Cap 4 - Cargas elétricas produzem Campo

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pa
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 C
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4.1 O conceito de Campo
4.2 Cargas elétricas geram Campos 
4.3 Distribuição de Cargas
4.4 O Campo denominado Potencial Elétrico
4.5 Unidades
4.6 Superfícies Equipotenciais
4.7 Energia Potencial
4.8 O Campo Elétrico
4.9 O Campo Elétrico como taxa de variação do Potencial Elétrico
4.10 Cargas Elétricas em movimento: a Densidade de Corrente
4.11 O Campo Magnético
4.12 Os Campos Derivados 
4.13 Diferenças de Potencial: Forças Conservativas
4.14 Linhas de Força
Gil da Costa Marques
4CARGAS ELÉTRICAS PRODUZEM CAMPOS
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4.1 O conceito de Campo
A rigor, não há necessidade de os corpos estarem em contato para que eles interajam entre si. 
Em particular, todas as interações fundamentais são interações à distância.
Para descrevermos interações à distância, fazemos uso do conceito de campo. Com isso 
queremos dizer que, nas formulações mais gerais e abrangentes dos fenômenos físicos, lançamos 
mão desse conceito. Esse é o caso, por exemplo, da teoria da gravitação formulada por Einstein 
e da teoria eletromagnética formulada por Maxwell.
Conquanto o conceito de campo seja um pouco abstrato, ele é um conceito fundamental, 
que permeia toda a Física - da Física Clássica à Física Quântica. 
A ideia de descrever as interações utilizando campos parte do pressuposto de que um objeto 
(uma partícula, um átomo, uma maçã etc.) altera, com a sua mera presença, as propriedades 
do espaço. A descrição dessa alteração nas propriedades do espaço se dá através do campo, que 
ocupa todo o espaço. 
O campo abriga o conteúdo de informações, do ponto de vista das interações, que se 
pode extrair a respeito de objetos existentes numa determinada região do espaço. Isso se torna 
verdadeiro na medida em que os objetos interagem entre si através dos campos gerados por eles. 
Nesse sentido, a interação com o campo é equivalente à interação com aquilo que o produziu.
Dito de outra forma, e voltando a tratar do microcosmos, quando uma partícula se encontra 
numa determinada região do espaço em que ela experimenta a ação de uma força, pode-se 
argumentar que a partícula se move numa região que tem características especiais. O campo, 
nessa visão, seria uma propriedade de uma região do espaço e essa propriedade independe da 
existência de partículas que se movam nela.
A esse algo de especial existente em cada ponto do espaço, e que dá origem à força sobre 
uma partícula num determinado ponto do espaço, denominamos campo. Nessa forma de 
encarar os fenômenos, o agente que é responsável pela interação entre as partículas é o campo.
É importante ressaltar que o campo existe independentemente 
da existência de outros objetos que interajam com ele. 
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4 Cargas Elétricas produzem Campos
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Consideremos um caso relativamente simples: o nosso planeta. A Terra exibe três tipos de 
campos: um campo é denominado campo gravitacional, o outro é o campo elétrico e, finalmente, o 
terceiro é o campo magnético. Assim, os constituintes da Terra (os agregados de átomos) produzem 
campos que preenchem o espaço físico à sua volta. Esses campos são ilustrados nas Figuras 4.1. 
Um objeto próximo à superfície terrestre, como uma maçã ou uma bússola, interage com a 
Terra através de um ou mais desses campos. O resultado da interação de um objeto com o campo 
gravitacional terrestre é o movimento dos projéteis. A queda de uma maçã é um exemplo simples. 
O movimento dos satélites já não é tão simples assim. A interação de uma agulha imantada 
com o campo magnético da Terra resulta na sua orientação ao longo de direções preferenciais. 
Ela sempre se orienta na direção dos polos.
4.2 Cargas elétricas geram Campos 
O conceito de campo desempenha um papel central no eletromagnetismo bem como em relação 
às demais interações e isso porque não há como fazer uma descrição dos fenômenos elétricos e 
magnéticos sem fazer uso de tal conceito. Numa linguagem científica mais precisa, dizemos que 
os atributos dos constituintes geram campos. Assim, uma partícula como o elétron gera, com sua 
mera presença, os campos ditos eletromagnéticos. A interação com os demais objetos dotados do 
mesmo atributo se dá por meio deles. Essa é a base da descrição das interações eletromagnéticas.
Assim, objetos dotados de atributos como a carga elétrica produzem campos que ocupam o 
espaço físico. Os demais objetos dotados do mesmo atributo interagem com os primeiros por 
meio desse campo. Assim, não há como falar dos fenômenos eletromagnéticos sem introduzir o 
Figura 4.1: Campos gravitacional, elétrico e magnético da Terra.
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conceito de campo. Em particular, as leis do eletromagnetismo são expressas em termos de taxas 
de variação pontual ou taxas de variação instantânea de campos.
No eletromagnetismo, devemos falar em dois tipos de campos. Para entendê-los conside-
remos duas situações fisicamente relevantes. Na primeira, as cargas elétricas ocupam posições 
fixas. Dizemos que temos uma situação estática. Nessas circunstâncias, dizemos que as cargas 
geram um potencial eletrostático, o qual será representado pela letra V. Em geral, o potencial 
depende do ponto do espaço e do tempo. No caso estático, escrevemos:
Cargas elétricas em movimento geram outro potencial, além do potencial elétrico. Trata-se 
do potencial vetor. Assim, podemos concluir que:
Figura 4.2: Representação esquemática do Campo produzido por uma e duas cargas.
Cargas Elétricas em repouso geram um potencial num ponto P 
do espaço (o potencial elétrico).
Sendo r o vetor de posição associado a ele, o potencial elétrico 
será representado por:
V(r)
Cargas Elétricas em movimento geram, além do potencial elétrico, outro 
potencial num ponto P do espaço (o potencial vetor).
Sendo r o vetor de posição associado a ele, o potencial vetor será representado por:
( ),A r t


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Donde concluímos que os campos mais importantes do eletromagnetismo são os potenciais 
elétrico e vetor.
A existência de cargas elétricas em repouso ou em movimento acarreta o surgimento dos 
campos do eletromagnetismo. Estes, por outro lado, não são tangíveis. Mas podem ser medidos. 
A rigor, existem apenas dois campos fundamentais, do segundo tipo, no eletromagnetismo. 
Ambos são denominados campos potenciais. Um deles é uma grandeza escalar (o potencial 
escalar) e o outro tem um caráter vetorial. Eles serão designados por 
 4.1 
A partir desses dois campos, podemos construir outros como os campos elétricos e magnéticos.
 4.2 
Neste tópico, procuraremos familiarizar-nos com esses campos bem como estabelecer uma 
relação entre ambos os conjuntos de campos.
4.3 Distribuição de Cargas
Analisaremos agora a questão da distribuição de cargas no espaço e de como caracterizá-la.
Consideremos inicialmente o caso em que as cargas estão em repouso e se encontram em posições 
fixas. É preciso estabelecer, primeiro, uma distinção entre dois tipos de distribuição de cargas. Devemos 
tratar, separadamente, os casos de uma distribuição discreta e uma distribuição contínua de cargas.
( ), e ( , )V V r t A A r t= =
 

( , ) e ( , )E r t B r t
 
 
 A conclusão mais importante no estudo do eletromagnetismo é a de que partículas 
dotadas de carga elétrica e de spin são capazes de produzir, nas circunstâncias mais 
gerais possíveis, quatro tipos de campos. Os campos mais fundamentais da teoria são 
denominados potenciais: o potencial escalar V = V(r, t) e o potencial vetor ( ),A A r t=
 

. 
Os campos mais conhecidos, no entanto, são denominados campo elétrico E

(r, t) e 
campo magnético B

(r, t). Os dois últimos são derivados dos anteriores.
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No caso de uma distribuição discreta de cargas, estamos falando 
de um pequeno número de partículas carregadas. Essa situação pode 
ser descrita como aquela na qual temos um conjunto de cargas 
Q1, Q2, ..., QN ocupando as posições caracterizadas pelos vetores de 
posição 1 2, , , Nr r r
  
 . Essa situação é ilustrada na Figura 4.3.
A carga total da distribuição de cargas Q será dada pela soma (ou 
somatório) das cargas das partículas que compõem a distribuição, ou seja:
 4.3 
onde o símbolo ∑ representa a soma sobre os índices das cargas.
O caso de uma distribuição não discreta é um pouco diferente. Nesse caso, estamos falando 
de um número muito grande de cargas e, portanto, faz mais sentido caracterizar a distribuição 
por meio de densidade de uma distribuição.
Ao falarmos em densidade de uma distribuição 
estamos especificando quanto de carga existe por uni-
dade de volume (distribuição volumétrica de cargas), 
ou por unidade de superfície (distribuição superficial 
de cargas), ou ainda por unidade de comprimento 
(distribuição linear de cargas). Temos assim três tipos 
de distribuição de interesse. Cada tipo de distribuição 
de carga será designado por uma letra grega diferente. 
Adotaremos a seguinte notação: 
• ρ(r) - representa uma distribuição volumétrica 
de cargas.
Observe que, de acordo com a definição, a densidade de cargas pode variar de ponto para 
ponto no espaço. Por isso indicamos que a distribuição depende do ponto cuja posição é 
indicada pelo vetor r.
• σ(r) - representa uma distribuição superficial (de superfície) de cargas.
A densidade superficial de cargas pode variar de ponto para ponto ao longo de uma 
superfície. Por isso indicamos que a distribuição superficial depende do ponto cuja posição é 
caracterizada pelo vetor r.
Figura 4.3: Exemplo de uma 
distribuição discreta de cargas.
1
N
i
i
Q Q
=
=∑
Figura 4.4: Esfera com distribuição contínua de 
cargas. Nesta situação, usa-se o conceito de 
“densidade da distribuição das cargas”.
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4.3.1 Distribuição contínua de Cargas Elétricas
Para efeito prático, ao lidarmos com uma distribuição contínua 
de cargas, recorremos a um processo de discretização, isto é, ao 
lidarmos com uma distribuição contínua, subdividimos o espaço 
em pequenos volumes (veja Figura 4.5). 
Seja um desses volumes, o i-ésimo volume (aquele de número i) 
designado por δVi. Tal volume ocupa a posição associada ao vetor 
de posição ir

. Nesse ponto podemos considerar, se o volume for 
muito pequeno, a densidade como aproximadamente constante; 
assim, escrevemos:
 4.4 
Assim, a quantidade de carga elétrica contida naquele pequeno 
volume será dada por:
 4.5 
Dada uma distribuição contínua, a quantidade total dessa grandeza será 
dada pela soma das contribuições de cada volume infinitesimal. A soma 
será efetuada sobre todo o volume no qual a distribuição está confinada. 
 4.6 
No caso contínuo substituímos a expressão acima por:
 4.7 
onde o símbolo ∫∫∫ acima representa a integral sobre o volume da região que contém as cargas. 
Figura 4.5: Objeto com distribuição 
contínua de cargas é discretizado em 
pequenos volumes de modo que 
∑todos δVi = V (volume do objeto).
Figura 4.6: Numa distribuição 
superficial de cargas, 
discretizamos cada elemento 
infinitesimal da superfície.
( )i irρ = ρ

i i iq Vδ = ρ δ
i i i
i i
Q V q= ρ δ = δ∑ ∑
( ) 3Q r d r= ρ∫∫∫

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É o análogo do somatório no caso discreto da expressão 4.3.
 
Exemplos
• ExEmplo 1 
A corrente elétrica conduzida por um fio de cobre depende, entre outras grandezas físicas, das cargas 
dos elétrons livres do condutor. Considerando que em cada cm³ do fio de cobre existam, aproxima-
damente, 8,5 × 1022 elétrons livres, determinar:
a. a densidade volumétrica de cargas ρ do fio de cobre devido aos elétrons livres.
b. a carga total Q dos elétrons livres, contidos num fio de comprimento L = 50 cm e cuja secção 
transversal tenha área S = 0,025 cm².
→ REsolução:
a. Densidade volumétrica.
Trata-se de um caso de densidade volumétrica de cargas constante ou uniforme, pois em cada cm³ 
do fio existe sempre a mesma quantidade de elétrons livres. Assim, ( ) qr
V
∆
ρ = ρ =
∆

. Considerando 
ΔV = 1 cm³ , a carga Δq = N.e = 8,5 × 1022 × 1,6 × 10−19 C/cm³ = 13,6 × 103 C. 
Portanto, ρ = Δq/ΔV = 13,6 × 10³ C/1 cm³ = 13,6 × 10³ C/cm³.
b. Carga total
Para ρ(r) = ρ a expressão 4.7 pode assim ser escrita: 
3 .Q d r V= ρ = ρ∫∫∫ , onde 3V d r dxdydz= =∫∫∫ ∫∫∫ .
Assim, a carga total Q dos elétrons livres pode ser escrita como Q = ρ(SL), onde SL = V (volume do 
pedaço de fio de secção transversal S e comprimento L). 
Substituindo-se os valores das grandezas envolvidas com as unidades adequadas, tem-se:
Q = (13,6 × 10³ C/cm³)(0,025 cm² × 50 cm) = 17 × 10³ C.
Figura 4.7: Distribuição volumétrica e superficial de cargas positivas.
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• ExEmplo 2
A Figura 4.8 esquematiza um capacitor de placas metálicas paralelas 
de área S = 4 cm² separadas por uma distância d. A placa positiva tem 
densidade superficial de carga constante σ = 9 × 10-10 C/cm². 
Qual a carga da placa positiva?
→ REsolução:
A expressão 4.7 pode ser adaptada para o caso de uma distribuição super-
ficial de cargas σ(r) que vigora na superfície de uma placa, na superfície 
externa de uma esfera, na superfície externa de um cilindro etc.
( ) 2Q r d r= σ∫∫

Para σ(r) = σ = constante a expressão acima pode assim ser escrita:
2Q d r S= σ = σ∫∫ , onde 2S d r dxdy= =∫∫ ∫∫ . 
Substituindo-se os valores, temos:
( )( )10 2 2 99 10 C cm 4 cm 3,6 10 C 3,6 nanocoulombs.Q S − −= σ = × = × =
4.4 O Campo denominado Potencial Elétrico
A matéria concentrada numa determinada região do espaço gera uma alteração nas proprie-
dades desse espaço. A alteração mais importante é denominada potencial. Assim, uma massa gera 
um potencial gravitacional enquanto uma carga elétrica gera um potencial elétrico.
Em particular, uma partícula puntiforme de carga Q gera um potencial, que é essencial para 
determinar o potencial elétrico gerado por uma coleção de cargas puntiformes. 
O potencial é um campo que ocupa o espaço de tal forma que sua intensidade varia com a 
distância do ponto em que essa partícula se encontra. Dessa forma, escrevemos para o potencial:
 4.8 
onde r na expressão acima designa a distância do ponto no espaço até onde a carga puntiforme 
Q se encontra.
Figura 4.8: Um capacitor de 
placas paralelas contém cargas 
uniformemente distribuídas em 
cada uma das placas.
( )V V r=
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O potencial, quer seja elétrico ou gravitacional, é um campo escalar e será representado pela 
letra V. Existem situações em que o campo eletrostático varia com os pontos do espaço bem 
como com o tempo. Assim, geralmente, escrevemos:
 4.9 
Os campos fundamentais da eletrostática e da gravitação - os potenciais - são relacionados à 
energia. Isso será discutido a seguir.
O potencial gerado por uma partícula puntiforme de carga Q localizada na origem, e a uma 
distância r da mesma, é dado por:
 4.10 
Cargas em repouso dão origem a um potencial elétrico. Fazemos assim a associação: 
 4.11 
4.5 Unidades
A unidade de potencial no sistema MKSA é o volt, cujo símbolo é V. 
• ExEmplo 3
Determine o potencial elétrico gerado por uma carga pontual Q = + 20 × 10-6 C, no ar, em um 
ponto P distante r = 20 cm da mesma.
→ REsolução:
O potencial elétrico gerado pela carga Q pode ser determinado pela expressão 4.10. Usando o 
sistema de unidades MKSA (ou SI), temos:
( ) ( )( ) ( )
2
9 2 2 6 2 5 5
2
Nm C Nm9 10 N.m C 20 10 C / 20 10 m 9 10 9 10
mC C
V r k Q r − −= = × × × = × =×
( ),V V r t= 
( ) 9 2
0 0
1 1 1 9 10 N.m / C
4 4
QV r kQ k
r r
 
= = = = × πε ε 
( ) ( ), , , ,x y z V x y zρ ⇒
1 joule J1 V= =
1 coulomb C
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No sistema MKSA (ou SI) o produto “N.m” = unidade de energia = “joule” = J; o potencial 
elétrico, desse modo, é assim expresso: 
V(r) = 9 × 105 J/C = 9 × 105 V 
Assim, à relação J/C damos o nome de volt, ou seja,
 J/C = volt = V
O nome volt é dado em homenagem a Alessandro Volta, inventor da pilha.
4.6 Superfícies Equipotenciais
O lugar geométrico dos pontos do espaço para os quais o potencial é constante
 4.12 
é uma superfície. Como os pontos sobre essa superfície estão todos no mesmo potencial, tais 
superfícies são denominadas equipotenciais.
• ExEmplo 4
Considere uma carga elétrica pontual de valor Q = −40 × 10-6 C na origem de um referencial cartesiano.
a. Determine o potencial elétrico gerado pela carga em pontos distantes 10 cm, 20 cm e 30 cm 
da origem.
b. Caracterize as superfícies equipotenciais do campo potencial gerado pela carga pontual Q.
( ) 0, ,V x y z V=
Figura 4.9: A superfície que contém as linhas azuis é 
uma “equipotencial”. Todos os seus pontos, pertencentes 
ou não às linhas, possuem o mesmo potencial elétrico, 
ou seja, em qualquer ponto de coordenadas x, y e z, o 
potencial V(x,y,z) = V0.
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→ REsolução:
a. O potencial elétrico gerado pela carga Q. 
O potencial gerado pela carga negativa Q = −40 × 10-6 C em um ponto distante r da origem, 
genericamente, é: 
( ) ( ) ( )
3
9 6 1 360 109 10 40 10 V com em metrosV r r
r r
− ×  = × × − × = −    
Assim, os pontos cujas distâncias até à carga sejam r1 = 10 cm = 10 × 10
-2 m têm o mesmo potencial 
V(r1 = 10 cm) = − 3,6 × 10
6 V = −3,6 MV.
A tabela indica os potenciais elétricos gerados pela carga Q em pontos distantes r1 = 10 × 10
-2 m; 
r2 = 20 × 10
-2 m e r3 = 30 × 10
-2 m.
V(r1 = 10 cm) V(r2 = 20 cm) V(r3 = 30 cm)
− 3,6 × 106 V = − 3,6 MV − 1,8 × 106 V = − 1,8 MV − 1,2 × 106 V = −1,2 MV
Observação: O potencial elétrico é negativo em virtude de a carga elétrica geradora de potencial 
ser negativa (Q = −40 × 10-6 C).
b. Superfícies equipotenciais do campo potencial gerado pela carga 
pontual Q.
Qual o lugar geométrico dos pontos que distam 10 cm da carga pontual 
Q, que se encontra na origem do referencial xyz? É uma superfície 
esférica de raio 2 2 2 10 cmr x y z= + + = concêntrica com a carga 
pontual. Os pontos dessa superfície esférica têm o mesmo potencial 
elétrico, ou seja, V(r) = -3,6 MV. Essa superfície é uma equipotencial 
associada ao valor de -3,6 MV. Todas as superfícies esféricas concêntricas 
com a carga pontual são superfícies equipotenciais.
Se a carga fosse positiva, por exemplo, Q = + 40 × 10-6 C, os potenciais 
elétricos, às mesmas distâncias, seriam positivos. Os potenciais elétricos 
gerados por uma carga positiva diminuem com a distância da carga, ou 
seja, em módulo, o potencial elétrico é inversamente proporcional à 
distância r.
• ExEmplo 5
Considere um sistema cartesiano e duas cargas 
Q1 = Q e Q2 = −Q situadas no eixo 0y nos 
pontos A(0, −10 cm, 0) e B (0, 10 cm, 0). 
Adotando Q = 20 × 10-6 C, determinar:
a. o potencial elétrico na origem do 
referencial.
b. o potencial elétrico nos pontos C, D e 
M, conforme Figura 4.11.
Figura 4.10: As linhas pontilhadas 
são as intersecções das superfícies 
esféricas com o plano xy. Elas 
representam as equipotenciais em 
torno da carga Q = −40 × 106 C.
Figura 4.11: Duas cargas 
de sinal oposto e os pontos 
nos quais queremos 
determinar o potencial 
elétrico produzido por elas.
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→ REsolução:
a. O potencial elétrico na origem do referencial.
Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico gerado na origem resulta da soma algébrica dos 
potenciais criados por cada uma das cargas, ou seja,
V(0) = kQ1/r1 + kQ2/r2 
Sendo Q1 = Q e Q2 = − Q e r1 = r2 = r, o potencial elétrico é assim escrito:
V(0) =kQ/r + k(−Q)/r = kQ/r – kQ/r = 0. 
O potencial elétrico na origem é V(0) = 0.
b. O potencial elétrico nos pontos C, D e M.
Determinaremos primeiramente o potencial elétrico no ponto 
C (0, 0, 20 cm).
Pelo princípio da superposição, podemos escrever: 
V(C) = kQ/AC + k−(Q)/BC. 
Para determinar AC e BC, vamos analisar o triângulo ABC da Figura 4.12.
A altura do triângulo ABC é OC, que divide a base AB em duas partes 
iguais. Isso indica que o triângulo é isósceles (2 lados iguais), ou seja, 
AC = BC = L. 
Sabendo-se que AC = BC = L, podemos escrever o potencial elétrico gerado pelas duas cargas no 
ponto C:
V(C) = kQ/L + k(−Q)/L = kQ/L – kQ/L = 0
Essa relação vale para qualquer posição do ponto C. Portanto, os pontos do eixo z (neste caso) 
possuem potenciais elétricos iguais V = 0.
Em seguida, determinaremos o potencial elétrico no ponto D (0, 0, 10 cm).
Raciocínio semelhante pode ser feito para o ponto D. O triângulo ABD também é isósceles, impli-
cando AD = BD = L. Assim, o potencial resultante em D será:
V(D) = kQ/L – kQ/L = 0.
Os pontos do eixo 0x também têm potenciais iguais V = 0.
Finalmente, determinamos o potencial elétrico no ponto M (0, 0, −40 cm).
O triângulo ABM também é isósceles e as distâncias AM = BM = L, resultando, novamente, que o 
V(M) = 0.
Conclusão: Considerando qualquer ponto do plano xz, os cálculos levam à conclusão de que o 
potencial elétrico resultante é nulo. Logo, o plano xz é uma “superfície equipotencial” com V = 0.
Figura 4.12: Potencial no ponto C 
produzido por cargas equidistantes 
desse ponto.
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• ExEmplo 6
Uma carga Q = 1 nC (1 × 10-9 C) encontra-se na origem de um referencial cartesiano xyz. 
a. Esboce um gráfico do potencial V(r) em função de r, considerando pontos nos eixos 0x, 0y e 
num eixo 0t qualquer, entre os eixos x e y.
b. Esboce um gráfico tridimensional da variação do potencial elétrico em função da distância 
considerando outros pontos do plano xy.
→ REsolução:
a. O potencial elétrico gerado pela carga elétrica Q é expresso por V(r) = kQ/r, onde r = distância 
entre o ponto onde o potencial é calculado e a carga Q. Como k e Q são invariáveis, o poten-
cial elétrico depende de 1/r, ou seja, V(r) = [kQ](1/r) é inversamente proporcional a r ≠ 0. 
Para r → 0, V(r) → ∞ e para r → ∞, V(r) → 0. Assim, o gráfico cartesiano V em função de r é 
um ramo de uma hipérbole, ou seja,
A Figura 4.14 ilustra, num só diagrama, os gráficos cartesianos do potencial elétrico gerado por 
uma carga na origem em função das distâncias medidas nos eixos 0x, 0y e 0t, entre os eixos 0x e 0y.
b. A Figura 4.14 fornece-nos uma antevisão de um gráfico tridimensional do potencial em função 
da distância. Isso pode ser obtido com facilidade com computação gráfica. Ver Figura 4.15.
Figura 4.13: Gráfico 
cartesiano do potencial 
gerado por uma carga 
em função da distância r.
Figura 4.15: Gráfico tridimensional da variação do potencial elétrico.
Figura 4.14: Três gráficos de V 
em função da distância.
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Superfícies equipotenciais são importantes na eletrostática de condutores. No caso de 
um condutor perfeito, pode-se mostrar que a superfície do próprio condutor é uma super-
fície equipotencial.
Condensador é um dispositivo no qual temos duas superfícies equipotenciais. No caso do 
condensador de placas paralelas, as duas superfícies são planas e paralelas.
4.7 Energia Potencial
É fácil explicar a relação do potencial com a energia potencial. Para isso, consideremos uma 
partícula que se move numa determinada região do espaço, e na qual experimenta a ação de 
uma força conservativa. Nesse caso, a energia mecânica é conservada. Escrevemos a energia 
mecânica (E) como a soma de duas parcelas:4.13 
O primeiro termo é denominado energia cinética e depende do quadrado da velocidade da 
partícula e da sua massa: 
 4.14 
Como se vê na expressão 4.14, a energia cinética tem a ver com 
o estado de movimento do corpo (derivando daí o termo “cinética”). 
A segunda contribuição para a energia mecânica é a energia 
potencial, a qual escrevemos sob a forma:
 4.15 
Observe que o fato de essa forma de energia depender da posição é o que confere a ela o 
nome de energia potencial, ou seja, energia associada à posição da partícula. No caso em que 
a partícula se move sob a ação de uma força elétrica, a energia potencial recebe o nome de 
energia potencial eletrostática.
( )
2
, ,
2
mvE U x y z= +
Figura 4.16: Uma partícula dotada de 
carga adquire uma energia potencial 
quando próxima de outra ou de outras.
2
2c
mvE =
( ), ,Ep U x y z=
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Tendo em vista que a energia mecânica é conservada é de se esperar que, ao longo do movi-
mento, uma forma de energia se converta, continuamente, em outra forma de energia. Quando 
atiramos uma pedra para o alto, imprimimos a ela uma energia cinética, a qual irá reduzir-se 
paulatinamente até que atinja o ponto mais alto. Nesse ponto de altura máxima, a energia 
cinética será mínima. Consequentemente, a energia cinética foi convertida em parte em energia 
potencial. A partir do momento em que a pedra começa o movimento descendente, iniciamos 
a fase do movimento em que ocorre a conversão de energia potencial em energia cinética.
O exemplo do parágrafo anterior não é um caso particular. Em geral, vale a premissa de 
que, nos pontos para os quais a energia potencial é mínima, a energia cinética será máxima. 
E vice-versa. Esse é o princípio de funcionamento das montanhas russas num parque de diversões.
4.7.1 Energia Potencial Elétrica e o Potencial Elétrico
O potencial eletrostático, assim como o campo eletrostático, pode ser pensado como uma 
propriedade da região do espaço. Essa propriedade é independente da existência de partículas 
que se movam nela. Essa propriedade associada ao ponto do espaço, e que agora está relacionada 
à energia da partícula, é o que denominamos Potencial Elétrico. 
Uma vez que a energia potencial eletrostática não depende da partícula que se move numa 
dada região do espaço, definimos o potencial eletrostático como o quociente da energia eletros-
tática pela carga elétrica, isto é:
 4.16 
Em outras palavras, o potencial eletrostático é dado pela razão entre a 
energia eletrostática e a carga da partícula. E isso assegura que tal função 
não dependa da existência de partículas que se movam no espaço.
Temos, através da análise do potencial eletrostático, uma nova 
forma de encarar os fenômenos. Isso significa que podemos fazer 
várias inferências sobre o movimento sem considerar as forças que 
agem sobre as partículas. Figura 4.17: Superfícies 
equipotenciais de um 
capacitor plano.
( ) 1, , ( , , )V x y z U x y z
q
=
86
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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• ExEmplo 7
A Figura 4.18 ilustra algumas “linhas equipotenciais” (que, nesse caso, 
são circunferências concêntricas com uma carga pontual Q = 5 × 10-3 C = 
= 5 milicoulomb = 5 mC), que resultam das intersecções entre o plano 
do papel e as superfícies equipotenciais esféricas geradas pela carga.
Os raios das circunferências ilustradas são, respectivamente, r1 = 25 cm, 
r2 = 50 cm, r3 = 75 cm e r4 = 100 cm. Considere uma carga pontual 
q = −20 × 10-6 C = −20 μC.
a. Qual a energia potencial eletrostática (ou elétrica) da carga pontual 
q localizada no ponto A.
b. A carga q é deslocada de A para B; qual a energia envolvida?
→ REsolução:
a. Energia potencial eletrostática de q no ponto A.
Para quantificar a energia da carga q no ponto A, precisamos conhecer o potencial eletrostático V 
vigente nesse ponto e, após isso, usar a expressão 4.16 para escrever U = q.V. Para o potencial no 
ponto A obtemos:
V(A) = kQ/rA = (9 × 10
9 Nm²/C²)(5 × 10−3 C)/(0,25 m) = 180 × 106 volts = 180 MV.
Em virtude de o ponto A pertencer à circunferência de raio r1 = 25 cm, todos os pontos dessa 
circunferência, que distam igualmente da carga elétrica geradora do campo potencial escalar, 
pertencem a uma “linha equipotencial” de 180 MV.
Da expressão 4.16 resulta que a energia é dada por: 
( ) ( )A . AqU qV= .
Logo, substituindo-se os valores de acordo com o enunciado, obtemos:
Uq(A) = (−20 × 10
−6 C)(180 × 106 V) = − 3.600 C.V = − 3.600 C(J/C) = − 3.600 J.
De Uq(A)=q.V(A)=q[(kQ)/r1] conclui-se que a energia potencial, em módulo, diminui com o 
aumento de r (distância da carga q em relação à carga geradora do campo Q). A energia potencial 
Uq(A) → 0, conforme r → ∞.
b. A carga q é deslocada de A para B; qual a energia envolvida?
O potencial elétrico no ponto B é V(B) = kQ/rB = (9 × 10
9)(5 × 10−3)/(1) = 45 MV. Assim, a energia 
potencial eletrostática de q no ponto B é:
Uq(B) = q.V(B) = (−20 × 10
−6)(45 × 106) = − 900 CV = C(J/C) = – 900 J.
Figura 4.18: Linhas equipotenciais 
associadas a uma carga puntiforme. 
87
Eletromagnetismo para Ciências
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A diferença de energia potencial eletrostática 
ΔUAB = Uq(B) − Uq (A) = (−900 J) − (−3.600 J) = + 2.700 J. 
Isso significa que é preciso “injetar” 2.700 J de energia no processo pelo qual a carga é movida de 
A para B.
4.8 O Campo Elétrico
Pode-se pensar a alteração do espaço como resultado 
da existência de objetos dotados dos atributos massa e 
carga elétrica associadas a outro campo, denominado 
campo gravitacional (no caso da massa) e campo elétrico 
(no caso das cargas elétricas). Nesse caso, a alteração não diz respeito à energia, mas pode ser constatada 
pela existência de forças sobre outras partículas próximas deles.
Como consequência da existência de tais campos uma partícula de massa m, localizada num 
ponto dado pelo vetor de posição r, experimenta uma força dada por: 
 4.17 
De acordo com a lei de Newton, uma partícula puntiforme de massa M, localizada na 
origem de um sistema de coordenadas, produz, num ponto cujo vetor de posição é r, um 
campo gravitacional num ponto cujo vetor de posição é expresso por:
 4.18 
No caso de uma distribuição de massas, devemos fazer uso do 
princípio da superposição e, nesse caso, ( )g r  é o campo gravitacional 
produzido pelas partículas que compõem a matéria.
Figura 4.19: O campo gravitacional da Terra aponta para 
a superfície e é sempre ortogonal a ela.
( )( )F r mg r=

  
Figura 4.20: O campo gravitacional da 
Terra e as superfícies equipotenciais.
( ) 3
rg r MG
r
= −

 
88
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O campo elétrico (E

) é definido a partir da força elétrica experimentada por uma partícula 
através da expressão:
 4.19 
onde q é a carga da partícula que está na posição caracterizada pelo vetor de posição r. 
Vemos assim que podemos estudar tanto o eletromagnetismo quanto a gravitação a partir do 
conceito de força e, a partir dela, definir os campos elétricos e magnéticos.
• ExEmplo 8
Esboce um arranjo experimental visando a determinar 
o campo elétrico em pontos do espaço entre duas placas 
metálicas paralelas com a mesma área, separadas entre si 
por uma distância d. Cada placa com cargas de sinais 
opostos, porém de mesmo módulo, distribuídas unifor-
memente sobre a área S de cada placa. 
→ REsolução: Arranjo experimental e o resultado 
Um pêndulo de massa m (pequena) eletrizada com uma 
carga de prova “q” é posicionado no ponto H entre duas placas metálicas A e B imersas no ar. Observa-se 
que o pêndulo é desviado equilibrando-se com o fio fazendo um ângulo θ com a vertical. A força 
responsável por esse desvio é a força elétrica F

(H), cuja origem reside na interação entre o campo 
elétrico E

(H ) existente no ponto H e a carga de prova “q”.O DCL (diagrama do corpo livre) da Figura 4.21 mostra as forças que atuam sobre 
a massa pendular quando em equilíbrio: T

 (força tensora do fio), p (peso da massa) e 
F

 (H ) (força elétrica) horizontal (ou perpendicular) à placa B. A intensidade da força 
elétrica resultante das condições de equilíbrio pode ser assim escrita: 
F(H) = p.tanθ = (mg).tanθ.
Adotando-se um sistema cartesiano com o versor i

 na horizontal (direção perpendicular 
às placas), a força elétrica pode ser assim expressa: ( ) ( ) ( )H H . . tanF F i mg i= = θ
  
. 
Portanto, o campo elétrico no ponto H é assim escrito:
( ) ( ) ( ) ( )H HH H .F FE i E i
q q
 
= = = 
 

  
Mudando-se o pêndulo para outras posições no espaço entre as placas (exceto nas proximidades das 
bordas), observa-se que o desvio do pêndulo (ângulo θ) permanece o mesmo. Esse fato implica que 
a força F

 sobre a carga de prova “q” é constante em módulo, direção e sentido; como consequência, 
( ) ( )F r qE r=
 
 
Figura 4.21: Força elétrica sobre uma carga de prova 
no ponto H do espaço entre as placas A e B.
Figura 4.22: 
Alguns vetores 
representando o 
campo elétrico 
uniforme entre as 
placas A e B.
89
Eletromagnetismo para Ciências
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o mesmo ocorre com o campo elétrico: o campo elétrico E

 em pontos situados no espaço entre as 
placas é constante em módulo, direção e sentido. A Figura 4.23 ilustra alguns vetores que representam 
o campo uniforme que vigora em pontos do espaço entre as placas.
Exemplo numérico:
Seja θ = 14° (tanθ = 0,25); q = 1 × 10-6 C; m = 20 × 10-3 kg e g = 10 N/kg. 
Determinar a intensidade da força elétrica e do campo elétrico em pontos 
do espaço entre as placas A e B. Do DCL (Figura 4.21) temos:
1. F = mg.tanθ = (20 × 10−3 kg)(10 N/kg)(0,25) = 50 × 10−3 N
2. E = F/q = (50 × 10−3 N)/(1 × 10−6 C) = 50 × 103 N/C
Assim, constataremos, experimentalmente, que o campo elétrico entre as 
placas A e B, em qualquer ponto do espaço entre elas, tem o mesmo módulo 
(E = 50 × 10³ N/C), mesma direção (perpendicular às placas) e o sentido é 
o da placa positiva para a placa negativa.
Observe que a unidade de campo elétrico no Sistema MKSA (ou SI) é “N/C”.
4.9 O Campo Elétrico como taxa de variação 
do Potencial Elétrico
Conquanto se possa definir o campo elétrico a partir do conceito de força, ele pode, igual-
mente, ser definido a partir do conceito matemático de derivada parcial, isto é, esse campo pode 
ser definido a partir da operação denominada gradiente.
Dada uma função escalar ou campo escalar, V(r), podemos construir um campo vetorial a 
partir desse campo escalar, tomando derivadas parciais desse campo escalar e multiplicando essas 
derivadas por versores. A essa operação denominamos aplicar o operador gradiente à função 
escalar. Assim, definimos o operador gradiente (símbolo ∇) como aquele que, aplicado sobre 
uma função escalar, leva a um campo vetorial definido através da identidade:
 4.20 
Denominamos campo elétrico a grandeza associada às taxas de variação do potencial elétrico, 
ou seja:
 4.21 
O campo elétrico é, portanto, um campo derivado do potencial.
Figura 4.23: O campo 
elétrico entre as placas 
de um capacitor plano.
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,, , V x y z V x y z V x y zV x y z i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
  
( ) ( ), , , ,E x y z V x y z= −∇

90
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• ExEmplo 9
O potencial elétrico entre duas placas paralelas, conforme ilustra a 
Figura 4.24, separadas por uma distância d = 20 cm, cada uma com 
excesso de carga elétrica de módulo Q, porém de sinais opostos, é 
expresso pela função
 V(y) = 25.y (kV; m) 
Determinar:
a. o potencial elétrico das placas A e B.
b. o campo elétrico no espaço entre as placas.
c. representar, graficamente, algumas “superfícies equipotenciais” do 
campo entre as placas.
→ REsolução:
a. Potencial Elétrico
O potencial elétrico é expresso por uma função linear: V(y) = 25.y 
(kV;m). A placa A encontra no plano xz, ou seja, y = 0. Logo, o potencial da placa A é V(0) = 25(0) = 0; 
a placa B encontra a y = 0,20 m; portanto, V(0,2) = 25(0,2) = 5 kV = 5.000 V.
b. Campo Elétrico
A expressão 4.21 define o vetor campo elétrico a partir do potencial elétrico mediante um operador: 
o operador gradiente. Temos assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,, , , , V x y z V x y z V x y zE x y z V x y z i j k
x y z
∂ ∂ ∂ 
= −∇ = − + + ∂ ∂ ∂ 
  
No exemplo em tela, o potencial elétrico é expresso por uma função de uma só variável: V(y) = 25.y, 
o que torna mais fácil a aplicação das derivadas parciais. Veja:
   


E y V y i
V y
y
j k
y
y
j( ) = −∇ ( ) = − + ∂ ( )
∂
+





 = −
∂ ( )
∂




0 0
25
. . . .

 = − =( )25.

j kV m kJ C
Portanto, o campo elétrico no espaço entre as placas é ( ) ( )25 kV mE y j= −
 
, independente de y, 
o que indica que ele é constante. O seu módulo é E = 25 kV/m, direção do eixo 0y e sentido, em 
virtude do sinal negativo, é oposto ao do eixo 0y, ou seja, o sentido do campo elétrico E

 é da placa 
B para a placa A.
Figura 4.24: Duas placas paralelas 
formando um capacitor.
91
Eletromagnetismo para Ciências
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c. Superfícies equipotenciais
A superfície da placa A é uma equipotencial com V = 0 e 
a placa B é outra equipotencial com V = 25 kV, conforme 
determinados no item (a). Para cada valor de y compreendido 
entre 0 e 20 cm, tem-se um determinado valor do potencial 
elétrico. Portanto, superfícies planas, paralelas às placas A e B, 
constituem-se em superfícies equipotenciais. A Figura 4.25 
ilustra a intersecção dessas superfícies (algumas delas) com o 
plano yz (ou plano x = 0).
Importante observar que o campo elétrico é ortogonal às 
superfícies equipotenciais e o sentido do campo elétrico, no 
sentido decrescente do potencial elétrico.
4.10 Cargas Elétricas em movimento: 
a Densidade de Corrente
Consideremos agora a segunda situação, aquela em que as cargas estão em movimento. 
Para caracterização de cargas em movimento utilizamos o conceito de densidade de corrente.
Imaginemos que, a cada instante de tempo, a distribuição volumétrica de cargas em movi-
mento seja dada pela função:
 4.22 
E que, a cada instante de tempo, a velocidade de cada uma das cargas infinitesimais seja conhecida:
 4.23 
Definimos o vetor densidade de carga como o produto:
 4.24 
Figura 4.25: Superfícies equipotenciais.
( ),r tρ = ρ 
( ),V V r t=
 

( ) ( ) ( ), , ,J r t r t V r t= ρ
 
  
92
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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A densidade de corrente é muito importante 
porque ela dá a taxa com que uma grandeza física 
flui através de uma superfície. Mais especificamente, o 
fluxo da densidade de corrente através de uma super-
fície dá a taxa por unidade de tempo com que a carga 
elétrica flui através dessa superfície.
O fato é que partículas carregadas em movimento 
dão origem a um campo vetorial: o potencial vetor. 
Esse fato pode ser resumido assim:
 4.25 
4.11 O Campo Magnético
Embora não pareça óbvio, o fato é que o fóton - agente responsável pelas interações 
eletromagnéticas - tem spin. Isso acarreta a necessidade de introduzirmos um outro campo 
fundamental no eletromagnetismo e outro campo derivado. Vamos começar pelo campo 
derivado, conhecido como campo magnético. 
Lembramos, primeiramente, que nem sempre a relação entre o campo e a força a que uma 
partícula está sujeita, quando sob a ação do campo, é tão simples quanto as expressões acima. 
De fato, no caso do campo magnético, a relação entre a força magnética e o campo magnético é:
 4.26 
No eletromagnetismo lidamos com vários tipos de campos. Alguns deles são campos vetoriais 
e alguns outros são campos escalares.
Figura 4.26: Exemplos de densidades de corrente.
( ) ( ), , , , , ,J x y z t A x y z t⇒
( ) ( )F r qV B r= ∧
  
 
93
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• ExEmplo 11
Como se pode determinar, experimentalmente, o campo magnético B

 (ou indução magnética) em 
um ponto do espaço?
→ REsolução:
• Campo magnético B

 (ou vetor indução magnética) em um ponto do espaço.
O campo magnético B

 (ou vetor indução magnética) em um ponto do espaço pode ser definido a 
partir da força magnética F

 sobre uma carga elétrica q resultante da interação carga-campo magné-
tico, quando ela (a carga) se apresentar com velocidade v em relação ao campo magnético.
Figura 4.27: As figuras ilustram “as linhas de força do campo magnético” ou, simplesmente, linhas 
do campo magnético da Terra e de um ímã sob a forma de uma barra.
A agulha de uma bússola ou um 
prego de aço imantado, sob ação 
da força magnética, alinha-se ao 
longo da direção tangencial à linha 
de indução do campo magnético.
Por isso, servem para determinar 
a direção e o sentido do campo 
magnético, mas não podem ser 
usados para a determinação da 
intensidade do campo magnético.
Figura 4.28: A bússola se 
orienta em consonância 
com a orientação do campo 
magnético terrestre.
94
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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As Figuras 4.29 e 4.30 ilustram a interação do campo magnético com uma carga elétrica +q ao 
atravessar um campo magnético uniforme e a regra da mão direita (uma regra usada para facilitar 
a visualização dos vetores B

, F

 e v).
A força magnética F

 age perpendicularmente ao campo magnético B

 e à velocidade v da carga 
elétrica. Por não ter componentes na direção da velocidade, a força magnética não aumenta nem 
diminui o módulo da velocidade: apenas muda a sua direção. A força magnética puxa a carga q 
“lateralmente” à sua velocidade; por isso, o efeito da força magnética é mudar a direção do movi-
mento da carga. No casso de um feixe de partículas, dizemos que ele é defletido.
A Figura 4.31 ilustra a seguinte situação: num ponto P, localizado no 
plano horizontal xy, o campo magnético é .B B j=
 
. 
Uma partícula com carga elétrica +q, ao passar pelo ponto P com velo-
cidade . .x yv v i v j= +
 

, sofre a ação da força magnética .F F k=


.
Podemos concluir que:
1. A forca magnética F

 depende da carga elétrica q, da velocidade v, 
do campo magnético B

 e do ângulo entre as direções dos vetores 
v e B

.
2. A força magnética é nula quando θ = 0 ou π e é máxima quando 
θ = π/2. A função que representa essas duas condições é a função seno.
Em termos vetoriais, a função vetorial que pode representar as conclusões acima é o produto veto-
rial, ou seja, F v B ∝ × 
 

 (produto vetorial entre v e B

). Sendo q a constante de proporcionalidade, 
temos a equação vetorial da força magnética:
cujo módulo é F = q.v.B.senθ. 
Figura 4.29: A força magnética F

 
é perpendicular ao campo B

 e à 
velocidade v.
Figura 4.30: Regra da mão direita para 
carga positiva permite visualizar as 
direções relativas entre F

, v e B

. Se a 
carga for negativa, usa-se a mão esquerda.
Figura 4.31: O vetor força magnética 
e o vetor velocidade.
( ).F q v B= × 
95
Eletromagnetismo para Ciências
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• Unidade de medida de campo magnético (vetor indução magnética) B

O módulo da força magnética é F = q.v.B.senθ (θ = ângulo entre v e ). Conhecidos os valores de 
F, v e θ, pode-se determinar B = (F)/(q.v.senθ). 
Dessa relação estabelece-se a unidade de medida de B em qualquer sistema de unidades. No sistema 
MKSA ou SI, tendo em vista que a unidade de senθ = 1, tem-se:
F → N (newton)
q → C (coulomb)
v → m/s 
B = F/(qvsenθ) Unid(B) = N/[C(m/s).(1)] =N/(C/s).m = N/A.m[ N/A.m ] = T (tesla) (homenagem a Nikolas Tesla).
O “tesla” é uma unidade muito grande; a intensidade máxima do campo magnético (indução 
magnética) da Terra é BTerra ≈ 5 × 10
-5 T; as intensidades dos campos magnéticos de ímãs usados em 
laboratório podem alcançar até 2,5 T.
Outra unidade, não pertencente ao SI, é o “gauss”- o símbolo G é frequentemente utilizado. 
A relação entre Tesla e Gauss é: 1 G = 10-4 T ou T = 104 G. Assim, BTerra ≈ 0,5 G.
• ExEmplo 12
Um próton (q = e = 1,6 × 10-19 C) penetra perpendicularmente um campo magnético 2.B k=


 
(tesla) com velocidade ( )73 10v j= ×  (m/s). Determinar a força magnética sobre o próton na sua 
interação com o campo magnético descrito.
→ REsolução:
Vamos aplicar a função vetorial ( ).F q v B= ×  ; com as substituições (usando as medidas no sistema 
MKSA ou SI) , temos:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
19 7 19 7
12 12
1,6 10 3 10 2 1,6 10 3 10 2
9,6 10 9,6 10 , pois .
F j k j k
j k i N j k i
− −
− −
   = × × × = × × × =  
 = × × = × × = 
 
  
 
   
Portanto, a força magnética sobre o próton se caracteriza por:
a. intensidade: F = 9,6 × 10-12 N.
b. direção e sentido: sentido positivo do eixo 0x.
Outra maneira de responder à questão é aplicar a expressão da intensidade da força magnética: 
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
19 7 12
12 12 12
. . sen
. . sen 1,6 10 C 3 10 m s 2 T 9,6 10 C m s T
c N C N9,6 10 9,6 10 9,6 10 N
m s C s m m s C s .m
F q v B
F q v B
F
− −
− − −
= θ
= θ = × × = × =
      
= × → = × = ×      
      
A direção e o sentido podem ser determinados aplicando a “regra da mão direita” para carga 
positiva. Adaptando-se a mão direita com o dedo polegar no sentido da velocidade e os outros 
dedos no sentido do campo magnético, constata-se que o sentido da força é no eixo 0x positivo.
96
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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4.12 Os Campos Derivados 
A partir dos campos potenciais eletromagnéticos, obtemos campos derivados deles. 
Tais campos são obtidos como taxas de variação instantâneas ou taxas de variação dos 
campos fundamentais. 
O campo elétrico resulta de duas taxas de variação dos campos fundamentais: os potenciais 
vetor e escalar. Uma é taxa de variação instantânea (com respeito ao potencial escalar) enquanto 
a outra é uma taxa de variação pontual do campo escalar quando agrupada sob a forma de um 
vetor. Explicitamente, escrevemos:
 4.27 
Assim, a rigor, vemos que a expressão 4.27 se aplica no caso de um potencial vetor que não 
varia com o tempo.
Figura 4.32: Utilizando a regra da mão direita para determinar a força.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, , , , , , , , , ,
, , ,
, , ,
, , ,
V x y z t V x y z V x y z A x y z t
E x y z t i j k
x y z t
A x y z t
V x y z t
t
∂ ∂ ∂ ∂
= − − − +
∂ ∂ ∂ ∂
∂
= −∇ +
∂


  


97
Eletromagnetismo para Ciências
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O campo magnético resulta da taxa de variação do campo vetor ( ),A r t


. Tendo em vista a 
natureza vetorial do campo elétrico, a única taxa de variação pontual relevante é aquela definida 
como o rotacional do campo.
 4.28 
4.13 Diferenças de Potencial: 
Forças Conservativas
Quando existem diferenças de potencial numa determinada região, criam-se condições para 
o movimento de cargas nelas localizadas. Consideremos diferenças de potenciais bem pequenas, 
ou seja, consideremos variações infinitesimais.
Uma variação infinitesimal é definida como a diferença da função para pontos do espaço muito 
próximos. Para escrever uma expressão para a variação infinitesimal, consideremos a variação: 
 4.29 
e analisemos em seguida o comportamento dessa variação para valores infinitesimais dos deslo-
camentos. Nesse caso, podemos escrever a variação infinitesimal sob a forma:
 4.30 
Donde concluímos, pela definição do gradiente, que para valores infinitesimais dos desloca-
mentos podemos escrever:
 4.31 
Outra propriedade importante em relação à variação infinitesimal é a integral do lado 
esquerdo da equação 4.31 dar a variação do potencial entre dois pontos, isto é:
 4.32 
y yz x zxA AA A A AB A i j k
y z z x x y
∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇× = − + − + −    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    
  
( ) ( )V V r r V r∆ = + ∆ −  
( ), , V V VdV x y z dx dy dz
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
( )dV V dr= ∇ ⋅ 
B
B A
A
( ) ( )dV V r V r= −∫
 
98
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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Por outro lado, de 4.21, segue-se que:
 4.33 
Donde inferimos, a partir de 4.33 e 4.32, que a força elétrica é uma força conservativa, uma 
vez que a sua integral ao longo de um caminho não depende deste. Depende apenas de uma 
função (a energia potencial) calculada nos seus extremos. Escrevemos:
 4.34 
• ExEmplo 13
Qual a relação entre a variação de energia potencial eletrostática de uma carga q e a variação do 
potencial eletrostático?
→ REsolução:
Considere um ponto de coordenadas (x, y, z) cujo potencial elétrico (ou eletrostático) seja V. 
Qual a energia potencial elétrica (ou eletrostática) U de uma carga q nesse ponto? A identidade 
( ) ( )1, , , ,V x y z U x y zq= responde a essa questão:
.U qV=
Seja VA = 5.000 volts (“volt = joule/Coulomb = J/C”) o potencial eletrostático de um ponto A no 
espaço. A energia potencial eletrostática de uma carga elétrica q = -400 μC (1 μC = 10-6 C) situada 
nesse ponto é:
( )( )6A A. 400 10 C 5.000 J C 2 joulesU qV −= − − × = −
Se por um processo adequado essa carga for movimentada até um ponto B cujo potencial elétrico 
seja VB = 12.000 volts, qual a nova energia potencial eletrostática da carga q = −400 μC? Basta 
multiplicar a carga pelo potencial elétrico, ou seja:
( )( )6B B. 400 10 C 12.000J C 4,8 JU qV −= − − × = −
Nesse processo (deslocamento de A para B), a carga elétrica q experimentou uma variação de energia
( ) ( )B A 4,8 2 2,8 JU U U∆ = − = − − − = −  
( )
B B
A A
V dr E dr∇ ⋅ = − ⋅∫ ∫

 
B B
B A
A A
( ) ( )qE dr F dr qV r qV r⋅ = ⋅ = − +∫ ∫
 
   
99
Eletromagnetismo para Ciências
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O sinal algébrico negativo indica que a carga “perdeu” energia potencial (observe que – 2 J é, 
relativamente, maior que – 4,8 J).
Do ponto de vista do potencial elétrico, a variação foi: 
( ) ( )B A 12.000 5.000 6000 voltsV V V∆ = − = − = +
Comparando-se os resultados, podemos escrever que:
( )B A B A
. ouU q V
U U q V V
∆ = ∆
− = −
Nota: Se o deslocamento ocorrer ao longo de uma trajetória contida numa superfície equipotencial 
(VA = VB = V0 = constante), a energia potencial eletrostática da carga permanece inalterada. 
Ela somente sofre alterações se o deslocamento ocorrer entre duas superfícies equipotenciais diferentes.
4.13.1 Diferenças de Potencial e Movimento
Partículas são aceleradas quando existe uma diferença de potencial entre os vários pontos do 
espaço. Diferenças de potencial são equivalentes a forças agindo sobre as partículas. 
Para analisarmos isso, consideremos uma partícula de massa m que se move no espaço. 
Sua energia conservada se escreve como:
 4.35 
Se derivarmos a expressão 4.35 com respeito ao tempo, e lembrando que a energia se conserva,
 4.36 
obtemos:
 4.37 
( ), ,E mv U x y z= +
0dE
dt
=
( ) ( ) ( )( ), ,
0
dV x t y t z tdvmv q
dt dt
+ =



100
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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Lembrando a regra para a derivada de uma função que envolve variáveis que são função do 
tempo, teremos:
4.38 
onde o operador gradiente (∇

) é definido como:
 4.39 
De 4.37 e 4.38, temos:
 4.40 
Donde se infere que: 
 4.41 
que é a segunda lei de Newton. Isso nos permite concluir que o campo elétrico pode ser 
determinado a partir do potencial através da expressão:
 4.42 
Vemos que a expressão 4.42 assegura que a força elétrica é uma força conservativa.
• ExEmplo 14
Uma partícula de massa m = 2 × 10-4 kg e carga q = +10 μC penetra por 
um orifício existente na placa metálica A; após acelerada, ela emerge por 
um orifício diametralmente oposto na placa metálica B, conforme ilustra a 
Figura 4.33. Admita que o movimento ocorre no vácuo. 
O potencial elétrico que vigora no espaço entre as placas é expresso 
pela função V(x) = 5 – 40.x com V em kV e 0 ≤ x ≤ 0,1 m. Sendo 
vA = 10 5 m/s, determinar a velocidade vB com que a partícula escapa pelo 
orifício da placa B.
( ) ( ) ( )( ), ,dV x t y t z t V dx V dy V dz V v
dt x dt y dt z dt
∂ ∂ ∂
= + + = ∇
∂ ∂ ∂



V V VV i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
  
0dvmv q V v
dt
+ ∇ =


 
 
0dvm q V
dt
+ ∇ =


( ) ( ), , , ,E x y z V x y z= −∇

Figura 4.33: Partícula passando 
por dois orifícios.
101
Eletromagnetismo para Ciências
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→ REsolução:
Podemos responder ao quesito por dois caminhos: partindo da 2ª Lei de 
Newton e/ou a partir de considerações energéticas, uma vez que o movi-
mento ocorre no vácuo e a energia dissipada pode ser considerada nula.
1º A partir da 2ª Lei de Newton: 
A força que acelera a partícula é a força elétrica: F

 = qE

. O campo elétrico 
E

 pode ser obtido aplicando a operação gradiente à função do potencial 
eletrostático: V(x) = 5 − 40.x (V em kV e x em metros), ou seja, 
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( )3
5 40
40
40. k V m 40 10 N C
V x x
E V x i i
x x
i i
∂ ∂ −   
= −∇ = − = − = − − =   ∂ ∂   
= = ×
  
 
A Figura 4.34 ilustra o campo elétrico constante (todos os campos paralelos e com a mesma 
intensidade) representado pelas setas vermelhas e a força elétrica sobre a partícula. Sendo positivo o 
sinal da carga elétrica, o sentido da força elétrica é o mesmo do campo elétrico. Assim, a partícula é 
acelerada no sentido positivo do eixo 0x.
Desse modo, a 2ª Lei de Newton pode ser assim escrita: . .q E m a=


, donde 
.q Ea
m
=


. Substituindo os 
valores, em unidades do MKSA ou SI, temos:
( ) ( )6 3 2
4
10 10 . 40 10
2000 m s
2 10
a i i
−
−
× ×
= =
×
 

Portanto, o módulo da aceleração da partícula é a = 2.000 m/s² e sua direção e sentido são os 
mesmos do eixo 0x, ou seja, da placa A para a B.
Para determinar a velocidade vB, conhecidas a velocidade inicial vA, a aceleração “a” e a respectiva 
distância percorrida “d”, basta aplicar a equação (denominada Torricelli): 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22. . 10 5 2 2.000 0,1 500 400 900 m /s .B Av v a d= + = + = + = 
Escolhemos vB = +30 m/s (o sinal negativo indica movimento no sentido oposto ao eixo 0x, 
que não é o caso).
2º A partir da Lei da Conservação da Energia da partícula.
Considerando nula a dissipação de energia, podemos escrever: energia em A = energia em B. 
Em outros termos: ECA + UA = ECB + UB. A energia cinética é EC = mv
2/2 e a energia potencial 
eletrostática U = q.V. Portanto, literalmente, podemos escrever:
2 2
A B
A B. .2 2
mv mvqV qV+ = + , donde 
2 2
B A
A B. .2 2
mv mv qV qV= + − 
Figura 4.34: Força elétrica 
sobre a partícula.
102
4 Cargas Elétricas produzem Campos
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Isolando-se vB tem-se:
( ) ( )2B A A B
2.qv v V V
m
= + −
Os potenciais VA e VB devem ser determinados pela função V(x) = 5 – 40.x. Para x = 0, temos 
o potencial na placa A, ou seja, VA = 5 kV = 5.000 volts. Para x = 0,1 m, temos o potencial 
da placa B, ou seja, VB = 1.000 volts. Substituindo esses valores: a velocidade vA = 10 5 m/s, a 
carga q = 10 × 10-6 C e m = 2 × 10-4 kg na equação de vB, temos:
( ) ( ) ( )
6
2
B 4
2 10 10
10 5 5000 1000 30 m s
2 10
v
−
−
×
= + − =
×
4.14 Linhas de Força
Linha de força é uma linha que, quando traçamos a tangente a essa linha por um determi-
nado ponto, nos dá a direção do campo elétrico nesse ponto do espaço.
Como o operador gradiente dá a direção da normal (linha perpendicular) a qualquer super-
fície equipotencial, as linhas de força são sempre perpendiculares às equipotenciais.
Convencionou-se representar a intensidade do campo através do adensamento das linhas de força. 
Quanto maior a densidade das linhas de força, tanto maior é a intensidade do campo naquelaregião. 
• ExEmplo 16
Representar o campo elétrico e o campo potencial elétrico ao redor de uma esfera metálica eletri-
zada positivamente e de outra, eletrizada negativamente.
→ REsolução:
As Figuras 4.35 e 4.36 representam esferas metálicas eletrizadas com cargas distribuídas uniforme-
mente ao longo da superfície externa.
103
Eletromagnetismo para Ciências
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As linhas de força “saem” de cargas positivas e “chegam” a cargas negativas. Nas figuras acima, estão 
desenhadas apenas algumas linhas de força.
Na Figura 4.37a, estão desenhadas algumas linhas de força (curvas amarelas) e algumas linhas 
equipotenciais (elas são perpendiculares às linhas de força).
As linhas de força sempre partem de 
uma carga positiva e sempre chegam 
a uma carga negativa. O campo elétri-
co é tangencial à linha de força; como 
as linhas são curvas, o campo elétrico 
muda de direção continuamente. Onde 
as linhas são mais concentradas, o campo 
elétrico é mais intenso (no caso, mais 
próximo da carga positiva).
A Figura 4.37b representa o campo entre duas placas paralelas, com densidades de cargas iguais, 
porém com sinais opostos. As linhas de força, no espaço entre as placas, são paralelas e igualmente 
espaçadas (campo elétrico uniforme). As equipotenciais são as linhas tracejadas. Os potenciais dimi-
nuem no sentido das linhas de força.
A Figura 4.38 ilustra, no plano do papel, algumas linhas de força entre 
duas pequenas esferas de raios iguais e igualmente eletrizadas com cargas 
de sinais opostos.
Observe que as linhas saem de uma carga positiva e chegam (sempre) a 
uma carga negativa. As superfícies equipotenciais são as tracejadas.
a. Linhas de força do campo elétrico 
são as setas radiais divergentes.
b. Linhas pontilhadas circulares são 
linhas equipotenciais.
c. As linhas de força e as equipotenciais 
são ortogonais entre si.
Figura 4.35: Esfera com excesso de cargas positivas.
a. Linhas de força do campo elétrico 
são as setas radiais convergentes.
b. Linhas pontilhadas circulares são 
linhas equipotenciais.
c. As linhas de força e as equipotenciais 
são ortogonais entre si.
Figura 4.36: Esfera com excesso de cargas negativas.
Figura 4.37: Exemplo de linhas de força (no plano). 
a b
Figura 4.38: Linhas de força 
de duas cargas elétricas de 
sinais opostos.
104
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Vejamos agora o seguinte exemplo:
Uma esfera metálica com carga 8q e outra com carga -3q. De cada carga positiva parte uma linha de 
força que deve chegar a uma carga negativa. Assim, observa-se que 8 linhas saem da esfera positiva, 
porém, apenas 3 delas chegam à esfera de carga negativa. 
Figura 4.39: Linhas de força associadas 
a cargas de valores diferentes.
	4.1 O conceito de Campo
	4.2 Cargas elétricas geram Campos 
	4.3 Distribuição de Cargas
	4.4 O Campo denominado Potencial Elétrico
	4.5 Unidades
	4.6 Superfícies Equipotenciais
	4.7 Energia Potencial
	4.8 O Campo Elétrico
	4.9 O Campo Elétrico como taxa de variação 
do Potencial Elétrico
	4.10 Cargas Elétricas em movimento: 
a Densidade de Corrente
	4.11 O Campo Magnético
	4.12 Os Campos Derivados 
	4.13 Diferenças de Potencial: 
Forças Conservativas
	4.14 Linhas de Força