PET II - segundo ano - semana1 - corrigido

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Volume 2 
RESOLUÇÃO DA SEMANA 1 
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 SEMANA 1 
 
Nesta semana, você aprenderá a reconhecer as possibilidades distintas de ordenar ou sequenciar os 
elementos de uma coleção e obter a quantidade dessas possibilidades, que é uma importante técnica 
na resolução de problemas que envolvem cálculo de probabilidade. 
 
Permutação, o que é? 
 
Com as letras a, b, c, podemos formar as seguintes sucessões (ordem 
em que podemos dispor as letras): 
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) e (c, b, a) 
Cada uma dessas sucessões é chamada de permutação das três letras. 
 
 
 
 
Exemplo: 
1 — Formar os anagramas da palavra 
a) LIA 
b) LUIZ 
 
Solução: 
a) Os anagramas são: LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA 
b) Os anagramas são: 
 
LUIZ LUZI LIUZ LIZU LZUI LZIU 
ULIZ ULZI UILZ UIZL UZLI UZIL 
ILUZ ILZU IULZ IUZL IZLU IZUL 
ZLUI ZLIU ZULI ZUIL ZILU ZIUL 
 
 
 
 
Agora é sua vez! 
Glossário 
Permutar: mudar ou trocar 
reciprocamente 
Os anagramas são as “palavras” formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais “palavras” podem 
não ter significado na linguagem comum. 
Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de permutação simples dos objetos. 
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 ATIVIDADES 
 
1 — Forme todas as permutações dos algarismos 1, 2, 3. 
 
 
 
2 — Forme todas as permutações das letras a, b, c, d. 
 
 
 
 
 
 
3 — Forme todas as permutações dos símbolos +, +, — e —. 
 
 
 
4 — Forme todos os anagramas da palavra BETE. 
 
 
5 — Forme todos os anagramas da palavra AZUL que começam pela letra Z. 
 
 
6 — Forme todos os anagramas da palavra PAPAI que começam e terminam por vogal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 123, 132, 213, 231, 312, 321 
Resposta: 
 
 
 
 
 
bacd 
badc 
bcad 
bcda 
bdac 
bdca 
cabd 
cadb 
cdab 
cdba 
cbad 
cbda 
 
dabc 
dacb 
dbac 
dbca 
dcab 
dcba 
abcd 
abdc 
adcb 
adbc 
acbd 
acdb 
 
Resposta: São seis permutações, veja: 
++ — —, — — ++, + — —+, — ++—, +—+—, —+—+ 
Resposta: BEET, BETE, BTEE, EBET, EBTE, EEBT, EETB, ETBE, ETEB, TBEE, TEBE, TEEB 
Resposta: ZAUL,ZALU, ZUAL, ZULA, ZLAU, ZLUA 
Resolução 1: Escrevendo todos os anagramas. 
 
Como se trata de uma palavra curta, é possível montar os anagramas manualmente para se ter certeza da resposta. 
Estes são: 
 
APPIA, APIPA, AIPPA, APPAI, APAPI, AAPPI, IPPAA, IPAPA, IAPPA 
 
Resolução 2: Pela fórmula da permutação 
 
Obs: a fórmula da permutação com elementos repetidos . 𝑃𝑛
𝑛1,𝑛2,..,𝑛3 = 
𝑛!
𝑛1! 𝑛2!…𝑛𝑛!
 
 
Consideremos que a Palavra começa e termina com A: 
 
A _ _ _ A -> Nós teremos, nos espaços vazios, a permutação de três elementos (P, P e I), com dois repetidos (P, P). 
Logo a fórmula será: 
 
Permutação = 
3!
2!
 = 3 
 
De forma análoga, consideraremos agora os casos em que a palavra começa com A e termina com I, e vice-versa: 
 
A _ _ _ I -> Nós teremos, nos espaços vazios, a permutação de três elementos (P, P e A), com dois repetidos. 
Permutação = 
3!
2!
 = 3 
 
I _ _ _ A -> Nós teremos, nos espaços vazios, a permutação de três elementos (P, P e A), com dois repetidos. 
Permutação = 
3!
2!
 = 3 
 
Somando os três casos, temos 3 + 3 +3 = 9. 
 
 
 
 
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7 — Escreva todos os números ímpares de quatro algarismos não repetidos, formados pelos algarismos 
1, 2, 3 e 4. 
 
 
 
 
 ATIVIDADES 
 
1 — Determine quantas permutações podem ser formadas com as letras de cada palavra. 
a) ORDEM 
 
b) DOMINAR 
 
c) CINEMA 
 
2 — De quantos modos podemos arrumar, em fila, 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes 
de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de maneira que, livros de uma mesma matéria perma- 
neçam juntos? 
 
Solução: Podemos escolher a ordem das matérias de 3! modos. Feito isso, há 5! modos de colocar 
os livros de Matemática nos lugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de Estatística e 
2! modos para os de Física. A resposta é 3! 5! 3! 2! = 6 × 120 × 6 × 2 = 8 640. 
 
3 — Considerando os anagramas da palavra ALUNO, responda ao que se pede. 
a) Quantos começam por vogal? 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos começam por vogal e terminam por consoante? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantos começam e terminam por consoante? 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTA: 2341, 2431, 3241, 3421, 4231, 4321, 1243, 1423, 2143, 2413, 4123, 4213 
P5= 5! = 5 . 4. 3 . 2. 1 = 120 
P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 5040 
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 720 
ALUNO → 5 Letras 
Vogais na palavra; (A, O, U) 
 
Resolução; 
Principio Multiplicativo. 
 
 3 . 4 . 3 . 2 . 1 = 72 Anagramas 
A, O, U 
 
 
 
Resolução: 
Vamos aplicar o Princípio Multiplicativo. 
 
Consoantes na palavra; (L, N ) 
 
Vogais na palavra; (A, O, U) 
 
 3 . 3 . 2 . 1 . 2 = 36 Anagramas 
A, O, U L, N 
 
 
Resolução; 
 
Principio Multiplicativo. 
 
ALUNO → 5 Letras 
 
Consoantes na palavra; (L, N ) 
 
 2 . 3 . 2 . 1 . 1 = 12 Anagramas 
 L, N 
 
 
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d) Quantos apresentam as vogais AUO juntas nesta ordem? 
Neste modelo, pense que as vogais (AUO) formam um bloco que deve ser considerado como 
uma letra, pois não poderá mudar a ordem. Assim, passamos a considerar que a palavra tem 
3 letras. Então o número de anagramas é P
3 
= 3! = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
e) Quantos apresentam as vogais juntas, porém em qualquer ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 — Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”: 
a) que podemos formar? 
 
b) que começam e terminam por vogal? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Já sabemos que com as vogais juntas em ORDEM temos 6 Anagramas. 
 
Basta permutar as vogais AOU. 
 
P3=3! 
 P3 
P3=6 
 
Resposta; 6×6 = 36 Anagramas P3 
 
 
Resolução: 
Permutação simples; 
 
ALUNO → 3 Letras 
 
P3=3! = 3 . 2. 1 = 6 ANAGRAMAS 
 
 
AUO L N 
P3 
AUO L N 
P8 = 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 .3 . 2 . 1 = 40320 
Resolução: Vamos aplicar o princípio multiplicativo. 
Estudando as possibilidades para cada letra da palavra CAPÍTULO temos: 
Para a primeira letra temos 4 possibilidades 
 
 4 . . . . . . . = 
 A, I, U, O 
São 4 
possibilidades 
Para a última letra, depois de escolhida a primeira, restam três possibilidades 
 
 4 . . . . . . . 3 = 
 
Escolhidas a primeira e a última restam: 6 possibilidades para a segunda letra, 5 possibilidades para 
terceira letra, 4 possibilidades para a quarta letra, 3 possibilidades para a quinta letra, 2 
possibilidades para a sexta letra e 1 possibilidades para a sétima letra. 
 
 4 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 8640 
 
 P6 = 6! 
 
 
Portanto, são 8640 possibilidades de anagramas 
Escolhida a 
primeira 
letra, 
restam três 
possibilidade
s 
 
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c) que têm as letras C, A e P juntas, nessa ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) que têm as letras C, A e P juntas, em qualquer ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) que têm a letra P, em primeiro lugar, e a letra A, em segundo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, pense mais um pouco! 
E se a palavra tiver letras repetidas, como é o caso de LILI? 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra LILI? 
CAP I T U L 
Vamos considerar os blocos. Observem que as letras CAP ficaram juntas formando um únicobloco. Assim, 
teremos uma permutação dentro do bloco ( P3 = 3! = 6) e uma permutação dos 6 blocos: 
 
 
 
 
P3 = 3! = 6 
 
 P6 = 6! = 720 
 
Portanto, são 6 . P6 = 6. 6! = 6 . 720 = 4 320 anagramas. 
O 
Resolução: 
 Como o P e o A já têm lugares marcados, vamos permutar apenas as outras 6 letras 
 
 1 . . . . . . . 1 = 
 
 
 
 
 
 
Portanto, são 720 anagramas. 
Apenas uma 
possibilidade a 
letra P 
Apenas uma 
possibilidad
e a letra A 
 P6 = 6! = 720 
Resolução: 
𝑃4
𝑃2 . 𝑃2
=
4!
2! .2!
=
4 .3 .2!
2 . 1 .2!
= 6 
Vamos considerar os blocos. Observem que as letras CAP ficaram juntas formando um único bloco. Assim, 
teremos uma permutação dos 6 blocos: 
 
 
 
 
 
 P6 = 6! = 720 
 
Portanto, são 720 anagramas. 
CAP I T U L O 
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