Teoria dos Números: Problemas e Soluções

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3a Tarefa de Teoria dos Números
Professor Francisco Luiz Rocha Pimentel
October 22, 2020
1) Dizemos que dois inteiros positivos são amigáveis se a soma dos divisores
positivos próprios de cada um deles é igual ao outro número. Seja n ≥ 2
um inteiro positivo tal que os números
p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1, r = 9 · 22n−1 − 1
são primos. Mostre que 2n · p · q e 2n · r formam um par de números
amigáveis.
2) Para todo inteiro n ≥ 2, mostre que
σ(n) < n
√
2τ(n).
(Aqui: σ(n) := soma dos divisores positivos de n; τ(n) := número dos
divisores positivos de n.)
3) Seja f : Z≥0 → Z≥0 tal que
(i) (f(2n+ 1))2 − (f(2n))2 = 6f(n) + 1, e
(ii) f(2n) ≥ f(n).
Quantos elementos menores que 2003 estão na imagem de f?
4) Encontre todas as soluões reais da equação
x+
[
x
6
]
=
[
x
2
]
+
[
2x
3
]
.
5) O inteiro n possui exatamente 16 divisores positivos d1, d2, . . . , d16 tais
que
1 = d1 < d2 < · · · < d16 = n,
d6 = 18, e d9 − d8 = 17. Ache n.
6) Seja n um inteiro positivo. Suponha que i percorre todos os inteiros tais
que φ(i) = n. Mostre que ∑
i
µ(i) = 0.
7) Use a fórmula de φ(n) para mostrar que existem infinitos primos.
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