AP4_DISTRIB_TEORICAS2010_2ªED

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JANILSON PINHEIRO DE ASSIS 
 
 
 
 
 DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE 
PROBABILIDADE 
2ª EDIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOSSORÓ, RN , BRASIL 
2010 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
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Ficha Catalográfica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A848d Assis, Janilson Pinheiro de. 
 Distribuições teóricas (especiais) de probalidade / 
Janilson Pinheiro de Assis. -- Mossoró: UFERSA, 2010. 
 
 73p.: il. 
 
 ISBN:978-85-910262-2-7 
 
 1.Binomial. 2.Normal. 3.Simetria. 4.Densidade. I. Título. 
 CDD: 519.282 
 
Bibliotecária Keina Cristina Santos Sousa 
CRB15 120 
 
Proibida a reprodução total ou parcial, de qualquer forma ou por 
qualquer meio. A violação dos direitos do autor (Lei n. 9.610/98) é 
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Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto n. 1.825, 20 
de dezembro de 1907. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
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SUMÁRIO 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE .............................................................9 
1. INTRODUÇÃO: DEFINIÇÃO E OBJETIVO ..........................................................................................................................9 
2. TIPOS ......................................................................................................................................................................................9 
3. MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE TEÓRICAS DISCRETAS .....................................................10 
3.1. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI.....................................................................................................................................10 
3.1.1. INTRODUÇÃO..........................................................................................................................................................10 
3.1.2. NOTAÇÃO. X ∩ Ber(p)........................................................................................................................................10 
3.1.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE..............................................................................................................................10 
3.1.4. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DA VARIÁVEL ALEATÓRIA DE BERNOULLI ...........................................10 
3.1.5. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE............................................................................................. 11 
3.1.6. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO.................................................................................................................................. 11 
3.1.7. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA [FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO] [F(x)] ......... 11 
3.1.8. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS............................................................................................................................... 11 
3.1.9. EXERCÍCIOS........................................................................................................................................................... 12 
3.2. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL OU SEQUÊNCIA DE BERNOULLI ..................................................................................... 12 
3.2.1. GENERALIDADES................................................................................................................................................... 12 
3.2.2. CARACTERÍSTICAS DE UMA EXPERIÊNCIA BINOMIAL .................................................................................... 12 
3.2.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE [P(x)] ................................................................................................................ 12 
3.2.4. NOTAÇÃO: X∩∩∩∩ Bin (n;p)....................................................................................................................................13 
3.2.5. GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES........................................................13 
3.2.6. SITUAÇÕES REAIS QUE ENVOLVEM VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS OU DESCONTÍNUAS NAS 
QUAIS PODE SER APLICADO O MODELO MATEMÁTICO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL.......................................... 14 
3.2.7. PARÂMETROS CARACTERÍSTICOS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL .................................................................15 
3.2.8. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO.................................................................................................................................16 
3.3. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ....................................................................................................................................... 17 
3.3.1. GENERALIDADES................................................................................................................................................... 17 
3.3.2. CARACTERÍSTICAS DE UM EXPERIMENTO DE POISSON ................................................................................ 17 
3.3.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................................................................ 17 
3.3.4. GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES........................................................18 
3.3.5. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS: PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.......................................18 
3.3.6. SITUAÇÕES REAIS QUE ENVOLVEM VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS NAS QUAIS PODE SER 
APLICADO O MODELO MATEMÁTICO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ....................................................................18 
3.3.7. NOTAÇÃO..............................................................................................................................................................19 
3.3.8. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO ................................................................................................................................19 
3.4. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.................................20 
3.4.1. GENERALIDADES..................................................................................................................................................20 
3.4.2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO................................................................................................................................20 
3.5. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA-HIPGEOM (N, K, n)..........................................................................................21 
3.5.1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................................................................21 
3.5.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE.............................................................................................................................21 
3.5.3. NOTAÇÃO: x ~ H (N, n; p) .................................................................................................................................22 
3.5.4. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS............................................................................................................................22 
3.5.5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS: NÃO UTILIZADA ..................................................................................23 
3.5.6. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO................................................................................................................................234. MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE TEÓRICAS CONTÍNUAS ....................................................24 
4.1. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME-U (a, b) ............................................................................................................................24 
4.1.1. GENERALIDADES ...................................................................................................................................................24 
4.1.2. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE [f(x)] ............................................................................................24 
4.1.3. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO OU DE REPARTIÇÃO [F(X)] ................................................................................24 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
4 
4.1.4. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS .............................................................................................................................25 
4.1.4.1. ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA .......................................................................................................25 
4.1.4.2. VARIÂNCIA ...................................................................................................................................................25 
4.1.5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS.................................................................................................................25 
4.1.6. GERAÇÃO DE NÚMEROS PSEUDOALEATÓRIOS ...............................................................................................25 
4.1.7. O GRÁFICO DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE.............................................................................26 
4.1.8. O GRÁFICO DA FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO ........................................................................................................26 
4.1.9. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO...............................................................................................................................27 
4.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA .................................................................................................................28 
4.2.1. GENERALIDADES..................................................................................................................................................28 
4.2.2. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE [f(x)] ...........................................................................................28 
4.2.3. NOTAÇÃO USADA: X ~ N (µ, σ2).....................................................................................................................29 
4.2.4. DETERMINAÇÃO OU CÁLCULO DE ÁREAS OU PROBABILIDADES.................................................................29 
4.2.5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REQUERIDA [f(z)]...................................................................29 
4.2.6. NOTAÇÃO USADA PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO......................................................................... 30 
4.2.7. GRÁFICOS DA CURVA NORMAL E NORMAL PADRÃO .................................................................................... 30 
4.2.8. PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL ................................................................................................ 30 
4.2.9. CÁLCULO DE ÁREAS OU PROBABILIDADES SOB A CURVA NORMAL PADRÃO: USO DA TABELA DE 
PROBABILIDADES...........................................................................................................................................................31 
4.2.10. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ........................................................................................................................... 33 
4.2.11. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL: (APROXIMAÇÃO DE 
MOIVRE-LAPLACE)........................................................................................................................................................ 36 
4.2.11.1. GENERALIDADES........................................................................................................................................ 36 
4.2.11.2. CONDIÇÕES A SEREM SATISFEITAS .......................................................................................................37 
4.2.11.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA.....................................................................................................37 
4.2.11.4. PROBABILIDADES SOLICITADAS.............................................................................................................37 
4.2.11.5. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ................................................................................................................... 38 
4.2.12. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL........................ 39 
4.2.12.1. GENERALIDADES....................................................................................................................................... 39 
4.2.12.2. CONDIÇÕES A SEREM SATISFEITAS ..................................................................................................... 39 
4.2.12.3. PROBABILIDADES SOLICITADAS........................................................................................................... 39 
4.2.12.4. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ...................................................................................................................40 
4.3. DISTRIBUIÇÃO DE QUI-QUADRADO (χ2).................................................................................................................42 
4.3.1. GENERALIDADES..................................................................................................................................................42 
4.3.2. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.) .........................................................................................42 
4.3.3. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS............................................................................................................................42 
4.3.5. USO DE TABELAS................................................................................................................................................43 
4.3.6. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................43 
4.4. DISTRIBUIÇÃO “t” de “STUDENT” .............................................................................................................................44 
4.4.1. GENERALIDADES ..................................................................................................................................................44 
4.4.2. DEFINIÇÃO ...........................................................................................................................................................44 
4.4.3. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE (F.D.P.) ........................................................................................44 
4.4.4. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS ............................................................................................................................45 
4.4.5. NOTAÇÃO: T ∩ T(t; v), OU T ~ T (v) .................................................................................................................45 
4.4.6. GRÁFICOS............................................................................................................................................................45 
4.4.7. TABELAS...............................................................................................................................................................46 
4.4.8. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................47 
4.5. DISTRIBUIÇÃO “F” de “SNEDECOR (1881-1974)-FISHER (1890-1962)”-F(v1, v2) .............................................. 47 
4.5.1. GENERALIDADES.................................................................................................................................................. 47 
4.5.2. DEFINIÇÃO...........................................................................................................................................................48 
4.5.3. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE ......................................................................................................48 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
5 
4.5.4. NOTAÇÃO: f ∩ F(v1, v2) .....................................................................................................................................49 
4.5.5. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS............................................................................................................................49 
4.5.6. GRÁFICO ..............................................................................................................................................................49 
4.5.7. PROPRIEDADE.................................................................................................................................................... 50 
4.5.8. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE F DE FISHER-SNEDECOR
........................................................................................................................................................................................ 50 
4.5.9. DETERMINAÇÃO DE VALORES CRÍTICOS OU TABELADOS ATRAVÉS DE CONSULTAS ÀS TABELAS....... 50 
4.5.10. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO .............................................................................................................................51 
5. RELAÇÃO ENTRE AS DIVERSAS DISTRIBUIÇÕES ......................................................................................................51 
6. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO............................................................................................................................................51 
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................................................. 54 
APÊNDICE 1................................................................................................................................................. 56 
APÊNDICE 2 .................................................................................................................................................57 
APÊNDICE 3.................................................................................................................................................73 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
6 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 Gráfico representativo da distribuição de probabilidade de 
Bernoulli. 
 
11 
Figura 2 Distribuição de probabilidade acumulada de Bernoulli 
 
11 
Figura 3 Gráfico representativo da distribuição de probabilidade 
Binomial, para n = 5 e p=0,1. 
 
13 
Figura 4 Gráficos em hastes ou bastão da distribuição de probabilidade 
Binomial para diferentes valores de n e p. 
14 
Figura 5 Gráfico representativo da distribuição de probabilidade de 
Poisson. 
 
18 
Figura 6 Gráfico da distribuição de probabilidade de Poisson, para 
diferentes valores da média lambda λλλλ . 
 
18 
Figura 7 Gráficos da distribuição de probabilidade hipergeométrica para 
diferentes valores de N,n e K. 
22 
Figura 8 Função densidade de probabilidade da variável aleatória 
contínua uniforme. 
 
26 
Figura 9 Gráfico representativo da distribuição de probabilidade 
acumulada ou função de repartição, da variável aleatória 
uniforme. 
 
26 
Figura 10 Área sob a curva da distribuição normal. 
 
29 
Figura 11 Gráfico representativo da distribuição normal [f(x)] e normal 
padrão [f(z)]. 
 
30 
Figura 12 Gráficos de áreas sob a curva da distribuição normal e normal 
padrão. 
 
31 
Figura 13 Gráficos instrutivos para interpretação correta das áreas sob 
a curva da distribuição densidade de probabilidade normal 
padrão. 
 
32 
Figura 14 Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,20. 
 
33 
Figura 15 Área sob a curva normal padrão entre- 0,90 e 0,00. 
 
33 
Figura 16 Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 0,75. 33 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
7 
 
Figura 17 
 
 
Área sob a curva normal padrão entre - 0,20 e + 0,20. 
 
34 
Figura 18 Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,35. 
 
34 
Figura 19 Área sob a curva normal padrão entre -0,20 e 1,83. 
 
34 
Figura 20 Área sob a curva normal padrão entre -1,48 e 1,48. 
 
35 
Figura 21 Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,44. 
 
35 
Figura 22 Área sob a curva normal padrão entre 1,30 e 1,74. 
 
35 
Figura 23 Área sob a curva normal padrão entre -0,50 e 0,50. 
 
38 
Figura 24 Área sob a curva normal padrão entre -0,12 e 0,12. 
 
40 
Figura 25 Área sob a curva normal padrão entre -1,77 e 0,59. 
 
41 
Figura 26 Área sob a curva normal padrão entre 2,00 e 0,59. 
 
41 
Figura 27 Distribuição do Qui-quadrado (χχχχ2) para vários valores de graus 
de liberdade (v). 
 
42 
Figura 28 Distribuição de qui-quadrado (χχχχ2) mostrando a área crítica 
(hachurada), delimitada pelo valor tabelado ou crítico. 
 
43 
Figura 29 Distribuição de “Student” (t) para vários valores de graus de 
liberdade (v). 
 
46 
Figura 30 Distribuição t de “Student”, mostrando o valor tabelado e a 
região crítica unilateral (hachurada) à direita desse valor. 
 
46 
Figura 31 Distribuição t de “Student”, mostrando os valores tabelados ou 
críticos e as regiões críticas bilaterais (hachuradas) à 
esquerda e a direita desses valores. 
 
47 
Figura 32 Distribuição de “F” para vários valores de graus de liberdade v1 
e v2. 
 
49 
Figura 33 Distribuição de “F” mostrando a área crítica delimitada pelo 
valor tabelado de “F”. 
 
50 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
8 
 
 
LISTAS DE TABELAS 
 
Tabela 1 Distribuição de probabilidade de Bernoulli. 
 
10 
Tabela 2 Distribuição Binomial: Probabilidades binomiais P(X=x|n,p) para 
valores n = 1,2,...,20 ; p =0,05; 0,1; ...; 0,95; X=0,1,...,n. 
 
57 
Tabela 3 Distribuição de Poisson. 
 
63 
Tabela 4 Áreas ou probabilidades sob a curva normal padrão ente z = 0,00 
e um valor positivo de Z. Para os valores das probabilidades 
entre os valores negativos de Z e Z = 0,00, as áreas são obtidas 
por simetria. 
 
65 
Tabela 5 Distribuição de qui-quadrado para diversos níveis de 
significância. 
 
66 
Tabela 6 Distribuição de qui-quadrado para diversos níveis de 
significância (continuação). 
 
67 
Tabela 7 Tabela da distribuição t de “Student” com valores críticos ou 
tabelados unilaterais para diversos níveis de significância. 
 
68 
Tabela 8Distribuição de t de Student Bilateral. 
 
69 
Tabela 9 Distribuição “F” de Snedecor - Fisher, mostrando os valores 
críticos ou tabelados para diversos níveis de significância. 
 
70 
Tabela 10 Distribuição “F” de Snedecor-Fisher, mostrando valores os 
críticos ou tabelados para os níveis de significância de 0,05 
(continuação). 
 
71 
Tabela 11 Valores de e λ− 72 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
9 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE 
 
 1. INTRODUÇÃO: DEFINIÇÃO E OBJETIVO 
São modelos matemáticos de distribuições de probabilidades de certos 
universos, os quais são obtidos partindo-se de certas hipóteses gerais e deduzidos 
matematicamente. 
Constituem a base para boa parte da teoria estatística, usada pelos 
pesquisadores em geral. 
O conhecimento destas distribuições tem importantes consequências práticas, 
isto porque são diferentes os métodos de análise para os dados de observação (variável 
aleatória) que seguem diferentes distribuições teóricas. 
Um conceito muito usado em algumas distribuições teóricas é do grau de 
liberdade, o qual é um valor positivo cuja definição pode ser vista a seguir. 
Na linguagem física, um ponto que pode movimentar-se livremente em três 
dimensões, tem três graus de liberdades. Três coordenadas variáveis x, y e z, pode 
assumir diferentes valores independentes. Se nós restringirmos o ponto para se mover 
no plano, ele terá dos graus de liberdade, este fato pode ser mostrado através da 
dependência entre x, y e z: ax + by + cz = d. Um conceito similar é usado na linguagem 
estatística. A soma de n desvios ao quadrado com relação a média: 
22
2
2
1
2
1
)()()()( XXXXXXXX n
n
i
i −−−−++++++++−−−−++++−−−−====−−−−∑∑∑∑
====
L , 
 É denominado que tem n-1 graus de liberdade, para X fixado, somente n-1 
valores de x podem ser escolhidos independentemente, e n-ésimo está, portanto 
determinado. 
 As distribuições teóricas de probabilidade de algumas estatísticas (parâmetros) 
depende dos números de graus de liberdade. As mais comuns são t ou t de Student, qui-
quadrado ( 2χχχχ ) e F de Fisher-Snedecor, etc. 
 
 2. TIPOS 
As distribuições de probabilidades podem ser discretas ou contínuas, segundo a 
variável aleatória seja discreta ou contínua respectivamente. 
 
 2.1. Distribuições teóricas discretas ou descontínuas: Uniforme, Bernoulli, Binomial, 
Poisson, Geométrica ou Pascal, Hipergeométrica, Polinomial ou Multinomial, Binomial 
Negativa, etc. 
 
 2.2. Distribuições teóricas contínuas: Uniforme, Normal, Triangular, Beta, Gama, 
Gauchy, Qui-quadrado, t de “Student”, F de Snedecor-Fisher, etc. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
10 
 
 3. MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE TEÓRICAS DISCRETAS 
3.1. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
3.1.1. INTRODUÇÃO 
A distribuição de Bernoulli é uma das distribuições discretas mais importantes e 
está associada ao processo de Bernoulli: sequência de tentativas, cada uma com dois 
resultados possíveis, normalmente de natureza qualitativa. 
Muitos experimentos são tais que os resultados possíveis apresentam ou não uma 
determinada característica (normalmente de natureza qualitativa). 
i) Uma moeda é lançada: o resultado ou é “cara” ou não é. 
ii) Uma peça é escolhida, ao acaso, de um lote, contendo 500 peças; esta peça é 
defeituosa ou não defeituosa. 
iii) Um animal é examinado por um médico veterinário então ele é doente ou sadio. 
Em todos os casos, estamos interessados na ocorrência de um sucesso (ocorrência 
de cara, peça defeituosa etc.). Para cada experimento acima, podemos definir uma 
variável X que assume apenas dois valores: o valor 1, se ocorre sucesso e o valor 0, se 
ocorre fracasso indicamos p a probabilidade de sucesso, p(sucesso) = p(s) = p, onde 0 < 
p < 1.Ensaios que resultam numa variável aleatória que assume apenas dois valores: 
sucesso = 1 e fracasso = 0, cujas probabilidades são respectivamente p e 1 – p = q 
sendo que p + q = 1 são denominados ensaios ou tentativas de Bernoulli, e é uma forma 
conveniente de gerar outras variáveis aleatórias discretas, como, por exemplo, a 
binomial, a geométrica e a binomial negativa.Este fato torna a distribuição de Bernoulli 
uma das mais importantes. 
 
3.1.2. NOTAÇÃO. X ∩∩∩∩ Ber(p) 
Indica que a variável aleatória x possui distribuição de bernoulli com parâmetro “p”. 
 
3.1.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
P(X = x) = px(1 – p)1-x para x = 0 ou x = 1 
 
3.1.4. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DA VARIÁVEL ALEATÓRIA DE BERNOULLI 
 
Tabela 1: Distribuição de probabilidade de Bernoulli. 
X 0 1 Total 
P(x) 1 – p p 1 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
11 
 
3.1.5. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
Figura 1: Gráfico representativo da distribuição de probabilidade de Bernoulli. 
 
3.1.6. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 




≥≥≥≥
<<<<≤≤≤≤
<<<<
1 x se 1,
1 x o se p, - 1
0 x se 0,
F(x) 
 
3.1.7. GRÁFICO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE ACUMULADA [FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO] [F(x)] 
 
Figura 2: Distribuição de probabilidade acumulada de Bernoulli. 
 
3.1.8. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS 
Medidas características 
i) E(x) = µµµµx = p 
ii) 2xVar(x) σ P (1- p) p.q= = == = == = == = = 
 iii) D.P. = )(xσσσσ = 2σσσσ = qp. 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
12 
 
3.1.9. EXERCÍCIOS 
Exemplo 1: Seja x = 1 a ocorrência de uma fêmea em um nascimento de um bovino e x = 0 
a ocorrência de macho. Determine a distribuição de probabilidade de x. 
Gametas ♂ 
Gametas ♀ 
1/2 X 1/2 y 
X 
2
1 XX (♀) 
2
1 XY (♂) 
 
- As fêmeas (XX) ocorrerão em 50% das vezes. Logo, a variável “X” é uma variável 
aleatória de Bernoulli com parâmetro 
2
1
 P = . 
 
3.2. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL OU SEQUÊNCIA DE BERNOULLI 
3.2.1. GENERALIDADES 
Esse modelo foi criado pelo matemático Suíço Jacob Jacques Bernoulli (1654-
1705), e é a mais importante das distribuições teóricas para variáveis aleatórias 
discretas, e foi a primeira distribuição introduzida na estatística. Ela é uma 
generalização da distribuição de Bernoulli para o caso de “n” tentativas independentes e, 
portanto, está associada a um processo de Bernoulli (sequência de tentativas de 
Bernoulli). É a distribuição discreta mais importante, podemos afirmar que a 
distribuição Binomial está para as distribuições discretas assim como a distribuição 
Normal está para as contínuas. Esta distribuição é muito aplicada em amostragem e em 
situações em que conhecemos o tamanho da amostras e sabemos quantas vezes é que 
um acontecimento ou evento ocorreu. 
Imagine agora que repetimos um ensaio de Bernoulli n vezes, ou, como se diz 
também obtemos uma amostra de tamanho n de uma distribuição de Bernoulli. 
 
3.2.2. CARACTERÍSTICAS DE UMA EXPERIÊNCIA BINOMIAL 
i) Para cada ensaio, a variável aleatória pode assumir somente um dos dois valores 
sucessivo (1) ou fracasso (0); 
ii) Os ensaios repetidos são independentes; 
iii) O valor de “P” que é a probabilidade de sucesso permanece constantede ensaio 
para ensaio; 
iv) Um número fixo de ensaios (n) serão conduzidos; 
v) Interessa-nos X, número de sucessos obtidos em “n” tentativas. 
 
3.2.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE [P(x)] 
a) Seja “P” a probabilidade de ocorrência (sucesso) e q = 1 – p, a de não ocorrência 
(fracasso), evidentemente p + q = 1. 
b) Admitimos que em “n” provas independentes (repetições) há “x” sucessos. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
13 
c) A probabilidade de se obter “x” sucessos nas “n”provas é dada por: 
x - nx
x - nX
q .Pq.q......q.PP.P.P..... ====
4342143421
, devido à independência dos ensaios. Mas 
qualquer sequência com “x” sucessos e n – x fracassos terá a mesma probabilidade. 
Multiplicando esta probabilidade pelo número de maneiras distintas de se conseguir “X” 
sucesso em “n” tentativas que é 
n
X
    
    
    
, obtém-se o resultado pretendido. Portanto resta 
saber quantas sequências com “x” sucessos e n – x fracassos podemos formar. É fácil 
ver que, considerando todas as n – úplas com “x” sucessos, ou melhor, como nada foi 
dito sobre a ordem dos sucessos, a probabilidade será obtida multiplicando-se o 
resultado acima por 





====
x
n
 x) C(n, ; e a função de probabilidade apropriada é: 
x n - xn!P (x x) . P . q
X! (n - X)!
= == == == = , que é o termo geral do desenvolvimento do 
Binômio de Newton 
n x n - x
x 0
n
(p q) P q
X!(n-X)!
n
====
+ =+ =+ =+ = ∑∑∑∑ 
é claro que (p + q)n = ∑
∞
= 0 x 
 P(x) = 1, os termos de P(x) dão as probabilidades dos vários 
resultados possíveis. Assim temos, 
 
p (x = 0) = P(X=0) = qn 
p ( x ≤≤≤≤ 2) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X=2) 
p (x ≥≥≥≥ 1) = 1 – [p(x = 0)], pois P(X = 0) + P(X = 1) +LLLL+ P(X = n) = 1,0 
P(X = n) = Pn 
 
3.2.4. NOTAÇÃO: X∩∩∩∩ Bin (n;p) 
 Significa que a variável aleatória “x” tem distribuição binomial com parâmetros 
“n” e “p”. 
 
3.2.5. GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
n
0 
 
Figura 3: Gráfico representativo da distribuição de probabilidade Binomial, para n = 5 e p=0,1. 
 
Para p = 0,50 a distribuição Binomial é sempre simétrica. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Gráficos em hastes ou bastão da distribuição de probabilidade Binomial para 
diferentes valores de n e p. 
 
P
ro
b
ab
ili
d
ad
e 
em
 %
20
15
10
 5
 0
p(x)
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 x
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
em
 %
20 -
15 -
10 -
 5 -
 0 -
p = 0,001
n = 5.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
p(x)
p = 0,001
n = 10.000
0 1 2 3 4 
0
10
30
40
20
p(x)
x
p = 0,001
n = 1.000
P
ro
ba
b
ili
d
ad
e 
em
 %0.6 -
0.4 -
0.2 -
0
-
-
-
0 2 4 6 8 10 x
n = 10
p = 0.5
p(x)
P
ro
ba
b
ili
d
ad
e 
em
 %
0.6 -
0.4 -
0.2 -
0
-
-
-
0 1 2 3 4 5 x
n = 5
p = 0.5
p(x)
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
em
 %
0.6 -
0.4 -
0.2 -
0
-
-
-
0 2 4 6 8 10 x
n =10
p = 0.1
p(x)
P
ro
ba
b
ili
d
ad
e 
em
 %
0 1 2 3 4 5 x
0.6 -
0.4 -
0.2 -
0
-
-
-
n = 5
p = 0.1
p(x)
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
em
 %
p(x)
-30
-
-
-0
0 1 2 3 4 5 
10
20
x
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
em
 %
p = 0,5
n = 5
p(x)
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-
-10
-20
-30
- - -
x
p = 0,5
n = 15
P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
em
 %
p(x)
15
10 -
-
-
-
-5
-
-
-0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
- - - - - -
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
em
 %
p = 0,5
n = 30
x
P
ro
b
ab
il
id
ad
e 
em
 %
0
0 1 2
p = 0,001
n = 100
90 -
80 -
70 -
60 -
10 -
20 -
30 -
40 -
50 -
p(x)
x
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
15 
 
3.2.6. SITUAÇÕES REAIS QUE ENVOLVEM VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS OU 
DESCONTÍNUAS NAS QUAIS PODE SER APLICADO O MODELO MATEMÁTICO DA 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 A seguir são apresentados alguns exemplos práticos de experiências envolvendo 
variáveis aleatórias discretas. 
i) Lançamentos sucessivos de uma moeda e observar a sequência de cara ou coroa. 
ii) Número de pessoas com determinada doença. 
iii) Número de produtos manufaturados que são defeituosos 
iv) Número de folhas de uma planta afetada por certa doença. 
v) Número de animais curados com certo medicamento. 
vi) Número de sementes germinadas. 
vii) Etc. 
 
3.2.7. PARÂMETROS CARACTERÍSTICOS DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 i) Média: 
∑∑∑∑
====
====++++++++++++====++++++++++++================
n
0 x
n21ii p . n p .... p p ) y .... y (y E )P(x . x m (x) E µ 
 
ii)Moda: 
 A distribuição Binomial terá dois máximos. Isto é, será uma distribuição bimodal, 
se np + p for um número inteiro. Em caso contrário, terá um só máximo. No caso 
particular de 
2
1
======== qp , se n for ímpar haverá dois máximos, e um só máximo caso n 
seja par. 
 
iii)Variância:
n
2 2
i i 1 2 n
x 0
VAR. (x) = (X - µ) .P(x ) VAR (y y ... y ) p . q p . q ... p . q n . p . qσσσσ
====
= = + + + = + + + == = + + + = + + + == = + + + = + + + == = + + + = + + + =∑∑∑∑ 
 
iv) Desvio Padrão: 
q . p . n σ ==== 
 
v) Coeficiente de Assimetria 
 Demonstra-se que o coeficiente de assimetria 1γγγγ para a distribuição binomial é dado por: 
npq
pq −−−−
====1γγγγ . É fácil verificar, que se 01 ====γγγγ para 2
1
======== qp , isto é, a distribuição é 
simétrica seja qual for o valor de n. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
16 
vi) Coeficiente de Achatamento ou Curtose 
 
O coeficiente de achatamento 2γγγγ é dado por: 3
61
2 ++++
−−−−
====
npq
pq
γγγγ . Sendo assim a 
distribuição será Mesocúrtica se: 32 ====γγγγ , isto é, se 6
1
====pq ; será Leptocúrtica se 
32 >>>>γγγγ , isto é, se 6
1
<<<<pq e será Platicúrtica se 32 <<<<γγγγ , isto é. Se 6
1
>>>>pq . 
 
3.2.8. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 É sabido de experimentos anteriores que a probabilidade de nascer bezerros 
natimortos em partos de um rebanho bovino da raça nelore é P = 10%.Se um médico 
veterinário realiza 5 partos nesse rebanho, então responda: 
 
a) Qual a probabilidade de ocorrerem, por acaso, 3 natimortos em 5 partos observados? 
P = 0,10 5 3 5-33P (x 3) C .(0,10) .(0,90)= == == == = 
q = 0,90 3 25!P (x 3) . (0,10) . (0,90)
3! (5 - 3)!
= == == == = 
n = 5 
k = 3 
x = número de natimortos P (x = 3) = 10 x 0,001 x 0,81 = 0,0081 = 0,81% 
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 
X ∩∩∩∩ B (5; 0,10) 
 
b) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um natimorto nos 5 partos observados? 
P(x ≥≥≥≥ 1) = 1 - [P(x = 0)] = 1 - 40,95% 0,40951 0,59049 - 1 (0,90) . (0,10) C 0-5050 ≅≅≅≅======== 
 
c) Em n = 50 partos observados, qual o número médio esperado de natimortos? 
E(x) = µµµµx = 50 x 0,10 = 5 natimortos 
 
d) E em n = 2000 partos observados, qual o número médio esperado de natimortos? 
E(x) = 2000 x 0,10 = 200 natimortos 
 
e) Qual o desvio padrão em (c)? 
 


====
====
0,90 q
0,10 P
 
natimortos 12,20,90 x 0,10 x 50 σx ======== 
 
f) Qual o número médio de partos com natimortos? 
E(x) = 5 x 0,10 = 0,5 parto 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
17 
 
3.3. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
3.3.1. GENERALIDADES 
Esse modelo foi criado pelo matemático e físico francês, Siméon Denis Poisson 
(1781 - 1840), em 1837. 
É um modelo usado para descrever as probabilidades do número de ocorrências 
de acontecimentos (eventos) raros, em geral num intervalo de tempo, distância, área ou 
volume (contínuo), como por exemplo, o número de ligações erradas num circuito 
telefônico. O número de automóveis que passam numa esquina (observe que poderemos 
anotar o número de automóveis que passaram (sucesso), porém o número de carros 
que deixaram de passar não poderá ser determinado (fracasso)). 
Note-se que a unidade de medida (tempo, área, volume) é contínuo, mas a 
variável (número de ocorrências) é discreta.Sendo assim é denominada distribuição de 
“eventos raros”. 
 
3.3.2. CARACTERÍSTICAS DE UM EXPERIMENTO DE POISSON 
 A utilização da distribuição de Poisson, baseia-se nas seguintes hipóteses. 
i) A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação; 
ii) A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero. 
Quando “n” cresce indefinidamente, “p” tende para zero; 
iii) O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de 
ocorrências em outros intervalos. 
 
3.3.3. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
Se uma variável aleatória é descrita por uma distribuição de Poisson, então a 
probabilidade de se realizar um determinado número de ocorrências por unidade de 
medida (minuto, hora, cm2, cm3, etc.) é dado pela seguinte fórmula. 
 
k -λλ .
P(x k) 
k!
e
= == == == = , onde k = {0, 1, 2, ..., ∞} 
 
- Onde, 
x = k = número de ocorrências 
e = base do logaritmo natural 
e = é o número de Euler cujo valor é 2,71828 
λλλλ = taxa média por intervalo ou unidade (constante positiva dada), λλλλ = µµµµ . t 
λλλλ = número médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado (é a intensidade de 
Poisson). 
 A distribuição de Poisson é caracterizada por um único parâmetro (a média do 
processo que é o λλλλ). 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
18 
 
3.3.4. GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Figura 5: Gráfico representativo da distribuição de probabilidade de Poisson. 
 
 
 Figura 6: Gráfico da distribuição de probabilidade de Poisson, para diferentes valores da média 
lambda λλλλ . 
 
3.3.5. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS: PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
(i) Média: E(x) = µµµµx = λλλλ 
(ii) Variância: V(x) = 2xσ = λλλλ 
(iii) Desvio padrão: D.P. = σσσσx = λ 
 
3.3.6. SITUAÇÕES REAIS QUE ENVOLVEM VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS NAS QUAIS 
PODE SER APLICADO O MODELO MATEMÁTICO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 São apresentados a seguir alguns exemplos de experiências envolvendo 
variáveis aleatórias discretas 
 
i) O número de defeitos por cm2 num tecido; 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
19 
ii) O número de bactérias por volume unitário de um fluído; 
iii) O número de acidentes por dia num trecho de uma rodovia; 
iv) O número da ocorrência de gêmeos; 
v) O número de desintegrações por segundo de um isótopo radioativo como o 
fósforo 32(p32), emitidos por uma fonte radioativa, a um contador Geiger; 
vi) O número de chamadas telefônicas, Recebidas por uma central num intervalo de 1 
hora; 
vii) O número de sementes de ervas daninhas presentes num lote de sementes de 
uma cultura; 
viii) O número de falhas de um computador em um dia de operação; 
ix) O número de nematóides encontrados em amostras de solo; 
x) O número de células contadas usando um hemocitrômetro; 
xi) Número de registros anuais de cânceres; 
xii) Número de óbitos diários em um grande hospital; 
xiii) Número de bactérias por mililitro (ml) de urina; 
xiv) Número de pacientes que chegam diariamente em centros de saúde; 
xv) Número de chegadas a um pronto – socorro durante a madrugada; 
xvi) Número de animais de grande porte atendidos por semana em hospital 
veterinário; 
xvii) Número de pessoas com leucemia em 2008, em uma cidade como Mossoró, RN; 
xviii) Número de acidentes de carro na Ponte de Igapó, na cidade de Natal, RN 
durante a primeira semana de janeiro de 2009. 
ix) Número de metamielócitos no sangue de pessoas sadias; 
 xx) Etc. 
 
3.3.7. NOTAÇÃO 
X ∼∼∼∼ POIS (λλλλ): SIGNIFICA QUE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA “X” POSSUI 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE POISSON COM PARÂMETRO “λλλλ”. 
 
3.3.8. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
O número de árvores da espécie enterolobium glaziovii benth (nome vulgar 
timbaúba), se distribui aleatoriamente em certa reserva florestal de mata atlântica com 
uma média de duas (2) árvores por hectare. 
 
X = NÚMERO DE ÁRVORES DE TIMBAÚBA, X = {0, 1, 2,...,}. 
 
 E(X) = µ, = λ = 2 ÁRVORES POR HECTARE. 
[[[[ ]]]]
!
.
x
ex
xXp
λλλλλλλλ −−−−======== , 
 
a) Qual é a probabilidade de se encontrar por acaso cinco (5) árvores de Timbaúba por 
hectare? 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
20 
 
b) Qual é a probabilidade de se contarem no máximo duas (2) árvores de Timbaúba por 
hectare? 
 
c) Qual é a probabilidade de se localizar uma (1) árvore de Timbaúba em dois hectares? 
λλλλ = 2 sendo que µµµµ = 2.2 = 4 árvores 
 
d) Qual é o valor da média? 
 
e) Qual é o valor da variância? 
 
f) Qual é o valor do desvio padrão? 
 
3.4. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
3.4. 1. GENERALIDADES 
Quando n é grande e p é pequeno, 




========≤≤≤≤<<<<
<<<<→→→→
≥≥≥≥∞∞∞∞→→→→
λ p . n µ 10 µ 0
0,1 p 0 p
30 n n
 
Outros autores recomendam como regra prática se: n ≥≥≥≥ 30 e np < 5 ou 
 n(1 – p) < 5. Ou nas seguintes situações. 



≤
≥



≤
≥



≤
≥



≤
≥
0,08 P
100 n 
 
0,05 P
50 n 
 
0,03 P
20 n 
 
0,01 P
10 n 
 
 
 Temos então o seguinte: 





================∴∴∴∴========
n
λ
 - 1 λ q. p. . n σ,
n
λ
 - 1 q ,
n
λ
 p λ . p . n µ 2(x)(x) e 




 −−−−====
n
x
λλλλλλλλσσσσ 1)( 
 
3.4. 2. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO 
 A probabilidade de uma determinada marca de arado de disco agrícola 
apresentar defeitos nos seus discos é 0,012. Ao se examinar ao acaso um lote de 80 
arados: a) Qual é a probabilidade de não haver nenhum defeito; b) Qual é a probabilidade 
de haver pelo menos um defeituoso? n = 80; P = 0,012; q = q – P = 1 – 0,012 = 0,988 
X = {0,1,2,3, ... ,80} 
a) A probabilidade procurada é 
P (x = 0) = 38% 0,380676 (0,988) (0,988) . (0,012) . 
0
80 800-800 ≅≅≅≅========




 
Como n é grande e P é pequeno neste caso, a aproximação de Poisson dá, 
µµµµ = λλλλ = 80. 0,012 = 0,96 
P(x = 0) = %383828928,0
0!
e . (0,96) -0,960
≅≅≅≅==== 
Resultado este muito próximo da resposta exata. 
DISTRIBUIÇÕESTEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
21 
b) P(x ≥≥≥≥ 1) = 1 – [P (x = 0)] = 1 – 0,380676 = 0,619324 ≅≅≅≅ 62% 
 P (x ≥≥≥≥ 1) = 1 – 0,3828928 = 0,617107114 ≅≅≅≅ 61,71% ≅≅≅≅ 62% 
 
 
3.5. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA-HIPGEOM (N, K, n) 
3.5.1. INTRODUÇÃO 
A distribuição Binomial é o modelo adequado para estudar as propriedades dos 
esquemas probabilísticos do seguinte tipo: de uma urna que contém, N, bolas, apenas 
diferentes na sua cor, das quais, K, são brancas e, N-K, são pretas, 0 < p <1, p + q = 1, 
tiram-se, n, bolas, com reposição, isto é, devolvendo à urna cada bola logo após verificar 
a sua cor; qual a probabilidade de obter, x, bolas brancas? Este esquema presta-se a 
caracterizar um sem número de situações correntes, em que se colhem com reposição 
amostra de, n, elementos de um universo ou população com, N, elementos, dos quais, K, 
possuem determinado atributo (são fumadores, clientes de uma certa marca, doadores 
de sangue, etc.) e, N-K, não possuem esse atributo. 
Como já mencionado a distribuição hipergeométrica tem uma relação bastante 
forte com a distribuição binomial. Essa distribuição se aplica às amostragens sem 
reposição de uma população dividida segundo dois atributos. Para defini-la, considerar a 
população de N elementos, em que k deles possui atributo A e N-k o atributo B. Uma 
amostra de n elementos é retirada dessa população, sem reposição, e o foco de 
interesse é uma variável que representa o número de elementos na amostra que possui 
o atributo A. Se N é muito grande relativamente à n, a distribuição binominal pode ser 
usada como uma aproximação. A distribuição exata, nesse caso, é a hipergeométrica, 
cuja função de probabilidade é apresentada a seguir: 
 
3.5.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE 
 


















========
n
N
N
x
k
xXP
x-n
k-
)( 
 
em que Max (0, n-N+k) ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ min (k, n), 0 < P < 1, P + q = 1 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
22 
3.5.3.GRÁFICOS DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7: Gráficos da distribuição de probabilidade hipergeométrica para diferentes valores de N,n e K. 
 
3.5.3. NOTAÇÃO: x ~ H (N, n; p) 
Significa que a variável aleatória discreta x tem distribuição de probabilidade 
hipergeométrica. 
 
3.5.4. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS 
A variável aleatória X, com função de probabilidade apresentada na equação 36, 
possui média e variância dadas respectivamente por: 
i) Média: µµµµx = np 
ii) Variância: 



−−−−
−−−−−−−−====
1
)1(2
N
nN
pnpxσσσσ 
 em que 
N
k
p ==== 
iii) Moda: 
 A distribuição é unimodal se 
2
)1)(1(
++++
++++++++
N
nk não for um número inteiro. 
 Neste caso, a moda é dada por 



++++
++++++++
2
)1)(1(
N
nk
Int , ou seja, a parte inteira de 




++++
++++++++
2
)1)(1(
N
nk 
 A distribuição é bimodal se 



++++
++++++++
2
)1)(1(
N
nk é um número inteiro. Neste caso, as 
modas são 


 −−−−
++++
++++++++
1
2
)1)(1(
N
nk e 



++++
++++++++
2
)1)(1(
N
nk 
 
 A justificativa deste fato, baseia-se em resolver a desigualdades P(X = x) ≥ P(X = 
x – 1) e P(X = x) ≥ P(X = x+1) em relação a x. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
23 
 
3.5.5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS: NÃO UTILIZADA 
 
3.5.6. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
3.5.6.1. EXEMPLO 1. Em uma fazenda com 100 cabeças de gado, 4 estão com uma virose. i) 
Qual é a probabilidade de que uma amostra de tamanho n = 10 não apresenta animais 
doentes? ii) Qual é essa probabilidade, considerando agora uma amostra de tamanho n = 
20? 
K = 4; N = 100; e p = 4/100 = 0,04. 
i) %16,656516,0
10
100
10
96
0
4
)0( ========


















========XP 
ii) %33,404033,0
20
100
20
96
0
4
)0( ========


















========XP 
 
3.5.6.2. EXEMPLO 2. i) Calcule a média e a variância da variável X do exemplo 1, 
considerando n = 10; ii) Utilize a distribuição binomial para aproximar a probabilidade 
obtida no exemplo 1 com n = 10. 
i) n = 10 µµµµx = np = 10 x 0,04 = 0,4 e 
349091,0
1100
10100
96,004,010
1
)1(2 ====



−−−−
−−−−====



−−−−
−−−−−−−−==== xxx
N
nN
pnpxσσσσ 
ii) p = 0,04 e n = 10, logo P(X = 0) = 





0
10 x 0,040 x 0,9610 = 0,6648 
A aproximação binomial não é muito boa nesse caso (erro relativo de 2%), pois o 
tamanho da população não pode ser considerado grande quando comparado ao tamanho 
da amostra (n = 10), pois n/N > 0,05. 
A distribuição hipergeométrica tem grande utilidade no controle de qualidade dos 
processos de produção, na estimação de tamanhos de populações de diferentes espécies 
em diferentes nichos ecológicos, ameaçados de extinção ou não, ou em ambientes 
fechados, como por exemplo, peixes em tanques. Nessas situações de estimação do 
tamanho da população, comumente se utiliza o método da captura-recaptura. Nesse 
método sorteiam-se n1 elementos que são marcados de alguma forma e retornados à 
população. Outra amostra aleatória de n2 elementos é retirada dessa população, sendo 
observado o número de sucessos x, elementos marcados. O tamanho da população é, 
assim, estimado maximizando a probabilidade de se obter o valor x encontrado, usando a 
função de probabilidade 1. 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
24 
 
 4. MODELOS DE DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE TEÓRICAS CONTÍNUAS 
4.1. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME-U (a, b) 
4.1.1. GENERALIDADES 
 De acordo com BRESSAN (2002), MARTINS (2003), HOEL (1980), MEYER (1969), 
MORETTIN & BUSSAB (2003) e BATSCHELET (1978), uma variável aleatória contínua que 
admita distribuição constante em algum intervalo ( )ba, e zero para valores externos é 
conhecida como distribuição retangular ou uniforme, a qual tem uso mais comum em 
primeira tentativa em casos em que apenas os limites dos dados são conhecidos. 
 A distribuição uniforme é uma das mais simples distribuições e é usada 
comumente em situações em que não há razão para atribuir probabilidades diferentes a 
conjuntos possíveis de valores da variável aleatória em determinado intervalo, Por 
exemplo, o tempo de chegada de um vôo pode ser considerado distribuído 
uniformemente em certo intervalo de tempo; a distribuição da distância de posição de 
cargas em uma ponte, em relação a um pilar terminal, também pode ser representada 
adequadamente por uma distribuição uniforme sobre o vão da ponte. Não é demais 
observar que, por vezes, associamos uma distribuição uniforme a determinada variável 
aleatória, simplesmente por falta de informação mais precisa além do conhecimento do 
seu intervalo devalores. 
 
4.1.2. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE [f(x)] 
Uma variável aleatória possui distribuição uniforme em um dado intervalo se sua 
função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada por: 
1Kdx
b
a
=∫ , (((( )))) (((( )))) abKKabXK
b
a −−−−
========−−−−====
1
,1,1| 
(((( )))) (((( ))))






−−−−
====
0
1
ab
xf 
se 
 
 
bXa ≤≤≤≤≤≤≤≤ 
 
caso contrário 
 
 
 
 
 
4.1.3. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO OU DE REPARTIÇÃO [F(X)] 
A função de distribuição é: 
(((( )))) (((( ))))(((( ))))









−−−−
−−−−====
1
0
ab
aX
xF 
se 
 
se 
 
se 
aX <<<< 
 
bXa ≤≤≤≤≤≤≤≤ 
 
Xb <<<< 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
25 
Assim para dois números quaisquer c e d, teremos.P(c < x ≤ d) = F(d) –F(c), que é 
obtida facilmente da função de distribuição. 
 
4.1.4. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS 
 A estimativa da média e da variância da distribuição uniforme são determinadas 
respectivamente por: 
 
4.1.4.1. ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA 
 
(((( )))) (((( ))))
2
ba
XE
++++==== 
 4.1.4.2. VARIÂNCIA 
 
(((( )))) (((( ))))
12
2
ab
XVar
−−−−==== 
 
4.1.5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS 
 
====)(tmx (((( ))))t
atbt
ab
ee
-
- −−−− , t ≠ 0; 1)0( ====xm 
 
 
4.1.6. GERAÇÃO DE NÚMEROS PSEUDOALEATÓRIOS 
Ainda conforme MARTINS (2003), um número aleatório é uma variável aleatória 
que obedece às condições: 
1) É uniformemente distribuída no intervalo que verifica as condições; 
2) Uma sucessão destas variáveis revela independência estatística; 
Também é comum designar por número aleatório o valor de uma variável 
aleatória nas condições acima. 
Então, seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme entre a e b, 
( )ba,U∩X . Então 
(((( )))) ∫∫∫∫ −−−−
−−−−====
−−−−
====
x
a
ab
ax
dt
ab
xF
1 para bxa ≤≤ 
Ou seja 
(((( ))))xFu ==== 
ab
ax
u
−−−−
−−−−==== 
(((( ))))uabax −−−−++++==== 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
26 
 
Portanto para gerar X, começa gerando um número aleatório U e toma-se 
(((( ))))UabaX −−−−++++==== 
 
4.1.7. O GRÁFICO DA FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE 
O gráfico da função densidade de probabilidade da distribuição uniforme é 
mostrado na figura 1. 
 
Figura 8: Função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua uniforme. 
 
 
4.1.8. O GRÁFICO DA FUNÇÃO DE REPARTIÇÃO 
O gráfico da Função de repartição é mostrada na figura abaixo: 
 
In
cli
na
çã
o =
 
1
 
 
 
 
 
 b
 - 
a
Xa b 
Figura 9: Gráfico representativo da distribuição de probabilidade acumulada ou função de repartição, 
da variável aleatória uniforme. 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
27 
 
4.1.9. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
4.1.9.1. EXERCÍCIO 1 
 Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta [0,2]. a)Qual será a 
probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre 1 e 1,5? b) Qual o valor da média e da 
variância de X? 
 
 As respostas são apresentadas a seguir. 
a) (((( )))) 20,
2
1
02
11
<<<<≤≤≤≤====
−−−−
====
−−−−
==== Xpara
ab
xf 
(((( )))) 005,1 0,1
5,0
0,1
25)25,0(
4
1
|
2
1
2
1
5,11 ================≤≤≤≤≤≤≤≤ ∫∫∫∫ XdxXP 
(((( ))))




>>>><<<<
≤≤≤≤≤≤≤≤
====
200
20
2
1
XouXse
Xpara
xf
 
b) (((( )))) 1
2
20
2
====
++++====
++++====
ba
XE 
(((( )))) (((( ))))
33,0
12
02
12
22
2
)( ====
−−−−====
−−−−====
ab
Xσσσσ 
 
4.1.9.2. EXERCÍCIO 2 
Dureza “H” de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável 
aleatória com distribuição uniforme no intervalo [50.70] da escala de “ROCKWEL”. 
Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60. 
(((( ))))




>>>><<<<
≤≤≤≤≤≤≤≤
====
70500
7050
20
1
houhse
hse
hf 
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) %2525,0
4
1
5
20
1
5560
20
1
|
20
1
20
1
6055 6055
60
55
================−−−−============≤≤≤≤≤≤≤≤ ∫∫∫∫ hdhhf 
 
4.1.9.3. EXERCÍCIO 3 
 As variáveis aleatórias X e Y são independentes e têm distribuição uniforme no 
intervalo [0,1]. Determine a probabilidade de que o seu produto seja inferior a 
2
1 
Resposta: 0,847 
 
4.1.9.4. EXERCÍCIO 4 
 Dez pontos acham-se distribuídos uniformes e independentemente no intervalo 
[0,1]. Determine: 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
28 
a) A probabilidade de o ponto situado mais à direita estar à esquerda de 
4
3 
Resposta: 0,056 
b) A probabilidade de o ponto contíguo àquele estar à direita de 
2
1 
Resposta: 0,989 
 
 
4.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA 
4.2.1. GENERALIDADES 
Essa distribuição é conhecida também como distribuição de Gauss ou Curva 
Gaussiana em honra ao maior matemático de seu tempo, o cientista alemão JOHANN 
KARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855), o qual discutiu esta distribuição em 1809, no 
entanto, Pierre Simon de Laplace (1749 – 1827), que era astrônomo e matemático como 
Gauss, já a tinha estudado em 1774 e, antes disso, Abraham de Moivre (1667 – 1754) 
apresentou a equação dessa curva em 1773, em um trabalho que ficou por muito 
desconhecido. Para resolver a questão da prioridade científica Karl Pearson (1857 – 
1936) recomendou que se utilizasse o termo curva normal, usado pela primeira vez por 
Sir Francis Galton (1822 – 1911). O nome desta distribuição teórica é também denominado 
curva de distribuição normal. O termo normal foi consagrado na bioestatística pelo uso, 
embora esse nome, muitas vezes, cause alguma confusão ao sugerir que a distribuição 
normal ocorre apenas em organismos sadios, o que não é verdade, pois podem-se 
observar características que possuem distribuição normal também em organismos 
doentes. É a mais importante distribuição de probabilidade de variável contínua em todo 
o campo da estatística tanto sob o ponto de vista teórico quanto nas aplicações práticas. 
Seu gráfico conhecido como curva normal é uma curva de forma campanular que 
descreve de forma aproximada a distribuição de frequências ou de probabilidades da 
maioria dos dados ou variáveis de mensuração que ocorrem nas ciências físicas, 
biológicas e sociais, ou na natureza, na indústria e nas pesquisas de maneira geral, por 
exemplo, medidas biológicas, medidas de produtos fabricados em série, medidas em 
geral expressa em gramas, cm, ºC, etc. 
É um modelo constantemente utilizado para o desenvolvimento de estudos 
estatísticos de inferência, pois a base teórica da estatística matemática está na 
distribuição normal. 
São exemplos de variáveis aleatórias contínuas com distribuição normal: 
Temperatura média diária em Mossoró-RN, produção de soja no Mato Grosso, peso de 
bezerros ao nascer, etc. 
 
4.2.2. FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE [f(x)] 
Uma variável aleatória contínua é normal ou Gaussiana, se sua função densidade 
de probabilidade (f . d.p.) tem a forma. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
29 
2x - µ1
σ1 2f(x) e , x
σ 2π
    
    
            
−−−−
= −∝< <∝= −∝< <∝= −∝< <∝= −∝< <∝ 
 
Onde, e = 2,7183; ππππ = 3,1416, X ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ , µµµµ = é a média da distribuição, σσσσ = é o desvio 
padrão da distribuição (σσσσ > 0). A distribuição normal é caracterizada pelos parâmetros 
µµµµ, σσσσ2 que são respectivamente sua média e variância, com σσσσ2 > 0. 
 
4.2.3. NOTAÇÃO USADA: X ~ N (µµµµ, σσσσ2) 
 “X” tem distribuição normal de média “µµµµ” e variância σσσσ2”. 
 
4.2.4. DETERMINAÇÃO OU CÁLCULO DE ÁREAS OU PROBABILIDADES 
 
X
x1 x2 
Figura 10: Área sob a curva da distribuição normal. 
 
1 x - µ
- 
2 σ
1 2
2x x2 2
x x1 1
1
P(x x x ) f(x)dx . e dx
σ 2π
    
        ≤ ≤ = = =≤ ≤ = = =≤ ≤ = = =≤ ≤ = = =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 
 
 Devido os cálculos das áreas ou probabilidades, serem bastante trabalhosos, isto 
porque a integração de f(x) que só pode ser resolvida de modo aproximado e por 
métodos numéricos (e não analiticamente) e também, principalmente porque para se 
elaborar uma tabela de probabilidades ser uma tarefa muito trabalhosa, haja vista que 
para cada intervalo x1 e x2, teríamos que integrar para cada combinação dos dois 
parâmetros (ou números) µµµµ e σσσσ2, e para isso no calculo de probabilidades deveria ser 
consideradas várias combinações de µµµµ e σσσσ. Foi devido a isso que procurou-se 
padronizar a variável por meio de uma mudança na variável “x” para a “z”, obtendo-se 
assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida [f(z)]. 
 
4.2.5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA OU REQUERIDA [f(z)] 
Fazendo 
σ
µ - x
 Z ==== , temos que E(z) = 0 e v(z) = 1, senão vejamos, 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]x - µ 1 1 1 1E =E E(x - µ) E(x) E(µ) [µ- µ] . 0 0
σ σ σ σ σ
Z
     = = − = = == = − = = == = − = = == = − = = =         
2
2
2 2 2 2
x - µ 1 1 1 σ
V(z) V [V(x µ)] [V(x) (µ)] [σ 0] 1
σ σ σ σ σ
V
    = = − = − = − = == = − = − = − = == = − = − = − = == = − = − = − = =        
 
11D.P.σZ ============ 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
30 
∝∝∝∝≤≤≤≤≤≤≤≤∝∝∝∝==== Z - ,e .
2π
1
 f(z) que Temos -
2Z 
2
1
-
 
∫∫∫∫∫∫∫∫ ========≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤≤≤≤≤≤≤
2
1
22
1
dze . 
2π
1
f(z)dz)zzP(z)xxP(x
Z 
2
1
-
Z
Z
2121
Z
Z
 
Onde Z = número de desvios padrões a contar da média; 
 x = valor arbitrário; 
 µµµµ = a média da distribuição normal; 
 σσσσ = o desvio padrão da distribuição normal. 
 
4.2.6. NOTAÇÃO USADA PARA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
Z ∩∩∩∩ N (0,1) →→→→ “Z” tem distribuição normal com média o e variância 1. 
 
4.2.7. GRÁFICOS DA CURVA NORMAL E NORMAL PADRÃO 
 O gráfico dessa distribuição teórica de probabilidade possui um formato 
característico o qual é parecido ou se assemelha ao formato de um sino, de uma 
campânula ou de um chapéu de Napoleão, apesar de a maioria das distribuições de 
variáveis aleatórias obtidas de experimentos conduzidos nas mais diferentes áreas do 
conhecimento humano como nas ciências físicas, biológicas ou sociais, na indústria, etc., 
o formato de suas distribuições não ser perfeitamente simétricas e podem ter pequenos 
desvios de simetria, em decorrência da variabilidade dos valores obtidos. 
 
f(x)
f(z)
 
 
Figura 11: Gráfico representativo da distribuição normal [f(x)] e normal padrão [f(z)]. 
 
4.2.8. PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
i) Tem forma de sino ou campanular, sendo simétrica em relação a x = µµµµ ou z = 0, 
isto é 1γγγγ = 0 (coeficiente de assimetria igual a zero); 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
31 
ii) Tem um máximo no ponto x = µµµµ, ou seja, a moda = µµµµ e o valor da ordenada máxima 
é 
2πσ
1 ; 
iii) As três medidas de posição (média, mediana e moda) se confundem no ponto de 
máximo da curva, isto é µµµµ = Md = M0 em x = µµµµ ou z = 0; 
iv) Tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem µµµµ + σσσσ e µµµµ - σσσσ, e cujos pontos 
são os de coordenadas: 
1 1
(µ σ); e (µ σ);
σ 2πe σ 2πe
            − +− +− +− +                        
; 
v) A área total compreendida pela curva e o eixo dos x é igual a 1 ou 100%; 
vi) A curva é assintótica em relação ao eixo das abscissas. À medida que cresce ou 
decresce o valor de “x”, decresce o valor de “y” sem chegar a zero. Isto quer 
dizer que ambos extremos da curva se aproximam do eixo horizontal sem chegar 
a tocá-lo, ou seja, 0)(
 X 
====
∞∞∞∞±±±±→→→→
xfLim ; 
vii) A Distribuição fica perfeitamente definida se conhecermos a média “µµµµ” e o desvio 
padrão “σσσσ”, isto é, somente com estes parâmetros estatísticos pode-se calcular a 
altura da curva em qualquer ponto do eixo horizontal; 
viii) A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável 
normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos. As probabilidades 
referem-se sempre a intervalos. 
 
4.2.9. CÁLCULO DE ÁREAS OU PROBABILIDADES SOB A CURVA NORMAL PADRÃO: USO DA TABELA DE 
PROBABILIDADES 
A probabilidade de que uma variável aleatória “x” assuma um valor entre X = x1 e X 
= x2 é dada por: 
,dx
 
2
σ
µ - x
2
1-
e . 
2x
1x 2πσ
1 )2xx 1P(x








∫∫∫∫====≤≤≤≤≤≤≤≤ 
 
A qual está representada pela área hachurada da figura. 
Figura 12: Gráficos de áreas sob a curva da distribuição normal e normal padrão. 
 
Trabalhando com a variável aleatória “z”, temos que: se “x” está entre os valores 
x = x1 e x = x2, a variável aleatória “z” estará entre os valores, 
,
σ
µ) - (x
 Z e 
σ
µ) - (x
 Z 22
1
1 ======== 
µ 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
32 
(((( ))))
dze . 
2π
1
 )zz P(z )xX P(x
 
2
1
-
z
z
2121
22
1
z
∫∫∫∫====≤≤≤≤≤≤≤≤====≤≤≤≤≤≤≤≤ , 
Neste caso podemos encontrar a probabilidade ou área através da tabela que dá 
a área compreendida entre 0 e Zc. 
A tabela fornece valores de F(z) para pontos da metade direita da distribuição 
somente, isto é para z ≥≥≥≥ 0. Os valores de áreas correspondentes para z < 0 se obtêm, 
em decorrência da simetria da distribuição normal. Isto é F(-z) = 1 – F(z). 
 Na figura 10 abaixo, é apresentados gráficos da curva normal com o objetivo de 
instruir o leitor a utilizar a tabela dessa distribuição para se determinar as áreas ou 
probabilidades sob a curva representativa do modelo. 
 
 
 
 
 
 
 Figura 13: Gráficos instrutivos para interpretação correta das áreas sob à curva da 
distribuição densidade de probabilidade normal padrão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
33 
 
4.2.10. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
4.2.10.1. EXERCÍCIO 1 
i. Use a tabela da curva normal paracalcular a área sob a curva normal entre os 
seguintes pontos: 
 
a) Z = 0 e Z = 1,2 P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,2) = 0,3849 
 
 
 
Figura 14: Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,20 
 
 
 
 
b) Z = 0 e Z1 = -0,90 P(-0,90 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,00) = 0,3159 
 
 
Figura 15: Área sob a curva normal padrão entre- 0,90 e 0,00. 
 
 
 
 
 
 
c) Z = 0 e Z = 0,75 P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,75) = 0,2734 
 
 
 
Figura 16: Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 0,75. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
34 
d) Z = 0,2 e Z = -0,2 
P(-0,2 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) = P (-0,2 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0) + P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) 
P(-0,2 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) = 2 . P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) = 2 x 0,0793 
P(-0,2 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) = 0,1586 
P(-0,2 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0,2) = 15,86% 
 
Figura 17: Área sob a curva normal padrão entre - 0,20 e + 0,20. 
 
 
 
e) P(Z ≤≤≤≤ 1,35) = 0,5000 + P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,35) = 0,5000 + 0,4115 = 0,9115 
 
 
 
Figura 18: Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,35. 
 
 
 
f) P(-0,20 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,83) = P(-0,20 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0) + P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,83) = 0,0793 + 0,4664 = 0,5457 
 
Figura 19: Área sob a curva normal padrão entre -0,20 e 1,83. 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
35 
 
g) P (-1,48 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,48) = P(-1,48 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 0) + P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,48) 
 P (-1,48 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,48)= 2 x P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,48) = 2 x 0,4306 = 0,8612 
 
Figura 20: Área sob a curva normal padrão entre -1,48 e 1,48. 
 
 
 
h) P(Z ≥≥≥≥ 1,44) = 0,5000 - P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,44) = 0,5000 – 0,4251 
 P(Z ≥≥≥≥ 1,44) = 0,0749 
 
 
Figura 21: Área sob a curva normal padrão entre 0,00 e 1,44. 
 
 
 
i) P(1,30 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) 
 
 
Figura 22: Área sob a curva normal padrão entre 1,30 e 1,74. 
 
 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
36 
 
P(1,30 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) = P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) – P(0 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,30) 
P(1,30 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) = 0,4591 – 0,4032 
P(1,30 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) = 0,0559 
P(1,30 ≤≤≤≤ Z ≤≤≤≤ 1,74) = 5,59% 
 
4.2.10.2. EXERCÍCIO 2 
O peso ao nascer de bezerros de animais bovinos da raça guzerá distribui-se 
normalmente com média µµµµ = 27,0 kg e desvio padrão σσσσ = 1,2 kg. se um animal é 
escolhido ao acaso, responda o seguinte. 
 
i) Determinar a probabilidade (área) ou a porcentagem de bezerros que pesam. 
a) Mais que 28 kg 
b) Entre 26,0 e 27,5 kg 
c) Menos que 26,0 kg 
d) Acima da média µµµµ = 27,00 kg 
ii) Qual deve ser o peso médio dessa raça para que apenas 10% dos animais tenham 
menos de 25 kg de peso? (Isto é, sabe-se que 10% dos pesos são inferiores a 25 kg). 
iii) Num exame de um rebanho com n = 200 animais dessa raça, quantos são esperados 
(n’) com peso acima de 28 kg? Isto é n’[P(X ≥ 28 kg). 
iv) Quais as abscissas dos pontos de inflexão? O que significam? 
v) Qual é a probabilidade de um peso diferir da média de mais da metade do desvio 
padrão? 
vi) Qual é o peso (X) que delimita os 5% mais pesados? 
 
 
4.2.11. APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL: 
(APROXIMAÇÃO DE MOIVRE-LAPLACE) 
4.2.11.1. GENERALIDADES 
A primeira referência à distribuição normal apareceu no trabalho do famoso 
matemático francês “Abraham De Moivre”( 1667 – 1754), em 1733, como processo de 
aproximação de probabilidades de uma distribuição binomial quando “n” é grande. 
Se n é grande e nem p nem q são muitos próximos de zero, a distribuição 
binomial pode ser satisfatoriamente aproximada por uma distribuição normal com 
variável aleatória padronizada, dada por 
n.p.q
p . n -x 
 Z ==== . 
Aqui “x” é a variável aleatória que dá o número de sucessos em n provas de 
Bernoulli e “p” a probabilidade de sucesso. A aproximação melhora com o aumento de n 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
37 
e é exata no caso limite. Na prática, a aproximação é muito boa, se np e nq são ambos 
maiores que 5. Pode-se descrever o fato de a distribuição binomial tender para a 
distribuição normal, escrevendo 
 
due
π2
1
b 
n.p.q
np -x 
 aP Lim
b
a
4-
 n
2
2
∫∫∫∫====






≤≤≤≤≤≤≤≤
∝∝∝∝→→→→
 
Em palavras, esse fato significa que a variável aleatória padronizada 
n.p.q
np) -(x é 
assintoticamente normal. A justificativa formal de tal aproximação é dada pelo chamado 
teorema do limite central. 
Outros autores descrevem que a aproximação normal da distribuição binomial 
(aproximação de Moivre-Laplace), deve ser realizada quando n é grande e p está 
próximo de 1
2
. Mesmo quando n é pequeno e p não está extremamente próximo de zero 
ou de um, a aproximação é razoavelmente boa. Ou melhor, ainda temos que: 
x - n.p
Z d N (µ 0;σ 1) , quando n 
n.p.q
onde n.p e n.p.q, Sendo que n 30, np > 5 e nq > 5µ σµ σµ σµ σ
= ∴ ∩ = = → ∞= ∴ ∩ = = → ∞= ∴ ∩ = = → ∞= ∴ ∩ = = → ∞
= = ≥= = ≥= = ≥= = ≥
 
 
4.2.11.2. CONDIÇÕES A SEREM SATISFEITAS 
i) n ≥≥≥≥ 30 (n →→→→ ∞∞∞∞) 
ii) P probabilidade de sucesso deve estar próximo de 1
2
 
iii) np > 5 e n.q > 5 
 
4.2.11.3. VARIÁVEL ALEATÓRIA PADRONIZADA 
(0,1) N 1] σ 0; N[µ - d 
n.p.q
np -x 
σ
µ -x 
 Z ∩∩∩∩================ Onde µ np e σ npq= == == == = 
 
4.2.11.4. PROBABILIDADES SOLICITADAS 
Neste caso temos que usar a correção de continuidade. 
DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS (ESPECIAIS) DE PROBABILIDADE ---- 
Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (20Assis, J. P. (2010101010)))) 
38 
P(x = k) 
c.c.
≅ P(k – 
2
1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ k + 
2
1 ) ou 




 ++++≤≤≤≤≤≤≤≤≅≅≅≅≤≤≤≤≤≤≤≤
2
1
 b x 
2
1
 - aP b) x P(a
c.c.
, em outras 
situações temos que: 
P(x ≥≥≥≥ a) = P(x ≥≥≥≥ a – 
2
1 ), P(x < a ) = P(x < a – 
2
1 ), ou ainda P(x ≤≤≤≤ a) = P(x ≤≤≤≤ a + 
2
1 ) e 
também P(x > a) = P(x > a + 
2
1 ) 
4.2.11.5. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
Uma amostra de 100 tratores agrícolas da marca Brasil, é inspecionada pelo 
departamento de controle de qualidade da indústria Agri-Mossoró mecânica agrícola. 
Qual é a probabilidade de que o número de tratores dessa marca apresentem defeitos no 
sistema de engate pertença ao intervalo fechado [48, 52], sabendo-se que essa 
probabilidade é de 50%? 
n = 100, P(48 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 52) e a Probabilidade atribuída a 48 será distribuída no intervalo 
[47, 5, 48,5] do qual 48 é o ponto médio. 
p = 
2
1 , µµµµ = 100. 
2
1 = 50, V(x) = 100. 
2
1 . 
2
1 = 25 e 525)(σ x ============ xV 
5,0
5
505,52
Z ,5,0
5
50 - 47,5
 Z 11 ++++====
−−−−============ 
P(48 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 52) = P(47,5 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 52,5) = P 0,5]z P[-0,5 
5
2,5
x 
5
5,2
≤≤≤≤≤≤≤≤====


 ≤≤≤≤≤≤≤≤
−−−− 
P(-0,50 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ + 0,50) = 2. P[Z ≤≤≤≤ 0,50] = 2 . 0,1915 ≅≅≅≅ 0,3830 
P(-0,50 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ + 0,50) = P(-0,50 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 0) = + P(0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 0,50) = 2 x P(0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 0,50) = 2 x 
0,1915 ≅≅≅≅ 0,383 = 38,3%