Apostila de Elementos de Máquinas

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Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
 
 
 
 
Faculdade de Tecnologia de Sorocaba 
 
 
Elementos de Máquinas 
 
 
 
 
Prof. MSc. Francisco de Assis Toti 
 Prof. MSc. Luiz Alberto Bálsamo 
 
Fevereiro de 2011 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
 
 
 
 
Faculdade de Tecnologia de Sorocaba 
 
 
Objetivo 
 
Este material didático objetiva apresentar os principais elementos de 
máquinas, quanto a sua aplicação (posicionamento, fixação e funcionalidade) 
em conjuntos mecânicos. Para isso, é necessário o desenho técnico mecânico 
para a sua interpretação. 
 
 
Introdução 
 
Um elemento mecânico pode ser componente de um subconjunto ou 
conjunto estático ou dinâmico de uma determinada máquina, sendo 
dimensionado e selecionado de acordo com os critérios da resistência dos 
materiais. Assim sendo, estudaremos: 
- os elementos de uniões desmontáveis e não desmontáveis; 
- os elementos aplicados nas transmissões de potência (engrenagens, polias, 
correias, chavetas, acoplamento); 
- mancais de rolamento e deslizamento; 
- Lubrificação e vedação 
 
 
 
 
 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
1 – Elementos de uniões 
1.1 Uniões desmontáveis 
Quando ocorre a desmontagem dos elementos de fixação que unem partes 
e não apresentam nenhuma avaria e podem ser reaproveitados na nova 
montagem. Cabe ressaltar que, em algumas montagens, por questão de 
critério de projeto (atingiram a fase elásto-plástica) os elementos podem ser 
substituídos por novos. Ex: parafusos, arruelas, porcas, chavetas, pinos, 
grampos. Os Parafusos, porcas e arruelas são de suma importância na união e 
fixação dos mais diversos elementos de máquina. A especificação completa de 
um parafuso e sua porca englobam o material, tratamento térmico, 
dimensionamento, tolerâncias, afastamentos e acabamento. 
- Parafusos 
As principais vantagens dos parafusos são o baixo custo e a facilidade de 
montagem e desmontagem. É formado por um corpo cilíndrico roscado e por 
uma cabeça que pode ser hexagonal, sextavada, quadrada ou redonda. Em 
geral, os parafusos são fabricados em aço de baixo e médio teor de carbono, 
entretanto, dependendo da aplicação utilizam-se os aços (de alta resistência 
à tração, aço-liga, inoxidável), latão dentre outros. Em alguns casos, os 
parafusos são protegidos contra a corrosão por meio de galvanização ou 
cromagem. O processo de sua fabricação pode ser por usinagem ou 
forjamento. A figura 01 mostra o desenho (modelo 3D) do parafuso com cabeça 
sextavada. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01 – Parafuso sextavado (modelo 3D) 
 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
A figura 02 mostra o desenho 2D do parafuso com cabeça sextavada com 
representação simplificada da rosca. 
 
 
 
Figura 02 – Parafuso sextavado (desenho 2D). 
 
 
A tabela 1 mostra informações técnicas para uso orientativo da classe de 
resistência dos parafusos da série métrica e em polegada, conforme normas. 
 
Tabela 1- Classe de resistência de parafusos. 
 
 
A tabela 2 mostra informações técnicas para uso orientativo da classe de 
resistência das porcas da série métrica, conforme norma. 
 
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Tabela 2 - Classe de resistência de porcas. 
 
 
- GEOMETRIIA DE ROSCAS 
 
Os elementos principais que definem uma rosca cilíndrica e devem ajustar 
entre si são: 
 
- diâmetro maior (externo) d, D 
- diâmetro do menor (mínimo) d1, D1 
- diâmetro de flancos d2, D2 
- passo p 
- ângulo da rosca 
 
Obs: letras minúsculas para o parafuso, maiúsculas para a porca. 
 
 
Figura 3 – Representação de união parafuso e porca. 
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 A figura 4 mostra o perfil básico para a maior parte das roscas comuns. 
 
Figura 4 – Representação do perfil básico de rosca. 
 
Obs: A crista e a raiz da rosca podem ser arredondadas para evitar 
concentração de tensões. 
 A figura 5 mostra os tipos de roscas mais usuais 
 
 
Figura 5 - Tipos de roscas mais usuais. 
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A seguir algumas observações sobre roscas: 
- Os termos grossa e fina não têm relação com acabamento superficial ou 
qualidade. São padrões para os passos. Roscas grossas são usadas na 
maioria dos casos práticos. 
- Na cotagem de roscas para elementos de fixação, a primeira indicação deve 
ser sobre o perfil do filete da rosca, como segue: 
 
-Triangular métrica M 
- Whitworth W 
- Whitworth Gás WG 
- Unificada grossa UNC 
- Unificada fina UNF 
- Unificada extra-fina UNEF 
M2 - rosca triangular métrica de diâmetro 2mm, (passo normal) 
W1/2” - rosca Whitworth de diâmetro 1/2”, de passo normal (12 fios/polegada) 
UNC 1/2” - rosca unificada grossa de diâmetro 1/2”, de passo normal (13 
fios/polegada). 
 
- O sentido de enrolamento da hélice só deve ser indicado quando a rosca for 
esquerda (símbolo LH de Left 
Hand) 
 
 
Exemplo : 
 
M12x5,25 LH - rosca esquerda 
M12 - rosca direita 
M12 LH - rosca esquerda 
M12x1 - rosca direita 
 
 
 
 
A tabela 3 mostra as principais dimensões do parafuso sextavado com rosca 
até a cabeça. 
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Tabela 3 – Dimensões principais do parafuso sextavado com rosca próxima a cabeça – DIN 933. 
 
 
d 
 
B 
 
S 
 
E 
(2.d) 
 
L 
 
M4 
 
2,8 
 
7 
 
- 
 
 
 
 
M5 
 
3,5 
 
8 
 
- 
 
 
 
 
M6 
 
4 
 
10 
 
- 
 
 
 
 
M8 
 
5,3 
 
13 
 
- 
 
 
 
 
M10 
 
6,4 
 
17 
 
- 
 
 
 
 
M12 
 
7,5 
 
19 
 
- 
 
 
 
 
M14 
 
8,8 
 
22 
 
- 
 
 
 
 
M16 
 
10 
 
24 
 
- 
 
 
 
 
 
M20 
 
12,5 
 
30 
 
- 
 
 
 
 
 
8 35,50 59,25 
10 39,00 50,40 57,55 
12 43,25 53,90 60,20 115,95 
16 49,50 58,90 67,15 130,10 240,30 
20 56,75 65,40 74,15 144,25 261,80 529,40 
25 67,75 75,50 84,15 163,85 293,65 430,10 
30 76,25 84,70 93,70 185,15 321,75 473,75 692,30 925,80 
35 85,25 92,55 103,45 207,75 352,90 501,20 751,05 1.003,65 
40 93,25 101,05 114,50 221,95 383,15 559,60 823,30 1.088,502.697,80 
45 125,75 240,20 413,25 591,20 883,20 1.173,95 
50 110,50 124,65 135,25 256,30 440,00 648,80 929,10 1.240,05 3.062,50 
55 146,15 277,90 474,45 676,10 991,70 1.328,80 
60 180,39 157,40 296,45 502,75 707,40 1.049,40 1.413,35 3.427,73 
65 236,95 314,90 535,25 772,35 1.130,88 1.485,25 
70 253,93 344,75 563,40 816,35 1.158,35 1.565,10 3.755,50 
75 267,40 356,25 594,15 858,65 1.292,50 1.687,50 
80 282,80 375,55 625,80 907,80 1.292,55 1.717,95 4.146,98 
90 425,60 682,30 990,65 1.412,20 1.878,00 4.513,25 
100 450,35 745,70 1.063,90 1.532,25 2.047,65 4.879,00 
120 1.063,25 
 
 
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- Porcas 
São utilizadas para dar aperto nas uniões de peças ou, em alguns casos, 
para auxiliar na regulagem. A figura 6 mostra vários tipos de porcas sextavadas 
e a tabela 4 mostra as principais dimensões da porca sextavada comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Tipos de porcas sextavadas. 
 
Tabela 4 – Dimensões principais da porca sextavada comum – DIN 934. 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO m S e (2.d1) 
M2,5 MA-0,45 2,0 5,0 - 
M3 MA-0,50 2,4 5,5 - 
M4 MA-0,70 3,2 7,0 - 
M5 MA-0,80 4,0 8,0 - 
M6 MA-1,00 5,0 10 - 
M8 MA-1,25 6,5 13 - 
M10 MA-1,50 8,0 17 - 
M12 MA-1,75 10 19 
M14 MA-2,00 12 21 
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- Arruelas 
 
São utilizadas em montagens para proteção da superfície das peças e 
evitar deformações nas superfícies em contato. A figura 7 mostra arruelas 
planas de várias dimensões e a tabela 5 mostra as dimensões principais 
conforme norma DIN 125. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7- Arruelas planas de várias dimensões. 
 
 
Tabela 5 – Dimensões principais da arruela plana – DIN 125. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ø d1 d2 S 
M3 3,2 7 0.5 
M4 4,3 9 0.8 
M5 5,3 10 1,0 
M6 6,4 12 1,6 
M8 8,4 16 1,6 
M10 10,5 20 2,0 
M12 13 24 2,5 
M14 15 28 2,5 
M16 17 30 3,0 
M20 21 37 3,0 
M24 25 44 4,0 
M30 31 56 4,0 
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Abaixo estão as normas de parafusos, porcas, arruela e roscas mais usuais 
nas uniões desmontáveis. 
 
ABNT NBR 5876/1988 - Roscas – Terminologia 
ABNT NBR 9527/1986 – Rosca Métrica ISO – Procedimento 
ABNT CB 206/1991 – Tipos e Aplicações 
ASME B1.5: 1997 – Roscas ACME 
ASME B1.1: 1989 – Roscas Unificadas 
British Standard 93: 1951 – Roscas B.A. 
British Standard 84: 1956 – Roscas B.S.W. e B.S.F. 
DIN ISO 228-1: 1994 – Roscas G 
DIN 11 _ Rosca Whitworth 
DIN 13 _ Roscas métricas 
DIN 74 _ Furos escareados, rebaixados para parafusos 
DIN 76 _ Saídas de roscas externa e interna 
DIN 78 _ Pontos sobressalentes dos parafusos 
DIN 84 _ Parafuso cabeça cilíndrica com fenda 
DIN 103 – Roscas Trapezoidais 
DIN 125 - Arruela plana 
DIN 126 _ Arruela plana bruta 
DIN 127 _ Arruela de pressão 
DIN 137 _ Arruela ondulada 
DIN 259 _ Rosca Whitworth para tubos 
DIN ISO 273 - Furo de passagem para parafuso 
DIN 336 _ Diâmetro de broca para furo roscado 
DIN 433 _ Arruela plana para parafuso Allen e cabeça redonda 
DIN 439 _ Porca sextavada baixa (contra-porca) 
DIN 912 _ Parafuso Allen 
DIN 914 _ Parafuso Allen sem cabeça 
DIN 929 _ Porca sextavada para soldar 
DIN 931 _ Parafuso sextavado comum 
DIN 933 _ Parafuso sextavado rosca próxima 
DIN 934 _ Porca sextava comum 
DIN 938 _ Prisioneiro para aço 
DIN 939 _ Prisioneiro para ferro fundido (fofo) 
DIN 963 _ Parafuso cabeça escareada com fenda 
DIN 964 _ Parafuso cabeça oval com fenda 
DIN 965 _ Parafuso cabeça escareada com fenda em cruz 
DIN 980 _ Porca auto-atarraxante 
 
 
 
 
 
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- Seleção do L e do diâmetro (dc) do parafuso. 
Para a seleção do L (comprimento) do parafuso, bem como, o seu d 
diâmetro aproximado, é necessário considerar as partes que serão unidas e as 
forças atuantes. Como exemplo, consideraremos a união desmontável de duas 
chapas com furos passantes, fixadas pelo parafuso e porca sextavada, 
conforme mostra a figura 8. 
 
Figura 8 – união desmontável de duas chapas. 
Primeiramente será selecionado o comprimento L do parafuso, conforme 
mostra a figura 9. 
L
 
d
e
 a
p
e
rt
o
L
C
h
. 
0
1
C
h
. 
0
2
 
Figura 9 – união desmontável de duas chapas em corte. 
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Especificação: Parafuso sextavado M6x30 DIN 931-5,6 
 Porca sextavada M6 DIN 934 
 Arruela 6,4 DIN 125 
 
Para determinar o diâmetro aproximado do parafuso, será utilizada uma 
sequência de processo, conforme descrito abaixo: 
- quando ocorre o aperto, o corpo do parafuso situado entre a cabeça e o 
primeiro fio de rosca (porca), sofre um estiramento, ou seja, está submetido a 
uma força de tração, conforme mostra a figura 10a. 
- as chapas que estão sendo fixadas e a arruela, sofrem uma força de 
compressão, conforme mostra a figura 10b. Para esse exemplo, foi 
considerado que o material das chapas é o aço SAE 1020. 
L
 
d
e
 a
p
e
rt
o
F
 a
p
.
F
 c
o
m
p
.
 
(a) (b) 
Figura 10 – Força atuante de tração (a). Força atuante de compressão (b). 
 
Obs: neste exemplo, a força também será considerada como estática e 
concêntrica, não sendo necessária a aplicação de fator, em função do modo de 
atuação da força nas chapas, bem como, não será analisado o efeito da fadiga. 
- para analisar o gráfico de força versus deformação do parafuso e das 
chapas ligadas em função do tempo, conforme mostra a figura 11, é importante 
definir plasticidade e elasticidade. 
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F ap.
Deformação
F
o
rç
a
 
Figura 11- Forças versus deformação do parafuso e elementos ligados em 
função do tempo. 
Em geral, os materiais, dependendo do campo de tensões aplicadas, 
podem apresentar comportamento elástico e/ou plástico. De acordo com 
Meguid [4], a plasticidade pode ser descrita como sendo o comportamento de 
corpos sólidos que se deformam permanentemente sob a ação de cargas 
externas. A elasticidade pode ser descrita como o comportamento reversível 
dos sólidos, que retorna à sua forma original imediatamente quando as cargas 
externas são removidas. Com isto, pode-se dizer que a tensão que separa o 
comportamento elástico do plástico do material é o seu limite de escoamento 
[5]. A figura 12 mostra esquematicamente o limite de escoamento 
convencional na curva tensão-deformação de engenharia de uma liga metálica. 
 
 
Figura12 - Curva tensão-deformação de engenharia [6]. 
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- como já foi definido o tipo de união, e a força máxima de projeto que o 
parafuso deverá suportar é Fmax = 12500 N, seleciona-se o dc, a classe de 
resistência do parafuso e o Sp, utilizando a tabela 6. 
Tabela 6 - Classe de resistência para parafusos de aço para vários tamanhos 
de parafusos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- em seguida, seleciona-se a área resistente At do parafuso métrico, 
conforme mostra a tabela 7. 
 
Tabela 7 - Dimensões e áreas resistentes para parafusos métricos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Metric grade
Crest
diameter, dc,
mm
Ultimate
tensile
strength, Sut,
MPa
Yield
strength, Sy,
MPa
Proof
strength, Sp,
MPa
4.6
4.8
5.8
8.8
9.8
10.9
12.9
M5-M36
M1.6-M16
M5-M24
M17-M36
M1.6-M16
M6-M36
M1.6-M36
400
420
520
830
900
1040
1220
240
340a
415a
660
720a
940
1100
225
310
380
600
650
830
970
aYield strength approximate and not included in standard.
 Coarse Threads (MC) Fine Threads (MF) 
Crest 
diameter, 
dc, mm 
 
Pitch, p, 
mm 
Tensile 
stress area, At, 
mm
2
 
 
Pitch, p, 
mm 
Tensile 
stress area, At, 
mm
2
 
1 
1.6 
2 
2.5 
3 
4 
5 
6 
8 
10 
12 
16 
20 
24 
30 
36 
42 
48 
0.25 
0.35 
0.4 
0.45 
0.5 
0.7 
0.8 
1 
1.25 
1.5 
1.75 
2 
2.5 
3 
3.5 
4 
4.5 
5 
0.460 
1.27 
2.07 
3.39 
5.03 
8.78 
14.2 
20.1 
36.6 
58.0 
84.3 
157 
245 
353 
561 
817 
1121 
1473 
- 
0.20 
.25 
.35 
.35 
.5 
.5 
.75 
1 
1.25 
1.25 
1.5 
1.5 
2 
2 
3 
- 
- 
- 
1.57 
2.45 
3.70 
5.61 
9.79 
16.1 
22 
39.2 
61.2 
92.1 
167 
272 
384 
621 
865 
- 
- 
 
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- calcula-se a força de aperto em função do Sp e At ,conforme descrito abaixo. 
 
 FAP = Sp . At 
 
- para uniões desmontáveis 
 Fmax = 0,75 . FAP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2 Uniões não desmontáveis 
Das uniões não desmontáveis tem-se como exemplos: 
 
-Rebite 
 
 
 
 
 
 
Quando a força atua praticamente na seção, ou seja, ela não provoca 
nenhum momento na seção, é considerado somente o cisalhamento simples, 
conforme mostra a figura 13, onde três chapas foram unidas pelo processo de 
rebitagem. 
τ= Força 
 Área 
 
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F
F/2
F/2
 
Figura 23 - Chapas unidas pelo processo de rebitagem. 
 
 
-Soldagem 
 
Uma solda é fabricada pela união de metais em várias formas. O critério 
para a escolha de um procedimento de soldagem deve incluir a necessidade de 
estabelecer o balanço ótimo entre o custo de realização, a qualidade do 
depósito e a segurança dos operadores (Wainer et al, 1992). Para os 
elementos de máquinas mais comuns a maioria das soldas são filetes. A figura 
14 mostra as chapas unidas pelo processo de soldagem num filete transversal 
 
F
F/2
F/2
L hh
 
34 - Chapas unidas pelo processo de soldagem num filete transversal. 
 
Esta tensão pode ser dividida em dois componentes, a tensão de 
cisalhamento  e a tensão normal x. 
 
 
Onde: 
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A = h. L. cos45° = h . L . 0,707 
L (comprimento da solda) 
x = F/A = F / h . L . 0,707 
 = x = F/ h . L . 0,707 
 
 = F / 0.707 . h. L (considerando 01 filete) 
 
 
 
A figura 15 mostra as chapas unidas pelo processo de soldagem numa 
típica junta de topo. 
 
FF
h
L
 
 
Figura 45 - Chapas unidas pelo processo de soldagem numa típica junta de 
topo. 
 
 
Onde:  = F / h . L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 56 - Direções principais da placa forjada, mostrando a orientações dos 
corpos de prova segundo as orientações de carregamento e propagação de 
trinca [07]. 
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67 - Montagem tridimensional das principais direções metalográficas L, S, T, da 
liga de alumínio 7475 T7351. [08]. 
 
Figura 78 -.Detalhe de chapa soldada. 
 
 
Figura 18 – Macrografia da solda feita com eletrodo tubular e fluxo SFA/AW 
A5.17F6A4-EL12 [09]. 
 
 
 
 
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(a) 
 
(b) 
Figura 19 – Interior da Estação da Luz na cidade de São Paulo (a). Detalhe da 
estrutura em aço rebitada (b). 
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Exercício: Para a junta rebitada abaixo determinar o diâmetro do rebite DR, 
sabendo que: 
- adm do material da chapa é superior ao do material do rebite 
- adm do material do rebite é 15 kgf/mm
2. 
- h = 6,36 mm; L = 60 mm; F = 1500 kgf ; 
- N = no de rebites = 4 ; df = diâmetro do furo 
 
 Força ≤ σadm 
 (L . h ) – (N . h . df) 
 
L
h
*
F F
 
Figura 20 – Junta rebitada. 
 
Figura 21 – ilustração de uma chapa com furos. 
h 
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A determinação de tensões é um importante passo para o desenvolvimento 
de um determinado produto, tendo como objetivo prever o seu comportamento 
sob condições de cargas específicas. Sendo assim é necessário saber como o 
material empregado vai atuar sob as condições de carregamento, seja na 
tração, compressão, flexão, cisalhamento ou torção. Para cada tipo de material, 
isto pode ser determinado através de uma série de ensaios específicos a cada 
tipo de solicitação, de onde obtemos dados importantes como tensões de 
escoamento e ruptura. 
 
 
Tensão Admissível adm 
 
No projeto de um elemento de máquina, deve-se considerar que, em condições 
normais de operação/trabalho, o carregamento seja menor que o valor que o 
material possa suportar. A tensão admissível, nada mais é do que uma tensão 
abaixo da tensão de proporcionalidade, sendo a máxima tensão a ser aplicada 
em condições normais de trabalho. Assim, caso haja um carregamento além donormal, não será atingida a tensão de proporcionalidade. 
 
 
 
 
- Eixos-árvores 
 
O termo eixo usualmente se refere a um componente rotativo, 
relativamente longo de seção transversal circular que gira e transmite potência. 
Sobre ele estão montados elementos tais como rodas dentadas, polias, cames, 
rolamentos, entre outros, e são usualmente conectados por meio de pinos, 
chavetas, anéis e outros dispositivos. Um eixo não necessariamente tem uma 
seção circular e também, não necessariamente gira. Ele pode ser estacionário 
e servir de suporte para elementos girantes. Surge daí, dois termos comumente 
utilizados: eixos e árvores, cuja diferença encontra-se essencialmente no tipo 
de carregamento a que estão sujeitos. Uma árvore é um elemento rotativo ou 
estacionário, geralmente de seção circular, que tem montados sobre si 
elementos para a transmissão de potência. As árvores podem estar submetidas 
a esforços de flexão, torção, tração ou compressão axial, atuando 
isoladamente ou em conjunto [13]. Quando esses esforços atuam de maneira 
combinada deve-se considerar a resistência a fadiga e as cargas estáticas 
como fatores importantes no projeto já que, a árvore poderá estar submetida a 
tensões estáticas, a tensões completamente reversíveis e a tensões repetidas, 
todas atuando simultaneamente. Um eixo, por sua vez, é um elemento rotativo 
ou estacionário não sujeito a carga de torção. A figura 22 mostra exemplos 
esquemáticos de eixos e árvores. 
 
 
 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
 
Figura 22 – Exemplos de eixos e árvores [13]. 
 
 
 A verificação à rigidez contempla em geral, dois aspectos: 
 - rigidez à torção – aos ângulos de torção são limitados a certos valores 
estabelecidos empiricamente. 
 - rigidez à flexão - as flechas são limitadas a certos valores máximos que 
condicionam o bom funcionamento dos elementos montados sobre eles. 
 
Para o cálculo de eixo-árvore à rigidez à torção deve-se considerar: 
 
Mt = 716200 . (N / n) [kgf.mm] 
 
Ou 
 
Mt = 7026 . (N / n) [N.m] 
 
Onde; 
 N: potência transmitida [cv] 
 n: rotação [rpm] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um eixo pode ter sua seção constante ao longo do seu comprimento (L), 
ou pode apresentar duas ou mais seções diferentes ao longo do seu 
comprimento (L), ao qual, denominasse eixo escalonado. A figura 23 mostra 
um eixo de seção constante e um eixo com seções diferentes (escalonado). 
 
 
 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
Figura 23 – Eixo de seção constante (a). Eixo escalonado (b). 
 
 
A união de um eixo com um cubo pode ser, por exemplo, desmontável 
(encaixada ou por atrito) ou não desmontável (soldagem). Das uniões 
desmontáveis, destacam-se as chavetas que são usualmente utilizadas com as 
seguintes geometrias: 
 
- paralela; inclinada; cônica, meia lua e tangencial. 
 
 
As chavetas paralelas podem ser fabricadas dos tipos A e B, conforme mostra 
a figura 24. 
 
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(a) 
 
 
 
(b) 
 
Figura 24 – Chaveta paralela do tipo A (a). Chaveta paralela do tipo B (b). 
 
 
Para o seu dimensionamento deve-se levar em consideração: 
 
- os esforços atuantes (esmagamento e cisalhamento); 
- o diâmetro do eixo; 
- materiais (da chaveta, do eixo e do cubo). 
 
Fatores de segurança (FS) depende do tipo de carregamento. 
 
FS = 2 para carregamento uniforme; 
FS = 3 para carregamento Intermitente; 
FS = 6 para carregamento reverso ou com choques. 
 
Suas dimensões são normalizadas conforme a norma DIN 6885, onde: 
 
- L = comprimento *; 
- b = largura da chaveta; 
- h = altura da chaveta; 
- t1 = ranhura no eixo; 
- t2 = ranhura no cubo; 
 
 
As figuras 25 e 26 mostram as ranhuras no eixo para as chavetas do tipo A e B 
respectivamente 
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Figura 25 – Eixo escalonado com ranhura para a chaveta do tipo A. 
 
 
 
 
 
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Figura 26 – Eixo escalonado com ranhura para a chaveta do tipo B. 
 
 
A figura 27 mostra a ranhura no cubo de uma chaveta de uma engrenagem de 
dentes retos. As Figuras 28 e 29 mostram a montagem em 3D e a vista 
explodida, respectivamente da união eixo-cubo através de uma chaveta 
paralela. 
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Figura 27 – Ranhura no cubo de uma chaveta de uma engrenagem de dentes 
retos. 
 
 
 
Figura 28 – Montagem em 3D da união eixo-cubo 
 
 
 
Figura 29 – Vista explodida da união eixo-cubo. 
 
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- Dimensionamento da chaveta paralela: 
 
 
 
 
 
Por esmagamento, 
 
 
 
Por cisalhamento, 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 – Tabela com dimensões padronizadas para chavetas paralelas - 
DIN 6885. 
 
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ENGRENAGENS: Conceitos e aplicações 
 
Engrenagens são elementos de máquinas utilizados para transmissão de 
potência entre os eixos e eixo-árvore que podem ser paralelos, concorrentes ou 
reversos. Suportam grandes esforços, servindo também para a variação de 
velocidades desde valores mínimos até máximos. Quanto à sua forma 
(geometria externa) podem ser cilíndricas e cônicas e a forma dos dentes 
podem ser retos ou helicoidais. 
 
 
Figura 31- Engrenagem cilíndrica de dentes retos (modelo 3D gerado pela 
evolvente - Toti, 2008). 
 
 
 
Figura 32 – Detalhe do sistema de engrenamento de pinhão e coroa com 
engrenagens cônicas junto com engrenagens cilíndricas de 
dentes helicoidais.(Feira da Mecânica 2006 – Stand da Aubert) 
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Figura 33 – Redutor de Velocidades de eixo com rosca sem fim e coroa – eixos 
concorrentes. (fonte: Guia de Produto Transmotécnica). 
 
 
 
Figura 34 – Protótipo real do eixo sem-fim de quatro entradas. 
 
 
 
 
Figura 35 – Pinhão e coroa hipoidais com dentes curvos e eixos reversos. 
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Relação de Transmissão 
 
Na transmissão por engrenamento o movimento de um par de engrenagens 
(motora e movida), a primeira recebe esse nome, pois é ela que realiza o 
movimento, isto é, a ação, e a segunda é conduzida por ela. 
Nesse caso, a relação de transmissão é definida pela relação entre os 
diâmetros das engrenagens que compõe o sistema. Em um sistema de 
engrenamento é dado o nome de pinhão a engrenagem com o diâmetro menor 
e a engrenagem com o diâmetro maior é chamada de coroa. 
Assim, tem-se a relação de transmissão: 
 
i = diâmetro da roda maior / diâmetro da roda menor ou, 
i = roda de rotação maior / roda de rotação menor 
 
A letra Z é tradicionalmente usada para indicar o nº de dentes das 
engrenagens. 
 
 
 
 
Figura 36 – Geometria dos dentes da engrenagem. 
 
Onde: 
 
De = diâmetro externo 
Di = diâmetro interno 
Dp = diâmetro primitivo 
da = diâmetro do alívio 
dc = diâmetro do cubo 
de = diâmetro do eixo 
a = espessura da alma 
p = passo 
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v = vão do dente 
e = espessura do dente 
ha = altura da cabeça (adendo) 
hd = altura do pé (dedendo) 
L = largura do dentado 
Lc = largura do cubo 
 
Desenvolvendo a engrenagem pelo diâmetro primitivo, tem-se: 
 
 
 
 da = de – 2(2,25m + a) 
 
 dc = 1,6de + 2t2 
 
 
Tabela 8 – Módulos padronizados conforme Norma DIN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: O número de dentes num par de engrenagens é distinto para cada 
engrenagem, sendo assim, necessário calcular o módulo para cada quantia de 
dentes e seu respectivo fator “q” e interpolar os resultados se aproximando de 
um módulo normalizado que atenda ambas as engrenagens. 
 
 
 
Módulos Normalizados – DIN 780 
0,3 [0,35] 0,4 [0,45] 0,5 [0,55] 0,6 [0,65] 
0,7 0,8 0,9 1 1,25 1,5 1,75 2 
2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 
4,5 5 5,5 6 6,5 7 8 9 
10 11 12 13 14 15 16 18 
20 22 24 27 30 33 36 39 
42 45 50 55 60 65 70 75 
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Cálculo do Módulo 
 
 Para a fabricação de uma engrenagem deve se determinar, dentre 
outros cálculos, o valor do Módulo (m), que é o espaço entre os dentes no 
Sistema Internacional (SI), sendo as unidades calculadas em milímetros. No 
sistema USCS (United States Customary System), a proximidade entre os dentes 
é medida por uma quantidade chamada de passo diametral ou diametral pitch 
(Pd )*. O módulo e o “diametral pitch” são dimensões que não são diretamente 
medidas numa engrenagem. Eles são utilizados como valores de referência 
para cálculos de outras dimensões das engrenagens que, por sua vez, são 
mensuráveis. Em alguns casos o módulo é obtido através da relação (Dp / Z), 
onde Dp é o diâmetro primitivo da engrenagem (ou seja, o diâmetro de contato 
entre os dentes de duas engrenagens) e Z é o número de dentes. Contudo, 
essa relação se emprega no caso de um diâmetro já definido. Caso contrário 
esse módulo, deve ser determinado através de outros fatores, como o do 
critério de cisalhamento no pé do dente da engrenagem, que é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde; 
 Mt: Momento torçor [kgf . mm] 
 q: Fator de correção de engrenamento 
 σadm: Tensão admissível do material da engrenagem [kgf/mm²] 
 Z: Número de dentes da engrenagem 
 B: Largura da engrenagem [mm] 
 
 O fator de correção “q” depende do tipo de engrenamento e do número 
de dentes da engrenagem e deve ser adotado, conforme mostrado na Tabela 6 
 
Tabela 9 – Fator de correção para engrenamento externo e interno 
 
 
 
 
 
Fator de Correção (q) para Engrenamento Externo 
Z (nº de Dentes) 12 13 15 17 20 30 40 50 
 
>60 
 
q 
4,5 4,3 3,9 3,6 3,3 3,1 2,9 2,7 2,6 
3 
 5 . Mt . q 
σadm . Z . B 
m = 
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Esse fator é levado em conta também para a análise de resistência da 
engrenagem. O esforço que ocorre no engrenamento causa no dente da 
engrenagem forças cortante e normal, tal que o material escolhido para a 
fabricação da engrenagem deve ter uma tensão admissível que atenda a 
solicitação. 
 
Obs: não consideramos neste estudo o modo de falha de engrenagem por fadiga de contato 
(“pitting”). 
* este nome é mantido em inglês na literatura por tratar-se de medida inglesa, refere-se à variável 
determinante de dentes por polegada do diâmetro primitivo. Corresponde ao módulo do sistema 
métrico. 
 
 
 
Além da tensão admissível, é levada em consideração a dureza do 
material, pois na análise do desgaste do flanco do dente, a dureza é um fator 
de grande importância. A Tabela 10 mostra a relação de dureza e tensão 
admissível entre alguns materiais e alguns tratamentos térmicos usuais na 
fabricação de engrenagens. 
 
Tabela 10 – Relação entre dureza e σ adm de materiais para construção de 
engrenagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator de Correção (q) para Engrenamento Interno 
 
Z (nº de Dentes) 20 30 40 50 100 >200 
 
q 
1,7 1,9 2 2,1 2,3 2,4 
Material Tratamento Térmico σ adm (kgf / mm²) HB (kgf / mm²) 
SAE 1020 B.L 21 
SAE 1045 Normalizado 13 170 
SAE 1045 Temperado Total 15 250 
SAE 1045 Temperado Superficial 13 170 – 450 
SAE 4340 Temperado Total 25 300 
SAE 4340 Temperado Superficial 18 170 – 450 
SAE 8620 Cementado 15 600 
SAE 8640 Temperado Total 20 350 
SAE 8640 Temperado Superficial 14 170 – 500 
FoFo - 4 150 
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Danos ocorrentes nos dentes de engrenagem 
 
 O formato dos dentes de uma engrenagem é definido matematicamente 
e usinado com precisão, de acordo com Normas padronizadas possuem 
inúmeras fórmulas que permitem calcular, ou melhor, estimar quais são os 
esforços que uma determinada engrenagem sofre em uma dada condição de 
operação. Com isto é possível dimensionar as engrenagens para suportarem 
as cargas de operação. Entretanto, esforços calculados não são 
necessariamente esforços reais [05]. Dudley sugere que a melhor maneira 
de se descobrir o quanto de carregamento que uma engrenagem pode suportar 
é construindo e testando um protótipo da mesma. As figuras 37 e 38 mostram 
dois protótipos de uma engrenagem sendo construída pelos métodos de adição 
e remoção de material respectivamente [06], os quais serão abordados mais 
adiante. 
 
Figura 37 – Construção pelo método de deposição de material fundido - Fused 
Deposition Modeling (FDM). 
 
 
Figura 38 – Construção pelo método de remoção de material. 
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Vários são os fatores que influenciam na durabilidade das engrenagens, 
os mais compreensíveis são aqueles relacionados ao tipo de material e à 
macro-geometria das engrenagens, composta pelosseguintes valores: 
distância entre centros, ângulo de pressão, largura dos dentes e ângulo de 
hélice (para o caso de engrenagens helicoidais), entre outros. Contudo, alguns 
outros fatores, tais como, concentradores de tensões (raio de arredondamento 
na raiz do dente), tensões residuais associadas ao processo de fabricação e o 
acabamento superficial do dente, influenciam na durabilidade de uma 
engrenagem, porém seu efeito é mais difícil ser estimado teoricamente. O 
desalinhamento entre dois dentes em contato ocasiona uma distribuição de 
carregamentos não uniforme o que também influencia na durabilidade dos 
dentados [05]. 
Para dentes de engrenagens de dentes retos o valor do ângulo de 
pressão comumente utilizado é o de 20°, pois apresenta um bom compromisso 
em termos de capacidade de carga e transmissão de potência de maneira 
suave e silenciosa. Além disso, o ângulo de pressão de 20° permite a 
construção de engrenagens com um número reduzido de dentes evitando 
problemas como o “undercutting”, problemas estes mais freqüentes com 
ângulos de pressão menores [07]. Alguns efeitos de se aumentar o valor do 
ângulo de pressão são abordados a seguir [08]: 
• O número limite de dentes necessários para se evitar o “undercutting”é 
reduzido. 
• A forma do dente torna-se mais pontuda. 
• O flanco do dente torna-se mais curvo. 
• A velocidade relativa de escorregamento é reduzida. 
• O grau de recobrimento é reduzido*; 
• A capacidade de carga do dente aumenta. 
 
Para evitar concentrações de tensões na raiz do dente o raio mínimo do 
perfil básico deve ser de 0,209/Pd e 0,235/Pd para engrenagens com ângulos 
de pressão (θ) de 14,5º e 20º respectivamente [09]. 
 
 
 
* O grau de recobrimento, ou o número de dentes em contato, é o quociente do arco de ação 
dividido pelo arco entre sucessivos dentes de engrenagem. O grau de recobrimento é um outro 
fator importante para o projeto de engrenagens. 
 
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Existem três maneiras genéricas segundo as quais um elemento de máquina, 
pode deixar de cumprir as funções para as quais foi projetado: 
 - Deformação plástica excessiva 
 - Escoamento ou deformação plástica excessiva 
 - Fratura 
 
 Para executar um bom projeto é importante ter-se conhecimento dos 
tipos mais comuns de falhas possíveis de ocorrer, porque é sempre necessário 
relacionar as cargas e dimensões do componente com alguns parâmetros de 
significância para o material, que limita a capacidade do componente para 
suportar uma carga [10]. A seguir alguns exemplos de fratura em engrenagens: 
 
 Danos por ruptura: 
 
 Ruptura violenta no pé do dente, devida a cargas bruscas na 
transmissão. 
Solução: Mediante proteção contra as sobrecargas ou por 
investigação prévia das sobrecargas possíveis, consideras no 
cálculo dos valores admissíveis de carga. 
 
 Ruptura por fadiga no pé do dente, devida à sobrecarga repetida 
superior à resistência à fadiga ou temporária, sendo que nesse 
caso, representam um papel importante os defeitos do material, 
do tratamento térmico e da fabricação e, sobretudo, o maior ou 
menor efeito de concentração de tensões no pé do dente 
(arredondamento insuficiente, raias, fissuras provenientes da 
têmpera, limitação da zona temperada no pé do dente, ou o 
pipocamento no pé do dente). 
Solução: Elevação da capacidade de carga no pé do dente, por 
exemplo; beneficiamento ou têmpera, pelo uso de um módulo 
maior ou de maior ângulo de engrenamento de serviço 
(deslocamento do perfil), por reforçamento da zona de transição 
no pé do dente (jato de esferas de aço), por eliminação dos 
pontos de concentração de tensões, por maior chanframento dos 
dentes nas faces laterais; já que, em geral, a ruptura dos dentes 
se inicia nas faces laterais; e finalmente evitando ou elevando em 
consideração, no cálculo dos valores de carga admissíveis, as 
forças adicionais. 
 
 Ruptura de canto de dente, em conseqüência de distribuição 
desigual da carga sobre a largura do dente, como exemplo, por 
desalinhamentos axiais, por erro na direção do dente ou por 
deformação elástica considerável do pinhão sujeito a carga (flexo-
torção). 
Solução: Por eliminação ou consideração dos defeitos indicados 
na fabricação, por aumento da convexidade dos flancos 
(encurvamento lateral dos dentes), por redução da largura do 
dente (principalmente em pinhões em balanço), e pelas medidas 
citadas no item anterior. 
 
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 Estilhaçamento na cabeça do dente em engrenagens temperadas 
(principalmente em engrenagens de câmbios), ou devidas a 
carregamentos com choques. 
Solução: Emprego de um material mais tenaz (convenientemente 
ligado) e redução das forças de choque. 
 
 
Danos nos flancos. Algo que se deseja é um aspecto uniformemente liso 
e sedoso nos flancos dos dentes amaciados, nos quais, a linha da 
circunferência de rolamento apenas seja fracamente visível. É recomendável o 
amaciamento dos flancos dos dentes com óleos EP (óleos hipóides), a fim de 
se obter uma boa distribuição da carga e um alisamento suficiente dos flancos 
dos dentes. Os danos mais freqüentes são: 
 
 Formação de crateras (cavitação). Trata-se de uma espécie de 
desmoronamento na zona da circunferência de rolamento e 
debaixo dela, em conseqüência da pressão local excessiva na 
presença de lubrificante. Há as cavidades de amaciamento, 
semelhantes a cabeças de alfinetes, que freqüentemente 
aparecem durante o amaciamento e que não progridem quando o 
amaciamento melhora suficientemente a distribuição das 
pressões, e as cavidades ou crateras progressivas, que são 
produzidas por uma sobrecarga local contínua, durante um tempo 
que varia de 0,1 a 20 milhões de ciclos em plena carga, e que 
ocasionam desprendimentos progressivamente maiores e mais 
numerosos nos flancos. 
Segundo o estado atual das pesquisas, a cavitação durante o 
rolamento deve ser interpretada como um fenômeno de fadiga, no 
qual, além de ser ultrapassada a alta pressão nas fissuras 
capilares, ajuda a destacar fragmentos do material, em geral, 
pode-se dizer que quanto menor for a força de atrito tangencial 
nos flancos dos dentes, tanto maior será a capacidade de carga 
dos flancos. Conseqüentemente, uma maior capacidade de carga 
pode ser conseguida por menor rugosidade, maior velocidade 
tangencial e maior viscosidade nominal do óleo. A cavitação é 
mais freqüente em aço beneficiado ou temperado, enquanto que 
em aço de menor dureza geralmente é encoberto pelo desgaste 
por deslizamento e pela formação plástica. A cavitação é 
favorecida pelo escorregamento negativo (que ocorre no pé do 
dente), provavelmente porque, nesse caso, os flancos dos dentes 
entram na zona de tensão de tração tangencial (devido à força de 
atrito) e torna possível a penetração do lubrificante, a pressão 
elevada nas fissuras capilares. 
Solução: Redução da sobrecarga local (carregamento uniforme 
nos flancos dos dentes), elevação da resistência nos flancos e a 
redação da força de atrito e emprego de um óleo mais viçoso. 
 
 Zona estriada na região da circunferência de rolamento que é 
produzida predominantemente em aços de dureza 
excessivamente baixa com limite de escoamento 
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demasiadamente baixo. 
Solução: Depende das respectivas causas(tratamento térmico 
defeituoso, fissuras da têmpera, fissuras da retifica ou defeitos do 
material). 
 
 Formação de fissuras nos flancos dos dentes, que podem causar 
desmoronamentos locais progressivos e rupturas nos pés dos 
dentes. 
Solução: Depende das respectivas causas (tratamento térmico 
defeituoso, fissuras da têmpera, fissuras da retifica ou defeitos do 
material). 
 
 Formação de sulcos e zonas de engripamento a partir da ruptura 
repetida da película do lubrificante, sendo que também o contato 
das arestas dos dentes, no inicio do engrenamento, represente 
um fator importante. 
Solução: Emprego de um óleo mais viscoso e mais refrigerado e 
principalmente de óleos EP; além disso, emprego de 
engrenamentos com menor relação por encurtamento das 
cabeças dos dentes, ou por rebaixamento correspondente dos 
flancos na cabeça do dente, ou ainda, pelo emprego de um 
módulo menor. 
 
 Aquecimento dos flancos por trabalho de atrito excessivo, ou por 
refrigeração insuficiente. 
Solução: Lubrificação e refrigeração mais eficientes (lubrificação 
por jato convenientemente disposto) e redução da potência de 
atrito (polimento dos flancos). Luis Agostinho recomenda a 
aplicação de uma rugosidade superficial para flancos de 
engrenagens de 0,3 
 
 Desgaste por deslizamento, isto é, perda excessiva de material 
nos flancos dos dentes, devida a uma associação inadequada dos 
materiais, a flancos de dente insuficientemente lisos, ou 
lubrificação escassa. Este fenômeno é observado especialmente 
em engrenagens de módulo relativamente grande e baixa 
velocidade tangencial, nas quais, a pressão reduzida do 
lubrificante e a baixa velocidade tangencial devem ser levadas em 
conta. O desgaste de deslizamento será grande, principalmente, 
se o lubrificante possuir impurezas minerais e os flancos dos 
dentes forem ásperos. 
Solução: O desgaste é mínimo em flancos de dentes temperados; 
vale 2 a 3 vezes o valor mínimo na associação de engrenagens, 
das quais, uma é temperada e a outra não e 7 a 10 vezes o valor 
mínimo com ambas engrenagens não temperadas. Consegue-se 
também reduzir o desgaste pelo uso de um lubrificante mais 
viscoso, por meio de aditivos para polimento, e pelo emprego de 
óleos EP. 
 
 Formação de rebarbas na cabeça do dente ou outras 
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deformações plásticas que indicam dureza insuficiente do 
material, em relação ao carregamento. 
Solução: Depende das respectivas causas (tratamento térmico 
defeituoso, fissuras da têmpera, fissuras da retifica ou defeitos do 
material). 
 
 Superfície ondulada (que não seja proveniente do processo de 
fabricação) ou destacamentos consideráveis dos flancos de 
dentes cementados. Em geral, a causa é ultrapassagem do limite 
de escoamento na zona de transição da têmpera. 
Solução: Depende das respectivas causas (tratamento térmico 
defeituoso, fissuras da têmpera, fissuras da retifica ou defeitos do 
material). 
[04] 
 
As figuras 39, 40 e 41 mostram alguns exemplos das avarias que podem 
ocorrer nas engrenagens. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 39 - Engrenagem cônica com ruptura nos cantos do dentes [11]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 40 - Engrenagem cilíndrica de dentes retos com ruptura na raiz do 
dente [11]. 
 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos 
 
 
Figura 41 - Engrenagem Coroa / Sem Fim apresentando desgaste e fratura 
nos dentes [06]. 
 
 
 
Engrenagem à Evolvente 
 
 
A curva evolvente é utilizada, exclusivamente, por engrenagens que tem 
como função básica transmitir potência [11]. A curva evolvente atende todos os 
requisitos construtivos de um perfil de dente de engrenagem conjugado. A 
introdução às propriedades do perfil evolvente é focada em engrenagens 
cilíndricas de dentes retos. Cabe ressaltar que, engrenagens cilíndricas de 
dentes helicoidais ou quaisquer outros tipos de engrenagens, que transmitem 
potência, utilizam a curva evolvente como sendo seu formato de perfil. A 
evolvente pode ser descrita como a curva gerada pela extremidade de um fio 
esticado que é desenrolado da circunferência de um determinado círculo, como 
indicado na Figura 42. O círculo do qual o fio é desenrolado é conhecido como 
círculo base [12]. 
 
 
Figura 42 – Curva Evolvente [12] 
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O contato entre duas curvas evolventes ocorre no ponto onde as tangentes 
destas curvas coincidem. As tangentes de ambas as evolventes são sempre 
perpendiculares às suas linhas de geração. As duas tangentes se coincidem apenas 
quando a linha de geração de uma é continuação da linha de geração da outra [1]. 
Portanto, o local dos pontos de contato entre duas evolventes é a tangente comum 
aos dois círculos base. Quando uma evolvente é girada com um movimento uniforme, 
o comprimento da linha de geração de seu ponto de tangência ao círculo base até o 
ponto Pt, conforme indicado pela Figura 43, muda uniformemente. 
 
Figura 43 - Ação de uma evolvente sobre outra evolvente [12]. 
 
 
A distância entre estas evolventes, medida ao longo de qualquer linha 
tangente ao círculo base, é sempre a mesma como indicado pela Figura 44. 
 
 
 
Figura 44- Formação de dentes de engrenagens pelas curvas evolventes [12]. 
 
Na construção de máquinas para engrenagens frontais e cônicas, usa-se 
quase que somente o engrenamento por evolvente, pois, nesse caso: 
 
 O engrenamento pode ser fabricado com precisão por meio de 
uma ferramenta simples (de flancos retos), pelo processo de 
geração; 
 Um erro na distância entre eixos não afeta o funcionamento; 
 As condições para engrenagens de séries são facilmente 
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satisfeitas; 
 Com a mesma ferramenta podem também ser fabricados 
engrenamentos com perfil deslocado; 
 A direção da força normal ao dente permanece constante. [04] 
 
 
Figura 45: Perfil ampliado da engrenagem à evolvente 
 
 
Para engrenagens com menos de 55 dentes depois de traçados os 
círculos representativos dos diâmetros primitivos (pitch), interno e externo, 
traça-se uma linha inclinada a 75º sobre a linha de centro e passando pelo 
ponto F, que é o ponto de intersecção entre a linha do círculo do diâmetro 
primitivo com a linha de centro vertical dos círculos. 
Descreve-se um círculo K-K tangente com a linha inclinada a 75º. Esse 
círculo toma o nome de círculo base. 
Acha-se o ponto G no meio dos pontos H e F. O ponto H é o ponto de 
intersecção entre a linha do círculo do diâmetro externo com a linha de 
centro vertical dos círculos. O ponto C se localiza no meio do ponto G, e do 
ponto A, sendo que esse último é o ponto central dos círculos. 
Fazendo centro em C, descreve-se um arco que se origina do ponto G 
indo até, se interseccionar com a linha do círculo base, gerando nessa 
intersecção o ponto J. 
O ponto J será o centro de um segundo arco que será gerado, cuja qual, 
será traçado para construção da cabeça do dente. Esse arco terá um raio R2 
que atinge o ponto G. 
Acha-se o ponto E entre os pontos F e D. O ponto D é o ponto de 
intersecção entre alinha do círculo base com a linha de centro vertical dos 
círculos. O ponto E esta a ⅔ de distância do ponto F. 
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O ponto B localiza no meio do ponto E, e do ponto A. Fazendo centro em 
B, descreve-se um arco que se origina do ponto E indo até, se interseccionar 
com a linha do círculo base, gerando nessa intersecção o ponto I. 
O ponto I será o centro de um arco que será gerado para traçar a parte 
do perfil compreendida entre o círculo do diâmetro primitivo e o círculo 
base. Esse arco terá um raio R4 que deverá atingir tangentemente o arco 
construído com o centro no ponto J. Concluindo assim, o perfil aproximado do 
dente da engrenagem traçada com arcos evolventes de círculos. 
 
 
Figura 46: Arcos evolventes de círculos. 
 
 
 
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Figura 47: Perfil básico aproximado do dente da engrenagem. 
 
 
 
Originando-se do ponto A uma linha inclinada (negrito na Figura 48); a 
uma distância equivalente a ¼ de t (passo), a partir da intersecção entre o perfil 
do dente e o círculo do diâmetro primitivo; encontra-se a metade do perfil do 
dente da engrenagem. 
 
 
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Figura 48: Localização da metade do perfil do dente da engrenagem 
 
 
A geração efetiva dos flancos de dentes em uma engrenagem, com 
engrenamento de evolventes, é feita em geral, com uma ferramenta que possui 
o perfil do engrenamento plano e que rola sobre a engrenagem a fabricar 
durante o movimento de trabalho (movimento de brochamento, de fresamento, 
ou de retificação), de modo que os flancos dos dentes resultam como 
evolventes da ferramenta [05]. 
 
Equações: 
 
 Ponto G; 
 
G = (Dex – Dp) / 4 
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Onde; 
Dex: Diâmetro externo da engrenagem [mm] 
Dp: Diâmetro primitivo da engrenagem [mm] 
 Ponto C; 
 
C = [(0,5 x Dp) + G] / 2 
 
 
 Ponto E; 
 
E = ⅔ x [(Dp –Cbs) /2] 
Onde; 
 Cbs: Círculo base [mm] 
 
 
 Ponto B; 
 
B = [(0,5 x Dp) – E] / 2 
 
 
 Passo T; 
 
T = m x π 
 Onde; 
 m: módulo da ferramenta [mm] 
 
 
 Dp = m x Z 
 De = m x (Z + 2) 
 Di = m x (Z – 2,33) 
 
 
 Exercício proposto 
 
 Traçar, com o auxilio de um software CAD 2D, uma engrenagem 
cilíndrica de dentes retos – ECDR com arcos evolventes de círculos, 
calculando os pontos necessários para a geração da mesma. 
 
 Diâmetro externo = 88 mm 
 Diâmetro primitivo = 84 mm 
 Diâmetro interno = 79,34 mm 
 Módulo = 2 mm 
 Z = 42 dentes 
 
 
 
 
 
 
 
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Polias 
 
São amplamente usadas em máquinas como elementos de transmissão de 
potência, apresentando alto rendimento (95 a 98%). A figura 49 mostra o 
sistema de transmissão de polias utilizando correias “V”. 
 
 
 
 
Figura 49: Sistema de transmissão por correia “V”. 
 
Destaca-se facilidade de montagem e manutenção das correias (a disposição é 
simples e o acoplamento e o desacoplamento são de fácil execução), não 
requer lubrificação e apresenta durabilidade, quando adequadamente 
projetadas e instaladas. Abaixo é apresentado os tipos de correias. 
 
 
 
 
 
 
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As correias industriais trapezoidais são fabricadas basicamente com dois 
conjuntos de perfis: o perfil Hi-Power (A, B, C, D e E) conforme mostra a figura 
50 e o perfil PW (3V, 5V e 8 V). 
 
Figura 50: Identificação da correia “V”. 
 
 
 
Figura 50: Polia com um canal em “V” com alma vazada. 
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Figura 51 – Representação do corte total aplicado no plano frontal. 
 
 
 
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Figura 52– Representação do corte total aplicado no plano frontal na vista 
ortográfica. 
 
Figura 53 – Corte composto de planos concorrentes gerados no modelo em 3D. 
 
 
 
Figura 54 – Vista em corte 2D e vista ortográfica geradas a partir do modelo 
3D da polia. 
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As figuras 55, 56 mostram as dimensões para a construção de polia perfil “V”. 
 
 
Figura 55 – dimensões dos canais das polias “V” 
 
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Figura 56 – dimensões dos canais das polias “V” do catálogo Gates. 
 
 
Seleção das Correias Trapezoidais 
 
 
1) Cálculo da potência do projeto - PHP 
 
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Tabela 11 – Fator de Serviço 
 
 
2) Escolha do perfil da correia 
 
 
 
3) Cálculo do L da correia 
 
Para calcular o comprimento da correia (L) é necessário determinar a distância 
entre centros (C) das polias motriz (d) e da movida (D), onde: 
 
i = relação de transmissão ; D = d . i 
 
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Em seguida escolher o L superior normalizado conforme tabela do fabricante 
(Gates) abaixo. 
 
 
 
 
 
Apostila de Elementos de Máquinas Processos Metalúrgicos4) Recalcular a distância entre centros ( DC )