Lista 03_ Cálculo III_ Integrais duplas_ Volume

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Lista 03 – Integrais duplas III - Volume 
Suponha que 𝑧1(𝑥, 𝑦) e 𝑧2(𝑥, 𝑦) sejam funções integráveis em D e que 
 𝑧1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧2(𝑥, 𝑦) em cada ponto de D. Então o volume da região sólida 
delimitada pelas superfícies z= 𝑧1(𝑥, 𝑦) e 𝑧2(𝑥, 𝑦) é dado por 
𝑉 = ∬ (𝑧2(𝑥, 𝑦) − 𝑧1(𝑥, 𝑦) )
𝐷
𝑑𝐴 
 
 
 
 
 
1- Encontre o volume 𝑉 do sólido delimitado acima e abaixo pelos paraboloides 
correspondentes a 𝑧 = 8 − 𝑥2 − 𝑦2 e 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e que fica acima do domínio 
 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
Visualização: 
 
 
 
2- Encontre o volume da região delimitada por 
 𝑧 = 40 − 10𝑦 , 𝑧 = 0, 𝑦 = 0 e 𝑦 = 4 − 𝑥2 
 
3- Encontre o volume da região delimitada por 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝑧 = 1, 𝑦 = 0 e 𝑧 + 𝑦 = 2 
4- Calcule ∬ (𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴𝑅 sobre a região ilustrada 
 
5- Monte uma integral dupla que dê o volume do sólido indicado. ( Não calcule a integral) 
(a) 
 
 
(b) 
 
6- Use coordenadas polares para calcular o volume da esfera de raio 𝑅. 
7- Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo cone 𝑧 = 2 − √𝑥2 + 𝑦2 e 
limitado inferiormente pelo disco (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 ≤ 1 
 
8- Considere o sólido limitado pelos gráficos de 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑧 = 4 − 𝑦 e 𝑧 = 0 
apresentado na figura abaixo. Escolha e calcule a integral correta representando o 
volume. 
 
(a) 4 ∫ ∫ (4 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
√4−𝑥2
0
2
0
 
(b) 2 ∫ ∫ (4 − 𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥
√4−𝑥2
0
2
−2
 
(c) 2 ∫ ∫ (4 − 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
−2
 
 
9- Considere o sólido limitado pelos gráficos de 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e 𝑦2 + 𝑧2 = 4. A figura abaixo 
indica um oitavo do sólido. Escolha e calcule a integral correta representando o volume 𝑉 
do sólido. 
(a) 4 ∫ ∫ (4 − 𝑦2)
1
2𝑑𝑦 𝑑𝑥
√4−𝑥2
−√4−𝑥2
2
−2
 
(b) 8 ∫ ∫ (4 − 𝑦2)
1
2𝑑𝑥 𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
 
(c) 8 ∫ ∫ (4 − 𝑥2)
1
2𝑑𝑦 𝑑𝑥
√4−𝑥2
0
2
0
 
 
 
 
10- O tanque de hidrogênio líquido no ônibus espacial tem a forma de um cilindro circular 
reto com uma cápsula semielipsoidal em cada extremidade. O raio da parte cilíndrica do 
tanque é de 4,2 m. Calcule o volume do tanque mostrado na figura.