Resumo de física

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Aluno: Marcos Vinicius de Sousa Silva 
Matrícula: 496761 
Curso: Engenharia Mecânica 
 
As variáveis da rotação 
Para um eixo fixado num plano, que quando rotacionado forma um arco de circunferência 
(s), forma um ângulo 𝜃 à medida que o raio (r) forma esse ângulo. 
Consideramos o ângulo sendo a posição, e esse ângulo (em radianos), é calculado da 
seguinte forma: 
𝜃 = 
𝑠
𝑟
 
 Esse ângulo é medido no sentido anti-horário, ou seja, a rotação é positiva quando o 
ângulo é cresce no sentido anti-horário. 
Para entrarmos no próximo tópico, temos que entender o deslocamento angular, que é 
basicamente a diferença entre o ângulo final e o inicial: 
∆𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃0 
Dessa forma, podemos iniciar a cinemática da rotação: 
Por definição sabemos que a velocidade é a variação do espaço (no caso da rotação, a 
variação do ângulo) em relação ao tempo. Então a velocidade angular (�̅�) média (unidade 
no S.I rad/s), é dada por: 
�̅� = 
∆𝜃
∆𝑡
 
 
Se temos a velocidade angular média, temos também a velocidade angula instantânea (𝜔): 
𝜔 = 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
E se chegamos ao conceito de velocidade angular, temos também a aceleração angular 
média (�̅�) (unidade no S.I é dada por rad/s²): 
�̅� =
∆𝜔
∆𝑡
 
 
E como temos a aceleração angular média, temos a velocidade angular instantânea (α): 
𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 
 
Observação: O movimento é positivo no sentido anti-horário e positivo no sentido horário 
Se observamos, para um corpo 1 girando num eixo e um corpo 2 girando em um mesmo 
eixo, observamos que o ângulo é o mesmo por todo eixo, e se movem ao mesmo tempo, 
então chegamos à conclusão de que a velocidade angular é igual para todos os corpos 
girando em um mesmo eixo. 
 
Relação entre as variáveis lineares e angulares: 
Como já vimos: 
𝜃 = 
𝑠
𝑟
→ 𝑠 = 𝜃. 𝑟 
Se derivarmos em ambos os lados, chegaremos a: 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝑟
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 
Sabemos que ds/dt é a velocidade e 𝑑𝜃/𝑑𝑡 é a velocidade angular, então concluímos que: 
 
𝑣 = 𝑟. 𝜔 
 
Para uma aceleração angular constante: 
𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 
𝜔2 = 𝜔0
2 + 2𝛼∆𝜃 
𝜃 = 𝜃𝑡 + 𝜔0𝑡 + 
1
2
𝛼𝑡² 
Sabemos que quando uma partícula tem uma aceleração constante: 
Temos aceleração centrípeta, dada por: 
𝑎𝑐 = 
𝑣²
𝑟
 
Onde o vetor dessa aceleração aponta para o centro, mas ainda assim podemos expressá-
la por: 
𝑎𝑐 = 𝜔²𝑟 
E quando v não é constante temos a aceleração tangencial: 
𝑎𝑡 = 𝑟. 𝛼 
 
 
Energia cinética para rotação e momento de inércia: 
Até onde vimos, a energia cinética é dada por: 
𝐾 =
𝑚𝑣²
2
 
E na relação entre as grandezas lineares e angulares, vimos que: 
𝑣 = 𝑟. 𝜔 
Para várias partículas teríamos um somatório da energia de cinética de cada uma, da 
seguinte forma: 
𝐾 = 
1
2
.∑𝑚𝑣² 
Se substituirmos a relação de ambas as grandezas chegaremos a: 
 
𝐾 = 
1
2
.∑𝑚(𝑟. 𝜔)2 
 
 
Por fim: 
𝐾 = 
1
2
. (∑𝑚𝑟²)𝜔² 
 
Mas ainda podemos simplificar a equação com uma grandeza chamada momento angular 
(𝐼) o S.I é dado em kg.m², que pode ser expressa pela equação: 
 
𝐼 = ∑𝑚𝑟2 
Essa grandeza representa a distribuição de massa ao longo do eixo, e assim podemos 
simplificar a energia cinética: 
 
𝐾 = 
𝐼𝜔²
2
 
 
Para um sistema com várias partículas, temos: 
𝐼 = ∫𝑟2𝑑𝑚 
 
Usando a mesma chegamos ao teorema dos eixos paralelos: 
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀ℎ² 
Onde M é a massa e h é a distância entre os eixos. 
 
Torque e a segunda lei de Newton para rotação: 
Para uma força aplicada a um eixo com um ângulo: 
𝜏 = 𝑟. 𝐹. 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
 
O torque (no S.I o torque é medido em N.m) é a força que está associada a rotação de um 
corpo, por exemplo quando abrimos uma porta fazemos mais força do ponto mais longe 
da maçaneta, e menos foça na maçaneta. 
 
 
 
 
 
Veja a imagem abaixo como representamos 
 
Como temos que decompor a for e sabemos que a força no eixo de y vale F vezes o seno 
do ângulo, temos: 
𝜏 = 𝑟. 𝐹𝑦 
 
 
 
 
Ainda podemos simplificar a fórmula com a definição de braço de alavanca: 
 
Onde r.sen 𝜃, é o braço de alavanca, chamamos de 𝑟𝑎, com isso temos: 
𝜏 = 𝐹. 𝑟𝑎 
Para um sistema de vários torques: 
𝜏𝑅 = ∑𝜏𝑖 = ∑𝑟𝑖𝐹𝑖𝑡
𝑁
𝑖
𝑁
𝑖
 
𝐹𝑖𝑡 é a força da aceleração tangencial, entretanto, a aceleração tangencial é produto do 
raio, pela aceleração angular. 
𝜏𝑅 = 𝛼 ∑𝑚𝑖(𝑟𝑖)²
𝑁
𝑖
 
Só que o somatório é o momento angular, então: 
𝜏𝑅 = 𝐼. 𝛼 
 
Trabalho e energia cinética da rotação 
Podemos considerar o trabalho com: 
𝑊 = ∫ 𝜏𝑑𝜃
𝜃𝑓
𝜃0
 
Podemos considerar que apenas a força da aceleração tangencial realiza trabalho em uma 
partícula: 
E como vimos em energias e potência, temos: 
𝑃 = 
∆𝑊
∆𝑡
 
𝑃 =
𝑑𝑊
𝑑𝑡
 
𝑃 = 𝜏𝜔 
Rolamento 
Se tivermos como exemplo uma bicicleta, vemos que o a sua rotação em um determinado 
ponto a outro, o arco de circunferência que se forma durante a rolagem, é igual a distância 
que ela percorreu de um ponto a outro. 
Com a velocidade do centro de massa: 
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑟 
Onde temos uma velocidade v: 
𝑣 = 2𝑣𝐶𝑀 
Forças e energia de rotação 
Ainda no exemplo da bicicleta, temos o eixo da trajetória e ponto central, que é o CM, a 
energia neste ponto é dada por: 
𝐾 = 
𝐼𝐶𝑀 . 𝜔²
2
+
𝑀𝑟²𝜔²
2
 
Essa equação vem a partir do teorema dos eixos paralelos descrito anteriormente. 
Para uma roda, ela não desliza por conta da força de atrito. Relacionando a aceleração 
linear com a angular, temos: 
𝑎𝐶𝑀 = 𝛼. 𝑟 
 
Se uma força é aplicada em um ponto P, e a roda desliza, essa força é a força de atrito 
cinético. 
Se temos uma rolagem em uma rampa: 
𝑓𝑠 − 𝑀. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑀. 𝑎𝐶𝑀𝑥 
 
𝑎𝐶𝑀𝑥 = −
𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
1 + 
𝐼𝐶𝑀
𝑀𝑟2
 
O ioiô 
Em um ioiô, temo vários conceitos, com energia potencial, energia cinética de rotação, 
tração, força gravitacional, etc... 
Quando o ioiô desce, temos que o seu ângulo com a horizontal é 90°, de forma que a 
aceleração linear fique: 
𝑎𝐶𝑀𝑥 = −
𝑔
1 + 
𝐼𝐶𝑀
𝑀𝑟2
 
Além de termos 2 raios de diferença, o raio de dentro, e o de fora. Em vez de a força de 
atrito freia o ioiô, o que freia é a tração da corda. 
Momento angular 
Em um o eixo O, que possui uma partícula, temos que o momento angular (ℓ): 
ℓ⃗ = 𝑟 . 𝑝 
ℓ⃗ = 𝑚. (𝑟 . 𝑣 ) 
Em modulo, temos: 
ℓ = 𝑚. 𝑟. 𝑣. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
Como tem a segunda lei de Newton para o momento linear, podemos usa-lá com o 
momento angular: 
𝜏𝑅⃗⃗⃗⃗ =
𝑑ℓ⃗ 
𝑑𝑡
 
Para um corpo rígido temos que o momento �⃗� , é a soma dos momentos de todos os pontos. 
Então o torque resultante: 
𝜏𝑅 =
𝑑�⃗� 
𝑑𝑡
 
Podemos calcular L a partir de 
𝐿 = 𝐼𝜔 
Assim como no momento linear podemos conservar o momento angular da mesma forma: 
Se L é constante, então: 
�⃗� 0 = �⃗� 𝑓 
Observação: Para um sistema isolado. 
Giroscópio 
Taxa de precessão: 
Ω =
𝑀𝑔𝑟
𝐼𝜔
 
 
A precessão é taxa de mudança no eixo rotação de um objeto.