Lista 1_ Poliedros

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Lista Poliedros 
 
 
Prof. João Marcos 
 
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01. Demonstre que :Soma dos ângulos de todas as faces 
S (V 2).360   
 
02. (Ita 2011) Considere as afirmações: 
I. Existe um triedro cujas 3 faces tem a mesma medida  = 
120°. 
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, 
respectivamente, 30°, 45°, 50°, 50° e 170°. 
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares,1 face 
quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 
vértices. 
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro 
convexo com 10 vértices e 2880°. 
 
Destas, é (são) correta (s) apenas 
a) II. b) IV. 
c) II e IV. d) I, II e IV. 
e) II, III e IV. 
 
03. (Escola Naval) Os átomos de uma molécula de determinada 
substância química se dispõem sobre os vértices de um 
poliedro convexo, cuja soma dos ângulos de todas as faces 
vale 2,088.104 graus. Sabendo que o poliedro tem 90 arestas, 
o menor inteiro que se deve somar ao número de faces para 
obter um quadrado perfeito é 
a) 1 b) 4 
c) 7 d) 8 
e) 17 
 
04. (ITA) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos 
internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste 
prisma 
a) 11 b) 32 
c) 10 d) 20 
e) 22 
 
05. (ITA) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces 
triangulares e quadrangulares. O número de faces 
quadrangulares, o número de faces triangulares e o número 
total de faces formam, nesta ordem, uma progressão 
aritmética. O número de arestas é: 
 a) 10 b) 17 
 c) 20 d) 22 
 e) 23 
 
06. (FEI 1961) Um poliedro convexo com faces quadrangulares e 
pentagonais tem 15 arestas. Calcular o número de faces 
quadrangulares e o número de faces pentagonais, sabendo-se 
que a soma de todos os ângulos dos polígonos das faces é 32 
retos. 
 
07. (ITA 1964) Num poliedro convexo, o número de faces é igual a 
6; o de vértices é 8. Qual o número de arestas dessa figura? 
 
08. (FFCLUSP 1969) São dados dois poliedros convexos e 
fechados P1 e P2, cujos números de faces, vértices e arestas 
serão representados respectivamente por F1, V1, A1 e F2, V2, 
A2. Sabe-se que os números 4, V1, V2, A1, A2 ,14 estão em 
progressão aritmética. Quais serão os valores corretos de F1 e 
F2? 
a) F1 =6 , F2 = 6 b) F1 = 6 , F2 = 8 
c) F1 = 8 , F2 = 6 d) F1 = 6 , F2 =10 
e) F1 = 8 , F2 = 8 
 
09. (ITA 1969) Numa superfície poliédrica convexa aberta, o 
número de faces é 6 e o número de vértices é 8. Então o 
número de arestas é: 
a) 8 b) 11 
c) 12 d) 13 
e) 14 
 
10. (U.F.S. Carlos) Um poliedro convexo tem 8 faces.O número de 
arestas de uma certa face ( denotada por K ) é igual a 1 6 do 
número de arestas do poliedro, enquanto a soma dos ângulos 
das faces restantes é 30 radianos. A face K é um 
a) triângulo b) quadrilátero 
c) pentágono d) hexágono 
e) heptágono 
 
11. (OBM 2005) Uma das faces de um poliedro é um hexágono 
regular. Qual é a quantidade mínima de arestas que esse 
poliedro pode ter? 
a) 7 b) 9 
c) 12 d) 15 
e) 18 
 
12. (Escola Naval 2001) Um poliedro convexo de 25 arestas tem 
faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número 
de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces 
pentagonais e o número faces triangulares excede o de faces 
quadrangulares em 4 unidades. Pode-se afirmar que o número 
de vértices deste poliedro é: 
a) 14 b) 13 
c) 11 d) 10 
 
13. (Cesgranrio 1995) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 
desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices 
concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 
arestas. O número de faces desse poliedro é igual a: 
a) 16 b) 18 
c) 24 d) 30 
e) 44 
 
14. (O.B.M 1999) Uma bola de futebol é feita com 32 peças de 
couro. 12 delas são pentágonos regulares e as outras 20 são 
hexágonos também regulares. Os lados dos pentágonos são 
iguais aos dos hexágonos de forma que possam ser 
costurados.Cada costura une dois lados de duas dessas 
peças. Quantas são as costuras feitas na fabricação de uma 
bola de futebol? 
a) 60 b) 64 
c) 90 d) 120 
e) 180 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. (Fuvest) O ponto P é vértice de um poliedro e pertence a K 
faces. Cada face tem n lados. Determinar o número de 
segmentos contidos nas faces e que unem P a um outro vértice 
qualquer do poliedro. 
 
16. (ITA 1998) Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por 
faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um 
plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo 
poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. 
Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e 
uma face a mais que o número de faces quadrangulares do 
original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o 
número de vértices do poliedro original, então: 
a) m = 9, n = 7 b) m = n = 9 
c) m = 8, n = 10 d) m = 10, n = 8 
e) m = 7, n = 9 
 
17. Era uma vez na Grécia... 
 Platão, filósofo grego que viveu no quarto século a.c., utilizava 
poliedros regulares na explicação de fenômenos científicos. 
Relacionava a terra ao hexaedro, o ar ao octaedro, a água ao 
icosaedro e o universo simbolizava pelo dodecaedro. Na porta 
de sua academia, em Atenas, lia-se: " Que ninguém que ignore 
a geometria entre aqui ”. 
 
A matemática moderna, no entanto, define um poliedro como 
sendo de Platão se, e somente se: 
i.Todas as faces têm o mesmo número n de arestas. 
ii. Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de 
arestas. 
iii.Satisfaz a relação de Euler: V - A + F = 2 
Como conseqüência dessa definição, tem-se a seguinte 
propriedade: Existem cinco, e somente cinco, classes de 
poliedros de Platão.Demonstre esse teorema. 
 
18. (Uerj 1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a 
partir dos quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As 
medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a 1/3 da 
aresta do icosaedro. O que resta é um tipo de poliedro usado 
na fabricação de bolas. Observe as figuras. 
 
 Para confeccionar uma bola de futebol, um artesão usa esse 
novo poliedro, no qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois 
gomos para unir duas faces do poliedro, ele gasta 7 cm de 
linha. 
 Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um 
comprimento de linha igual a: 
a) 7,0 m b) 6,3 m 
c) 4,9 m d) 2,1 m 
 
19. (OBM 84) Seja um dodecaedro regular de aresta a. Sejam F, F’ 
e E , E’ dois pares de faces opostas. A partir dos centros destas 
quatro faces traçam-se perpendiculares de comprimento m, 
para fora do sólido. Sejam A,B,C,D os extremos das 
perpendiculares traçadas a partir de F, E, F’ , E’ 
respectivamente. Mostre que ABCD é um retângulo e ache a 
razão entre seus lados. 
20. Prove que: 
a) 3F 2A
b) 3V 2A
c) A 6 3F
d) A 6 3V


 
 
 
 
21. (OCM2000) Se um poliedro convexo tem 6 vértices e 12 
arestas, prove que toda face dele é um triângulo. 
 
22. (OCM2004) A cada aresta de um poliedro convexo P 
associamos o inteiro -1. A cada vértice associamos o produto 
dos números associados às arestas nele incidentes e a cada 
face associamos o produto dos números associados a seus 
lados . Se PS é a soma de todos esses números , prove que : 
 
a) PS 2 4k  tal que k 4 
b) Para cada k 4 , existe um poliedro convexo P tal que 
PS 2 4k  
 
23. Seja 3V o número de vértices triédricos e 3F o número de faces 
triangulares. Prove que 3 3F V 8  
 
24. (Irlanda 1998) Uma face de uma pirâmide com base quadrada 
e todas as arestas iguais a 2 é colada a uma face de um 
tetraedro com todas as arestas iguais a 2 para formar um 
poliedro. Qual é o perímetro do novo poliedro (soma de todas 
as arestas)? 
 
25. (OBM 1990) Dado um poliedro convexo com um número ímpar 
de faces, mostre que existe pelo menos uma face com um 
número par de lados. 
 
26. (OBM 1987) São dados um poliedro convexo e um ponto interior 
ao poliedro. Prove que existe uma face do poliedro tal que a 
projeção ortogonal do ponto no planosuporte desta face é 
interior à face.