unidade 3

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
BALANÇOS GLOBAISBALANÇOS GLOBAIS
Autor: Me. Rafaela Guimarães
R e v i s o r : M a r i o C a l l e f i
I N I C I A R
/
introduçãoIntrodução
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, vamos aprender sobre os balanços globais de energia,
determinando se um �uido está fornecendo ou recebendo trabalho, caso das máquinas e
turbinas. Além disso, vamos deduzir a famosa equação de Bernoulli, que, segundo
especialistas, é uma das mais utilizadas em fenômenos de transporte até hoje.
No capítulo 2, estudaremos o Teorema de Reynolds para relacionar volumes de controle com
superfícies de controle, assim, poderemos utilizar uma massa �xa ou um volume de controle
na resolução de problemas.
No capítulo 3, abordaremos o Teorema de Reynolds para entender os escoamentos com
múltiplas entradas e saídas, assim, podemos analisar as tubulações instaladas na maioria das
aplicações técnicas.
Finalmente, na última parte, faremos a análise dimensional, outra maneira de resolver os
problemas em fenômenos de transporte.
/
Na dinâmica dos �uidos, estudam-se seus movimentos. Para compreendermos esses
movimentos, precisamos considerar as leis fundamentais que modelam o movimento das
partículas dos �uidos. Começaremos estudando a força e a aceleração.
Segunda Lei de Newton
Quando um �uido escoa, ocorre uma aceleração ou uma desaceleração em suas partículas.
Pela Segunda Lei de Newton, temos que “a força líquida que atua na partícula �uida que
estamos considerando precisa ser igual ao produto de sua massa pela sua aceleração”
(MUNSON, 2004, p. 89), ou seja:
F = m . a                                                                                                                    (1)
Primeiramente, estudaremos os escoamentos com viscosidade nula, isto é, a condutibilidade
térmica do �uido também é nula.
Considerando que o movimento dos �uidos é devido à força gravitacional e à pressão
exercida sobre ele, ainda de acordo com Munson e colaboradores (2004, p. 89), podemos
reescrever a Segunda Lei de Newton como:
(Força líquida na partícula devido à pressão) + (Força na partícula devido à gravidade) =
(massa da partícula x aceleração)                                                                                            (2)
Equação de BernoulliEquação de Bernoulli
/
Esta é uma das mais importantes análises feitas em fenômenos de transporte: a análise entre
as forças gravitacionais, a aceleração da partícula e o campo de pressão.
Nossa primeira análise da equação (2) será bidimensional, nas direções (x e z), ou seja, o
movimento da partícula será descrito pelo vetor velocidade, que pode ser de�nido como a
taxa de variação temporal da posição da partícula.
Estamos representando a trajetória de uma partícula na Figura 3.1. A localização da partícula
ao longo do eixo x - z é função do local ocupado por ela no instante inicial e de sua velocidade
ao longo da trajetória.
Quando o �uido está escoando em regime permanente, toda partícula �uida escoa ao longo
de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente à trajetória. Também podemos
descrever o escoamento em função das coordenadas da linha de corrente (MUNSON, 2004,
p. 89), conforme a Figura 3.1, item b.
O movimento da partícula será descrito em função da distância, dada por s = s (t), que pode
ser medida ao longo da linha de corrente (adotando uma origem) com um raio de curvatura
local dado por .
Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade sobre o tempo, dado pela fórmula a =
dV/dt (a indicação da velocidade em negrito quer dizer que estamos nos referindo ao vetor
Figura 3.1 - a) Escoamento do plano x - z. b) Descrição do escoamento utilizando as
coordenadas de linhas de corrente
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
R =  R (s)
/
velocidade) no eixo de coordenadas x - y, essa aceleração terá dois componentes:
um ao longo da linha de corrente, dado por 
outro normal na linha de corrente, dado por 
A aceleração na coordenada s será dada por:
                                                                                                     (3)
Onde s é a distância medida ao longo da linha de corrente considerando um ponto inicial.
A aceleração normal será a aceleração centrífuga, dada em função da velocidade da partícula
e do raio de curvatura da trajetória. Logo:
                                                                                                                                                (4)
Onde R é o raio de curvatura local da linha de corrente.
Segunda Lei de Newton ao Longo de
uma Linha de Corrente
Considerando a Figura 3.2, em que é mostrado o diagrama de corpo livre de uma partícula
retirada do ar em torno de um avião, temos que a dimensão dessa partícula na direção
normal será dada por δy. Se o regime de escoamento for permanente, teremos:
 = m . as = m V = V = Volume V 
Onde V é a velocidade, representa a soma dos componentes das forças que atuam na
partícula na direção . A massa da partícula é m = Volume, e V é a aceleração da
partícula na direção . Podemos escrever o volume da partícula como Volume = s n y.
as
an
  =   =   ( ) =  V  as dVdt
dV
ds
ds
dt
dV
ds
  =  an
V 2
R
δ∑ Fs δ δ dVds ρ
dV
ds
ρδ dV
ds
δ∑ Fs
ŝ δ ρδ dV
ds
ŝ δ δ δ δ
/
A força gravitacional pode ser escrita como W = Volume, onde = g é o peso especí�co
do �uido (N/m3). Logo, a componente da força peso na direção da linha de corrente pode ser
reescrita como:
Ws = - W sen = - Volume sen                                                            (6)
A força de pressão também pode ser reescrita como:
Fps = - Volume                                                                     (7)
O gradiente de pressão p = + é o responsável pela força líquida que atua na
partícula.
Assim, a força líquida que atua sobre a partícula representada pelo diagrama de corpo livre,
conforme está representado na Figura 3.3, é dada por:
 = Ws + Fps = Volume                                           (8)
Figura 3.2 - Remoção de uma partícula de um �uido do campo de escoamento
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 90).
δ γδ γ ρ
δ δ θ γ δ θ
δ δ
dp
ds
 
dp
ds
ŝ
dp
dn
n̂
δ∑ Fs δ δ (−γ sen θ  −   ) δdpds
/
Combinando as equações (8) e (5) nós teremos a equação do movimento ao longo de uma
linha de corrente que é dada por:
- sen - = V = as                                                               (9)
Essa equação pode ser interpretada por “a variação da velocidade da partícula é provocada
por uma combinação adequada do gradiente de pressão com a componente peso da partícula
na direção da linha de corrente” (MUNSON, 2004, p. 93).
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é uma relação entre pressão, energia cinética e energia potencial
muito utilizada em fenômenos de transporte para escoamentos com líquidos
incompressíveis, como a água.
As hipóteses simpli�cadoras, de acordo com Brunetti (2008, p. 87), que devemos considerar
para podermos aplicar a equação de Bernoulli são:
1. Propriedades uniformes na seção, ou seja, não variam ponto a ponto na área da
seção;
2. Fluido ideal, ou seja, o escoamento ocorre sem perdas por atrito com a parede da
tubulação;
3. Fluido incompressível, ou seja, não há variação de massa especí�ca;
Figura: 3.3 - Diagrama de corpo livre para uma partícula �uida
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 92).
γ θ
dp
ds
ρ  dV
ds
ρ
/
4. Energia térmica desprezível, ou seja, não há trocas de calor;
5. Não há máquinas hidráulicas instaladas no trecho em estudo;
6. Regime permanente.
Estudaremos um tubo de corrente com um �uido escoando do ponto 1 para o ponto 2,
conforme a Figura 3.4. Uma massa passará por esse tubo. A energia acrescentada ao
�uido com massa será
 = . g. + +                                                                                 (10)
Na seção 2, uma massa \(\text{d}_{m2} do �uido que pertencia ao trecho (1) - (2) escoa para
fora,levando a energia \(\text{d}_{E2} dada por:
 = . g. + +                                                                                         (11)
As hipóteses consideradas no início do estudo para obtermos a equação de Bernoulli 2, 4 e 5
garantem que nesse trecho da tubulação não houve trocas de calor, então =   , ou:
 .g. + + = = .g. + + 
                                                                                                                                                     (12)
Temos que = e que dV=                                                                                  (13)
Substituindo a equação (3.12) na equação (3.11), obtemos:
 . g. + + = = . g. + + 
                                                                                                                                                                (14)
dm1
dm1
_dE1 dm1 h1
d . m1 v
2
1
2
p1 dV1
Figura 3.4 - Tubo de corrente para estudo da Equação de Bernoulli
Fonte: Denis Barbulat / 123RF.
dE2 dm2 h2
d . m2 v
2
2
2
p2 dV2
dE1 dE2
dm1 h1
d . m1 v
2
1
2
p1 dV1 dE2 dm2 h2
d . m2 v
2
2
2
p2
dV2
ρ dm
dV
dm
ρ
dm1 h1
d . m1 v
2
1
2
p1
ρ1
dm1 dE2 dm2 h2
d . m2 v
2
2
2
p2
ρ2
dm2
/
Como o �uido é incompressível 1 = 2 e como o regime é permanente   dm1 = dm2,
portanto, a equação (3.13) �cará igual a:
g. h1 + + = g. h2 + +                                                                                           (15)
Agora, vamos dividir a equação (15) por g e nos lembrar de que = . g, para obtermos:
h1 + + = g. h2 + +                                                                                            (16)
A equação (16) é a famosa equação de Bernoulli que nos permite relacionar cotas (altura),
velocidades e pressões em duas seções de um tubo, onde há um escoamento de um �uido.
Abaixo indicaremos separadamente o signi�cado de cada termo da equação (16), de acordo
com Brunetti (2008, p. 89):
1. z = h = = - energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de
uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação é também chamada de carga
potencial;
2. = = = - energia cinética por unidade de peso ou energia
cinética de uma partícula de peso unitário. Essa parte da equação também é
chamada de carga da velocidade ou carga cinética;
3. = = = - energia de pressão por unidade de peso ou energia de
pressão da partícula de peso unitário. Essa parte da equação é chamada de carga
de pressão.
Como z é uma cota (altura, é dado em metros), logo , assim como também devem ser
medidos em m.
A energia total (representada pela letra H) por unidade de peso pode ser calculada por:
H = + + z                                                                                            (17)
O enunciado dessa equação pode ser de�nido como “se, entre duas seções do escoamento, o
�uido for incompressível, sem atritos, e o regime, permanente, se não houver máquina nem
trocas de calor, então, as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não
havendo nem ganhos nem perdas de carga” (BRUNETTI, 2008, p. 89).
Se a energia total tiver sinal positivo, o escoamento estará recebendo trabalho, ou seja, o
sistema se comporta como uma bomba. Já se H for negativo, o sistema estará fornecendo
energia, ou seja, o escoamento estará exercendo a função de uma turbina hidráulica.
ρ ρ
v2
1
2
p1
ρ
1
v2
2
2
p2
ρ
2
γ ρ
v2
1
2 . g
p1
γ
v2
2
2 . g
p2
γ
m. g.h
m. g
Ep
G
v2
2 . g
m  . v2
2 . g . m
m  . v2
2 . G
Ec
G
p
γ
. Vp
γ . V
. Vp
G
Epr
G
v2
2 . g
p
γ
p
γ
v2
2 . g
/
praticarVamos Praticar
Na �gura a seguir, vemos um reservatório de grandes dimensões fornecendo água para o tanque
indicado com uma vazão de 10 l/s. Queremos fazer um estudo da função da máquina representada
pela letra M na �gura a seguir e de sua energia total. Dados água = , Atubos = 10 e
g = 9,81 .
a) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 10 m.
Feedback: alternativa correta. Primeiro, vamos realizar o balanço de energia desse sistema.
A energia do ponto 1 mais a energia da máquina será igual à energia no ponto 2, ou H1 + HM
= H2. Agora, vamos escrever a equação de Bernoulli para o ponto 1, que é H1 = + + z1.
A energia no ponto 2 também será obtida a partir da equação de Bernoulli dada por  H2 = 
+ + z2. Agora, vamos adotar um plano de referência horizontal como sendo x = 0 e z =
γ 104 N/m3 cm2
m/s2
Brunetti (2008, p. 94).
Sobre essa máquina e sua energia total, podemos a�rmar que:
p1
γ
v21
2 g
p2
γ
v22
2 g
/
0, ou seja, temos z1 = 20 m e z2 = 5 m. Como o reservatório é de grandes dimensões, o
líquido dentro dele apresenta v1 = 0. Como esse líquido está exposto à atmosfera, a pressão
p1 também será zero. Logo H1 = z1 = 20 m. Agora, vamos calcular a velocidade de
escoamento do �uido no tanque, v2 = Q / A2, sendo que uma vazão de 10 l/s equivale a uma
vazão de 0,01 . Logo, v2 = = 10 m/s. Com a velocidade no ponto 2, podemos
calcular H2 = 0 + + 5 = 10,1 m. Portanto, Hm = H2 - H1 = 10,1 - 20 = - 9,9 m. Como Hm
é negativo, temos que a máquina é, na verdade, uma turbina com energia total de 9,9 m.
b) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 10 m.
c) a máquina é uma turbina com energia de aproximadamente 20 m
d) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 20 m.
e) a máquina é um motor com energia de aproximadamente 5 m.
/sm3
0,01
10 x 10−4
102
2 . 9,81
/
Podemos de�nir trabalho, segundo Livi (2017, p. 98), como o produto escalar de uma força
aplicada sobre um �uido multiplicado pelo deslocamento que essa força provoca.
W = F . dS                                                                                          (18)
Agora, podemos calcular a taxa de trabalho realizada no tempo:
 = = F . V                                                                                  (19)
Onde V é a velocidade de escoamento do �uido. Observação: podemos representar os
vetores de duas maneiras: e F.
A Segunda Lei de Newton a�rma que a força F exercida pela vizinhança sobre o volume de
controle, de forma que o �uido escoa através da superfície de controle, exerce uma força (- F)
sobre a vizinhança, resultando, ainda segundo Livi (2017, p. 98), que a taxa de trabalho
Teorema deTeorema de
Transporte deTransporte de
Reynolds Aplicado àReynolds Aplicado à
Lei de ConservaçãoLei de Conservação
de Quantidade dede Quantidade de
MovimentoMovimento
δ
δW
dt
 . F
−
ds
−−
dt
F
−
/
realizada pelo �uido pelas tensões normais n em um elemento de área dA da superfície de
controle será dada por:
= - . = - n d                                                                    (20)
Agora, podemos calcular a potência de escoamento que é de�nida como a taxa de trabalho
realizado pelas forças devidas às tensões normais considerando toda a superfície de
controle:
= - nd = - - n( . ) dA                                 (21)
A pressão é a componente da tensão normal n, sendo que
n = - p                                                            (22)
Agora, podemos reescrever a equação (21) por
=   p ( dA                                               (23)
A potência resultante será dada por:
= + p ( dA +                                                 (24)
Analisemos a equação (25):
- = dA + dvol                            (25)
Que é uma expressão da Primeira Lei da Termodinâmica em relação a um volume de controle,
pode ser reescrita por:
- - p ( dA = e ( dA + e d                  (26)
Onde é a energia total especí�ca (por unidade de massa) do sistema e é o menor
volume, em torno de um ponto. Ou
- = ( dA + e d                              (27)
Essa equação é conhecida como equação de energia porque ela fornece um balanço global da
energia para um volume considerado (LIVI, 2017).
σ
δWf
dt
F
−
V
−
σ A
−
V
−
δWescoamento
dt
∫ ∫
S.C. σ A
−
V
−
∫ ∫
S.C. σ V
−
n
−
σ
σ
δWescoamento
dt
∫ ∫
S.C. )V
−
n
−
δW
dt
δWeixo
dt
∫ ∫
S.C.
)V
−
n
−δWμ
dt
δQ
dt
δW
dt
e ρ (  .   )∫ ∫
S.C. V
−
n
−
e ρd
dt
∫ ∫ ∫
V .C.
δQ
dt
δWeixo
dt
∫ ∫
S.C.
)V
−
n
−
∫ ∫
S.C. ρ )V
−
n
−
d
dt
∫ ∫ ∫
V .C. ρ vol
e vol
δQ
dt
δWeixo
dt
(e  +   )ρ∫ ∫
S.C.
p
ρ
)V
−
n
−
d
dt
∫ ∫ ∫
V .C. ρ vol
/
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
Considerando um volume de controle estacionário e localizado entre a tubulação entre as
seções (1) e (2) da Figura 3.5, vamos analisar o �uido que ocupa o volume de controle no
instante t. O sistema está se deslocando para a direita um instante depois, dado por t + t. O
�uido está se deslocando com uma velocidade v.
A Figura 3.5 ilustra o escoamento nos instantes t - volume I + CV e no instante   t + t, o
volume é dado por volume II + CV - I.
Se B é um parâmetro do sistema, o volume associado a esse parâmetro para o sistema no
instante t é dado por:
Bsist (t) = Bvc (t)                                                                   (28)
Ou seja, o sistema e o �uido contido no volume de controle no instante t são os mesmos.
Agora, no instante t + t, o parâmetro B será dada por:
δ
Figura 3.5 - Volume de controle e sistema para o escoamento em uma tubulação com seção
transversal variável
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 166).
δ
δ
/
Bsis (t + t) = Bvc (t + t) - BI (t + t) + BII (t + t)                          (29)
E a variação da quantidade de B no sistema no intervalo de tempo t dividido por esse
intervalo de tempo será:
= =                         (30)
No instante inicial Bsis (t) = Bvc (t). Então, temos:
= - +                                        (31)
No limite em que t 0, o primeiro termo do lado direito da equação (31) representa a taxa
de variação temporal da quantidade B no volume de controle.
= =                                      (32)
O terceiro termo do lado direito da equação (32) representa a taxa com que o parâmetro
extensivo B escoa do volume de controle através da superfície de controle, representada
pelo número II (romano) na Figura 3.6.
Então,
BII (t + t) = = 2 b2 A2 V2 t                             (33)
Onde 2 b2 são os valores de e b na seção II (que são constantes). Então, a taxa com que a
propriedade b escoa do volume de controle Bs será:
Bs = = 2 b2 A2 V2                                               (34)
Temos o mesmo resultado no lado I, ou seja,
BI (t + t) = 1 b1 A1 V1 t                                                          (35)
Onde 1 b1 também são valores constantes de e b na seção I. De modo análogo:
Be = = 1 b1 A1 V1                                           (36)
Agora, vamos juntar as equações (300) a (36) para que possamos encontrar a taxa de
variação no tempo de B para o sistema e para o volume de controle:
= + Bs - Be                                                          (37)
δ δ δ δ
δ
δBsis
δt
(t + δt) −  (t ) Bsis Bsis
δt
(t + δt) −   (t + δt)  +  (t + δt) −  (t )   Bvc BI BII Bsis
δt
δBsis
δt
(t + δt) −  (t ) Bvc Bvc
δt
(t + δt) BI
δt
(t + δt) BII
δt
δ →
lim
δt → 0 
(t + δt) −  (t ) Bvc Bvc
δt
dBvc
dt
d( ρ b dvol)∫
vc
dt
δ (   ) (δ vo )ρ2 b2 lII ρ δ
ρ ρ
lim
δt → 0 
(t + δt) BII
δt
ρ
δ ρ δ
ρ ρ
lim
δt → 0 
(t + δt) BI
δt
ρ
DBsis
Dt
dBsis
dt
/
= 2 b2 A2 V2 - 1 b1 A1 V1                                           (38)
Essa é a equação de transporte de Reynolds para um escoamento com uma entrada
(alimentação) e uma saída (descarga). É importante ressaltar que a taxa de alimentação ( 2
b2 A2 V2) e a taxa de descarga ( 1 b1 A1 V1) não precisam ser iguais no volume de controle.
praticarVamos Praticar
Um motor trabalhando em regime permanente fornece 30 HP, equivalentes a 22,40 kW, a uma
bomba para bombear água à taxa de 0,04 , conforme está ilustrado na �gura a seguir. O
diâmetro da entrada é de 15 cm e o de saída é de 12,5 cm. Considera-se que a entrada e a saída da
bomba estejam na mesma elevação e, ainda, que o escoamento possa ser considerado uniforme
através da entrada e da saída e desconsiderando os termos que envolvam as trocas de calor ou
variações de energia interna.
DBsis
Dt
ρ
dBsis
dt
ρ
ρ
ρ
/sm3
Figura 3.6 - Sistema motor - bomba
Fonte: Braga Filho (2012, p. 87).
O aumento na pressão d’água será um número:
/
a) entre 0 e 200 kPa.
Feedback: alternativa incorreta, a equação de energia para esse escoamento é dada por
Weixo = m . Logo, 
 = 0,025 x 22.400 = 560 Watts. O trabalho que entra no sistema (ou
volume de controle) é considerado negativo. Então, - 560 + 22.400 = 
. As velocidades são obtidas da vazão volumétrica.
Logo, a velocidade V1 = = 2,26 m/s e V2 = = 3,26 m/s. O �uxo de massa
pode ser calculado por: m = 0,40 x 1.000 = 40 kg/s. Então, P2 - P1 = 1.000
= = 562,76 kPa.
b) entre 201 e 400 kPa.
c) entre 201 e 400 kPa.
d) entre 401 e 600 kPA.
Feedback: alternativa correta, a equação de energia para esse escoamento é dada por
Weixo = m . Logo, 
 = 0,025 x 22.400 = 560 Watts. O trabalho que entra no sistema (ou
volume de controle) é considerado negativo. Então, - 560 + 22.400 = 
. As velocidades são obtidas da vazão volumétrica.
Logo, a velocidade V1 = = 2,26 m/s e V2 = = 3,26 m/s. O �uxo de massa
pode ser calculado por: m = 0,40 x 1.000 = 40 kg/s. Então, P2 - P1 = 1.000
= = 562,76 kPa.
e) entre 601 e 800 kPa.
[( +   +  g   )   −   (   +   +  g   )]P2
ρ2
V 22
2
z2
P1
ρ1
V 21
2
z1
[Q  −  m  (   −   )]u2 u1
[( +  )   −   (   +  )]P2
ρ
V 22
2
P1
ρ
V 21
2
 
0,04
π  /4(0,15)2
0,04
π  /4(0,125)2
[   +   ( )]22.400
m
 − V 21 V
2
2
2
[   +   ( )]22.400
40
 − 2,262 3,262
2
[( +   +  g   )   −   (   +   +  g   )]P2
ρ2
V 22
2
z2
P1
ρ1
V 21
2
z1
[Q  −  m  (   −   )]u2 u1
[( +  )   −   (   +  )]P2
ρ
V 22
2
P1
ρ
V 21
2
 0,04
π  /4(0,15)2
0,04
π  /4(0,125)2
[   +   ( )]22.400
m
 − V 21 V
2
2
2
[   +   ( )]22.400
40
 − 2,262 3,262
2
/
A Primeira Lei da Termodinâmica nos diz que:
Quando escrevemos essa lei na forma matemática, temos:
Balanços Globais:Balanços Globais:
Balanço Global deBalanço Global de
Quantidade deQuantidade de
MovimentoMovimento
Fonte: Munson (2004, p. 223)
/
dVol = = 
(Equação 3.38)
Ou seja, segundo Munson (2004), a energia total por unidade de massa (energia total
especí�ca) está relacionada com a energia interna especí�ca u, com a energia cinética por
unidade de massa e com a energia potencial por unidade de massa, dada por g . z pela
equação:
 = u + + g z                                                                          (40)
Vamos analisar mais profundamente, de acordo com Munson (2004), a equação da energia
para escoamentos em regime permanente em média, dada por:
m = Qliq.e +
Wliq.e                 (41)
Quando essa equação é aplicada a um escoamento em regime permanente, a equação
resultante é:
m = Qliq.e              (42)
A diferença entre as equações (41) e (42) é o termo Wliq.e, que representa a potência no eixo
que, nesse caso, é nulo em todas as equações. Se o escoamento for incompressível, a equação
(42) pode ser simpli�cada por:
+ + g zs = + + g ze - (us - ue - qliq.e)                                         (43)
Sendo que:
qliq.e =                                                                   (44)
É a taxa de transferência de calor por unidade de massa que escoa no volume de controle. Se
os efeitos do atrito puderem ser desprezados, teremos:
ps + + zs = pe + + ze                                            (45)
Sendo que = g é o peso especí�co do �uido. Agora, vamos dividir a equação (45) pela
massa especí�ca do �uido:
+ + g zs = + + g ze                                                  (46)
e ρD
Dt
∫
sis
  +  (     −   )∑ Qe ∑ Qsis sis (     −   )∑ We ∑ Wsis sis
(   +  )Qliq.e Qliq.e sis
e
/2V 2
e V
2
2
[   −     +   −     +     +  g (   −   ]us ue ( )pρ
s
( )p
ρ
e
 − V 2s V
2
e
2
zs ze
[   −     +   −     +     +  g (   −   ]us ue ( )pρ
s
( )p
ρ
e
 − V 2s V
2
e
2
zs ze
ps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
Qliq.e
m
ρ   V 2s
2
γ
ρ   V 2e
2
γ
γ ρps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
/
Comparando as equações (43) e (46), temos que:
us - ue - qliq.e = 0                                                                    (47)
Para escoamentos permanentes, incompressível e sem atrito. Logo,
 us - ue - qliq.e> 0                                                                      (48)
Nos escoamentos incompressíveis, permanentes e com atrito. Logo, podemos de�nir,
segundo Munson (2004), a equação (48) como a perda do nosso sistema, ou seja:
+ + g zs = + + g ze - perda                                       (49)
Teorema de Transporte de Reynolds
Aplicado à Lei de Conservação de
Quantidade de Movimento
Agora, vamos estudar um campo de escoamento com várias entradas e saídas representados
pela Figura 3.7. No instante t, temos o �uido contido no volume de controle delimitado pela
superfície não hachurada na �gura. No instante t + t, uma porção de �uido (região II) saiu do
volume de controle e uma quantidade adicional de �uido (região I) entrou no volume de
controle, lembrando que essa quantidade não estava presente no instante inicial.
ps
ρ
 V 2s
2
pe
ρ
 V 2e
2
δ
/
Um exemplo de um sistema complexo é mostrado na �gura 3.8, que pode ser a representação
da tubulação de água de uma rua com várias derivações interligando casas e prédios. Nesta
representação temos v e v entrando no volume de controle e v , v , v e v saindo (basta
seguir o sentido das setas).
Figura 3.7 - Volume de controle e sistema em um escoamento através de um volume de
controle �xo
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
1 2 3 4 5 6
Figura 3.8 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 168).
/
O termo B representa a vazão líquida da propriedade B do volume de controle. Seu valor é o
resultado da integração das contribuições de cada elemento. Considerando a área desses
elementos como in�nitesimal, ela pode ser representada por A.
O volume de �uido que passa por cada elemento de área está representado na Figura 3.9 e é
dado por:
vol = ln A                                                                        (50)
Onde ln = l cos é a altura (normal a base A) do pequeno elemento de �uido e é o ângulo
entre o vetor velocidade e a normal que aponta para fora da superfície, . Como l = V t, a
quantidade da propriedade B transportada através do escoamento de área A no intervalo
de tempo t será:
B = b Vol = b (V cos t ) tA                                          (51)
B é transportado através do elemento de área A para fora do volume de controle a uma taxa
de transporte dada por:
Bs = = = b V cos A                        (52)
Agora, vamos integrar a equação (52) em toda a sua porção da superfície de controle que
possui descarga de �uido, SC:
δ
δ δ δ
δ δ θ δ θ
n̂ δ δ
δ
δ
δ ρδ ρ θδ δ
Figura 3.9 - Volume de controle com várias seções de alimentação e descarga
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 169).
δ
δ lim
δt → 0 
ρ b δ V ol 
δt
lim
δt → 0 
(ρ b cos θ δt) δA
δt
ρ θδ
/
Bs = dBs = b V cos dA                                             (53)
Sendo que V cos é a componente da velocidade na direção normal à área A, que é dada
pelo produto escalar V . . Agora, temos uma forma alternativa para a equação (53) que é:
Bs = b V . V . dA                                                       (54)
Com o mesmo raciocínio, obtemos para a superfície de controle representada na Figura 3.10:
Be = b V . cos dA = - b V . dA                             (55)
A convenção normal do versor normal à superfície aponta para a superfície, ou nas regiões
com descarga de �uido temos V . > 0, para - 90º < < 90º e nas regiões com alimentação de
�uido temos V . < 0, para 90º < < 270º, conforme está mostrado na Figura 3.11.
∫
SCs
ρ∫
SCs
θ
θ δ
n̂
ρ∫
SCs
n̂
ρ∫
SCs
θ ρ∫
SCe
n̂
Figura 3.10 - Escoamento em uma região da superfície de controle (alimentação)
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 170).
n̂ θ
n̂ θ
/
Podemos notar que o valor de cos é positivo nas porções da superfície de controle que
possuem descarga e negativo nas regiões com alimentação. E, nas regiões sem alimentação
ou descarga, a V   = V cos = 0, ou seja, o �uido se encontra preso na superfície ou está
escoando ao longo da superfície do volume de controle.
Figura 3.11 - Con�gurações da velocidade em uma região da superfície de controle. a)
alimentação, b) sem escoamento através da superfície e c) descarga do �uido
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 171).
θ
n̂ θ
/
Agora, o �uxo líquido do parâmetro B através da superfície de controle será dado por:
Bs - Be = b V . dA - = b V . dA (56)
reflitaRe�ita
Os fenômenos de transporte, apesar de serem
estudados há mais de 200 anos, estão sendo
utilizados em áreas totalmente novas
ultimamente. O entendimento de como os
�uidos se comportam dentro de tubulações
levou os engenheiros a �rmarem uma parceria
para estudarem e entenderem como os �uidos
(sangue e nutrientes) são transportados
dentro do nosso corpo. A área de atuação para
engenheiros junto à medicina tem crescido
vertiginosamente com estudos para
medicamentos que só começarão a agir no
local exato que precisamos até mesmo órgãos
arti�ciais que funcionarão como bombas ou
�ltros (rins e coração), passando por máquinas
que podem �ltrar nosso sangue, controlar o
funcionamento dos órgãos vitais ou
substituírem nosso coração. Os cientistas
acreditam que no futuro seremos capazes de
imprimir em impressoras 3D órgãos humanos
perfeitamente compatíveis com partes que
apresentarem doenças.
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 5).
ρ∫
SCs
n̂ (−  ρb V  .     dA )∫
SCe
n̂ ρ∫
SC
n̂
/
Também podemos escrever essa equação como:
= + b V . dA                                           (57)
Como Bvc = b dV, então, a equação (57) �ca sendo:
= b dvol + b V . dA                                    (58)
Essa equação é a forma geral do teorema de transporte de Reynolds para volumes de
controle �xos e não deformáveis.
O lado esquerdo da equação representa a variação temporal de um parâmetro, que pode ser
a variação de massa ou o movimento do sistema. O segundo termo representa a taxa de
variação de B no volume de controle e o último termo representa a vazão líquida do
parâmetro B através de toda a superfície de controle.
praticarVamos Praticar
Dois orifícios localizados em uma parede com espessura igual a 120 mm são mostrados na �gura a
seguir. Os orifícios são cilíndricos e o de baixo apresenta uma entrada arredondada. O ambiente
apresenta pressão constante e igual a 1,0 kPa acima do valor atmosférico. A descarga dos dois
orifícios ocorre na atmosfera. Pode ser demonstrado que a perda de energia disponível no orifício
com entrada brusca é igual a onde V2 é a velocidade uniforme da seção de descarga do
orifício superior. Já a perda de energia disponível no escoamento do orifício com entrada
arredondada é igual a , onde V2 também é a velocidade uniforme da seção de descarga do
orifício inferior. Nessas condições, a vazão no orifício de menor perda será um número entre
(BRUNETTI, 2008, p. 109):
DBsis
Dt
dBvc
dt
ρ∫
SC
n̂
ρ∫
SC
DBsis
Dt
ρd
dt
∫
vc
ρ∫
SC
n̂
0,5 V 22
2
0,05 V 22
2
/
a) Entre 0 e 0,010 m³/s
Feedback: alternativa incorreta, A equação de conservação de energia é dada por + =
- perda. Logo, V2 = , sendo que a perda = KL e KL = 0,5
para o orifício superior e 0,05 para o orifício inferior. Então, temos que V2 = 
. Podemos simpli�car essa equação para V2 = 
. Agora que temos a velocidade, vamos obter a vazão pela fórmula Q = V .
A, ou Q = A2 V2 = . Transformando 120 mm para m temos 0,12m.
Podemos substituir todos os valores na fórmula e obter a vazão por: Q = 
= 0,0156 .
b) Entre 0,011 e 0,020 m³/s
Feedback: alternativa correta. A equação de conservação de energia é dada por + = 
- perda. Logo, V2 = , sendo que a perda = KL e KL = 0,5
para o orifício superior e 0,05 para o orifício inferior. Então, temos que V2 =. Podemos simpli�car essa equação para V2 = 
. Agora que temos a velocidade, vamos obter a vazão pela fórmula Q = V .
A, ou Q = A2 V2 = . Transformando 120 mm para m temos 0,12m.
Figura 3.12 - Sistema com 2 orifícios para entrada de água
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 231).
p2
ρ
 V 22
2
p1
ρ
[2  (   −  perda)] − p1 p2
ρ
1/2  V 22
2
[2  (   − )] − p1 p2
ρ
KL
 V 22
2
1/2
[ ] − p1 p2
ρ ((1+ )/2)KL
1/2
π D22
4
[ ] − p1 p2
ρ ((1+ )/2)KL
1/2
π (0,12)2
4
[(  )]1.000 − 0 
1.000 ((1+0,05)/2)
1/2
/sm3
p2
ρ
 V 22
2
p1
ρ
[2  (   −  perda)] − p1 p2
ρ
1/2  V 22
2
[2  (   − )] − p1 p2
ρ
KL
 V 22
2
1/2
[ ] − p1 p2
ρ ((1+ )/2)KL
1/2
π D22
4
[ ] − p1 p2
ρ ((1+ )/2)KL
1/2
/
Podemos substituir todos os valores na fórmula e obter a vazão por: Q = 
= 0,0156 .
c) Entre 0,021 e 0,030 m³/s
d) Entre 0,031 e 0,040 m³/s
e) Entre 0,041 e 0,050 m³/s
π (0,12)2
4
[(  )]1.000 − 0 
1.000 ((1+0,05)/2)
1/2
/sm3
/
A maioria dos escoamentos estudados em Fenômenos de Transporte são tridimensionais e
precisam de vários cálculos matemáticos para encontrarmos as   variáveis que queremos
controlar. Por isso, foram desenvolvidos outros métodos envolvendo que possibilitam
produzir modelos matemáticos de acordo com a realidade e mais fáceis de serem
trabalhados matematicamente. Um desses modelos é a análise dimensional.
Ela é uma teoria matemática que, aplicada à Física, e especi�camente à Mecânica dos
Fluidos, permite tirar maiores proveitos dos resultados experimentais, assim como
racionalizar a pesquisa e, portanto, diminuir seus custos e as perdas de tempo. A teoria da
semelhança, ou teoria dos modelos, é baseada em princípios abordados pela análise
dimensional e resolve certos problemas através da análise de modelos convenientes do
fenômeno em estudo (BRUNETTI, 2008).
Grandezas Fundamentais e Derivadas
As grandezas como espaço, tempo, velocidade descrevem os fenômenos físicos. Uma
pesquisa no conjunto de grandezas mostra a existência de somente três grandezas
independentes, a partir das quais podem ser relacionadas todas as demais. A escolha em
geral é feita com base no termo FLT (força, comprimento e tempo) ou no MLT (massa,
comprimento e tempo). Com exceção dessas três grandezas, as demais serão derivadas delas.
A equação dimensional relaciona a grandeza escolhida como base e sua derivada.
Análise DimensionalAnálise Dimensional
e Teoria dae Teoria da
SemelhançaSemelhança
/
Sistemas Coerentes de Unidades
A escolha do sistema de unidades é importante. Denominamos Sistema Coerente de
Unidades aquele que de�ne somente as unidades das grandezas fundamentais. Para o
sistema FLT, temos no MKS as seguintes unidades:
L = metro ou unidade de L;
K = kilograma-força ou unidade de F;
S = segundo ou unidade de tempo.
Outras unidades serão produto de potência dessas três. Por exemplo, a massa especí�ca é
dada por:
un MKS = kgf. m-4 . s2 = 
Teorema dos Pi ou Teorema de
Buckingham
ρ
kgf . s2
m4
saibamaisSaiba mais
Martins nos explica de uma maneira clara e precisa no
vídeo Introdução à análise dimensional os conceitos
introdutórios da análise dimensional.
ASS IST IR
/
O Teorema dos nos diz que: “seja um fenômeno físico em que intervêm n variáveis, x1, x2,
…, xn, interligadas por uma função: f (x1, x2, …, xn) = 0. Pode-se demonstrar que existe outra
função, chamada de ( , , …, ) = 0 rigorosamente equivalente à anterior para o estudo
do fenômeno indicado, onde:
os são números adimensionais independentes, construídos por combinações
adequadas das n variáveis ou grandezas que intervêm no fenômeno;
a quantidade de números adimensionais é m = n - r, onde n = número de grandezas
envolvidas no fenômeno e r = número de grandezas fundamentais contidas nas
grandezas do fenômeno (para o nosso caso, sabemos que r 3);
os adimensionais são obtidos por expressões do tipo:
= . … . 
= . … .                                                         (59)
…………………………..
= . … . 
Podemos notar que todos os adimensionais são os mesmos com exceção dos expoentes.
Chamamos esse conjunto de r fatores de base das grandezas dos fenômenos e eles devem
ser independentes.
Grupos Adimensionais Importantes na
Mecânica dos Fluidos
Algumas grandezas aparecem repetitivamente no estudo de Mecânica dos Fluidos. Esse
conjunto é formado por quatro adimensionais, que são:
Número de Reynolds
Número de Euler
Número de Froude
Número de Mach
Número de Reynolds (Re)
O número de Reynolds, representado por Re, é obtido pela fórmula:
π
Φ π1 π2 πn
πi
≤
π1 x
α1
1 x
α2
2 x
αr
r x
αr+1
r+1
π2 x
β1
1 x
β2
2 x
βr
r x
βr+1
r+1
πm x
δ1
1 x
δ2
2 x
δr
r x
δr+1
r+1
/
Re =                                                               (60)
Onde L é um comprimento característico do escoamento. Vamos denominar:
Fi = m . a como as forças de inércia do escoamento e,
F = . A como as forças viscosas. Então, a divisão entre essas duas forças será dada por:
= \                                                                 (61)
Sendo que V L3 e A L3, teremos:
 = =                                                         (62)
Então, temos que:
Re =                                                             (63)
Desse modo, provamos que o número de Reynolds é proporcional ao quociente das forças de
inércia e viscosas do escoamento.
Como foi visto, Re < 2.000 caracteriza escoamentos laminares e Re > 2.400, escoamentos
turbulentos, ou seja, as turbulências denotam um domínio das forças de inércia sobre as
viscosas, enquanto, em escoamentos laminares, temos um predomínio das forças viscosas
sobre as inerciais. Essa predominância faz com que o �uido �ua suavemente, sem agito. Em
compensação, quando tivermos valores muito elevados do número de Reynolds, os efeitos
da viscosidade poderão ser desprezados.
Número de Euler (Eu)
O número de Euler, representado por Eu, é calculado por:
Eu =                                                                               (64)
Multiplicando o numerador e o denominador pela área, temos:
Eu =                                                                                (65)
ρ v L 
μ
μ σ
Fi
Fμ
m . a
σ . A
α
ρ V  
v
T
μ  A
v
L 
α α
α
Fi
Fμ
ρ   L3
v
T
μ 
v
L 
L2
ρ   v2 L2
μ 
v
L 
L2
ρ v L
μ
α
ρ v L
μ
Fi
Fμ
Δp
ρ v2
α
Δp . A
ρ   . Av2
F
ρ   v2 L2
/
O número de Euler ou coe�ciente de pressão indica a relação entre as forças de pressão,
chamadas de Fp, e as forças de inércia no escoamento de um �uido. Utilizamos o número de
Euler no estudo de escoamentos em torno de per�s, em tubos, em máquinas hidráulicas etc.
Número de Froude (Fr)
O número de Froude é representado por Fr e obtido pela equação:
Fr =                                                                                     (66)
Que representa a relação entre as forças de inércia e as forças devidas à aceleração da
gravidade. Usamos o Fr no estudo da ação das ondas em embarcações, escoamento em
canais, vertedores, orifícios etc., ou seja, escoamentos que possuem uma queda que podem
formar ondas.
Número de Match (
( =                                                                           (67)
Onde c é a velocidade do som no �uido em escoamento. Temos que usar o número de Match
�uidos compressíveis, como o ar. Temos que ( < 1 produzem escoamentos subsônicos,  (
 = 1 produzem escoamentos sônicos e  ( > 1 produzem os supersônicos.
praticarVamos Praticar
O teorema dos nos diz que a função equivalente pode ser construída por números adimensionais
independentes formados com as grandezas envolvidas no fenômeno. A velocidade de um corpo em
queda livre é função somente da aceleração da gravidade g e da altura da queda h. A função de
número adimensional referente ao fenômeno é igual a (BRUNETTI, 2008, p. 149):
a) v = .
v2
L. g
M)
M) v
c
M)
M) M)
π
g . h
v2
/
Feedback: alternativa correta. Primeiro, escrevemos o Teorema dos : a velocidade é
função de g e h, ou seja, v = f (g, h). Logo, existe uma função f1(v, g, h) = 0. A equação
dimensional das grandezas que intervêm no fenômeno para as 3 grandezas escolhidas é: [v]
= LT-1; [g] = LT-2 e [h] = L. Logo, o número de adimensionais independentes m = n - r, onde n =
3 e r = 2 (LT). Então, m = 3 - 2 = 1. Portanto, podemos escolher a base como v, h como g, h.
Agora, podemos fazer a construção adimensional do teorema = . . g. Portanto,
temos L0 T0 = . . LT-2, ou L0 T0 = . . Logo, 
 (vamos chamar essa equação de Equação 1) e - - 2 = 0 (vamos
chamar essa equação de 2). Resolvendo a equação (2), temos que = -2. Substituindo o
valor de na equação (1), temos que = 1. Então, = v-2 . h. g. Portanto, = .
b) = g . h. v2 .
c) = g . h. v.
d) v = .
e) v = .
π
π vα1 hα2
(L )T −1 α1 (L)α2 L +  +1α1 α2 T −  −2α1
+     +  1  =  0α1 α2 α1
α1
α1 α2 π π
g . h
v2
π
π
g . h
v
g . h
v3
/
indicações
Material
Complementar
FILME
Poseidon
Ano: 2006
Comentário: Na virada de ano novo, a força de um tsunami de 150
pés consegue virar o transatlântico Poseidon de cabeça para baixo.
Os passageiros que sobrevivem a esta guinada de 180º no eixo do
navio têm que escolher entre a sensação de conforto de estar no
salão de festas e terem sobrevivido a essa tragédia ou a subir até o
casco do navio para atingir a superfície e assim poderem sair da
embarcação. Vale notar a combinação das forças gravitacionais, da
velocidade da água e da pressão inundando todos os cantos do
transatlântico.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer a seguir.
T R A I L E R
/
L IVRO
Mecânica dos �uidos: Fundamentos e
Aplicações
Editora: Mc Graw Hill Editora
Autores: Çengel, Y. & Cimbala, J. M.
Comentário: O capítulo 7 deste livro nos traz maiores
informações sobre a Análise Dimensional. Recomendamos a
leitura das páginas 232 a 237, onde um gol�nho é citado como
exemplo para a obtenção dos 4 números adimensionais básicos.
/
conclusão
Conclusão
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, estudamos o balanço global de energia, para podermos
obter a equação de Bernoulli e as hipóteses utilizadas para sua obtenção, uma das equações
mais utilizadas em Fenômenos de Transporte.
Depois, estudamos o Teorema de Reynolds e aprendemos a equacionar superfícies de
controle com volumes de controle para abordarmos escoamentos em que a massa ou o
volume variam no tempo.
Estudamos a aplicação do Teorema de Reynolds ao balanço global da quantidade de
movimento para escoamentos com múltiplas saídas, como é na realidade a maioria da nossa
instalação hidráulica e de gás natural.
Finalmente, aprendemos uma nova metodologia para resolvermos os problemas de
fenômenos de transporte. A análise dimensional e a teoria dos nos ensinam que é possível
resolver situações reais baseados em três grandezas fundamentais. 
π
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall Revisada, 2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: Fundamentos e Aplicações. Tradução de
Roque, K. A.; Fecchio, M. M. Revisão técnica de Saltara, F. Baliño, J. L.; Burr, K. P. Consultoria
/
Técnica de Castro, H. M. São Paulo: Mc Graw Hill Editora, 2007.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. 2. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.
Tradução de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher, 2004.
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