ELETRICIDADE BÁSICA - CAPÍTULOS I ; II 1; II 2; II 3; II 4; II

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UNISUAM 
 
 
 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
ELETRICIDADE BÁSICA 
 
 
Prof. RAED 
 
 
 
 
2017-1 
 
1 
 
CAPÍTULO I – ELETRODINÂMICA 
 
1 - Corrente elétrica 
É o movimento ou o fluxo de elétrons. Para se produzir a corrente, os elétrons devem se deslocar 
pelo efeito de uma diferença de potencial - ddp. 
 
A corrente é representada pela letra I. No sistema internacional – SI a unidade de corrente é o 
ampère, cujo símbolo é A. 
 
O condutor metálico da figura 1, submetido a uma ddp entre os seus extremos, possui uma 
quantidade de elétrons que atravessa a seção reta transversal do condutor desde o instante t até o 
instante t + t. Cada elétron apresenta uma carga elétrica elementar e de valor igual a . 
Em um intervalo de tempo t, passa pela seção transversal uma carga elétrica de valor absoluto 
igual a: 
 
 
 
Onde: q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C). 
 n  é o número de elétrons. 
 e  é a carga elétrica elementar de um elétron, que é igual a 1,6x10
-19
C. 
 
 
Fig. 1 – No intervalo de tempo Δt, “n” elétrons passam pela seção reta transversal do condutor. 
 
Define-se intensidade média de corrente elétrica no intervalo de tempo t: 
 
 
Denomina-se corrente contínua constante toda corrente de sentido e intensidade constantes com o 
tempo. Neste caso, a intensidade média da corrente em qualquer intervalo de tempo t é a 
mesma e, portanto, igual à intensidade em qualquer instante 
. 
C19106,1 
enq .
mi
t
q
im



mi
i t )( iim 
2 
 
A figura 2 mostra o gráfico dessa corrente em função do tempo. Esse é o caso mais simples de 
corrente elétrica. A pilha mostrada ao lado do gráfico é um exemplo de fonte que fornece uma 
corrente contínua constante. 
 
Fig. 2 – A corrente contínua constante tem sentido e intensidade constantes com o tempo. 
 
Quando a corrente varia com o tempo, define-se intensidade de corrente i em um instante t o limite 
para o qual tende a intensidade média, quando o intervalo de tempo t tende a zero: 
 
A figura 3 mostra um gráfico de uma corrente elétrica que muda, periodicamente, de intensidade e 
sentido, esta é chamada de corrente alternada. Nos terminais das tomadas das residências, 
escritórios, comércios e indústrias no Brasil há uma corrente alternada na frequência de 60 Hz, ou 
seja, 60 ciclos/segundo. 
 
Fig. 3 – A corrente alternada muda periodicamente no tempo. 
 
Um ampère de corrente é definido como o deslocamento de um coulomb através de um ponto 
qualquer de um condutor durante um intervalo de um segundo. 
 
segundo
coulomb
ampère
1
1
1 
 
 
Onde: I  é a corrente elétrica, em ampères (A). 
 q  é a quantidade de carga elétrica em movimento, em coulomb (C). 
t  é o intervalo de tempo, em segundos (s), que a carga elétrica está em movimento. 
t
q
i
ot 



lim
t
q
I



3 
 
2 - Densidade de corrente 
É a relação entre a corrente elétrica em ampères e a área da seção transversal do condutor em m
2
. 
 
 
 
 
 
3 - Tensão elétrica 
A tensão elétrica entre dois pontos é também chamada de diferença de potencial (ddp). Se um total 
de 1 joule (J) de energia é usado para mover a carga negativa de 1 coulomb (C) de um ponto para 
outro, há uma diferença de 1 volt (V) entre os dois pontos. 
 
A unidade no Sistema Internacional (SI) de tensão elétrica é o volt, cujo símbolo é V. O símbolo de 
tensão elétrica é U. 
 
 
Onde: 
U  é a tensão elétrica, em volts (V). 
W  é o trabalho, em joules (J). 
q  é a carga elétrica, em coulombs (C). 
 
 
4 - Resistores 
O resistor é todo elemento cuja função em um circuito é oferecer uma resistência especificada. 
 
A unidade no SI de resistência elétrica é o ohm, cujo símbolo é o . O símbolo de resistência 
elétrica é R. 
 
Para uma dada tensão elétrica, quanto maior a resistência menor será a corrente elétrica. Portanto, a 
resistência é a oposição ao fluxo da corrente elétrica. 
 
São exemplos de resistores: filamentos de tungstênio de lâmpadas incandescentes e fios de nicromo 
enrolados em hélice em chuveiro elétrico. 
S
I
J 
q
W
U 
Onde: J  é a densidade de corrente elétrica, em ampères/metro quadrado (A/m
2
). 
 I  é a intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
S  é a área da seção transversal do condutor, em metros quadrados (m
2
). 
 
4 
 
5 - Lei de Ohm 
Considere o resistor da figura 4, mantido a uma temperatura constante, percorrido por uma corrente 
elétrica , quando entre seus terminais A e B for aplicada a ddp U. 
 
 
Fig. 4 – A ddp é a causa da passagem da corrente “i”. 
 
Mudando-se a ddp sucessivamente para U1, U2, U3, ..., o resistor passa a ser percorrido por corrente 
de intensidade 
 
Ohm verificou, experimentalmente, que mantida a temperatura constante, o quociente da ddp 
aplicada pela respectiva intensidade de corrente era uma constante característica do resistor. 
 
 constante = R 
 
A grandeza R assim introduzida foi denominada resistência elétrica do resistor. A resistência 
elétrica não depende da ddp aplicada ao resistor, nem da corrente elétrica que o percorre; ela 
depende do condutor e de sua temperatura. A expressão que simboliza a lei de Ohm é: 
 
 
 
Onde, conforme já definido: 
 resistência elétrica, em ohms (). 
 tensão elétrica, em volts (V). 
 intensidade da corrente elétrica, em ampères (A). 
 
 
 
 
 
 
i
...,,, 321 iii
 ...
3
3
2
2
1
1
i
U
i
U
i
U
i
U
I
U
R 
R
U
I
5 
 
6 - Resistores Ôhmicos e Não-Ôhmicos 
Na figura 5, o gráfico de U em função de é uma reta que passa pela origem, constituindo, assim, a 
curva característica de um resistor ôhmico. O coeficiente angular da reta (tg ) é numericamente 
igual a resistência elétrica do resistor, que é igual a uma constante não nula. 
 
 
 
 
 
Fig. 5 – Curva característica de um resistor ôhmico. 
 
 
Para condutores que não obedecem a Lei de Ohm, a curva característica passa pela origem, mas não 
é uma reta, conforme mostra a figura 6. Esses condutores são denominados condutores não-lineares 
ou não-ôhmicos. A resistência aparente (Rap) é definida em cada ponto da curva da seguinte 
maneira: 
 
 
 
 
Fig. 6 – Curva característica de um condutor não-ôhmico. 
 
 
i
'
'
'
i
U
R
i
U
R apap 
 
6 
 
7 - Efeito térmico ou efeito joule 
Um resistor transforma exclusivamente em térmica a energia elétrica recebida de um circuito. 
Portanto, é comum afirmar que um resistor dissipa energia elétrica que recebe do circuito. 
 
Nos aquecedores elétricos em geral (chuveiros elétricos, torneiras elétricas, ferros elétricos, 
secadores de cabelos), constituídos de resistores, ocorre a transformação de energia elétrica em 
energia térmica. 
 
O efeito da transformação de energia elétrica em térmica é denominado efeito térmico ou efeito 
joule. Esse efeito pode ser entendido considerando o choque dos elétrons livres contra os átomos do 
condutor. 
 
A energia elétrica transformada em energia térmica ao fim de um intervalo de tempo t é dada por: 
. Esta expressão é conhecida como a Lei de Joule, podendo assim ser enunciada: A 
energia elétrica dissipada em um resistor, durante um dado intervalo de tempo t, é diretamente 
proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre. 
 
 
8 - Resistividade 
A resistência elétrica de um resistor depende do material que o constitui, de suas dimensões e de sua 
temperatura. Portanto, a resistência elétrica R de um resistor em dada temperatura é: 
 diretamente proporcional ao seu comprimento ( ), em metros (m); 
 inversamente proporcional à sua área de seção transversal (S), em m2; 
 dependente do material que o constitui ( ), em .m. 
 
 
 
Onde (letra grega rô) é uma grandeza que depende do material que constitui o resistor e da 
temperatura, sendo denominada resistividade do material. A resistividade de um material varia com 
a temperatura.Para variações não excessivas (até cerca de 400ºC), pode-se admitir como linear a 
variação da resistência com a temperatura. Nestas condições, a resistividade a uma temperatura 
T é dada por: 
 
tIREel 
2


S
R
.



)](1[ 00 tT  
7 
 
Onde:  resistividade na temperatura final (T), em .m. 
  resistividade na temperatura inicial (t0), em .m. 
  coeficiente de temperatura do material, em ºC
-1
. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, emºC. 
 
 
Tabela 1 - Resistividade de alguns materiais à temperatura ambiente (20ºC). 
MATERIAL RESISTIVIDADE (.m) 
Prata 1,47x10
-8 
Cobre 1,72x10
-8 
Ouro 2,44x10
-8 
Alumínio 2,75x10
-8 
Tungstênio 5,25x10
-8 
Ferro 9,68x10
-8 
 
 
Todos os condutores metálicos apresentam um aumento de resistência elétrica com a elevação de 
temperatura. Se uma determinada corrente elétrica aquecer um condutor, haverá uma diminuição 
desta corrente devido o aumento da resistência elétrica do condutor, provocado pelo aumento da 
temperatura. 
 
 
 
Onde:  resistência na temperatura final (T), em . 
  resistência na temperatura inicial (t0), em . 
  coeficiente de temperatura do material, em ºC
-1
. 
 T  temperatura final, em ºC. 
 t0  temperatura inicial, em ºC. 
 
 

0

)](1[ 00 tTRR  
R
0R

8 
 
Tabela 2 - Coeficiente de temperatura ( ) de alguns materiais. 
MATERIAL (ºC
-1
) 
Prata 0,0038
 
Cobre 0,00393
 
Alumínio 0,0039
 
Tungstênio 0,0045
 
Ferro 0,0050
 
 
 
9 - Condutividade 
A condutividade de um material ( ) é o inverso da resistividade. A unidade no SI de condutividade 
é o mho/metro (ʊ/m) ou siemens/metro (S/m). 
 
 
 
 
10 - Potência Elétrica 
A potência elétrica é a capacidade de produzir trabalho expressa em watts (W). 
 
A potência elétrica (P) em um resistor é o produto da tensão elétrica aplicada (U) pela intensidade 
da corrente elétrica resultante (I). 
 
 
 
Pela Lei de Ohm, 
 
Sendo 
 
A potência elétrica dissipada pode, também, ser dada por: 
 
 





1

IUP .
IRU 
2.. IRIIRIUP 
R
U
I 
R
U
P
2

9 
 
11 - Energia elétrica 
A energia elétrica consumida por um aparelho, num intervalo de tempo , é dada por: 

2
1
.
t
t
EL dtPE 
A unidade de energia elétrica usual na eletrotécnica é o Wh. 
1Ws = 1 J 
 
 
 
12 - Múltiplos e submúltiplos 
Os prefixos das unidades são utilizados para facilitar a escrita das mesmas quando elas estão 
expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos. A Tabela 3 mostra os prefixos, seus 
multiplicadores e seus símbolos. 
Tabela 3 – Múltiplos e Submúltiplos. 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECA da 10 10 
HECTO h 10² 100 
QUILO k 103 1.000 
MEGA M 106 1.000.000 
GIGA G 109 1.000.000.000 
TERA T 1012 1.000.000.000.000 
PETA P 1015 1.000.000.000.000.000 
EXA E 1018 1.000.000.000.000.000.000 
ZETA Z 1021 1.000.000.000.000.000.000.000 
IOTA Y 1024 1.000.000.000.000.000.000.000.000 
 
 PREFIXO SÍMBOLO POTÊNCIA MULTIPLICADOR 
S
U
B
M
Ú
L
T
IP
L
O
S
 
DECI d 10-1 0,1 
CENTI c 10-2 0,01 
MILI m 10-3 0,001 
MICRO µ 10-6 0,000.001 
NANO n 10-9 0,000.000.001 
PICO p 10-12 0,000.000.000.001 
FEMTO f 10-15 0,000.000.000.000.001 
ATO a 10-18 0,000.000.000.000.000.001 
ZEPTO z 10-21 0,000.000.000.000.000.000.001 
IOCTO y 10-24 0,000.000.000.000.000.000.000.001 
 
)( ELE t
JjoulesWssWhkWkWh 6106,3000.600.3000.600.33600.10001.11 
10 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. O gráfico abaixo representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do tempo. 
Calcule para o intervalo de tempo de 0 a 20 segundos: 
(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor. 
(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor. 
 
 
2. O gráfico a seguir representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em função do 
tempo. Calcule para o intervalo de 0 a 6s: 
(a) A quantidade de carga que passa por uma seção reta do condutor. 
(b) O número de elétrons que atravessa a seção reta do condutor. 
 
 
3. Um condutor é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 1A. Determine o número 
de elétrons que passam por uma seção transversal do condutor em um segundo, sabendo que a carga 
elétrica elementar de um elétron vale 1,6 x 10
-19
C. 
 
4. Relacione quatro efeitos principais produzidos pela corrente elétrica. 
 
5. Um resistor de 20 é percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 3A. Determine: 
(a) A ddp nos terminais do resistor. 
(b) A potência elétrica consumida pelo resistor. 
(c) A energia elétrica consumida no intervalo de tempo de 20s, expressa em joules. 
 
11 
 
6. Sabendo-se que 20 lâmpadas de 100 watts e 10 lâmpadas de 150 watts permanecem acesas 5 
horas por dia, pergunta-se: Qual o consumo de energia elétrica, em kWh, no período de 30 dias? 
 
7. Um chuveiro elétrico alimentado sob ddp de 127V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A intensidade de corrente que percorre o aparelho. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, em kWh, quando ligado durante 72 segundos. 
(d) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, em joules, quando ligado durante 72 segundos. 
(e) O gasto de 30 dias, em reais, se o chuveiro é utilizado durante 90 minutos por dia. Suponha que 
o preço do kWh seja de R$ 0,70999. 
 
8. Um chuveiro alimentado sob ddp de 220V, consome uma potência de 4,4kW. Calcule para esta 
condição: 
(a) A resistência elétrica do aparelho. 
(b) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 24 minutos, expressa em 
kWh. 
(c) A energia elétrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 5 minutos, expressa em 
joules. 
 
9. Um fio com 200m de comprimento e seção circular de 6mm2, produz uma queda de tensão de 
6V, com uma intensidade de corrente elétrica de 10A. Calcule a resistividade do material que 
constitui o fio, em .m. 
 
 
10. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente elétrica de 50mA passar perto 
do seu coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois 
condutores que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua resistência for de 2000, qual 
poderia ser a tensão fatal? 
12 
 
11. Um fio condutor possui 1,0mm de diâmetro, um comprimento de 2,0m e uma resistência de 
50m. Qual a resistividade do material? 
 
12. Um resistor é ôhmico até 100V, tendo resistência de 6. Aplica-se no mesmo uma ddp de 
30V e, depois, de 60V. A variação ocorrida na resistência do resistor é: (Justifique). 
 
13. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente elétrica em 
um resistor. Se o resistor for submetido a uma tensão elétrica de 6V, qual será a sua potência 
elétrica dissipada? 
 
 
14. O gráfico abaixo representa a tensão elétrica em função da intensidade de corrente elétrica 
em um resistor. Determine a potência elétrica dissipada no resistor, quando for percorrido por uma 
corrente de 50mA. 
 
 
15. Quando 115V são aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10m de 
comprimento e 0,30mm de raio, a densidade de corrente é igual a 1,4x10
4
A/m2
. Determine a 
resistividade do fio. 
 
16. Um fusível em um circuito elétrico é um fio que é projetado para derreter, e desse modo abrir 
o circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser usado em 
um fusível se funda quando a densidade de corrente atinge 440A/cm
2
. Que diâmetro de fio 
cilíndrico deveria ser usado para fazer um fusível que limitará a corrente a 0,50A? 
13 
 
17. Um fio de tungstênio tem uma resistência de 10 a 20ºC. Determine a sua resistência a 
120ºC. Dado:  = 0,0045/ºC. 
 
18. Um fio de nicromo (uma liga de níquel-cromo-ferro normalmente usada em elementos de 
aquecimento) possui 1,0m de comprimento e 1,0mm
2
 de área de seção transversal. Ele transporta 
uma corrente de 4A quando uma diferença de potencial de 2V é aplicada entre as suas 
extremidades. Calcule a condutividade  do nicromo. 
 
19 - Um equipamento elétrico monofásico de 5kW é alimentado por uma fonte de 200 V através de 
um circuito de fio de cobre de 4mm
2
. O comprimento máximo desse circuito, em metros, para que 
nele a queda de tensão não ultrapasse 2 %, é de: 
Dado: A resistividade do fio de cobre é de 
 
20 - Têm-se cinco fios condutores F1, F2, F3, F4 e F5, de mesmo material e à mesma temperatura. Os 
fios apresentam comprimento e área de seção transversal conforme tabela abaixo. Sendo R a 
resistência elétrica de F1, podemos afirmar que F2, F3, F4 e F5 têm resistências elétricas, 
respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 - Um fio cilíndrico de comprimento  e raio de seção reta r apresenta resistência R. Um outro 
fio, cuja resistividade é o dobro da primeira, o comprimento é o triplo, e o raio 3/r , terá resistência 
igual a: 
 
 
 
m
mm202,0 
Fio 
condutor 
Comprimento 
Área de seção 
transversal 
F1 ℓ A 
F2 2ℓ A 
F3 ℓ 2A 
F4 ℓ A/2 
F5 2ℓ A/2 
 
14 
 
Respostas: 
(1) (a) 60C; (b) 3,75x10
20
elétrons; (2) (a) 27C; (b) 1,6875x10
20
elétrons; (3) 6,25x10
18
 elétrons; 
(4) magnético, químico, fisiológico e térmico (ou joule); (5) (a) 60V; (b) 180W; (c) 3.600J; 
(6) 525kWh; (7) (a) 3,6657; (b) 34,646A; (c) 0,088kWh; (d) 316.800 joules; (e) R$140,58; 
(8) (a) 11; (b) 1,76kWh; (c) 1.320.000 joules; (9) 1,8x10
-8
.m; (10) 100V; (11) 1,9635x10
-8
.m; 
(12) nula; (13) 18W; (14) 2W; (15) 8,2143x10
-4
.m; (16) 0,38037mm; (17) 14,5; 
(18) 2.000.000 mhos/metro; (19) 16m; (20) 2R ; R/2 ; 2R ; 4R; (21) 54R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
CAPÍTULO II – CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
II.1 – CIRCUITOS EM SÉRIE 
 
1. Introdução 
Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos equipamentos elétricos e eletrônicos. Um 
deles é a corrente contínua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) não varia o seu sentido com o 
tempo. O outro é a corrente alternada (CA) senoidal, cujo fluxo de cargas varia de intensidade e 
sentido com o tempo. 
 
Uma bateria como a ilustrada na figura 1 tem, em função da diferença de potencial entre seus 
terminais, a capacidade de promover (‘pressionar’) um fluxo de cargas através de um simples 
circuito. O terminal positivo atrai os elétrons do fio com a mesma rapidez com que eles são 
fornecidos pelo terminal negativo. Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as suas 
características elétricas, a corrente (CC) através do circuito não terá variações de intensidade nem 
sentido. 
 
Se considerar o fio como um condutor ideal (isto é, que não se opõe ao fluxo de elétrons), a 
diferença de potencial V entre os terminais do resistor será igual à tensão aplicada pela bateria. 
 
A corrente é limitada somente pelo resistor R. Quanto maior a resistência, menor a corrente, e vice-
versa, como determinado pela lei de Ohm. 
 
Fig. 1 - Componentes básicos de um circuito elétrico. 
 
Por convenção, o sentido do fluxo convencional da corrente ( ) como indicado na figura 
1, é oposto ao do fluxo de elétrons ( ). Além disso, o fluxo uniforme de cargas leva a 
concluir que a corrente contínua I é a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o sentido do 
fluxo convencional, observa-se que há aumento de potencial ao atravessar a bateria (de – para +) e 
uma queda de potencial ao atravessar o resistor (de + para -). Em circuitos de corrente contínua com 
alconvencionI
eletrônicoI
16 
 
apenas uma fonte de tensão, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para 
um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tensão, como mostra a figura 2. 
 
 
Fig. 2 - Sentido convencional da corrente para circuitos CC com uma fonte de tensão. 
 
Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial mais 
baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o número de fontes de tensão no mesmo circuito, 
como mostra a figura 3. 
 
 
Fig. 3 - Polaridade resultante da passagem de uma corrente no sentido convencional, através de 
um elemento resistivo. 
 
 
2. Circuitos em Série 
Um circuito consiste de um número qualquer de elementos unidos por seus terminais, 
estabelecendo pelo menos um caminho fechado através do qual a carga possa fluir. O circuito visto 
na figura 4(a) possui três elementos, conectados em três pontos (a, b e c), de modo a constituir um 
caminho fechado para a corrente I. 
 
 Fig. 4(a) - Circuito em série Fig. 4 (b) - e não estão em série. 
 
 
I
1R 2R
17 
 
Dois elementos estão em série se: 
 Possuem somente um terminal em comum (isto é, um terminal de um está conectado 
somente a um terminal do outro). 
 O ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro elemento percorrido por 
corrente. 
 
Na figura 4(a), os resistores e estão em série porque possuem apenas o ponto “b” em 
comum. As outras extremidades dos resistores estão conectadas a outros pontos do circuito. Pela 
mesma razão, a bateria U e o resistor estão em série (terminal “a” em comum), e o resistor e 
a bateria U estão em série (terminal “c” em comum). Visto que todos os elementos estão em série, o 
circuito é chamado circuito em série. 
 
Se o circuito mostrado na figura 4(a) for modificado de modo que um resistor percorrido por 
corrente seja introduzido, conforme ilustra a figura 4(b), os resistores e não estarão mais em 
série porque a segunda parte da definição de elementos em série não será verdadeira. 
 
Uma característica do circuito em série é que a corrente elétrica é a mesma através de todos 
os elementos ligados no circuito. 
 
Um ramo do circuito é qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em série. Na 
figura 4(a), o resistor constitui um ramo do circuito, o resistor , outro, e a bateria U, um 
terceiro. 
 
A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do circuito. 
 
Na figura 4(a), por exemplo, a resistência total ( ) é igual a + . Observa-se que a resistência 
total é na realidade a resistência ‘vista’ pela bateria quando ela ‘observa’ a combinação de 
elementos em série, conforme ilustra a figura 5. 
 
Fig. 5 - Resistência ‘vista’ pela fonte. 
1R 2R
1R 2R
3R
1R 2R
1R 2R
TR 1R 2R
18 
 
Em geral, para determinar a resistência total (ou equivalente) de “N” resistores em série, é aplicada 
a seguinte equação. 
 
 
 
Para determinar a resistência total de “n” resistores de mesmo valor em série, simplesmente 
multiplica-se o valor de um dos resistores pelo número total de resistores em série, n, ou seja: 
 
 
 
Uma vez conhecida a resistência total, o circuito visto na figura 4(a) pode ser redesenhado segundo 
mostrado na figura 6, revelando claramente que a única resistência que a fonte ‘vê’ é a resistência 
equivalente. Não importa como os elementos estão conectados para estabelecer . Desde que o 
valor de seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode ser determinada usando a lei de Ohmda seguinte forma: 
 
 
 
Fig. 6 – Circuito equivalente. 
 
Como a tensão “U” é fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de . 
Uma resistência elevada resultará em um valor relativamente pequeno de , enquanto valores 
pequenos de resultarão em grandes valores de corrente . 
NT RRRRR  ...321
RnRT 
TR
TR
TR
U
I 
TR
TR I
TR I
19 
 
O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na figura 4(a) permite 
calcular a tensão entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, ou seja: 
 
 
 
 
 
A potência fornecida a cada resistor pode então ser determinada utilizando qualquer uma das três 
equações, conforme listado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
A potência fornecida pela fonte é: 
 
 
 
A potência total fornecida a um circuito resistivo é igual a potência total dissipada pelos elementos 
resistivos, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IRU 11 
IRU 22 
1
2
12
111
R
U
IRIUP 
2
2
22
222
R
U
IRIUP 
N
N
NNN
R
U
IRIUP
2
2 
IUPfornecida 
Nfornecida PPPPP  ...321
20 
 
Exemplo 1: No circuito abaixo, determine: 
(a) A resistência total. 
(b) A corrente fornecida pela fonte . 
(c) As tensões . 
(d) A potência dissipada por . 
(e) A potência fornecida pela fonte e a compare com a soma das potências calculadas em (d). 
 
 
Solução: 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
 
(d) 
 
 
 
I
321, UeUU
321, ReRR
 8512321 RRRRT
A
R
U
I
T
5,2
8
20

VIRU 5)5,2)(2(11 
VIRU 5,2)5,2()1(22 
VIRU 5,12)5,2)(5(33 
WIUP 5,12)5,2)(5(11 
WIRP 5,12)5,2)(2( 2211 
W
R
U
P 5,12
2
52
1
2
1
1 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) 
 
 
 
Exemplo 2: Determine , I e para o circuito mostrado. 
 
 
Solução: 
Observe o sentido da corrente, estabelecido pela bateria e a polaridade da queda de tensão entre os 
terminais de determinada pelo sentido da corrente. 
 
 
WIUP 25,6)5,2)(5,2(22 
WIRP 25,6)5,2)(1( 2222 
W
R
U
P 25,6
1
5,2 2
2
2
2
2 
WIUP 25,31)5,2)(5,12(33 
WIRP 25,31)5,2)(5( 2233 
W
R
U
P 25,31
5
5,12 2
3
2
3
3 
WIUPT 50)5,2)(20( 
WPPPPT 5025,3125,65,12321 
TR 2U
2R
 2577474321 RRRRRT
22 
 
Como , o valor de pode ser calculado, também, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: A resistência total (RT) do circuito é igual a 1500kΩ. Determine: 
(a) A tensão da fonte (U). 
(b) A energia elétrica total (EEL), em joules, se o circuito ficar ligado durante 25h. 
(c) A potência (P1), em µW (microwatt), dissipada em R1. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 7431 RRR TR
 254)7()3(21 RnRRT
A
R
U
I
T
2
25
50

VIRU 8)2)(4(22 
321 RRRRT 
 kkRRRR T 500)2008001500(321
VIRU T 9106101500.
63  
JtIUtPE TEL 86,43600251069...
6  
WIRP 18)106(10500. 263211 

23 
 
3. Fontes de Tensão em Série 
As fontes de tensão podem ser conectadas em série, como mostra a figura 7, para aumentar ou 
diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as 
tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade 
resultante é aquela para a qual a soma é maior. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7 - Reduzindo fontes de tensão CC em série a uma única fonte. 
 
Na figura 7(a), por exemplo, as fontes estão todas ‘forçando’ a corrente para a direita, de modo que 
a tensão total é dada por: 
 
 
 
Entretanto, na figura 7(b) a maior ‘força’ é para esquerda, o que resulta em uma tensão total dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
VUUUU 182610321 
VUUUU 8439132 
24 
 
4. Lei de Kirchhoff para Tensões 
A lei de Kirchhoff para tensões (LKT) afirma que a soma algébrica das elevações e quedas de 
tensão em uma malha fechada é zero. 
 
Uma malha fechada é qualquer caminho contínuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de 
um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Seguindo a 
corrente na figura 8, pode-se traçar um caminho contínuo que deixa o ponto “a” através de e 
retorna através de U sem deixar o circuito. Assim, abcda é uma malha fechada. Para poder aplicar a 
lei de Kirchhoff para tensões, a soma das elevações e quedas de potencial precisa ser feita 
percorrendo a malha num certo sentido. 
 
Fig. 8 - Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões em um circuito série. 
 
Por convenção, o sentido horário será usado para todas as aplicações da lei de Kirchhoff para 
tensões que se seguem. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido for o 
anti-horário e a lei for aplicada corretamente. 
 
Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um sinal negativo, uma queda 
(de + para -). Se seguir a corrente no circuito mostrado na figura 8 a partir do ponto “a”, primeiro 
encontra-se uma queda de potencial (de + para -) entre os terminais de e outra queda 
entre os terminais de . Ao passar pelo interior da fonte, tem-se um aumento de potencial U (de – 
para +) antes de retornar ao ponto “a”. 
 
 
1R
1U 1R 2U
2R
0 U
25 
 
No circuito da figura 8 usando o sentido horário, seguindo a corrente I e começando no ponto “d”, 
tem-se: 
 
 
A tensão aplicada a um circuito em série é igual a soma das quedas de tensão nos elementos em 
série. 
 
A lei de Kirchhoff também pode ser baseada na seguinte fórmula: 
 
A soma das elevações de potencial em uma malha fechada tem de ser igual à soma das quedas de 
potencial. 
 
Se o circuito fosse estudado no sentido anti-horário, começando no ponto “a”, o resultado seria o 
seguinte: 
 
 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões não precisa seguir um caminho que inclua elementos 
percorridos por corrente. Por exemplo, na figura 9 há uma diferença de potencial entre os pontos 
“a” e “b”, embora os dois pontos não estejam conectados por um elemento percorrido por corrente. 
A aplicação da lei de Kirchhoff para tensões em torno da malha fechada irá resultar em uma 
diferença de potencial de 4V entre os dois pontos. Usando o sentido horário: 
 
 
Fig. 9 - Demonstração de que pode existir tensão entre dois pontos não-conectados por um condutor 
percorrido por corrente. 
21
21 0
UUU
UUU


quedaselevações UU 
21
12 0
0
UUU
UUU
U



VUxUx 40812 
26 
 
5. Regra do Divisor de Tensão 
Nos circuitos em série a tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma 
proporção que os valores de resistência. 
 
Por exemplo, as tensões entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 10 são 
dadas. O maior resistor, de 6Ω, captura a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor resistor, 
, fica com a menor. Observa-se também que, como a resistência de é 6 vezes maior que a de 
, a tensão entre os terminais de é também 6 vezes maior que entre os terminais de . O fato 
de que a resistência de é 3 vezes maior que a de resulta em uma tensão 3 vezes maior entre 
os terminais de . Finalmente, como a resistência de é o dobro da resistência de , a tensão 
entre os terminais de é o dobro da de . Portanto, em geral, a tensão entre os terminais de 
resistores em série está na mesma razão que suas resistências. 
 
Fig. 10 - Como a tensão se divide entre elementos resistivos em série. 
 
Se a resistência de todos os resistores da figura 10 for aumentada na mesma proporção como 
mostrado na figura 11, os valores de tensão permanecerão os mesmos. Em outras palavras, ainda 
que as resistências sejam multiplicadas por um milhão, as tensões continuarão as mesmas. Assim, 
fica claro que é a relação entre os valores dos resistores que conta para a divisão da tensão, e não o 
valor absoluto dos resistores. O valor de corrente no circuito será profundamente afetado pela 
mudança nos valores das resistências da figura 10 para a figura 11, mas os valoresde tensão 
permanecerão os mesmos. 
3R 1R
3R 1R 3R
2R 1R
2R 1R 2R
1R 2R
27 
 
 
Fig. 11 - A razão entre os valores das resistências determina a divisão da tensão em um circuito CC 
em série. 
 
O método denominado regra dos divisores de tensão, permite calcular às tensões sem determinar 
primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito mostrado na figura 12. 
 
Fig. 12 - Dedução da regra do divisor de tensão. 
 
 
 
 
21 RRRT 
TR
U
I 
28 
 
Aplicando a lei de Ohm: 
 
 
 
 
Regra geral: 
 
Onde é a tensão entre os terminais de , U é a tensão aplicada aos elementos em série e é 
a resistência total do circuito em série. 
 
 
Exemplo 4: Determine a tensão para o circuito mostrado a seguir, utilizando a regra do divisor 
de tensão. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
TT R
UR
R
U
RIRU 1111 






TT R
UR
R
U
RIRU 2222 






T
x
x
R
UR
U 
xU xR TR
1U
V
RR
UR
R
UR
U
T
16
80
1280
6020
)64)(20(
21
11
1 




29 
 
6. Fonte de Tensão e Terra 
Exceto em alguns poucos casos especiais, os sistemas elétricos e eletrônicos são aterrados por 
razões de segurança e para fins de referência. O símbolo que indica a conexão à terra aparece na 
figura 13 com seu valor de potencial definido (zero volt). 
 
Fig. 13 - Potencial do ponto de terra. 
 
 
Se a figura 4(a) fosse redesenhada com a fonte aterrada, pode ter o aspecto mostrado na figura 
14(a), 14(b) ou 14(c). Em qualquer caso, fica entendido que o terminal negativo da bateria e o 
terminal inferior do resistor estão conectados ao potencial do ponto de terra. Embora a figura 
14(c) não mostre nenhuma conexão entre os dois símbolos de terra, supõe-se que tal ligação exista 
para garantir o fluxo contínuo da carga. Se U = 12 V, então o ponto “a” está a um potencial 
positivo de 12 V em relação ao potencial do ponto de terra (0 V) e existem 12 V entre os terminais 
da combinação em série dos resistores e . Se, por exemplo, um voltímetro conectado entre o 
ponto “b” e a terra medir 4 V, então a tensão entre os terminais de é igual a 4 V, com o 
potencial maior em b. 
 
Fig. 14 - Três formas de mostrar o mesmo circuito CC em série. 
 
O fato de a tensão ser uma grandeza que é estabelecida entre dois pontos resulta em uma notação de 
duplo índice inferior que define o primeiro índice inferior como correspondente ao ponto de maior 
potencial. Na figura 15(a), os dois pontos que definem a tensão entre os terminais do resistor R são 
representados por “a” e “b”. Como “a” é o primeiro índice em , o ponto de “a” deve estar a 
um potencial maior que o ponto “b” para que tenha um valor positivo. Se, na verdade, o ponto 
2R
1R 2R
2R
abU
abU
30 
 
“b” estiver a um potencial maior que o ponto “a”, terá um valor negativo, conforme indicado 
na figura 15(b). 
A notação de duplo índice inferior especifica o ponto “a” como o de maior potencial. Se este 
não for o caso, um sinal negativo deve ser associado no valor de . A tensão é a tensão no 
ponto “a” em relação ao ponto “b”. 
 
 
Fig. 15 - Definindo o sinal para a notação de duplo índice inferior. 
 
Se o ponto “b” da notação for especificado como o potencial de terra (zero volt), então uma 
notação de subscrito inferior único poderá ser usada para informar a tensão em um ponto em relação 
ao ponto de terra. 
 
 
Exemplo 5: Determine a tensão . 
 
 
 
Solução: 
 
 
Observe que o sinal negativo indica o fato de que o ponto “b” está a um potencial mais elevado que 
o ponto “a”. 
 
 
abU
abU
abU abU
abU
abU
VUUU baab 42016 
31 
 
Exemplo 6: Determine a tensão . 
 
Solução: 
 
 
 
 
Exemplo 7: Determine as tensões , e . 
 
 
Solução: 
Começando no potencial da terra (zero volt), subindo até 10V para chegar ao ponto “a” e em 
seguida passa-se por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto “b”. O resultado é que o 
medidor lerá: 
 
 
Se continuar até o ponto “c”, haverá uma queda adicional de 20V, o que dará: 
 
 
A tensão pode ser obtida usando a equação abaixo. 
 
aU
baab UUU 
VUUU baba 945 
bU cU acU
VUb 6410 
VUU bc 1420620 
acU
VUUU caac 24)14(10 
32 
 
7. Resistência Interna das Fontes de Tensão 
Toda fonte de tensão, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentação para 
experiências de laboratório como a que é mostrada na figura 16, possui uma resistência interna. O 
circuito equivalente de qualquer fonte de tensão é, portanto, parecido ao mostrado na figura 16(b). 
 
 Fig. 16 - (a) Fontes de tensão CC; (b) circuito equivalente. 
 
A fonte de tensão ideal não possui resistência interna e sua tensão de saída é U volts com carga 
máxima ou sem carga. Nas fontes reais, figura 17(b)(c), nas quais consideram-se os efeitos devido a 
resistência interna, a tensão de saída será de U volts somente quando a fonte não estiver ligada a 
nenhuma carga ( ). Quando uma carga for conectada à fonte, figura 17(c), a tensão de saída 
da fonte diminui devido à queda de tensão na resistência interna. 
 
Fig. 17 - Fonte de tensão: (a) ideal = 0; (b) determinação de ; (c) determinação de . 
 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao circuito fechado da figura 17(c), tem-se: 
 
 
 
Se o valor de não for conhecido, ele pode ser determinado da seguinte forma: 
 
 
0LI
intR NLV intR
0int  LL UIRU
LL IRUU int
intR
L
L
I
UU
R

int
33 
 
Exemplo 8: Antes que a carga seja conectada, a tensão de saída da fonte mostrada na figura (a) está 
ajustada para 40 V. Quando uma carga de 500 Ω é conectada, com mostra a figura (b), a tensão de 
saída cai para 36 V. O que aconteceu ao restante da tensão e qual a resistência interna da fonte? 
 
Solução: 
A diferença de 40V – 36V = 4V aparece entre os terminais da resistência interna da fonte. A 
corrente na carga é: 
 
 
 
 
 
8. Regulação de Tensão 
Para qualquer fonte de tensão, o ideal é que a tensão da saída se mantenha constante, independente 
do valor de corrente, dentro da faixa especificada para a corrente de carga ( ). Em outras palavras, 
se uma fonte for ajustada para 12 V, é desejável que ela mantenha essa tensão entre os terminais de 
saída, mesmo que a corrente de carga varia. Uma medida que indica o quanto uma fonte está 
próxima das condições ideais é dada pela característica de regulação de tensão da fonte. Por 
definição, a regulação de tensão de uma fonte entre as condições “sem carga” e em “plena carga” é 
dada pela seguinte equação: 
 
 
AI L 072,0
500
36





 55,55
072,0
3640
int
L
L
I
UU
R
LI
100100
arg
arg
)%(Re x
U
UU
ac
acvazio
Utensãodegulação
L
L
R




34 
 
Em condições ideais e (UR)% = 0. Portanto, quanto menor a regulação de tensão, melhor, 
pois será menor a variação da tensão de saída de uma fonte quando a carga varia. 
 
Pode ser mostrado, por meio de uma breve substituição que a regulação também pode ser expressa 
na forma: 
 
 
Em outras palavras, quanto menor for a resistência interna de uma fonte, menor será sua regulação e 
mais ela se aproximará de uma fonte ideal. 
 
 
Exemplo 9: Calcule a regulação de tensão de uma fonte com e , alimentando 
uma carga . 
 
Solução: 
 
 
Outra forma de resolução: 
 
 
 
 
 
LUU 
100%)( int 
L
R
R
R
U
VU 24  1,0intR
 5LR
%2100
5
1,0
100)%( int 
L
R
R
R
U
A
RR
U
I
L
L 7059,4
51,0
24
int





VIRU LLL 529,23)7059,4()5( 
%2100
529,23
471,0
100
529,23
529,2324
100)%( 




L
L
R
U
UU
U
35 
 
II.2 – CIRCUITOS EM PARALELO 
 
1. Elementos em Paralelo 
Dois elementos ou ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando possuem dois pontos 
em comum. 
 
Na figura 1, por exemplo, os elementos 1 e 2 têm terminais “a” e “b” em comum; portanto, eles 
estão em paralelo. 
 
 
Fig. 1 - Elementos em paralelo.Na figura 2 todos os elementos estão em paralelo porque satisfazem o critério anteriormente citado. 
Essas três configurações têm o objetivo de ilustrar como os circuitos em paralelo podem ser 
desenhados. 
 
Fig. 2 - Diferentes aparências para uma configuração com três elementos em paralelo. 
36 
 
Na figura 3, os elementos 1 e 2 estão em paralelo porque têm os terminais “a” e “b” em comum, e 
esta combinação está em série com o elemento 3. 
 
Fig.3 - O elemento 1 está em paralelo com o elemento 2. O elemento 3 está em série com a 
combinação em paralelo de 1 e 2. 
 
 
Na figura 4, os elementos 1 e 2 estão em série devido ao ponto comum “a”, e esta combinação em 
série está em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as conexões comuns aos pontos “b” e 
“c”. 
 
Fig. 4 - O elemento 1 está em série com o elemento 2. Esta associação de 1 com 2 está em paralelo 
com o elemento 3. 
 
Nas figuras 1 a 4, os retângulos numerados foram usados como símbolos genéricos representando 
um resistor, ou uma bateria, ou mesmo circuitos complexos. 
 
 
 
37 
 
2. Circuitos em Paralelo 
O circuito mostrado na figura 5 é o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais “a” e “b” 
são comuns a todos os elementos. 
 
Fig. 5 - Circuito em Paralelo. 
 
Como os terminais da bateria estão diretamente ligados aos terminais de , é óbvio que as 
tensões obtidas entre os terminais destes elementos em paralelo são iguais. 
 
Fazendo uso deste fato, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte ( ) é igual à 
soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. Logo, a corrente fornecida pela fonte é: 
 
 
 
21 ReR
UUU  21
11
1
1
R
U
R
U
I 
22
2
2
R
U
R
U
I 
TI
21 IIIT 
21 R
U
R
U
R
U
T

38 
 
A potência dissipada pelos resistores e a potência fornecida pela fonte podem ser obtidas da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
3. Resistência Equivalente 
 
Fig. 6 - Determinação da resistência total (ou equivalente) para resistências em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para dois resistores diferentes em paralelo: 
 
1
2
12
11111 ..
R
U
IRIUP 
2
2
22
22222 ..
R
U
IRIUP 
21
2
2.. PP
R
U
IRIUP
T
TTTT 
NT IIIII ...321 
N
N
T R
U
R
U
R
U
R
U
R
U
 ...
3
3
2
2
1
1
NUUUUU  ...321
NT RRRRR
1
...
1111
321

21
21
21 .
111
RR
RR
RRRT


21
21 .
RR
RR
RT


39 
 
Para “ ” resistores iguais a “R” em paralelo: 
 
 
A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre menor que a do resistor de 
menor resistência. Além disso, quanto maior for a diferença entre os valores das resistências de dois 
resistores em paralelo, mais o valor da resistência equivalente será próximo do valor da menor 
resistência. Por exemplo, a resistência total para um resistor de 3Ω em paralelo com um de 6Ω vale 
2Ω. Entretanto, a resistência total de um resistor de 3Ω em paralelo com um de 60Ω é de 2,857Ω. 
 
 
4. Condutância Equivalente 
A condutância é o inverso da resistência. A unidade de condutância é o siemens (S) ou mho 
(inverso de ohms). 
 
 
No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das condutâncias individuais. Ou 
seja, para o circuito em paralelo visto na figura 7, pode-se representar: 
 
 
 
 
Fig. 7 - Determinação da condutância total para circuito em paralelo. 
 
Quanto maior a condutância total, maior é a intensidade da corrente total no circuito (mantendo 
constante a tensão aplicada). Quanto maior for o número de elementos em paralelo, maior será a 
corrente de entrada do circuito. Em outras palavras, à medida que aumenta o número de resistores 
em paralelo, a corrente na entrada do circuito também aumenta, para uma tensão de entrada 
constante. Este efeito é oposto ao que acontece no caso dos resistores em série. 
 
n
n
R
RT 
R
G
1

NT GGGGG  ...321
40 
 
Exemplo 1: Determine a condutância e a resistência equivalente no circuito abaixo. 
 
Solução: 
 
 
 Ou, 
 
Ou, 
 
 
Exemplo 2: Determine a condutância e a resistência totais do circuito mostrado no exemplo 
anterior, se um resistor adicional de 10 Ω for colocado em paralelo com outros elementos. 
Solução: 
 
 
Observa-se que a adição de mais resistores em paralelo, aumenta-se a condutância e diminui-se a 
resistência. 
 
 
Exemplo 3: Determine a resistência total para o circuito abaixo. 
 
SGGGT 5,0167,0333,0
6
1
3
1
21 
 2
5,0
11
T
T
G
R 




 2
63
63.
21
21
RR
RR
RT


 2
2
1
6
3
6
12
1
6
1
2
3
1111
21
T
T
R
RRR
SGT 6,01,05,0
10
1
5,0   667,1
6,0
11
T
T
G
R
41 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Determine a resistência equivalente de cada circuito. 
(a) 
 
Solução: 
 
 
 
(b) 
 
Solução: 
 
 
 
20
19
20
4510
4
5
1
5
4
1
10
2
11111
321



RRRRT
 0526,1
19
20
TR
 4
3
12
n
R
RT
RRRRR  4321
 5,0
4
2
n
R
RT
42 
 
Exemplo 5: Calcule a resistência total do circuito. 
 
 
Solução: 
O circuito foi redesenhado de modo mais conveniente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
3
6'
n
R
RT





 8
81
648
729
729.
42
42"
RR
RR
RT
"' || TTT RRR 





 6,1
10
16
82
82.
"'
"'
TT
TT
T
RR
RR
R
43 
 
Exemplo 6: Determine a resistência total para cada circuito: 
(a) 
 
 
Solução: 
 
 
(b) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor 
de mesmo valor? 
 
 
Solução: 
 
 
O valor de diminui em relação ao circuito do item (a). 
 
 
 
 
 
 
 15
2
30
30||30 TR
 10
3
30
30||30||30 TR
TR
44 
 
(c) Qual o efeito no valor da resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor 
de valor grande em paralelo, conforme mostra a figura abaixo? 
 
Solução: 
 
 
Pequena diminuição no valor de , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a). 
 
 
(d) Qual o efeito sobre a resistência total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de 
valor pequeno em paralelo, conforme figura abaixo? 
 
 
Solução: 
 
Diminuição considerável no valor de , em comparação ao valor de RT do circuito do item (a). 
 
Conclusão: Em todos os casos, a resistência total de um circuito em paralelo diminui quando é 
adicionado um resistor em paralelo, não importando o valor de sua resistência. Observa-se, também, 
que a resistência total é menor que a resistência de menor valor do circuito. 



 778,14
100015
100015
1||151||30||30 TRkk
TR



 099338,0
1,015
1,015
1,0||151,0||30||30 TR
TR
45 
 
Exemplo 7: Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente total . 
(c) As correntes e . 
(d) A potência dissipada em cada resistor. 
(e) A potência fornecida pela fonte comparando o resultado com a potência dissipada pelos 
resistores. 
 
Solução: 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
TI
1I 2I





 6
27
162
189
189.
21
21
RR
RR
RT
A
R
U
I
T
T 5,4
6
27

A
R
U
R
U
I 3
9
27
11
1
1 
A
R
U
R
U
I 5,1
18
27
22
2
2 
WIUIUP 81327.. 1111 
WIUIUP 5,405,127.. 2222 
WIUP TT 5,1215,427. 
WPPPT 5,1215,408121 
46 
 
Exemplo 8: A resistência equivalente do circuito é igual a 4, determine: 
(a) A resistência . 
(b) A tensão da fonte U. 
(c) A corrente total . 
(d) A corrente . 
(e) A potência dissipada em R2. 
 
 
Solução: 
(a) 
 
 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(e) 
 
 
3R
TI
2I
3321
1
20
1
10
1
4
11111
RRRRRT



 10
2
20
20
2
20
125
1
20
1
2
10
1
5
4
11
3
3
R
R
VIRUU 40410. 111 
A
R
U
I
T
T 10
4
40

A
R
U
R
U
I 2
20
40
22
2
2 
WIRP 80)2(20. 22222 
47 
 
5. Lei de Kirchhoff para Corrente 
A leide Kirchhoff para a tensão dá uma relação muito importante entre os valores da tensão ao 
longo de uma malha fechada de um circuito. A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) fornece uma 
relação igualmente importante entre as corrente que chegam a qualquer nó. 
 
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) afirma que “a soma algébrica das correntes que entram e 
saem de um nó é igual a zero”. Em outras palavras, a “soma das corrente que entram em um nó tem 
de ser igual à soma das correntes que deixam este nó”. 
 
Em forma de equação, tem-se: 
 
Fig. 8 - Ilustração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Na figura 8, por exemplo, a área sombreada pode representar um sistema completo, um circuito 
complicado ou simplesmente uma junção de dois ou mais ramos (um nó). Em qualquer dos casos, a 
soma das correntes que entram é igual à soma das corrente que saem, conforme pode ser verificado 
facilmente: 
 
 
saementram II 
AA
IIII
1212
10284
3241



48 
 
A aplicação mais comum desta lei será em junções de dois ou mais caminhos (ramos) para a 
corrente, conforme é mostrado na figura 9. 
 
Fig. 9 - Demonstração da lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente ao nó da figura 9: 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Determine as correntes no circuito abaixo usando a lei de Kirchhoff para 
corrente. 
 
Solução: 
Deve-se trabalhar primeiro com o nó “a”, pois neste caso a única incógnita é . Na junção “b” 
existem duas correntes desconhecidas, I3 e I5, que não podem obviamente serem determinadas a 
partir de uma única aplicação da lei. 
 
 
saementram II 
426 
AA 66 
43 IeI
3I
49 
 
Em “a”: 
 
 
 
 
 
Em “b”: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10: Determine para o circuito abaixo. 
 
Solução: 
Em “a”: 
 
 
 
 
Em “b”: 
 
 
 
saementram II 
321 III 
332 I
AI 53 
saementram II 
453 III 
415 I
AI 64 
5431 ,, IeIII
saementram II 
21 III 
45 1  I
AI 1451 
saementram II 
AII 131 
50 
 
Um resultado esperado, pois estão em série, sendo que a corrente em elementos em série é 
igual. 
 
Em “d”: 
 
 
 
Em “c”: 
 
 
Considera-se o circuito como um todo. Observa-se que a corrente que entra é I = 5 A. A intensidade 
da corrente que deixa o circuito, à direita, é . Os dois valores têm de ser iguais, já que a 
corrente que entra em qualquer sistema tem de ser igual à corrente que sai do sistema. 
 
 
Exemplo 11: Determine as correntes aplicando a lei de Kirchhoff para corrente. 
 
Solução: 
31 ReR
saementram II 
543 III 
AI 541 5 
AII 442 
AI 55 
53 IeI
51 
 
Visto que na junção “b” há duas quantidades desconhecidas e na junção “a” apenas uma, tem que 
se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente primeiro ao nó “a”. O resultado pode então ser aplicado 
ao nó “b”: 
 
Para o nó “a”: 
 
 
 
Para o nó “b”: 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: Encontre o valor e o sentido das correntes no circuito mostrado. 
 
Solução: 
Embora os elementos não estejam em série nem em paralelo, pode-se aplicar a lei de Kirchhoff para 
corrente para determinar todas as correntes desconhecidas. 
 
321 III 
334 I AI 73 
543 III 
517 I
AI 6175 
7643 ,, IeIII
52 
 
Considerando o sistema em sua totalidade, sabe-se que a corrente que entra deve ser igual à corrente 
que sai. Portanto: 
 
Como estão chegando 10A à junção “a” e 12A estão deixando esta mesma junção, tem de estar 
fornecendo corrente a este nó. 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente na junção “a”: 
 
 
No caso do nó “b”, como 12A estão entrando e 8A saindo, logo , também, deve sair deste ponto. 
Portanto: 
 
 
 
Na junção “c”, tem-se saindo e = 4A entrando; logo deve estar saindo. Aplicando a 
lei de Kirchhoff para a corrente ao nó “c”: 
 
 
Verifica-se a consistência dos resultados na junção “d”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
AII 1017 
3I
AI
I
III
21012
1210
3
3
231



4I
812 4
542


I
III
AI 48124 
AI 23  4I 6I
AI
I
III
224
24
6
6
634



AA
A
III
1010
1028
765



53 
 
6. Regra do Divisor de Corrente 
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente mostra que uma corrente que entra em um 
conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre esses elementos. 
 
No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se dividirá igualmente. 
 
Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor resistência será 
percorrido pela maior fração da corrente. 
 
A razão entre os valores das correntes nos dois ramos será inversamente proporcional a razão entre 
as suas resistências. 
 
Por exemplo, se a resistência de um dos resistores de uma combinação em paralelo for o dobro da 
resistência do outro, então a corrente que o atravessa será a metade da corrente que percorre o 
resistor de menor resistência. 
 
Na figura 10, como vale 1 mA e o valor de é seis vezes o de , a corrente através de 
tem de ser 6mA (não havendo necessidade de se efetuar quaisquer outros cálculos). No caso de 
a corrente tem de ser 2mA, pois é o dobro de . A corrente total, , é de 9mA. 
Portanto, conhecendo somente a corrente que percorre , é possível calcular todas as outras 
correntes no circuito, sem ter conhecimento adicional sobre o circuito. 
 
No caso de circuitos para os quais são conhecidos somente os valores dos resistores e a corrente de 
entrada, deve-se utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vários ramos. 
 
Fig. 10 - Ilustração da forma como a corrente se divide entre resistências diferentes. 
 
 
1I 1R 3R 3R
2R
1R 2R 321 III 
1R
54 
 
 
Fig. 11 - Dedução da regra do divisor de corrente. 
 
A corrente de entrada é dada por , em que é a resistência total do circuito. 
Substituindo esta expressão para , em que é a corrente que atravessa o ramo de 
resistência , a fórmula geral para a regra do divisor de corrente é obtida da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Descrevendo em palavras, a corrente que percorre qualquer dos ramos em paralelo é igual ao 
produto da resistência total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da resistência 
no ramo em que se deseja determinar a corrente. 
 
Para a corrente : 
 
 
Para a corrente : 
 
 
E assim por diante. 
)( TI TRU / TR
xx IRU  xI
xR
T
xx
T
T
R
IR
R
U
I 
T
x
T
x I
R
R
I 
1I
T
T I
R
R
I
1
1 
2I
T
T I
R
R
I
2
2 
55 
 
No caso particular de dois resistores em paralelo como mostra a figura 12: 
 
Fig. 12 - Dedução de uma fórmula para a divisão da corrente entre dois resistores em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente para : 
 
 
Ou seja, no caso de dois ramos em paralelo, a corrente através de um deles é igual ao produto da 
resistência no outro ramo pela corrente de entrada, dividido pela soma dos valores das duas 
resistências em paralelo. 
 
 
21
21
RR
RR
RT


1
21
21
1
1
R
I
RR
RR
I
R
R
I
T
T
T 
21
2
1
RR
IR
I T


2I
21
1
2
RR
IR
I T


56 
 
Exemplo 13: Determine a corrente usando a regra do divisor de corrente. 
 
Solução: 
 
 
 
Exemplo 14: Determine o valor da corrente usando a regra do divisor de corrente. 
 
Solução: Existem dois métodos para resolver este problema. 
1º Método: 


 10
10
1
60
6
60
321
3
20
1
2
30
1
1
60
11111
321
T
T
R
RRRR
 
 
Logo: AI
R
R
I T
T 212
60
10
1
1  
 
2º Método: 
A
RR
IR
I
RR
RR
R T 2
1260
1212.
12
50
600
2030
2030.
20//30
231
23
1
32
32
23 









 
 
Os dois métodos forneceram, é claro, a mesma resposta. E tem-se agora uma opção para resolver 
problemas que envolvam mais de dois resistores em paralelo. 
2I
A
RR
IR
I T 2
3
6
12000
)6()4000(
80004000
)6)(4000(
21
1
2 




1I
57 
 
A corrente sempre procura o caminho de menor resistência.1) Para dois resistores em paralelo a maior corrente passará através do resistor de menor resistência. 
2) Uma corrente que entra em uma configuração de vários resistores em paralelo se divide entre 
estes resistores na razão inversa dos valores de suas resistências. Esse efeito é ilustrado a seguir. 
 
 
 
Fig. 13 - Divisão da corrente entre ramos em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
II.3 – CIRCUITOS EM SÉRIE-PARALELO 
Circuitos em série-paralelo, também chamados mistos, são os que contêm componentes ligados em 
série e em paralelo. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2. 
(c) A queda de tensão em cada resistor. 
(d) A potência dissipada em cada resistor. 
(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em kWh, se ficar ligado durante 10h. 
 
 
2) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica IT , I1 e I2, em mA. 
(c) A queda de tensão em cada resistor. 
(d) A potência dissipada em cada resistor, em mW. 
(e) A energia elétrica total consumida pelo circuito, em quilojoules (kJ), se ficar ligado durante 2h. 
 
59 
 
3) Determine: 
(a) A resistência equivalente, em MΩ. 
(b) A corrente elétrica total (IT), em A. 
(c) A queda de tensão em R1 (U1). 
(d) A corrente elétrica em R2 (I2), em A. 
(e) A queda de tensão em R5 (U5). 
(f) A corrente elétrica em R4 (I4), em A. 
(g) A potência total consumida, em mW. 
(h) A energia elétrica total consumida, em joules, supondo que o circuito fique ligado 10h. 
 
 
4) Determine: 
(a) A resistência equivalente, em kΩ. 
(b) A tensão da fonte (U). 
(c) A corrente elétrica I4, em A. 
(d) A queda de tensão (U2). 
 
60 
 
5) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica total (IT). 
(c) A queda de tensão em R1 (UR1). 
(d) A queda de tensão em R3 (UR3). 
(e) A ddp entre os pontos “a” e “b” (Uab). 
(f) A energia elétrica total, em quilojoules (kJ), supondo que o circuito fique ligado 100s. 
 
 
6) Determine: 
(a) A queda de tensão em R1 (UR1). 
(b) A queda de tensão em R2 (UR2). 
(d) A queda de tensão em R3 (UR3). 
 
61 
 
7) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica total (IT). 
(c) A corrente elétrica I6. 
(d) A queda de tensão em R6 (U6). 
(e) A energia elétrica total, em kWh, supondo que o circuito fique ligado 2h. 
 
 
 
 
8) Determine: 
(a) A resistência equivalente. 
(b) A corrente elétrica 21, IeIIT . 
(c) O potencial elétrico Ua. 
 
 
 
62 
 
Respostas: 
(1) (a) RT = 16; (b) IT = 15A; I1 = 10A; I2 = 5A; (c) UR1 = 180V; UR2 = UR3 = 60V; 
(d) PR1 = 2,7kW; PR2 = 600W; PR3 = 300W; (e) Eel = 36kWh; (2) (a) RT = 30k; (b) IT = 5mA; 
I1 = 1mA; I2 = 4mA; (c) UR1 = 50V; UR2 = UR3 = 100V; (d) PR1 = 250mW; PR2 = 100mW; 
PR3 = 400mW; (e) Eel = 5,4kJ; (3) (a) RT = 10M; (b) IT = 12A; (c) U1 = 24V; (d) I2 = 1,6A; 
(e) U5 = 96V; (f) I4 = 6A; (g) PT = 1,44mW; (h) Eel = 51,84J; (4) (a) RT = 120k; (b) U = 12V; 
(c) I4 = 60A; (d) U2 = 8V; (5) (a) RT = 4; (b) IT = 3A; (c) UR1 = 7,5V; (d) UR3 = 9V; 
(e) Uab = 1,5V; (f) Eel = 3,6kJ; (6) (a) UR1 = 12V; (b) UR2 = 7V; (c) UR3 = 15V; (7) (a) RT = 8; 
(b) IT = 30A; (c) I6 = 10A; (d) U6 = 20V; (e) Eel = 14,4kWh; (8) (a) RT = 4; (b) IT = 9A; I1 = 6A; 
I2 = 3A; (c) Ua = 6V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
II.4 – CURTO-CIRCUITO 
Provoca-se um curto-circuito entre dois pontos de um circuito quando esses pontos são ligados por 
um condutor de resistência desprezível. 
 
O exemplo 1 apresenta resistores em curto-circuito nos itens (a) e (b). Porém, não há curto-circuito 
no item (c), pois nesse caso os três resistores estão em paralelo. 
 
Exemplo 1 – Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
(a) 
 
 
 
RAB = 22 
 
 
 
(b) 
 
 
 
RAB = 11 
 
 
 
(c) 
 
 
 
RAB = (11/3) 
64 
 
Exemplo 2 – Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B. 
(a) 
 
 
RAB = 10 
 
(b) 
 
 
RAB = 32 
 
(c) 
 
RAB = 2 
65 
 
(d) 
 
 
RAB = 2 
 
(e) 
 
 
RAB = 1 
 
(f) 
 
RAB = 8 
66 
 
(g) 
 
RAB = 2,5 
 
(h) 
 
RAB = 2 
 
(i) 
 
 
RAB = 5 
 
(j) 
 
RAB = 6 
67 
 
II.5 – AS LEIS DE KIRCHHOFF 
Considere um circuito elétrico constituído de três fontes de tensão (E1, r1), (E2, r2) e (E3, r3) e de 
resistores elétricos R1, R2 e R3, conforme o exemplo abaixo. 
 
 
Chama-se nó o ponto no qual a corrente elétrica se divide. 
 
Os trechos de circuitos entre dois nós consecutivos são denominados ramos. 
 
Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha. 
 
No circuito elétrico apresentado acima, como exemplo, são: 
Nós B e E. 
Ramos: BAFE, BE e BCDE. 
Malhas: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA. 
 
A cada ramo do circuito elétrico atribui-se um sentido de corrente. Esse sentido, embora arbitrário, 
deve ser coerente com o elemento de circuito do ramo. Sendo uma fonte de tensão, a corrente 
elétrica entra pelo terminal negativo e sai pelo terminal positivo. Sendo um resistor, a corrente entra 
pelo terminal positivo e sai pelo negativo. 
 
A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos nós estabelece que “em um nó, a soma das intensidades de 
corrente que chegam é igual a soma das intensidades de corrente que saem”. 
 
 
 
  saemchegam II
68 
 
A lei dos nós aplicada no nó “B” fornece: 
 (1) 
 
Essa lei aplicada ao nó “E” leva à mesma equação anterior. 
 
 
Conhecendo os valores de tensão das fontes e dos resistores, há três incógnitas ( ), logo, são 
necessárias três equações. Como já existe uma, , ficam faltando duas equações. Para 
solucionar, escolhem-se duas das três malhas existentes e adota-se um sentido, que nesse caso será 
aplicado o horário (). 
 
Malha ABEFA: 
 (2) 
 
 
Malha BCDEB: 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, é obtido o sistema de duas equações com duas incógnitas: 
 
 
 
321 iii 
321 ,, iii
321 iii 
0.... 1222211111  iREiriRirE
21221211 ..)( EEiriRRr 
0... 33333222  irEiRirE
3233322 .)(. EEirRir 
321 iii 
32213322 )(.)(. EEiirRir 
322323131322 ..... EEiriRiriRir 
322332133 .)(.)( EEiRrrirR 
21221211 ..)( EEiriRRr 
322332133 .)(.)( EEiRrrirR 
69 
 
Exemplo 1: Determine as intensidades e os sentidos das correntes em todos os ramos. 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes : 
A corrente no sentido horário na malha da esquerda. 
A corrente no ramo central no sentido para cima. 
A corrente no sentido horário na malha da direita. 
 
 (1) 
 
 
 
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 
321 ,, iii
1i
2i
3i
321 iii 
0133210 21  ii
101332 21  ii
332 21  ii
05,3414313 332  iii
5,3131453 32  ii
5,2353 32  ii
5,23)(53 212  iii
5,23553 212  iii
5,2385 21  ii
)10(332 21  ii
)4(5,2385 21  ii
70 
 
 
 
 
 
 
 
Uma equação deve ser escolhida, para encontrar a corrente . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determine as intensidades das correntes . 
 
 
Solução: 
 (1) 
 
 
 (2) 
303020 21  ii
943220)( 21  ii
12462 2 i
Ai 2
62
124
2 
1i
332 21  ii
3)2(32 1  i
632 1  i
32 1  i
Ai 5,11 
213 iii 
Ai 5,325,13 
321 ,, iii
321 iii 
040208210 122  iii
)2(501020 21  ii
25510 21  ii
71 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0542040 331  iii
45520 31  ii
45)(520 211  iii
455520 211  iii
45525 21  ii
25510 21  ii
45525)( 21  ii
7035 1 i
Ai 2
35
70
1 
25510 21  ii
255)2(10 2  i
20255 2 i
55 2 i
Ai 1
5
5
2 
321 iii 
12213  iii
Ai 13 
72 
 
Exemplo 3: Determine as intensidadesdas correntes . 
 
 (I) 
 
 
 
 
 (II) 
 
 
 
 
 
 
 
 (III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
321, IeII
321 III 
0655475 21  II
657554 21  II
1054 21  II
1054 21  II
01653565 332  III
1636565 32  II
5265 32  II
5265 32  II
  5265 212  III
52665 212  III
52116 21  II
52116 21  II 2084424)4( 21  II
1054 21  II 603024)()6( 21  II
14874 2 I AI 2
74
148
2 
1054 21  II
10)2(54 1 I
2010104 1 I AI 5
4
20
1 
AIII 725213 
73 
 
Exemplo 4: A intensidade de corrente vale 0,2A. Determine e . 
 
Solução: 
 (1) 
 
 
 
 
 (2) 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1i 32 , ii 3R
23 2,0 ii 
053 331  iRi
0)2,0()2,0()5(3 23  iR
0.2,013 233  iRR
2.2,0 233  iRR
055. 233  iiR
055)2,0( 223  iiR
55.2,0 2233  iiRR
55.2,0 2233  iiRR
2.2,0)( 233  iRR
35 2 i Ai 6,0
5
3
2 
Aii 8,06,02,02,0 23 
2.2,0 233  iRR
2)6,0(2,0 33  RR
28,0 3 R
 5,2
8,0
2
3R
74 
 
Exemplo 5: Determine a diferença de potencial BA UU  . 
 
 
Solução: 
Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes 321 ,, iii : 
A corrente 1i no sentido horário na malha da esquerda; 
A corrente 2i no ramo central no sentido para baixo; 
A corrente 3i no sentido horário na malha da direita. 
 
 
321 iii  (1) 
 
082010 21  ii 
20810 21  ii 
20810 21  ii (2) 
 
01068 32  ii 
0)(1068 212  iii 
0101068 212  iii 
61810 21  ii (3) 
75 
 
20810 21  ii 
61810 21  ii 
2626 2 i 
 
Ai 1
26
26
2  
 
20810 21  ii 
20)1(810 1 i 
)1(82010 1 i 
82010 1 i 
1210 1 i 
 
Ai 2,1
10
12
1  
 
213 iii  
213 iii  
12,13 i 
Ai 2,03  
 
ABBA UUU  
28iU AB  
18ABU 
VU AB 8 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
Exemplo 6: Determine . 
 
 
 
 
 
 
 (I) 
 
 
 
 
 
 
 
 (II) 
 
 
 (+) 
 
 
 
 
 
 
321, IeII
321 III 
05130515180 121  III
050520 21  II
50520 21  II
08100125130 332  III
0205230 32  II
230205 32  II
230)(205 212  III
23020205 212  III
5)(2302520 21  II
4654 21  II
50520 21  II
4654 21  II
9624 1 I  AI 4
24
96
1 
4654 21  II  465)4(4 2  I
16465 2 I  305 2 I
AI 6
5
30
2   AIII 1064213 
77 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Determine 321, IeII . 
 
 
2) Determine 321, IeII . 
 
 
3) Determine 321, IeII . 
 
 
Respostas: 
(1) I1 = 3A; I2 = 2A; I3 = 5A; (2) I1 = 8A; I2 = 20A; I3 = 12A; (3) I1 = 4A; I2 = 10A; I3 = 6A 
78 
 
CAPÍTULO III – CAPACITOR 
 
1. Introdução 
O capacitor é bem diferente do resistor no que diz respeito à sua função, princípio de 
funcionamento e estrutura interna. Ao contrário do resistor, o capacitor apenas exibe seu 
comportamento característico quando ocorrem variações de tensão no circuito em que se encontra. 
Além disso, se considerar a situação ideal, não dissipa energia, como o resistor, mas armazena e 
pode devolvê-la mais tarde ao circuito. 
 
 
2. Capacitor 
O capacitor é um elemento constituído por dois condutores separados por um material isolante 
(dielétrico). Estes dois elementos podem assumir diversas formas. Um exemplo simples é o 
capacitor de placas paralelas, constituído por dois condutores planos separados por um dielétrico. 
 
Na figura 1a, uma bateria U, uma chave S, um capacitor descarregado C e fios de interligação 
formam um circuito elétrico. O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da figura 1b, 
nos quais os símbolos para uma bateria, uma chave e um capacitor representam esses dispositivos. 
A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os seus terminais. O terminal de potencial 
mais alto é indicado pelo sinal + e frequentemente é chamado de potencial positivo; o terminal de 
potencial mais baixo é indicado pelo sinal – e frequentemente é chamado de terminal negativo. 
 
Fig. 1 
79 
 
3. Capacitância 
A capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas 
placas, em outras palavras, é a sua capacidade de armazenamento de carga elétrica. 
 
O valor da capacitância depende apenas da geometria das placas e não da sua carga ou da diferença 
de potencial. 
 
Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em 
suas placas por uma diferença de potencia de 1 volt entre elas. 
 
O farad recebeu este nome em homenagem a Michael Faraday, um químico e físico inglês do século 
XIX. Na prática ele se mostra, entretanto, uma unidade de medida muito grande para a maioria das 
aplicações; assim, é mais comum usar o microfarad (F), nanofarad (nF) ou o picofarad (pF). 
 
 Onde: 
 é a capacitância, em farads (F). 
 é a carga elétrica, em coulombs (C). 
 é a tensão elétrica entre os terminais do capacitor, em volts (V). 
 
 
4. Cálculo da Capacitância 
4.1 – Capacitor de Placas Paralelas 
A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da separação entre as placas 
e do dielétrico. Para um capacitor com duas placas paralelas, conforme mostra a figura 2, a sua 
capacitância é: 
 
 
Fig. 2 
 
U
q
C 
C
q
U
80 
 
 
 
Onde: C  é a capacitância, em farad (F). 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m). 
 A  é a área da placa, em metros quadrados (m
2
). 
 
d  é a distância entre as placas, em metros (m). 
 
 
4.2 – Capacitor Cilíndrico 
A figura 3 mostra, em corte transversal, um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por 
dois cilindros coaxias de raios a e b. 
 
O cálculo da capacitância de um capacitor cilíndrico, assim como a de um capacitor de placas 
paralelas, depende apenas de fatores geométricos, neste caso L, b e a. Considerando, L » b. 
 
Fig. 3 – Vista superior de um capacitor cilíndrico. 
 
 
 
Onde: C  é a capacitância, em farad (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m). 
 L  é o comprimento do capacitor, em metros (m). 
 a  é o raio do cilindro menor, em metros (m). 
 b  é o raio do cilindro maior, em metros (m). 
d
A
C  
)/(ln
2
ab
L
C 
81 
 
4.3 – Capacitor Esférico 
A figura 3 também serve para ilustrar um capacitor esférico em um corte transversal passando pelo 
seu centro. O capacitor esférico é formado por duas cascas esféricas concêntricas, de raios a e b. 
 
O cálculo da capacitância de um capacitor esférico é igual a: 
 
 
 
Onde: 
C  é a capacitância, em farad (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farad/metro (F/m). 
a  é o raio da esfera menor, em metros (m). 
b  é o raio da esfera maior, em metros (m). 
 
 
4.4 – Uma Esfera Isolada 
A capacitância atribuída a um único condutor esférico isolado de raio R supondo que “a placa que 
está faltando” é uma esfera condutora de raio infinito. Para encontrar a capacitância do condutor 
isolado, em primeiro reescreve-se a equação do cálculo do capacitor formado por duas cascas 
esféricas. 
 
 
 
Se considerar e substituir “a” por R, encontra-se a equação para o cálculo da capacitância 
da esfera isolada: 
 
 
 
Onde: C  é a capacitância, em farad (F) 
  permissividade ou constante dielétrica do material isolante, em farads/metro (F/m). 
 R  é o raio da esfera, em metros (m). 
 
ab
ba
C

 4
ab
ba
C

 4
b
RC 4
82 
 
4.5 – Capacitor Eletrolítico 
Um tipo especial de capacitor; adequado para altos valores de capacitância (da ordem de micro ou 
milifarads), é o eletrolítico, representado pelos símbolos da figura 4. 
 
Fig. 4 
 
A diferença deste capacitor para os demais, além da alta capacitância que permite maior 
armazenamento de cargas elétricas, é a polarização das placas, sendo uma positiva e outra negativa. 
Ao contráriodos capacitores comuns que são conectados em qualquer posição (os terminais não 
têm polaridade) e com qualquer tipo de tensão (CA ou CC) o eletrolítico só pode ser instalado em 
tensão CC com o terminal positivo ligado ao pólo positivo e o terminal negativo ao pólo negativo, 
conforme figura 5. 
 
Fig. 5 
 
Se um capacitor eletrolítico for ligado em tensão alternada ou com polarização invertida ele 
"estoura". É preciso ter cuidado, pois esta situação costuma provocar acidentes perigosos. 
 
 
5. Rigidez Dielétrica 
Para cada dielétrico existe um valor de campo elétrico que, se aplicado ao dielétrico, quebrará 
ligações moleculares internas, permitindo a passagem de corrente. A tensão por unidade de 
comprimento (intensidade do campo elétrico) necessária para que haja uma condução em um 
dielétrico é uma indicação de sua rigidez dielétrica e é denominada tensão de ruptura. Quando a 
ruptura ocorre, o capacitor passa a ter características muito semelhantes às de um condutor. Um 
exemplo típico de ruptura de dielétrico é o raio, que ocorre quando a diferença de potencial entre a 
nuvem e a terra se torna tão grande que pode haver escoamento de carga de uma para outra pela 
atmosfera, que se comporta como o dielétrico. 
83 
 
A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico “permite” o estabelecimento de 
linhas de campo no seu interior. Quanto maior o valor da permissividade, maior a quantidade de 
cargas depositadas nas placas. 
 
Para o vácuo, o valor de  (representada 0) é de 8,85 x 10
-12
 F/m. A razão entre a permissividade de 
qualquer dielétrico e a do vácuo é chamada de permissividade relativa (r). 
 
 
 
O valor de  para qualquer material é, assim, dado por: 
 
O valor de r é uma grandeza adimensional. A Tabela 2 mostra os valores da permissividade 
relativa para vários materiais isolantes. 
 
Tabela 2 – Permissividade relativa (r) de várias substâncias. 
Dielétrico r 
Vácuo 1,0 
Ar 1,0006 
Teflon 2,0 
Papel parafinado 2,5 
Borracha 3,0 
Ascarel 4,0 
Mica 5,0 
Porcelana 6,0 
Baquelite 7,0 
Vidro 7,5 
Água destilada 80,0 
Cerâmica 7500,0 
 
0

 r
0. r
84 
 
6. Corrente de Fuga 
O caso ideal é quando o fluxo de elétrons ocorre em um dielétrico apenas quando a tensão de 
ruptura é alcançada. Na realidade, existem elétrons livres em todos os dielétricos devido a 
elementos de impureza do material. 
 
Quando é aplicada uma tensão entre as placas de um capacitor, uma corrente de fuga, devido aos 
elétrons livres, flui de uma placa para outra. Entretanto, normalmente esta corrente é tão pequena 
que pode ser ignorada para a maioria das aplicações práticas. Este efeito é representado por um 
resistor em paralelo com o capacitor, como mostra a figura 6(a), cujo valor é, tipicamente, maior 
que 100 M. No entanto, alguns capacitores, como os do tipo eletrolítico, têm correntes de fuga 
relativamente altas. Quando carregados e depois desconectados do circuito, esses capacitores 
perdem a carga num tempo na ordem de segundos devido ao fluxo de cargas (corrente de fuga) de 
uma placa para a outra, conforme figura 6(b). 
 
Fig. 6 – Demonstração do efeito da corrente de fuga. 
 
 
7. Simbologia dos Capacitores 
Assim como os resistores, todos os capacitores podem ser classificados em duas categorias: fixos e 
variáveis. A linha curva representa a placa que é normalmente conectada no ponto de potencial mais 
baixo. 
 
Fig. 7 – Simbologia de capacitores. 
 
Capacitor Fixo Capacitor Variável 
 
85 
 
8. Capacitores em Série e em Paralelo 
Tanto os capacitores, como os resistores, podem ser conectados em série e em paralelo. Um 
aumento nos valores de capacitância pode ser conseguido conectando os capacitores em paralelo, 
enquanto uma diminuição é obtida conectando-os em série. No caso de capacitores em série, a carga 
é a mesma em todos os capacitores. 
 
Figura 8 – Capacitores em série 
 
 
 
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões ao longo da malha, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância total de dois capacitores em série é: 
 
 
A capacitância total de “N” capacitores iguais a “C”em série é: 
 
NT QQQQQ  321
NUUUUU  ...321
C
Q
U 
N
N
T
T
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
 ...
3
3
2
2
1
1
NT CCCCC
1
...
1111
321

 TC
21
21 .
CC
CC
CT


 TC
N
C
CT 
86 
 
No caso de capacitores em paralelo, a tensão é a mesma entre os terminais de todos os capacitores e 
a carga total é a soma das cargas dos capacitores. 
 
 
 
Figura 9 – Capacitores em paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1 – Para o circuito abaixo, determine: 
(a) A capacitância total. 
(b) A carga elétrica em cada capacitor. 
(c) A tensão entre os terminais de cada capacitor. 
 
 
(a) 
 
 
NT QQQQQ  ...321
UCQ .
NNT UCUCUCUCUC ........ 332211 
NUUUUE  ...321
NT CCCCC  ...321
8
1
200
2041
10
1
50
1
200
11111
321



CCCCT
FCT 8
87 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
2 - Para o circuito abaixo, determine: 
(a) A capacitância total. 
(b) A carga elétrica em cada capacitor. 
(c) A carga total. 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
CUCQ TT 48060108.
6  
CQQQQT 480321 
V
C
Q
U 4,2
10200
10480
6
6
1
1
1 





V
C
Q
U 6,9
1050
10480
6
6
2
2
2 





V
C
Q
U 48
1010
10480
6
6
3
3
3 





FCCCCT 2060120060800321 
CmUCQ 4,384810800. 611 

CmUCQ 88,2481060. 622 

CmUCQ 6,5748101200. 633 

mCUCQ TT 88,9848102060.
6  
88 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. A capacitância C de um capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma quando (a) a carga 
q sobre ele é dobrada e (b) a diferença de potencial V entre suas placas é triplicada? 
 
2. Para capacitores carregados pela mesma bateria, a carga armazenada pelo capacitor aumenta, 
diminui ou permanece a mesma em cada uma das seguintes situações? 
(a) A separação entre as placas de um capacitor de placas paralelas é aumentada. 
(b) O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico é aumentado. 
(c) O raio da casca esférica externa de um capacitor esférico é aumentado. 
 
3. Uma bateria de potencial V armazena uma carga q sobre uma combinação de dois capacitores 
idênticos. Qual a diferença de potencial entre as placas e a carga sobre qualquer um dos capacitores 
se os capacitores estiverem (a) em paralelo e (b) em série? 
 
4. O capacitor da figura abaixo possui uma capacitância de 25F e está inicialmente descarregado. 
A bateria fornece uma diferença de potencial de 120V. Depois de a chave S ser fechada, quanta 
carga passará por ela? 
 
 
5. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 6F, C2 = 3F; 
C3 = 4F. Determine: 
(a) A capacitância equivalente da associação. 
(b) A carga total armazenada. 
(c) A tensão em cada capacitor. 
(d) A carga em cada capacitor. 
 
 
 
 
89 
 
6. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 7F; C2 = 8F; 
C3 = 10F. Determine: 
(a) A capacitância equivalente da associação. 
(b) A carga total armazenada. 
(c) A tensão em cada capacitor. 
(d) A carga em cada capacitor. 
 
 
 
7. No circuito abaixo suponha que a tensão de entrada seja igual a 120V, C1 = 4F; C2 = 8F; 
C3 = 6F. Determine: 
(a) A capacitância equivalente da associação. 
(b) A carga total armazenada. 
(c) A tensão em cada capacitor. 
(d) A carga em cada capacitor. 
 
 
 
8. Na figura baixo, cada capacitor possui C = 4F e Uab = 28V. Calcule: 
(a) A capacitância equivalente. 
(b) A carga de cada capacitor. 
(c) A diferença de potencial através de cada capacitor. 
(d) A diferença de potencial entre os pontos a e d. 
 
 
 
9. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de 8,2cm de raio e 1,3mm de 
separação. 
(a) Calcule a capacitância. Dado: 0 = 8,85 x 10
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