AULA 4-CALCULO 2-TECNICA DE INTEGRAÇÃO

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Cálculo II
Aula 4: Técnicas de integração
Apresentação
Nesta aula, aprenderemos mais uma técnica de integração, o método de substituição trigonométrica. Para isto
precisaremos das identidades trigonométricas aprendidas na disciplina de Trigonometria e do conteúdo aprendido nas
aulas anteriores.
Objetivo
Identi�car a segunda parte das técnicas de integração onde vai reconhecer o método de substituição trigonométrica.
Substituição Trigonométrica
Abaixo você pode ver um resumo para se resolver as integrais pelo método de substituição trigonométrica. Usamos
substituição trigonométrica para lidar com expressões tais como:
Onde a é uma constante positiva. Integrais deste tipo são necessárias se desejamos encontrar a área de um círculo ou
uma elipse. Então dividiremos em 3 casos, clique nas abas para vê-los.
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
√ −            +           √ −a2 u2 a2 u2  u2 a2
[f(x)g(x)]’ = f(x)g(x)’ + g(x) f’(x) (Regra do Produto)(uv)’ = u v’ + u’ v
Podemos arrumar tal expressão da seguinte forma:
u v’= (uv)’ – u’ v
Clique nos botões para ver as informações.
Para , observe que u = x.
 
Mudamos a variável de u para θ utilizando a substituição u = α sen θ. Uma vez que sen θ + cos θ = 1, portanto 1 –
sen θ = cos θ, a raiz será eliminada
Caso 1 
− = −a2
−−√ u2 a2
−−√ x2
2 2
2 2
= = = = a  cos θ−a2 u2
− −−−−−√ − se θa2 a2 n2
− −−−−−−−−−√ (1 − se θ)a2 n2
− −−−−−−−−−−√ θa2 cos2
− −−−−−−√
Para observe que u = x.
Mudamos a variável de u para θ utilizando a substituição u = α tg θ. Uma vez que 1+tg θ + sec θ , a raiz será
eliminada
Caso 2 
− = −a2
−−√ u2 a2
−−√ x2
2 2
= = = = a secθ+a2 u2
− −−−−−√ + t θa2 a2 g2
− −−−−−−−−√ (1 + t θ)a2 g2− −−−−−−−−−√ se θa2 c2
− −−−−−√
Para , observe que u = x.
Mudamos a variável de u para θ utilizando a substituição u = α sec θ. Uma vez que tg θ + sec θ , a raiz será
eliminada.
Depois de se resolver a integral na variável �, volta-se a variável original utilizando-se o triângulo retângulo.
Caso 3 
=−u2 a2
− −−−−−√ −x2 a2
− −−−−−√
2 2
= = = = a tgθ−u2 a2
− −−−−−√ − se θ −a2 c2 a2
− −−−−−−−−−−−√ (se θ − 1)a2 c2
− −−−−−−−−−−√ t θa2 g2
− −−−−√
Veja um resumo para se resolver as integrais pelo método de substituição trigonométrica:
Atenção! Aqui existe uma videoaula, acesso pelo conteúdo online
caso expressão substituição identidade
1
2
−a2 u2
− −−−−−√ u = a sen θ,   − ≤ θ ≤π2
π
2
du = a  cos  θ
1 + se θ = θn2 cos2
+a2 u2
− −−−−−√ u = a  tg  θ,   − < θ <π2
π
2
du = a   θ d θsec2
1 + t θ = θg2 sec2
3 −u2 a2
− −−−−−√ u = a secθ,
0 ≤ θ <  ou π ≤ θ <π
2
3π
2
du = a  sec  θ  tg  θ
se  θ,   − 1 = θc2 tg2
Passos para a integração
Passo 1
Faça uma escolha para u de acordo com os
casos.
Passo 2
Calcule du.
Passo 3
Faça a substituição u e du. Neste ponto a
integral deve estar em termos de u. Se isso
não acontecer, deve-se tentar uma nova
escolha para u.
Passo 4
Simpli�que ao máximo a expressão e
calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5





Voltar a variável x; assim, a resposta �nal
estará em termos de x. Para isto terá que
observar o triângulo correspondente ao u
utilizado.
Algumas funções trigonométricas que podem aparecer:
1
sec x = 1cos  x
2
tg x = sen xcos  x
3
se θ = (1 − cos  2θ)n2 1
2
4
θ = (1 + cos  2θ)cos2 1
2
Identidades trigonométricas fundamentais
cos  secθ = 1
senθ
tg(−θ) = −tgθ 1 + cot  θ = cos  se θg2 c2
tgθ = senθ
cos θ
cos( − θ) = senθπ
2
cos  (−θ) = cosθ
cot gθ = 1
tgθ
secθ = 1
cos θ
sen( − θ) = cosθπ
2
1 + t θ = se θg2 c2 cot gθ = cos θ
senθ
tg ( − θ) = cot gθπ
2
sen(−θ) = −senθ se θ+ θ = 1n2 cos2
Veja um exemplo:
Calcule:
∫ dxx
2
(4−x2)
3
2
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Passo 1: Faça uma escolha para u de acordo com s casos
Passo 2: Calcule du.
Passo 3: Faça a substituição de du.
Neste ponto a integral deve estar em termos de u. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u.
Passo 4: Simpli�que ao máximo a expressão.
Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Voltar a variável x; assim, a resposta �nal estará em termos de x. Para
isto terá que observar o triângulo correspondente ao u utilizado.
u = x = 2 senθ
u = x = 2 senθ
dx = 2 cos θ dθ
4 − = 4 − 4se θ = 4(1 − se θ) = 4  θx2 n2 n2 cos2
∫ = ∫ =dxx
2
(4−x2)
3
2
(4se θ)(2  cos θ)dθn2
(4 θcos2 )
3
2
∫ = ∫ = ∫ dθ =dxx
2
(4−x2)
3
2
(4se θ)(2  cos θ)dθn2
(4 θcos2 )
3
2
se θ  cos θn2
θcos3
∫ dθ = ∫ t θ dθ = ∫(se  θ − 1)dθ = tgθ − θ + Cse θn2
θcos2
g2 c2
Olhando o triângulo 
A integral �ca: 
tgθ = =catop
catadj
x
4−x2√
senθ = x
2
θ = arcsen x
2
∫ = − arcsen + Cdxx
2
(4−x2)
3
2
x
4−x2√
x
2
Atividade
1. Calcule:
∫ dx
x2 +4x2√
Notas
Primitiva 1
Antiderivada.
heranças do período medieval 2
Vamos voltar um pouquinho e vermos o que era, exatamente, o mundo medieval.
A Idade Média, que começa no século V, com o �m do Império Romano do Ocidente e é dividida em Alta e Baixa Idade Média. O
primeiro período, a Alta Idade Média, é o apogeu medieval e a Baixa Idade Média, o momento em que as estruturas do medievo
entram em crise até serem substituídas por um novo modo de produção, que daria início a Idade Moderna.
diversas regiões 3
No caso ibérico, essa identidade religiosa foi imprescindível para aglutinar a população em torno dos reis. Isabel e Fernando,
reis de Aragão e Castela, terão o titulo de reis católicos, concedido pelo papa, em uma demonstração de que a Igreja via a união
com bons olhos.
Primitiva 4
Ainda que Portugal e Espanha tenham sido os primeiros a se uni�car, é a França que é considerada o modelo de absolutismo
por excelência. Nesse sistema, todos os poderes são concentrados nas mãos do rei. Na Inglaterra, isso ocorre durante o
reinado de Henrique VIII e o modelo de rei absoluto francês é Luis XIV, o Rei Sol.
Muda 5
Ter terras ainda era importante, é clarro, mas não tinha o mesmo signi�cado.
práticas mercantilistas 6
O mercantilismo não é um sistema econômico, stricto sensu. Na verdade, denominamos mercantilismo como o conjunto de
práticas econômicas característico dos estados modernos. É possível a�rmar que o mercantilismo daria origem ao sistema
capitalista, e alguns teóricos entendem esse momento como o início do capitalismo comercial.
balança comercial favorável 7
Mas nem todos os reinos conseguiram aplicar esta medida. Espanha e Portugal, por exemplo, mesmo recebendo toneladas de
metais preciosos de suas colônias, viviam em constante dé�cit �nanceiro. Isso acontecia porque compraram muitas
mercadorias da França e da Inglaterra, além de contraírem empréstimos com os holandeses. Por essa razão, ainda que tenham
explorado continuamente os territórios ultramarinos, os países ibéricos não se desenvolveram na mesma proporção. O ouro e a
prata da América apenas passavam por Portugal e Espanha, mas iria enriquecer os cofres dos outros reinos.
Referências
FLEMMING, D; GONÇALVES, M. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 2ª ed. São Paulo: Pearson Education, 2006.
HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de Matemática Elementar, 8: limites, derivadas,
noções de integral. 5ª ed. São Paulo: Atual, 1999.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1978-1982. 2 v.
THOMAS, G.B. Cálculo. 11ª ed. v. 1. São Paulo: Pearson, s/d.
 
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