordem 
cronológica. Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas 
três linhas. Já os dias trabalhados são cinco, portanto o número de colunas será de 
cinco. Assim, a matriz resultantedeste fato ficará:
3x5
5 2 7 8 6
 10 7 6 8 9
4 7 3 8 6
 A
 
 = 
 
 
A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item da matriz 
é denominado de elemento.
NOTA
Concluindo, a matriz será de ordem 3x5 (leia-se três por cinco), pois tem três 
linhas e cinco colunas. É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o 
número de linhas e depois o número de colunas. Observe que o elemento 5 está na 
primeira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a11 e lemos “o elemento 
a um um é igual a 5”. O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna, 
o qual indicamos por a21 e lemos “o elemento a dois um é igual a 10”. O elemento 
4 está na terceira linha e na primeira coluna, o qual indicamos por a31 e lemos “o 
elemento a três um é igual a 4”. 
TÓPICO 1 | MATRIZES
5
Dessa forma, para representar o elemento de uma matriz, usamos uma 
letra com dois índices: o primeiro indica em que linha (i) o elemento se encontra e 
o segundo em que coluna (j), genericamente indicado por aij. Por exemplo: a23 é o 
elemento que está na segunda linha e na terceira coluna. 
A matriz A, do tipo m x n (leia-se m por n), será escrita, genericamente, do seguinte 
modo:
IMPORTANT
E
11 12 13 1
11 12 13 1
m1 m2 m3 m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
…
…=


…



 
n
n
mn xn
a a a a
a a a a
a
A
a a a
   
Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz 
A, com aij assumindo os seguintes valores: 
ij
ij
a 2 , 
A .
a 0, 
i j parai j
parai j
= + ≥
=  = <
Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme 
a matriz genérica:
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
Desta forma, os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for 
maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 2j”, 
que é o que afirma a primeira condição, ija i 2 j, para i j= + ≥ . Assim:
a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) 
a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) 
a22 = 5 (sendo i = 2 e j = 2, então: i + 2j = 2 + 2·2 = 6)
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
6
Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor que 
o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “ ija 0, para i j= < ”. 
Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim:
a12 = 0 (neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0) 
Portanto, a matriz A será igual a:
2 2
3 0
A
4 6
 
=  
  x
Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3, ijC c= , sendo 
2 2.ijc i j= +
Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
c c c
C c c c
c c c
 
 =  
 
 
Agora, basta aplicar a fórmula 2 2ijc i j= + para definir o valor de cada 
elemento, levando em consideração sua posição na matriz. Lembre que o i 
representa a posição do elemento em relação à linha e o j representa a posição do 
elemento em relação à coluna.
2 2
2 2
11
2 2
21
2 2
31
2 2
12
2 2
22
2 2
32
2 2
13
2 2
23
2 2
33
1 1 1 1 2
2 1 4 1 5
3 1 9 1 10
1 2 1 4 5
2 2 4 4 8
3 2 9 4 13
1 3 1 9 10
2 3 4 9 13
3 3 9 9 18
ijc i j
c
c
c
c
c
c
c
c
c
= +
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
2 2
2 2
11
2 2
21
2 2
31
2 2
12
2 2
22
2 2
32
2 2
13
2 2
23
2 2
33
1 1 1 1 2
2 1 4 1 5
3 1 9 1 10
1 2 1 4 5
2 2 4 4 8
3 2 9 4 13
1 3 1 9 10
2 3 4 9 13
3 3 9 9 18
ijc i j
c
c
c
c
c
c
c
c
c
= +
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
= + = + =
Assim, a matriz C será igual a: 
3x3
2 5 10
C 5 8 13
10 13 18
 
 =  
 
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
7
3 ELEMENTOS CORRESPONDENTES
Para Facchini (1996, p. 174, grifos do original), “quando temos duas matrizes 
A e B do mesmo tipo m x n, os elementos de mesma posição (mesma linha e mesma 
coluna) nas duas matrizes são chamados elementos correspondentes”.
Genericamente, dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B: 
11 12 13 1n 11 12 13 1n
21 22 23 2n 21 22 23 2n
m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mnmxn mxn
a a a a b b b b
 a a a a b b b b 
A e B 
a a a a b b b b
… …   
   … …   = =
   
   
… …   
       
Podemos afirmar que:
a11 e b11 são correspondentes.
a12 e b12 são correspondentes.
a13 e b13 são correspondentes.
 
amn e bmn são correspondentes.
3.1 IGUALDADE DE MATRIZES
Para Paiva (2013, p. 97), “duas matrizes do mesmo tipo são iguais quando 
todos os seus elementos correspondentes são iguais”. Simbolicamente, podemos 
escrever, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 
1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Exemplo 3: Dadas as matrizes ( )ij ij2x2
2 1
A a ,a 3i j e B
x x y
 
= = − =  + 
, deter-
mine x e y sabendo que A = B.
Resolução: Vamos iniciar determinando os elementos da matriz A.
11 12
21 22 2 2
a a
A
a a x
 
=  
 
ij
11
21
12
22
a 3i j
a 3 1 1 2
a 3 2 1 5
a 3 1 2 1
a 3 2 2 4
= −
= ⋅ − =
⋅= − =
= ⋅ − =
= ⋅ − =
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
8
Assim, a matriz A é: 
2 2
2 1
A
5 4 x
 
=  
 
Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais. 
Desta forma, temos que:
Portanto, x = 5 e y = - 1.
4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES 
Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para 
cada tipo de matriz, conforme apresentadas a seguir. 
4.1 MATRIZ TRANSPOSTA
Segundo Facchini (1996, p. 176), “dada uma matriz A = (aij)mxn, chamamos 
de matriz transposta de A (e indicamos At) a matriz do tipo nxm, que tem linhas 
ordenadamente iguais às colunas de A”. Em outras palavras, a matriz At é obtida 
trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Simbolicamente, podemos 
representar por At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. 
Exemplo 4: t
2 4 2 8
A transposta de A é a A
8 6 4 6
   
= =   
   Observe que:
a11 = 2 = a’11
a21 = 8 = a’12
a12 = 4 = a’21
a22 = 6 = a’22
Exemplo 5: A matriz 
1 2 3
2 1
A x y z
z
 
 =  
  
 admite a transposta 
1 2
2 1
3 6
t
x
A x y
y y z
 
 = − 
 − 
.
Nestas condições, calcule x, y e z.
11 11
21 21
12 12
22 22
a b 2 2
a b 5 x
a b 1 1
a b 4 x y Como x 5, então : 4 5 y y 1
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ = + = = + ⇔ = −
TÓPICO 1 | MATRIZES
9
Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)nxm, 
tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas 
colunas da matriz A. Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a matriz 
genérica de A:
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3x3
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
 
 
11 11
21 12
31 13
12 21
22 22
32 23
13 31
23 32
33 33
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
'a a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11 11
21 12
31 13
12 21
22 22
32 23
13 31
23 32
33 33
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
a a'
'a a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
O elemento aij corresponde à matriz A e o elemento a’ij corresponde à matriz 
At (transposta de A). Acadêmico, note também que os elementos da diagonal principal não se 
alteram, visto que i = j.
ATENCAO
Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:
11 11
21 12
31 13
12 21
22 22
32 23
13 31
a a' 1 1
a a' x x
a a' 2 2
a a' 2 x 2 x 4
a a' y y
a a' 1 1
a a' 3 3y y 1
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ = − ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
10
23 32
33 33
a a' z 6 y Como sabemos que y 1, então : z 6 1 z 5
a a' z z
= ⇔ = − = = − ⇔ =
= ⇔ =
Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.
4.2 MATRIZ OPOSTA
Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A = (– aij)mxn.
Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos 
opostos correspondentes ao da matriz A.
2 -4 -2 4
a) A matriz oposta de A é - A .
8 6 -8 -6
   
= =   
   
Observe que:
a11 = 2 e é oposto de(-a11) = - 2
a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8
a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4
a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6
1 -2 3 -1 2 -3
b) A matriz oposta de B é - B .
4 5 -6 -4 -5 6
   
= =   
   
a b c -a -d -g
c) A matriz oposta de C d e f é - C -b -e -h .
g h i -c -f -i
   
   = =   
   
   
4.3 MATRIZ QUADRADA 
Para Paiva (2013, p. 96), “matriz quadrada é toda matriz cujo número de 
linhas é igual ao número de colunas”, ou seja, quando m = n, dizemos que a matriz 
é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n.
( )
3 5
A é uma matriz quadrada de ordem 2 m n 2
2 6
 
= = = 
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
11
� �
5 3 10
B -1 -4 6 é uma matriz quadrada de ordem 3 m n 3
1
2 0 -
2
� �
� �
� � �� �
� �
� �
� �
Acadêmico, numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ... 
ann formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal da matriz quadrada 
é denominada diagonal secundária.
Acadêmico, as classificações a seguir são utilizadas somente para matrizes 
quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.
Um termo utilizado na diagonal principal é denominado de traço, que em uma 
matriz quadrada representa a soma dos elementos da diagonal principal.
IMPORTANT
E
4.3.1 Matriz Triangular
Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal 
principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular.
7 0 0
A 8 1 0
2 9 -5
 
 =  
 
 
 todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A são nulos.
1 4 7 6
 
0 3 8 5
B
0 0 0 3
 
0 0 0 4
 
 
 =
 
 
 
 todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B são nulos.
Diagonal secundária
Diagonal principal
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
12
4.3.2 Matriz Diagonal
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de 
matriz diagonal.
1 0 0 0
 2 0 0
0 5 0 0 6 0 
A B 0 1 0 C 
0 0 9 0 0 3 
 0 0 8 
0 0 0
 
2
 
      = = =     −     
 
4.3.3 Matriz Identidade 
Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, 
denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem 
da matriz).
5 3 2
1 0 0 0
 1 0 0
0 1 0 0 1 0 
I I 0 1 0 I 
0 0 1 0 0 1 
 0 0 1 
0 0 0 1
 
      = = =          
 
4.3.4 Matriz Simétrica
Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, 
a matriz é denominada de simétrica. 
Exemplo 6: Matrizes simétricas.
1 2 6 9
 1 4 5
2 3 7 2 
A B 4 2 6 C 
6 7 7 1 
 
 5 6 3
9 2 1 4
 
a c
c b
 
      = = =          
 
Exemplo 7: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, tA A= . Determine o 
valor de a para que 
21 
A
 2
a
a
 
=  
 
 seja simétrica.
Resolução: A matriz transposta de A é: 2
1 
A
 2
t a
a
 
=  
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
13
A condição de simetria nos garante que e, como vimos no exemplo 3:
11 11
21 12
12 21
22 22
a a'
a a'
a a'
a a'
=
=
=
=
Neste caso:
11 11
2
21 12
2
12 21
22 22
a a' 1 1
a a'
a a'
a a' 2 2
a a
a a
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
= ⇔ =
Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.
a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)
a ( a – 1) = 0
Desta forma a’ = 0 e,
a” – 1 = 0
a” = 1
Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.
5 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES
Após o conhecimento de algumas das principais características acerca do 
estudo das matrizes, há a necessidade de operá-las entre si. A seguir, estudaremos 
as operações de adição (e subtração), multiplicação por escalar e multiplicação 
entre matrizes. Estas operações são bem definidas e são munidas das principais 
propriedades das operações usuais entre números reais.
5.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3: 
3 5 2 1 4 1
A B
4 7 6 6 3 2
− − −   
= =   −   
Para determinar uma matriz C, dada por C = A + B, devemos encontrar 
uma matriz tal qual cada elemento possua a seguinte característica: cij = aij + bij. 
tA A=
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
14
Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) deverão ser obtidos a partir da operação 
com cada termo correspondente em A e B. Vejamos como ficará a adição dessas 
duas matrizes.
c11 = a11 + b11 = 3 + 1 = 4
c21 = a21 + b21 = 4 + 6 = 10
c12 = a12 + b12 = 5 + (– 4) = 5 – 4 = 1 
c22 = a22 + b22 = 7 + 3 = 10 
c13 = a13 + b13 = (– 2) + (– 1) = – 2 – 1 = – 3 
c23= a23 + b23 = (– 6) + 2 = – 4 
É simples, mas precisamos ter 
atenção, principalmente nos 
sinais! 
Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
( ) ( ) ( )
( )
3 1 5 4 2 13 5 2 1 4 1 4 1 3
 
4 6 7 3 6 24 7 6 6 3 2 10 10 4
+ + − − + − − − − −     
+ = =      + + − +− −      
Note, acadêmico, que somente é possível somar matrizes que possuem a mesma 
ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.
IMPORTANT
E
Assim, podemos concluir: 
• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das 
matrizes A e B. 
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com 
a matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida 
adicionando cada elemento correspondente de A e B. 
Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma 
A + B é a matriz C = ( ijc ) de ordem mxn, tal que: ijc = ija + ijb , para i = 1, 2, 3, ..., 
m e j = 1, 2, 3, ..., n.
TÓPICO 1 | MATRIZES
15
Para a subtração de matrizes, utilizaremos a ideia de soma com a matriz 
oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, denominamos diferença entre A e B 
(representada por A - B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A + (-B).
ATENCAO
Vejamos, também, uma demonstração de subtração de matrizes. Dadas as 
matrizes A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração 
A – B.
3 5 2 1 4 1
A B
4 7 6 6 3 2
− − −   
= =   −   
( ) ( ) ij ij ijD A B A B d a b= − = + − ⇔ = + −
d11 = a11 + (-b11) = 3 + (– 1) = 3 – 1 = 2
d21 = a21 + (-b21) = 4 + (– 6) = 4 – 6 = – 2
d12 = a12 + (-b12) = 5 + (+ 4) = 5 + 4 = 9 
d22 = a22 + (-b22) = 7 + (– 3) = 7 – 3 = 4 
d13 = a13 + (-b13) = (– 2) + (+ 1) = – 2 + 1 = – 1 
d23 = a23 + (-b23) = (– 6) + (– 2) = – 6 – 2 = – 8 
Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 5 4 2 13 5 2 1 4 1
D 
4 6 7 3 6 24 7 6 6 3 2
+ − + + − + + − − + +   
= + = =     + − + − − + −− − − −     
3 1 5 4 2 1 2 9 1
D
4 6 7 3 6 2 2 4 8
− + − + −   
= ⇔ =   − − − − − −   
5.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO 
REAL
Dada a matriz 
5 8 1
A
4 3 6
− 
=  − 
, vamos determinar A + A.
( ) ( )
( ) ( )
5 5 8 8 1 15 8 1 5 8 1
A A
4 4 3 3 6 64 3 6 4 3 6
+ + − + − − −   
+ = + =      − + − + +− −     
10 16 2
A A
8 6 12
− 
+ =  − 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
16
Considerando que A + A = 2·A, temos:
( )
( )
2.5 2·8 2· 15 8 1 10 16 2
2·A 2·
2· 4 2·3 2·64 3 6 8 6 12
− − −   
= = =    −− −    
Desta forma, observamos que a multiplicação é obtida a partir da 
multiplicação termo a termo de todos os elementos da matriz indicada, o que 
contempla a ideia de adição de parcelas iguais. Iremos formalizar esta operação 
com a definição dada a seguir: 
Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K 
pela matriz A (indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo 
i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).
Observe os exemplos a seguir:
( ) ( )8) Se A 2 5 8 , então 3 · A 6 15 24 .= =
2 44 8 19) Se B , então ·A .55 10 2 5
2
   = =      
( )
3 2 3 6 4 2 3
10) Se C 1 5 7 , então 2 ·C 2 10 14 .
4 1 0 8 2 0
   − − −
   
= − − = − −   
   − −   
Exemplo 8: Dadas as matrizes:
1 2 3 2 0 1
 
2 1 1 3 0 1
A e B
−   
= =   −   
Calcule 2 3A B+ .
Resolução: Vamos calcular as multiplicações pelo escalar primeiramente e 
posteriormente somar.
1 2 3 2 0 1
2A 3B 2 3
2 1 1 3 0 1
−   
+ = ⋅ + ⋅   −   
2 4 6 6 0 3 2 6 4 0 6 3 4 4 9
2A 3B
4 2 2 9 0 3 4 9 2 0 2 3 13 2 1
− − + + −       
+ = + = =       − + + − +       
TÓPICO 1 | MATRIZES
17
Exemplo 9: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i – j2 e B = (bij)2x2, com bij 
= aij - 1, encontre a matriz X de modo que: X – 2A + B = 0.
Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.
Matriz A
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é:
11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij 
= 2i – j2.
aij = 2i – j2
2
11
2
21
2
12
2
22
a 2 1 1 2 1 1
a 2 2 1 4 1 3
a 2 1 2 2 4 2
a 2 2 2 4 4 0
= ⋅ − = − =
= ⋅ − = − =
= ⋅ − = − = −
= ⋅ − = − =
1 2
A
3 0
− 
=  
 
Matriz B
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é:
11 12
21 22
b b
B
b b
 
=  
 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por 
bij = aij - 1.
Este valor (aij) você irá 
buscar na matriz A.
11
21
12
22
 – 1
b 1 1 0
b 3 1 2
b 2 1 3
b 0 1 1
ij ijb a=
= − =
= − =
= − − = −
= − = −
Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.
0 3
B
2 1
− 
=  − 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
18
Assim como em uma equação do primeiro grau, sugerimos isolar a matriz X antes 
de substituir as matrizes.
DICAS
X – 2A + B = 0
X = 2A – B 
( )
( )
1 2 0 3
X 2
3 0 2 1
0 32 1 2 2
X
2 12 3 2 0
2 4 0 3
X
6 0 2 1
2 4 0 3
X
6 0 2 1
2 0 4 3
X
6 2 0 1
2 1
X .
4 1
Essa é a matriz X
− −   
= ⋅ −   −   
− ⋅ ⋅ −   
= −   −⋅ ⋅   
− −   
= −   −   
−   
= +   −   
+ − + 
=  + − + 
− 
=  
 
5.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Lembre-se de que 
resolvemos a subtração 
de matrizes somando a 
matriz oposta!
Acadêmico, a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como 
as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar os elementos correspondentes. Fique 
atento à explicação!
ATENCAO
Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Nela são 
apresentadas as notas referentes à disciplina de Geometria Analítica e Álgebra 
Linear dos acadêmicos Cristiane, Leonardo e Luiz em quatro avaliações propostas.
TÓPICO 1 | MATRIZES
19
Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4
Cristiane 7 6 7 8
Leonardo 4 5 5 7
Luiz 8 7 9 10
Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média 
ponderada, em que a avaliação 1 tem peso 1,5, a avaliação 2 também tem peso 1,5, 
a avaliação 3 tem peso 4 e a avaliação 4 tem peso 3. Assim, a média de cada aluno será 
determinada pela fórmula: ( ) ( ) ( ) ( )Avaliação1 1,5 Avaliação 2 1,5 Avaliação 3 4 Avaliação 4 3
1,5 1,5 4 3
× + × + × + ×
+ + +
. 
O que equivale a escrever:
A tabela de notas pode ser representada pela matriz: 
3 4
7 6 7 8
A 4 5 5 7
8 7 9 10
x
 
 =  
 
 
E os pesos das avaliações, pela matriz: 
4 1
0,15
0,15
0,40
0,3
B
0 x
 
 
 
 
 
 
=
 
Agora, vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:
( ) ( ) ( ) ( )Avaliação1 0,15 Avaliação2 0,15 Avaliação3 0,40 Avaliação4 0,30× + × + × + ×
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Cristiane : 7 0,15 6 0,15 7 0,40 8 0,30 7,15
Leonardo : 4 0,15 5 0,15 5 0,40 7 0,30 5,45
Luiz : 8 0,15 7 0,15 9 0,40 10 0,30 8,85
× + × + × + × =
× + × + × + × =
× + × + × + × =
Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto da 
matriz A (notas) pela matriz B (pesos): 
3x1
7,15
C 5,45
8,85
 
 =  
 
 
O processo utilizado para obter-se a matriz C nos mostra o processo prático 
para realizar o produto entre duas matrizes (A e B). Iremos agora formalizar este 
conceito através da definição a seguir:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
20
Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) 
do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo mxp, 
tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos 
da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se 
os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos 
indicá-la por AB.
Observe que só definimos o produto A·B de duas matrizes quando o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui 
o número de linhas de A e o número de colunas de B: A
mxn
 . B
nxp
 = AB
mxp
.
ATENCAO
Exemplo 10: Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B 
de ordem 2x4:
É muito importante observar que o produto entre as matrizes A e B só é 
possível quando a quantidade de colunas da primeira matriz é igual à quantidade 
de linhas da segunda matriz. Isso pode ser visto na própria definição no momento 
onde é citado o fato de que A possui n colunas e B n linhas. Caso esta igualdade não 
seja satisfeita, o primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes 
quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas 
da segunda matriz. Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa 
igualdade tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser calculada. Como A 
possui duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B
1 2
1 1 2 2
C 2 3 B 
2 3 3 2
3 4
e
 
  = =       
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
 1 2
1 1 2 2
C 2 3 
2 3 3 2
3 4 
C C C C
A B C C C C
C C C C
  
    = ⋅ = ⋅ =            
TÓPICO 1 | MATRIZES
21
Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem 
da matriz resultante da multiplicação de duas matrizes herda o número de linhas 
da primeira e o número de colunas da segunda. Observe:
3 2 2 4 3 4x x xA B C⋅ =
Agora precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para isso 
é necessário saber que:
• c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B;
• c12 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B;
• c13 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B;
• c14 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B;
• c21 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B;
• c22 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 2ª coluna da matriz B;
• c23 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 3ª coluna da matriz B;
• c24 é o resultado da multiplicação dos elementos da 2ª linha da matriz A com os 
elementos da 4ª coluna da matriz B;
• e assim por diante...
Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:
[ ]


[ ]
11
1ª
1ª
12
1
1 2 1 1 2 2 1 4 5
2
1
1 2 1 1 2 3 1 6 7
3
Linha A
Coluna B
c
c
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
22
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
13
14
21
22
2
1 2 1 2 2 3 2 6 8
3
2
1 2 1 2 2 2 2 4 6
2
1
2 3 2 1 3 2 2 6 8
2
1
2 3 2 1 3 3 2 9 11
3
c
c
c
c
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
23
24
33
34
2
2 3 2 2 3 3 4 9 13
3
2
2 3 2 2 3 2 4 6 10
2
2
3 4 3 2 4 3 6 12 18
3
2
3 4 3 2 4 2 6 8 14
2
c
c
c
c
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 

 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
Com isso, finalmente, teremos:
[ ]
[ ]
31
32
1
3 4 3 1 4 2 3 8 11
2
1
3 4 3 1 4 3 3 12 15
3
c
c
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
 
= ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = 
 
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1 2 5 7 8 6
1 1 2 2
2 3 8 11 13 10
2 3 3 2
3 4 11 15 18 14
c c c c
C A B c c c c
c c c c
     
      = ⋅ = ⋅ = =                 
Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam 
todos os elementos das colunas da segunda matriz.
IMPORTANT
E
TÓPICO 1 | MATRIZES
23
Exemplo 11: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = 
-1 se i > j. Calcule A2. 
Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.
Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 
1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j.
Agora basta calcularmos A2.
11
21
12
22
a 1
a 1
a 1
a 1
=
= −
=
=
1 1
A
1 1
 
=  − 
Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, mas sim 
multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A·A.
ATENCAO
2 1 1 1 1A A A
1 1 1 1
   
= ⋅ = ⋅   − −   
Para resolver esta multiplicação, é necessário verificar se o número de 
linhas da primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.
2
2x2 2x2 2x2A A A⋅ =
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
A
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1 0 2
A
1 1 1 1 2 0
⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅    
= ⋅ =      − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅− −     
− +   
= =   − − − + −   
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
24
Exemplo 12: (UFRJ) uma confecção vai fabricar três tipos de roupas 
utilizando três materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada 
elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para 
fabricação de roupas do tipo i.
5 0 2
A 0 1 3
4 2 1
 
 =  
  
a) Quantas unidades de material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa 
tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar 
cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:
Material 1 Material 2 Material 3
Roupa tipo 1 5 0 2
Roupa tipo 2 0 1 3
Roupa tipo 3 4 2 1
a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 
é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a 
terceira coluna a23 = 3 unidades.
b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.
Exemplo 13: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas 
mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras 
do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:
Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a 
mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: P A
Z
 
 − 
 a qual, usando-
se da tabela acima, será dado por:
TÓPICO 1 | MATRIZES
25
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: 
2 3
1 2
 
 
  transmite-
se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 
15 1 2 3 31 47
M C
25 0 1 2 50 75
     
⋅ = ⋅ =     
      . Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta 
forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 
9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
a) LUTE
b) FOGO
c) AMOR
d) VIDA
e) FUGA
Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz 
inversa de C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, 
basta resolvermos os sistemas de equações resultantes.
15 1
25 0
 
 
 
Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais do que isso, 
a inversa A-1 terá sempre a mesma ordem da matriz A, além disso, a identidade I também terá 
essa mesma ordem.
IMPORTANT
E
Acadêmico, veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a 
matriz M pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita 
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
26
multiplicando por D = C-1, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes 
não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:
Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, 
correspondendo à palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.
Exemplo 14: (SILVA, 2013) Neste exemplo, estuda-se a viabilidade para 
implantação de um novo sistema de transporte de massas (poderia ser um sistema 
de metrô) numa certa cidade. As autoridades fizeram estudos que previram 
o percentual de pessoas que migrarão para esse novo sistema de transporte de 
massas (M), e o percentual de pessoas que continuarão a dirigir seus automóveis 
(A). Foi obtida a seguinte tabela:
Esse Ano
M A
Próximo Ano M 0,7 0,2
A 0,3 0,8
Escrita como matriz de transição o de transporte de massas (T), temos,
Suponha que para a população da cidade permanece a constante e que, 
inicialmente, 30% das pessoas irão usar o transporte de massa e 70% irão usar seus 
carros.
A - Cálculo da porcentagem das pessoas que estarão usando o transporte 
de massa depois de um ano da implantação do sistema, e depois de dois anos.
Agora, vamos supor um registro futuro provável de pessoas que usarão o 
transporte de massas, de modo que o vetor estado inicial seja dado por:
0,7 0,2
0,3 0,8
 
T
 
 
=  
 
TÓPICO 1 | MATRIZES
27
Pelo teorema 1, temos,
Logo, após o primeiro ano de uso do transporte de massas, o vetor estado 
x(2) dado por:
Dessa forma, após o primeiro ano, 35% das pessoas estarão usando o 
transporte de massas, e 55% seus carros.
Depois de dois anos, denotando o vetor estado por x(3), o percentual de 
pessoas que estarão usando o transporte de massas é dado por:
Portanto, após o segundo ano, 37,5% das pessoas estarão usando o 
transporte de massas, e 71,5% estarão usando os carros.
B - Calcular a porcentagem das pessoas que estarão usando o transporte de 
massas em um futuro mais longínquo, ou seja, deve-se calcular o vetor estacionário q.
Para calcular o vetor estacionário, temos o seguinte sistema de equações 
lineares: (I − P)q = 0.
Substituindo as matrizes nesta equação, temos:
Assim, o sistema a ser resolvido é:
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
28
Observe que as duas equações são equivalentes, logo:
0,3q1 − 0,2q2 = 0,
Tomando q1 = s, temos:
Usando a Equação (3) para calcular o valor de s, temos que:
Logo, o vetor estacionário q é igual a:
Concluímos então que num futuro mais longo 40% das pessoas estarão 
usando o transporte de massas, e 60% ainda estarão usando seus carros.
29
Neste tópico, você aprendeu que:
• Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e cada ente da 
matriz é denominado elemento. 
• Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos podem estar 
dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da 
quantidade de linhas (m) e colunas (n).
• Existem alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, 
diagonal, identidade, triangular, transposta e simétrica.
• Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e 
multiplicação de matrizes. Aqui vale destacar:
o Só podemos somar matrizes de mesma ordem.
o Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que 
ser igual ao número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) 
terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da 
segunda matriz.
o Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, 
podemos ter A B B A⋅ ≠ ⋅ para duas matrizes quaisquer A e B.
RESUMO DO TÓPICO 1
30
Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso 
saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre 
matrizes, estudadosneste tópico.
1 Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem 
respectivamente linhas e colunas. A denominação “Matrizes” surgiu no século 
XIII com James Joseph Sylvester, e foi apenas no século XIX que o matemático 
inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das matrizes a partir da Teoria 
das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é 
um mero capítulo da Teoria das Matrizes. Esse tipo especial de tabela possui 
propriedades e definições. Sobre elas, leia atentamente as sentenças a seguir:
I - O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto 
dos seus respectivos elementos.
II - Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade 
(A + B) + C = A + (B + C).
III - Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é 
válida a propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) Apenas a sentença II é verdadeira.
b) ( ) As sentenças I e II são verdadeiras. 
c) ( ) As sentenças I e III são verdadeiras. 
d) ( ) As sentenças II e III são verdadeiras.
2 A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu 
início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de 
sistemas lineares. Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James 
Joseph Sylvester. Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, 
possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui 
propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a 
multiplicação de matrizes. Sobre a multiplicação de matrizes, leia atentamente 
as sentenças a seguir:
I - O produto das matrizes X, de ordem 2x5, e Z, de ordem 5x5, é uma matriz 
de ordem 2x5.
II - O produto das matrizes X de ordem 1x6 e Z de ordem 6x2 é uma matriz 
coluna de ordem 1x2.
III - O produto das matrizes X de ordem 3x7 e Z de ordem 7x4 é uma matriz 
quadrada de ordem 3x4.
A alternativa VERDADEIRA é:
a) ( ) As sentenças I e III estão corretas.
b) ( ) Apenas III está correta.
AUTOATIVIDADE
31
c) ( ) Apenas II está correta.
d) ( ) Apenas I está correta.
3 Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação 
de matrizes é utilizando a criptografia. A criptografia é o estudo dos princípios 
e técnicas pelas quais a informação pode ser codificada, de forma que possa 
ser conhecida apenas pelas pessoas detentoras do código. Um professor de 
matemática resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de 
matrizes, para isso, ele associou as letras do alfabeto aos números, conforme a 
tabela a seguir:
Desta forma, supondo que o professor deseja enviar a mensagem "AMOR", 
pode-se tomar uma matriz M2x2, da forma: A M
O R
 
 
 
 a qual, usando-se da tabela 
acima, será dado por:
1 12
14 17
 
 
 
Tomando-se a matriz-chave C para o código: 
2 3
1 2
 
 
  transmite-se a 
mensagem "AMOR" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja: 
1 12 2 3 14 27
M C
14 17 1 2 45 76
     
⋅ = ⋅ =     
      . Ou através da cadeia de números 14 27 45 
76. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da 
mensagem 52 85 22 40 será compreendida como a transmissão da palavra:
a) ( ) LOGO
b) ( ) PARA 
c) ( ) VIDA
d) ( ) TODO
4 (FUNIVERSA) Duas empresas — 1 e 2 — são investigadas em três crimes 
fiscais — I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos crimes 
são tais que:
32
A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)
A 1 I e III
B 1 e 2 I e II
C 2 II e III
D 1 I e II
E 1 e 2 I, II e III
F 2 III
G 1 I e II
H 1 e 2 II e III
I 2 I e III
Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, um perito 
montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à quantidade de 
evidências que relacionam a empresa i ao crime j.
 
Com base nessas informações, a matriz M é:
a) ( ) 
5 3
5 4
3 5
 
 
 
 
 
 b) ( ) 
5 5 3
3 4 5
 
 
  c) ( ) 
3 4 5
5 5 3
 
 
 
d) ( ) 
3 5
4 5
5 3
 
 
 
 
 
 e) ( ) 
3 5
 5 4
5 3
 
 
 
 
 
5 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que bij 
= 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre os que 
formam a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é: 
 
a) ( ) 20 b) ( ) 9 c) ( ) -16 d) ( ) -12 e) ( ) 0
6 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = ( )ij 3x2a , definida por aij = i-j; B = ( )ij 2x3b
, definida por bij= j , C = ( )ijc , definida por C = A.B, é correto afirmar que o 
elemento C23 é:
a) ( ) Igual ao elemento C12. 
b) ( ) Igual ao produto de a23 por b23.
c) ( ) O inverso do elemento C32.
d) ( ) Igual à soma de a12 com b11.
e) ( ) Igual ao produto de a21 por b13.
33
7 Assinale V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
( ) Toda matriz diagonal é triangular.
( ) A matriz identidade é uma matriz diagonal.
( ) A matriz identidade é uma matriz triangular.
( ) Para que a matriz 2 6 3 90 1
ba
A
c
 − −
=  + 
 seja nula, a = 3, b = 2 e ec = -1
( ) Considere a matriz A = [aij]4x4, cujos elementos são dados por aij = 2i+j. A 
soma dos elementos da diagonal secundária é igual a 128.
34
35
TÓPICO 2
DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Atualmente, o estudo da Álgebra Linear está organizado pela sequência: 
matrizes, depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares, porém a ordem 
histórica foi outra. Inicialmente surgiram os problemas que envolviam sistemas 
lineares e, na tentativa de solucioná-los, surgiram os determinantes. Apenas mais 
tarde o estudo das matrizes foi desenvolvido. 
A ideia preliminar de Determinante surgiu na China antiga, onde os 
coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu. Esse 
conceito foi aperfeiçoado por diversos matemáticos até chegar ao processo que 
utilizamos hoje para o cálculo de determinantes, dentre eles destacamos Göttfried 
Wilhelm Leibniz, Gabriel Cramer e Augustin-Louis Cauchy, que são considerados 
os grandes desbravadores desse ramo da matemática.
Acadêmico, neste tópico, desbravaremos o cálculo do determinante, para 
as n ordens de uma matriz, no intuito de subsidiar a resolução de sistemas lineares, 
tema do nosso próximo tópico, bem como o cálculo de área e volume entre vetores, 
assunto que será abordado na Unidade 2. 
 
2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE
Segundo Paiva (2013, p. 127), “o determinante é um número obtido por 
meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um sistema linear”, ou seja, o 
determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É importante 
destacar que cada matriz possui um único determinante. Simbolicamente, o 
determinante de uma matriz A será denotado por |A|, det(A) ou por DA. Veja a 
ideia do determinante em um sistema com duas equações e duas variáveis:
Exemplo 1:
Seja o sistema:
2 3 5
5 7 2
x y
x y
+ =
 + =
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
36
Lembre-se de que para resolver este sistema devemos escolher uma variável 
para zerar e após realizar a soma do sistema. Escolhendo a variável y para zerar, 
devemos multiplicar a primeira por 7 e a segunda por -3, obtendo:
7 2 7 3 7 5
3 5 3 7 3 2
x y
x y
⋅ + ⋅ = ⋅
− ⋅ − ⋅ = − ⋅
Logo, ao somarmos, teremos:
( )( )
7 2 3 5 7 3 3 7 7 5 3 2
7 2 3 5 7 5 3 2
7 5 3 2 29
7 2 3 5
zero
x x y y
x
x
⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅
⋅ + − ⋅ = ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅
= = −
⋅ − ⋅

Bastaria substituir este valor de x em uma das equações e descobrir que y 
= 21. De fato, ao resolver um sistema, procederíamos desta forma, mas resolvendo 
as multiplicações. O fato de não multiplicarmos é para que vejamos os valores 
presentes no numerador e no denominador da variável a ser descoberta. Perceba 
que o denominador e o numerador no caso do x estão ligados diretamente às 
respectivas matrizes:
2 3 5 3
 e 
5 7 2 7
   
   
   
No denominador, temos que é a diferença entre o produto da diagonal 
principal pela diagonal secundáriados coeficientes do sistema. No caso de 
numerador, temos o mesmo procedimento, onde a matriz está definida com a 
simples troca da coluna da variável x pelos termos independentes do sistema. 
Desta forma, se quiséssemos descobrir o valor de y por este procedimento, teríamos 
que substituir na matriz dos coeficientes a coluna y pelos termos independentes 
e proceder com a operação citada anteriormente e posteriormente dividir pelo 
resultado encontrado no numerador.
O resultado encontrado na matriz dos coeficientes é o que chamamos de 
Determinante, pois a partir dele podemos determinar se um sistema de equações 
(por exemplo) possui solução, pois se este valor fosse zero, teríamos uma 
indeterminação no sistema.
2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 1ª ORDEM
O determinante de uma matriz de 1ª ordem, A = (a11), é definido pelo valor 
do seu elemento único a11, ou seja: det A = |a11| = a11.
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
37
Exemplos:
2) Se M = (15), então det (M) = 15.
3) Se Z = 3  −  , então det (Z) = 3− .
2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 2ª ORDEM
A matriz quadrada de 2ª ordem 11 12
21 22
a a
A
a a
 
=  
 
 tem como determinante o 
número real obtido pela expressão a11. a22 - a12 . a21. Indicamos por: ( )
11 12
21 22
a a
det A
a a
 
=  
 
= a11. a22 - a12 . a21. Ou seja, o determinante de uma matriz de 2ª ordem é dado pela 
diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária (esta ideia foi vista no início deste tópico). Veja 
esse exemplo prático:
Exemplo 2: Calcular o determinante da matriz 
2 7
B
4 8
 
=  
 
.
Resolução: det (B) = 2·8 - 7·4 ↔ det (B) = 16 – 28 ↔ det (B) = -12.
2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE 3ª ORDEM – REGRA 
DE SARRUS
O cálculo do determinante de 3ª ordem consegue ser resolvido utilizando-
se um procedimento de cálculo bastante simples, denominado regra de Sarrus.
Seja a matriz 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
  
.
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
 
 
 
  
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
38
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das 
paralelas a essa diagonal:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
paralelas
diagonal principal
= (a11 a22 a33 + a12a23a31+a13a21a32)
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
paralelas
diagonal secundária
= (a13 a22 a31 + a11a23a32+a12a21a33)
4º passo: Por fim, devemos operar a soma do produto da diagonal principal 
com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária com suas 
paralelas. Desta forma:
det A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)
A simbologia utilizada para o cálculo de determinante é a indicação dos elementos 
de uma matriz entre duas barras simples. Por exemplo, 
3 1
19
5 8
= , estamos indicando que o 
determinante da matriz é 19.
ATENCAO
Exemplo 3: Calcule o determinante da matriz 
3 4 2
B 2 1 5
0 7 4
 
 =  
  
.
Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira.
3 4 2 3 4
2 1 5 2 1
0 7 4 0 7
 
 
 
  
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
39
Det (B) = (3·1·4 + 4·5·0 + 2·2·7) – (2·1·0 + 3·5·7 + 4·2·4)
Det (B) = (12 + 0 + 28) – (0 + 105 + 32)
Det (B) = 40 – 137
Det (B) = – 97
Exemplo 4: Resolver a equação: 
2 3 2
0 1 x 2
2 x 3
−
=
−
Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. 
Assim, vamos calcular o determinante e igualar a 2.
2 3 2 2 3
0 1 x 0 1 2
2 x 3 2 x
−
=
−
Assim:
[2·1·(–3) + 3·x·2 + (–2)·0·x] – [(–2)·1·2 + 2·x·x + 3·0·(–3)] = 2
(–6 + 6x + 0) – (–4 + 2x2 + 0) = 2 
–6 + 6x + 4 – 2x2 = 2
–2x2 + 6x – 4 = 0 
Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade 
por (-2).
x2 – 3x + 2 = 0
Não esqueça de realizar a 
propriedade distributiva, 
devido ao sinal de 
negativo.
IMPORTANT
E
Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda equação da forma 
ax2 + bx + c = 0, em que a ≠ 0 e sua forma completa exige a resolução através da fórmula:
2 4
2
b b a cx
a
− ± − ⋅ ⋅
=
⋅
Aplicando a fórmula, determinamos os valores para x que tornam o 
determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
40
2.4 COFATOR
Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem 
*n 2 e n≥ ∈ , denominamos 
de cofator de aij o produto de (-1) i+j pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém 
de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.
( )i jij ijC 1 D
+= − ⋅
Assim, se considerarmos a matriz quadrada 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 =  
  
, de 3ª 
ordem, temos:
( ) ( )1 1 1 1 22 2311 11
32 33
a a
C 1 D 1
a a
+ += − ⋅ = − ⋅
Neste caso, eliminamos 
a linha 1 e a coluna 1.
Neste caso, eliminamos 
a linha 2 e a coluna 3.
( ) ( )2 3 2 3 11 1223 23
31 32
a a
C 1 D 1
a a
+ += − ⋅ = − ⋅
Exemplos:
5)
6)
2 3
1 5
A  =  − 
1 1
11
1 2
12
( 1) . 5 5
( 1) . 1 1
c
c
+
+
= − =
= − − = −
2 1
21
2 2
22
( 1) . 3 3
( 1) . 2 2
c
c
+
+
= − = −
= − =
3 2
32
1 3 4
1 4
2 0 5 ( 1) . 1.(5 8) 13
2 5
7 6 8
A c +
 
 = − = − = − + = −  −
  
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
41
2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3
Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, 
usaremos o Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de 
ordem 2 ou superior, porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente 
apresentam resolução mais rápida.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é a soma dos 
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
A resolução do determinante pelo Teorema de Laplace se torna mais rápida 
quando consideramos a fila que contém o maior número de zeros, pois neste caso não é 
necessário calcular o determinante.
ATENCAO
Exemplos:
7)
8)
( ) 12 22 32 3 . 0
1
 . 6 . 
3 4
2 0 5
7 6 8
det A CA C C= + +
 
 = − 
  
1 2
12
2 5
( 1) . 1.( 51) 51
7 8
c +
−
= − = − − =
( ) ( )
3 2
32
 3 . 51 6 . 13 153 78
1 4
( 1) . 1.(5 8) 13
2 5
 75det A
c += − = − + = −
−
= + − = − =
41 42 43 44
2 3 1 0
0 2 0 3
0. 0. 0. 6. 6.6 36
5 1 4 0
0 0 0 6
c c c c= + + + = =
−
4
44
4
2 3 1
( 1) . 0 2 0 1.6 6
5 1 4
c += − = =
−
UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES
42
2.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
O cálculo dos determinantes pode ser facilitado se analisarmos as 
características e propriedades de algumas matrizes, isto é, é possível fazer com 
que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, quais 
são estas propriedades:
P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada 
forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.
P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, 
seu determinante será nulo.
4 9 8 7 3 0 15
0 0 0 0 0 2 0 3 0
3 2 1 3 1 0 7
18 12
 
9 3
−
= − =
−
−
1 3 
2 5 3 5
4 2
 
9 8
0
2 5 3 5
9 7 4
,
3
 pois L L==
P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu 
determinante será nulo.
3 1 
1 4 2
2 1 4 0
3 2 6
 2pois C C==
P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma 
matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.
1 2 3
2 1 1 4
3 2 1
− = −
Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:
2 1 1
1 2 3 4
3 2 1
−
= +
TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES
43
P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna)