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Aula 1 - Teoria das Falhas Estáticas (2)

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da 
energia de deformação: 
Como U = 𝑈 + 𝑈 → 𝑈 = 𝑈 − 𝑈 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 = 𝜎
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Uma mudança volumétrica sem distorção, os termos dentro dos parênteses (distorção) na expressão 
(3) são desconsiderados, desta forma, a expressão (3), isolando 𝜎 , será:
Expressão da parcela da energia de deformação associada à mudança hidrostática do volume Uh : 
• Aplicando a lei de Hook e substituindo 𝜎 , isolado em (4), na expressão da energia Uh , tem-se:
(4)
(5)
Simplificando a equação (5) e reescrevendo vem: (6)
Substituindo 𝜎 obtida na equação (4) na expressão (6) teremos:
𝑈 = (7)
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
(8)
Energia de distorção por unidade de volume resultante da expressão (8): 
ENERGIA DE DISTORÇÃO
Como 𝑈 = 𝑈 − 𝑈 , substituindo-se as expressões obtidas da energias de distorção e hidráulica, vem:
𝑈 = −
𝑈 =
1 + 
3𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 (9)
Comparar a expressão (9) de energia de distorção por unidade de volume com a energia de distorção 
por unidade de volume presente em um corpo de prova em um ensaio de tração (principal fonte de 
informação sobre a resistência do material). Tensão de falha de interesse  𝜎 (𝑆 )
ELEMENTOS DE MÁQUINASFALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Teoria da Máxima Energia de Distorção de von Mises-Hencky
Elementos de Máquinas
Expressão que se aplica ao estado triplo de 
tensão:
ENERGIA DE DISTORÇÃO
Teste de tração  estado uniaxial de tensões, portanto, 𝜎 = 𝜎 (𝑆 ) e 𝜎 = 𝜎 = 0, substituindo 
estes valores na expressão (9), vem:
(10)
Expressão para o critério de falha no estado duplo de 
tensão onde 𝜎 = 0:
Critério de falha obtido igualando a expressão geral (9) à expressão específica da falha para obter:
1 + 
3𝐸
𝑆 =
1 + 
3𝐸
𝜎 + 𝜎 + 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎 − 𝜎 𝜎
𝑺𝒚 = 𝝈𝟏
𝟐 + 𝝈𝟐
𝟐 + 𝝈𝟑
𝟐 − 𝝈𝟏𝝈𝟐 − 𝝈𝟐𝝈𝟑 − 𝝈𝟏𝝈𝟑
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Energia de distorção para o estado duplo de tensão
Figura 4 – interior da elipse define a região de combinação de tensões biaxiais segura contra o 
escoamento sob carregamento estático no caso 2D normalizada para a tensão de escoamento do 
material.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Energia de distorção no caso tridimensional
Figura 5 – Local tridimensional de falha para a teoria da energia de distorção.
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• conveniente, em situações envolvendo tensões combinadas normal e de cisalhamento no 
mesmo ponto  𝜎 usada para usada para representar a combinação de tensões.
• tensão equivalente de von Mises σ' é definida como a tensão de tração uniaxial que criaria a 
mesma energia de distorção que é criada pela combinação atual das tensões aplicadas.
• permite tratar casos de tensão multiaxial combinada a tensões de cisalhamento como se fossem 
devidos a um carregamento de tração pura.
• Para o estado plano de tensão:
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
• Para efeito de projeto inclui-se o coeficiente de segurança 
Equação do estado tridimensional de tensões,
Equação do estado duplo de tensões:
CISALHAMENTO PURO
• Círculo de Mohr para torçãopura:
𝜎 = 𝜎 = 0
𝜏 =
𝑇𝑐
𝐽
𝜎 = 𝜎 =
𝑇𝑐
𝐽
; 𝜏 = 0
𝜎 = 𝜎 = 𝜏
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Como 𝜎 = 𝜎 = 𝜏 devido à torção pura, localizado na linha reta a partir da origem da elipse da figura 
7 a partir de uma origem a −45°. 
Valores absolutos de acordo com o critério de falha para o estado duplo de tensão:
𝑆 = 𝜎 + 𝜎 𝜎 + 𝜎 = 3𝜎 = 3𝜏 á
𝜎 =
𝑆
3
= 0,577𝑆 = 𝜏 á (𝐼)
• A relação (I) acima define a tensão de cisalhamento no escoamento Sys de qualquer material dúctil 
como uma fração da tensão normal de escoamento Sy determinada no teste de tração.
𝑺𝒚𝒔 = 𝟎, 𝟓𝟕𝟕𝑺𝒚
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Valores absolutos de 𝜎 𝑒 𝜎 nos 
pontos A e B são encontrados 
segundo as equações:
CISALHAMENTO PURO
Figura 7 – Elipse da energia de distorção no caso 2D 
normalizada para a tensão de escoamento do material.
−45°
𝑆 :Tensão de cisalhamento no 
escoamento do material dúctil.
𝑆 : Tensão normal de escoamento 
determinada no teste de tração.
Baseado nos experimentos e na teoria da energia de distorção.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A falha nos casos de materiais dúcteis submetidos a
carregamentos estáticos de tração se deve à tensão de
cisalhamento.
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A falha ocorre quando a tensão máxima de cisalhamento em
uma região excede a tensão máxima de cisalhamento de um
corpo de prova sob tração em escoamento (metade da
tensão normal de escoamento).
A tensão de cisalhamento no escoamento de um material dúctil é:
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
A tensão de cisalhamento no escoamento de um material dúctil é:
Figura 8 – hexágono 2D da teoria da tensão de 
cisalhamento inscrito na elipse da energia de 
distorção.
Teoria mais conservadora 
que a teoria da distorção
A teoria da tensão máxima de cisalhamento de Tresca
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
Coeficiente de segurança para a teoria da tensão máxima de cisalhamento:
Figura 9 – local de falha tridimensional pela teoria da energia de 
distorção e pela teoria da tensão máxima de cisalhamento.
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Determine os coeficientes de segurança para o suporte do tirante mostrado na 
Figura abaixo, baseado tanto na teoria da energia de distorção como na teoria da 
máxima tensão de cisalhamento, e compare-os.
Dados: O material é alumínio 2024-T4 com tensão de escoamento de 47.000 psi. O 
comprimento da haste é l = 6 in e do braço a=8 in. O diâmetro externo da 
haste é d = 1,5 in. A força é F=1000 lb.
Hipóteses: O carregamento é estático e o conjunto está a 
temperatura ambiente. Considere o cisalhamento devido 
à força cortante, assim como outras tensões.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
I. A haste é solicitada tanto à flexão (como uma viga engastada) como à torção, 
uma situação que envolve tensões combinadas normal e de cisalhamento.
II. Avaliar o fenômeno físico, como mostra a figura (a), quanto aos pontos de 
interesse para cálculo de tensões.
III. Elaborar o diagrama de esforços solicitantes, calcular os valores 
máximos de momento e força cortante.
IV. Calcular as tensões de cisalhamento máximas e as tensões 
principais da combinação de tensões aplicadas.
V. Calcular a tensão equivalente de Von Mises e o coeficiente de 
segurança.
VI. Calcular coeficiente de segurança usando a teoria da máxima 
tensão de cisalhamento e compará-las.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
Dados: 𝜎 = ; 𝜏 = ; 𝐼 = ; 𝐽 = ; 
𝜏 á =
𝜎 − 𝜎
2
+ 𝜏 ; 𝜎 á / = 𝜎 , =
𝜎 + 𝜎
2
± 𝜏 á
𝜎 = 𝜎 − 𝜎 𝜎 + 𝜎 ; 𝑁 =
𝑆
𝜏 á
; 𝑆 = 0,577𝑆 ; 𝑆 = 0,50𝑆
III. Diagrama dos esforços solicitantes.
Elementos de Máquinas
FALHA EM MATERIAIS DÚCTEIS
EXEMPLO 1 (5-1 do Norton)
Solução:
I. Calcular as tensões de cisalhamento máximas e as tensões principais da combinação de tensões 
aplicadas.
Cálculo dos momentos de inércia: 𝐼 = ( , ) = 0,249𝑖𝑛 ; 𝐽 = , = 0,497𝑖𝑛
Momento fletor máximo: 6.000lb.in
Tensão normal em relação ao eixo x: 𝜎 = → 𝜎 = . ( , )
,
→ 𝜎 = 18.072𝑝𝑠𝑖 (𝑙𝑏 𝑖𝑛 )⁄
Tensão de cisalhamento no eixo x: 𝜏 = → 𝜏 = . ( , )
,
→ 𝜏 = 12.072𝑝𝑠𝑖 (𝑙𝑏 𝑖𝑛 )⁄
• Cálculo das tensões principais: 𝜏 á = + 𝜏 → 𝜏 á =
.
+ 12.072
𝜏 á = 15,079𝑝𝑠𝑖
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