Exercícios Potencial Eletrico Edição 4 Halliday

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72 Capítulo 30 Potencial Elétrico 
PROBLEMAS 
Seção 30-2 Energia Potencial Elétrica 
· próton é com-
1. No modelo de quarks das partículas fundamentais , um (2/3
) 
posto de três quarks: dois quarks "up", cada um tendo carga_+ uar:~ 
e um quark "down", tendo carga -(l/3)e. Suponha que os tres ~ 1 ~ 
sejam eqüidistantes. Considere essa distância como 1,32 X 1 O · m/ 
calcule (a) a energia potencial da interação dos dois quarks "up" e ( ) 
a energia potencial elétrica total do sistema. 
2. Deduza uma expressão para o trabalho necessário para um agente 
externo reunir quatro cargas como indica a Fig. 25. O lado do qua-
drado tem comprimento a. 
+q -q 
-q +q 
Fig. 25 Problema 2. 
3. Uma década antes de Einstein publicar sua teoria da relatividade, 
J . J . Thomson imaginou que o elétron poderia ser constituído de 
pequenas partes, que sua massa seria devida à interação elétrica 
dessas partes e que a energia seria igual a mc
2
• Faça uma estimativa 
grosseira da massa do elétron, do seguinte modo: suponha que 0 
elétron seja composto de três partes idênticas que foram trazidas 
do infinito e colocadas nos vértices de um triângulo equilátero cu-
jos lados são iguais ao raio clássico do elétron, 2,82 X 10- 15 m. (a) 
Encontre a energia potencial elétrica total desta configuração. (b) 
Divida por c2 e compare seu resultado .::om a massa aceita do elé-
tron (9,11 X 10- 31 kg). O resultado se toma mais preciso se forem 
consideradas mais de três partes. Hoje, o elétron é concebido como 
uma partícula simples, indivisível. 
4. As cargas mostradas na Fig. 26 estão fixas no espaço. Encontre 0 
valor da distância x tal que a energia potencial elétrica do sistema 
seja nula. 
25,5 nC 
~ 
1 ~ 
17,2 nC 
e 
-19,2 nC 
~ 
14,6 cm----e---x -1 
Fig. 26 Problema 4. 
5. A Fig. 27 mostra uma representação idealizada de um núcleo de n"U 
(Z = 92) prestes a sofrer uma fissão. Calcule (a) a força repulsiva 
atuante em cada fragmento e (b) a energia potencial elétrica mútua 
dos dois fragmento~ . Suponha que os fragmentos sejam esféricos, 
tenham o mesmo raio e possuam a mesma carga, tocando-se em um 
ponto apenas, sem se deformarem . O raio do núcleo de 23"U inicial-
mente era de 8,0 fm . Suponha que a matéria que constitui O núcleo 
tenha densidade constante. 
Fig. 27 Problema 5. 
S 
_ 30 3 Potencial Elétrico eçao · 
rf'ci·es condutoras planas e paralelas,
 afastadas entre . 
6. Duas supe 1 . d . s1 
de d == l ,0 cm, estão a uma diferença e pot~nc1al ll V de 10,3 kV. 
U l ' t on é p
roietado de uma das placas d1retamente sobre a se. 
meer J •• Jd 1, 1 .
. 
d Qual a velocidade imcia
 o e etron se e e atmg1r o repouso 
gun a. rf' . d 
no exato momento em que alcança a supe 1c1e a segunda placa·i 
Ignore os efeitos relativístico~. . 
7. Em um relâmpago típico, a diferença de pot~ncial entre os pontoi 
extremos da descarga é de cerca de 1,0 X 10 V e a quantidade de 
carga transferida é de cerca de 30 C. (a) Quanta energia é liberada? 
(b) Se toda essa energia pudesse ser usada para acelerar um auto-
móvel de 1.200 kg, a partir do repouso, qual seria sua velocidade 
final? (e) Se a energia pudesse ser usada para derreter gelo, quan10 
gelo seria derretido a 0ºC? 
8. A diferença de potencial elétrico entre os pontos extremos de uma 
descarga elétrica durante uma tempestade é de 1,23 X 10
9 V. De 
quanto varia a energia potencial elétrica de um elétron que se mova 
entre esses pontos? Dê a sua resposta em (a) joules e (b) elétron· 
volts. 
9. (a) Através de que diferença de potencial um elétron precisa "cair", 
de aco~do c~m a m~cânica newtoniana, para adquirir uma veloci· 
dade U igual a velocidade e da luz? (b) A mecânica newtoniana falha 
quando u ➔ e. _De~s~ '!lodo, usando a expressão relativística corre· 
ta paraª energia cmet1ca (veja Eq. 27 do Cap. 21 ), isto é, 
10. 
11. 
12. 
K= mc2 [ 1 
./1 - (v/c)2 
no lugar da exp ~ J 
cidade ue ~essao new!oniana K = (l/2)mv2, determine ave o-
q O eletron adquire " · ,. - d d ·& a de Po· tencial calcui d ao calí atraves a 11erenç d 
velocidade d: 1~~m (a) . Expresse essa velocidade como fração ª 
Um elétron é projetad . i rn/s 
diretamente sob O
 com velocidade inicial de 3,44 X 10 
reump 't , es· 
tava inicialment ro 0 ~ que está em repouso. Se o eleu:on . 
te a velocidade . e a g~ande distância do próton, a que distância des 
. . . mtantanea d 1, d u valor m1cial? 0 e etron será igual ao dobro e se 
Uma part ' I icu a de carg , . uni 
ponto P e uma s ª q e mantida em uma posição fixa em 
- • . egunda part ' 1 d carºª q, e m1cialment . icu a e massa m tendo a mesma º 
d - e man11da e , . , , . p A segun· 
a Part1cula é entã I"b m repouso a d1stanc1a r 1 de . r· 
mine sua velocid do I e_rada, sendo repelida pela primeira .. Deted 
P S ª e no insta t · • 1° r, e · uponha q = 3, 1 · n e em que ela estiver à d1stanc ~ · rJl· 
Calc~1le (a) o potenc'ta~• r~ "". 18 mg, r1 = 0,90 mm e r2 == 2,5 n1hi· 
drogenio a uma d. ã .eletnco devido ao núcleo do átomo de 
model , . 1st nc1a de ' t · . . , b·ta no 
. 0 atom1co de B h s e igual ao raio da pnmelía or 
1 . 
c1~1 elétrica do áto o r(r= 5,29 X 10- 11 m) (b)aenergiaP?'edno 
nucleo ( ) mo quand 1 ' • • eia ' e e a energia . 0 0 e étron está a essa d1stan se 
move em cinética d 1 , d e ele energ· uma órbita circ 1 
° e etron, consideran o qu 111a 
todas ia é necessária para . u ~r com centro no núcleo. (d) Qua -se 
13. Um· as e~ergias em el - ionizar o átomo de hidrogênio? Expre>• 
a Part1cu1a d etron-volts 
Uma segu d e carga (posir ). fix a p. 
com Vel ~ ª Partícula de iva Q está em uma posição 
1' v< 
oc1dade · massa m . e rno constante em _ e carga (negativa) -q s eii1 
um circulo de raio r
1
, com centro 
Problemas 73 
P. Deduza uma expressão para o trabalho W que precisa ser reali-
zado por um agente externo sobre a segunda partícula para aumen-
tar o raio do círculo, centrado em P para r2• 
Seção 30-5 Potencial Devido a uma Carga Pontual 
14. No retângulo mostrado na Fig . 28. os lados tê m comprimentos 
de 5,0 cm e IS .O cm. respectivamente, e as cargas valem q 1 = -5.0 µ,C e q 2 = +2,0 µ,C. (a) Quai s os potenciais elétricos nos 
vértices A e B? (b) Quanto trabalho externo é necessário para 
mover uma terceira carga q, = + 3.0 µ,C de B para A ao longo 
da diagonal do retângulo? (e) Neste processo, o trabalho externo 
é convertido em energia potencial eletrostática ou vice-versa? Ex-
plique. 
21. Um núcleo de um átomo ele ouro contém uma carga posi tiva i~ual 
à de 79 prótons e tem raio de 7,0 fm; veja Exemplo 6. Urna partic~-
la alfa (que consiste em doi s prótons e doi s nêutrons) tem ener_gia 
cinética K em pontos di stantes do núcleo e está se deslocando, d!íe-
tamente para este. A partícul a alfa mal toca a superfície do nucleo, 
onde o sentido de sua velocidade é invertido. (a) Calcule K. (b) A 
energia real da partícula alfa usada na experiência de Rutherford e 
seus colaboradores, que levou à descoberta do conceito de núcleo 
do átomo, era de 5,0 Me V. O que você conclui? 
22. Calcule a velocidade necessária para que um elétron escape das~-
perfície de uma esfera uniformemente carregada de 1,22 cm de ra10 
e carga total \ ,76 X 10- 15 C. Despreze as forças gravitacionais. 
23. Uma carga pontual tem q = + 1, 16 µ,C. Considere o ponto A, dis-
tante 2,06 m, e o ponto oposto B, di stante 1, 17 m, como na Fig. 29a. 
(a) Encontre a diferença de potencial V,, - V,,. (b) Repita para os 
pontos A e B localizados como na Fig. 29b. 
Fig. 28 Problema 14. 
15. Três cargas de + 122 mC cada uma são colocadas nos vértices 
de um triângulo equilátero de l ,72 m de lado . Se for fornecida 
energia à razão de 831 W , quantos dias serão necessários para 
mo ver uma das cargas para o meio da linha que liga as outras 
duas? 
Seção 30-4 Cálculo do Potencial a Partir do Campo 
16. Uma placa infinita carregada tem densidade de carga a= O, 12 µ,C/ 
m2. A que distância estão as superfícies eqüipotenciais cujos poten-
ciais diferem de 48 V? 
17. Duas grandes placascondutoras paralelas estão distantes 12,0 cm 
uma da outra e têm cargas iguais mas opostas em suas superfícies 
mtemas. Um elétron colocado a meia distância entre as placas so-
fre a ação de uma força de módulo 3,90 X 10- 15 N. (a) Encontre o 
campo elétrico na posição do elétron . (b) Qual a diferença de po-
tencial entre as placas? 
18. Na experiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 28-6), um 
campo elétrico de 1 ,92 X 105 N/C é mantido entre duas placas se-
pil.radas por 1,50 cm. Encontre a di ferença de potencial entre as placas. 
19. Um contador Geiger possui um cilindro de metal com 2 10 cm de 
diâmetro. Ao longo do seu eixo é esticado um fio de 1 34 x 1 o-• 
cm de diâmetro . Se uma diferença de potencial de 855 'v fo r apli-
~ada entre o fio e o ci lindro, encontre o campo elétrico na superfí-
cie (a ) do fio e (b) do cilindro . (Suges1ão: Use o resul tado do Pro-blema 36, Cap. 29 .) 
20. O campo elétrico dentro de uma esfera não-cond utora de raio R 
Cuja ~en~idade de carga é un iforme, tem direção radial e seu mó~ duto e 
,endo q_ a carga toLal na e~fcra e r a di~Láncia ao centro tkst·i (,,) D~ r · · • · • mine o potencial V(r) dentro da c~fcra, considerando V = o 
~m r = O._ (b) Qual a diferença de potencial d étricu entre um ponto 
ª !;uperf1c1c_ e outro no cent ro da c~fera '' Se l/ for positi va, yuc ponlu 
pos~ui o maior potencia\'> ( e ) Mo~trc 4uc u potencial à d i~tám:i.i,. do centro, ~e ndo r < I? . é dado por 
V= q(3Rl - , 2) 
8nEoR 3 
24. 
onde o zero do p t · · 1 f · · b. · d t· . o e'.1c1a 0 1 ar itra o cm, = 'l, _ Por que este rc ~ul -,\do difere do que l01 apresentado no item (u)"I 
B •------~-----------•A 
(a) 
(b) 
q 
rB 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
~-------------•A 
q 
Fig. 29 Problema 23 . 
Gra~de par:ie ?º material que compõe os anéi s de Saturno (veja Fig. 
3?) e consl!tu1da de pequenas parti cuias de poeira com raio de apro-
x!madam~nt~ l '.O µ,m . ~s~es grãos estão em uma região que con-
tem u11,1 gas 10mzado ~1\md? e capturam os elétrons liberados por 
esse gas. Se o potencial eletnco na superfície de um orão for de 
-400 V, quantos elétrons ele terá capturado? "' 
1-'1~. 30 Pnibkllla 24. 
74 Capítulo 30 Potencial Elétrico 
25. À mediáa que um ônibus espacial se move através do gás i_on~zado 
diluído da ionosfera da Terra , seu polencial sofre uma vanaça? de 
- 1.0 V antes de completar uma revolução. Suponha que o ômbus 
seja uma esfera com I O m de raio e eslime a quantidade de carga 
que ele coleta. . .. 
26. Uma partícula de massa 111 , carga q > O e energia cinética 1111cial K 
é proje tada (do •'infinito" ) sobre um núcleo pesado de car.?a 9· 
considerado em uma posição fixa em nosso sistema de referencia. 
(a) A que distância do centro do núcleo a pattícula atinge instanta-
neamente o repouso? (b) Se a partícula passar perto do núcleo, sem 
o atingir, a distância mínima entre ela e o núcleo é o dobro da que 
foi calculada em (a). Detennine qual será a velocidade da partícula 
nesse ponto de máxima aproximação. Suponha que a partícula não 
alcance a superfície do núcleo. 
27. Um gota esférica de água, com carga de 32,0 pC, tem potencial de 
512 V na sua superfície. (a) Qual o raio da gota? (b) Se duas dessas 
gotas, com a mesma carga e o mesmo raio, se juntarem para formar 
uma única gota, também esférica, qual o p~tencial na superfície 
dessa nova gota? 
28. Suponha que a carga negativa de uma moeda de cobre tenha sido 
removida para uma grande distância da Terra - talvez uma galá-
xia distante - e que a carga positiva foi distribuída uniformemen-
te na superfície do nosso planeta. De quanto mudaria o potencial 
elétrico na superfície da Terra? (Veja Exemplo 2 no Cap. 27.) 
29. Um campo elétrico de aproximadamente 100 V /m é freqüentemente 
observado na proximidade da superfície terrestre. Se esse campo 
fosse o mesmo sobre toda a superfície, qual seria o potencial elétri-
co de um ponto dela? Veja Exemplo 6. 
Seção 30-6 Potencial Devido a um Conjunto de Cargas Pontuais 
30. A molécula de amônia NH3 tem momento dipolo elétrico perma-
nente igual a 1,47 D, onde D é a unidade debye, que vale 3,34 X 
1 o-3o C · m . Calcule o potencial elétrico devido a uma molécula de 
amônia em um ponto distante 52,0 nm do dipolo, ao longo do seu 
eixo. 
31. (a) Considerando a Fig. 31, calcule uma expressão para VA - V8 • 
(b) Seu resultado leva à resposta esperada quando d= O? Quando 
a = O? Quando q = O? 
r-ª-----J t-ª----1 
• --d--• e 
+q A B -q 
Fig. 31 Problema 31. 
32. Na Fig . 32 , localize os pontos, se existirem,_(a) onde V= O e (b) 
onde E = o. C onsidere somenLe ponLos no eixo. 
33. 
'---- ----- - d-------,..j 
Fig. 32 Pro blem a 32 . 
~ 
+2q 
U () Jlu
·•f </ = +6e e o;tá fi xada na o ri gem de um sist e ma 
m a c.:af" i:l p 1 ~ , 
, 1 e , 1 r ,1,,ng ular e urn a sc g umb c.:arg a pont
ual q , = - l llt' 
de cooruen au a~ e ~ , . . · · 
fj d -
<J 60 nm y = O. O luga r gcorné ln c.: n de lndos us 
cs1á 1x:.i a em .x - , ' . . · 
· .1 1. .-y o nde V 
= () é um c.: ircul n c.:c nlrndo 1111 e1 xn x 
P(J/llO ~ u o p uno .. 
. • 
· .. F·g 3 3 E ncontre (o )" pon10 .r, no cen1r11d,idn.:uln 
c o m o mo~lri1a 1 · · · .. . · 1 \I - 'iV , . !< . 1 ·i'r c.: ufo (e ) A l!qu1po 11.: nc.:1:1 - . 1,11nhc 111 é 11111 c.;(/JJ ora10 u oc · 
c írc ulo? 
y 
Fig. 33 Problema 33 . 
34. Duas cargas q = + 2, 13 µ,C estão fixas no espaço à ct· 1, . . d. F. Is anc1a d -
1 96 cm uma da outra, como m 1ca a 1g. 34. (a) Qua
l .-
, ~ 1 ° POlenc1~ elétrico no ponto C? (b) Voce traz entamente uma terceir . f. . , C Q acarga Q = + J 91 µC desde o m 1mto ate . uanto trabalho voe' . ' . . e prec1si 
realizar? (e) Qual a energia potencial U da configuração, quandoa 
terceira carga for colocada? 
e 
j 
.1..d 
2 
r--½ d-+-½ d-, 
~ e 
q q 
Fig. 34 Problema 34. 
) a Pon· 
35. Para a configuração de cargas da Fig. 35, mostre que V(r par 
tos no eixo vertical, considerando r ~ d, é dado por 
V= _l_ g_ (i + 2d) , 
4m;:0 r r 
a soíllj 
(s - . . . ta como ugestao. A configuração de caroas pode ser vis 
deu · "" ma carga isolada e um dipolo.) 
Fig. 35 Problema 35. 
Seção 30-7 eº Potencial Elétrico de Distribuições Contínuas de argas 
36, 
37. 
38. 
A Fig. 36 mostra, vista da borda, uma lâmina "'infinita" . d . . . ( )Q com ens1-dade de carga pos1t1va a. a uanto trabalho é realizado pel . • · d - ocampo elétrico da lamma quan o uma pequena carga de prova po ·t· . . d d . - . . . • . SI IV,l qtl é movida es e sua pos1çao m1c1al na lamma até a posição t·· . 11 _ , d" • . d I ma o calizada a 1stanc1a_ z ª, P_ aca? (b) U~,;e .º r~sultado de (a) para 
mostrar que o potencial eletnco de uma lamma mfinita de carga d . po e ser escnto como 
V= V0 - (a/2E0)z, 
sendo V0 o potencial na superfície da lâmina. 
qo 
xxx ?-" X Cf // 
X / 
X / 
X / Z 
XX // x_,-
x 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
X 
Fig. 36 Problema 36. 
Uma carga elétrica de -9, 12 nC está uniformemente distribuída ao 
longo de um anel de raio 1,48 m localizado no plano yz, com seu 
centro na origem. Uma partícula tendo carga de -5,93 pC está lo-
calizada em x = 3,07 m, y = O. Calcule o trabalho realizado por 
uma agente externo ao mover essa carga pontual até a origem. 
Uma quantidade total de carga positiva Q é espalhada sobre um anel 
circular plano de raio interno a e raio externo b . A carga é distribuí-
da de modo que a densidade de carga (carga por unidade de área) é 
dada por a= k/r3, onde ré a distância desde o centro do anel a qual-
quer ponto deste. Mostre que o potencial no centro do anel é dado por 
Q (ª + b) v-- --
- 81tE0 ab · 
Seção 30-8 Superfícies Eqüipotenciais 
39. Duas linhas de cargas são paralelas ao eixo z. Um_a, co~ carga _por 
unidade de comprimento + A, está à distância a, a d1re1~a do : 1xo. 
A outra, com carga por unidade de comprimen_to - A, e s1metnca 
da anterior, em relação ao eixo (as linhas e o e1~0 z pert~ncem ao 
mesmo plano). Esboce algumas superfícies eqü1potencia1s. , 
40. O campo elétrico realiza trabalho de 3,94 X 10- 19 Jsobre um ele-
tron no campo ilustrado na Fig. 37, para mover o elétron desde A 
Linhas de 
campo 
~z\-;··-·------\ - -~~tenciais 
----._ __j .. ·-----· · ê 
Fig. 37 Problema 40. 
41. 
42. 
Prol:Jlemas 7 5 
até~• ao longo de uma linha de campo. Quais as diferenças de po-
te11c1 i~I elétrico (a) V,, - VA, (h) V, - V, e (e) V,. - V,.? 
Considere uma carga pontual com q = 1.5 x 10-x C. (a) Qual o 
raio de uma superfície eqi.iipotcncial que tenha potencial de 30 V? 
(b) As superfícies cujos potenciais diferem por um valor constante 
( 1,0 Y por exemplo) são igualmente espaçadas? 
~a Fig. J8, esboce qualitativamente (a) as linhas de força e (h) as 
mterseç~es das ~uperfícies eqüipotenciais com o plano da figura. 
(Sugestao: Considere o comportamento na vizinhança de cada car-
ga pontual e a grande distância do par de cargas.) 
+q 
+2q 
Fig. 38 Problema 42. 
43. Três longas linhas de carga paralelas têm suas densidades lineares 
de carga relativas mostradas na Fig. 39. Esboce algumas linhas de 
força e a interseção de algumas superfícies eqüipotenciais com o 
plano da figura . 
-2À 
~ 
/ \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
I \ 
@---- --------@ 
+À +À 
Fig. 39 Problema 43 . 
Seção 30-9 Cálculo do Campo a Partir do Potencial 
44. Suponha que o potencial elétrico varie ao longo do eixo x. como 
mostra o gráfico da Fig. 40. Determine. entre os intervalos mostra-
dos, aqueles nos quais E., tem (a) seu maior valor absoluto e (b) seu 
menor valor absoluto . (c) Faça o gráfico E,= f (x ). (Ignore o com-
portamento nos pontos finais dos intervalos. ) 
V, volts 
b e 12 
J f'-
/1 1 ~ J 1 1 ~ t 1 
ª' 1 " ,/ x,metros 5 o 1 :s 1/ S 
\! 1 [ I 
6 . l.,j 
1 - ~r 
1
12 
e ..__ 
1 
Fig. 40 Prnbkma -14. 
45 Duas grandes placas metálicas paralelas cstCtu di stantes 1.-1~_ ..:111 uma • · . • ·ta . ,111 ,tns l'tces rntemas. da outra e pnssu..:111 cargas 1gua1s e opos s ~ • · ' · 
76 Capftulo 30 Potencial E léh·fco 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
51. 
A placa ~egativa é ligada à terra e seu potencial passa a ser zero. Se 
0 potencial no ponto médio entre as placas for de + 5,52 V • qual 0 
campo elétrico nessa região? . 
Deduza, a partir da Eq. 25, uma expressão para E nos pontos do eixo 
de um anel uniformemente carregado. 
C?lcule o gradiente de potencial radial, em V/m, na superfície do 
nucleo de um átomo de ouro. Veja Exemplo 6. 
<? Problema 49 do Cap. 29 refere-se ao cálculo, feito por Ruther-
ford, do campo elétrico à distância r do centro de um átomo. Ele 
também deu o potencial elétrico como 
Ze(l 3 r
2
) 
V= 47rE
0 
,- 2R + 2R3 . 
(a) Mostre como a expressão para O campo elétrico, dada no Proble-
ma 49 do Cap. 29, pode ser obtida a partir dessa expressão para V. (b) 
Por que esta expressão para V não tende a zero quando r ~ 00? 
O_ potenci~I elétrico V no espaço entre as placas de uma válvula a 
vacuo, hoJe obsoleta, é dado por V= 1.530.x-2, onde Vé medido em 
volts quando x, a distância a partir de uma das placas, está em me-
tros. Calcule o módulo e o sentido do campo elétrico em x = 1,28 
cm. 
Uma carga por unidade de comprimento A é distribuída uniforme-
mente ao longo de um segmento linear de comprimento L. (a) De-
termine o potencial no ponto P, à distância y de uma extremidade 
do segmento carregado e na mesma linha que ele, considerando o 
potencial no infinito (veja a Fig. 41 ). (b) Use o resultado de (a) para 
caJcular a componente ao longo de y do campo elétrico em P. (e) 
Detennme a componente do campo elétrico em P na direção per-
pendicular ao segmento. 
Fig. 41 Problema 50. 
Em um bastão fino de comprimento L, que está sobre o eixo x, com 
uma extremidade na origem (x = O), como na Fig. 42, está distri-
buída uma carga por unidade de comprimento dada por A = k.x, 
se ndo k uma constante . (a) Considerando nulo o potencial eletros-
tático no infinito, detennine V no ponto P do eixo y . (b) Determine 
a componente vertical E,. do campo elétrico em P, utilizando ore-
y 
p 
Fig. 42 Problema .'i 1. 
mbém por cálculo direto. (e) Por qu 
sultado de (a) el ~ do campo elétrico em P não pode see ª Co111Po. 
nente honzonta lt~do de (a)? (d) A que distância do bastr_encontra 
d 
ando o resu . 1 , d d ao a 1 . a us . potencial é 1gua a meta e o seu valor n · o on. 
godo eixo .Y, 0 _ ? a extre111-
dade esquerda do bastao. 1-
• 30 10 Um Condutor Isolado 
Seçao • 
f oca condutora, com 20 cm de raio. tem uma 
52. Uma esCeraF ça um oráfico aproximado (a) do módulo dcargade 
+ 3 O µ, . a º . f - d . , o ca111 , '. E (b) do potencial V em unçao a distancia,. Po 
eletnco e ao centro 
da esfera. l 2 .d duas esferas condutoras e , separadas por uma 
53 Cons1 ere . d d b d d . , granct · . , . a segunda possutn o o o ro o 1ametro da prim . e 
d1stanc1a, . . . eira A 
f m
enor tem inicialmente uma carga positiva q e a maio · 
es era V , t f r está 
. . . !mente descarregada. oce conec a as es eras com u 
m1cia · · fi · V rn fio 
fino (a) Quais 
são os potenc1a1s mais 1 e V, das esf 
longo e 1 • . f - eras? 
(b) Calcule as cargas finais q 1 e q2 dases eras, em termos de q. · 
54. Se a Terra tivesse uma carga res~lt~nt~ eiUJ~alentfe_ a I elétron11111 
de área da superfície (uma supos1çao _ as an e art1 •~ial), (a) Qual 
seria o potencial da Terra? (b) Qual s~~ia?o campo eletnco devido à 
Terra, um pouco além de sua superf1c1~. . 
55
. Uma carga de 15 nC pode ser produzi?ª por simples atrito. Que 
variação de potencial essa carga causara em uma esfera condutora 
isolada de 16 cm de raio? 
56. Encontre (a) a carga e (b) a densidade de carga na superfície de uma 
esfera condutora de 15,2 cm de raio, cujo potencial é de 215 v. 
57. Considere a Terra como um condutor esférico com 6.370 km de raio 
e inicialmente descarregada. Uma esfera de metal, com raio de 13 
cm e tendo uma carga de -6,2 nC, é aterrada, isto é, posta em 
contato elétrico com a Terra. Mostre que este processo efetivamente 
descarrega a esfera; para isso, calcule a fração do excesso de elé-
trons originalmente presentes na esfera e que permanecem depois 
que ela for aterrada. 
58. Duas esferas condutoras, uma com 5,88 cm de raio e outra com 12,2 
cm de raio, têm cada uma a carga de 28.6 nC; elas estão a grande 
distância uma da outra. Se as esferas forem subseqüentemen1e 
conectadas por um fio condutor, determine (a) a carga final e (b)o 
potencial de cada esfera. 
59. Considere uma delgada esfera oca, condutora e isolada, que esteja 
umforrnemente carregada, sua densidade de carga sendo constanle 
e igual a <T(C/m2). Quanto trabalho seria realizado para mover uma 
pe~uen~ carga de prova positiva q0 (a) desde a superfície da esfera 
ate seu mtenor, através de um pequeno orifício, (b) desde um pon-
toª outro da superfície, não importando o percurso, (e) desde um 
pontoª outro dentro da esfera e (d) desde qualquer ponto P fora da 
esfera, ao longo de qualquer caminho não importando se ele inter· 
cepte - " ' . ou nao a es,era, ao voltar para p (e) Para as condições dadas. 
~porta O fato de a esfera ser condut~ra ou não? 
60· uas esferas condutoras idênticas com 15 O cm de raio eStão se-
paradas por u d · • ' ' ' • ra s . ma tstancia de 10,0 m . Qual a carga em cada es,e · 
e O p_ot~ncial de uma é de + 1.500 V e da outra. - 1.500 V? Que 
supos1çoes você fez? 
61. O objeto met T d p · - tor· no d . ª ~co ª ig. 43 é uma superfície de revoluçao em 
b 
O elixo honzontal. Se ele estiver carreoado negati vamente, e:· 
oce a gumas equ· · · 0 · - io fi-sico ipotencrn1s e linhas de força. Use o rac1oc1n 
em vez da análise matemática. 
'/ 
· .r"ltWlt, Eixo 
Fig. 43 Problema 6 1 . 
-
Uma esfera de cobre com 1,08 cm de raio tem um revestimento 62
· superficial muito fino , de níquel._ ~lguns dos átomos de níquel são 
radioativos, cada um deles emitindo um elétron quando decai. 
Metade desses elétrons entra~ na esfera de cobre. cada um deposi-
tando nela 100 keV de energia. A outra metade dos elétrons esca-
pa, ca~a_um transportando_u~a carga~~- O_revestimento de níquel 
tem atividade de J O.OmC1 ( - 10,0 m1hcunes == 3. 70 x I o~ deca-
imentos radioativos por s_egundo). A esfer~ está suspensa por um 
fio longo não-condutor e isolada de sua vmnhança. Quanto tempo 
levará para o potencial da esfera aumentar 1.000 V? 
Uma esfera de metal carregada com 16,2 cm de raio tem carga re-
63· sultante de 31,5 nC. (a) Encontre o potencial elétrico na superfície 
da esfera. (b) A que distância da superfície da esfera o potencial 
elétrico diminui 550 V? 
Seção 30-11 O Acelerador Eletrostático 
64. (a) Quanta carga é neces
sária para elevar ao potencial de l,0 MV 
uma esfera metálica isolada de 1,0 m de raio? Repita para uma es-
fera de 1,0 cm de raio. (b) Por que usar uma grande esfera em um 
acelerador eletrostático, quando o mesmo potencial pode ser atin-
gido usando uma carga menor com uma pequena esfera? (Suges-
tão: Calcule as densidades de carga.) 
65. Imagine que seja de 3,41 MV a diferença de potencial entre o inte-
rior da esfera de alto potencial de um acelerador Van de Graaff e o 
ponto em que as cargas são espalhadas na correia móvel. Se a cor-
reia transfere carga para a esfera à razão de 2,83 mC/s, qual a po-
tência mínima necessária para mover a correia? 
66. O eletrodo de alta voltagem de um acelerador eletrostático é uma 
esfera oca carregada, com potencial V== +9, 15 MV. (a) Quando o 
campo elétrico atinge 100 MV /m, podem ocorrer descargas elétri-
cas no gás nessa máquina. Para prevenir tais descargas, que restri-
ção deve ser feita quanto ao valor do raio r da esfera? (b) Uma lon-
ga correia móvel de borracha transfere carga à esfera a 320 µ,C/s, o 
potencial da esfera permanecendo constante devido a perdas. Que 
potência mínima é necessária para transferir a carga? (e) A correia 
tem largura L == 48,5 cm e se desloca à velocidade v == 33,0 m/s. 
Qual a densidade de carga na superfície da correia? 
Projetos de Computação 
67. Uma carga ql == -1 ,2 X I 0-9 e está na origem, a outra q2 == 2,5 
x 10-9 C está em x == O, y == 0,5 m no plano xy. Escreva um pro-
Problemas 77 
grama de computador para calcular o potencial elétrico devido a 
essas cargas em qualquer ponto do plano xy. Você deve entrar as 
coordenadas do ponto, e o computador mostrar na tela o valor do 
potencial. A seguir ele deve aceitar as coordenadas de outro pon-
to. Tome zero o potencial de um ponto bem distante de ambas as 
cargas. 
(a) Use o programa para traçar o gráfico da superfície 
eqüipotencial V= 5 volts no plano xy . Numa folha de papel mi-
lirnetrado trace eixos que vão desde - 5 m até + 5 rn em ambos 
os eixos x e y . Assinale as posições das cargas . Faça primeiro x 
= O e experimente vários valores de y até encontrar dois que di-
firam em menos de 0,005 m e estejam bem próximos de V== 5 
volts . Evite os pontos onde estão as cargas. Considere a posição 
média dos dois pontos como sendo um ponto da eqüipotencial. 
Como a superfície é fechada, você deve encontrar dois pontos 
dela com a mesma coordenada x; assinale-os no gráfico. Passe 
então para x == 0,25 rn . Prossiga dando a x acréscimos de 0,25 m 
até que você esteja fora da eqüipotencial - isto é, até que ne-
nhum ponto seja encontrado . Complete o diagrama marcando 
pontos sobre a eqüipotencial para valores negativos de x. 
Corno a eqüipotencial é simétrica em torno de x == O, você não 
precisa calcular os pontos neste caso. Trace a eqüipotencial 
pelos pontos que você assinalou. 
(b) Trace agora a eqüipotencial V== 3 volts no plano xy. T~me 
cuidado; para alguns valores de x há quatro pontos para os quais o 
potencial tem aquele valor. Na realidade, há duas eqüipotenciais com 
V== 3 volts. 
68. O módulo de um campo elétrico é dado por E == ldV/ds/, onde ds é 
a distância (infinitesimal) entre as superfícies eqüipotenciais asso-
ciadas a V e V + dV. E pode ser aproximado por /Li VI Lis/ para duas 
superfícies separadas por uma distância finita Lis. Considere a con-
figuração de cargas do problema anterior e use seu programa para 
traçar a eqüipotencial V= 6 volts na vizinhança do ponto onde ela 
corta o eixo positivo dos x. Se você não resolveu o problema ante: 
rior, trace também a eqüipotencial V== 5 volts na mesma região. E 
aconselhável fazer sucessivamente y == -0, I, O e +O, 1 m, e para 
cada valor de y procurar dois valores muito próximos de x que en-
volvam a superfície eqüipotencial. Trace uma linha perpendicular 
desde urna superfície à outra e meça Lis. Calcule então E== ldV/ds/, 
com Li V== 1 volt, E medido em V/m, e Lis em metros. Verifique a 
exatidão de seu resultado usando a lei de Coulomb para calcular o 
módulo do campo elétrico no ponto do eixo dos x eqüidistante das 
superfícies eqüipotenciais.