Introdução ´Estatística

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ESTATÍSTICA 
 
I. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
1. CONCEITOS INICIAIS 
 
Estatística – é um conjunto de métodos e processos matemáticos desenvolvidos para 
a coleta, classificação, apresentação, analise e interpretação de dados acerca de um 
fenômeno observado, possibilitando a tomada de decisões face às incertezas. 
 
1.1 – Ramos da Estatística: 
 
Estatística Descritiva (ou dedutiva) – voltada à coleta, organização, apresentação, 
analise e interpretação dos dados observados através de gráficos e tabelas, além da 
análise e desses dados. 
 
Estatística Indutiva (ou Inferência Estatística) – processo de generalização que 
permite tirar conclusões a respeito do comportamento do fenômeno estudo. 
 
População (ou Universo Estatístico) – é um conjunto de dados, obtidos na 
observação de um fenômeno, que apresentam pelo menos uma característica em 
comum. Pode ser finita ou infinita. 
 
Censo – é o levantamento envolvendo todos os elementos da população. 
 
Amostra – é qualquer subconjunto finito e não vazio de uma população, excetuando-
se a própria população. O processo de retirada da amostra requer cuidados especiais 
na tentativa de resguardar a fidelidade e a representatividade da população. 
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Experimento aleatório – é aquele que, mesmo repetido em idênticas condições, 
produz resultados imprevisíveis. 
 
1.2 – Aspectos de um dado: 
 
Qualitativo – característica do elemento em estudo, denominado atributo 
 
Quantitativo – determina a intensidade com que o atributo ocorre no fenômeno 
estudado, e é representado por uma variável. 
 
Série estatística – é uma sucessão de dados estatísticos referidos a caracteres 
qualitativos. Se a sucessão for quantitativa, configurará uma seriação. 
 
 
1.3 – Tipos de séries estatísticas: 
 
– Temporal (cronológica, histórica ou evolutiva) – a variável é o fator tempo. 
 
– Geográfica (territorial, espacial ou de localização) – a variável é o fator 
geográfico. 
 
– Específica (especificativa ou categórica) – a variável é o fenômeno. 
 
– Mista – ocorre a variação de pelo menos dois dos fatores: tempo, local ou fenômeno. 
 
Distribuição de frequência (seriação) – neste caso, todos os elementos (época, local 
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ou fenômeno) são fixos, variando apenas a intensidade de ocorrência do fenômeno. 
 
1.4 – ORGANIZAÇÃO DOS DADOS ESTATÍSTICOS 
 
Normas para apresentação tabular de dados Elementos essenciais: 
 
Título – indicação contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato 
observado, com a especificação de local e época referentes ao fato; 
 
Cabeçalho – parte da tabela que apresenta a natureza do conteúdo de cada coluna; 
 
Coluna indicadora – indica o conteúdo das linhas; 
 
Célula (casa ou cela) – é o espaço resultante do cruzamento de uma linha com uma 
coluna, onde se registra a frequência ou o valor da variável ou atributo. 
 
Corpo – é a parte da tabela onde se encontram o cabeçalho, a coluna indicadora e as 
linhas e colunas que contem a serie estatística; 
 
Elementos complementares: 
 
Fonte – designação da entidade que forneceu os dados estatísticos; 
 
Notas – esclarecimentos de natureza geral; 
 
Chamadas – esclarecimentos de natureza específica. 
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Exemplo 
Frota de veículos (em mil unidades) – 1996 
 
 
 PARANÁ BRASIL 
Automóveis 1.224 18.727 
Picapes 193 2.980 
Caminhões 158 1.630 
Ônibus 19 317 
Motocicletas 218 2.919 
Total 1.812 26.573 
 Fonte: Denatran 
 
As Tabelas podem ser: 
 
Simples – formadas por uma coluna indicadora (coluna matriz), onde são inscritos os 
valores ou modalidades classificadas, e por uma coluna onde se inserem as 
ocorrências ou as intensidades do fenômeno analisado. 
 
Dupla entrada – apresenta séries conjugadas. 
 
Tabela Simples: 
População economicamente ativa por setor de atividade – Brasil/1940 
 
 Setor 
Populaçã
 
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o 
 
(1.000 
hab.) 
 
 
 Primário 8.968 
 Secundário 1.414 
 Terciário 3.620 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte:IP
EA 
Tabela de Dupla 
Entrada 
 
População 
economicamente 
ativa 
 
Por setor de atividade 
– Brasil 
 
Setor 
 
População (1.000 
hab.) 
 
194
0 1950 1960 
 Primário 
8.96
8 10.255 
12.16
3 
 Secundário 
1.41
 2.437 2.962 
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4 
 Terciário 
3.62
0 4.156 7.525 
Fonte: IPEA 
 
2 - Distribuição de frequências (seriação) 
 
Dados brutos – são os dados coletados, ainda não organizados. 
 
Rol – lista em que os valores são dispostos em uma determinada ordem (crescente 
ou decrescente. 
 
Tabela de frequência – representação na qual os valores se apresentam com sua 
incidência de repetição, evitando que eles apareçam mais de uma vez. 
 
Distribuição de frequências de Dados Não-Agrupados em Classes – tabela onde 
os valores aparecem individualmente, utilizado para variáveis discretas. 
 
2.1 – Elementos 
 
Amplitude total (At) – é a diferença entre o maior e o menor valor da série. 
 
Frequência absoluta simples (fi) – é o número de repetições de cada valor. 
 
Frequência total (fi ou n) – é a soma das frequências absolutas simples. 
 
Frequência relativa simples (fri) – é o quociente entre a frequência absoluta simples 
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e a frequência total da série. Pode ser representada sob a forma unitária ou percentual 
(fri%) 
 
Frequência absoluta acumulada (Fi ou fac) – é a soma das frequências absolutas 
simples de um determinado valor da tabela com as frequências absolutas simples de 
todos os valores anteriores. É também denominada de frequência absoluta “abaixo 
de”. 
 
Frequência absoluta acumulada “acima de” (Fi+) – é a soma das frequências 
absolutas simples de um determinado valor da tabela com as frequências absolutas 
simples de todos os valores posteriores. 
 
Obs.:  ... somatório 
 
Exemplo 
 
No de aparelhos defeituosos da Empresa X 
xi fi fri fri% Fi Fi+ Fri Fri% Fri+ 
Fri%
+ 
0 5 
1 10 
2 18 
3 12 
4 5 
 
 
Distribuição de frequências de Dados Agrupados em Classes – os dados são 
apresentados de forma resumida, de forma agrupada. É recomendado, 
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principalmente, para variáveis contínuas. 
 
2.3 – Elementos 
 
Classe – é cada um dos grupos ou intervalos de valores obtidos a partir de um 
agrupamento de dados. Representação de uma classe: 
 
a I––– b ... inclusive a, e exclusive b 
a –––I b ... exclusive a, e inclusive b 
a I–––I b ... inclusive a, e inclusive b 
a ––– b ... exclusive a, e exclusive b 
 
Limites de classe – são os valores extremos de uma classe. 
a I––– b – a ... limite inferior (Li) b ... limite superior (Ls) 
 
 
 
Ponto médio de uma classe (PMi ou Xi) – é a média aritmética dos limites superior 
e inferior de uma classe. 
 
Amplitude do intervalo de classe (h) – é a diferença entre os limites superior e 
inferior de uma classe. 
 
Exemplo 
 
Notas de uma prova de Estatística 
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 xi fi PMi fri fri% Fi Fi+ Fri Fri% 
0 I––– 20 10 
20 I––– 40 30 
40 I––– 60 40 
60 I––– 80 15 
80 I––– 100 5 
 
3. GRÁFICOS 
 
a) de Linha – representado em um plano cartesiano, através de pontos ligados por 
segmentos de reta, mostrando a evoluçãodo fenômeno estudado. 
 
b) em Barras (horizontais) – têm por finalidade comparar grandezas por meio de 
retângulos horizontais de larguras iguais e alturas proporcionais às respectivas 
grandezas. 
 
c) em Colunas (ou em barras verticais) – representados por retângulos verticais, 
prestam-se à mesma finalidade que os gráficos em barras sendo, entretanto, 
preferíveis a esses últimos, quando as legendas a se inscreverem sob os retângulos 
forem breves 
 
d) em Setores (pizza) – são representados por círculos divididos proporcionalmente 
em segmentos circulares de acordo com os dados do fenômeno ou do processo a ser 
representado. Os valores são expressos em números ou em porcentagens. 
 
Exemplos: 
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3.1 – Gráficos representativos de uma Distribuição de Frequências 
 
Histograma – formado por um conjunto de retângulos justapostos de larguras 
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homogêneas, de forma que a altura de cada retângulo seja proporcional à frequência 
da classe que representa. 
 
Polígono de frequências – representação gráfica obtida a partir da união, através de 
segmentos, dos pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma. 
 
Exemplo: 
 
Notas de uma prova de Estatística 
 xi fi fri% 
0 I––– 20 20 
20 I––– 40 60 
40 I––– 60 80 
60 I––– 80 30 
80 I––– 100 10 
 
 
 
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OBS.: Os gráficos representativos de distribuições de frequências acumuladas 
são denominados Ogivas (Ogiva de Galton). 
 
Exemplo: O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu 
a tabela de frequências seguinte: 
 
Classes 
Frequência ( f 
) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos na 
população com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 
50,5. 
 
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a) 700 
b) 638 
c) 826 
d) 995 
e) 900. Letra C 
 
 
 
 
4. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Pela dificuldade de se trabalhar com uma distribuição de frequências completa, 
costuma-se lançar mão de determinadas medidas que sumarizam certas 
características importantes da distribuição. 
 
Dentre as diversas medidas quem possibilitam condensar as informações dentro na 
fase analítica da Estatística Descritiva, dois tipos são os mais importantes: as medidas 
de posição (especialmente as de tendência central) e as medidas de dispersão (ou de 
heterogeneidade). 
 
As medidas de posição podem se apresentar de várias formas, dependendo daquilo 
que se pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos. 
 
4.1 – Medidas de tendência central (ou promédios) 
 
São medidas de posição em torno das quais os dados tendem a se agrupar. Os três 
promédios mais utilizados para resumir o conjunto de valores representativos de 
fenômeno que se deseja estudar são: a média aritmética, a moda e a mediana. Outros 
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promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, etc. 
 
a) Médias 
 
Média Aritmética Simples (x ou µ) – a média aritmética simples de um conjunto de 
números é igual ao quociente entre a soma de valores do conjunto e o número total 
de valores. 
 
𝑿 = 
∑ 𝑿𝒊
𝒏
 
 
Média Aritmética Ponderada (P) - utilizada quando os valores do conjunto tiverem 
pesos diferentes. É obtida através do quociente entre a soma dos produtos dos pesos 
pelos respectivos valores e a soma dos pesos. 
 
𝑿 = 
∑ 𝑿𝒊 𝒙 𝒇𝒊
∑ 𝒇𝒊
 
 
Esta equação é para dados não agrupados, caso sejam agrupados em classes, o Xi é o 
mesmo que o PMi. 
 
Desvio (di) – é o afastamento de cada valor do conjunto em relação a um valor fixo 
x0: 
 
di = xi – x0 
 
Propriedades da média aritmética: 
 
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1ª) a soma algébrica dos desvios dos valores em relação à média aritmética é igual a 
zero. 
 
2ª) a soma algébrica dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média 
aritmética é um mínimo. 
 
3ª) sendo n o número de incidência de cada média aritmética x, de cada conjunto k 
de valores, então a média aritmética de todos os valores dos k conjuntos é a média 
ponderada das médias aritméticas dos respectivos conjuntos. Essa média é 
denominada média global. 
 
4ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, a 
média aritmética desta série fica somada (ou subtraída) dessa constante. 
 
5ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, 
a média aritmética desta série fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
 
Processo breve para o cálculo da média aritmética (para dados tabulados em 
classes) 
 
A partir das duas últimas propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a 
média aritmética utilizando uma variável transformada (di), denominada variável 
reduzida: 
 
OBS: Recomenda-se utilizar para o valor de A o ponto médio da classe de maior 
frequência se o número de classes k for par, ou o ponto médio da classe 
intermediária se o número de classes for ímpar. 
 
𝒅𝒊 = 
𝒙𝒊 − 𝑨
𝒄
 
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Exemplo: calcular a média aritmética na tabela a seguir. 
 
Notas de uma prova de Estatística 
 xi fi PMi di fi.di 
0 I––– 20 10 
20 I––– 40 30 
40 I––– 60 40 
60 I––– 80 15 
80 I––– 100 5 
 
 
Média Geométrica ( G ) – á média geométrica de um conjunto de n valores é a raiz 
n–ésima do produto de todos os valores do conjunto dado. 
 
𝑮 = √∏ 𝒙𝒊
𝒏
 (𝒐𝒏𝒅𝒆 ∏ 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕ó𝒓𝒊𝒐 ) 
 
Média Harmônica ( H ) – á média harmônica de um conjunto de n valores é o inverso 
da média aritmética dos inversos de todos os valores do conjunto dado. 
 
𝑯 = 
𝒏
∑
𝟏
𝒙𝒊
 
Obs.: H  G  X 
 
Exemplo. Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro 
(X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma 
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empresa. Esse exercício produziu a tabela de frequências abaixo. A coluna Classes 
representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a 
frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-
130 40 
130-
150 70 
150-
170 85 
170-
190 95 
190-
210 100 
 
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
 
a) 140,10 
b) 115,50 
c) 120,00 
d) 140,00 
e) 138,00. 
Letra E 
 
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b) Moda (Mo) 
 
O valor de maior frequência da série, também chamado norma, valor dominante ou 
valor típico. 
 
Exemplos: 
1) Rol (dados não tabulados) 
 
Determinar a moda nos conjuntos a seguir: 
 
A = { 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,5 ,6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Mo = 
 
B = { 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5 ,5 ,5 ,5, 5, 5 ,5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9} Mo = 
 
C = { 2, 3, 5, 7, 8, 9} Mo = 
 
Dados Tabulados Não-Agrupados em classes 
 
Exemplo: determinar o valor da moda na tabela a seguir. 
 
xi fi 
1 5 
2 10 
3 18 
4 12 
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Dados Tabulados Agrupados em Classes 
 
Classe modal: é classe de maior frequência. 
 
Determinação da Moda: 
 
– Moda Bruta: é o método mais rudimentarde cálculo da moda, que consiste em 
considerá-lo como sendo o ponto médio da classe modal. 
 
– Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à 
classe modal. 
 
𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
𝒇𝒑ó𝒔
𝒇 𝒂𝒏𝒕 + 𝒇 𝒑ó𝒔
 
 
Li – limite inferior da classe modal 
 
h (ou c) – amplitude do intervalo de classe 
 
fpos – frequência da classe posterior à classe modal 
 
fant – frequência da classe anterior à classe modal 
 
– Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes. 
 
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𝑴𝒐 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
∆𝟏
∆𝟏 + ∆𝟐
 , 𝒐𝒏𝒅𝒆: ∆𝟏 = 𝒇𝒎𝒐 − 𝒇𝒂𝒏𝒕 𝒆 ∆𝟐 = 𝒇𝒎𝒐 − 𝒇𝒑𝒐𝒔 
 
c) Mediana ( Md ) 
 
O valor central de uma série ordenada. 
 
A mediana é considerada uma separatriz, por ser um promédio que divide a série em 
partes iguais; e, pelo fato de ocupar uma determinada posição na série ordenada, o 
número que indica a sua posição é denominado elemento mediano (Em). 
 
Determinação da mediana para dados não tabulados 
 
Uma vez ordenados os valores da série (Rol), a mediana será: 
 
– O valor central da série, se o número de valores (n) for ímpar, 
 
– A média aritmética dos dois valores centrais da série, se o número de valores for par. 
 
Exemplos: 
 
1) Rol (dados não tabulados) 
 
Determinar a mediana nos conjuntos a seguir: 
 
A = { 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Md = 
 
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B = { 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md= 
 
C = { 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md = 
 
2) Dados Tabulados Não-Agrupados em classes 
O procedimento a ser adotado é praticamente idêntico ao anterior. 
 
Exemplo: calcular a mediana na tabela a seguir. 
xi fi 
1 5 
2 10 
3 18 
4 12 
5 4 
3) Dados Tabulados Agrupados em classes 
 
𝑴𝒅 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
(
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒂𝒏𝒕)
𝒇𝒎𝒅
 
 
n – frequência total 
 
Fant – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana 
 
fmd - frequência da classe mediana 
 
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h - Amplitude da classe mediana 
 
Li - Limite inferior da classe mediana 
 
OBS: classe mediana ... é a classe onde se encontra o elemento de posição n/2. 
 
Exemplo: Determinar a moda e a mediana na tabela a seguir. 
 
Notas de uma prova de Estatística 
 
 xi fi Fi 
0 I––– 20 10 
20 I––– 40 30 
40 I––– 60 40 
60 I––– 80 15 
80 I––– 100 5 
 
 
d) Outras separatrizes 
 
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais. 
 
𝑸 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
(𝒏𝑸 𝒙 
∑ 𝒇𝒊
𝟒
− 𝑭𝒂𝒏𝒕)
𝒇𝑸
 
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais. 
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𝑫 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
(𝒏𝑫 𝒙 
∑ 𝒇𝒊
𝟏𝟎
− 𝑭𝒂𝒏𝒕)
𝒇𝑫
 
 
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais. 
 
𝑷 = 𝑳𝒊 + 𝒉 𝒙 
(𝒏𝑷 𝒙 
∑ 𝒇𝒊
𝟏𝟎𝟎
− 𝑭𝒂𝒏𝒕)
𝒇𝑷
 
 
Exemplo 1. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa 
amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu 
a tabela de frequências seguinte: 
 
Classes 
Frequência ( f 
) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de 
Czuber. 
a) 69,50 
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b) 73,79 
c) 71,20 
d) 74,53 
e) 80,10. Letra B 
 
Exemplo 2. Considerando a distribuição de frequência relativa ao salário, em 
milhares de reais, de professores de uma faculdade, os valores salariais do 
terceiro quartil e do nonagésimo percentil são respectivamente: 
 
 
i 
Salários 
R$ 
fi 
1 0 |-- 2 8 
2 2 |-- 4 12 
3 4 |-- 6 22 
4 6 |-- 8 25 
5 8 |-- 10 18 
6 10 |-- 12 15 
 
 
a) R$ 8.880 e R$10.660 
b) R$ 6.650 e R$ 4.480 
c) R$ 2.920 e R$ 6.560 
d) R$ 6.650 e R$10.660 
e) R$ 6.560 e R$8.880. 
 Letra A 
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5. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
As medidas de dispersão permitem avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos 
valores de um conjunto de números, proporcionando um conhecimento mais 
completo do fenômeno a ser analisado, permitindo estabelecer comparações entre 
fenômenos de mesma natureza e mostrando até que ponto os valores se distribuem 
acima ou abaixo da tendência central. 
 
5.1. Medidas de Dispersão Absoluta 
 
Amplitude Total ou Intervalo Total (AT) – é a diferença entre os valores extremos 
do conjunto. 
 
Desvio Médio ou Média dos Desvios (Dm) 
 
𝑫𝒎 = 
∑ | 𝒙𝒊− 𝒙|
𝒏 𝒐𝒖 𝒏−𝟏
 ou. 𝑫𝒎 = 
∑ | 𝒙𝒊− 𝒎𝒅|
𝒏 𝒐𝒖 𝒏−𝟏
 
 
Desvio Quartil ou Amplitude Semi-Interquartílica (Dq ou Q) 
 
𝑸 = 
𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
𝟐
 
 
No intervalo (Md  Q) encontram-se aproximadamente 50% da distribuição. Essa 
porcentagem será exata se a distribuição for simétrica. 
 
 
Desvio Padrão (S ou ) 
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𝑺 = √
∑(𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐
𝒏 𝒐𝒖 𝒏 − 𝟏
 𝒐𝒖. √
𝟏
𝒏 𝒐𝒖 𝒏 − 𝟏
𝒙 [ ∑ 𝒙𝒊𝟐 − 
(∑ 𝒙𝒊)𝟐
𝒏
] 
 
Obs.: quando o desvio padrão representar uma descrição da amostra e não da 
população, caso mais frequente em estatística, o denominador das expressões 
será n – 1, ao invés de n, pois assim se obtém uma estimativa melhor do 
parâmetro de população. Para valores grandes de n (n > 30), não há grande 
diferença; entretanto, a utilização de n– 1 proporciona uma estimativa mais justa 
do desvio-padrão da população. 
 
Ou também pode ser com frequências: 
 
𝑺 = √
∑ 𝒇𝒊(𝒙𝒊− 𝒙)𝟐
𝒏 𝒐𝒖 𝒏−𝟏
 𝒐𝒖. √
𝟏
𝒏 𝒐𝒖 𝒏−𝟏
𝒙 [ ∑ 𝒇𝒊. 𝒙𝒊𝟐 − 
(∑ 𝒇𝒊.𝒙𝒊)𝟐
𝒏
] 
 
Forma simplificada: 
𝑺 = √𝒙𝟐 − ( 𝒙 )𝟐 
 
 
E também pelos desvios (di) como na média: 
 
𝑺 = 𝒉 𝒙√
∑ 𝒇𝒊(𝒅𝒊 − 𝒅)𝟐
𝒏 𝒐𝒖 𝒏 − 𝟏
 𝒐𝒖. 𝒉 𝒙√
𝟏
𝒏 𝒐𝒖 𝒏 − 𝟏
𝒙 [ ∑ 𝒇𝒊. 𝒅𝒊𝟐 − 
(∑ 𝒇𝒊. 𝒅𝒊)𝟐
𝒏
] 
Onde: 
𝒅𝒊 = 
𝒙𝒊 − 𝒙𝟎
𝒉
 
 
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h = amplitude do intervalo de classe e recomenda-se utilizar para o valor de x0 o 
ponto médio da classe de maior frequência se o número de classes for par, ou o ponto 
médio da classe intermediária se o número de classes for ímpar. 
Propriedades do desvio-padrão: 
 
1ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, o 
desvio-padrão desta série não se altera. 
 
2ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, 
o desvio-padrão desta série fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. 
 
3ª) o desvio-padrão é maior que o desvio médio. 
Processo breve para o cálculo do desvio-padrão (para dados tabulados em classes) 
 
A partir das duas primeiras propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a 
média aritmética utilizando uma variável transformada (di), como no cálculo da média 
aritmética pelo processo breve: 
 
Exemplo: calcular o desvio padrão na tabela a seguir. 
 
Notas de uma prova de Estatística 
 xi fi PMi di di2 fi.di fi.di2 
0 I––– 20 10 
20 I––– 40 30 
40 I––– 60 40 
60 I––– 80 15 
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80 I––– 100 5 
 
Resposta: S 19,95 
 
e) Variância (S2 ou 2) – é o quadrado do desvio-padrão. 
 
Propriedades da variância: 
 
1ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, a 
variância desta série não se altera. 
 
2ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valorda série, 
a variância desta série fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado desta constante. 
 
5.2. Medidas de Dispersão Relativa 
 
Resultam, em geral, de comparação entre uma medida de dispersão absoluta e um 
promédio, sendo expresso em termos percentuais. Proporcionam uma avaliação mais 
apropriada do grau de dispersão da variável e ainda, comparar duas ou mais 
distribuições, mesmo de fenômenos diferentes expressas em unidades de medidas 
distintas. 
 
a) Desvio Quartil Reduzido (Qr) 
 
𝑸𝒓 = 
𝑸
| 𝑴𝒅|
= 
𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
𝟐 𝒙 | 𝑴𝒅 |
 
 
 
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b) Coeficiente de Variação 
 
𝑷𝒆𝒂𝒓𝒔𝒐𝒏: 𝑪𝑽 = 
𝑺
| 𝒙 |
 𝒐𝒖. 𝑻𝒉𝒐𝒎𝒅𝒊𝒌𝒆: 𝑪𝑽 = 
𝑺
| 𝑴𝒅 |
 𝒐𝒖. 𝑸𝒖𝒂𝒓𝒕í𝒍𝒊𝒄𝒐: 𝑪𝑽
= 
𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
| 𝑸𝟑 + 𝑸𝟏|
 
 
Exemplo. Uma empresa verificou que, historicamente, a idade média dos 
consumidores de seu principal produto é de 25 anos, considerada baixa por seus 
dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participação no mercado, a empresa 
realizou uma campanha de divulgação voltada para consumidores com idades 
mais avançadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha 
indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuição: 
 
 
Idade 
(X) 
Frequên
cia 
Porcentag
em 
 40 20 25 -ו 18 
 30 15 30 -ו 25 
 20 10 35 -ו 30 
 10 5 40 -ו 35 
 Total 50 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao resultado da campanha considerando o 
seguinte critério de decisão: se 𝒙 − 𝟐𝟓 for maior que o valor 
𝟐𝜹𝒙
√𝒏
 então a 
campanha de divulgação surtiu efeito, isto é, a idade média aumentou; caso 
contrário, a campanha de divulgação não alcançou o resultado desejado. 
 
a) A campanha surtiu efeito, pois 𝑥 − 25 = 2,1 é maior que 
2𝛿𝑥
√𝑛
 = 1,53 
b) A campanha não surtiu efeito, pois 𝑥 − 25 = 0 é menor que 
2𝛿𝑥
√𝑛
 = 1,64 
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c) A campanha surtiu efeito, pois 𝑥 − 25 = 2,1 é maior que 
2𝛿𝑥
√𝑛
 = 1,41 
d) A campanha não surtiu efeito, pois 𝑥 − 25 = 0 é menor que 
2𝛿𝑥
√𝑛
 = 1,53 
e) A campanha surtiu efeito, pois 𝑥 − 25 = 2,5 é maior que 
2𝛿𝑥
√𝑛
 = 1,41. LETRA A 
 
II – AMOSTRAGEM 
 
Amostragem – é o ato de obter amostra de uma população. O levantamento por 
amostragem objetiva a redução do custo e tempo do processo estatístico. O tamanho 
da amostra deve ser no mínimo 10% da população, para que haja uma maior 
fidedignidade dos fatos. 
 
1 – Conceitos em Amostragem 
 
Inferência Estatística - é o processo de obter informações sobre uma população a 
partir de resultados observados na amostra. 
 
Amostragem - É o processo de retirada de informações dos "n" elementos amostrais, 
na qual deve seguir um método adequado (tipos de amostragem). 
 
 
 
2 – Plano de Amostragem 
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1º) Definir os Objetivos da Pesquisa 
 
2º) População a ser amostrada 
 
Parâmetros a ser estimados (Objetivos) 
 
3º) Definição da Unidade Amostral 
 
Seleção dos Elementos que farão parte da amostra 
 
4º) Forma de seleção dos elementos da população 
 
Tipo de Amostragem: 







dosconglomera
adaestratific
asistemátic
simplesaleatória 
 
 
5º) Tamanho da Amostra 
Exemplo: Moradores de uma Cidade (população alvo) 
 
Objetivo: Tipo de Residência 





 
 
emprestada
alugada
própria
 
 
Unidade Amostral: Domicílios (residências) 
Elementos da População: Família por domicílio 
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3 – Tipos de Amostragem 
 
A) Probabilísticos: 
 
Amostragem Simples ou Ocasional 
 
É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. Todos os elementos da 
população têm igual probabilidade de serem escolhidos. Para uma população finita o 
processo deve ser sem reposição. Todos os elementos da população devem ser 
numerados. Para realizar o sorteio dos elementos da população pode-se usar a Tabela 
de Números Aleatórios ou gerar números aleatórios por meio de um software; 
 
Amostragem Sistemática 
 
Trata-se de uma variação da Amostragem Aleatória Ocasional, conveniente quando a 
população está naturalmente ordenada, como fichas em um fichário, lista telefônica, 
etc. 
 
Ex.: N = 500 (População) 
 
n = 50 (Amostra) 
 
então r = N/n = 500/50 = 10, (teremos uma Progressão Aritmética (PA) de razão 
10) 
 
 
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Sorteia-se usando a Tabela de Números Aleatórios um número entre 1 e 10, (x=3), o 
número sorteado refere-se ao 1o elemento da amostra, logo os elementos da amostra 
serão: 
3 13 23 33 43 ...... 
Para determinar qualquer elemento da amostra podemos usar a fórmula do termo 
geral de uma P.A. 
 
rnaan ).1(1  
 
Amostragem Estratificada 
 
É um processo de amostragem usado quando nos depararmos com populações 
heterogêneas, na qual pode-se distinguir subpopulações mais ou menos 
homogêneas, denominados estratos. 
 
Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada uma 
subpopulação (estrato). 
 
As diversas subamostras retiradas das subpopulações devem ser proporcionais aos 
respetivos números de elementos dos estratos, e guardarem a proporcionalidade em 
relação a variabilidade de cada estrato, obtendo-se uma estratificação ótima. 
 
Tipos de variáveis que podem ser usadas em estratificação: idade, classes sociais, sexo, 
profissão, salário, procedência, etc. 
 
Amostragem por Conglomerados (ou Agrupamentos) 
 
Algumas populações não permitem, ou tornam-se extremamente difícil que se 
identifiquem seus elementos, mas podemos identificar subgrupos da população. Em 
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tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) podem 
ser escolhidas, e uma contagem completa deve ser feita no conglomerado sorteado. 
 
Agregados típicos são: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios, etc. 
 
 
 
 
B) Não Probabilísticos: 
 
Por julgamento – os elementos são escolhidos de modo intencional. 
 
Por quotas – também baseado em um julgamento (escolha intencional). Os grupos 
(quotas) extraídos têm número proporcional àquele em que se encontram na 
população. 
 
4 – Tamanho da Amostra 
 
Os pesquisadores de todo o mundo, na realização de pesquisas científicas, em 
qualquer setor da atividade humana, utilizam as técnicas de amostragem no 
panejamento de seus trabalhos, não só pela impraticabilidade de poderem observar, 
numericamente, em sua totalidade determinada população em estudo, como devido 
ao aspecto econômico dessas investigações, conduzidos com um menor custo 
operacional, dentro de um menor tempo, além de possibilitar maior precisão nos 
respectivos resultados, ao contrário, do que ocorre com os trabalhos realizados pelo 
processo censitário. 
A técnica da amostragem, a despeito de sua larga utilização, ainda necessita de 
alguma didática mais adequada aos pesquisadores iniciantes. 
Na teoria da amostragem, são consideradas duas dimensões: 
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1ª) Dimensionamento da Amostra; 
2ª) Composição da Amostra. 
 
III. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
Variável representa a intensidade com que o atributo ocorre no fenômeno estudado. 
 
a) Uma variável pode ser: 
 
Discreta (ou descontinua) – quando a menor diferença não-nula entre dois valores 
possíveis dessa variável é finita. Normalmente resulta de contagem. 
 
Continua – pode assumir o valor de qualquer número real. Normalmente resulta de 
mensuração. 
 
IV. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
Em Estatística, uma Distribuição de Probabilidade descreve a chance que uma variávelpode assumir ao longo de um espaço de valores. 
 
Principais Distribuições de Probabilidade 
 
1 – Variáveis Aleatórias Discretas 
 
a) Distribuição de Bernoulli 
 
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Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório. Podemos ter sucesso 
ou fracasso nessa tentativa. 
Seja p a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso, com p + q = 1, ou 
seja, 
q = 1 − p. 
 
Seja X o número de sucessos em uma única tentativa do experimento. X assume o 
valor 0 que corresponde ao fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que 
corresponde ao sucesso, com probabilidade p. 
 
P(X = 0) = q e P(X = 1) = p 
 
Nessas condições a variável aleatória X tem distribuição de BERNOULLI, e sua função 
de probabilidade é dada por: 
 
P(X = x) = p(x)· q(1-x) 
 
A esperança da distribuição de Bernoulli é 
 
E(X) = p 
 
Variância é V (X) = p.q. 
 
b) Distribuição Binomial 
 
A probabilidade de um evento A ocorrer exatamente k vezes em um determinado 
experimento aleatório é dada por: 
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𝑷(𝑨) = 𝑪𝒏
𝒌𝒙 𝒑𝒌 𝒙 𝒒𝒏−𝒌 , 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪𝒏
𝒌 = 
𝒏!
𝒌! 𝒙 (𝒏 − 𝒌)!
 
 
Onde: n = número de eventos e k = é o número de favoráveis dentro dos eventos 
 
Vale observar que se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a 
probabilidade de não realização desse evento (insucesso) é 1 – p = q. 
 
A esperança da distribuição Binomial é 
E(X) = n . p 
Variância é V (X) = n.p.q 
c) Distribuição de Poisson 
 
Na distribuição binomial, se n for muito grande, enquanto a probabilidade p da 
ocorrência de um evento for próxima de zero, o evento será denominado raro. Na 
prática, considera-se um evento como raro quando o número de tentativas é, pelo 
menos, igual a 50 (n ≥ 50), ao passo que n.p é menor que 7. Nesses casos, a 
distribuição binomial é muito aproximada da de Poisson, com λ = n.p. 
 
A distribuição de Poisson 
 
Esta é uma distribuição associada a “eventos raros”. As razões para isso se tornarão 
mais claras a medida que a aplicação desse modelo for descrita. Os eventos podem 
ser: 
 acidentes automotivos 
 erros de digitação 
 chegada de um cliente em um banco 
 entre outros eventos… 
 
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A distribuição de Poisson é aplicável quando o número de possíveis ocorrências 
discretas é muito maior do que o número médio de ocorrências em um determinado 
intervalo de tempo ou espaço. O número de possíveis ocorrências, muitas vezes não 
se sabe exatamente. Os resultados devem ocorrer de forma aleatória, ou seja, 
totalmente por acaso e da probabilidade de ocorrência não deve ser afetado por se 
ou não os resultados ocorrido anteriormente, de modo que as ocorrências são 
independentes. Em muitos casos, embora possamos contar as ocorrências, como a de 
uma tempestade, não podemos contar as não ocorrências correspondentes. (Nós não 
podemos contar “não-tempestades”!). 
 
De modo geral, dizemos que a variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson 
com parâmetro λ > 0, se: 
 
𝑷 = 
𝒆−𝝀𝒙 𝝀𝒌
𝒌!
 
, 
Onde k = 0, 1, 2, ... (número de ocorrências em determinado intervalo de tempo), e 
representa o número médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado. 
 
e = 2,71828... (número neperiano). 
 
A esperança da distribuição Poisson é 
 
E(X) = n . p =  = V(x) 
 
Onde: p =  / n 
 
d) A Distribuição Exponencial (ou exponencial negativa) 
 
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A distribuição exponencial pode ser associada com a distribuição geométrica. Porém 
antes de tratarmos das similaridades da propriedade dessas duas distribuições 
avaliaremos as características da variável aleatória. 
 
De uma forma bastante resumida imagine uma variável aleatória Poisson, onde temos 
a contagem do número de ocorrências em um intervalo. Suponha agora que 
estejamos interessados em verificar a probabilidade do tempo transcorrido entre duas 
ocorrências consecutivas. Essa última é considerada uma variável aleatória 
exponencial. 
 
Essa distribuição contínua que pode ser utilizada para descrever as probabilidades 
envolvidas no tempo que decorre para que um determinado evento aconteça. Existe 
uma conexão muito próxima entre a distribuição exponencial e a de Poisson. Ou seja, 
é Utilizada para descrever o tempo entre as ocorrências de sucessivos eventos de uma 
distribuição de Poisson. As relações entre as distribuições podem ser associadas a um 
processo estocástico, chamado de processo de Poisson. 
 
Para simplificar a abordagem imagine um processo de chegada sendo monitorando 
ao longo do tempo (sendo o tempo uma variável contínua). 
 
a) Função de Distribuição Cumulativa: 
 
𝑷(𝑿 ≤ 𝒙) = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒙 ou 
𝑷(𝑿 ≥ 𝒙) = 𝒆−𝝀𝒙 
 
b) Esperança e Variância: 
 
𝑬(𝒙) = 
𝟏
𝝀
 
 
𝑽(𝒙) = 
𝟏
𝝀𝟐
 
 
EXEMPLO. Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de 
ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três 
sucessos. Desse modo, as probabilidades de sucesso e fracasso são, em 
percentuais, respectivamente, iguais a: 
 
a) 80 % e 20 % 
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b) 30 % e 70 % 
c) 60 % e 40 % 
d) 20 % e 80 % 
e) 25 % e 75 %. 
 Letra D 
 
EXEMPLO. O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo 
uma distribuição de Poisson, com média de dois petroleiros por dia. Desse modo, 
a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em dois dias é 
igual a: 
 
a) 32/73 e^-4 
b) 71/3 e^4 
c) 71/3 e^-4 
d) 71/3 e^-2 
e) 32/3 eˆ-2. 
Letra C 
 
2 – Variável Aleatória Contínua (VAC) 
 
A probabilidade de uma VAC X assumir um determinado valor dentro de um intervalo 
[a,b] de valores é dada por: 
𝑷(𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
A função f(x) é chamada Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) da variável X. 
Teoricamente, qualquer função f , que não seja negativa e cuja área total sob a curva 
seja igual à unidade, caracterizará uma VAC; ou seja: 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
∞
−∞
= 𝟏 
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a) Esperança de uma Variável Aleatória Contínua 
 
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição contínua com f.d.p. f(x), então a 
esperança E(X) é definida por: 
𝑬(𝒙) = ∫ 𝒙 . 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
∞
−∞
 
 
b) Variância de uma Variável Aleatória Contínua 
 
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f(x). Então: 
 
𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 𝑬(𝒙𝟐) − (𝑬(𝒙))
𝟐
= ∫ [𝑬(𝒙𝟐) − (𝑬(𝒙))
𝟐
]𝒇(𝒙)𝒅𝒙
∞
−∞
 
 
c) O Desvio Padrão (DP) será dado por 
 
E(x) = (x); Var(x) = (x)2 e DP = S = (x) 
 
IV – Principais Modelos de Distribuições de Probabilidade 
 
a) O Modelo Uniforme 
 
É o modelo mais simples para v.a. contínua. 
Uma v.a. X tem Distribuição Uniforme no intervalo [ ,  ] se sua f.d.p. é dada por 
 
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𝒇(𝒙) = {
𝟏
𝜷 − 𝜶
 , 𝒔𝒆 𝜶 ≤ 𝒙 ≤ 𝜷
𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 
 
A Esperança e a Variância são dadas por 
 
𝑬(𝒙) = 
𝜶 + 𝜷
𝟐
 𝒆. 𝑽𝒂𝒓(𝒙) = 
(𝜷 − 𝜶)𝟐
𝟏𝟐
 
 
EXEMPLO. A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória 
contínua x é dada por: 
𝒇(𝒙) = {
𝟑𝒙𝟐 , 𝒔𝒆 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎
𝟎, 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓á𝒓𝒊𝒐
 . 
 
Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x e 
denotada por E(x) é igual a: 
 
a) 4/3. 
b) 3/4. 
c) – 3/4. 
d) – (3/4) x. 
e) – (4/3) x. 
 Letra C 
 
IV – Distribuição Normal 
 
A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística, considerando a 
questão prática e teórica. Esse tipo de distribuiçãoapresenta-se em formato de sino, 
unimodal, simétrica em relação a sua média. Considerando a probabilidade de 
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ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de 
uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área 
compreendida entre esses dois pontos. 
 
Na figura, as barras verticais representam os desvios padrões. Quanto mais afastado 
do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. O traço 
horizontal menor indica que 68,26% das observações estão contidas no intervalo entre 
um desvio padrão para a direita e um desvio padrão para a esquerda da média (centro 
da distribuição). O segundo traço indica que a dois desvios padrões em torno da 
média possuímos 95,44% dos dados e, finalmente a três desvios temos 99,73% (traço 
horizontal maior). Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados em 
relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos 
embaixo da normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características: 
1 – É uma curva com a forma de um “sino”, com um eixo de simetria; 
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2 – Muitas populações reais seguem a distribuição normal; 
 
3 – Numa população com média  e desvio-padrão  : 
– aproximadamente 68 % se encontram dentro do intervalo  ±  
– aproximadamente 95 % se encontram dentro do intervalo  ± 2; 
– aproximadamente 99,7 % se encontram dentro do intervalo  ± 3. 
 
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos, a 
média e o desvio padrão. 
 
Para cada valor de e/ou temos uma curva de distribuição de probabilidade. Porém, 
para se calcular áreas específicas, faz-se uso de uma distribuição particular: a 
"distribuição normal padronizada", o qual é a distribuição normal com = 0 e = 1. 
Para obter tal distribuição, isto é, quando se tem uma variável X com distribuição 
normal com média diferente de 0 (zero) e/ou desvio padrão diferente de 1 (um), 
devemos reduzi-la a uma variável Z, efetuando o seguinte cálculo: 
 
𝒁 = 
𝒙 − 𝝁
𝝈
 
 
Assim, a distribuição passa a ter média = 0 e desvio padrão = 1. Pelo fato de a 
distribuição ser simétrica em relação à média = 0, a área à direita é igual a área à 
esquerda de . Por ser uma distribuição muito usada, existem tabelas a qual 
encontramos a resolução de suas integrais. 
 
Assim, a tabela fornece áreas acima de que vão desde -3,99 até 3,99. Veja o gráfico da 
curva Normal padronizada na Figura abaixo. 
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A probabilidade de ocorrência de valores menores ou iguais a um valor genérico z 
dessa distribuição é dada por: 
𝑷 ( 𝒁 ≤ 𝒛) = 𝝓(𝒛) = ∫ 𝝓(𝒖) 𝒅𝒖
𝒛
− ∞
= 
𝟏
√𝟐𝝅
∫ 𝒆
−𝒖𝟐
𝟐 𝒅𝒖
𝒛
− ∞
 
 
Isso representa a área (entre −∞ e z) sob a curva da função de densidade. 
 
A Tabela III (em anexo) dá os valores de área sob a curva entre 0 e z conforme indicado 
na Figura (a). Portanto, é a fórmula anterior modificada para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área entre −∞ e z basta 
somar 0,5 aos valores da tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO. O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito 
tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de 
sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile 
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concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com 
média igual a R$ 500,00 e desvio-padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento 
diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-
padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da 
estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal 
padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade 
dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 ─ ou seja, entre a 
média 0 e 2 desvios-padrão ─ é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito 
preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia 
verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 
520,00 e o faturamento ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após 
alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas 
probabilidades são, em termos percentuais, iguais a 
a) 2,28; 95,44. 
b) 52,28; 95,44. 
c) 2,28; 98,69. 
d) 98,69; 95,44. 
e) 98,65; 2,28. 
Letra A 
 
TEOREMA DE CHEBYCHEV (A DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEFF) 
 
A proposta do pesquisador russo Pafnuty Lvovich Tchebycheff fornece meios para 
compreender como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado. 
 
Se conhecermos a distribuição de probabilidade, podemos calcular E(x) e V(x). No 
entanto, se conhecermos E(x) e V(x), não é possível reconstruir a distribuição de 
probabilidade. Dessa forma, sabendo apenas a variância e a esperança não podemos 
calcular P(|x – E(x)|  c), onde c é um valor pequeno qualquer. 
 
Apesar da impossibilidade de calcular P(|x – E(x)|  c) é possível estabelecer limites 
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superiores e inferiores para a variabilidade ao redor do valor esperado. 
 
A EQUAÇÃO: 
 
ANTES É PRECISO LEMBRAR OS INTERVALOS BÁSICOS DAS DISTRIBUIÇÕES QUE SÃO: 
 
intervalo  ±  ; intervalo  ± 2 ; intervalo  ± 3. 
 
(I) COMPLEMENTAR: P(|x – c|  𝜀 )  
1
𝜀2
 . 𝐸(𝑥 − 𝑐)2 
 
(II) PARA c =  : P(|x – |  𝜀 )  
1
𝜀2
 . 𝐸(𝑥 − )2 = P(|x – |  𝜀 )  
𝛿2
𝜀
 
 
(III) PARA c =  E 𝜀 = 𝐾 : P(|x – |  𝐾 )  
1
𝐾2
 
 
Unindo as três equações acima, para cálculo entre intervalos, chega-se a equação: 
 
𝟏 − 
𝟏
𝒌𝟐
 ≤ 𝟏 − (𝑷[𝒙 ≤ 𝝁 − 𝒌𝜹] + [𝒙 ≥ 𝝁 + 𝒌𝜹]) 
 
Onde K é o número de desvios padrões do intervalo que se deseja. 
 
Vale atentar para os seguintes valores: 
 
Quando K = 2 (intervalo  ± 2): Ao menos 3/4 (75%) de todos os valores estão no 
intervalo; 
Quando K = 3 (intervalo  ± 3): Ao menos 8/9 (89%) de todos os valores estão no 
intervalo; 
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APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PELA DISTRIBUIÇÃO NORMAL. 
 
Aumentando-se o tamanho da amostra a distribuição de probabilidade binomial se 
aproxima da normal, passando a mesma variável do tipo discreto a ter o mesmo 
tratamento que uma variável do tipo contínuo, com E(x) = n . p e V(x) = n . p . q. 
 
𝑧 = 
𝑥 − 𝑛. 𝑝
√𝑛 . 𝑝 . 𝑞
 
 
Distribuição “t” de Student 
 
Esta distribuição “t” ou Student foi estudada por Gosset em 1908 e se refere a 
pequenas amostras, isto é, quando n < 30. Sua curva representativa é bem semelhante 
à curva normal, sendo também simétrica em relação a ordenada máxima, mas 
apresentando as extremidades com maior comprimento e mais elevadas, fato este que 
determina uma variância maior do que a distribuição normal. 
 
É MUITO IMPORTANTE ATENTAR PARA OS SÍMBOLOS: 
 
�̅� = MÉDIA DA AMOSTRA; 
 = MÉDIA DA POPULAÇÃO; 
S = DESVIO PADRÃO DA AMOSTRA; 
 = DESVIO PADRÃO DA POPULAÇÃO; 
 = GRAU DE LIBERDADE. 
 
Na distribuição normal verificamos que ela depende dos parâmetros  e . Mas na 
maioria das vezes,a variância populacional não é conhecida e as investigações ou 
análises são feitas a partir de amostras retiradas dessa população. Nessas condições 
o desvio padrão amostral S corresponderá a uma estimativa de , logo: 
 
𝑆 = √
∑(𝑋𝑖 − 𝜇)
𝑛 − 1
 
 
onde n-1 corresponderá ao número de graus de liberdade , ou seja, o número de 
variáveis independentes, fixada uma condição. 
 
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Para cada amostra da população teremos: 
 
𝑡 = 
�̅� − 𝜇
𝑆𝑥
 
 
Onde: �̅� = média da amostra 
 = média da população 
𝑆𝑥 = 
𝑠
√𝑛
 
 
A medida que o grau de liberdade aumenta t Z, observando que ao ultrapassar 30 
graus de liberdade já é possível usar a distribuição normal, pois a diferença entre os 
resultados será bastante pequena. 
 
Genericamente, existe uma família de distribuições “t”, cuja forma tende à distribuição 
normal reduzida, à medida que n cresce (pois S tende a  e, portanto, t tende a Z). 
 
 
Distribuição Qui-quadrado(x2) 
 
A distribuição Qui-quadrado possui numerosas aplicações em inferência estatística, 
tais como os testes não paramétricos. Sejam X1, X2, ..., Xn, variáveis aleatórias 
independentes, normalmente distribuídas com média zero e variância 2. Define-se a 
variável aleatória x2, com  graus de liberdade como sendo a soma do quadrado de  
variáveis normais padronizadas e independentes, isto é: 
 
𝑥𝛿
2 = ∑ 𝑧2 = ∑(
 𝑥 − 𝜇
𝜎
 )2 
 
A distribuição x2 assume diversas formas gráficas dependendo do número de graus 
de liberdade 
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𝑆𝑒 𝑛 → ∞ , 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙; 
𝑆𝑒 𝛿 = 1 → 𝑥1
2 = 𝑧2, ( 𝑢𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑎). 
 
Parâmetros da Distribuição: 
 
E(x) =  e V(x) = 2 
 
Distribuição F de Snedecor. 
 
A distribuição F de Snedecor também conhecida como distribuição de Fisher é 
frequentemente utilizada na inferência estatística para análise da variância 
 
A distribuição F é uma distribuição de amostragem contínua da razão de duas 
variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado, cada uma dividida 
por seus graus de liberdade. O distribuição F é assimétrica à direita e descrito pelos 
graus de liberdade de seu numerador (ν1) e denominador (ν2). Os gráficos a seguir 
mostram o efeito de diferentes valores de graus de liberdade na forma da distribuição, 
como por exemplo a curva abaixo: 
 
 
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Onde V1 = 1 e V2 = 9 
 
Utiliza-se a distribuição F, quando uma estatística de teste é a razão entre duas 
variáveis que tenham, cada uma delas, uma distribuição do qui-quadrado. Por 
exemplo, use a distribuição F na análise de variância e em testes de hipóteses para 
determinar se duas variâncias de população são iguais. 
 
A) Principais Características: 
 
 Cada par de graus de liberdade da origem a uma distribuição F diferente; 
 
 A distribuição F depende de dois parâmetros. O primeiro (ν1) é o grau de 
liberdade do numerador e o segundo (ν2) do denominador; 
 
 A variável aleatória Fé não-negativa, e a distribuição é assimétrica à direita; 
 
 A distribuição F se parece com a distribuição qui-quadrado, no entanto, os 
parâmetros ν1 e ν2 fornecem flexibilidade extra em relação à forma; 
 
B) Teorema: 
 
Sejam Q1 e Q2 variáveis aleatórias independentes, com distribuição qui-quadrado 
com ν1 e ν2 graus de liberdade, respectivamente. Então, a variável aleatória 
 
𝐹 = 
𝑄1
𝑉1
𝑄2
𝑉2
 
 
tem distribuição F de Snedecor com ν1 graus de liberdade no numerador e ν2 graus 
de liberdade no denominador. 
 
C) RELAÇÕES IMPORTANTES: 
 
𝑭𝟏− 𝜶,𝟏,𝒗 = 𝒕𝟏− 𝜶/𝟐,𝒗
𝟐 
𝑭𝜶,𝒗,∞ = 
𝒙𝜶,𝒗
𝟐
𝒗
 
𝑭𝟏− 𝜶,𝟏,𝒗 = 
𝟏
𝑭𝜶,𝒗,∞
 
 
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Observação: 
 
Suponha que temos duas populações independentes tendo distribuições normais 
com variâncias iguais a σ2. Considere Y11, ... ,Y1n uma amostra aleatória da primeira 
população com n observações e Y21, ... ,Y2m uma amostra aleatória da segunda 
população com m observações. Então, a estatística 
 
𝐹 = 
(𝑛 − 1)𝑆1
2
(𝑛 − 1)𝜎2
(𝑚 − 1)𝑆2
2
(𝑚 − 1)𝜎2
 
 
 
tem distribuição F de Snedecor com (n−1) graus de liberdade no numerador e (m−1) 
graus de liberdade no denominador, onde S1 e S2 são os desvios padrão amostrais 
da primeira e da segunda amostra, respectivamente. 
 
 
EXEMPLO. Em uma distribuição de probabilidade, a esperança matemática é 75, 
com uma variância de 25 e deseja-se calcular a probabilidade de uma variável 
aleatória X estar entre os limites de 67 a 83: 
 
a) 75% de probabilidade. 
b) 25% de probabilidade. 
c) 60,9% de probabilidade. 
d) 39,1% de probabilidade. 
e) 89% de probabilidade. 
Letra c 
 
V. TESTE DE HIPÓTESE 
 
Quando não temos certeza a respeito de uma afirmação sobre um parâmetro 
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estatístico (média, desvio-padrão), dizemos que essa afirmação é uma hipótese 
 
Um teste de hipótese é um processo estatístico que tem como finalidade verificar se 
uma determinada afirmação é verdadeira. 
 
 
 
Erros em um teste de Hipótese: 
 
Podemos cometer um erro ao analisar uma afirmação. 
 
 
 
A probabilidade de se cometer um erro do tipo I é denominada de nível de 
significância 
 
P(erro I) =  
 
Tipos de Testes: 
 
a) Bilateral: H0:  = P e H1:   P (Rejeitar se Zcalc < – Z ou Zcalc > Z) 
b) Unilateral à esquerda: H0:   P e H1:  < P (Rejeitar se Zcalc < – Z) 
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c) Unilateral à direita: H0:   P e H1:  > P (Rejeitar se Zcalc > Z) 
 
 
 
 
 
 
Estrutura de um teste de hipótese: 
 
a) formular as hipóteses H0 e H1 
 
b) escolher uma distribuição adequada (comumente a distribuição normal) para testar 
a média. 
 
c) escolher um nível significância (valor crítico). 
 
d) calcular a estatística teste 
 
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𝒁𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆 = 
𝝁𝟎 − 𝝁
𝝈
√𝒏
 
Onde:  = média afirmada em H0 
0 = média da amostra testada 
 = desvio-padrão da população (ou amostra com n  30) 
n = número de elementos da amostra 
 
e) comparar a estatística teste com a estatística tabelada (Zteste e Ztab) 
 
f) rejeitar H0 se o valor de Zteste estiver na zona de rejeição, ou aceitar H0 se Zteste 
na área de aceitação 
 
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DE UMA AMOSTRA COM BASE NA ESTIMATIVA 
DA MÉDIA POPULACIONAL 
 
Suponha, por exemplo, que queiramos estimar a renda média de pessoas que 
concluíram um curso superior, no primeiro ano após a formatura. QUANTAS rendas 
devemos incluir em nossa amostra? A determinação do tamanho de uma amostra é 
problema de grande importância, porque: 
 
 amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e de 
dinheiro; 
 
 e amostras excessivamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis. 
 
Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra para 
estimar um parâmetro estatístico, como por exemplo, a média populacional () . 
 
A fórmula para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa confiável da 
média populacional é dada por: 
 
𝑛 = (
𝑍𝛼/2. 𝜎
𝐸
)2 
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Onde: 
n = Número de indivíduos na amostra 
Z/2 = Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado. 
 = Desvio-padrão populacional da variável estudada. 
E=Margem de erro ou ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA (Identifica a diferença máxima 
entre a média amostral (X) e a verdadeira média populacional (), ou seja: �̅� − 𝜇 ). 
 
EXEMPLO. Suponhamos que uma indústria comprede certo fabricante parafusos 
cuja carga média de ruptura por tração é especificada em 50 Kg, o desvio-padrão 
das cargas de ruptura é suposto ser igual a 4 Kg. 
 
O comprador deseja verificar se um grande lote de parafusos recebidos deve ser 
considerado satisfatório, no entanto existe alguma razão para se temer que a 
carga média de ruptura seja eventualmente inferior à 50 Kg. Se for superior não 
preocupa o comprador pois neste caso os parafusos seriam de melhor qualidade 
que a especificada. 
 
A hipótese do comprador é que a carga média da ruptura é inferior a 50 Kg. O 
comprador pode ter o seguinte critério para decidir se compra ou não o lote: 
resolve tomar uma amostra aleatória simples de 25 parafusos e submetê-los ao 
ensaio de ruptura. Se a carga média de ruptura observada nesta amostra for 
maior que 48 Kg, com nível de significância de 5%, ele comprará o lote, caso 
contrário se recusará a comprar. 
 
Resposta: 𝑷(𝝁 < 𝟒𝟖) = 𝑷(𝒁 < −𝟐, 𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟐. 𝑹𝑬𝑱𝑬𝑰𝑻𝑨𝑹 𝑯𝟎 
 
EXEMPLO. Em um teste de hipóteses bilateral, com nível de significância α, cujas 
estatísticas de teste calculadas e tabeladas são designadas por Tc e T /2, 
respectivamente, pode-se afirmar que: 
 
a) Se – T/2  Tc  T/2, rejeita-se H0 
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b) Se – T/2  Tc  T/2, não se pode rejeitar H0 
c) a probabilidade de se rejeitar H0, sendo H0 verdadeira, é igual a /2 
d) ocorre erro tipo I quando se aceita H) e H0 é falsa 
e) se  for igual a 5%, então a probabilidade de ocorrer erro tipo II é 95% LETRA B 
 
Análise de Variância – ANOVA 
 
Técnica utilizada para comparação entre dois ou mais níveis de tratamento, de uma 
ou mais variáveis de teste (fatores de controle) 
 
Para o cálculo da ANOVA é de fundamental importância primeiro calcular a Média e 
o Desvio Padrão de cada uma das varáveis a serem testadas. 
 
Na ANOVA, a hipótese nula H0 determina que: 
 
 Não exista diferença significativa entre as variáveis testadas; 
 Amostras de uma mesma população de resultados. 
 
H0: A = B ... = n 
 
 
Isto contra uma hipótese alternativa H1, que determina que: 
 
 Existe diferença significativa entre as variáveis testadas 
 
𝐻1: 𝜇𝐴 ≠ 𝜇𝐵 ≠ ⋯ ≠∶ 𝜇𝑛 
 
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Assim, tem -se que: 
 
Caso Ho seja verdadeiro, existem duas para ter a análise: 
 
 Média das variâncias de cada amostra: (Dentro do Tratamento = Erro) 
 
𝛿2 = 𝑆̅ = 
(𝑆𝐴
2 + 𝑆𝐵
2 + … + 𝑆𝑛
2) 
𝑛
 
 
 A partir da variância das médias amostrais, veja que para cada variável existe 
uma média, assim fazer a variância destas médias (Entre Tratamentos) 
𝛿2 = 𝑆̅ = 𝑆𝑋
2 𝑥 𝑛 = 
∑ 𝑛𝑡(�̅�𝑡 − �̿�)
2
𝐾 − 1
 
(onde n = tamanho das amostras de tratamento) 
Assim a relação entre estes dois métodos, que uma distribuição de probabilidades (Z) 
já tabelado, gerando assim a estatística F: 
 
𝐹 = 
𝑉𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑀é𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑀é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑉𝑎𝑟
 
 
Desta forma existem as seguintes relações: 
 F>> 1 = Rejeitar Ho ( o que quer dizer que as populações são muito diferentes) 
 F  1 = Aceitar Ho, logo confirma-se a teoria inicial, de aceitar Ho e com isso as 
populações são muito parecidas) 
 
 
 
 
 
 
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Quadro de ANOVA: 
 
 
 
Onde: 
 
K = número de tratamentos ( variáveis) 
nt = tamanho da amostra 
N = Total de dados (soma dos dados de todas as amostras de cada variável N = 
n1 + n2 + ... + nn) 
 
EXEMPLO. Uma metalúrgica deseja fazer o teste de vida útil de brocas de corte. Foram 
escolhidos três fabricantes diferentes e foram obtidos os seguintes dados: 
FATOR DE CONTROLE 
A B C 
245 257 281 
259 227 276 
255 252 257 
247 237 261 
241 238 254 
251 220 260 
271 216 254 
256 229 258 
 
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Sabendo que: Xa = 253,23 ; Sa = 9,6 ; Xb = 234,5 ; Sb = 14,5 ; Xc = 262,63 ; Sc = 10,2. 
Pela análise da variância, a hipótese nula deve: 
 
a) Ser rejeitada 
b) Ser aceita 
c) Não existem informações suficiente para análise 
d) Está dentro do nível de significância F 
e) É melhor rejeitar a hipótese alternativa H1. 
Letra A 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
A análise de regressão tem por objetivo descrever, através de um modelo matemático, 
a relação existente entre duas variáveis. 
 
1 – Regressão Linear Simples 
 
Dado um conjunto de valores observados de X e Y, construir um modelo de regressão 
linear de Y sobre X consiste em obter, a partir desses valores, uma reta que melhor 
represente a relação entre essas variáveis. A determinação dos parâmetros dessa reta 
é denominada ajustamento. 
O processo de ajustamento deve partir da escolha da função através do qual os valores 
de X explicarão os de Y; para isso recorre-se a um gráfico conhecido como diagrama 
de dispersão. A função escolhida será aquela que for sugerida pelo conjunto dos 
pontos dispostos no diagrama. 
No exemplo a seguir, tem -se um conjunto de pontos sugerindo uma função linear. 
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Y 
 
 
 
 
 
 
A reta é ajustada por: 
�̂� = 𝜶 + 𝜷𝒙. 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓: 𝜷
= 
∑ 𝒙𝒚 − 
∑ 𝒙 . ∑ 𝒚
𝒏
∑ 𝒙𝟐 − 
∑ 𝒙𝟐
𝒏
 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓: 𝜶 = 𝒚 − 𝜷. 𝒙 
 
2 – Método dos Mínimos Quadrados 
O primeiro passo na análise de regressão é obter as estimativas 𝛽0̂ 𝐸 𝛽1̂ dos 
parâmetros do modelo. Os valores dessas estimativas serão obtidos a partir de uma 
amostra de n pares de valores(Xi, Yi), i=1,...,n que correspondem a n pontos em um 
gráfico, como na Figura 1.2.1. No método de Mínimos Quadrados, não é necessário 
conhecer a forma da distribuição dos erros. 
Suponha que é traçada uma reta arbitrária 𝛽0 + 𝛽1𝑥 passando por esses pontos. No 
valor Xi da variável explicativa, o valor predito por esta reta é 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 , enquanto o 
valor observado é Yi. Os desvios (erros) entre estes dois valores é 𝜀𝑖 = 𝑌𝑖 − [𝛽0 +
 𝛽1𝑥𝑖] , que corresponde a distância vertical do ponto à reta arbitrária. 
O objetivo é estimar os parâmetros 𝛽0 𝑒 𝛽1de modo que os desvios (𝜀𝑖) entre os valores 
observados e estimados sejam mínimos. Isso equivale a minimizar o comprimento do 
vetor de erros, 
 
𝜀 = (𝜀1, 𝜀2, 𝜀3, … , 𝜀𝑛) . 
 
Uma forma de obter essas estimativas é o Método de Mínimos Quadrados. Este 
método consiste em minimizar a soma dos quadrados dos desvios L, como na 
expressão abaixo: 
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𝐿 = ∑ 𝜖𝑖
2 = ∑[𝑌𝑖 − 𝛽0 − 𝛽1𝑥𝑖] 
2 
 
Obviamente, que poderíamos calcular a distância entre a reta e os valores observados 
de diferentes formas. Por exemplo, poderíamos utilizar o módulo ao invés do 
quadrado, ou qualquer função de distância apropriada. A escolha do quadrado está 
na simplicidade dos cálculos envolvidos 
 
𝛽1̂ = 
∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 − 𝒏. �̅�. �̅�
∑ 𝒙𝟐 − 𝒏. �̅�𝟐
 
 
 
 
 
3 – Regressão Linear Múltipla 
A equação de regressão estimada pode ser vista como uma tentativa para explicar as 
variações na vaiável dependente Y, que resultam das alterações das variáveis 
independentes X1,X2,...,Xk. 
 
Seja 𝑦 a média dos valores observados para a varável dependente. 
 
Uma medida útil associada ao modelo de regressão é o grau em que as predições 
baseadas na equação , 𝑦, superam as predições baseadas em 𝑦. 
 
Se a dispersão (erro) associada equação é muito menor que a dispersão (erro) 
associada a 𝑦, as predições baseadas no modelos serão melhores que as baseadas em 
𝑦. 
 
Dispersão em torno de 𝒚 ou Variação Total (SST): 
 
𝑺𝑸𝑻 = ∑(𝒚 − 𝒚)𝟐 (Soma dos Quadrados Totais) (n – 1 grau de liberdade) 
 
Dispersão em torno daregressão �̂� = Variação não Explicada (SSE) 
 
𝑺𝑸𝑬 = ∑(𝒚 − �̂�)𝟐 (Soma dos Quadrados dos Resíduos) ( 1 grau de liberdade) 
 
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OBS: O ajustamento será tanto melhor quanto menor for SSE relativamente a SST 
 
Dispersão em torno de 𝒚 e ŷ = Variação Explicada (SSR) 
 
 𝑺𝑸𝑹 = ∑(�̂� − 𝒚)𝟐 (Soma dos Quadrados da Regressão) ((n – 2 grau de liberdade) 
 
Assim: SST = SSE + SSR 
 
 
 
E o quociente entre SSR e SST é o coeficiente de determinação (r2) 
 
𝒓𝟐 = 
𝑺𝑺𝑹
𝑺𝑺𝑻
= 𝟏 − 
𝑺𝑺𝑬
𝑺𝑺𝑻
 
 
Note que: 0 ≤ r2 ≤ 1; 
 
r2  1 (próximo de 1) significa que grande parte da variação de Y é explicada 
linearmente pelas variáveis independentes; 
 
r2  0 (próximo de 0) significa que grande parte da variação de Y não é explicada 
linearmente pelas variáveis independentes. 
 
Ou também este coeficiente pode ser utilizado como uma medida da qualidade do 
ajustamento, ou como medida da confiança depositada na equação de regressão 
como instrumento de previsão: 
 
r2  0 →modelo linear muito pouco adequado; 
r2  1→modelo linear bastante adequado. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO. Os dados a seguir referem-se ao volume de precipitação 
pluviométrica (em mm) e ao volume de produção de leite tipo C (em milhões de 
litros), em determinada região do país. 
 
ANO 
Produção de Leite C Índice Pluviométrico (mm) 
 
1970 26 23 
1971 25 21 
1972 31 28 
1973 29 27 
1974 27 23 
1975 31 28 
1976 32 27 
1977 28 22 
1978 30 26 
1979 30 25 
 
A partir dos dados fornecidos, pede-se: 
 
a) ajustar os dados através de um modelo linear. �̂� = 𝟖, 𝟗 + 𝟎, 𝟖𝒙 
 
b) admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24 mm, qual deverá ser o 
volume esperado de produção do leite tipo C? 28,1 
 
EXEMPLO. Um modelo de regressão linear múltipla foi estimado pelo método de 
Mínimos Quadrados, obtendo-se, com um nível de confiança de 95%, os 
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seguintes resultados: 
 
𝑰. �̂� = 𝟏𝟎 + 𝟐, 𝟓 𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 
𝑰𝑰. 𝑶 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂çã𝒐 𝒓𝟐 é 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟎, 𝟗𝟓𝟑𝟐 
𝑰𝑰𝑰. 𝑶 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 − 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑 
 
Desse modo, pode-se afirmar que: 
 
a) se a variável x1 for acrescida de uma unidade, então Y terá um acréscimo de 2,5 %. 
b) 0,003 é o mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada. 
c) x3 explica 95,32% das variações de Y em torno de sua média. 
d) as probabilidades de se cometer o Erro Tipo I e o Erro Tipo II são, respectivamente, 
iguais a 5% e 95%. 
e) se no teste de hipóteses individual para β2 se rejeitar a hipótese nula (H0), então 
tem-se fortes razões para acreditar que x2 não explica Y. LETRA B 
 
TESTE DO QUI-QUADRDO. 
 
Este teste objetiva verificar se a frequência absoluta observada de uma variável 
é significativamente diferente da distribuição de frequência absoluta esperada. 
 
1 – TESTE DO QUI-QUADRADO PARA UMA AMOSTRA. 
 
Aplica-se quando se quer estudar a dependência entre duas variáveis, através 
de uma tabela de dupla entrada ou também conhecida como tabela de contingência. 
 
Condições para a execução do teste: 
 
1 – Exclusivamente para variáveis nominais e ordinais; 
2 – Observações independentes; 
3 – Não se aplica se 20% das observações forem inferiores a 5; 
4 – Não pode haver frequências inferiores a 1. 
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Nos dois últimos casos, se houver incidências desta ordem, aconselha-se 
agrupar os dados segundo um critério em específico. 
 
Procedimento para a execução do teste: 
 
1 – Determinar H0. Será a negativa da existência de diferenças entre a distribuição de 
frequência observada e a esperada; 
2 – Estabelecer o nível de significância (µ ); 
3 – Determinar a região de rejeição de H0. Determinar o valor dos graus de liberdade 
(φ), sendo K – 1 (K = número de categorias). Encontrar, portanto, o valor do Qui-
quadrado tabelado; 
4 – Calcular o Qui Quadrado, através da fórmula. 
𝒅𝟐 = ( 𝒐 − 𝒆)𝟐 
onde, o = frequência observada para cada classe; 
e = frequência esperada para aquela classe 
ATENÇÃO: O CÁCULO DO VALOR ESPERADO É: 𝒆 = 
(∑ 𝒍𝒊𝒏𝒉𝒂 𝒙 ∑ 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒏𝒂)
∑ 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
 (NÃO ESQUEÇER 
QUE A TABELA É UMA MATRIZ (aij)). 
 
A média dos desvios é nula, porem a elevação ao quadrado transforma todos 
os desvios em valores positivos, tornando possível a soma dos desvios sem haver 
cancelamento. 
 
O teste x2 é, essencialmente, um mecanismo pelo qual os desvios de uma 
proporção hipotética são reduzidos a um único valor, que permite determinar uma 
probabilidade a respeito da casualidade ou não dos desvios entre as proporções 
observadas e esperadas, assim: 
𝒙𝟐 = ∑
𝒅𝟐
𝒆
 
 
Assim, quando as frequências observadas são muito próximas às esperadas, o valor 
de x2 é pequeno, e quando as divergências são grandes, consequentemente assume 
valores altos. 
 
2 – DISTRIBUIÇÃO DO QUI-QUADRADO. 
 
 
 
 
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Valores de x2 menores que 3,841têm 95% de probabilidade de ocorrência. 
Valores de x2 menores que 6,635 têm 99% de probabilidade de ocorrência. 
 
3 – TESTE DE HIPÓTESES. 
 
•Hipótese nula (H0) – frequências observadas =frequências esperadas. Não há 
associação entre os grupos (casualidade). 
 
•Hipótese alternativa (H1) – as frequências observadas ≠ frequências esperadas. Os 
grupos estão associados. 
 
•Nível de significância (): significa o risco de se rejeitar uma hipótese verdadeira. 
Deverá ser estabelecido antes da analise de dados e é usualmente fixado em 5% 
(P=0,05). 
 
•O valor de x2 ao nível de significância  é denominado qui-quadrado crítico ou 
tabelado (x2c). 
 
•Graus de Liberdade (G.L.) : é a diferença entre o numero de classes de resultados e o 
número de informações da amostra que são necessários ao cálculo dos valores 
esperados nessas classes. 
 
Regras de Decisão: 
 
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•É necessário obter duas estatísticas : X²calculado: obtido diretamente dos dados das 
amostras e X² tabelado: depende do número de graus de liberdade e do nível de 
significância adotado. 
 
•SeX² calculado ≥X² tabelado:Rejeita-seHo.SeX² calculado <X² tabelado: Aceita-se Ho. 
 
•Quando se consulta a tabela deX² observa-se que é determinada uma probabilidade 
(P) de ocorrência de um determinado acontecimento. 
 
•Rejeita-se uma hipótese quando a máxima probabilidade de erro ao rejeitar aquela 
hipótese for baixa OU quando a probabilidade dos desvios terem ocorrido pelo 
simples acaso é baixa. 
 
 
 
 
4 – TESTE DO QUI-QUADRADO PARA INDEPENDÊNCIA (DUAS AMOSTRAS). 
 
A utilização do presente teste em pesquisa visa verificar se as distribuições de 
duas ou mais amostras não relacionadas diferem significativamente em relação à 
determinada variável. 
 
•Ao aplicar o teste do X², supõe-se que o tamanho amostral será relativamente 
grande; 
 
•Quando a amostra é pequena e/ou que a frequência esperada em uma das classes 
é pequena(tipicamente, quando for menor que 5) a fórmula de obtenção de X² poderá 
produzir um valor significativo (> do que o X² crítico), e, portanto, maior do que o 
valor real; 
 
𝒙𝟐 = 
(𝒐𝟏 − 𝒆𝟏)𝟐
𝒆𝟏
+ 
(𝒐𝟐 − 𝒆𝟐)𝟐
𝒆𝟐
+ ⋯ + 
(𝒐𝒏 − 𝒆𝒏)𝟐
𝒆𝒏
 
 
•Nos casos de tabelas 2x2, caso necessário, Fisher recomenda o uso de um fator de 
correção de continuidade de YATES para cada classe, a fim de evitar eventuais 
conclusões erradas. 
 
𝒙𝟐 = 
(|𝒐𝟏 − 𝒆𝟏| − 𝟎, 𝟓)𝟐
𝒆𝟏
+ 
(|𝒐𝟐 − 𝒆𝟐| − 𝟎, 𝟓)𝟐
𝒆𝟐
 
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•De modo geral, usa-se a correção de Yates quando: 
 
1)o valor de Qui-Quadrado obtido é maior que o crítico e o valor de N é menor que 
40 ou; 
 
2) o valor de Qui-Quadrado obtido é maior que o crítico e há pelo menos uma classe 
com frequência esperada menor que 5. 
 
5 – COEFICIENTE DE CONTIGENCIA (CC). 
 
O CC é um indicador do grau de associação entre duas variáveis analisadas pelo Qui-
quadrado. 
 
Quanto mais próximo de 1, melhor o coeficiente de contingência, que varia de 0 a 1, 
ou seja: 
 
ENTRE 0 E 0,5: DE FRACO A MODERADO 
ENTRE 0,5 E 1: DE MODERADO A FORTE 
 
𝑪𝑪 = √
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒏
+ √
𝒌
𝒌 − 𝟏
 
 
Onde: n = somatório total das linhas e colunas 
K = o menor número possível de linhas ou colunas da tabela 
 
EXEMPLO. Em um certo hospital, foi feita uma pesquisa entre vacinas e resfriados 
de seus pacientes, gerando a seguinte tabela: 
 
VACINAÇÃO 
FICAR RESFRIADO 
RESFRIADO NÃO RESFRIADO 
VACINADO 15 20 
NÃO VACINADO 25 40 
 
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Foi feito então um estudo para se saber através destes dados, as relações entre 
resfriado e vacinação. Após o tratamento estatístico dos dados, através dos qui-
quadrados, chegou-se a seguinte conclusão: 
 
a) X2 = 0,183 ; CC = 0,6 ; Associação Forte 
b) X2 = 0,0183 ; CC = 0,06 : Associação Fraca 
c) X2 = 0,183 ; CC = 0,06: Associação Fraca 
d) X2 = 0,183 ; CC = 0,6 ; Associação Fraca 
e) X2 = 0,0183 ; CC = 0,06 : Associação Forte LETRA C 
 
 
 
CORRELAÇÃO 
 
1. Conceitos iniciais 
 
Correlação é um valor que indica o grau de inter-relação de influência – algum tipo 
de associação – entre duas ou mais variáveis (por exemplo: grau de escolaridade e 
número de livros que uma pessoa possui). 
 
Para se determinar a Correlação são necessárias as seguintes medidas estatísticas: 
Desvio Padrão (S), Variância (S2) e Covariância (Cov). 
 
O Desvio Padrão e a Variância, já estudados anteriormente, são Medidas de Dispersão 
utilizadas quando desejamos saber o quão próximos ou quão afastados estão os 
elementos de um conjunto, em relação a um determinado referencial (a média 
aritmética do conjunto) 
 
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Propriedades da Variância: 
 
1ª) a Variância não é influenciada por operações de soma e subtração: S2X + ou -K = 
S2X, onde K é uma constante. 
 
2ª) a Variância é influenciada por operações de produto e divisão: S2K+ ou - X = K
2 S2X, 
onde K é uma constante. 
 
3ª) Propriedade da Variância de Duas Variáveis (Xi e Yi): 
 
1 - S2X+Y = S
2
X + S
2
Y + 2.Cov(X,Y) 
2 - S2X-Y = S
2
X + S
2
Y - 2.Cov(X,Y) 
 
No entanto, em algumas situações, é necessário o conhecimento de uma informação 
adicional para uma análise mais apurada (por exemplo: peso e altura para uma análise 
do aspecto físico de um grupo de pessoas). 
 
Para a análise da dispersão conjunta de duas variáveis temos a medida estatística 
denominada Covariância: 
 
𝑪𝒐𝒗 (𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚 − 𝒙 . 𝒚 
 
Propriedades da Covariância: 
 
1ª) a covariância não é influenciada por operações de soma e subtração: Cov(X A,Y B) 
= Cov(X,Y), onde A e B são constantes. 
 
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2ª) a covariância é influenciada por operações de produto e divisão: Cov(A X,B Y) = 
A.B. Cov(X,Y), onde A e B são constantes. 
 
2. Cálculo da Correlação (r) 
 
Fator de Correlação Linear de Pearson 
𝒓(𝒙, 𝒚) = 
𝑪𝒐𝒗(𝒙, 𝒚)
𝑺𝒙 . 𝑺𝒚
 
O valor da correlação varia de -1 a 1 
 Se r = - 1, Correlação negativa perfeita (linear decrescente) 
 Se -1 < r < 0, Correlação negativa 
 Se r = 0, Correlação linear inexistente 
 Se 0 < r < 1, Correlação positiva 
 Se r = 1, Correlação positiva perfeita (linear crescente) 
 
A correlação é positiva quando aumentando o valor de uma variável aumentará 
também o da outra, ou quando diminuindo o valor da primeira, a segunda também 
diminui; ou seja, teremos correlação positiva quando as duas variáveis oscilarem 
sempre no mesmo sentido. 
A correlação é negativa quando as duas variáveis oscilarem em sentido inverso; ou 
seja, aumentando uma, diminuirá a outra, e vice-versa. 
 
Propriedade: “A Correlação não é influenciada pelas operações algébricas”. 
 
EXEMPLO. Considere a seguinte tabela, que apresenta valores referentes às 
variáveis x e y, porventura relacionadas: 
 
Valores das variáveis x e y relacionadas 
x y x2 y2 x y 
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1 5 1 25 5 
2 7 4 49 14 
3 12 9 144 36 
4 13 16 169 52 
5 18 25 324 90 
6 20 36 400 120 
21 75 91 
1.11
1 317 
 
Marque a opção que representa o coeficiente de correlação linear entre as 
variáveis x e y. 
 
a) 0,903 
b) 0,926 
c) 0,947 
d) 0,962 
e) 0,989 
Letra E 
 
Números Índices Simples: 
Os números índices simples podem ser chamados (como também os compostos) de 
relativos de base fixa ou relativos de ligação. 
 
Números Índices Simples -Relativos de base fixa: 
Neste caso um período é escolhido como referência, ou base, e todos os índices são 
computados em relação aos registros deste período específico. Usualmente no 
período base o índice recebe o valor 100. Os números índices simples podem ser de 
preço (quando calcula-se a razão entre o preço observado de um artigo em um 
período qualquer e o preço do mesmo artigo no período base), de quantidade 
(quando calcula-se a razão entre a quantidade observada de um artigo em um período 
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qualquer e a quantidade no período base), e de valor (quando a razão é calculada pelo 
produto de preço e quantidade do artigo em um período qualquer e o produto de 
preço e quantidade do mesmo artigo no período base). Vejamos as equações: 
 
 
 
Onde p0 é o preço do artigo no período base, pt é o preço do artigo em um período 
qualquer, q0 é quantidade do artigo no período base e qt é a quantidade do artigo 
em um período qualquer. 
 
Números Índices Relativos de Ligação: 
Provavelmente devido à cultura inflacionária existente no Brasil não costumamos 
encontrar índices em valores absolutos. É bastante comum nos depararmos com os 
Números Índices Relativos de Ligação, que sintetizam as variações econômicas entre 
dois períodos consecutivos. Quando o IBGE divulga o IPC -A de determinado mês é 
apresentada apenas a variação percentual em relação ao mês imediatamente anterior. 
Para obter os números índices relativos de ligação de um período basta dividir o índice 
do período de interesse pelo do período imediatamente anterior. 
 
 
Números Índices Compostos: 
Os números índices compostos expressam variações no preço, quantidade ou valor 
de um grupo de itens. São chamados de agregados simples quando atribuem a 
mesma ponderação para todos os itens, desconsiderando a importância relativa de 
cada um. Já os índices agregados ponderados atribuem ponderações diferentes para 
os itens, o que pode permitir dar maior ênfase às variações em determinado item, 
sendo a forma mais utilizada. Os índices compostos mais utilizados são: 
 Índice de Laspeyres (época básica): ponderação é feita em função dos preços 
ou quantidades do período base. Podem ser calculados índices de preço e 
quantidade. 
 Índice de Paasche (época atual): ponderação é feita em função dos preços ou 
quantidades do período “atual”. Podem ser calculados índices de preço e 
quantidade. 
 Outros índices: Fischer, Marshall -Edgeworth, Drobish, Divisia, e os índices de 
preços normalmente utilizados no Brasil(IGP-M, INPC, IPC-A, ICV do DIEESE, IPC 
da FIPE).5.2.1 
 
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Índice de Laspeyres. 
No índice de Laspeyres a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do 
período