Aula 1 - Teoria das Falhas Estáticas (2)

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Elementos de Máquinas
Teoria das Falhas Estáticas
Elementos de Máquinas
Introdução
sua resistência”
1. Porque as peças 
falham?
Resp.: “peças 
falham porque suas 
tensões superaram 
sua resistência”
Resp.: “depende”
2. Que tipo de 
tensão causa a 
falha: Tração? 
Compressão? 
Cisalhamento?
Resp.: “depende”
3. Depende do 
material e sua 
resistência, do 
carregamento e 
da presença de 
trincas.
Elementos de Máquinas
Introdução
FALHAS
Engenheiros de projeto e ao desenvolvimento de estruturas e componentes de 
máquinas devem estabelecer um limite superior para o estado de tensão que 
defina a falha do material.
O que queremos dizer com falha?
• Uma peça pode falhar se suas deformações e distorções forem grandes o 
suficiente para que não funcione adequadamente.
• Uma peça pode falhar também sofrendo ruptura e separando-se.
• Ambas as condições são falhas, mas os mecanismos que as causam são muito 
diferentes.
Elementos de Máquinas
Introdução
FALHAS
• Material dúctil: geralmente a falha será especificada pelo início do
escoamento;
• Material frágil: a falha será especificada pela fratura.
• A "teoria'' por trás das diversas teorias clássicas de falha é que “qualquer
fenômeno responsável pela falha do material no ensaio de tração padronizado
será também responsável pela falha sob todas as demais condições de
carregamento estático”. Juvinall [1]
Elementos de Máquinas
Introdução
Materialização do estudo de falhas em materiais – Fase I
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
esforços”
1. Onde 
ocorrem as 
falhas?
Resp.: “em 
componentes 
sujeitos a 
esforços”
do material.
2. Que elementos 
resistem a estas 
falhas?
Resp.: A coesão 
da estrutura 
cristalina interna 
do material.
esforço
3. A resistência é 
avaliada na sua 
seção transversal 
em um corte 
realizado no 
material sujeito ao 
esforço
Esforços – Viga suportada por reações 𝑅 𝑒 𝑅 e carregada 
por forças concentradas 𝐹 , 𝐹 𝑒 𝐹
Diagrama de corpo livre 
de uma viga 
simplesmente apoiada (a) 
Viga cortada em 𝑥 = 𝑥 ,
removida como um corpo livre:
força de cisalhamento interna V
e momento fletor M reagem
sobre a superfície de corte para
garantir o equilíbrio (b)
Materialização do estudo de falhas em materiais – Fase II
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Tensões e Deformações – separando a superfície interna em (b), força e momento se manifestam na como 
distribuição de forças ao longo de toda a área transversal.
Distribuição de forças em um ponto da superfície terá: componente na direção normal (𝜎) e tangencial (𝜏) 
Diagrama de corpo 
livre de uma viga 
simplesmente apoiada 
(a) 
Viga cortada em 𝑥 = 𝑥 ,
removida como um corpo
livre: força de cisalhamento
interna V e momento fletor
M reagem sobre a
superfície de corte para
garantir o equilíbrio (b)
−𝜎
+𝜎
𝐿𝑖𝑛𝑓ℎ𝑎
𝑁𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎
𝜌 − 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
V
Seção Transversal viga cortada em 𝑥 = 𝑥
𝜏 á =
3𝑉
2𝐴
𝜎 =
𝑀 𝑐
𝐼
c
Componentes cartesianas de Tensão – são estabelecidas 
definindo-se três superfícies mutuamente ortogonais em 
um elemento dentro do corpo sendo 𝜎 a tensão normal 
na direção 𝑥. 
Tensão de cisalhamento resultante que atua na 
superfície 𝜏 , pode ser decomposta nas 
componentes nas direções 𝑦 e 𝑧, 𝜏 e 𝜏 , ver figura F1.
Estado triplo de tensão é mostrado na figura e definido 
por nove componentes de tensão, 
𝜎 , 𝜎 , 𝜎 , 𝜏 , 𝜏 , 𝜏 , 𝜏 , 𝜏 𝑒 𝜏 .
Para o equilíbrio temos: 𝜏 = 𝜏 ; 𝜏 = 𝜏 ; 𝜏 = 𝜏 .
Estado duplo de tensão ou estado plano em que a 
normal à superfície livre de tensões é a direção 𝑧, tal que 
𝜎 = 𝜏 = 𝜏 = 0, ver figura F2.
Materialização do estudo de falhas em materiais – Fase III
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
F2: (a) figura tridimensional; 
F1: Componentes de tensão na 
superfície normal à direção 𝑥
(b): Tensão plana, 
componentes de cisalhamento 
transversal (𝜏) de igual 
magnitude.
Elementos de Máquinas
Introdução
planos de 
deslizamento
Elemento do material 
tirado de um corpo 
de prova para um 
ensaio de tração 
submetido ao limite 
de escoamento 
Tensão de 
cisalhamento 
máxima é 
determinada a 
partir do 
círculo de 
Mohr.
Esses planos coincidem com as direções das linhas de 
Lüder, indicam que a ruptura ocorre por cisalhamento.
Tensão de cisalhamento 
atua no planos a 45º a 
partir dos planos de tensão 
principal
Hipóteses simplificadoras do modelo
Elementos de Máquinas
Introdução
Simplificar os modelos aplicados aos métodos de cálculo: assumir algumas hipóteses a
respeito do material assume-se que seja:
• Isotrópico, em outras palavras, apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas
as direções de solicitação;
• Durante o processo ocorre um pequeno aumento de volume devido ao aumento da
densidade de discordâncias;
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Material deformado por carregamento externo tende a armazenar energia internamente em todo o 
seu volume.
O deslizamento é causado pela tensão de cisalhamento e é acompanhado pela distorção na forma 
da peça. 
A energia acumula da na peça devido a essa distorção é um indicador da magnitude da tensão de 
cisalhamento presente.
Critério de falha baseado nas distorções provocadas pela energia de deformação.
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Mecanismo de deformação devido ao desliza mento relativo dos átomos do material dentro da sua 
estrutura cristalina.
Figura 1: Deformação plástica produzida pela movimentação de uma discordância em cunha
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Mecanismo de deformação devido ao desliza mento relativo dos átomos do material dentro da sua 
estrutura cristalina.
Figura 2: Formação de um degrau na superfície de um metal pela movimentação de (a) uma 
discordância em cunha e (b) uma discordância em hélice.
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
• qualquer material elástico sujeito a um determinado estado de tensões sofre uma 
(pequena) variação de forma, de volume ou ambas.
• energia necessária para produzir essa variação é armazenada no material na forma de 
energia elástica.
• foi verificado que os materiais empregados em engenharia podem suportar grandes 
pressões hidrostáticas: condição em que 𝜎 = 𝜎 = 𝜎 , gerando uma grande compressão, 
sem danos.
postulado: um determinado material tem uma capacidade limitada de absorver energia de 
distorção (variação apenas de forma), e ao ser submetido a uma quantidade maior do que 
esse limite ele escoa (inicia deformação plástica).
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Para desenvolver a teoria, observe, na Figura 3(a), a unidade de volume sujeita a um estado de 
tensão tridimensional qualquer representado pelas tensões 𝜎 , 𝜎 𝑒 𝜎 ;
Estado de tensão em (b) componente hidrostático e (c) componente distorcional.
Figura 3 – (a) Elemento com tensões triaxiais passando por mudança de volume e distorção angular (b) Elemento sob tensão 
hidrostática passando somente por mudança de volume, (c) Elemento tendo somente distorção angular, sem mudança de 
volume
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Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
COMPONENTES DA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Carga que produz energia como mostra: 
Dois 
componentes
𝑈
Energia de 
distorção
𝑈
Carregamento 
hidrostático
Expressão de cada uma das 
tensões principais em termos de 
uma componente hidrostática.
(2)
Somando as três tensões principais de (2) e isolando 𝜎 , vem.
(3)
(1)
Aplicando a lei de Hooke, obtem-se a expressãoda 
energia de deformação: 
Como U = 𝑈 + 𝑈 → 𝑈 = 𝑈 − 𝑈 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 = 𝜎
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Uma mudança volumétrica sem distorção, os termos dentro dos parênteses (distorção) na expressão 
(3) são desconsiderados, desta forma, a expressão (3), isolando 𝜎 , será:
Expressão da parcela da energia de deformação associada à mudança hidrostática do volume Uh : 
• Aplicando a lei de Hook e substituindo 𝜎 , isolado em (4), na expressão da energia Uh , tem-se:
(4)
(5)
Simplificando a equação (5) e reescrevendo vem: (6)
Substituindo 𝜎 obtida na equação (4) na expressão (6) teremos:
𝑈 = (7)
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Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
(8)
Energia de distorção por unidade de volume resultante da expressão (8): 
ENERGIA DE DISTORÇÃO
Como 𝑈 = 𝑈 − 𝑈 , substituindo-se as expressões obtidas da energias de distorção e hidráulica, vem:
𝑈 = −
𝑈 =
1 + 
3𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 (9)
Comparar a expressão (9) de energia de distorção por unidade de volume com a energia de distorção 
por unidade de volume presente em um corpo de prova em um ensaio de tração (principal fonte de 
informação sobre a resistência do material). Tensão de falha de interesse  𝜎 (𝑆 )
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Expressão que se aplica ao estado triplo de 
tensão:
ENERGIA DE DISTORÇÃO
Teste de tração  estado uniaxial de tensões, portanto, 𝜎 = 𝜎 (𝑆 ) e 𝜎 = 𝜎 = 0, substituindo 
estes valores na expressão (9), vem:
(10)
Expressão para o critério de falha no estado duplo de 
tensão onde 𝜎 = 0:
Critério de falha obtido igualando a expressão geral (9) à expressão específica da falha para obter:
1 + 
3𝐸
𝑆 =
1 + 
3𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎
𝑺𝒚 = 𝝈𝟏
𝟐 + 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟑
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Energia de distorção para o estado duplo de tensão
Figura 4 – interior da elipse define a região de combinação de tensões biaxiais segura contra o 
escoamento sob carregamento estático no caso 2D normalizada para a tensão de escoamento do 
material.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Energia de distorção no caso tridimensional
Figura 5 – Local tridimensional de falha para a teoria da energia de distorção.
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• conveniente, em situações envolvendo tensões combinadas normal e de cisalhamento no 
mesmo ponto  𝜎 usada para usada para representar a combinação de tensões.
• tensão equivalente de von Mises σ' é definida como a tensão de tração uniaxial que criaria a 
mesma energia de distorção que é criada pela combinação atual das tensões aplicadas.
• permite tratar casos de tensão multiaxial combinada a tensões de cisalhamento como se fossem 
devidos a um carregamento de tração pura.
• Para o estado plano de tensão:
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Para efeito de projeto inclui-se o coeficiente de segurança 
Equação do estado tridimensional de tensões,
Equação do estado duplo de tensões:
CISALHAMENTO PURO
• Círculo de Mohr para torçãopura:
𝜎 = 𝜎 = 0
𝜏 =
𝑇𝑐
𝐽
𝜎 = 𝜎 =
𝑇𝑐
𝐽
; 𝜏 = 0
𝜎 = 𝜎 = 𝜏
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Como 𝜎 = 𝜎 = 𝜏 devido à torção pura, localizado na linha reta a partir da origem da elipse da figura 
7 a partir de uma origem a −45°. 
Valores absolutos de acordo com o critério de falha para o estado duplo de tensão:
𝑆 = 𝜎 + 𝜎 𝜎 + 𝜎 = 3𝜎 = 3𝜏 á
𝜎 =
𝑆
3
= 0,577𝑆 = 𝜏 á (𝐼)
• A relação (I) acima define a tensão de cisalhamento no escoamento Sys de qualquer material dúctil 
como uma fração da tensão normal de escoamento Sy determinada no teste de tração.
𝑺𝒚𝒔 = 𝟎, 𝟓𝟕𝟕𝑺𝒚
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Valores absolutos de 𝜎 𝑒 𝜎 nos 
pontos A e B são encontrados 
segundo as equações:
CISALHAMENTO PURO
Figura 7 – Elipse da energia de distorção no caso 2D 
normalizada para a tensão de escoamento do material.
−45°
𝑆 :Tensão de cisalhamento no 
escoamento do material dúctil.
𝑆 : Tensão normal de escoamento 
determinada no teste de tração.
Baseado nos experimentos e na teoria da energia de distorção.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A falha nos casos de materiais dúcteis submetidos a
carregamentos estáticos de tração se deve à tensão de
cisalhamento.
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A falha ocorre quando a tensão máxima de cisalhamento em
uma região excede a tensão máxima de cisalhamento de um
corpo de prova sob tração em escoamento (metade da
tensão normal de escoamento).
A tensão de cisalhamento no escoamento de um material dúctil é:
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A tensão de cisalhamento no escoamento de um material dúctil é:
Figura 8 – hexágono 2D da teoria da tensão de 
cisalhamento inscrito na elipse da energia de 
distorção.
Teoria mais conservadora 
que a teoria da distorção
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Coeficiente de segurança para a teoria da tensão máxima de cisalhamento:
Figura 9 – local de falha tridimensional pela teoria da energia de 
distorção e pela teoria da tensão máxima de cisalhamento.
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Determine os coeficientes de segurança para o suporte do tirante mostrado na 
Figura abaixo, baseado tanto na teoria da energia de distorção como na teoria da 
máxima tensão de cisalhamento, e compare-os.
Dados: O material é alumínio 2024-T4 com tensão de escoamento de 47.000 psi. O 
comprimento da haste é l = 6 in e do braço a=8 in. O diâmetro externo da 
haste é d = 1,5 in. A força é F=1000 lb.
Hipóteses: O carregamento é estático e o conjunto está a 
temperatura ambiente. Considere o cisalhamento devido 
à força cortante, assim como outras tensões.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
I. A haste é solicitada tanto à flexão (como uma viga engastada) como à torção, 
uma situação que envolve tensões combinadas normal e de cisalhamento.
II. Avaliar o fenômeno físico, como mostra a figura (a), quanto aos pontos de 
interesse para cálculo de tensões.
III. Elaborar o diagrama de esforços solicitantes, calcular os valores 
máximos de momento e força cortante.
IV. Calcular as tensões de cisalhamento máximas e as tensões 
principais da combinação de tensões aplicadas.
V. Calcular a tensão equivalente de Von Mises e o coeficiente de 
segurança.
VI. Calcular coeficiente de segurança usando a teoria da máxima 
tensão de cisalhamento e compará-las.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
Dados: 𝜎 = ; 𝜏 = ; 𝐼 = ; 𝐽 = ; 
𝜏 á =
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏 ; 𝜎 á / = 𝜎 , =
𝜎 + 𝜎
2
± 𝜏 á
𝜎 = 𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 ; 𝑁 =
𝑆
𝜏 á
; 𝑆 = 0,577𝑆 ; 𝑆 = 0,50𝑆
III. Diagrama dos esforços solicitantes.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
I. Calcular as tensões de cisalhamento máximas e as tensões principais da combinação de tensões 
aplicadas.
Cálculo dos momentos de inércia: 𝐼 = ( , ) = 0,249𝑖𝑛 ; 𝐽 = , = 0,497𝑖𝑛
Momento fletor máximo: 6.000lb.in
Tensão normal em relação ao eixo x: 𝜎 = → 𝜎 = . ( , )
,
→ 𝜎 = 18.072𝑝𝑠𝑖 (𝑙𝑏 𝑖𝑛 )⁄
Tensão de cisalhamento no eixo x: 𝜏 = → 𝜏 = . ( , )
,
→ 𝜏 = 12.072𝑝𝑠𝑖 (𝑙𝑏 𝑖𝑛 )⁄
• Cálculo das tensões principais: 𝜏 á = + 𝜏 → 𝜏 á =
.
+ 12.072
𝜏 á = 15,079𝑝𝑠𝑖
Elementos de MáquinasFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
• Cálculo das tensões principais: 
• 𝜎 á / = 𝜎 / = ± 𝜏 á
• 𝜎 á = 𝜎 =
.
+ 15.079𝑝𝑠𝑖 → 𝜎 = 24.115𝑝𝑠𝑖
• 𝜎 = 𝜎 =
.
− 15.079𝑝𝑠𝑖 → 𝜎 = −6.043𝑝𝑠𝑖
V. Calcular a tensão equivalente de Von Mises para tensões combinadas.
𝜎 = 𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 → 𝜎 = 24115 − 24115(−6043) + (−6043) → 𝜎 = 27.636𝑝𝑠𝑖
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
• A máxima tensão de cisalhamento, na flexão, em uma viga maciça, com seção transversal circular 
é, na linha neutra:
𝜏 á =
4𝑉
3𝐴
→ 𝜏 á =
4.1000𝑙𝑏𝑓
3
𝜋(1,5𝑖𝑛)
4
→ 𝜏 á = 755𝑝𝑠𝑖
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Tensão de cisalhamento total no ponto B: soma algébrica do cisalhamento devido 
à força cortante e o cisalhamento devido à torção, que atuam no mesmo plano e 
sentido do elemento infinitesimal como mostrado na figura (c) ao lado:
𝜏 á = 𝜏 ã + 𝜏 çã → 𝜏 á = 12.072𝑝𝑠𝑖 + 755𝑝𝑠𝑖 → 𝜏 á = 12.827𝑝𝑠𝑖
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
VI. Calcular coeficiente de segurança usando a energia de distorção para cisalhamento puro e a teoria da 
máxima tensão de cisalhamento e compará-las.
• Coeficiente de segurança da teoria da energia de distorção para cisalhamento puro:
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,577(47.000𝑝𝑠𝑖)
12.827𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟐, 𝟏
• Coeficiente de segurança teoria da máxima tensão de cisalhamento:
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,5𝑆
𝜏 á
→ 𝑁 =
0,5(47.000𝑝𝑠𝑖)
12.827𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟏, 𝟖
V. Coeficiente de segurança N para que o estado de tensões esteja dentro da elipse de falha por tensões.
𝑁 =
𝑆
𝜎
→ 𝑁 =
47.000𝑝𝑠𝑖
27.636𝑝𝑠𝑖
→ 𝑵 = 𝟏, 𝟕
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Exercício 1
A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa. Determinar a 
largura b da viga, sabendo-se que L = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N, segurança N=1,7, para que o 
estado de tensões esteja dentro da elipse de falha por tensões.
Dados: 𝑀 = 𝑃. 𝐿; 𝜎 = ; 𝐼 = ; 𝑁 =; ; 𝜏 =
Projeto: teoria da energia de distorção, logo:
𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
Solução:
I. Elaborar o diagrama de esforços encontrando o valor do momento fletor máximo (para 
carregamentos mais complexos)
II. Encontrar a largura pela teoria de energia de distorção devido à força cortante.
III. Cálculo da largura b da viga pelo momento fletor máximo.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Exercício 1
Solução:
II. Encontrar a largura pela teoria da energia de distorção 
devido à força cortante.
𝜏 á = 𝜏 =
3𝑉
2𝐴
→ 𝜏 á =
3𝑉
2𝑏ℎ
, mas:
𝑁 =
0,577𝑆
𝜏 á
∴
3𝑉
2𝑏ℎ
=
0,577𝑆
𝑁
→ 𝑏 =
3𝑉𝑁
0,577𝑆 2ℎ
𝑏 =
3𝑉𝑁
0,577𝑆 2ℎ
𝑏 =
3(100.000𝑁)(1,7)
0,577 150. 10 𝑁 𝑚⁄ 2(0,35𝑚)
𝑏 = 8,4𝑚𝑚
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Segmento de uma viga sob flexão e força cortante – detalhe em torno do ponto A
Exercício 1
Solução:
III. Cálculo da largura b da viga pelo momento fletor 
máximo.
𝜎 =
𝑀𝑐
𝐼
→ 𝜎 =
𝑃. 𝐿. ℎ 2
𝑏ℎ
12
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 =
𝑆
𝑁
, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
𝑆
𝑁
=
𝑃. 𝐿. ℎ 2
𝑏ℎ
12
∴ 𝑏 = 6
𝑃. 𝐿. 𝑁
ℎ . 𝑆
→ 𝑏 = 6
(100.000𝑁)(1,5𝑚)(1,7)
(0,35𝑚) 150. 10 𝑁 𝑚⁄
→ 𝒃 = 𝟖𝟑, 𝟐𝟔𝒎𝒎
Conclusão: 𝒃 ≥ 𝟖𝟑, 𝟐𝟔𝒎𝒎
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Razão: a combinação de tensões em qualquer elemento particular dentro da seção transversal 
raramente origina um estado de tensão pior que aquele existente nas fibras externas.
• Regra prática: tensão de cisalhamento devido à força cortante em uma viga será suficientemente 
pequena a ponto de poder ser ignorada se a razão comprimento-altura da viga for igual ou 
superior a 10.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da máxima tensão normal
• a falha ocorrerá quando a tensão normal em uma peça atingir algum limite de resistência normal, 
como tensão normal de escoamento ou tensão normal de ruptura.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
A teoria da máxima tensão normal – incorreta 
para materiais dúcteis no 2° e no 4° quadrantes.
• No primeiro e no terceiro quadrantes,
a envoltória da teoria da máxima
tensão normal coincide com a da
teoria da tensão máxima de
cisalhamento.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
• A falha ou resistência de materiais frágeis apresenta deformação verdadeira na fratura de 0,05 ou 
menos.
• Materiais normalmente dúcteis podem desenvolver uma fratura frágil ou trinca, se usados abaixo 
da temperatura de transição.
• Uma ferramenta de aço totalmente encruado, podem ser frágeis, tendem a ter resistência à 
compressão igual a sua resistência à tração → materiais uniformes
• Muitos materiais fundidos, como o ferro fundido cinzento, são frágeis, mas têm sua resistência à 
compressão muito maior que sua resistência à tração → materiais não uniformes
1 -28
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Um corpo de prova para ensaio de tração, material 
dúctil, aço doce, antes e depois da ruptura.
plano de falha está a 45° da tensão de 
tração aplicada, indicando que uma 
falha de cisalhamento ocorreu
Círculo de Mohr para tensão de tração unidirecional.
A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial
pode ser prevista por um simples ensaio de tração.
A falha de um componente de máquina sujeito a uma carga axial
pode ser prevista por um simples ensaio de tração.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
plano de falha é normal à tensão de 
tração aplicada, indicando que uma 
falha de tração ocorreu.
Corpo de prova para ensaio de tração, material 
frágil, ferro fundido antes e depois da ruptura.
Círculo de Mohr para tensão de tração unidirecional.
1 -28
Corpo de prova sujeito a torção: a resistência à quebra na torção é chamada
de resistência ao cisalhamento ou tensão limite de ruptura no cisalhamento
puro.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Corpos de prova para torção antes e apos falha: (a) aço dúctil (b) ferro fundido frágil.
ferro fundido frágil falha em uma 
forma espiral ao longo de planos 
inclinados de 45° do eixo da peça.
O corpo de prova de aço dúctil falha em um plano 
normal ao eixo do torque aplicado, pois materiais 
dúcteis são mais fracos sob cisalhamento.
Círculo de Mohr para torção pura
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Graficamente → Círculos de Mohr para testes de tração e compressão, mostrando as envoltórias de 
falha em vermelho.
materiais não uniformes: 𝜎 𝑆 > 𝜎 𝑆 .
materiais uniformes: 𝜎 𝑆 = −𝜎 𝑆
𝜎 𝑆 = −𝜎 𝑆 𝜎 𝑆 𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEISGraficamente → Duas representações gráficas da teoria da tensão normal máxima.
O circulo de Mohr principal deve 
situar-se entre esses limites para 
evitar a falha
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
𝜎
𝜎
Gráfico 𝜎 − 𝜎 para tensões bidimensionais (isto é. 
quando 𝜎 = 0) o ponto de coordenadas (𝜎 , 𝜎 ) 
deve situar-se no interior da área sombreada para 
evitar a falha
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEISTeoria da tensão normal máxima (MNS)
Algebricamente podemos considerar dois conjuntos de 
equações para linhas de carregamento, em que 𝜎 > 𝜎 , como
𝑁 = , no campo de ação de carregamento: 1º e 2º 
quadrantes e;
𝜎
𝜎
≤
𝜎
𝜎
𝑁 = − , no campo de ação de carregamento: 2º e 3º 
quadrantes e;
𝜎
𝜎
>
𝜎
𝜎
FALHA EM MATERIAIS FRÁGEIS
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
𝜎
𝜎
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𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Gráfico 𝜎 − 𝜎 para tensões bidimensionais (isto é. quando 𝜎 = 
0) o ponto de coordenadas (𝜎 , 𝜎 ) deve situar-se no interior da 
área sombreada para evitar a falha
O circulo de Mohr principal deve 
situar-se entre esses limites para 
evitar a falha
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
Teoria de Coulomb-Mohr para materiais frágeis
Essa teoria foi recomendada para materiais frágeis, para os quais a 
resistência à compressão é bemsuperior à resistência à tração.
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Teoria de Coulomb-Mohr para materiais frágeis (BCM)
Algebricamente podemos considerar três conjuntos de 
equações para linhas de carregamento, em que
𝜎 ≥ 𝜎 , no campo de ação de carregamento: 1º 
quadrante (𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0); 𝜎 = ;
− = , no campo de ação de carregamento: 2º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ), e;
𝜎 ≥ −𝜎 , no campo de ação de carregamento: 3º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ) e 𝜎 = 0.
Incorporando o coeficiente de segurança: 𝜎 = −
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Para cisalhamento puro:
𝜎 = −𝜎 = 𝜏𝐴, resistência torcional ocorre 
quando 𝜏 á = 𝑆 , logo: 𝑆 = e 
𝑁 =
𝑆
𝜏 á
𝜎 𝑆
𝜎 𝑆
𝜎
𝜎
𝜎 𝑆𝜎 𝑆 0
Teoria de Coulomb-Mohr modificada (MM) 
Algebricamente podemos considerar três conjuntos 
de equações para linhas de carregamento, em que
𝜎 ≥ 𝜎 , no campo de ação de carregamento: 1º 
quadrante 𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0 → 𝜎 = ;
no campo de ação de carregamento: 2º quadrante 
0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 𝑒 ≤ 1 → 𝜎 = ;
0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 𝑒
𝜎
𝜎
> 1 →
𝜎 − 𝜎 𝜎
𝜎 𝜎
−
𝜎
𝜎
=
1
𝑁
𝜎 ≥ −𝜎 , no campo de ação de carregamento: 3º 
quadrante (0 ≥ 𝜎 ≥ 𝜎 ) e 𝜎 = 0.
Incorporando o coeficiente de segurança: 𝜎 = −
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Exemplo 1
Um eixo com diâmetro de 25 mm é estaticamente torcido até 230 Nm. Ele é feito de alumínio 195-T6 
fundido com uma resistência ao escoamento em tração de 160 MPa e uma resistência ao escoamento 
em compressão de 170 MPa. Ademais, é usinado ao diâmetro final. Estime o fator de segurança desse 
eixo. Dados: 𝜏 á = ; 𝐽 = ; 𝑆 = ; 𝑁 =
á
Solução:
• Cálculo do coeficiente de segurança: encontrar os valor da tensão máxima de cisalhamento e 
comparar com o limite de resistência do material.
1. Cálculo da tensão máxima de cisalhamento
𝜏 á =
𝑇 𝑑 2
𝐽
→ 𝜏 á =
𝑇 𝑑 2
𝜋𝑑
32
→ 𝜏 á =
16𝑇
𝜋𝑑
→ 𝜏 á =
16(230𝑁𝑚)
𝜋(0,025𝑚)
→ 𝜏 á = 75𝑀𝑃𝑎
2. Cálculo da resistência de escoamento do material
𝑆 =
𝑆 𝑆
𝑆 + 𝑆
→ 𝑆 =
160𝑀𝑃𝑎 . (170𝑀𝑃𝑎)
160𝑀𝑃𝑎 + (170𝑀𝑃𝑎)
→ 𝑆 = 82,4𝑀𝑃𝑎
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Exemplo 1
Um eixo com diâmetro de 25 mm é estaticamente torcido até 230 Nm. Ele é feito de alumínio 195-T6 
fundido com uma resistência ao escoamento em tração de 160 MPa e uma resistência ao escoamento 
em compressão de 170 MPa. Ademais, é usinado ao diâmetro final. Estime o fator de segurança desse 
eixo. Dados: 𝜏 á = ; 𝐽 = ; 𝑆 = ; 𝑁 =
á
Solução:
• Cálculo do coeficiente de segurança:
𝑁 =
82,4𝑀𝑃𝑎
75𝑀𝑃𝑎
 → 𝑵 = 𝟏, 𝟏𝟎
Exercício.
Um ferro fundido ASTM possui resistências mínimas ao escoamento de 210 MPA sob tração e 
700MPa sob compressão. Encontre os fatores de segurança utilizando as teorias BCM e MM para o 
seguinte estado de tensão em que 𝜎 = 140𝑀𝑃𝑎 𝑒 𝜎 = 42𝑀𝑃𝑎.
Estado duplo de tensão cuja representação do elemento estudado está na figura abaixo.
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𝜎 =? , 𝜎 =? 𝜎 , =
𝜎 + 𝜎
2
±
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏
𝜎 , =
140 + 42
2
±
140 − 42
2
+ 0 → 𝜎 , = 91 ± 49
Solução:
𝜏 = 0 ∴
𝜎 = 140𝑀𝑃𝑎; 𝜎 = 42𝑀𝑃𝑎, 𝜎 ≥ 𝜎 ≥ 0
teoria BCM:𝜎 = → 140 = → 𝑁 = → 𝑵 = 𝟏, 𝟓
teoria MM:𝜎 = → 140 = → 𝑁 = → 𝑵 = 𝟏, 𝟓
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Referências Bibliográficas
Shigley J o s e p h E . , Mischke Charles R., Budynas Richard G., PROJETO DE ENGENHARIA 
MECÂNICA. Bookman Ed. LTDA, 7ª ed., Porto Alegre, 2008, 960p.
Norton Robert L., PROJETO DE MÁQUINAS – Uma abordagem Integrada. Ed., Bookman Ed. 
LTDA, 4ª ed., Porto Alegre, 2013, 1055p.
Juvinall Robert C., Marshek Kut M.,PROJETO DE COMPONENTES DE MÁQUINAS. LTC, 4ª ed., Rio 
de Janeiro, 2008, 518p.