Cálculo I Prof Nei

Prévia do material em texto

CÁLCULO I
Instituto de Matemática - UFRJ
Rio de Janeiro
2018-1
Sumário
1 Fundamentos do Cálculo 1
1.1 Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 O Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Propriedades de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2 Operações de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.3 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.4 Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.1 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8 Funções Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.1 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.2 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Limites 45
2.1 Caso I: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Caso II: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l = ±∞ . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Caso III: limx→a f(x) = l com a = ±∞ e l ∈ R∪{−∞,+∞} . . . . . 50
2.4 O limite e = limx→∞
�
1 + 1
x
�x
= limx→0 (1 + x)
1
x . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.1 Propriedades da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Derivada 60
3.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Interpretação Geométrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Derivadas Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1
3.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 Derivadas de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8 Derivada da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8.1 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . 70
3.9 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.10 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento . . . . . . . . . . . . . 72
3.11 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.12 Concavidade e Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.13 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.14 Teoremas de Rolle e do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.14.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.14.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.15 Problemas de Maximização e Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.16 Regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.16.1 Indeterminações do Tipo 0/0 e ±∞/±∞ . . . . . . . . . . . 79
3.16.2 Indeterminações do Tipo 0.±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.16.3 Indeterminações do Tipo ±∞∓∞ . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.16.4 Indeterminações do Tipo 1±∞ , ∞0 e 00 . . . . . . . . . . . . . 80
3.17 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Integral 87
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Conceito de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.7 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.7.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.8 Integrais de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.9 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.10 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.11 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.12 Cálculo de Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.13 Comprimento de Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.14 Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.15 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.15.1 Integrais Impróprias em Intervalos Infinitos . . . . . . . . . . . 106
4.15.2 Integrais Impróprias em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.15.3 Integrais Impróprias em Intervalos Finitos . . . . . . . . . . . 108
4.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
i
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE CÁLCULO I
UNIDADE I — Limites: Definição de Limites; Teoremas sobre Limites; Limites
Unilaterais;Limites no Infinito; Limites
Infinitos; Assíntotas Horizontais e Verticais
UNIDADE II — Continuidade: Definição de Continuidade; Teorema sobre Con-
tinuidade: Soma, Diferença, Produto, Quociente,
Composta e o Teorema do Valor Intermediário;
UNIDADE III — A Derivada: Reta tangente ao Gráfico da Função; Definição de
Derivada; Relação existente
entreDiferenciabilidade e Continuidade
UNIDADE IV — Cálculo das Derivadas: Derivadas de somas, Diferenças, Pro-
dutos e Quocientes; Derivadas das Funções Trigonométricas; Derivadas de funções
Compostas (Regra da Cadeia); Diferenciação Implícita; Derivada da Função Potên-
cia para Expoentes Racionais; Derivadas de Ordem Superior.
UNIDADE V — Aplicações da Derivada: Taxas Relacionadas; Valores Máximos
e Mínimos de uma Função (Absoluto e Relativo); Teorema de Rolle e o Teorema
do Valor Médio; Regra de L’Hospital; Funções Crescentes e Decrescentes e o Teste
da Derivada Primeira; Teste da Derivada Segunda p/Máximos e Mínimos Relativos;
Problemas de Máximos e Mínimos; Concavidade e Ponto de Inflexão; Esboço de
Gráficos.
UNIDADE VI — Integral Definida:Definição de Integral (Soma de Riemann);
Propriedades da Integral Definida; Teorema do valor Médio para Integrais; Teorema
Fundamental do Cálculo.
UNIDADE VII — Aplicações da Integral Definida: Áreas; Volume de Sólido de
Revolução.
UNIDADE VIII — Função Inversa: Teorema da Função Inversa; As Inversas
das Funções Trigonométricas e suas Derivadas; FunçõesLogarítmicas e Exponencial;
Derivada de Função Potência com Expoente Real.
UNIDADE IX — Técnicas de Integração: Integração por Partes; Integração por
Substituição Soluções Trigonométricas; Integração por Fração Parcial
UNIDADE X — Integral Imprópria.
BIBLIOGRAFIA
[1] LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3.ed. Harbra, 2002.
vol. 1.
[2] SANTOS, Ângela Rocha dos; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculo
com Maple: Cálculo de Uma
Variável. 1.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002
[3]STEWART, James. Cálculo. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2002. vol. 1.
AVALIAÇÕES
Prova 1: 11/05/2018
Prova 2: 06/07/2018
Prova 3: 11/07/2018
Prova Final: 13/07/2018
ii
Capítulo 1
Fundamentos do Cálculo
1.1 Álgebra de Conjuntos
Letras maiúsculas, como por exemplo A, B, ..., Y , Z, representarão conjuntos.
A letra grega Ω representará o conjunto universal em uma situação determinada.
Letras minúsculas a, b, ..., y, z, indicarão elementos desses conjuntos.
A relação de pertinência será grafada pelo símbolo ∈ e escrevemos, por exemplo
a ∈ A para indicar que a é membro de A (ou a pertence a A).
O conjunto vazio é representado pelo símbolo ∅.
Atenção: é preciso reconhecer que membros de um dado conjunto podem eles
próprios serem conjuntos. Por exemplo, os membros do conjunto {3, 5, ∅, {1, 2}} são
3, 5, ∅ e {1, 2}.
Observação 1 A importância do estabelecimento do conjunto universal se dá na
matemática para evitar estruturas de conjuntos paradoxais como a do Paradoxo de
Russell. Como é permitido um conjunto pertencer a um outro conjunto, somos
levados a poder responder se um dado conjunto U é ou não membro de um dado
conjunto. Russell faz o seguinte raciocínio: O conjunto de todas as vacas do mundo
não é uma vaca e, portanto esse conjunto não pertence a si mesmo. No entanto o
conjunto de todos os objetos (animados ou inanimados) que não são vacas é também
um objeto que não é vaca; logo ele tem a si mesmo como membro. O paradoxo de
Russell coloca então a seguinte questão:
Seja S o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos.
Então devemos nos perguntar: S é um membro de si mesmo?
Qualquer que seja a resposta a essa pergunta, ela levará a uma contradição. Pois
o conjunto é caracterizado como
S = {A : A /∈ A} .
(i) Se S ∈ S, então, pela definição de S, S /∈ S, o que nos leva a uma con-
tradição!
(ii) Se S /∈ S, então, pela definição de S, S ∈ S, o que nos leva a uma con-
tradição!
Num curso avançado de Teoria dos Conjuntos, você verá como evitar esse tipo de
paradoxo, trabalhando-se com uma coleção de conjuntos que são todos subconjuntos
de um particular conjunto Ω, que não cause problemas.
1
Um conjunto também pode ser descrito por uma propriedade p, comum a todos
os seus elementos, e escrevemos
A = {x | x tem a propriedade p}
Exemplo 1 A = {x | x = 2k, k = 1, 2, ...} descreve o conjunto dos números in-
teiros pares positivos.
Diremos que A ⊂ B (A está contido em B) se todo elemento de A é também um
elemento de B, e diremos também que A é subconjunto de B.
Se A ⊂ B mas existe um elemento b ∈ B tal que b /∈ A, (b não pertence a A),
diremos que A é um subconjunto próprio de B.
Para mostrar que A não está contido em B, basta exibir um elemento a ∈ A tal
que a /∈ B.
A relação de inclusão goza de três propriedades fundamentais. Dados quaisquer
conjuntos A, B e C, temos:
Reflexividade: A ⊂ A.
Antissimetria: Se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B.
Transitividade: Se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C.
A propriedade antissimétrica é muito usada nos raciocínios matemáticos. Quando
se deseja provar que A = B, prova-se que A ⊂ B e B ⊂ A.
Por sua vez, a propriedade transitiva da inclusão é a base do que chamamos
de silogismo. Exemplo de silogismo: todo ser humano é um animal, todo animal é
mortal, logo todo ser humano é mortal. Denominando H o conjunto dos homens, A
o conjunto dos animais e M o conjunto dos seres mortais. Então temos
H ⊂ A e A ⊂M =⇒ H ⊂M .
Proposição 1 ∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.
Definição 1 Dado um conjunto universal Ω, denotaremos o conjunto de todos os
subconjuntos de Ω por P(Ω), chamado conjunto das partes de Ω. Assim
P(Ω) = {A : A ⊂ Ω} .
Exemplo 2 Eis alguns exemplos de conjuntos das partes de conjuntos dados:
(i) P({1, 2, 3}) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}.
(ii) P(∅) = {∅} com P(∅) 
= ∅.
(iii) P({∅}) = {∅, {∅}}.
Definição 2 Dados dois conjuntos A ⊂ Ω e B ⊂ Ω indicaremos por A ∪ B o
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é o conjunto dos elementos
que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto é chamado
união de A com B.
A ∪B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A ou ω ∈ B}
2
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai ⊂ Ω, para todo
i = 1, 2, ..., n). Então
n∪
i=1
Ai = {ω ∈ Ω | ω ∈ A1 ou ω ∈ A2 ... ou ω ∈ An}
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai ⊂ Ω, para todo i ∈ N).
Então ∞∪
i=1
Ai = {ω ∈ Ω | ω ∈ Ai para algum i ∈ N}
Definição 3 Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção de A
e B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto é
A ∩B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A e ω ∈ B}
Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai ⊂ Ω, para todo i =
1, 2, ..., n). Então
n∩
i=1
Ai = {ω ∈ Ω | ω ∈ A1 e ω ∈ A2 ... e ω ∈ An}
Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai ⊂ Ω, para todo i ∈ N).
Então ∞∩
i=1
Ai = {ω ∈ Ω | ω ∈ Ai para todo i ∈ N}
Definição 4 Dados dois conjuntos A e B, diz-se que eles são disjuntos, se não
têm elementos comuns, isto é, se A ∩ B = ∅. Por extensão, dada uma coleção de
conjuntos A1, ..., An, dizemos que eles são (mutuamente) disjuntos, ou disjuntos
dois a dois, se Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 
= j.
Definição 5 Dado um conjunto A, definimos o conjunto complementar de A o
conjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Simbolicamente
Ac = {ω ∈ Ω | ω /∈ A}
Definição 6 Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença de A e
B como o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, isto é
A−B = {ω ∈ Ω | ω ∈ A e ω /∈ B}
Observe que A−B = A ∩Bc.
A proposição seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam os
conceitos definidos anteriormente.
Proposição 2 Dado um conjunto universal Ω e conjuntos A, B e C, os seguintes
itens se verificam:
(i) Para todo conjunto A ⊂ Ω, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
(ii) A ⊂ B se e somente se A ∪B = B.
(iii) A ⊂ B se e somente se A ∩B = A.
(iv) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.
3
(v) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
(vii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
(viii) A ∪ Ac = Ω, A ∩ Ac = ∅, ∅c = Ω, Ωc = ∅.
(ix) (Ac)c = A.
(x) A ⊂ B se e somente se Bc ⊂ Ac.
(xi) (A ∪B)c = Ac ∩Bc,
�
n∪
i=1
Ai
�c
=
�
n∩
i=1
Aci
�
e
�∞∪
i=1
Ai
�c
=
�∞∩
i=1
Aci
�
.
(xii) (A ∩B)c = Ac ∪Bc,
�
n∩
i=1
Ai
�c
=
�
n∪
i=1
Aci
�
e
�∞∩
i=1
Ai
�c
=
� ∞∪
i=1
Aci
�
.
1.2 Números Reais
Nesse curso nosso conjunto universal de trabalho será o conjunto dos números reais.
Porém antes de exibi-lo, definiremos outros subconjuntos dos reais que serão impor-
tantes no cálculo.
Números Naturais
O conjunto dos números naturais ou inteiros positivos N será representado por
N = {1, 2, 3, ...} .
Números Inteiros
Os números −1, −2, −3,... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto
dos naturais com os inteiros negativos e o elemento neutro da adição 0 define o
conjunto dos números inteiros denotado por Z:
Z = N∪{0}∪ {−n : n ∈ N}
= {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
Observação 2 No conjunto Z, distinguimos três subconjuntos notáveis:
Z+ = N∪{0} = {0, 1, 2, 3, ...} (conjunto dos inteiros não-negativos)
Z∗+ = N = {1, 2, 3, ...} (conjunto dos inteiros positivos)
Z− = {0,−1,−2,−3, ...} (conjunto dos inteiros não-positivos)
Z∗− = {−1,−2,−3, ...} (conjunto dos inteiros negativos)
Z∗ = {...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ...} (conjunto dos inteiros não-nulos)
Além disso, vemos claramente que N ⊂ Z.
Números Racionais
O conjunto dos números racionais consiste de todas as frações (ou razões) de in-
teiros. Assim, denominando Q o conjunto dos números racionais, temos
Q =
�a
b
: a ∈ Z e b ∈ Z∗
�
.
4
Observação 3 Observe que enquanto os números naturais e inteiros possuem uma
única representação em N e Z, respectivamente, um número racional admite infinitas
representações. Por exemplo,
1
3
=
2
6
=
10
30
= ...
Observação 4 Observe que, tomando b = 1 na definição de Q acima, obtemos o
conjunto dos números inteiros. Assim todo número inteiro é também um número
racional, embora a recíproca não seja sempre verdadeira. Com isso temos N ⊂ Z ⊂ Q.
Observação5
Q+ =
�a
b
: a ∈ Z+ e b ∈ Z∗+
�
(conjunto dos racionais não-negativos)
Q− =
�a
b
: a ∈ Z− e b ∈ Z∗+
�
(conjunto dos racionais não-positivos)
Q∗ =
�a
b
: a, b ∈ Z∗
�
(conjunto dos racionais não-nulos)
As operações são assim definidas:
Adição. Associa os números m
n
, p
q
∈ Q à soma m
n
+ p
q
.
+ : Q×Q −→ Q�
m
n
, p
q
�
�−→ m
n
+ p
q
:= mq+np
nq
Multiplicação. Associa os números m,n ∈ N ao produto m.n.
· : Q×Q −→ Q�
m
n
, p
q
�
�−→ m
n
· p
q
:= mp
nq
Para todo a ∈ Q∗ existe um único número denominado inverso de a e denotado
por 1
a
ou a−1, tal que
a.a−1 = 1.
Assim, se a = m
n
, deveremos ter a−1 = n
m
.
Representação Decimal de Números Racionais O sistema decimal nos per-
mite representar todos os números inteiros usando apenas os 10 dígitos 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 e 9. Podemos também representar os números racionais em sua forma
decimal nos valendo também desses dígitos.
Definição 7 Um número decimal é uma expressão da forma
±a0, a1a2a3...
com a0 ∈ Z+ e ai ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ∀i ∈ N.
5
Observação 6 Se existe um número natural n, tal que ai = 0, ∀i > n, então o
número decimal é dito finito e podemos omitir a cauda de zeros, de maneira que
±a0, a1a2a3...an = ±
�
a0 +
a1
10
+
a2
102
+
a3
103
+ ...+
an
10n
�
Portanto toda representação decimal finita corresponde um número racional.
Entretanto, há números racionais cuja representação decimal não é finita. Por
exemplo, 1
3
= 0, 333... e 19
22
= 0, 8636363...
Números decimais com representação infinita e com dígitos recorrentes são sem-
pre racionais.
Portanto um número é racional, se e somente se sua representação é finita ou
infinita recorrente.
Observação 7 Em geral, utiliza-se uma notação especial para a caracterização dos
blocos de dígitos recorrentes. Assim o número 19
22
= 0, 8636363... é também expresso
como 19
22
= 0, 863.
Exemplo 3 Encontre as frações dos números racionais a seguir expressos na sua
forma decimal:
(a) 0, 231
(b) 2, 281
A representação decimal de números racionais tem a vantagem de nos permitir
avaliar de forma imediata qual de dois números racionais é o maior, bastando para
isso examinar suas representações decimais e observar o primeiro lugar em que os
dígitos diferem. Por exemplo, 19
22
< 7
8
, pois 19
22
= 0, 8636363... e 7
8
= 0, 875.
Atenção: Decimais que terminam com o dígito 9 de forma recorrente são rep-
resentações alternativas para decimais finitos. Por exemplo:
1 = 0, 9 = 0, 999...
1, 35 = 1, 349 = 1, 34999...
Os alunos certamente estranham esse fato, mas importante conscientizá-los de
que isso é uma questão de convenção. Se desejamos que o número decimal 0, 999...
seja representado pelo número racional x, então x tem que ser menor ou igual a 1 e
maior do que cada um dos números 0, 9; 0, 99; 0, 999; ... O único racional com essas
propriedades é 1.
Divisão em Q
Definição 8 Dados dois números a =
m
n
e b =
p
q
em Q, com a 
= 0, definimos a
divisão de b por a, representada por
b
a
, como o número c em Q, tal que
b = a.c.
O número c é chamado de quociente da divisão de b por a e é dado por
c =
b
a
=
p/q
m/n
=
p
q
× n
m
.
6
Números Irracionais
Um número x é dito irracional se não for racional, isto é, se x não pode ser repre-
sentado por nenhuma fração p
q
com p ∈ Z e q ∈ Z∗.
Observação 8 Denominando por I o conjunto dos número irracionais, vemos que
Q ∩ I = ∅.
Observação 9 É importante ter em mente que todo número irracional admite uma
representação decimal. No entanto essa representação decimal é sempre infinita e
sem nenhum padrão de recorrência de dígitos. Temos assim o seguinte esquema:
decimal recorrente ⇐⇒ número racional
decimal não-recorrente ⇐⇒ número irracional
Números Reais
Um número x é dito real se x ∈ Q ou x ∈ I, ou seja, x ∈ Q ∪ I. O conjunto dos
números reais é denotado por R. Assim, R = Q ∪ I.
No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição e
multiplicação, que satisfazem a certas condições, chamadas de axiomas.
A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R sua soma x+ y ∈ R,
enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R.
Usa-se a notação (R,+, ·) para indicar que R é um corpo munido das operações
+ e ·.
Os axiomas de corpo são os seguintes:
(A) Axiomas da Adição
(A1) O corpo R é fechado em relação à adição, isto é,
se x ∈ R e y ∈ R então a soma x+ y ∈ R.
(A2) A adição é comutativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos
x+ y = y + x.
(A3) A adição é associativa, isto é, para todo x, y, z ∈ R temos
(x+ y) + z = x+ (y + z).
(A4) A adição possui elemento neutro aditivo, designado por 0, tal que para
todo x ∈ R
0 + x = x+ 0 = x.
(A5) Todo número x ∈ R admite um elemento simétrico (ou inverso aditivo)
denotado por −x também em R, tal que
7
x+ (−x) = (−x) + x = 0.
Observação 10 Observe também que
−0 = (−0) + 0 = 0,
e que subtrair y de x equivale a adicionar −y a x, isto é,
x+ (−y) = x− y.
Observação 11 Observe também, que −(−x) = x, já que (−x)+x = 0, e, portanto,
x é o simétrico de −x.
Observação 12 Finalmente, vale a lei do corte: se x+ z = y+ z então x = y, pois
basta somar a ambos os membros da primeira igualdade pelo simétrico de z.
(M) Axiomas da Multiplicação
(M1) O corpo R é fechado em relação à multiplicação, isto é,
se x ∈ R e y ∈ R então a multiplicação x · y ∈ R.
(M2) A multiplicação é comutativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos
x · y = y · x.
(M3) A multiplicação é associativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos
(x · y) · z = x · (y · z).
(M4) A multiplicação possui elemento neutro multiplicativo, designado por
1, tal que para todo x ∈ R
1 · x = x · 1 = x.
(M5) Todo número x ∈ R∗ admite um elemento inverso (ou inverso multi-
plicativo) denotado por x−1 (ou 1/x ou 1
x
) também em R, tal que
x · x−1 = x−1 · x = 1.
Observação 13 Dados x e y em R, com y 
= 0, escreve-se também x
y
em vez de
x · y−1. A operação (x, y) �→ x
y
, definida para todo x ∈ R e todo y ∈ R∗, chama-se
divisão e o resultado x/y é o quociente de x por y. Não há divisão por zero. Assim
x/0 não tem sentido, pois o zero não possui inverso multiplicativo.
8
Observação 14 Usamos a notação xn com n natural para significar o produto de
x consigo mesmo em n fatores (com x0 = 1, se x 
= 0). Assim, por exemplo,
x3 = x · x · x. Naturalmente também se prova que para todo m e n naturais
(i) xn · xm = xn+m
(ii) (xn)m = xmn
(iii) xn/xm = xn−m
(iv) (xy)n = xnyn
(v) Se x > 1 e m < n, então xm < xn
(vi) Se 0 < x < 1 e m < n, então xm > xn
Observação 15 Da mesma maneira, denotamos x−n com n natural como o produto
de x−1 consigo mesmo em n fatores. Assim, por exemplo, x−3 = x−1 · x−1 · x−1 =
1
x
· 1
x
· 1
x
= (1/x)3. Naturalmente também se prova que x−n · x−m = x−(n+m), para
todo m e n naturais.
Observação 16 Para m e n números naturais, entende-se x1/n = n
√
x, xm/n =
n
√
xm e x−m/n =
1
n
√
xm
. Assim, para x > 0 e y > 0 dois reais e m e n naturais,
temos as seguintes propriedades das raízes:
(i) n
√
x n
√
y = n
√
xy
(ii) n
√
xm = np
√
xmp
(iii) n
�
m
√
x = mn
√
a
(iv) x < y ⇐⇒ n√x < n√y
Observação 17 Se y 
= 0, tem-se que x
y
= z se e somente se x = y · z. Daí se
deduz a utilíssima lei do corte: se x · z = y · z, então x = y, desde que z 
= 0.
Observe também que, como 1 = x · x−1 = x−1 · x, temos que x é o inverso
multiplicativo do inverso multiplicativo, ou seja, x = (x−1)−1 ou equivalentemente
x = 1/ (1/x), para todo x ∈ R∗.
Por fim, as operações de adição e multiplicação num corpo R se relacionam pelo
último axioma, que completa a definição de corpo.
(AM) Axioma da Distributividade
(AM1) O produto é distributivo relativamente à adição, isto é, para todo
x, y, z ∈ R
x · (y + z) = x · y + x · z e (y + z) · x = y · x+ z · y.
Observação 18 Um conjunto K tendo apenas os axiomas A1, A2, A3, A4 e A5
é denominado um grupo comutativo.
Observação 19 Um conjunto K tendo todos os axiomas anteriores, excluindo-se
M2 e M5, é denominado um anel.
Por exemplo, o conjunto Z dos números inteiros forma um anel relativamenteà
adição e à multiplicação usuais.
9
Observação 20 Sejam x, y ∈ R. Então os seguintes resultados se verificam:
(i) 0 · x = 0.
(ii) Se x · y = 0, então x = 0 ou y = 0.
(iii) (−x) · y = − (x · y) = x · (−y).
(iv) (−x) · (−y) = x · y.
(v) Se x2 = y2, temos que x = ±y.
Exemplo 4 Simplifique as expressões abaixo:
(a)
2
3
�
1
2
+
3
5
	
(b) (−3)4 :
�
−2
3
	−2
+
�
1
8
	−2/3
· (0, 444...)−1
Produtos Notáveis e Resultados Importantes Os seguintes produtos notáveis
se verificam envolvendo números reais:
• (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
• (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
• (a+ b) (a− b) = a2 − b2
• (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
• (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
• an − bn = (a− b) (an−1 + an−2b+ an−3b2 + ...+ a2bn−3 + abn−2 + bn−1)
• (x− a) (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab
• (x− a) (x− b) (x− c) = x3 − (a+ b+ c) x2 + (ab+ ac+ bc)x− abc
• (a1 + a2 + ...+ an)2 =
n
i=1 a
2
i + 2
n
i<j aiaj
Exemplo 5 Simplifique ao máximo as expressões abaixo:
(a)
2x2 − x− 1
x2 − 9 ·
x+ 3
2x+ 1
;
(b)
8x4 + 16x− 21− 2x3 − x2
2x2 − 3 + x .
Exemplo 6 Mostre que x− y =
�
3
√
x− 3√y
� �
3
√
x2 + 3
√
xy + 3
�
y2
�
.
10
Desigualdades em R No conjunto dos números reais existe um subconjunto de-
nominado de números positivos tal que:
(i) a soma de dois números positivos é postiva;
(ii) o produto de dois números positivos é positivo.
O conjunto dos números reais R atende às seguintes propriedades referente às
relações de ordem < (menor do que), > (maior do que), ≤ (menor ou igual que), ≥
(maior ou igual que):
• a < b⇔ b− a é positivo, isto é, b− a > 0;
• a > b⇔ a− b é positivo, isto é, a− b > 0;
• a ≤ b⇔ a < b ou a = b;
• a ≥ b⇔ a > b ou a = b;
• Transitividade: se a < b e b < c, então a < c;
• Tricotomia: dados a, b ∈ R, exatamente uma das alternativas se verifica :a = b,
ou a < b, ou a > b;
• Monotonicidade da Adição: se a < b, então a+ c < b+ c, ∀c ∈ R;
• Monotonicidade da Multiplicação: se a < b, então a · c < b · c quando c > 0 e
a · c > b · c quando c < 0;
• Reflexiva: a ≤ a, ∀a ∈ R;
• Antissimétrica: se a ≤ b e b ≤ a, então a = b;
• Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c;
• Tricotomia: ∀a, b ∈ R, temos a ≤ b ou b ≤ a.
Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:
• Intervalo aberto: {x ∈ R : a < x < b} = (a, b) = ]a, b[
• Intervalo fechado: {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} = [a, b]
• Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: {x ∈ R : a < x ≤ b} = (a, b] =
]a, b]
• Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: {x ∈ R : a ≤ x < b} = [a, b) =
[a, b[
• Intervalos infinitos:
(i) {x ∈ R : x > a} = (a,+∞) = ]a,+∞[
(ii) {x ∈ R : x ≥ a} = [a,+∞) = [a,+∞[
(iii) {x ∈ R : x < b} = (−∞, b) = ]−∞, b[
(iv) {x ∈ R : x ≤ b} = (−∞, b] = ]−∞, b]
11
Exemplo 7 Represente em notação intervalar os seguintes subconjuntos da reta
real:
(a)
∞∪
n=1
An, com An =
�
1
n
, 3− 1
n
�
para todo n ∈ N.
(b)
∞∩
n=1
An, com An = (− 1n , 3 + 1n) para todo n ∈ N.
(c)
∞∪
n=1
An, com An = [n− 1, n] para todo n ∈ N.
Módulo ou Valor Absoluto A relação de ordem em R nos permite definir o
valor absoluto, ou módulo, de um número x ∈ R. A noção de valor absoluto é de
muita importância no Cálculo. Por isso, é preciso ter em mente algumas de suas
propriedades e a sua definição.
O módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R é definido como
|x| =
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Observação 21 Outras maneiras de se definir o módulo de um número x ∈ K são
|x| = max {x,−x}
ou
|x| =
√
x2.
Exemplo 8 |3| = 3 e |−π| = π.
Observação 22 Observe, a partir da definição de módulo, que |x| ≥ 0, para todo
x ∈ R.
Observação 23 Sejam x, y ∈ R. Definimos a distância de x a y, como
d (x, y) = |x− y| .
Pode-se mostrar os seguintes resultados referentes ao módulo de um número real:
(i) |x| = 0 se e somente se x = 0.
(ii) |−x| = |x|, para todo x ∈ R.
(iii) |x · y| = |x| · |y|, para todo x, y ∈ R.
(iv) |y−1| = |y|−1 e
���xy
��� = |x||y| , para todo x, y ∈ R e y 
= 0.
(v) Se a ≥ 0, então |x| ≤ a se e somente se −a ≤ x ≤ a.
(vi) − |x| ≤ x ≤ |x|, para todo x ∈ R.
(vii) Para todo x, y ∈ R, temos |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
(viii) |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y|.
(ix) |x− y| ≤ |x|+ |y|.
(x) |x− y| ≤ |x− z|+ |z − y|.
(xi) Para quaisquer x1, x2, ..., xn ∈ R, temos
|x1 + x2 + ...+ xn| ≤ |x1|+ |x2|+ ...+ |xn| .
12
Equações e Inequações de Primeiro e Segundo Grau
Proposição 3 Uma equação da forma ax + b = 0 é dita de primeiro grau, e sua
solução é dada por x = − b
a
.
Proposição 4 Uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 é dita de segundo grau, e
sua solução é dada por x =
−b±
√
∆
2a
, com ∆ = b2 − 4ac.
(i) Se ∆ = 0, então a equação admite apenas uma solução dada por x =
−b
2a
.
(ii) Se ∆ < 0, então a equação não admite solução real.
(iii) Se ∆ > 0, então a equação não admite duas soluções reais, a saber, x1 =
−b−
√
∆
2a
e x2 =
−b+
√
∆
2a
.
Exemplo 9 Determine a solução da equação −2(2x− 1)− 5x+ 2 = 1− 7x.
Exemplo 10 Determine a solução da equação (x+ 6) (x+ 1) = 1.
Exemplo 11 Determine a solução da equação 3 |x− 4| = 2.
Exemplo 12 Determine a solução da equação 3 |x− 4| − |x+ 2| = −2.
Inequações de primeiro e segundo graus são aquelas que envolvem desigualdades
nas expressões e devem ser resolvidas com cautela a partir dos axiomas e pro-
priedades de números reais. Vejamos por meio de exemplos os procedimentos de
solução.
Exemplo 13 Determine o conjunto A = {x ∈ R : 2x2 + x > 6}.
Exemplo 14 Determine o conjunto B =
x ∈ R : 1
x
≥ 1
x+ 2
�
.
Exemplo 15 Determine o conjunto C =
x ∈ R :
����
x+ 2
2x− 3
���� < 4
�
Exemplo 16 Determine o conjunto D = {x ∈ R : 2x− 3 |x| ≥ 4}.
1.3 Produto Cartesiano
Definição 9 Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano de
A por B o conjunto de pares ordenados (a, b) onde a é um elemento de A e b é um
elemento de B. Simbolicamente
A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Extensão 1: Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, o produto cartesiano
n�
i=1
Ai := A1× A2 × ... × An é definido como o conjunto das n-uplas (a1, a2, ..., an),
onde ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n.
13
Extensão 2: Dada uma sequência de conjuntos A1, A2, ..., o produto cartesiano
∞�
i=1
Ai = A1× A2 × ... é definido como o conjunto das ∞-uplas (a1, a2, ..., ) (ou das
sequências {an, n ≥ 1}) onde ai ∈ Ai, para todo i ∈ N.
Exemplo 17 Se A = {1, 2} e B = {1, 2, 3}, temos
A×B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}
Observação 24 (i) Observe que, em geral, A×B 
= B × A.
(ii) Quando A = B, representamos A×B por A2.
(iii) Podemos observar que A×B = ∅, se e somente se A = ∅ ou B = ∅.
1.4 O Plano Cartesiano
O plano cartesiano, em geral denotado por R2, é o conjunto dos pares P = (x, y)
de reais, x e y, chamados respectivamente de abscissa (ou primeira coordenada) e
ordenada (ou segunda coordenada).
O conjunto dos pontos cuja primeira coordenada é nula, isto é, o conjunto dos
pontos da forma P = (0, y), é chamado de eixo y, ou eixo das ordenadas. O conjunto
dos pontos cuja segunda coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da forma
P = (x, 0), é chamado de eixo x, ou eixo das abscissas. Os eixos x e y formam duas
retas perpendiculares, e dividem o plano em quatro quadrantes:
Mais explicitamente, em termos das coordenadas, temos:
14
• Primeiro Quadrante: {(x, y) : x ≥ 0 e y ≥ 0}
• Segundo Quadrante: {(x, y) : x ≤ 0 e y ≥ 0}
• Terceiro Quadrante: {(x, y) : x ≤ 0 e y ≤ 0}
• Quarto Quadrante: {(x, y) : x ≥ 0 e y ≤ 0}
Se P = (x, y) e Q = (x′, y′), a distância Cartesiana entre P e Q é calculada
usando o Teorema de Pitágoras, ou seja, d(P,Q) =
�
(x− x′)2 + (y − y′)2.
1.4.1 Retas
Uma reta vertical é o conjunto formado pelos pontos (x, y) cuja primeira coordenada
x é igual a um número fixo a ∈ R; a sua equação se escreve x = a.
Por outro lado, uma reta horizontal é o conjunto formado pelos pontos (x, y)
cuja segunda coordenada y é igual a um número fixo b ∈ R; a sua equação se escreve
y = b.
15
As retas horizontais e verticais são descritas por somente um parâmetro (o “a”
para uma reta vertical, ou o “b” para uma reta horizontal). Para as outras retas do
plano, que não ficam necessariamenteparalelas a um dos eixos, é preciso usar dois
parâmetros, m e h, chamados respectivamente inclinação (ou coeficiente angular)
e ordenada na origem (ou intercepto), para especificar a dependência entre x e y:
O significado da inclinação m deve ser entendido da seguinte maneira: partindo
de um ponto qualquer da reta, ao andar horizontalmente uma distância L para a
direita, o deslocamento vertical da reta é de mL. Seja, por exemplo uma reta de
inclinação 1/2. Observe que todos os triângulos da figura abaixo são semelhantes,
Observação 25 Se a inclinação é negativa, então o deslocamento vertical é para
baixo.
Observação 26 Se P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) são dois pontos de uma reta não
vertical de inclinação m, então temos
m =
y2 − y1
x2 − x1
.
Essa relação pode ser usada para calcular a inclinação de uma reta.
Exemplo 18 Obtenha a equação da reta r que passa pelos pontos P = (−1, 3) e
Q = (3, 0). Ache os valores de x e y para que os pontos R = (x, 100) e T = (6, y)
pertençam a r.
16
Exemplo 19 Faça um esboço, no plano cartesiano, da reta descrita pela equação
dada.
(a) x = 4
(b) y = −3/2
(c) x+ 2y = 0
(d) y = 2x− 3
Exemplo 20 Represente geometricamente os pontos do plano que satisfazem a:
(a) x+ 2y = 4
(b) y ≥ |x|
(c) x+ 2y ≤ 4
Observação 27 Duas retas r e s são paralelas se e somente se têm o mesmo coe-
ficiente angular.
Observação 28 Duas retas r e s, de coeficientes angulares mr e ms são perpendic-
ulares se e somente se mr = −
1
ms
.
Exemplo 21 Caracterize a equação da reta s, paralela a r, e a equação da reta t
perpendicular a r, que passa pelo ponto P .
(a) r : y = 5x+ 2, P = (−1, 5).
(b) r : 4x− 3y + 6 = 0, P = (3,−5).
1.4.2 Circunferências
Considere a circunferência γ de centro C = (1, 2) e de raio r = 2 conforme a figura
abaixo:
Por definição, γ é definido pelo conjunto dos pontos P cuja distância euclidiana
a C é igual a 2: d(P,C) = 2. Isso significa que as coordenadas (x, y) de P estão
associadas pela seguinte expressão:
�
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 2.
17
Assim γ é descrito pela seguinte equação:
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 4.
Em geral, uma circunferência de raio r > 0 centrada em C = (x0, y0) é descrita
pela equação
(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Exemplo 22 Obtenha o raio e o centro da circunferência descrita pela sua equação
genérica
x2 + y2 + 6x− 8y = 0.
Exemplo 23 Represente geometricamente os pontos do plano que satisfazem a x2+
y2 = 2x.
1.4.3 Trigonometria
A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triân-
gulo.
Definiremos as medidas trigonométricas elementares, sen (seno), cos (cosseno),
tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec (cossecante) e daremos as
suas propriedades básicas.
Medidas de ângulos no plano
Para começar, é importante escolher uma unidade (como “metros” para compri-
mentos, ou “litros” para volumes) para medir um ângulo determinado pela abertura
entre duas retas.
Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos.
Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário.
A abertura mínima, naturalmente, é definida como valendo zero, qualquer que seja
a unidade. O que precisa ser definido é o valor do ângulo total. Se o ângulo for
medido em graus, esse ângulo total é definido como valendo 360 graus:
Uma vez que o ângulo total foi fixado, a medição dos outros se faz proporcional-
mente: a metade do ângulo total vale 180 graus, o ângulo reto mede 90 graus, etc. A
vantagem dessa unidade é que vários ângulos bastante usados em geometria tomam
valores inteiros: 30, 60, 90, 180, 270, etc.
18
Observação 29 Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com o
ângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos.
Fixar o ângulo total como sendo igual a 360 pode parecer arbitrário, e um jeito
mais natural de definir o ângulo total é de usar a noção de comprimento usual
na reta. De fato, considere o círculo de raio 1 centrado na origem e, partindo do
ponto (1, 0) (que corresponde a um ângulo de 0), ande ao longo do círculo no sentido
antihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo, o ângulo
correspondente é definido como sendo de 1 (um) radiano:
Observação 30 Observe que o ângulo total corresponde à circunferência raio 1:
2π.
Observação 31 Nesse curso, os ângulos serão medidos geralmente em radianos.
Se a medida de um ângulo em graus é αg e em radianos é αr, a conversão se faz da
seguinte maneira: como o ângulo total mede 360 graus e 2π radianos, temos
360
2π
=
αg
αr
.
Assim, temos
αg =
αr
π
× 180 e αr =
αg
180
× π.
Assim, verifica-se por exemplo que um ângulo de 90 graus corresponde a αr =
90
180
× π = π
2
radianos.
Observação 32 Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentido
horário:
19
Seno, cosseno e tangente
Para poder definir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessário
fazer umas simplificações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, que
possui um
ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo ABC, retângulo em C:
Com respeito ao ângulo α, b é chamado de cateto adjacente, a de cateto
oposto, e c de hipotenusa.
Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teo-
rema de Pitágoras, e o valor do ângulo α é determinado. Como qualquer triângulo
semelhante a ABC tem os mesmos ângulos, α é determinado uma vez que um dos
quocientes a/c, b/c, ou a/b for conhecido. A ligação entre e esses quocientes é
chamada respectivamente seno, cosseno e tangente de α, e denotada por
sen α =
a
c
, cosα =
b
c
e tg α =
senα
cosα
=
a
b
.
Faremos agora uma generalização, que permitirá enxergar melhor os três números
senα, cosα e tgα, e que será também útil para considerá-las como funções de uma
variável real.
Para tanto, usaremos um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho c = 1. Isto é, o
ponto B do triângulo da figura acima é posicionado no círculo de raio 1 centrado na
origem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem então
ser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura:
20
Observe como senα, cosα e tgα mudam à medida que B se movimenta ao longo
do círculo trigonométrico. Em particular, B pode dar uma volta completa no círculo,
o que permite estender as funções trigonométricas a qualquer ângulo 0 < α < 2π, e
também para valores maiores ou até negativos. Os sinais das funções trigonométricas
mudam dependendo do quadrante ao qual B pertence:
• Primeiro Quadrante: sen α ≥ 0, cosα ≥ 0 e tg α ≥ 0
• Segundo Quadrante: sen α ≥ 0, cosα ≤ 0 e tg α ≤ 0
• Terceiro Quadrante: sen α ≤ 0, cosα ≤ 0 e tg α ≥ 0
• Quarto Quadrante: sen α ≤ 0, cosα ≥ 0 e tg α ≤ 0
Observação 33 Observe pelo círculo trigonométrico que
sen2α+ cos2 α = 1.
Observação 34 Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico.
Por exemplo, observe que α e −α têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar α
em −α, o seno muda de sinal. Portanto,
cos(−α) = cosα
sen(−α) = −sen α
tg(−α) = −tg α
Outras medidas importantes de ângulos são dadas pela cotangente (cotg), sec
(secante) e cossecante (cossec), definidas como
cotg α =
cosα
sen α
=
1
tg α
, secα =
1
cosα
e cossec α =
1
sen α
.
Observação 35 Verifique também as seguintes equivalências:
(i) cos(π − α) = − cosα, sen(π − α) = sen α, tg(π − α) = −tg α;
(ii) cos(π + α) = − cosα, sen(π + α) = −sen α, tg(π + α) = tg α;
(iii) cos(π
2
− α) = sen α, sen(π
2
− α) = cosα, tg(π
2
− α) = cotg α;
(iv) cos(π
2
+ α) = −sen α, sen(π
2
+ α) = cosα, tg(π
2
+ α) = −cotg α.
Para os ângulos θ, múltiplos de 30 e 45 graus temos a seguinte tabela:
21
Exemplo 24 Calcule:
(a) tg(π
3
)
(b) sen
�
7π
6
�
(c) sec
�
5π
3
�
Identidades Trigonométricas Para o desenvolvimento adequado de nosso curso
necessitaremos futuramente das seguintes identidades trigonométricas:
sen(α+ β) = sen α. cosβ + sen β. cosα
sen(α− β) = sen α. cosβ − sen β. cosα
cos(α+ β) = cosα. cosβ − sen β.sen α
cos(α− β) = cosα. cosβ + sen β.sen α
tg(α+ β) =
tg α+ tg β
1− tg α.tg β
tg(α− β) = tgα− tg β
1− tg α.tg β
Exemplo 25 A partir das identidades acima, mostre os seguintes resultados:
(a) sen(2α) = 2sen α. cosα;
(b) cos(2α) = cos2 α− sen2α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2sen2α;
(c) cos2 α =
1 + cos(2α)
2
;
(d) sen2α =
1− cos(2α)
2
;
(e) cosα. cosβ = 1
2
[cos(α+ β) + cos(α− β)];
(f) sen α. cos β = 1
2
[sen(α+ β) + sen(α− β)];
(g) sen α.sen β = 1
2
[cos(α− β)− cos(α+ β)]
(h) tg(α
2
) =
sen α
1 + cosα
.
(i) tg2x+ 1 = sec2 x
Exemplo 26 Calcule sen (x+ y), com sen x = 1
3
, sec y = 5
4
, e x e y se situam no
primeiro quadrante.
Exemplo 27 Resolva as equações abaixo:
(a) cos x = 0
(b) sen x− cosx = 0
(c) sen2x+ 3
2
sen x = 1
(d) sen (2x) = sen x
(e) |cosx| < 1√
2
1.4.4 Logaritmos
Os logaritmos foram introduzidos no século XVII pelo matemático escocês John
Napier (1550 - 1617) e pelo matemático inglês Henry Briggs (1561 - 1630) para a
execução de complexos cálculos aritméticos.
22
O logaritmo de um número real x > 0 na base b (real positivo e diferente de 1)
é dito ser a se ba = x, ou seja,
logb x = a⇐⇒ x = ba.
Exemplo 28 Calcule:
(a) log2 16
(b) log1/5 25
(c) log2 1/8
Observação 36 Quando a base b é 10, então usamos simplesmente a notação log x,
e quando a base b é o número de Euler e ∼= 2, 718, então usamos a notação ln x.
Propriedades dos Logaritmos
(P1) logb (x.y) = logb x+ logb y
(P2) logb (x/y) = logb x− logb y
(P3) logb x
α = α logb x
(P4) logb x =
logc x
logc b
(mudança de base)
(P5) blogb x = x
Exemplo 29 Resolva as equações exponenciais abaixo, usando uma calculadora ou
computador:
(a) 2x = 5. (3x)
(b) 22x−5 = 7
(c) 6.e3x = 8, 94
1.5 Relações
Definição 10 Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação entre A e B é um sub-
conjunto R de A × B. Dizemos que x ∈ A e y ∈ B estão relacionados por R, se
(x, y) ∈ R, e denotamos em geral por “xRy”.
Observação 37 Se B = A, então falamos de uma relação R ⊂ A × A, como uma
relação sobre A, simplesmente.
Definição 11 Sejam A e B dois conjuntos e seja R = {(x, y) : xRy} ⊂ A × B
uma relação. Definimos como domínio e imagem da relação R respectivamente,
Dom (R) e Im (R), as projeções sobre a primeira e segunda coordenadas, isto é,
Dom (R) = {x ∈ A : ∃y ∈ B, xRy} ,
Im (R) = {y ∈ B : ∃x ∈ A, xRy}
Observação 38 Naturalmente, a partir das definições de domínio e imagem, temos:
Dom (R) ⊂ A e Im (R) ⊂ B.
23
Exemplo 30 Sejam A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} e seja
R =
(x, y) ∈ A×B : x < y + 1
2
�
.
(a) Obtenha R.
(b) Obtenha Dom (R), o domínio da relação.
(c) Obtenha Im (R), a imagem da relação.
Exemplo 31 Sejam A = {1, 2, 3, ...} e
R = {(x, y) ∈ A×A : 2x− 1 < y} .
(a) Represente graficamente a relação R.
(b) Obtenha Dom (R), o domínio da relação.
(c) Obtenha Im (R), a imagem da relação.
1.6 Funções
Definição 12 Sejam A e B dois conjuntos. Uma função entre A e B é uma
relação não-vazia f ⊂ A × B tal que, se (a, b) ∈ f e (a, b′) ∈ f , então b = b′. O
domínio de f , denotado por D (f), é o conjunto de todos os primeiros elementos
dos membros de f . A imagem de f , denotada por Im (f), é o conjunto de todos os
segundos elementos dos membros de f . Simbolicamente, temos
D (f) = {a ∈ A : ∃b ∈ B com (a, b) ∈ f}
Im (f) = {b ∈ B : ∃a ∈ A com (a, b) ∈ f}
O conjunto B é denominado contradomínio de f.
Se D (f) = A, dizemos que uma função f é uma função de A para B,ou de
A em B, e escrevemos
f : A→ B.
Observação 39 Se (x, y) ∈ f , dizemos frequentemente que y é a imagem de x sob
f , e escrevemos
y = f(x)
ao invés de (x, y) ∈ f .
Essa estrutura é familiar quando f é descrita por uma fórmula, mas se aplica a
qualquer estrutura funcional geral em que não haja uma fórmula fechada e algébrica.
Assim, dizer que a função f : R→ R é definida pela fórmula f(x) = x3−2 significa
f =
�
(x, y) : y = x3 − 2 com x ∈ R
�
ou
f =
�
(x, f (x)) : f (x) = x3 − 2 com x ∈ R
�
ou
f =
��
x, x3 − 2
�
: x ∈ R
�
24
Observação 40 O domínio da função pode ser obtido pelo contexto ou pela explic-
itação direta do mesmo.
Exemplo 32 Seja A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6, 8}. Qual das seguintes relações são
funções entre A e B? Quais são funções de A em B?
(a) {(1, 2) , (2, 6) , (3, 4) , (2, 8)}
(b) {(1, 4) , (3, 8)}
(c) {(1, 6) , (2, 6) , (3, 2)}
(d) {(1, 8) , (2, 2) , (3, 4)}
Exemplo 33 Determine quais curvas abaixo são (ou não são) gráficos de funções,
justificando a resposta.
Exemplo 34 Seja o gráfico da função abaixo:
(a) Qual o valor de f(−1)?
(b) Qual o valor de f(3)?
(c) Para que valores de x temos f(x) = 2?
(d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0.
(e) Obtenha o domínio e a imagem da função.
Exemplo 35 Determine os domínios das seguintes funções:
(a) f(x) =
1
x2 + 3x− 40
25
(b) f(x) =
1
1− 1− x
x
(c) f(x) =
1
1−
√
x− 1
Exemplo 36 Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiro
pedaço faz-se um quadrado, e com o segundo um círculo. Seja x o tamanho do
primeiro pedaço. Construa a função f(x) representando a área total (quadrado +
círculo) e expresse o domínio dessa função.
Exemplo 37 O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000, 00, o preço unitário
de venda é R$ 8, 00 e o custo variável por unidade é R$ 6, 00.
(a) Obtenha a função lucro mensal.
(b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é
30% do lucro.
1.6.1 Propriedades de Funções
Definição 13 Uma função f : A → B é dita sobrejetora (ou sobrejetiva), se
Im (f) = B. Uma função sobrejetora é também caracterizada pelo termo sobre-
jeção.
Observação 41 A questão se uma função é sobrejetora ou não depende da escolha
do contradomínio, pois uma função pode sempre ser transformada numa sobrejeção
restringindo o contradomínio ao conjunto imagem de f, mas às vezes nem sempre
isso é fácil. Por exemplo, encontrar o conjunto imagem de f(n) = (n!)
1
n para n
natural não é tarefa fácil. Assim é melhor expressar f : N→ R e não ser tão
preciso.
Definição 14 Uma função f : A→ B é dita injetora (ou injetiva), se para todo
x1 e x2 em A, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. Uma função injetora é também
caracterizada pelo termo injeção. Em termos simbólicos temos:
∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2.
Ou equivalentemente
∀x1, x2 ∈ A : x1 
= x2 =⇒ f(x1) 
= f(x2)
Definição 15 Uma função f : A→ B é dita bijetora (ou bijetiva), se é ao mesmo
tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo 38 Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
(a) f : R→ R, com f (x) = x2.
(b) f : R→ [0,∞), com f (x) = x2.
(c) f : [0,∞)→ R, com f (x) = x2.
(d) f : [0,∞)→ [0,∞), com f (x) = x2.
26
Definição 16 Uma função f : A→ B é dita par, se f(x) = f(−x); e é dita ímpar
se f(−x) = −f(x).
Observação: Uma função, em geral, não precisa ser par ou ímpar. Para mostrar
que uma função f não é par, basta achar um ponto x em que f(−x) 
= f(x). Do
mesmo jeito, para mostrar que f não é ímpar, basta achar um ponto em que f(−x) 
=
−f(x).
Observe também que funções pares são funções cujos gráficos são simétricos em
torno do eixo das ordenadas.
Exemplo 39 Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma das
condições:
(a) f (x) =
x2
1− x4
(b) f (x) =
x2
sen x
(c) f (x) = sen(cosx)
(d) f (x) = sen(sen x)
(e) f (x) = 2x2 − 5x+ 2
Definição 17 (Crescimento e Decrescimento) Seja I um intervalo do domínio
da função f.
(i) f é dita crescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos f(x1) ≤ f(x2);
(ii) f é dita estritamente crescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos
f(x1) < f(x2);
(iii) f é dita decrescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos f(x1) ≥ f(x2);
(iv) f é dita estritamente decrescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos
f(x1) > f(x2).
O gráfico a seguir representa uma função estritamente crescente:
Observação 42 Pela definição acima, uma função constante é ao mesmo tempo
crescente e decrescente.
27
1.6.2 Operações de Funções
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também
podemos produzir novas funções através de operações. Essas operações são definidas
como segue:
Dadas duas funções f e g, definimos:
• (αf) (x) = αf (x), com α ∈ R;
• (f + g) (x) = f(x) + g(x);
• (f −g) (x) = f(x)− g(x);
• (f · g) (x) = f(x)g(x);
• (f/g) (x) = f(x)/g(x).
Observação 43 O domínio da função αf coincide com o domínio de f. O domínio
das funções resultantes das operações f + g, f − g e f · g é dado pela interseção dos
domínios de f e g. Já o domínio de f/g é dado pela interseção dos domínios de f e
g, excluindo-se os pontos x tais que g(x) = 0.
Exemplo 40 Sejam f(x) =
√
5− x e g(x) =
√
x− 3. Obtenha as funções abaixo e
seus domínios.
(a) (f + g) (x)
(b) (f − g) (x)
(c) (f · g) (x)
(d) (f/g) (x)
1.6.3 Composição de Funções
Se f e g são funções com f : A → B e g : B → C, então para todo a ∈ A,
f(a) ∈ B. Mas B é domínio de g, assim g pode ser aplicada a f(a). Isso nos leva a
g(f(a)), um elemento de C. Estabelecemos assim uma correspondência entre a ∈ A
e g(f(a)) ∈ C. Essa correspondência é denominada uma função composta de f e g
e é denotada por g ◦ f (g de f). Assim g ◦ f : A→ C com
(g ◦ f) (a) = g(f(a)).
Em termos de pares ordenados temos
g ◦ f = {(a, c) ∈ A× C : ∃b ∈ B com (a, b) ∈ f e (b, c) ∈ g} .
Observação 44 O domínio de g ◦ f é o conjunto de todos os pontos x no domínio
de f tais que f(x) está no domínio de g. Simbolicamente, temos
D (g ◦ f) = {x ∈ D(f) : f(x) ∈ D(g)}
Exemplo 41 Sejam f : R→ R e g : R −→ R com f (x) = x2 e g (x) = −3x + 1.
Obtenha g◦f e f◦g e deduza que a composição de duas funções não é necessariamente
comutativa, isto é, g ◦ f 
= f ◦ g.
28
Observação 45 Uma vez que a composição de duas funções não é comutativa, de-
vemos tomar cuidado com a ordem da composição. No entanto, a composição de
funções é associativa, isto é,
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .
Exemplo 42 Sejam as funções f(x) = x2 + 2x − 1 e g(x) = 2x − 1. Obtenha a
expressão das funções abaixo:
(a) f ◦ g
(b) g ◦ f
(c) g ◦ g ◦ g
Exemplo 43 Sejam as funções f(x) = 2x − 3 e g(x) = √x. Obtenha a expressão
das funções abaixo, bem como os seus domínios:
(a) f ◦ g
(b) g ◦ f
(c) f ◦ f
Exemplo 44 Para cada função f a seguir, dê uma decomposição de f como com-
posição de funções mais simples.
(a) sen(2x)
(b)
1
cos(2x3)
Exemplo 45 Sejam
f(x) =



0, se x < 0
x2, se 0 ≤ x ≤ 1
0, se x > 1
e
g(x) =



1, se x < 0
2x, se 0 ≤ x ≤ 1
1, se x > 1
Determine f ◦ g, o seu domínio e esboce o seu gráfico.
1.6.4 Funções Inversas
Dada uma bijeção f : A→ B, vemos que para todo y em B corresponde exatamente
um elemento x de A, tal que f(x) = y. Essa correspondência define uma função de
B em A chamada inversa de f e denotada por f−1.
Definição 18 Seja f : A → B uma função bijetora. A função inversa de f é a
função f−1 : B → A dada por
f−1 = {(b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f} .
Observação 46 Se f : A→ B é uma função bijetora, então f−1 : B → A também
será uma função bijetora, pois como D (f) = A e Im (f) = B, temos D (f−1) = B
e Im (f−1) = A. Logo f−1 é sobrejetora. Uma vez que f é uma função, para cada
elemento x de A há um único elemento y de B, ou seja, f−1 é injetora. Assim f−1
é bijetora.
29
Observação 47 Se f : A→ B é uma função bijetora, então f−1 ◦ f : A→ A com
�
f−1 ◦ f
�
(x) = x, para todo x ∈ A.
Esta função é denominada função identidade sobre A, e é denotada comumente
por iA.
Além disso, se f (x) = y, então x = f−1 (y), e assim f ◦ f−1 : B → B
�
f ◦ f−1
�
(y) = y, para todo y ∈ B.
Ou seja, f ◦ f−1 = iB.
Exemplo 46 Defina f : [0, 2)→ [1, 2) com f (x) = x
2
+1. Mostre que f é bijetora e
descreva f−1. Esboce no mesmo plano o gráfico de f e f−1 e observe que os gráficos
são simétricos em torno da reta y = x.
Exemplo 47 Defina f : (−∞, 0] → [5,∞) com f (x) = x2 + 5. Mostre que f é
bijetora e descreva f−1. Esboce no mesmo plano o gráfico de f e f−1 e observe que
os gráficos são simétricos em torno da reta y = x.
Observação 48 Sejam f : A → B e g : B → C duas funções bijetoras. Então a
composição g ◦ f : A → C é bijetora e (g ◦ f)−1 : C → A é dada por (g ◦ f)−1 =
f−1 ◦ g−1.
Exemplo 48 Sejam f : R→ R, com f (x) = 2x−1 e g : R→ R, com g (x) = 2−3x
duas funções. Pede-se:
(a) Obtenha as funções inversas f−1 e g−1.
(b) Obtenha a composição g ◦ f : R→ R.
(c) Obtenha a inversa da composição, isto é, (g ◦ f)−1 e verique que é equivalente
a f−1 ◦ g−1.
1.7 Funções Trigonométricas
Vejamos algumas funções trigonométricas importantes.
Começemos com o gráfico de sen x, para x ∈ [0, 2π]:
Se o seno for considerado na reta real toda, obtemos:
30
Observe que a função f(x) = sen x é um função ímpar e que é também periódica
de período 2π, pois
sen(x+ 2π) = sen x, ∀x ∈ R.
A função f(x) = cosx por sua vez tem o seguinte comportamente para x ∈
[0, 2π]:
Observe que a função f(x) = cosx é um função par e também periódica de
período 2π, pois
O esboço da função tangente é um pouco mais delicado, pois a tangente não está
definida quando cosx = 0. Isso implica a presença de assíntotas verticais no gráfico
como a seguir:
31
Quando considerada na reta real temos
Observe agora que a função f(x) = tg x é uma função ímpar e periódica de
período π, pois
tg(x+ π) = tg x, ∀x ∈ R.
1.7.1 Funções Trigonométricas Inversas
Vimos que para a função sen : R→ [−1, 1], um y ∈ [−1, 1] possui infinitas preima-
gens, logo não é bijeção. Portanto, para inverter a função seno, é necessário restringir
o seu domínio.
Vamos restringi-la ao intervalo [−π
2
, π
2
]:
De fato, com essa restrição sen : [−π
2
, π
2
]→ [−1, 1] é bijetora, e portanto admite
uma inversa. A função inversa de f(x) = sen x é grafada como f(x) = arcsen x ou
f(x) = sen−1 x. Assim arcsen : [−1, 1]→ [−π
2
, π
2
], de tal forma que
sen (arcsenx) = x para todo x ∈ [−1, 1]
e arcsen (senx) = x para todo x ∈ [−π
2
,
π
2
]
O gráfico de arcsenx pode ser obtido por uma reflexão do gráfico de senx pela
diagonal do primeiro quadrante:
32
Exemplo 49 Seja y(0, π
2
) tal que y = arcsen
�
3
5
�
. Calcule sen y, cos y, e tg y.
O cosseno pode ser invertido também, se o seu domínio é bem escolhido: cos :
[0, π]→ [−1, 1]
A função inversa é chamada arcosseno, e denotada arc cos ou cos−1 denotada
arccos : [−1, 1]→ [0, π]
Aqui também temos
cos (arccos x) = x para todo x ∈ [−1, 1]
e arccos (cos x) = x para todo x ∈ [0, π]
O gráfico de arcos pode ser obtido por uma reflexão pela diagonal do primeiro
quadrante, ou seja,
33
Finalmente, aara inverter a tangente, faremos a restrição tg : [−π
2
, π
2
]→ R, para
termos uma bijeção conforme o gráfico abaixo:
A função inversa é chamada de arc tg ou tg−1. Como antes,
tg (arctgx) = x para todo x ∈ R
e arc tg (tgx) = x para todo x ∈ [−π
2
,
π
2
]
O seu gráfico possui duas assíntotas horizontais: quando x é positivo e grande,
o gráfico de arc tg x se aproxima da reta de equação y = π
2
, e quando x é negativo
e grande, ele se aproxima da reta de equação y = −π
2
:
34
Observação 49 É importante notar que as três funções trigonométricas inversas,
arc sen, arc cos e arc tg, foram definidas a partir de uma escolha de uma restrição
para cada uma das funções sen, cos e tan. Essa escolha pode parecer arbitrária, mas
é a mais comum usada nos livros de matemática. Continuaremos usando as funções
inversas assim definidas, até o fim do curso.
Exemplo 50 Determine o domínio das seguintes funções:
(a) arccos(2x)
(b) tg(arc sen x)
Exemplo 51 Resolva:
(a) 3arc sen x = π/2
(b) 9arc tg (tg (x2)) = π
Exemplo 52 Simplifique as expressões abaixo:
(a) cos(arcsen x)
(b) cos(2 arccos x)
(c) sen(2 arccosx)
1.8 Funções Exponencial e Logaritmo
1.8.1 Funções Exponenciais
Uma função exponencial de base a > 0 é definida como
f : R→ (0,∞)
x �−→ ax
Para a > 1, os gráficos de f(x) = ax são sempre dos tipos abaixo:
35
Observe que, quando a > 1, todos os gráficos passam pelo ponto (0, 1) e a função
é estritamente crescente.
Por outro lado, para 0 < a < 1, os gráficos de f(x) = ax são sempre dos tipos:
Observe agora que, quando 0 < a < 1, todos os gráficos também passam pelo
ponto (0, 1) mas a função é estritamente decrescente.
Exemplo 53 Esboce os gráficos das funções 1− 2−x, 3x−1,
�
3
2
�−x
e −
�
3
2
�|x|
.
Exemplo 54 Resolva:
(a) 5x + 5−x+2 = 26
(b) (2x − 2) (5−x − 1) < 0
36
1.8.2 Funções LogarítmicasA função logarítmica de base a > 0 é a função inversa da função exponencial de
base a.
Uma função logarítmica de base a > 0 é definida como
f : (0,∞)→ R
x �−→ logxa
Como log1a = 0 temos que toda função logarítimica da forma f(x) = log
x
a passa
pelo ponto (1, 0).
Para a > 1, os gráficos de f(x) = logxa são sempre do tipo abaixo:
Assim, para a > 1, a função f(x) = logxa é estritamente crescente, passa pelo
ponto (1, 0) e tem assíntota vertical na origem.
Por outro lado, para 0 < a < 1, os gráficos de f(x) = logxa são sempre do tipo:
Assim, para 0 < a < 1, a função f(x) = logxa é estritamente decrescente, passa
pelo ponto (1, 0) e tem assíntota vertical na origem.
37
Observação 50 Quando a base é o número de Euler e = 2, 718281828459045235360287471352...
então usamos as seguintes notações para as funções exponenciais e logarítimas de
base e, respectivamente:
f(x) = ex e f(x) = lnx,
cujos gráficos são do tipo
Exemplo 55 Resolva:
(a) e2x−1 >
√
e
(b) ln |x+ 4|+ ln |x− 1| = ln 6
(c) ln
�
2x−1
5x+1
�
< 0
1.9 Exercícios
Exercício 1 Resolva:
(a) 1
x
= x+ 1
(b) 6x3 − 1 = 3x (1 + 2x2)
(c) −8x < 3− 4x
(d) −2x2 + 10x− 12 < 0
(e)
1− x
2 + x
≤ − 2
3x− 4
(f) |x+ 7| ≥ 3
(g)
x
|x− 2| > 2
(h) |x− 3|+ |x+ 2| < 11
Exercício 2 Quantos números inteiros n existem tais que 3n− 1 ≤ 5n− 2 < 4?
Exercício 3 Quantos números primos p existem tais que 0 ≤ 2p− 3 ≤ p+ 8?
Exercício 4 Mostre que se a e b forem dois números positivos satisfazendo
2a− a
2
2
+
b2
2
= 2
então ou a+ b = 2 ou a− b = 2.
38
Exercício 5 É possível contruir um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro
12? Justifique matematicamente.
Exercício 6 Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas co-
ordenadas cartesianas.
(a) Semi-plano acima do eixo x.
(b) Semi-plano à esquerda do eixo y.
(c) Quadrado de lado 1 centrado na origem (com os lados paralelos aos eixos).
(d) Reta vertical passando pelo ponto (2, 0).
(e) Reta horizontal passando pelo ponto (−3,−5).
(f) Reta horizontal passando pelo ponto (13,−5).
(g) Faixa vertical contida entre o eixo y e a reta do item (d).
(h) Circunferência de raio 1 centrada na origem.
(i) Círculo (cheio) de raio 2 centrado em (1,−2).
Exercício 7 Determine as equações das retas que passam pelos pontos dados e re-
conheça o coeficiente angular e o intercepto.
(a) (−2, 1) e (100, 1)
(b) (1,−2) e (−1, 3)
Exercício 8 Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares:
r : 2x + y − 1 = 0, s : x + 2y + 1 = 0, t : y = 2x − 3, u : 3x + 6y − 3 = 0. Em
seguida, esboce as retas e verifique suas conclusões.
Exercício 9 Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (2,−1), cujo ângulo
com o eixo horizontal é igual a 60◦.
Exercício 10 Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:
(a) x2 + y2 − x+ 3y − 2 = 0
(b) x2 + y2 − 6y = 0
Exercício 11 Determine a equação cartesiana da circunferência definida pelos pon-
tos A (1, 1), B (1,−2) e C (2, 3).
Exercício 12 Determine a interseção das circunferências
x2 + y2 − 8x− 2y + 7 = 0
x2 + y2 − 6x− 4y + 9 = 0
Determine também a equação cartesiana da reta que contém a corda comum às
circunferências dadas.
Exercício 13 Resolva:
(a) sen x = 1
2
(b) sen x = sen2x
(c) (cosx+ sen x)2 = 1
2
(d) e2x − 3ex + 2 = 0
(e) ln x+ ln (x− 1) = 1
39
Exercício 14 Considere a reta r : y = x + 1, e os pontos P (1, 0), Q(t, 0), t > 1.
Seja R a região delimitada pela reta r, pelo eixo x, e pelas retas verticais passando
por P e Q. Esboce R , e expresse a sua área A(t) em função de t.
Exercício 15 Encontre m e n inteiros tais que
m− n log3 2 = 10 log9 6.
Exercício 16 Calcule
(a) e2 ln 3
(b) log10 25 + log10 4
(c) (log2 3) (log3 4) (log4 5) ... (log31 32).
Exercício 17 Determine os domínios das seguintes funções:
(a) f(x) = x
x
(b) f(x) = |x− 1|
(c) f(x) =
x+ 1
x2 + 1
(d) f(x) =
√
x2 − 1
(e) f(x) =
√
2x− 1− x2
(f) f(x) =
√
sen x
(g) f(x) =
�
1−
√
x2 + 1
Exercício 18 Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja:
(a) A reta horizontal que passa pelo ponto (−21, 1).
(b) A parte inferior da circunferência de raio 9 centrado em (5,−4).
(c) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem que fica estritamente
acima da reta de equação y = 3.
(d) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem contida no quarto
quadrante.
Exercício 19 Esboce os gráficos das seguintes funções todas com domínio R e dê o
conjunto imagem:
(a) f(x) = 1, se x ≤ 1; e f(x) = x2, se x > 1.
(b) f(x) = − |x− 1|.
(c) f(x) = ||x| − 1|.
Exercício 20 O gráfico de uma função f é dado a seguir:
40
Esboce os gráficos das seguintes funções:
(a) y = f (x− 8)
(b) y = −f (x)
(c) y = 2− f (x)
(d) y = 1
2
f (x)− 1
(e) y = f−1 (x)
Exercício 21 Verifique quais das funções abaixo são pares ou ímpares (justificando
a sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-exemplo.
(a) f(x) =
x
x3 − x5
(b) f(x) =
√
1− x2
(c) f(x) = x2sen x
(d) f(x) = sen2x− cosx
(e) f(x) = sen x+ cosx
(f) f(x) =
1− e 1x
1 + e
1
x
Exercício 22 Use a tabela abaixo para calcular: f(g(1)), g(f(1)), f(f(1)), g(g(1)),
(g ◦ f) (3) e (f ◦ g) (6).
Exercício 23 Dado o gráfico abaixo de f e g, obtenha: f(g(2)), g(f(0)), (f ◦ g) (0),
(g ◦ f) (6), (g ◦ g) (−2) e (f ◦ f) (4).
41
Exercício 24 Dadas as funções f e g abaixo, obtenha f ◦ g e g ◦ f , bem como os
seus domínios:
(a) f(x) = 3x+ 5 e g(x) = x2 + x.
(b) f(x) =
√
x+ 1 e g(x) = 4x− 3.
(c) f(x) = x+
1
x
e g(x) =
x+ 1
x+ 2
.
(d) f(x) =
x+ 3, se x ≥ 0
x2, se x < 0
e g(x) =
2x+ 1, se x ≥ 3
x, se x < 3
Exercício 25 Dadas as funções f, g e h abaixo, obtenha f ◦ g ◦ h:
(a) f(x) = 3x− 2, g(x) = sen x e h(x) = x2.
(b) f(x) =
√
x− 3, g(x) = x2 e h(x) = x3 + 2.
Exercício 26 Escreva as funções abaixo da forma f ◦ g ◦ h:
(a)
�√
x− 1
(b) 8
�
2 + |x|
Exercício 27 Se f(x) = x + 4 e h(x) = 4x − 1, encontre uma função g tal que
g ◦ f = h e mostre que f−1 ◦ g−1 = h−1.
Exercício 28 Se f0(x) =
x
x+ 1
e fn+1(x) = (f0 ◦ fn) (x), mostre que fn(x) =
x
(n+ 1)x+ 1
, para todo n ∈ N.
Exercício 29 Encontre as funções exponenciais do tipo f(x) = Cbx para cada um
dos gráficos abaixo:
(a) (b)
Exercício 30 Encontre, caso exista, a função inversa f−1 das funções f abaixo e
esboce os seus gráficos:
(a) f(x) = x3 + 2
(b) f(x) =
√
−1− x
(c) f(x) = ln
�
x+
√
x2 + 1
�
(d) f(x) =
x+ 1
2x+ 1
Exercício 31 Use os gráficos das funções abaixo para esboçar suas funções inversas:
42
Exercício 32 A população de uma certa espécie num meio ambiente limitado com
população inicial 100 e com capacidade apenas para 1.000 é descrita pela dinânica
no tempo t como
P (t) =
100.000
100 + 900e−t
onde t ≥ 0 é medido em anos.
(a) Esboce o gráfico da função P (t) e verifique a presença de possíveis assíntotas.
(b) Quanto tempo levará para que a população atinja 900 espécies?
(c) Obtenha a função inversa de P (t) e explique o seu significado.
(d) Use a função inversa para calcular o tempo em que a população atingirá 900
espécies e compare o resultado com o obtido em (b).
Exercício 33 A fórmula C = 5
9
(F − 32), onde F ≥ −459, 67, expressa a temper-
atura em graus Celsius como função da temperatura em Fahrenheit. Encontre a
fórmula da função inversa e interprete-a. Qual o domínio da função inversa?
Exercício 34 Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidade
v é dada por
m = f(v) =
m0�
1− v
2
c2
onde m0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz no vácuo.
Encontre a função inversa de f e explique o seu sentido.
Exercício 35 Determine se as funções abaixo são injetoras:
(a)
(b)
43
(c) (d)
(e) (f)
Exercício 36 Seja f(x) =
3x+ 3, se − 1 ≤ x < 0
−3
2
x+ 3, se 0 ≤ x ≤ 2 . Pede-se:
(a) Construa o gráfico de y = f(x).
(b) Construa o gráfico de y = f(x) + 2.
(c) Construa o gráfico de y = f(x)− 3.
(d) Construa o gráfico de y = 2f(x).
(e) Construa o gráfico de y = 1
2
f(x).
(f) Construa o gráfico de y = −f(x).
(g) Construa o gráfico de y = f(x+ 2).
(h) Construa o gráfico de y = f(x− 2).
(i) Construa o gráfico de y = f(2x).
(j) Construa o gráfico de y = f(1
2
x).
(k)Construa o gráfico de y = −1
2
f(3(x− 1)).
44
Capítulo 2
Limites
Nesse capítulo começaremos o estudo do conceito fundamental do Cálculo: limite.
Esse conceito é chave para a construção do conceito de derivada de uma função e
seus desdobramentos importantes em ciência.
2.1 Caso I: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l ∈ R
Definição 19 Diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende para a,
se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de x 
= a, mas
tão próximos de a por valores menores do que a (a−) quanto por valores maiores do
que a (a+). Usamos a seguinte notação
lim
x→a
f(x) = l
e os limites laterais são grafados da forma
lim
x→a−
f(x) e lim
x→a+
f(x).
Portanto, o limite de uma função quando x tende para a existe se e somente se
lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = l.
Exemplo 56 Seja a função f de gráfico
Calcule limx→0− f(x) e limx→0+ f(x) e verifique se existe limx→0 f(x).
45
Exemplo 57 Seja agora o gráfico da função g(x) dado por
(a) Calcule limx→2− g(x) e limx→2+ g(x) e verifique se existe limx→2 g(x).
(b) Calcule limx→5− g(x) e limx→5+ g(x) e verifique se existe limx→5 g(x).
Exemplo 58 Seja a função g de gráfico abaixo
(a) Calcule limt→0− g(t) e limt→0+ g(t) e verifique se existe limt→0 g(t).
(b) Calcule limt→2− g(t) e limt→2+ g(t) e verifique se existe limt→2 g(t).
(c) Calcule limt→4− g(t) e limt→4+ g(t) e verifique se existe limt→4 g(t).
Exemplo 59 Infira o valor de limx→3
x2 − 3x
x2 − 9 a partir de valores de x = 2, 9, 2, 99,
2, 9999 e x = 3, 1, 3, 01, 3, 0001.
Exemplo 60 Calcule limx→2+ arc tg
�
1
x− 2
	
e limx→2− arc tg
�
1
x− 2
	
e verifique
se existe limx→2 arc tg
�
1
x− 2
	
.
Exemplo 61 Calcule limx→1
x3 − 1√
x− 1.
46
Exemplo 62 Calcule limx→0
√
x2 + 9− 3
x2
.
Exemplo 63 Seja ·
f(x) =

 √
x− 4, se x > 4
8− 2x, se x < 4
Calcule, caso exista, limx→4 f(x).
Exemplo 64 Calcule limx→5
x2 − 6x+ 5
x− 5 , caso exista.
Exemplo 65 Calcule limx→−1
2x2 + 3x+ 1
x2 − 2x− 3 , caso exista.
Exemplo 66 Calcule limx→2
x2 − 4x+ 4
x4 − 3x2 − 4 , caso exista.
Exemplo 67 Calcule limx→0
�
1
t
− 1
t2 + t
	
, caso exista.
Exemplo 68 Calcule limx→2
√
6− x− 2√
3− x− 1 , caso exista.
Exemplo 69 Calcule limx→8
3
√
x− 2
x− 8 , caso exista.
2.1.1 Propriedades dos Limites
Sejam duas funções f(x) e g(x), tais que limx→a f(x) e limx→a g(x) existam. Então
verificam-se as seguintes propriedades:
• limx→a [f(x)± g(x)] = limx→a f(x)± limx→a g(x);
• limx→a cf(x) = c limx→a f(x), com c uma constante real;
• limx→a [f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x);
• limx→a
f(x)
g(x)
=
limx→a f(x)
limx→a g(x)
se limx→a g(x) 
= 0;
• limx→a [f(x)]n = [limx→a f(x)]n;
• limx→a n
�
f(x) = n
�
limx→a f(x), onde n é um inteiro positivo (se n é par, então
devemos ter limx→a f(x) > 0);
• Se f(x) é uma função polinomial ou uma função racional e a é um ponto do
domínio de f , então limx→a f(x) = f(a);
• Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a e os limites limx→a f(x) e limx→a g(x)
existem, então limx→a f(x) ≤ limx→a g(x);
47
• (Teorema Sanduíche) Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a e
limx→a f(x) = limx→a h(x) = l, então limx→a g(x) = l.
Exemplo 70 Sejam as funções f e g no gráfico abaixo
Pede-se:
(a) limx→−2 [−2f(x) + 5g(x)]
(b) limx→1 [f(x)g(x)]
(c) limx→−2 [f(x)/g(x)]
Exemplo 71 Calcule limx→−1 (5x3 − 3x2 + x− 6).
Exemplo 72 Mostre que limx→0 x2sen
�
1
x
�
= 0, pelo Teorema Sanduíche.
Exemplo 73 Mostre que limx→0
sen (x)
x
= 1, pelo Teorema Sanduíche.
Exemplo 74 Mostre que limx→0
arc tg (x)
x
= 1.
Exemplo 75 Mostre que limh→0
cosh− 1
h
= 0.
2.2 Caso II: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l = ±∞
Definição 20 Diremos que uma função f(x) tem limite l = +∞ quando x tende
para a, se é possível tornar a imagem de f(x) arbitrariamente grande e positiva para
valores de x 
= a, mas tão próximos de a por valores menores do que a (a−) quanto
por valores maiores do que a (a+). Usamos a seguinte notação
lim
x→a
f(x) = +∞.
Por outro lado, diremos que uma função f(x) tem limite l = −∞ quando x tende
para a, se é possível tornar a imagem de f(x) arbitrariamente grande e negativa
48
para valores de x 
= a, mas tão próximos de a por valores menores do que a (a−)
quanto por valores maiores do que a (a+). Usamos a seguinte notação
lim
x→a
f(x) = −∞.
Assim limx→a f(x) = +∞, se e somente se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = +∞; e
limx→a f(x) = −∞, se e somente se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = −∞.
Definição 21 A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x)
se
lim
x→a−
f(x) = ±∞ ou lim
x→a+
f(x) = ±∞.
Exemplo 76 Seja o gráfico da função f(x) =
1
x2
dado abaixo
Verifique se existe limx→0 f(x) e encontre as assíntotas verticais.
Exemplo 77 Seja a função g de gráfico abaixo
Verifique se existem limx→−3 g(x), limx→−1 g(x) e limx→2 g(x) e encontre as as-
síntotas verticais.
Exemplo 78 Seja f(x) =
1
x− 2 . Calcule limx→2− f(x) e limx→2+ f(x), e encontre
as assíntotas verticais.
49
Exemplo 79 Infira o valor de limx→−3
x2 − 3x
x2 − 9 a partir de valores de x = −2, 9,
−2, 99, −2, 9999 e x = −3, 1, −3, 01, −3, 0001, e encontre as assíntotas verticais.
Exemplo 80 Calcule limx→0+ e1/x e limx→0− e1/x.
2.3 Caso III: limx→a f(x) = l com a = ±∞ e l ∈
R∪{−∞,+∞}
Definição 22 Diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende para a =
+∞, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de x cada
vez maiores e positivos. Usamos a seguinte notação
lim
x→+∞
f(x) = l.
Da mesma forma, diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende para
a = −∞, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de x
cada vez maiores em magnitude e negativos. Usamos a seguinte notação
lim
x→−∞
f(x) = l.
Definição 23 A reta y = l é chamada de assíntota horizontal da curva y = f(x)
se
lim
x→+∞
f(x) = l ou lim
x→−∞
f(x) = l.
Exemplo 81 Calcule limx→+∞ (x2 + 2x7) e limx→−∞ (x2 + 2x7), caso existam.
Exemplo 82 Calcule limx→+∞
1
x
e limx→−∞
1
x
, caso existam.
Exemplo 83 Calcule limx→+∞
2x2 + 3x+ 1
−x2 − 2x+ 3 e limx→−∞
2x2 + 3x+ 1
−x2 − 2x+ 3 , caso exis-
tam.
Exemplo 84 Calcule limx→+∞
√
2x2 + 1
3x− 5 , caso exista.
Exemplo 85 Calcule limx→+∞
�√
x2 + 1− x
�
, caso exista.
Exemplo 86 Calcule limx→+∞
x2 + x
3− x e limx→−∞
x2 + x
3− x , caso existam.
Exemplo 87 Calcule limx→+∞ [ln (2 + x)− ln (1 + x)], caso exista.
Exemplo 88 Calcule limx→+∞ [e−x + 2 cos (3x)], caso exista.
Exemplo 89 Calcule limx→+∞ (2− e−x) e limx→−∞ (2− e−x), caso exista.
50
2.4 O limite e = limx→∞
�
1 + 1
x
�x
= limx→0 (1 + x)
1
x
Um dos limites fundamentais é o que define o número de Euler de que já falamos
anteriormente. Ele pode ser obtido como o limite da função f(x) =
�
1 + 1
x
�x
quando
x tende ao infinito, ou, equivalentemente, o limite da função f(x) = (1 + x)
1
x quando
x tende a zero. A tabela abaixo mostra algumas aproximações do primeiro caso:
x 10 100 1.000 10.000�
1 + 1
x
�x
2, 59374... 2, 70481... 2, 71692... 2, 71814...
Assim temos o seguinte resultado:
lim
x→∞
�
1 +
1
x
	x
= lim
x→0
(1 + x)
1
x = e.
Observe que em quaisquer dos casos a base da função f(x) tende a 1, enquanto
que o expoente tende a infinito. Pode-se mostrar que se f(x) = [u(x)]v(x), tal que
limx→a u(x) = 1 = 1 e limx→a v(x) = ±∞ e u(x) é uma função não constante, então
lim
x→a
[u(x)]v(x) = eλ
onde
λ = lim
x→a
[u(x)− 1] v(x).
Exemplo 90 Calcule limx→∞
�
1 + 2
3x
�5x
.
Exemplo 91 Calcule limx→2 (5− 2x)−
3
x−2 .
Exemplo 92 Calcule limx→0
�
1− x
7
�− 2
3x .
Exemplo 93 Calcule limx→0 (1− sen (3x))2/x.
Exemplo 94 Mostre que limx→0
ex − 1
x
= 1.
Exemplo 95 Mostre que limx→0
ax − 1
x
= ln a.
2.5 Continuidade
Continuidade é o conceito fundamental do Cálculo.
Definição 24 Seja a um ponto do domínio de uma função f. A função f é dita
(i) contínua à direita em a se limx→a+ f(x) = f(a);
(ii) contínua à esquerda em a se limx→a− f(x) = f(a).
(iii) Se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = f(a), diremos que f é contínua em a,
caso contrário diremos que f é descontínua em a.
(iv) Diremos que f é uma funçãocontínua, se ela for contínua em todos os
pontos de seu domínio.
51
Observação 51 Em resumo: para que a função seja contínua em um ponto a de-
vemos satisfazer às três condições abaixo:
(1) f(a) está definida (isto é, a é um ponto do domínio de f);
(2) limx→a f(x) existe;
(3) limx→a f(x) = f(a).
Exemplo 96 Seja a função de gráfico abaixo
Verifique os pontos de descontinuidade de f , justificando o porquê.
Exemplo 97 Analise os pontos de descontinuidade, caso existam, da função
f(x) =



x
3
+
x
2 |x|, se x 
= 0
1
2
, se x = 0
Exemplo 98 Considere
f(x) =



x− x|x|, se x 
= 0
−1, se x = 0
Dê o domínio de f, assim como o conjunto em que f é contínua. Existe a possibilidade
de modificar a imagem dos pontos de descontinuidade de forma a tornar a função
contínua?
Exemplo 99 Estudo a continuidade da função
f(x) =



x2 − 3x+ 2
x− 2 , se x 
= 2
0, se x = 2
Como f pode ser modificada para ser contínua em toda a reta?
52
Exemplo 100 Ache o valor da constante β para que a função a seguir seja contínua
em toda a reta:
f(x) =



x2 − (β + 1) x+ β
x− 1 , se x 
= 1
5 + β, se x = 1
2.5.1 Propriedades da Continuidade
Sejam duas funções f(x) e g(x), contínuas em a e seja c uma constante, então as
seguintes funções são também contínuas em a:
• f(x)± g(x);
• cf(x);
• f(x) · g(x);
• f(x)
g(x)
se g(a) 
= 0.
• Se f(x) é contínua em b e limx→a g(x) = b, então
lim
x→a
(f ◦ g) (x) = lim
x→a
f (g(x)) = f(b).
Em outras palavras
lim
x→a
f (g(x)) = f
�
lim
x→a
g(x)
�
.
• Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta f ◦ g é
contínua em a.
Além disso temos os seguintes fatos:
• Todo polinômio é contínuo em toda parte, isto é, é contínuo em (−∞,∞).
• Toda função racional é contínua nos pontos em que está definida, isto é, é
contínua em seu domínio.
• Toda função trigonométrica é contínua nos pontos em que está definida, isto
é, é contínua em seu domínio.
• Toda função trigonométrica inversa é contínua nos pontos em que está definida,
isto é, é contínua em seu domínio.
• Toda função exponencial é contínua nos pontos em que está definida, isto é, é
contínua em seu domínio.
• Toda função logarítmica é contínua nos pontos em que está definida, isto é, é
contínua em seu domínio.
53
Exemplo 101 Verifique os pontos de continuidade de f(x) =
x3 + 2x2 − 1
5− 3x e calcule
limx→−1
x3 + 2x2 − 1
5− 3x .
Exemplo 102 Verifique os pontos de continuidade de f(x) =
lnx+ arc tg x
x2 − 1 .
Exemplo 103 Calcule limx→1 arc sen
�
1−√x
1− x
	
.
Exemplo 104 Verifique os pontos de continuidade de f(x) = sen (x2).
Exemplo 105 Verifique os pontos de continuidade de f(x) = ln (1 + cosx).
2.6 Teorema do Valor Intermediário
Funções contínuas possuem propriedades muito particulares. Considere por exemplo
uma função contínua num intervalo fechado, f : [a, b]→ R. Então, ao x variar entre
a e b, o gráfico de f corta qualquer reta horizontal intermediária, de altura h entre
f(a) e f(b), pelo menos uma vez:
É isso o que nos informa o Teorema do Valor Intermediário a seguir:
Teorema 1 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b]→ R uma função
contínua, tal quef(a) < f(b). Então para todo h ∈ [f(a), f(b)], existe c ∈ [a, b] tal
que f(c) = h. Uma afirmação equivalente vale quando f(a) > f(b).
Exemplo 106 Seja f : [−1, 1] → R, definida como f(x) = 1
2
− x2 − x5. Prove,
utilizando o Teorema do Valor Intermediário, que existe uma raiz real da equação
x5 + x2 = 1
2
em [0, 1].
54
2.7 Exercícios
Exercício 37 Calcule limx→−∞
2x5 − 3x3 + 2x2 − 1
3x5 − 4x+ 1 .
Exercício 38 Calcule limx→∞
3x2 + 2x+ 1
x
√
2x2 + 1
.
Exercício 39 Calcule limx→∞
�√
x2 + 1534− x
�
.
Exercício 40 Calcule limx→1
√
x2 + 3− 2
x− 1 .
Exercício 41 Calcule limx→3
√
4− x− 1√
12− x− 3.
Exercício 42 Calcule limx→2
√
x+ 2−
√
2x
x2 − 2x .
Exercício 43 Calcule limx→−1
√
x2 + 3
x2 + 2x+ 1
.
Exercício 44 Calcule limx→∞
2x2 − 3x− 4√
x4 + 1
.
Exercício 45 Calcule limx→−∞
2x+ 1√
x2 + 4
.
Exercício 46 Calcule limx→∞ sen
�
πx+ 5√
4x2 + 1
	
.
Exercício 47 Calcule limx→−∞
�√
x2 + x+ 1 + x
�
.
Exercício 48 Calcule limx→0
x2sen
�
1
x
	
sen x
.
Exercício 49 Calcule limx→0
ex
2
tg x
exx
.
Exercício 50 Calcule limx→1
sen (x− 1)
x2 − 1 .
Exercício 51 Calcule limx→∞
√
x+ 5√
x+ 5
.
Exercício 52 Calcule limx→1 cos
�
(x− 1)2 sen
�
1
x3 − 1
	�
.
55
Exercício 53 Seja g(x) =
x2 + x− 6
|x− 2| .
(a) Calcule limx→2− g(x) e limx→2+ g(x), e verifique se existe limx→2 g(x).
(b) Calcule limx→−∞ g(x) e limx→∞ g(x).
(c) Esboce o gráfico de g.
Exercício 54 Seja g(x) =
2x���
x
3
���
.
(a) Calcule limx→0− g(x) e limx→0+ g(x), e verifique se existe limx→0 g(x).
(b) Calcule limx→−∞ g(x) e limx→∞ g(x).
(c) Esboce o gráfico de g.
Exercício 55 Encontre limx→∞ f(x), se, para todo x > 1, temos
10ex − 21
2ex
< f(x) <
5
√
x√
x− 1 .
Exercício 56 Se limx→a f(x) = 4, limx→a g(x) = −2 e limx→a h(x) = 0, calcule os
seguintes limites:
(a) limx→a [f(x)− g(x)];
(b) limx→a
f(x)
g(x)
;
(c) limx→a [g(x)]
2;
(d) limx→a
h(x)
f(x)
;
(e) limx→a
1
(f(x) + g(x))2
.
Exercício 57 Se limx→a [f(x) + g(x)] = 2 e limx→a [f(x)− g(x)] = 1, calcule
limx→a [f(x)g(x)].
Exercício 58 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salobra, contendo
30 g de sal por litro de água, é bombeada para o tanque, a uma taxa de 25 l/min.
(a) Mostre que a concentração de sal no tanque após t minutos (em g/l) e dada
por C(t) =
30t
200 + t
.
(b) O que acontece com a concentração quando t→∞?
Exercício 59 Seja
g(x) =



x, se x < 1
3, se x = 1
2− x2, se 1 < x ≤ 2
x− 3, se x > 2
Esboce o gráfico de g e obtenha caso exista, justificando:
(a) limx→1 g(x);
(b) g(1);
(c) limx→2 g(x).
56
Exercício 60 Seja o gráfico da função abaixo
(a) Obtenha os pontos de descontinuidade da função.
(b) Obtenha os intervalos em que a função é contínua.
(c) Para cada ponto reconhecido em (a), caracterize se a função é contínua pela
direita, pela esquerda ou nenhum dos dois casos.
Exercício 61 Esboce gráficos quaisquer de funções contínuas em toda parte, exceto
nas descontinuidades exigidas abaixo:
(a) Descontínua em 2, mas contínua à direita em 2.
(b) Descontínua em −1 e 4, mas contínua à esquerda em −1 e à direita em 4.
(c) Descontinuidade removível em 3 e descontinuidade com salto em 5.
(d) Descontínua tanto à direita quanto à esquerda em −2 e contínua somente à
esquerda em 2.
Exercício 62 Seja f(x) = 1/x e g(x) = 1/x2.
(a) Obtenha f ◦ g.
(b) f ◦ g é contínua em toda parte? Justifique matematicamente.
Exercício 63 Existe um número real a tal que o limite da função
g(x) =
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x− 2
exista quando x tende para −2? Se sim, encontre o valor de a e limx→−2 g(x).
Exercício 64 Sabendo que a função real
f(x) =



x4 − 1
x2 − 1, se x < −1
ax2 + b, se − 1 ≤ x ≤ 2
2x− 5, se x > 2
é contínua em R, determine os valores das constantes reais a e b.
57
Exercício 65 Determine o valor de A para que a função f(x) seja contínua, com
f(x) =



A (x− 2) , se x ≤ 0
−ex
ex + 1
, se x > 0
Exercício 66 Ache os valores dos parâmetros A e B para que a função f seja
contínua em x = 1, onde f é definida por
f(x) =



(x− 1)2 sen
�
1
x−1
�
+A, se x > 1
2, se x = 1
x2 − (B + 1)x+B
x− 1 , se x < 1
Exercício 67 Determine o valor de c para que a função f : (−∞, 2)→ R definida
abaixo seja contínua em x = 0. Justi que sua resposta.
f(x) =



x+ c, se x ≤ 0
�
2 + x
2− x
	 1
x
, se 0 < x < 2
Exercício 68 (a) Calcule o seguinte limite
lim
x→0
√
x2 + 9−
√
x+ 9
5x
.
(b) Seja a um número diferente de zero. Calcule o seguinte limite
lim
x→0
sen(3x)
ax
.
(c) Determine valores de a e b de modo a que a função f seja contínua em x = 0,
onde
f(x) =



√
x2 + 9−
√
x+ 9
5x
, se x > 0
sen(3x)
ax
, se x < 0
b, se x = 0
Exercício 69 Determine o valor de b para que a função f : R→ R definida abaixo
seja contínua. Justifique sua resposta.
f(x) =
(1 + sen (2x))3/x , se x > 0
b, se x ≤ 0
Exercício 70 Sejam a e b números reais e a função f :