bizu matematica e rlm

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Aula 10
Bizu Estratégico p/ PC-DF
Autor:
Aula 10
3 de Março de 2020
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Bizu Estratégico - Matemática e Raciocínio 
Lógico (PC-DF) 
 
Fala, pessoal. Tudo certo? 
Neste material, trazemos uma seleção de bizus da disciplina de Matemática e Raciocínio Lógico. 
O objetivo é proporcionar uma revisão rápida e de alta qualidade aos alunos através de tópicos do 
conteúdo programático que possuem as maiores chances de incidência em prova. 
Todos os bizus destinam-se a alunos que já estejam na fase de revisão (que já estudaram bastante o 
conteúdo teórico da disciplina e, nos últimos dias, precisa revisar por algum material bem curto). 
Este material também pode ser considerado, de início, como o seu próprio resumo. Mas, 
posteriormente, recomendamos que faça uma personalização, fazendo registros ao longo do 
material (ou, a partir deste material, no seu próprio material de resumo), adequando-o às suas 
necessidades e vulnerabilidades de conhecimento. 
Coach Kauê Salvaterra 
Coach Leonardo Mathias 
 
E como estruturamos o seu bizu? Simples, através de uma análise estatística dos assuntos mais 
cobrados pela banca Cebraspe, na área policial, no âmbito do seu edital. Veja abaixo: 
 
Análise estatística - Matemática (PC-DF) 
Assunto Questões Percentual 
Princípios de contagem 41 12% 
Conjuntos 35 10% 
Porcentagens 28 8% 
Equações de 1º grau 17 5% 
Razões e proporções e regra de 3 17 5% 
 
 
 
 
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Análise estatística - Raciocínio Lógico (PC-DF) 
Assunto Questões Percentual 
Lógica de proposições 106 53% 
Lógica de argumentação 67 33% 
 
Agora ficou fácil perceber o que vamos atacar, certo? E sigamos juntos! 
 
Matemática e Raciocínio Lógico (PC-DF) 
Assunto Bizus Caderno de Questões 
Lógica de proposições 1 a 7 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14eqO 
Lógica de argumentação 8 a 12 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14epn 
Princípios de contagem 13 a 16 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14aOG 
Conjuntos 17 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14enr 
Porcentagens 18 a 20 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14eoF 
Equações de 1º grau 21 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14jvQ 
Razões e proporções e regra de 3 22 a 27 https://www.tecconcursos.com.br/s/Q14lNo 
 
 
Lógica de Proposições 
 
1) Proposições 
 
Proposição: toda oração declarativa que pode ser valorada em V ou F, mas não as duas. 
• Tem que ter VERBO; Mas nem toda sentença com verbo é proposição; 
• Não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa, optativa ou paradoxo; 
• Não pode ser sentença aberta; 
o Para o Cebraspe, é toda sentença com incógnita ou Ele... Exemplos: 
� x + 5 = 10 - Sem saber o valor de "x", não podemos classificar em V ou F; 
� Ele ganhou o Oscar - Sem saber quem é "ele", não podemos classificar em V 
ou F. 
 
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2) Operadores lógicos 
 
Estrutura 
Lógica 
É verdade quando É falso quando 
p ∧ q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso, ou ambos 
p V q um dos dois for verdade, ou ambos p e q, ambos, são falsos 
p V q p e q tiverem valores lógicos diferentes p e q tiverem valores lógicos iguais 
p → q nos demais casos p é verdade e q é falso 
p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes 
 
CUIDADO! é muito comum que o "se..., então..." apareça representado por outras expressões, 
como: 
• "Sempre que vou ao shopping, faço compras" é o mesmo que "Se vou ao shopping, então 
faço compras"; 
• "Penso, logo existo" é o mesmo "Se penso, então existo"; 
• "Quando vou à praia, bebo" é o mesmo que "Se vou à praia, então bebo"; 
• "Bebo somente se vou à praia" é o mesmo que "Se uma pessoa é recifense, então ela é 
pernambucana"; 
• "A, pois B" é o mesmo que "Se B, então A". 
 
3) Tabelas-Verdade 
 
 
Nº de linhas da tabela-verdade = 2nº de proposições simples 
 
• Negação (~p) 
� O modificador é um operador lógico que “troca” o valor lógico das proposições. 
� Tabela verdade: 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
 
 
• Conjunção (� ∧ �) 
� A conjunção � ∧ � é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma 
delas for falsa então � ∧ � é falsa. 
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� Tabela verdade: 
 
p q ���� ∧∧∧∧ ���� 
F F F 
F V F 
V F F 
V V V 
 
 
• Disjunção Inclusiva (� ∨ �) 
� A disjunção inclusiva � ∨ � é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q 
é verdadeira; � ∨ � é falsa se e somente se ambas p e q são falsas; 
� Tabela verdade: 
 
p q p ∨∨∨∨ ���� 
F F F 
F V V 
V F V 
V V V 
 
• Disjunção Exclusiva (� ∨ �) 
� A disjunção exclusiva � ∨ � é verdadeira se e somente se apenas uma das 
proposições p ou q é verdadeira; � ∨ � é falsa se ambas forem verdadeiras ou 
falsas. 
� Tabela verdade: 
 
p q ���� ∨∨∨∨ ���� 
F F F 
F V V 
V F V 
V V F 
 
• Condicional (� → �) 
� O condicional � → � é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso 
contrário, � → � é verdadeiro. 
� Tabela verdade: 
Exemplo: 
 p: ����	 
	�á �� França. 
~p: ����	 não 
	�á �� França. 
 
Exemplo: 
� ∨ �: Vou à festa ou não me chamo Fulano 
Exemplo: 
� ∨ �: Ou hoje é sexta-feira ou é sábado. 
 
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p q ���� → ���� 
F F V 
F V V 
V F F 
V V V 
 
• Bicondicional (� ↔ �) 
� O bicondicional é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos 
falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes. 
� Tabela verdade: 
 
p q ���� ↔ ���� 
F F V 
F V F 
V F F 
V V V 
 
 
 
4) Tautologia, Contradição e Contingência 
 
• Tautologia: proposição composta que é sempre verdadeira independentemente dos 
valores lógicos das proposições simples que a compõem. 
 
• Contradição: proposição composta não pode ser verdadeira, ou seja, quando uma 
proposição composta é falsa em todas as linhas de sua tabela-verdade. 
 
• Contingência: proposição composta que pode assumir valores V ou F a depender dos 
valores das proposições componentes. 
Exemplo: 
� → �: Se Guilherme é recifense, então Guilherme é 
pernambucano. 
 
Exemplo: 
� ↔ �: Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25 de 
dezembro. 
 
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5) Equivalência Lógica e Negação de Proposições 
 
Equivalências mais importantes. 
 
p → q = ~q → ~p invertem-se as posições e trocam-se os sinais 
p → q = ~p ou q nega-se o 1º, repete-se o 2º e troca o → pelo OU 
p ou q = ~p → q nega-se o 1º, repete-se o 2º e troca o OU pelo → 
 
 
 
 
 
 
Negações mais importantes. 
 
• 1ª Lei de De Morgan 
� Conectivo E 
• Deve-se negar as duas proposições simples que a compõe e trocar o 
conectivo “E” pelo “OU”. 
• Equação: ~ (p Ʌ q) ⇔ (~p) V (~q) 
• Exemplo: 
o Afirmação: Rodrigo está doente e não foi trabalhar. 
o Negação: Rodrigo não está doente ou foi trabalhar. 
 
• 2ª Lei de De Morgan 
� Conectivo OU 
• Deve-se negar as duas proposições simples que a compõe e trocar o 
conectivo “OU” pelo “E”. 
• Equação: ~ (p ∨ q) ⇔ (~p) Ʌ (~q) 
• Exemplo: 
o Afirmação: Vou à festa ou não me chamo Guilherme. 
o Negação: Não vou à festa e me chamo Guilherme. 
 
• Negação de “E” com “Se… então” 
• Deve-se manter a primeira parte, trocar o “E” pelo “Se... então” e negar a 
segunda parte. 
• Equação: ~ (p Ʌ q) ⇔ p → (~q) 
• Exemplo: 
o Afirmação: Ando e pulo. 
o Negação: Se ando então não pulo. 
 
Macete (lembrar que começa com a condicional): 
• inverte, nega, nega; 
• nega, OU; 
• nega, SE. 
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• Negação de “Se… então” com “E” 
• Deve-se manter a primeira parte, trocar o “Se... então” pelo “E” e negar a 
segunda parte. 
• Equação: ~(p → q) ⇔ p Ʌ (~q) 
• Exemplo: 
o Afirmação: Se surfo então sou feliz. 
o Negação: Surfo e não sou feliz. 
 
Negativas das Proposições Compostas 
Negação de (p e q) = ~p ou ~q 
Negação de (p ou q) = ~p e ~q 
Negação de (p → q) = p e ~q 
Negação de (p ↔ q) = p ou q 
Negação de (p ou q) = p ↔ q 
 
6) Proposições Categóricas (todo, algum, nenhum) 
 
• Quantificadores universais 
 
� Proposição universal afirmativa (Todo A é B) 
• Exemplo: Todo recifense é pernambucano 
• Equivalências: 
o Nenhum A não é B 
� Nenhum recifense não é pernambucano. 
o Se X é A então X é B 
� Se João é recifense então Joao é pernambucano. 
• Conjunto contido: 
 
 
 
� Proposição universal negativa (Nenhum A é B) 
• Exemplo: Nenhum carioca é argentino 
• Equivalências: 
o Todo A não é B 
� Todo carioca não é argentino. 
o Nenhum B é A 
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==18a6e5==
 
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� Nenhum argentino é carioca. 
o Se X é A então X não é B 
� Se Fulano é carioca então Fulano não é argentino. 
• Conjuntos disjuntos: 
 
 
• Quantificadores existenciais 
 
� Proposição particular afirmativa (Algum A é B) 
• Exemplo: Algum pernambucano é recifense. 
• Equivalências: 
o Algum B é A 
� Algum pernambucano é recifense 
o Existe 
� Existe pernambucano que é recifense 
o Pelo menos um 
� Pelo menos um recifense é pernambucano. 
o Há 
� Há pernambucanos que são recifenses 
• Interseção de conjuntos 
 
 
 
� Proposição particular negativa (Algum A não é B) 
• Exemplo: Algum recifense não é pernambucano. 
• Equivalências: 
o Nem todo A é B 
� Nem todo pernambucano é recifense. 
o Existe X que é A e não é B 
� Existe pernambucano que não é recifense. 
• Subtração de conjuntos: 
 
 
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7) Negação de Proposições Categóricas 
 
• Se a proposição original utiliza o quantificador UNIVERSAL, a sua negação terá um 
quantificador PARTICULAR. 
• Se a proposição original tem um quantificador PARTICULAR, sua negação utilizará o 
quantificador UNIVERSAL. 
• Se a proposição original é AFIRMATIVA, sua negação será NEGATIVA. 
• Se a proposição original é NEGATIVA, sua negação será AFIRMATIVA. 
 
Proposição Negação 
Todo A é B (universal positiva) Algum A não é B (particular negativa) 
Nenhum A é B (universal negativa) Algum A é B (particular positiva) 
Algum A é B (particular positiva) Nenhum A é B (universal negativa) 
Algum A não é B (particular negativa) Todo A é B (universal positiva) 
 
 
Lógica de Argumentação 
 
8) Argumentos 
 
Silogismo: DUAS premissas e UMA conclusão. 
Podemos ter: 
 
Ou: 
 
ATENÇÃO: NÃO PODEMOS TER ARGUMENTOS VÁLIDOS COM PREMISSAS VERDADEIRAS E 
CONCLUSÃO FALSA. 
 
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9) Silogismos Categóricos 
 
Vogais A, E, I e O - AFIRMO e NEGO 
• A - proposição universal afirmativa; 
• E - proposição universal negativa; 
• I - proposição particular afirmativa; 
• O - proposição particular negativa. 
 
 
 
 
Duas proposições contrárias (A e E) não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem 
ser falsas ao mesmo tempo. 
Duas proposições subcontrárias (I e O) não podem ser falsas ao mesmo tempo, mas podem ser 
verdadeiras ao mesmo tempo. 
Duas proposições contraditórias (A e O/E e I) não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, nem 
podem ser falsas ao mesmo tempo. 
 
10) Regras de Inferência 
 
Modus Ponens (modo de afirmar): 
• Em proposição condicional ao afirmarmos o antecedente, podemos concluir que o 
consequente será verdadeiro. 
o Exemplo: 
� Se estudo, obtenho boas notas. 
� Estudei. 
� Portanto, obterei boas notas. 
 
Modus Tollens (modo de negar): 
• Em proposição condicional ao afirmarmos que o consequente é falso, podemos concluir que 
o antecedente será falso. 
o Exemplo: 
� Se me alimento bem, me sinto disposto. 
� Não me senti disposto. 
� Portanto, não me alimentei bem. 
 
Silogismo Hipotético 
• Se P, então Q. 
• Se Q, então R. 
• Portanto, Se P, então R. 
 
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11) Sofismas ou Falácias 
 
Sofismas ou Falácias: argumento inválido que tem a aparência de argumento válido. 
 
Falácia da afirmação do consequente: 
• Se p, então q. 
• q. 
• Logo, p. 
• Se João se atira do vigésimo andar de um prédio, ele morre. 
• João está morto. 
• Logo, João se atirou do vigésimo andar. 
 
Falácia da negação do antecedente: 
• Se p, então q. 
• ~p. 
• Logo,~q. 
• Se Guilherme tomasse veneno, ficaria doente. 
• Guilherme não tomou veneno. 
• Logo, Guilherme não ficou doente. 
 
12) Representação dos Argumentos 
 
Exemplos: 
 
• P1: Todo recifense é pernambucano. 
• P2: Todo pernambucano é brasileiro. 
• Conclusão: Todo recifense é brasileiro. 
• Argumento válido. 
 
 
 
 
 
• P1: Todo recifense é pernambucano. 
• P2: Todo recifense é brasileiro. 
• Portanto, todo pernambucano é brasileiro. 
• Há ambiguidade. 
• Argumento inválido. 
 
Apesar de a conclusão ser uma proposição verdadeira, o argumento é inválido. Isto porque não 
podemos inferir a conclusão a partir das premissas. 
Sempre que uma determinada premissa puder ser representada por um conjunto com diversas 
extensões, estando prejudicada a conclusão, deduzimos que o argumento é inválido. 
 
 
 
Regras para testar esses silogismos: 
1. De duas premissas negativas nada se conclui; 
2. De duas premissas afirmativas não se pode tirar uma conclusão negativa; 
3. De duas premissas particulares (algum, existe, etc.) nada se conclui. 
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Princípios de Contagem 
 
13) Permutação simples 
 
• “De quantas maneiras é possível ordenar � objetos distintos? ” 
� �� = �! 
• Exemplo: 
� De quantas maneiras é possível ordenar 4 livros em uma prateleira? 
• �4 = 4! = 24 
 
14) Permutação com elementos repetidos 
 
• Faz-se uma permutação simples dos elementos, e divide-se pelo produto das 
permutações dos elementos que repetem, para eliminar as permutações repetidas. 
• Exemplo: 
� Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? 
� A palavra possui 10 letras. A letra A aparece 5 vezes e a letra R 3 vezes. 
• Portanto: �10
3,5
=
�10
�5∙�3
=
10!
5!∙3!
= 5040 
 
15) Permutação circular 
 
• Permutação que considera equivalentes disposições que coincidam por rotação. 
• Fixa-se o primeiro elemento e permuta-se os demais, portanto: 
� (��)
�
= (� − 1)! 
 
• Exemplo: 
� De quantas maneiras 4 pessoas podem ser dispostas em uma mesa circular? 
• (��)
4
= (4 − 1)! = 6 
 
16) Combinação simples 
 
• Utilizado quando não importa a ordem dos elementos dentro dos grupos. São arranjos que se 
diferenciam somente pela natureza de seus elementos. 
� ��,� =
�!
�!(�−�)!
 
� Exemplo: 
• Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies 
diferentes podem ser feitas? 
• ��,� =
10!
6!(4)!
= 210 
 
 
 
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Conjuntos 
 
17) Conjuntos 
 
• Interseção: A ∩ B 
 
 
 
 
 
Propriedades da Interseção: 
• Idempotente: A ∩ A = A 
• Comutativa: A ∩ B = B ∩ A 
• Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 
• Se A ⊂B, então A ∩ B = A 
• A ∩ ∅ = ∅ 
• (A ∩ B)⊂A e(A ∩ B)⊂B 
o Todo elemento da interseção entre A e B também é elemento de A; 
o Todo elemento da interseção entre A e B também é elemento de B. 
 
 
• Reunião: A∪B 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que � ∈ ∩ ! significa � ∈ e � ∈ !. 
Desta maneira, a operação ∩ ! entre conjuntos constitui a contrapartida matemática do 
conectivo logico “E”. 
Observe que � ∈ ∪ ! significa � ∈ ou � ∈ !. 
Desta maneira, a operação ∩ ! entre conjuntos constitui a contrapartida matemática do 
conectivo logico “OU”. 
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Propriedades da Reunião: 
• Idempotente: A ∪ A = A 
• Comutativa: A ∪ B = B ∪ A 
• Associativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 
• Se A ⊂B, então A ∪ B = B 
• A ∪ ∅ = A (elemento neutro) 
 
 
Propriedades da Reunião e Interseção: 
• Leis de Absorção: 
o A ∪ (A ∩ B) = A 
o A ∩ (A ∪ B) = A 
• Distributiva: 
o A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C) 
o A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
• Complementação: A⊂B 
 
A diferença B - A só será chamada especialmente de "complementar de A em relação a B" quando A 
⊂B. 
 
Propriedades da Complementação: 
• Leis de DeMorgan 
o A∪B = A ∩ B 
o A ∩ B = A∪B 
• A - B = A ∩ B 
• A = A ou (Ac)c = A 
• A∪A = ∪ 
• A ∩ A = ∅ 
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• Diferença Simétrica: A∆B = (A ∪ B) - (A ∩ B) 
 
 
 
Porcentagens 
 
18) Porcentagem de um valor 
 
• Para calcular �% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número 
#
$%%
. 
• Exemplo: 
� Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000. 
• 
&%
$%%
∙
'%
$%%
∙
(%
$%%
∙ 1000 �
)%%%
&*%
� 24 
 
 
 
19) Transformação de fração ordinária em taxa percentual 
 
• Para transformar uma fração ordinária ou um número qualquer em taxa percentual, basta 
multiplicá-la por 100%. 
• Exemplo: 
� Transformar a fração 3/8 em taxa percentual. 
 
• 
'
+
�
'
+
∙ 100% �
'%%
+
% � 37,5% 
 
 
 
 
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20) Variação percentual 
 
• A razão entre a diferença de valores (valor final menos o valor inicial) e o preço inicial, 
expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual. 
 
� � �
-./0123-/0/4/12
-/0/4/12
 
� 5
	� > 0, ����	é	8
	9�
	9�:
��; 
� 5
	� < 0, ����	é	8
	8
9�
	9�:
��;	(8
	9;��;) 
 
• Exemplo: 
� Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televisão no valor de R$ 1.200,00. 
Esperou o seu salário entrar no início do mês, para que ficasse mais “folgado”. 
Quando então foi à loja efetuar o pagamento, soube que o preço da televisão tinha 
subido para R$ 1.500,00. Qual foi o percentual de aumento no preço da televisão? 
 
• � �
-./0123-/0/4/12
-/0/4/12
�
$*%%3$&%%
$&%%
� 25% 
 
 
Equações de 1º grau 
 
21) Equação 
 
• Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. 
• Exemplos: 
� 4� + 2 = 9 
� √2� + 1 = 7 
 
• Ao somar ou subtrair um mesmo número real qualquer em ambos os lados de uma 
equação, obtém-se uma equação equivalente. 
� Exemplo: 
• 2� + 3 = 7 
• 2� + 3 − @ = 7 − @ 
• 2� = 4 
� Este procedimento pode ser visto como o transporte de um número para o outro da 
equação trocando o seu sinal. 
• 2� + 3 = 7 
• 2� = 7 − @ 
• 2� = 4 
 
• Ao multiplicar ou dividir um mesmo número real k (≠0) em ambos os lados de uma 
equação, obtém-se uma equação equivalente. 
� Exemplo: 
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• 2� = 4 
• 
&#
A
=
(
A
 
• � = 2 
� Este procedimento pode ser visto como o transporte de um número para o outro da 
equação invertendo-se a operação de multiplicação/ divisão que o número está 
fazendo. 
• 2� = 4 
• � =
(
A
 
• � = 2 
 
Razões e Proporções e Regra de Três 
 
22) Regra de Três 
 
• Grandezas direta ou inversamente proporcionais. 
 
• Regra de três simples 
� Três valores são conhecidos e temos como objetivo encontrar um quarto valor. 
 
• Regra de três composta 
� Mais de três valores são conhecidos. 
 
• Procedimento 
� Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
� Identificar se as grandezas que são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
• Exemplo: 
� Em uma fábrica, 400 peças são produzidas diariamente por 10 funcionários que 
trabalham 8 horas por dia. Quantas peças seriam produzidas diariamente por 15 
funcionários que trabalham 6 horas por dia, considerando que a dificuldade para 
produzir as peças dobrou? 
 
Peças Qtd funcionários Horas/Dia Dificuldade 
400 10 8 1 
x 15 6 2 
 
� Identificamos se a grandeza número de peças é diretamente ou inversamente 
proporcional a cada uma das outras grandezas. 
• Quantidade peças x Quantidade Funcionários: diretamente proporcionais 
• Quantidade peças x Horas/dia trabalhadas: diretamente proporcionais 
• Quantidade peças x Dificuldade: inversamente proporcionais 
 
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� Montamos uma equação onde do lado esquerdo está a fração da grandeza 
desconhecida e do lado direito o produto de todas as outras frações, invertendo as 
frações que possuem relação inversamente proporcional. 
 
• 
(%%
#
�
$%
$*
∙
+
)
∙
&
$
 
 
� Resolvendo a equação: 
• � = 225 
 
23) Razão 
 
• A razão de um número a para um número b é o quociente de a por b. 
� 
B
C
 
 
24) Proporção 
 
• Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões. 
� 
B
C
=
D
E
 
 
25) Proporcionalidade 
 
• Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se o quociente entre os 
elementos correspondentes for constante. 
� Exemplo: As sequências (15, 18, 27) e (5, 6, 9) são diretamente proporcionais porque 
o quociente entre os termos correspondentes é constante. 
• 
$*
*
=
$+
)
=
&F
G
= 3 
 
• Duas sequências de números são inversamente proporcionais se o produto entre os 
elementos correspondentes for constante. 
� Exemplo: As sequências (2, 4, 6, 8) e (12, 6, 4, 3) são inversamente proporcionais 
porque o produto entre os termos correspondentes é constante. 
• 2 × 12 = 4 × 6 = 6 × 4 = 8 × 3 = 24 
 
 
26) Divisão em partes proporcionais 
 
• Dividir em partes proporcionais é o mesmo que dizer que dividir em partes diretamente 
proporcionais. 
• Exemplo: Dividir o número 250 em 3 partes (a, b, c) de tal forma que as sequências (a, b, c) 
e (2, 3, 5) sejam diretamente proporcionais. 
• Se as sequências (a, b, c) e (2, 3, 5) são diretamente proporcionais, então o quociente entre 
os termos correspondentes é constante. 
 
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19 
� 
B
&
�
C
'
�
D
*
�
&*%
&H'H*
� I 
� Portanto:	� � 2I, J = 3I, 9 = 5I, I = 25 
 
• Resolve-se o sistema resultante acima para encontrar os valores de a, b e c 
correspondentes. 
 
27) Divisão em partes inversamente proporcionais 
 
• Exemplo: Dividir 180 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. 
• Se as sequências são inversamente proporcionais, o produto entre os termos 
correspondentes é constante. 
 
� � ∙ 3 = J ∙ 4 = 9 ∙ 6 = I 
� Portanto:	� =
K
'
, J =
K
(
, 9 =
K
)
 
 
• A soma das três partes é igual ao total 
 
� 
K
'
+
K
(
+
K
)
= 180 
� I = 240 
 
• Resolve-se o sistema resultante acima para encontrar os valores de a, b e c 
correspondentes. 
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