Aerodinamica em regime transonico e supersonico

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Breno Moura Castro
Aerodinâmica em Regime Transônico e
Supersônico
SÃO JOSÉ DOSCAMPOS - 2009
2
Sumário
1 Introdução 5
1.1 Objetivos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.3 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Conteúdo programático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2 Noções básicas 7
2.1 Número de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.2 Classificação dos escoamentos segundo o Número de Mach . . . . . . . . . . . . . .10
2.3 Equações fundamentais do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.4 Aproximações das equações governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.4.1 Escoamentos incompressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
2.4.2 Pequenas perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
2.5 Coeficiente de Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
3 Regras de similaridade para escoamentos compressíveis 17
3.1 Escoamentos subsônicos compressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
3.2 Escoamentos supersônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
3.3 Escoamentos transônicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.4 Aproximações de Kármán-Tsien e de Busemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
4 Coeficientes aerodinâmicos de perfis e asas em regime supersônico 27
4.1 Coeficientes para o perfil em regime supersônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
4.2 Coeficientes para a asa em regime supersônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
5 Aerodinâmica de Corpos Esbeltos 31
5.1 Sustentação de um corpo de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
5.2 Momento de um corpo de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
5.3 Centro de pressão de um corpo de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
5.4 Asas delta de baixo alongamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
5.5 Configuração com fuselagem e asa delta de baixo alongamento . . . . . . . . . . . .35
5.6 Considerações Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
3
4 SUMÁRIO
Capítulo 1
Introdução
Este texto tem a finalidade de auxiliar o aluno da disciplina Aerodinâmica em Regime Transônico
e Supersônico, na modalidade de ensino presencial, a passar pelo processo de aprendizagem do ma-
terial proposto.
1.1 Objetivos gerais
Familiarização e conhecimento das equações fundamentais do escoamento compressível não-
viscoso, regras de semelhança para escoamentos subsônicos e supersônicos, teoria do perfil, teoria
da asa finita, interações asa-fuselagem e arrasto transônico.
1.2 Objetivos específicos
Apresentar os fundamentos e princípios básicos da aerodinâmica. Desenvolver os métodos de
cálculo aerodinâmico de perfis, asas e fuselagens nos regimes transônico e supersônico. Executar
simulações com apoio computacional.
1.3 Ementa
Equações fundamentais do escoamento compressível não-viscoso. Equações de Prandtl-Glauert e
Ackeret e regras de semelhança para escoamentos subsônicos e supersônicos. Equações simplificadas
e regras de semelhança para o escoamento transônico. Condições através de choques. Teoria do
perfil em regime transônico: descrição física e princípio do cálculo. Teoria da asa finita no regime
transônico; efeito da espessura. Asa finita em regime supersônico: escoamento cônico, método de
singularidades. Corpos esbeltos. Interações asa-fuselagem. Arrasto transônico.
1.4 Conteúdo programático
Extensão da aerodinâmica aplicada ao regime transônico e supersônico. Equações fundamentais
do escoamento compressível não-viscoso. Equações de Prandtl-Glauert e Ackeret e regras de seme-
lhança para escoamentos subsônicos e supersônicos. Equações simplificadas e regras de semelhança
para o escoamento transônico. Condições através de choques. Aproximações de Kármán-Tsien e de
Busemann. Teoria do perfil em regime transônico: descrição física e princípio do cálculo. Teoria da
asa finita no regime transônico; efeito da espessura. Asa finita no regime supersônico: escoamento
cônico, método de singularidades. Corpos esbeltos. Interações asa-fuselagem. Arrasto transônico.
5
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Capítulo 2
Noções básicas
Este capítulo trata de alguns dos principais conceitos relacionados à Aerodinâmica. Dentre eles
destacam-se a definição do Número de Mach, parâmetro importante para a compartimentalização do
estudo desta disciplina, e das principais equações para o estudo de escoamentos não-viscosos.
2.1 Número de Mach
O som é uma onda mecânica que se propaga num gás, líquido ou sólido. A velocidade com que
esta onda se propaga depende de características elásticas e inerciais do meio. No ar, esta velocidade
depende fundamentalmente da temperatura do fluido, de acordo com a Eq. (2.1).
a =
√
γRT (2.1)
em quea é a velocidade do som,γ é a razão de calores específicos do ar (γ = 1, 4), R é a constante
dos gases para o ar (R = 287 J/kg.K) eT é a temperatura absoluta do ar.
A Tabela 2.1 fornece a velocidade do som em alguns meios gasosos, líquidos e sólidos.
O som se propaga como uma onda, ou seja, está sujeito a reflexões em obstáculos, interferências
construtivas e destrutivas, atenuações e ao Efeito Doppler. Outra propriedade importante é que as
perturbações geradas em um escoamento de ar sobre um corpo propagam-se sempre em todas as
direções e com a velocidade do som naquele meio.
Associada à velocidade do som, utiliza-se a definição de um número adimensional conhecido
como Número de Mach. Este é um dos parâmetros mais relevantes no estudo da Aerodinâmica e um
dos principais em Aeronáutica. A definição de Número de Mach é feita de acordo com a Eq. (2.2).
M =
V
a
(2.2)
na qualM corresponde ao Número de Mach,V representa a velocidade do escoamento ea é a
velocidade do som.
As características do escoamento dependem da velocidade com que uma fonte de perturbações
viaja através do fluido. A Figura 2.1 apresenta um esquema ilustrando o comportamento das pertur-
bações para alguns regimes de velocidade da fonte.
Perturbações viajam em um fluido com a velocidade do som nesse meio. Considere uma fonte
de perturbações, de ondas de pressão por exemplo, deslocando-se sobre uma linha horizontal, de
acordo com o esquema apresentado na Fig. 2.1. Considere, ainda, que uma perturbação gerada em
um determinado instantet = t1 propaga-se em todas as direções. Ou seja, a influência de uma
perturbação gerada no instantet = t1 encontra-se na superfície de uma esfera de raioR = a ∆t no
instantet = t1 + ∆t, com centro na posição ocupada pela fonte no instantet = t1.
7
8 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS
Tabela 2.1: Velocidade do som em alguns meios. Fonte: [5]
Meio Velocidade
(m/s)
Gases
Ar (0oC) 331
Ar (20oC) 343
Hélio 965
Hidrogênio 1284
Líquidos
Água (0oC) 1402
Água (20oC) 1482
Água do mar (3,5% salinidade) 1522
Sólidos
Alumínio 6420
Aço 5941
Granito 6000
Figura 2.1: Propagação das perturbações de uma fonte em movimento.
2.1. NÚMERO DE MACH 9
r -
V ∆t
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�7
a ∆t
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Zr -
x
µ
A B
C
Superfície do Cone de Mach
Figura 2.2: Esquema para cálculo do ângulo do Cone de Mach.
Dessa forma, quando a velocidade da fonte é nula, as perturbações geradas encontram-se em
superfícies esféricas cujo centro é a posição ocupada pela fonte. No caso de a fonte mover-se hori-
zontalmente com uma velocidadeV inferior à velocidade do som no meioa, as perturbações geradas
no instantet = t1 caminharam o equivalente a∆s = a ∆t, enquanto que a fonte percorreu um espaço
de∆s = V ∆t. ComoV < a, as perturbações são percebidas antes da passagem da fonte.
Para o caso de a fonte mover-se com uma velocidadeV exatamenteigual à velocidade do soma,
ocorre o que encontra-se representado na parte correspondente aV = a da Fig. 2.1. As perturbações
geradas no instantet = t1 percorrem uma distância equivalente a∆s = a ∆t, que é exatamente a
mesma distância percorrida pela fonte no intervalo de tempo∆t. Assim, as perturbações são perce-
bidas de forma acumulada na posição ocupada pela fonte a cada instante de tempo. Esta é a origem
das ondas de choque normais.
Considere, agora, uma fonte movendo-se com uma velocidadeV superior à velocidade do som
a. Desta vez, as perturbações caminham com uma velocidade inferior à da fonte. Isso quer dizer
que, na direção do movimento, a fonte estará sempre à frente das perturbações que a mesma gerou.
Além disso, as perturbações propagam-se em todas as direções. Um esquema ilustrativo deste tipo
de propagação é apresentado na parte da Fig. 2.1 associada aV > a. Neste caso, a envoltória das
superfícies esféricas onde encontram-se as perturbações que são continuamente geradas pela fonte
corresponde à superfície de um cone, cujo eixo coincide com a direção do deslocamento da fonte.
Esta envoltória é denominada de “Cone de Mach”. Observa-se que a região a montante do Cone de
Mach não percebe a presença da fonte pois as perturbações não chegam a esta região.
O ângulo do Cone de Mach pode ser calculado com base na Fig. 2.2. Basta analisar o caminho
percorrido pela fonte e pelas perturbações durante o intervalo de tempo∆t. Suponha que a fonte
encontra-se em movimento com velocidadeV sobre o eixox e no sentido positivo. No instantet = t1
a fonte está posicionada no pontoA. No tempot = t1+∆t a fonte encontra-se no pontoB e percorreu
uma distância igual aV ∆t. As perturbações geradas geradas no pontoA percorreram uma distância
dea ∆t, em especial aquela que se encontra no pontoC pertencente à superfície do Cone de Mach.
O triânguloABC é retângulo emC e, assim, o ânguloµ pode ser obtido através da Eq. (2.3).
µ = sin−1
(
a ∆t
V ∆t
)
= sin−1
( a
V
)
(2.3)
Como já visto anteriormente, o número obtido pela relaçãoV/a recebe um nome especial em
10 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS
homenagem a Ernest Mach. Desta forma, a Eq. (2.3) pode ser reescrita como apresentado na Eq. (2.4).
µ = sin−1
(
1
M
)
(2.4)
2.2 Classificação dos escoamentos segundo o Número de Mach
Os escoamentos de ar em torno de um corpo podem ser classificados segundo a velocidade. No
entanto, deve-se levar em consideração que essa velocidade não é a mesma em todos os pontos do
escoamento. A presença do corpo altera a direção e a intensidade da velocidade de algumas partículas
do fluido, fazendo com que ocorra uma variação quanto à velocidade das partículas que ainda estão
distantes do corpo.
Assim, para a classificação dos tipos de escoamento, toma-se por base a velocidade dita do escoa-
mento não-perturbado, ou seja, a velocidade das partículas que estão longe o suficiente da influência
do corpo sobre o escoamento. Esta velocidade é referenciada comoV∞.
O Número de Mach do escoamento não-perturbado é definido tomando-se como referência a
velocidade do som na região afastada do corpo. A Eq. (2.5) traduz matematicamente este parâmetro.
M∞ =
V∞
a∞
(2.5)
Os regimes de vôo podem ser classificados de acordo com o Número de Mach associado ao
escoamento não-perturbado,M∞. A divisão mais comum é apresentada a seguir, juntamente com
algumas das características mais importantes de cada regime.
• Subsônico:0 ≤ M∞ ≤ 0, 8 - ausência de ondas de choque; as perturbações geradas pela
presença do corpo são percebidas em todas as direções.
• Transônico:0, 8 ≤ M∞ ≤ 1, 2 - início da formação de ondas de choque; apresenta regiões em
que o escoamento é subsônico e outras onde as velocidades são supersônicas.
• Supersônico:1, 2 ≤ M∞ ≤ 5, 0 - presença de ondas de choque oblíquas; as perturbações
geradas em um ponto somente são percebidas a jusante desse ponto.
• Hipersônico:M∞ ≥ 5, 0 - ondas de choque oblíquas muito próximas à superfície do corpo;
surgimento de dissociações das moléculas que constituem o fluido; transferência de calor in-
tensa e presença de íons na região da onda de choque.
O Número de Mach do escoamento não-perturbado para o qual surge o primeiro ponto de veloci-
dade local do escoamento igual a um (velocidade local sônica) recebe o nome deMach Crítico. Este
número de Mach depende da forma do corpo; em especial, depende da espessura do corpo medida na
direção perpendicular à do escoamento não-perturbado.
2.3 Equações fundamentais do escoamento
As equações fundamentais de aerodinâmica de um fluido não-viscoso, na notação de Einstein,
são:
1. a equação da continuidade (conservação da massa):
∂ρ
∂t
+
∂(ρuj)
∂xj
= 0 (2.6)
2.4. APROXIMAÇÕES DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES 11
2. a equação Euleriana do movimento (conservação da quantidade de movimento):
ρ
(
Fi −
Dui
Dt
)
=
∂p
∂xi
(2.7)
nas quaisi, j = 1, 2, 3, ρ é a densidade do fluido,p corresponde à pressão,Fi representa a força por
unidade de volume atuando no fluido (tal como a gravidade),ui representa as componentes do vetor
velocidade do fluido et o tempo.Dui/Dt é a componente da aceleração de uma partícula do fluido.
Para expressar este parâmetro, é necessário conhecer as componentes da velocidade do fluido:
ui =
dxi
dt
= ui(x1, x2, x3, t)
que, como pode-se observar, são funções do ponto que a partícula de fluido ocupa no espaço e também
do tempo. A regra de diferenciação fornece:
Dui
Dt
=
∂ui
∂t
+
∂ui
∂xj
∂xj
∂t
=
∂ui
∂t
+ uj
∂ui
∂xj
(2.8)
Substituindo a Eq. (2.8) na Eq. (2.7):
∂ui
∂t
+ uj
∂ui
∂xj
= Fi −
1
ρ
∂p
∂xi
(2.9)
2.4 Aproximações das equações governantes
2.4.1 Escoamentos incompressíveis
Uma aproximação comum é obtida por meio da hipótese de que a densidade do fluido é constante,
ou seja, não varia nem com o tempo e nem com a posição dentro do escoamento (ρ = constante).
Esta hipótese é conhecida simplesmente como escoamento incompressível. Assim, a Equação da
Continuidade (2.6) pode ser escrita na forma:
∂uj
∂xj
= 0 (2.10)
Da mesma forma, se for assumido que não existem forças de volume atuando no fluido (Fi = 0)
e escoamento permanente (∂(.)/∂t = 0), a Equação da Conservação da Quantidade de Movimento
torna-se:
uj
∂ui
∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi
(2.11)
A vorticidade do escoamento é definida como sendo o rotacional do vetor velocidade e é dada por:
∇× u =
(
∂u3
∂x2
− ∂u2
∂x3
)
e1 +
(
∂u1
∂x3
− ∂u3
∂x1
)
e2 +
(
∂u2
∂x1
− ∂u1
∂x2
)
e3 (2.12)
em quee1, e2 ee3 representam os versores unitários nas direçõesx1, x2 ex3, respectivamente.
Se for admitido, ainda, que o escoamento é irrotacional (∇× u = 0), pode-se utilizar a seguinte
identidade matemática para simplificar as equações obtidas para escoamento incompressível:
∇×∇Φ ≡ 0 (2.13)
em queΦ representa uma função escalar das coordenadas (x1,x2,x3).
12 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS
Por inspeção, observa-se que, para escoamentos irrotacionais, o vetor velocidadeu pode ser es-
crito como:
u = ∇Φ = ∂Φ
∂x1
e1 +
∂Φ
∂x2
e2 +
∂Φ
∂x3
e3 (2.14)
Também por inspeção, pode-se constatar que as componentes do vetor velocidadeu são dadas
por:
uj =
∂Φ
∂xj
(2.15)
Substituindo a Eq. (2.15) em (2.10) obtém-se a Equação de Laplace:
∇2Φ = 0 ou ∂
2Φ
∂x21
+
∂2Φ
∂x22
+
∂2Φ
∂x23
= 0 (2.16)
Lembra-se que a Eq. (2.16) é válida somente quando:
1. o fluido é não-viscoso;
2. o escoamento é incompressível (ρ = constante); e
3. o escoamento é irrotacional (∇× u = 0).
Por sua vez, a Equação da Conservação da Quantidade de Movimento, dentro das hipóteses de
escoamento permanente, incompressível e sem forças de volume para um fluido não-viscoso, pode
ser reduzida à seguinte equação, conhecida como Equação de Bernoulli:
p +
1
2
ρV 2 = constante (2.17)
na qualp é a pressão,ρ a densidade eV representa o módulo do vetor velocidadeu. Cabe salientar
que a Eq. (2.17) é válida somente ao longo de uma linha de corrente do escoamento. No entanto, se o
escoamento for irrotacional, a Eq. (2.17) é válida em todo o domínio.
V =
√
u21 + u
2
2 + u
2
3
Sintetizando, a Equação de Bernoulli é válidaem todo o escoamento nas seguites condições:
1. o fluido é não-viscoso;
2. o escoamento é incompressível (ρ = constante);
3. o escoamento é permanente (∂(.)/∂t = 0);
4. não existem forças de volume (Fi = 0); e
5. o escoamento é irrotacional (∇× u = 0).
2.4.2 Pequenas perturbações
A hipótese de pequenas perturbações consiste de:
1. o escoamento é irrotacional (∇× u = 0);
2. o escoamento não-perturbado encontra-se na direçãox1; e
2.4. APROXIMAÇÕES DAS EQUAÇÕES GOVERNANTES 13
3. o corpo imserso no escoamento é esbelto, ou seja, sua maior dimensão nas direçõesx2 e x3 é
muito menor que o seu maior comprimento na direçãox1.
Desta forma, pode-se admitir que:
u1 = U∞ + û1 u2 = û2 u3 = û3
em queû1, û2, û3 � U∞.
Da hipótese de escoamento irrotacional, da mesma forma como no caso de escoamentos incom-
pressíveis, pode-se escrever a velocidade como sendo o gradiente de um campo potencial:
u = ∇Φ
No caso de pequenas perturbações, o potencial de velocidadesΦ pode ser escrito da forma adiante:
Φ = φ + U∞x1 (2.18)
Assim, por comparação e utilizando a Eq. (2.14), pode-se escrever:
û1 =
∂φ
∂x1
û2 =
∂φ
∂x2
û3 =
∂φ
∂x3
(2.19)
A Equação da Continuidade para escoamento compressível e permanente pode ser escrita como:
∂(ρui)
∂xi
= 0 (2.20)
Nas mesmas condições de escoamento e sem forças de volume, a Equação de Conservação da
Quantidade de Movimento torna-se:
uj
∂ui
∂xj
= −1
ρ
∂p
∂xi
(2.21)
A velocidade do som em um gás perfeito é definida como sendo a variação na pressão com relação
à variação na densidade do gás em um processo isentrópico (p/ργ = constante). Desta forma:
a2 =
(
∂p
∂ρ
)
(2.22)
Combinando as Eqs. (2.20), (2.21) e (2.22) e observando que o escoamento é irrotacional, obtém-
se:(
1− u
2
1
a2
)
∂u1
∂x1
+
(
1− u
2
2
a2
)
∂u2
∂x2
+
(
1− u
2
3
a2
)
∂u3
∂x3
− 2u1u2
a2
∂u1
∂x2
− 2u2u3
a2
∂u2
∂x3
− 2u3u1
a2
∂u3
∂x1
= 0
(2.23)
Invocando a hipótese de pequenas perturbações, a Eq. (2.23) torna-se:(
1− u
2
1
a2
)
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
= 0 (2.24)
A Equação (2.24) pode ser simplificada utilizando-se uma relação conhecida entre a velocidade
do som local (a) e a velocidade do som no escoamento não-perturbado (a∞) para escoamentos adia-
báticos:
a2
a2∞
= 1− γ − 1
2
(
u21 + u
2
2 + u
2
3
U2∞
− 1
)
M2∞ (2.25)
14 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS
Ainda dentro do contexto de pequenas perturbações, pode-se utilizar o Teorema do Binômio para
gerar a seguinte aproximação:
a2∞
a2
= 1 +
γ − 1
2
M2∞
(
2
û1
U∞
+
û21 + û
2
2 + û
2
3
U2∞
)
(2.26)
Para fazer simplificações adicionais na Eq. (2.24), é necessário escrever:
1− u
2
1
a2
= 1− (U∞ + û1)
2
a2
û1
U∞
U2∞
U2∞
a2∞
a2∞
= 1− (U
2
∞ + 2û1U∞ + û
2
1)
U2∞
M2∞
a2∞
a2
(2.27)
Substituindo Eq. (2.26) em (2.27) e abandonando termos de ordem superior:
1− u
2
1
a2
≈ 1−M2∞
[
1 +
2û1
U∞
(
1 +
γ − 1
2
M2∞
)]
(2.28)
Assim, a Eq. (2.24) pode ser reescrita como:
(1−M2∞)
∂u1
∂x1
+
∂u2
∂x2
+
∂u3
∂x3
= M2∞
(
1 +
γ − 1
2
M2∞
)
2û1
U∞
∂u1
∂x1
(2.29)
Utilizando as componentes do vetor velocidade dentro da hipótese de pequenas perturbações:
(1−M2∞)
∂û1
∂x1
+
∂û2
∂x2
+
∂û3
∂x3
=
2
U∞
(
1 +
γ − 1
2
M2∞
)
M2∞û1
∂û1
∂x1
(2.30)
A Equação (2.30) representa a Equação de Pequenas Perturbações.
Existem casos, excetuando-se os escoamentos na faixa do transônico, que a Eq. (2.30) pode ser
linearizada, ou seja, os termos à direita da equação podem ser negligenciados. Assim, obtém-se a
Equação de Pequenas Perturbações Linearizada:
(1−M2∞)
∂û1
∂x1
+
∂û2
∂x2
+
∂û3
∂x3
= 0 (2.31)
Para escoamentos isentrópicos e, portanto, irrotacionais, pode-se introduzir a função potencialφ,
nos moldes da definição apresentada na Eq. (2.19), e a Eq. (2.31) torna-se a Equação do Potencial
Linearizada:
(1−M2∞)
∂2φ
∂x21
+
∂2φ
∂x22
+
∂2φ
∂x23
= 0 (2.32)
Para escoamentos transônicos deve-se reter os termos à direita da Eq. (2.30). Utilizando, tam-
bém, o potencialφ para escoamentos irrotacionais, essa equação torna-se a Equação do Potencial
Transônica:
(1−M2∞)
∂2φ
∂x21
+
∂2φ
∂x22
+
∂2φ
∂x23
=
2
U∞
(
1 +
γ − 1
2
M2∞
)
M2∞
∂φ
∂x1
∂2φ
∂x21
(2.33)
Novamente, é importante reforçar as condições em que as Equações do Potencial Linearizada e
Transônica são válidas:
1. o fluido é um gás perfeito e não-viscoso;
2. o escoamento é isentrópico (p/ργ = constante);
3. o escoamento é permanente (∂(.)/∂t = 0);
4. não existem forças de volume (Fi = 0);
5. o escoamento é irrotacional (∇× u = 0); e
6. pequenas perturbações (û1, û2, û3 � U∞).
2.5. COEFICIENTE DE PRESSÃO 15
2.5 Coeficiente de Pressão
O coeficiente de pressão é definido por meio da Eq. (2.34).
Cp ≡
p− p∞
1
2
ρ∞V 2∞
(2.34)
Lembrando que o ar pode ser considerado como um gás perfeito e que neste caso:
p∞ = ρ∞RT∞ a
2
∞ = γRT∞ (2.35)
Fazendo a substituição das Eqs. (2.35) em (2.34):
Cp =
2
γM2∞
(
p
p∞
− 1
)
(2.36)
Sabe-se que, para escoamentos adiabáticos de um gás termica e caloricamente perfeito:
T +
V 2
2cp
= T∞ +
U2∞
2cp
(2.37)
na qualcp representa o calor específico a pressão constante do ar.
Movimentando os termos e utilizando quecp = γR/(γ − 1):
T − T∞ =
U2∞ − V 2
2γR/(γ − 1)
(2.38)
Recordando quea∞ =
√
γRT∞:
T
T∞
− 1 = γ − 1
2
U2∞ − V 2
γRT∞
=
γ − 1
2
U2∞ − V 2
a2∞
(2.39)
Em termos de pequenas perturbações:
V 2 = (U∞ + û1)
2 + û22 + û
2
3 (2.40)
Substituindo (2.40) em (2.39) e fazendo as simplificações decorrentes:
T
T∞
= 1− γ − 1
2a2∞
(2û1U∞ + û
2
1 + û
2
2 + û
2
3) (2.41)
É conhecida, também, a relação entre pressão e temperatura para escoamentos isentrópicosp/p∞ =
(T/T∞)
γ/(γ−1) que, substituída em (2.41) gera:
p
p∞
=
[
1− γ − 1
2a2∞
(2û1U∞ + û
2
1 + û
2
2 + û
2
3)
]γ/(γ−1)
(2.42)
Rearranjando os termos:
p
p∞
=
[
1− γ − 1
2
M2∞
(
2û1
U∞
+
û21 + û
2
2 + û
2
3
U2∞
)]γ/(γ−1)
(2.43)
Aplicando novamente a expansão binomial:
p
p∞
≈ 1− γ
2
M2∞
(
2û1
U∞
+
û21 + û
2
2 + û
2
3
U2∞
)
(2.44)
16 CAPÍTULO 2. NOÇÕES BÁSICAS
Substituindo (2.44) em (2.36)
Cp ≈
2
γM2∞
[
1− γ
2
M2∞
(
2û1
U∞
+
û21 + û
2
2 + û
2
3
U2∞
)
− 1
]
(2.45)
Cancelando termos e desprezando termos de ordem superior, chega-se à equação para o coeficiente
de pressão linearizado:
Cp = −
2û1
U∞
(2.46)
Exercícios
1. Calcule o número de Mach de um objeto viajando pelo ar com uma velocidade de 623 km/h. O
ar encontra-se a uma temperatura de 25oC.
2. Calcule o semi-ângulo do cone de Mach para um veículo que se desloca no ar, nas mesmas
condições de temperatura do exercício anterior, a uma velocidade de 2492 km/h.
3. Utilizando papel milimetrado, faça o desenho da propagação das perturbações geradas por uma
fonte sonora se deslocando com as seguintes velocidades: (a)M = 0, (b) M = 0, 5, (c) M = 1
e (d)M = 2.
4. Cite as faixas de classificação dos escoamentos segundo o número de Mach e forneça as prin-
cipais características de cada uma delas.
5. Escreva a Equação de Laplace em coordenadas cartesianas e especifique em que condições esta
equação pode ser utilizada.
6. Comente sobre a principal característica da Equação de Laplace e sobre como isto pode ser útil
para a sua solução.
7. Quais são as soluções básicas da Equação de Laplace? Escreva, para cada uma delas, qual é a
equação que fornece a velocidade induzida no escoamento.
8. Escreva a Equação de Bernoulli e as condições em que ela é válida.
9. Em termos práticos (faixas de números de Mach e de Reynolds, limites de ângulos de ataque
e geometria do veículo), quais são as limitações para a utilização das Equações de Laplace e
Bernoulli?
10. Em que consiste a hipótese de pequenas perturbações?
11. Defina o Coeficiente de Pressão e forneça uma expressão para este coeficiente que seja rela-
cionada ao número de Mach.
12. Escreva a fórmula para o coeficiente de pressão linearizado e especifique em que condições ele
pode ser utilizado.
13. Forneça a Equação do Potencial Linearizada e especifique em que condições (números de Mach
e de Reynolds, ângulos de ataque e geometriado corpo) ela pode ser utilizada.
Capítulo 3
Regras de similaridade para escoamentos
compressíveis
3.1 Escoamentos subsônicos compressíveis
Para escoamentos compressíveis subsônicos utiliza-se a Equação do Potencial Linearizada, escrita
na seguinte forma:
(1−M2∞)φxx + φyy + φzz = 0 (3.1)
em queφxx representa a segunda derivada deφ com relação ax, idem para as variáveisy e z, e
x1 = x, x2 = y ex3 = z.
Esta equação tem uma característica elíptica para valores deM∞ menores que 1, ou seja, as
informações propagam-se por todo o campo ou domínio de cálculo.
Uma forma de resolver a Eq. (3.1) é utilizar a seguinte transformação de variáveis:
ξ = x η = y
√
1−M2∞ ζ = z
√
1−M2∞ (3.2)
Além desta transformação de variáveis, define-se a função potencialφ̂ da seguinte forma:
φ̂(ξ, η, ζ) = φ(x, y, z)
√
1−M2∞ (3.3)
Aplicando a Regra da Cadeia:
∂φ
∂x
=
∂φ
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂φ
∂η
∂η
∂x
+
∂φ
∂ζ
∂ζ
∂x
(3.4)
∂φ
∂y
=
∂φ
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂φ
∂η
∂η
∂y
+
∂φ
∂ζ
∂ζ
∂y
(3.5)
∂φ
∂z
=
∂φ
∂ξ
∂ξ
∂z
+
∂φ
∂η
∂η
∂z
+
∂φ
∂ζ
∂ζ
∂z
(3.6)
Da definição da transformação de coordenadas:
∂ξ
∂x
= 1
∂ξ
∂y
= 0
∂ξ
∂z
= 0
∂η
∂x
= 0
∂η
∂y
=
√
1−M2∞
∂η
∂z
= 0
∂η
∂x
= 0
∂η
∂y
= 0
∂η
∂z
=
√
1−M2∞
17
18 CAPÍTULO 3. REGRAS DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Fazendo as devidas substituições:
∂φ
∂x
=
∂φ
∂ξ
(3.7)
∂φ
∂y
=
√
1−M2∞
∂φ
∂η
(3.8)
∂φ
∂z
=
√
1−M2∞
∂φ
∂ζ
(3.9)
Da mesma forma:
φxx =
∂φx
∂x
=
∂φξ
∂ξ
= φξξ (3.10)
φyy =
∂φy
∂y
= (1−M2∞)
∂φη
∂η
= (1−M2∞)φηη (3.11)
φzz =
∂φz
∂z
= (1−M2∞)
∂φζ
∂ζ
= (1−M2∞)φζζ (3.12)
Substituindo as Eqs. (3.12) em (3.1):
(1−M2∞)φξξ + (1−M2∞)φηη + (1−M2∞)φζζ = 0 (3.13)
Substituindo o novo potencial̂φ, definido pela Eq. (3.3), na Eq. (3.13) e fazendo as devidas sim-
plificações:
φ̂ξξ + φ̂ηη + φ̂ζζ = 0 (3.14)
A Equação (3.14) corresponde à Equação de Laplace que governa a solução de escoamentos
incompressíveis. Assim sendo, a transformação proposta na geometria do corpo imerso em um es-
coamento compressível leva a uma nova geometria que pode ser resolvida pela Equação de Laplace.
Esta é a denominada Transformação de Prandtl-Glauert.
O coeficiente de pressão linearizado é dado pela expressão:
Cp = −2
û
U∞
= − 2
U∞
∂φ
∂x
(3.15)
Fazendo as substituições devidas:
Cp = −
2
U∞
1√
1−M2∞
∂φ̂
∂x
=
1√
1−M2∞
(
− 2
U∞
∂φ̂
∂ξ
)
(3.16)
Notando que o último termo do lado direito da Eq. (3.16) corresponde ao coeficiente de pressão
para o escoamento incompressível, oCp no corpo original é relacionado ao(Cp)M=0:
Cp =
(Cp)M=0√
1−M2∞
(3.17)
A Equação (3.17) simboliza, também, o que é conhecido como Regra de Prandtl-Glauert para
escoamentos subsônicos compressíveis.
3.2. ESCOAMENTOS SUPERSÔNICOS 19
3.2 Escoamentos supersônicos
A equação linearizada que traduz o comportamento dinâmico de escoamentos no regime super-
sônico é a mesma Eq. (2.32) do regime subsônico. No entanto, para velocidades supersônicas, utiliza-
se uma pequena alteração na forma de escrevê-la:
(M2∞ − 1)φxx − φyy − φzz = 0 (3.18)
No caso de valores do número de Mach acima da unidade, a Eq. (3.18) assume um caráter hiper-
bólico, ou seja, as perturbações geradas em um ponto do escoamento somente são percebidas em
certas regiões do domínio de cálculo. Como já foi visto anteriormente, esta região está contida no
Cone de Mach cujo vértice é o ponto do escoamento e seu eixo está na direção do escoamento não-
perturbado.
Para a determinação de condições de similaridade, da mesma forma como foi obtido para o regime
subsônico compressível, será utilizada uma simplificação da Eq. (3.18) para duas dimensões:
(M2∞ − 1)φxx − φyy = 0 (3.19)
Ocorre, também, que, na forma como está apresentada, a Eq. (3.19)corresponde à Equação da
Onda, que tem solução conhecida e pode ser dada por:
φ(x, y) = F (x− βy) + G(x + βy) (3.20)
em queF e G são funções das variáveisξ = x − βy e η = x + βy, respectivamente. O parâmetro
β =
√
M2∞ − 1 é uma constante para cadaM∞.
Avaliando a primeira derivada parcial deφ com relação ax:
∂φ
∂x
=
∂F
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂G
∂η
∂η
∂x
As derivadas deF (ξ) eG(η) com relação às suas respectivas variáveis serão chamadas, simples-
mente, deF ′ eG′. O mesmo vale para as segundas derivadasF ′′ eG′′ e assim por diante. Assim:
∂φ
∂x
= F ′ + G′
A segunda derivada parcial deφ com relação ax:
∂2φ
∂x2
=
∂
∂x
(
∂φ
∂x
)
=
∂F ′
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂G′
∂η
∂η
∂x
= F ′′ + G′′
Avaliando, desta vez, a primeira derivada parcial deφ com relação ay:
∂φ
∂y
=
∂F
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂G
∂η
∂η
∂y
= −βF ′ + βG′ = −β(F ′ −G′)
A segunda derivada parcial deφ com relação ay fica, então:
∂2φ
∂y2
=
∂
∂y
(
∂φ
∂y
)
=
∂(−βF ′)
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂(βG′)
∂η
∂η
∂y
= β2(F ′′ + G′′)
Substituindo as expressões obtidas para as segundas derivadas parciais deφ na Eq. (3.19):
(M2∞ − 1)(F ′′ + G′′)− β2(F ′′ + G′′) = (M2∞ − 1)(F ′′ + G′′)− (M2∞ − 1)(F ′′ + G′′) = 0
20 CAPÍTULO 3. REGRAS DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Nota-se, desta forma, que a função potencialφ(x, y) = F (ξ) + G(η), especificada na Eq. (3.20),
representa uma solução da Eq. (3.19). É possível, então, calcular o coeficiente de pressão associado a
esta solução.
Nota-se, também, que a funçãoξ = x − βy representa um conjunto de retas caminhando no
sentido positivo dey quando o valor dex sofre um acréscimo. Estas são as chamadas “left running
waves”, uma vez que carregam informações que se propagam para o lado esquerdo de um observador
solidário ao escoamento não-perturbado.
De forma similar, a funçãoη = x + βy representa um conjunto de retas caminhando no sentido
negativo dey à medida em quex aumenta. São chamadas de “right running waves” pois transportam
informações que se propagam para o lado direito de um observador solidário ao escoamento não-
perturbado.
Lembra-se que, na hipótese de pequenas perturbações, admitiu-se que as variações de velocidade
são pequenas quando comparadas com a velocidade do escoamento não perturbado e que a dimensão
do corpo na direçãox é significativamente maior que nas direçõesy e z.
Primeiramente, deve-se estabelecer uma condição de contorno de tangência do escoamento à su-
perfície do corpo. Esta condição de tangência, apesar de não ser aplicável a escoamentos viscosos, é
apropriada para escoamentos não-viscosos.
Tomando-se por base a descrição da superfície do corpo dada pela expressão:
y = h(x) (3.21)
A condição de tangência do escoamento à superfície do corpo pode ser obtida fazendo-se a direção
da velocidade local do escoamento coincidir com a direção local da superfície do corpo. Após a
necessária linearização:
v̂y
U∞
=
dh
dx
⇒ v̂y = U∞
dh
dx
(3.22)
A solução na parte superior da superfície do corpo é constituída apenas por ondas que caminham
na direção dey positivo, ou seja,φ(x, y) = F (ξ). As informações transportadas porη = x + βy
não chegam a se propagar pois encontram a própria superfície do corpo como barreira. Assim, a
velocidade no eixoy pode ser obtida por:
v̂y =
∂φ
∂y
=
∂F
∂ξ
∂ξ
∂y
= −βF ′
Comparando a expressão acima com a Eq. (3.22) obtém-se:
v̂y = U∞
dh
dx
= −βF ′ ⇒ F ′ = −U∞
β
dh
dx
(3.23)
O coeficiente de pressão na superfície do corpo é dado pela Eq. (2.46), que, após as devidas
conversões de nomenclatura e substituição da velocidade de perturbação emx, fica:
Cp = −
2
U∞
∂φ
∂x
= − 2
U∞
F ′ = − 2
U∞
(
−U∞
β
dh
dx
)
(3.24)
Cancelando termos, o coeficiente de pressão linearizado para a superfície superior do corpo fica:
(Cp)sup =
2
β
(
dh
dx
)
sup
(3.25)
Para a superfície inferior do corpo, a solução passa a serφ(x, y) = G(η), uma vez que as pertur-
bações carregadas pelas “left running waves” são neutralizadas pela parede do próprio corpo.
3.3. ESCOAMENTOS TRANSÔNICOS 21
A velocidade no eixoy fica, então:
v̂y =
∂φ
∂y
=
∂G
∂η
∂η
∂y
= βG′
A condição de tangência fornece a velocidade na direçãoy que, quando comparada com a veloci-
dade dada pela expressão acima, produz:
v̂y = U∞
dh
dx
= βG′ ⇒ G′ = U∞
β
dh
dx
(3.26)
Para o coeficiente de pressão na superfície inferior:Cp = −
2
U∞
∂φ
∂x
= − 2
U∞
G′ = − 2
U∞
(
U∞
β
dh
dx
)
(3.27)
Cancelando termos, o coeficiente de pressão linearizado para a superfície inferior do corpo fica:
(Cp)inf = −
2
β
(
dh
dx
)
inf
(3.28)
É relativamente simples perceber que os coeficientes de pressão variam para a mesma superfície,
em função do Número de Mach do escoamento não-perturbado, de acordo com a expressão:
Cp = ±
2√
M2∞ − 1
dh
dx
(3.29)
Percebe-se que, paraM∞ =
√
2, o valor deβ equivale à unidade. Assim, pode escrever que:
Cp =
(Cp)M=
√
2√
M2∞ − 1
(3.30)
A regra de similaridade expressa pela Eq. (3.30) é conhecida como Fórmula de Ackeret.
3.3 Escoamentos transônicos
O escoamento transônico não pode ser modelado por equações diferenciais parciais lineares, de-
vido à presença de ondas de choque relativamente fortes sobre a superfície do corpo, constituindo-se
em não-linearidades importantes.
A equação mais apropriada para o estudo de escoamentos transônicos tridimensionais é:
(1−M2∞)
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
=
2
U∞
(
1 +
γ − 1
2
M2∞
)
M2∞
∂φ
∂x
∂2φ
∂x2
(3.31)
Para uma velocidade do escoamento não-perturbado equivalente aM∞ = 1, a Eq. (3.31) pode ser
reescrita como:
−(γ + 1)
U∞
∂φ
∂x
∂2φ
∂x2
+
∂2φ
∂y2
+
∂2φ
∂z2
= 0 (3.32)
Seja a transformação:
ξ = x η = c3y ζ = c3z φ = c4φ̃ Ũ∞ = U∞ (3.33)
22 CAPÍTULO 3. REGRAS DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Fazendoc23 = c4 e introduzindo as definições da transformação descrita por (3.33) em (3.32):
−(γ + 1)
U∞
∂φ̃
∂ξ
∂2φ̃
∂ξ2
+
(
∂2φ̃
∂η2
+
∂2φ̃
∂ζ2
)
= 0 (3.34)
Outra condição deve ser satisfeita. Trata-se da similaridade entre as linhas de corrente, que é
obtida fazendo-se:
w = U∞
∂zc
∂x
w̃ = U∞
∂ζc
∂ξ
(3.35)
em quezc eζc representam o contorno do perfil da asa no plano real e no plano transformado, respec-
tivamente.
Substituindo os valores das Eqs. (3.33) em (3.35):
c3c4 =
∂zc
∂x
∂ζc
∂ξ
=
δ
δ̃
(3.36)
na qualδ = t/c é a espessura relativa do perfil da asa, que foi admitido ser simétrico.
Como foi admitido, também, quec23 = c4:
c3 =
(
δ
δ̃
)1/3
c4 =
(
δ
δ̃
)2/3
(3.37)
A equação linearizada do coeficiente de pressão fornece:
Cp = −
2
U∞
∂φ
∂x
= −c4
2
U∞
∂φ̃
∂ξ
= c4C̃p =
(
δ
δ̃
)2/3
C̃p (3.38)
Conclui-se, da observação da Eq. (3.38) que o coeficiente de pressão na superfície da asa tran-
sônica é proporcional aδ2/3 = (t/c)2/3.
Devido à não-linearidade da Eq. (3.31), soluções analíticas para escoamentos transônicos com
presença de ondas de choque foram obtidas apenas para pouquíssimos casos. Em algumas situações,
no entanto, já foi observada uma transição suave através da velocidade sônica (sem a formação de
choques). Neste último caso, escoamentos transônicos podem ser tratados de forma teórica por meio
de um método de aproximações.
Estas aproximações levam a regras de similaridade para a distribuição de pressão e para o coefici-
ente de arrasto que apresentam uma boa concordância com medidas experimentais. Pode ser demons-
trado, embora isto não seja feito neste texto, que a regra de similaridade transônica mantém-se válida
mesmo quando o escoamento apresenta ondas de choque fracas.
Cp
(
x
c
,
t
c
, M∞
)
=
(t/c)2/3
(γ + 1)1/3
C̃p
(x
c
, m∞
)
(3.39)
CD
(
t
c
, M∞
)
=
(t/c)5/3
(γ + 1)1/3
C̃D(m∞) (3.40)
em que
m∞ =
M2∞ − 1[
(γ + 1)
t
c
]2/3 (3.41)
A variável C̃p é chamada de coeficiente de pressão reduzido eC̃D de coeficiente de arrasto re-
duzido. Das equações anteriores decorre que o coeficiente de pressão é proporcional a(t/c)2/3 en-
quanto que o coeficiente de arrasto é proporcional a(t/c)5/3 no regime transônico.
3.4. APROXIMAÇÕES DE KÁRMÁN-TSIEN E DE BUSEMANN 23
3.4 Aproximações de Kármán-Tsien e de Busemann
A aproximação de Prandtl-Glauert, para a correção de compressibilidade de escoamentos subsôni-
cos, mostra que a solução aproximada cresce indefinidamente à medida em que o número de Mach se
aproxima do valor unitário.
O mesmo comportamento é observado para o coeficiente de pressão estimado a partir desta regra
de similaridade. Em consqüência disto, vários esforços foram realizados para melhorar a regra de
Prandtl-Glauert. Uma das variações desta regra foi proposta por von Kármán e Tsien:
Cp =
(Cp)M=0√
1−M2∞ + 12
(
1−
√
1−M2∞
)
(Cp)M=0
(3.42)
A fórmula de Kármán-Tsien, Eq. (3.42), fornece resultados mais precisos que aqueles previstos
pela regra de Prandtl-Glauert, Eq. (3.17), para números de Mach próximos da unidade. Por outro
lado, as duas fórmulas fornecem resultados próximos para números de Mach pequenos e, também,
para valores baixos do coeficiente de pressão.
Já para o caso de escoamentos supersônicos, a correção prevista pela fórmula de Ackeret pode
também ser aperfeiçoada. A linearização do escoamento no regime supersônico, caracterizada pela
diferença de pressão local (p− p∞) e pela inclinação local do perfil (ϑ = dh/dx), foi aprimorada por
Busemann:
Cp(x) =
2ϑ(x)√
M2∞ − 1
[1 + Kϑ(x)] (3.43)
em que:
K =
1
4
(M2∞ − 2)3 + γM4∞
(M2∞ − 1)3/2
Como no caso subsônico, a nova aproximação para correção do coeficiente de pressão produz
resultados mais precisos do que aquela obtida por Ackeret.
24 CAPÍTULO 3. REGRAS DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Exercícios
1. Escreva a transformação de coordenadas que possibilita a transformação da Equação do Poten-
cial Linearizada na Equação de Laplace. Qual é a conseqüência desta transformação?
2. Considerando a Equação do Potencial Linearizada escrita para o regime supersônico e em duas
dimensões apenas, escreva a solução desta equação e qual é a conseqüência em termos de
coeficiente de pressão para um determinado ponto da superfície do corpo.
3. Escreva a forma linearizada da condição de tangência do escoamento à superfície de um corpo.
4. Forneça a Equação do Potencial Transônica e as condições em que ela é válida.
5. Descreva a transformação de coordenadas utilizada na dedução da regra de similaridade para o
regime transônico. Qual é a conseqüência desta transformação de coordenadas e da aplicação
da regra de similaridade?
6. O coeficiente de pressão em um determinado ponto da superfície de um aerofólio, para a
condição de escoamento incompressível, corresponde a -0,54. Calcule, utilizando a Regra
de Prandtl-Glauert, o valor deCp para um número de Mach do escoamento não-perturbado
equivalente a 0,58.
7. Um aerofólio voa a uma velocidade correspondente ao número de MachM∞ = 0, 5. Nesta
condição, o coeficiente de pressão em uma dado ponto da superfície do aerofólio éCp = −0, 25.
Calcule, para este ponto, o coeficiente de pressão para uma condição de vôo em que o número
de Mach do escoamento não-perturbado equivale aM∞ = 0, 6.
8. Considere uma placa plana submetida a um escoamento supersônico com número de Mach do
escoamento não-perturbado igual aM∞ e ângulo de ataqueα pequeno. Calcule o coeficiente
de sustentação por unidade de envergadura desta placa plana sabendo que:
CL′ =
∫ 1
0
[(Cp)inf − (Cp)sup] d
(x
c
)
em que(Cp)inf equivale ao coeficiente de pressão no intradorso,(Cp)sup ao do extradorso ex
corresponde à coordenada ao longo da cordac do perfil.
Resp.:CL′ = 4α/
√
M2∞ − 1.
9. Considere a mesma situação descrita no exercício anterior. Calcule o coeficiente de momento
por unidade de envergadura da placa plana, relativamente ao bordo de ataque, sabendo que:
(Cm′)BA = −
∫ 1
0
[(Cp)inf − (Cp)sup]
(x
c
)
d
(x
c
)
Resp.:(Cm′)BA = −2α/
√
M2∞ − 1.
10. Calcule a posição do centro de pressão de uma placa plana submetida a um escoamento super-
sônico, relativamente ao bordo de ataque, sabendo que:(xCP
c
)
BA
= −(Cm
′)BA
CL′
Resp.:(xCP)BA = c/2.
3.4. APROXIMAÇÕES DE KÁRMÁN-TSIEN E DE BUSEMANN 25
11. Um perfil com espessura relativa de 10% (t/c = 0, 1) encontra-se submetido a um escoamento
de ar (γ = 1, 4) com número de Mach relativo ao escoamento não-perturbado de 0,95. Em um
determinado ponto de sua superfície, o coeficiente de pressão corresponde a 0,5. Encontre os
valores do coeficiente de pressão reduzido e dom∞ para esse ponto.
12. O coeficientede pressão para o regime incompressível em um determinado ponto da superfície
de um aerofólio éCp = −0, 2. Calcule o coeficente de pressão neste mesmo ponto para um
regime de vôo correspondente ao número de MachM∞ = 0, 6 utilizando a regra de correção
de Kármán-Tsien.
13. Um perfil voa em regime supersônico, com um número de Mach equivalente aM∞ = 1, 414,
e o coeficiente de pressão em um ponto da sua superfície corresponde aCp = 0, 5. Utilizando
a aproximação de Busemann, avalie o coeficiente de pressão para este mesmo ponto e para um
regime de vôo com número de Mach deM∞ = 1, 8.
26 CAPÍTULO 3. REGRAS DE SIMILARIDADE PARA ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS
Capítulo 4
Coeficientes aerodinâmicos de perfis e asas
em regime supersônico
O capítulo anterior mostra, de uma forma resumida, as formas de obtenção de coeficientes de
pressão para os regimes de velocidade em que a compressibilidade do fluido exerce um papel impor-
tante nas características do escoamento.
A integração da distribuição do coeficiente de pressão ao longo da superfície do perfil ou da asa
permite a obtenção dos coeficientes aerodinâmicos desse perfil ou asa.
Quando este processo de integração é executado conforme a necessidade associada ao coeficiente
aerodinâmico que se deseja obter para um perfil (escoamento bidimensional), o resultado é o que se
segue.
4.1 Coeficientes para o perfil em regime supersônico
Os coeficientes aerodinâmicos de sustentação, momento em torno do bordo de ataque e arrasto
por unidade de envergadura são dados pelas equações a seguir.
CL′ =
∫ 1
0
∆Cp(ξ) dξ =
4√
M2∞ − 1
α (4.1)
Cm′ = −
∫ 1
0
∆Cp(ξ)ξ dξ = −
4√
M2∞ − 1
(
α
2
+
∫ 1
0
Z(a)(ξ) dξ
)
(4.2)
CD′ =
∫ c
0
(∆plϑl + ∆puϑu) dx
1
2
ρ∞V 2∞c
=
2√
M2∞ − 1
[
2α2 +
∫ 1
0
(
dZu
dξ
)2
dξ +
∫ 1
0
(
dZl
dξ
)2
dξ
]
(4.3)
em queZ(a)(ξ) corresponde à equação da linha de arqueamento do perfil e os termosZu e Zl repre-
sentam as curvas que descrevem o intradorso e o extradorso, respectivamente.
Os valores deCp utilizados nas integrações especificadas nas Eqs. (4.1), (4.2) e (4.3) são aqueles
fornecidos pela teoria linearizada, Eq. (3.29).
Assim, diante destas equações, pode-se concluir que o ângulo de ataque, o arqueamento e a es-
pessura do perfil exercem um papel relevante nas características aerodinâmicas dos perfis voando em
regime supersônico. No entanto, nem todos estes parâmetros influenciam todos os coeficientes.
Pode-se perceber, pela inpeção da Eq. (4.1) que o coeficiente de sustentação sofre influência ape-
nas do ângulo de ataque do perfil. Os parâmetros arqueamento e espessura não inflenciam o coefici-
ente de sustentação do perfil no regime supersônico.
27
28CAPÍTULO 4. COEFICIENTES AERODINÂMICOS DE PERFIS E ASAS EM REGIME SUPERSÔNICO
Tabela 4.1: Dependência de coeficientes aerodinâmicos para regime supersônico.
Coeficiente ângulo de ataquearqueamento espessura
CL′ X
Cm′ X X
CD′ X X X
Já a Eq. (4.2) mostra que o coeficiente de momento é influenciado pelo ângulo de ataque e pelo
arqueamento. A espessura não afeta o coeficiente de momento do perfil para velocidades supersôni-
cas.
O coeficiente de arrasto, dado pela Eq. (4.3), depende dos três parâmetros. Tanto o ângulo de
ataque quanto o arqueamento e a espessura exercem influência significativa no coeficiente de arrasto
de perfis no regime supersônico.
Sintetizando este comportamento, a Tab. 4.1 apresenta as relações de dependência entre ângulo
de ataque, arqueamento e espessura do perfil e seus coeficientes aerodinâmicos por unidade de enver-
gadura para velocidades supersônicas.
As equações apresentadas nesta seção indicam que, para o regime supersônico, surge força de
arrasto mesmo que o ângulo de ataque do perfil seja nulo. Esta parcela do arrasto é conhecida como
“Arrasto de Onda”. Um perfil sem arqueamento e com espessura relativat/c, espessura da porZ(t) =
2(t/c)ξ(1− ξ), apresenta um arrasto de onda que pode ser obtido por meio de:
CDw =
16
3
√
M2∞ − 1
(
t
c
)2
(4.4)
4.2 Coeficientes para a asa em regime supersônico
O estudo de asas no regime supersônico necessita de algumas definições adicionais. Isto se deve
ao fato de que as perturbações produzidas em um certo ponto do escoamento somente são percebidas
em uma região definida pelo “Cone de Mach” com vértice nesse ponto e cujo eixo está alinhado com
a direção do escoamento não-perturbado.
A áreaD é a região na qual as perturbações geradas afetam diretamente o pontoP (x, y, z), ou
seja, é a região que influencia o pontoP e pode ser observada na Fig. 4.1.
6y
-
x
�
�
�
�
�
�Z
Z
Z
Z
PDHHj
µ
�
�
�
�
�
A
A
A
A
A
Figura 4.1: Região de influência no ponto P.
De acordo com o que está representado na Fig. 4.1, percebe-se que existe uma influência do ângulo
de enflechamento do bordo de ataque,Λ, nas características do escoamento supersônico sobre uma
asa finita. Define-se, então, com base na Fig. 4.2, a situação do bordo de ataque (BA) da asa.
4.2. COEFICIENTES PARA A ASA EM REGIME SUPERSÔNICO 29
6y
-
x
6y
-
x
�
�
�
�
��
B
B
B
B
BB
µ
�
�
�
�
�
�
Z
Z
Z
Z
Z
Z
µ
(a) BA subsônico (b) BA supersônico
�
�
�
�
�
A
A
A
A
A
�
�
�
�
�
A
A
A
A
A
Figura 4.2: Conceito de bordo de ataque subsônico e supersônico.
O bordo de ataque é subsônico quando o seu enflechamento é tal queΛ > π/2 − µ e é ilustrado
na parte (a) da Fig. 4.2. A parte (b) representa o bordo de ataque supersônico que acontece quando
Λ < π/2− µ. A mesma classificação é utilizada para o bordo de fuga.
A condição de contorno linearizada de tangência à superfície da asa é representada pela Eq. (4.5)
e o coeficiente de pressão pela Eq. (4.6).
q(x, y) = 2w(x, y) = 2U∞
∂h
∂x
(4.5)
onde q(x, y) corresponde a uma distribuição de intensidade de fonte por unidade de área,z =
±h(x, y) descreve a superfície da asa ew(x, y) representa a perturbação de velocidade no eixoZ.
No caso de uma asa plana e sem espessura e dentro da aproximação de pequenas perturbações, a
Eq. (4.5) pode ser reduzida a:
q(x, y) = 2U∞α (4.6)
O coeficiente de pressão na superfície da asa é obtido por intermédio da Eq. (4.7):
Cp(x, y) = −
2
U∞
∂φ
∂x
para z = 0 (4.7)
A integração do coeficiente de pressão fornecido pela Eq. (4.7) sobre a superfície da asa leva à
obtenção dos coeficientes das forças aerodinâmicas atuando nesta asa.
Considera-se, então, uma asa triangular com bordo de ataque subsônico. Neste caso, a asa
encontra-se toda dentro do cone de Mach. Krasnov [2] fornece a solução para este problema como
sendo:
Cp(x, y) =
±2α cot2 Λ
E(k)
√
cot2 Λ−
(
y
x
)2 (4.8)
A solução representada pela Eq. (4.8) é baseada no esquema representado pela Fig. 4.3. O sinal
+ é utilizado para o intradorso onde a pressão é positiva. Utiliza-se o sinal− para o extradorso. O
valor decp, neste caso, é constante ao longo da linha indicada pelo ânguloν, ou seja, paray/x = cte.
O parâmetrok é dado pela Eq. (4.9) e a funçãoE(k) corresponde à função dada pela Eq. (4.10).
k =
√
1− (M2∞ − 1) cot2 Λ (4.9)
E(k) =
∫ π
2
0
√
1− (1− β2 cot2 Λ) sin2 φ dφ (4.10)
30CAPÍTULO 4. COEFICIENTES AERODINÂMICOS DE PERFIS E ASAS EM REGIME SUPERSÔNICO
6y
-
x
�
�
�
�
��
B
B
B
B
BB
µ�
�
�
�
�
�
ν
Λ
�
�
�
�
�
@
@
@
@
@
Figura 4.3: Esquema para a solução da asa triangular.
ondeβ2 = (M2∞ − 1).
O coeficiente de sustentação obtido através da integração do coeficiente de pressão da Eq. (4.8)
sobre a superfície da asa triangular é traduzido pela Eq. (4.11). A área de referência corresponde à
área em planta da asa.
CL =
2απ cot Λ
E(k)
(4.11)
O coeficiente de momento de arfagem, por sua vez, é representado pela Eq. (4.12). A área de
referência é a mesma do coeficiente de sustentação e o comprimento de referência utilizado é a corda
na raiz da asa.
Cm = −
4απ cot Λ
3 E(k)
(4.12)
Os resultados fornecidos acima valem para uma asa triangular com bordo de ataque subsônico.
Para o caso de uma asa triangular com bordo de ataque supersônico, o coeficiente de sustentação,
baseado na área em planta da asa é:
CL =
4α√
M2∞ − 1
(4.13)
Exercícios
1. Mostre que, para o bordode ataque de uma asa triangular na condição sônica, o coeficiente de
sustentação fornecido pela Eq. (4.11).
2. Baseado no resultado do exercício anterior, derive as equações que fornecem o coeficiente
de momento e a posição do centro de pressão de uma asa triangular com bordo de ataque
supersônico.
3. Calcular a variação da derivada do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque,cLα , e
a posição do centro de pressão,xCP , do canard do VEA-1 com o número de Mach. Considere
que o canard encontra-se isolado e varie o número de Mach na faixa1, 2 ≤M∞ ≤ 2, 5.
Capítulo 5
Aerodinâmica de Corpos Esbeltos
As equações que descrevem o comportamento de escoamentos tridimensionais incompressíveis,
subsônicos e supersônicos são dadas, respectivamente, pelas Eqs. (5.1), (5.2) e (5.3). Estas equações
são válidas, como já foi visto anteriormente, para escoamentos permanentes, não viscosos e irrota-
cionais.
φxx + φyy + φzz = 0 (5.1)
(1−M2∞)φxx + φyy + φzz = 0 (5.2)
(M2∞ − 1)φxx − φyy − φzz = 0 (5.3)
Uma aproximação adicional feita para corpos esbeltos, nos quais o comprimento é muito maior
que a dimensão transversal ao escoamento, admite que as seções transversais do corpo possuem es-
coamentos independentes e regulados pela Eq. (5.4).
φyy + φzz = 0 (5.4)
Isso corresponde a desprezar todas as parcelas das Eqs. (5.1), (5.2) e (5.3) contendo o termoφxx.
Ou seja, as equações que descrevem os regimes incompressível, subsônico e supersônico reduzem-se
a uma única equação que corresponde ao escoamento incompressível e bidimensional através de uma
seção reta do corpo na estaçãox.
Um resultado importante obtido para o escoamento bidimensional incompressível revela que a
sustentação numa determinada seção é proporcional à variação do momento linear naquela seção ou
que é proporcional ao deslocamento de uma certa massa aparente de ar pelo corpo. Tal escoamento
pode ser visualizado na Fig. 5.1
A sustentação para cada seção do corpo pode ser expressa pela Eq. (5.5).
L′ =
∂L
∂x
⇒ L =
∫
L′dx (5.5)
L′ =
D
Dt
[m(x).wa(x, t)] (5.6)
D(.)
Dt
=
∂(.)
∂t
+ u
∂(.)
∂x
+ v
∂(.)
∂y
+ w
∂(.)
∂z
≈ ∂(.)
∂t
+ U∞
∂(.)
∂x
(5.7)
31
32 CAPÍTULO 5. AERODINÂMICA DE CORPOS ESBELTOS
6L′-x
-lb
���
���:
-6
V∞
U∞
αU∞
6αU∞
Seçãox
����
Figura 5.1: Escoamento transversal numa dada seçãox do corpo.
Para problemas de escoamento permanente e pequenos ângulos de ataque, valem as Eqs. (5.8) e
(5.9).
∂(.)
∂t
= 0 (5.8)
wa(x, t) ≈ αU∞ (5.9)
A massa aparente, para uma seção circular, pode ser dada pela Eq. (5.10).
m(x) = πR2(x)ρ∞ (5.10)
5.1 Sustentação de um corpo de revolução
L =
∫ lb
0
U∞
∂
∂x
[
πR2(x)ρ∞U∞α
]
dx = πρ∞U
2
∞α
∫ lb
0
∂
∂x
[R2(x)]dx (5.11)
L = πρ∞U
2
∞α[R
2(lb)−R2(0)] = πρ∞U2∞αR2b (5.12)
O coeficiente de sustentação, baseado na área da seção reta da base do corpo,Sb = πR2b , é dado
pela Eq. (5.13).
CL =
L
1
2
ρ∞U2∞Sb
=
πρ∞U
2
∞αR
2
b
1
2
ρ∞U2∞πR
2
b
= 2α (5.13)
A equação (5.13) pode ser traduzida em termos da derivada do coeficiente de sustentação com
relação ao ângulo de ataque cujo resultado, para um corpo de revolução esbelto, é apresentado na
Eq. (5.14). Este modelo corresponde às simplificações de escoamento permanente, não viscoso, ir-
rotacional e de pequenas perturbações.
CLα = 2 (5.14)
Note que o coeficiente de sustentação depende apenas dos raios das seções da ponta e da base do
corpo. Além disso, por causa das hipóteses assumidas anteriormente, esta aproximação gera coefi-
cientes de sustentação independentes do Número de Mach.
5.2. MOMENTO DE UM CORPO DE REVOLUÇÃO 33
5.2 Momento de um corpo de revolução
dm = −x dL = −xU∞
∂
∂x
[R2(x)πρ∞U∞α]dx (5.15)
m = −πρ∞U2∞α
∫ lb
0
x
∂
∂x
[R2(x)]dx (5.16)
Integrando a Eq. (5.16) por partes:
m = −πρ∞U2∞α
[
lbR
2
b −
∫ lb
0
R2(x)dx
]
(5.17)
O coeficiente de momento, baseado na área da seção reta da base,Sb = πR2b , e no comprimento
do corpo,lb, é dado pela Eq. (5.18).
Cm =
m
1
2
ρ∞U2∞Sblb
=
−πρ∞U2∞α
[
lbR
2
b −
∫ lb
0
R2(x)dx
]
1
2
ρ∞U2∞πR
2
b lb
= −2α
[
1− 1
R2b lb
∫ lb
0
R2(x)dx
]
(5.18)
A equação (5.18) pode ser escrita, da mesma forma como na caso do coeficiente de sustentação,
em termos da derivada com relação ao ângulo de ataque cujo resultado é representado pela Eq. (5.19).
Lembra-se que este resultado possui as mesmas aproximações do coeficiente de sustentação.
Cmα = −2
[
1− 1
R2b lb
∫ lb
0
R2(x)dx
]
(5.19)
Note que a integral que aparece na Eq. (5.19) representa, a menos de uma constante, o volume do
corpo de revolução,V. Portanto, esta equação pode ser reescrita na forma da Eq. (5.20).
Cmα = −2
(
1− V
πR2b lb
)
(5.20)
5.3 Centro de pressão de um corpo de revolução
O centro de pressão de um corpo pode ser calculado, para pequenos ângulos de ataque, a partir
dos coeficientes de sustentação e momento desse corpo, conforme a Eq. (5.21).
xCP
lb
= −Cmα
CLα
(5.21)
Substituindo as Eqs. (5.14) e (5.20) na Eq. (5.21), obtem-se a Eq. (5.22).
xCP
lb
= 1− V
πR2b lb
(5.22)
A aplicação deste resultado para o cone, por exemplo, indica que o seu centro de pressão está lo-
calizado a dois terços do comprimento do nariz, já que o volume de um cone corresponde à Eq. (5.23).
V = 1
3
πR2b lb (5.23)
Os resultados da aplicação deste modelo para alguns corpos de revolução encontram-se dispostos
na Tabela 5.1. A área de referência utilizada é sempre a área da base e o comprimento de referência é
o comprimento do corpo.
34 CAPÍTULO 5. AERODINÂMICA DE CORPOS ESBELTOS
Tabela 5.1: Derivadas de estabilidade e centros de pressão para alguns corpos de revolução.
Corpo de revolução CLα Cmα
xCP
lb
Cone 2 −4
3
2
3
Semi-elipse 2 −2
3
1
3
Arco de parábola 2 −1 1
2
5.4 Asas delta de baixo alongamento
A massa aparente da seção de uma asa, conforme mostrado na Fig. 5.2, pode ser dada pela
Eq. (5.24).
m(x) = ρ∞πs
2(x) (5.24)
6s
-
x
�
�
�
�
�
�
�
�
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
6
b
2
-cr
6s(x)
Figura 5.2: Esquema de uma asa delta.
Aplicando a Eq. (5.24) na Eq. (5.6), obtém-se a Eq. (5.25) para o coeficiente de sustentação de
uma asa delta de baixo alongamento.
CLα =
π
2
A (5.25)
ondeA correponde ao alongamento da asa.
As equações para o coeficiente de momento podem ser obtidas de forma semelhante.
Cmα = −
π
3
A (5.26)
xCP
cr
=
2
3
(5.27)
O ponto de referência utilizado para o cálculo doxCP é o bordo de ataque da seção da raiz da asa.
O comprimento e a área de referência utilizados nos coeficientes aerodinâmicos são, respectivamente,
a corda na raiz e a área em planta da asa.
5.5. CONFIGURAÇÃO COM FUSELAGEM E ASA DELTA DE BAIXO ALONGAMENTO 35
5.5 Configuração com fuselagem e asa delta de baixo alonga-
mento
6y
-
x
�
�
�
�
�
�
��
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ
6
sc
-cr
6R0
Figura 5.3: Configuração asa delta e fuselagem infinita.
A sustentação de uma configuração asa delta e fuselagem infinita de raioR0 é dada por Schlichting
e Truckenbrodt [1] como sendo:
L = πρ∞U
2
∞α
(s2c −R20)2
s2c
(5.28)
A Eq. (5.28) pode ser utilizada para o cálculo do coeficiente de sustentação da configuração fuse-
lagem + asa delta:
CL =
πρ∞U
2
∞α(s
2
c −R20)2
1
2
ρ∞U2∞Srefs
2
c
=
2πα
Sref
(s2c −R20)2
s2c
(5.29)
Admitindo que a área de referência éSref = sccr e sabendo que o alongamento da asa delta é
A = 4sc/cr, a derivada do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque é dada por:
CLα =
πA
2
(1− η2F )2 (5.30)
ondeηF = R0/sc.
Para o caso de uma configuração composta de uma asa delta e uma fuselagem com nariz, basta
somar a contribuição do nariz, obtida na seção 5.1, com a contribuição fornecida pela Eq. (5.28).
Assim:
L = πρ∞U
2
∞α
(s2c −R20)2
s2c
+ πρ∞U
2
∞αR
2
0 (5.31)
Recorrendo à mesma área de referência e manipulando algebricamente as expressões, chega-se a:
CLα =
πA
2
(1− η2F + η4F ) (5.32)
O desenvolvimento feito até o momento permite calcular fatores de correção para estimar-se a
sustentação de uma configuração asa e fuselagem baseado na sustentação da asa isolada (mas pro-
longada até o centro da fuselagem) e da razão entre a semi-envergadura da asa e o raioda fuselagem
ηF .
36 CAPÍTULO 5. AERODINÂMICA DE CORPOS ESBELTOS
Figura 5.4: Fator de correção da sustentação da asa devido à presença da fuselagem.
O fatorKWF é definido como sendo a relação entre a sustentação da configuração asa e fuselagem,
LWF , e a sustentação da asa isolada,LW , conforme a Eq. (5.33).
KWF =
LWF
LW
(5.33)
Uma ilustração da variação deKWF com o fatorηF é mostrada na Fig. 5.4 para duas situações.
A primeira considera uma fuselagem infinita, que corresponde à Eq. (5.30). A segunda é relativa à
Eq. (5.32) para uma fuselagem com nariz.
A presença da fuselagem provoca, também, um deslocamento do ponto onde está aplicada a força
de sustentação na asa. De acordo com Schlichting e Truckenbrodt [1], o deslocamento do ponto
neutro da asa na presença da fuselagem infinita, quando comparado com a posição desse ponto para
a asa isolada, que teoricamente corresponde a dois terços da corda na raiz para asas delta, é dado
pela Eq. (5.34). Esta equação vale para asas de baixo alongamento, ou seja, dentro da aproximação
de corpos esbeltos. O sentido positivo de∆xN é um deslocamento a jusante, ou seja, no sentido do
escoamento. (
∆xN
cµ
)
WF
=
2η2F
(1 + ηF )2
(5.34)
ondecµ corresponde à corda média aerodinâmica que pode ser obtida através de:
cµ =
2cr
3
(λ2 + λ + 1)
(λ + 1)
(5.35)
eλ = ct/cr é o afilamento da asa.
A Equação (5.36) fornece o deslocamento a jusante do ponto neutro da asa para o caso de uma
configuração composta de asa delta e fuselagem com nariz. Neste caso, o ponto de referência está a
dois terços da corda na raiz da asa prolongada até o centro da fuselagem.(
∆xN
cµ
)
WF
=
η2F
1− η2F + η4F
1
2
(
2− 5ηF + 4η2F −
8
5
lf
cr
)
(5.36)
5.6. CONSIDERAÇÕES ADICIONAIS 37
5.6 Considerações Adicionais
O cálculo das características aerodinâmicas de um corpo de revolução, feito com base nas aprox-
imações admitidas neste capítulo, leva a um resultado independente do Número de Mach. Apesar de
este ser um resultado amplamente utilizado para o valor do coeficiente de sustentação de um corpo,
por exemplo, é importante que o aerodinamicista esteja consciente das limitações deste modelo. Sabe-
se que o coeficiente de pressão na superfície de um corpo varia com o Número de Mach e não seria
de se esperar que os coeficientes aerodinâmicos, que são obtidos a partir do coeficiente de pressão,
não variem com aquele parâmetro. Conseqüentemente, os resultados obtidos por esta teoria devem
ser utilizados com cuidado.
Exercícios
1. Deduza os valores decLα , cmα exCP /lb fornecidos na Tab. 5.1.
2. Calcular os coeficientes aerodinâmicoscL e cm, além da posição do CP, do corpo do VEA-1.
Considere que o corpo vai da ponta do nariz do veículo até a seção onde há a interseção do
bordo de ataque da asa com o corpo do veículo. Admita, também, que o ângulo de ataque
corresponde aα = 2o.
38 CAPÍTULO 5. AERODINÂMICA DE CORPOS ESBELTOS
Referências Bibliográficas
[1] SCHLICHTING, H.; TRUCKENBRODT, E. Aerodynamics of the airplane, New York: McGraw-
Hill, 1979.
[2] KRASNOV, N. F. Aerodynamics - Vols. 1 e 2, Moscou: Mir Publishers Moscow, 1985.
[3] ANDERSON, J. D. Fundamentals of Aerodynamics, 2nd Edition, New York:McGraw-Hill, 1991.
[4] BERTIN, J. J.; SMITH , M. L. Aerodynamics for Engineers, 3rd Edition, Upper Saddle
River:Prentice-Hall, 1998.
[5] HALLIDAY , D.; RESNICK, R.; WALKER , J. Fundamentals of Physics, 4th Edition, New York:
John Wiley & Sons, 1993.
[6] BISPLINGHOFF, R. L.; ASHLEY, H.; HALFMAN , R. L. Aeroelasticity, New York: Dover Pub-
lications, 1996.
[7] FUNG, Y. C. An Introduction to the Theory of Aeroelasticity, New York: Dover Publications,
1993.
[8] SCHMIDT, L. V. Introduction to Aircraft Flight Dynamics, AIAA Educational Series, 1998.
[9] ANDERSON, J. D. Introduction to Flight, McGraw-Hill, 199?.
[10] BOLTON, W. Engenharia de Controle, 1995.
39
	Introdução
	Objetivos gerais
	Objetivos específicos
	Ementa
	Conteúdo programático
	Noções básicas
	Número de Mach
	Classificação dos escoamentos segundo o Número de Mach
	Equações fundamentais do escoamento
	Aproximações das equações governantes
	Escoamentos incompressíveis
	Pequenas perturbações
	Coeficiente de Pressão
	Regras de similaridade para escoamentos compressíveis
	Escoamentos subsônicos compressíveis
	Escoamentos supersônicos
	Escoamentos transônicos
	Aproximações de Kármán-Tsien e de Busemann
	Coeficientes aerodinâmicos de perfis e asas em regime supersônico
	Coeficientes para o perfil em regime supersônico
	Coeficientes para a asa em regime supersônico
	Aerodinâmica de Corpos Esbeltos
	Sustentação de um corpo de revolução 
	Momento de um corpo de revolução
	Centro de pressão de um corpo de revolução
	Asas delta de baixo alongamento
	Configuração com fuselagem e asa delta de baixo alongamento
	Considerações Adicionais