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SSE_ME_Matematica_9A_001a002.indd 1 19/04/2018 10:54
ISBN: 978-85-7797-887-8
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e 
Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.
Impresso no Brasil
As palavras destacadas de amarelo ao longo do livro sofreram 
modificações com o novo Acordo Ortográfico.
Matemática
9o ano do Ensino Fundamental 
Marcelo Bhaskara 
Editor
Lécio Cordeiro
Revisão de texto
Departamento Editorial
Projeto gráfico, editoração eletrônica,
iconografia, infografia e ilustrações
Allegro Digital
 Capa
Gabriella Correia/Nathália Sacchelli/
Sophia karla
Foto: Peshkova/shutterstock.com
Direção de Arte
Vitoriano Júnior
Assessoria pedagógica
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Almir Serpa
Rubem Uchôa
Ricardo Jorge Ribeiro dos Anjos
Coordenação editorial
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Rua Joana Francisca de Azevedo, 142 – Mustardinha
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CNPJ: 09.960.790/0001-21 – IE: 0016094-67
Fizeram-se todos os esforços para localizar os detentores dos 
direitos dos textos contidos neste livro. A Distribuidora de Edições 
Pedagógicas pede desculpas se houve alguma omissão e, em 
edições futuras, terá prazer em incluir quaisquer créditos faltantes.
Para fins didáticos, os textos contidos neste livro receberam, 
sempre que oportuno e sem prejudicar seu sentido original, 
uma nova pontuação.
O conteúdo deste livro está adequado à proposta 
da BNCC, conforme a Resolução nº 2, de 22 de 
dezembro de 2017, do Ministério da Educação.
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III
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos 
da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade 
contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de ci-
dadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de fe-
nômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, gran-
dezas – e das técnicas de cálculo com os números e com as 
grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de fenô-
menos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas abstratos, 
que organizam e inter-relacionam fenômenos do espaço, do mo-
vimento, das formas e dos números, associados ou não a fenôme-
nos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e objetos que 
são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a constru-
ção de representações significativas e argumentações consisten-
tes nos mais variados contextos.
Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipo-
tético-dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um 
sistema de axiomas e postulados, é de fundamental importância 
também considerar o papel heurístico das experimentações na 
aprendizagem da Matemática.
No Ensino Fundamental, essa área, por meio da articulação 
de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Esta-
tística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos relacionem 
observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, 
figuras e esquemas) e associem essas representações a uma ativi-
dade matemática (conceitos e propriedades), fazendo induções e 
conjecturas. Assim, espera-se que eles desenvolvam a capacida-
de de identificar oportunidades de utilização da matemática para 
resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resul-
tados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos 
das situações. A dedução de algumas propriedades e a verifica-
ção de conjecturas, a partir de outras, podem ser estimuladas, so-
bretudo ao final do Ensino Fundamental.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desen-
volvimento do letramento matemático1, definido como as com-
petências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e 
argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabeleci-
mento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas 
em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedi-
mentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramen-
to matemático que assegura aos alunos reconhecer que os co-
nhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão 
e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da 
A área de Matemática
matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do 
raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser pra-
zeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamente 
relacionado a algumas formas de organização da aprendizagem 
matemática, com base na análise de situações da vida cotidiana, 
de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Os 
processos matemáticos de resolução de problemas, de investi-
gação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem podem 
ser citados como formas privilegiadas da atividade matemática, 
motivo pelo qual são, ao mesmo tempo, objeto e estratégia para 
a aprendizagem ao longo de todo o Ensino Fundamental. Esses 
processos de aprendizagem são potencialmente ricos para o de-
senvolvimento de competências fundamentais para o letramento 
matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumen-
tação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
Considerando esses pressupostos, e em articulação com as 
competências gerais da BNCC, a área de Matemática e, por con-
sequência, o componente curricular de Matemática devem garan-
tir aos alunos o desenvolvimento de competências específicas.
1 Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade 
individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade 
de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, 
procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e 
predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a 
matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e 
reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões 
necessárias.”. Disponível em: 
<http://download. inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_
referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2017.
Competências específicas 
de Matemática para o 
Ensino Fundamental
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes 
culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciên-
cia viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, 
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investi-gação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos 
para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedi-mentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) 
e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança 
quanto à própria capacidade de construir e aplicar conheci-
mentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a per-
severança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantita-tivos e qualitativos presentes nas práticas sociais e cul-
turais, de modo a investigar, organizar, representar e comu-
nicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las 
crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclu-sive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
DADOS
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IV
Matemática
Com base nos recentes documentos curriculares brasileiros, a 
BNCC leva em conta que os diferentes campos que compõem a 
Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que pro-
duzem articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionali-
dade, interdependência, representação,variação e aproximação. Es-
sas ideias fundamentais são importantes para o desenvolvimento do 
pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na esco-
la, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade, por exemplo, 
deve estar presente no estudo de: operações com os números na-
turais; representação fracionária dos números racionais; áreas; fun-
ções; probabilidade etc. Além disso, essa noção também se eviden-
cia em muitas ações cotidianas e de outras áreas do conhecimento, 
como vendas e trocas mercantis, balanços químicos, representações 
gráficas etc.
Nessa direção, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, cor-
relacionadas, que orientam a formulação de habilidades a ser desen-
volvidas ao longo do Ensino Fundamental. Cada uma delas pode re-
ceber ênfase diferente, a depender do ano de escolarização.
A unidade temática Números tem como finalidade desenvolver 
o pensamento numérico, que implica o conhecimento de maneiras 
de quantificar atributos de objetos e de julgar e interpretar argumen-
tos baseados em quantidades. No processo da construção da noção 
de número, os alunos precisam desenvolver, entre outras, as ideias 
de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem, noções 
fundamentais da Matemática. Para essa construção, é importante 
propor, por meio de situações significativas, sucessivas ampliações 
dos campos numéricos. No estudo desses campos numéricos, de-
vem ser enfatizados registros, usos, significados e operações.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa em relação 
a essa temática é de que os alunos resolvam problemas com núme-
ros naturais e números racionais cuja representação decimal é fini-
ta, envolvendo diferentes significados das operações, argumentem 
e justifiquem os procedimentos utilizados para a resolução e avaliem 
a plausibilidade dos resultados encontrados. No tocante aos cálcu-
los, espera-se que os alunos desenvolvam diferentes estratégias para 
a obtenção dos resultados, sobretudo por estimativa e cálculo men-
tal, além de algoritmos e uso de calculadoras.
Nessa fase espera-se também o desenvolvimento de habilidades 
no que se refere à leitura, escrita e ordenação de números naturais e 
números racionais por meio da identificação e compreensão de ca-
racterísticas do sistema de numeração decimal, sobretudo o valor 
posicional dos algarismos. Na perspectiva de que os alunos aprofun-
dem a noção de número, é importante colocá-los diante de tarefas, 
como as que envolvem medições, nas quais os números naturais não 
são suficientes para resolvê-las, indicando a necessidade dos núme-
ros racionais tanto na representação decimal quanto na fracionária.
Com referência ao Ensino Fundamental – Anos Finais, a expecta-
tiva é a de que os alunos resolvam problemas com números naturais, 
inteiros e racionais, envolvendo as operações fundamentais, com seus 
diferentes significados, e utilizando estratégias diversas, com com-
preensão dos processos neles envolvidos. Para que aprofundem a 
noção de número, é importante colocá-los diante de problemas, so-
bretudo os geométricos, nos quais os números racionais não são sufi-
cientes para resolvê-los, de modo que eles reconheçam a necessidade 
de outros números: os irracionais. Os alunos devem dominar também 
o cálculo de porcentagem, porcentagem de porcentagem, juros, des-
contos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais.
No tocante a esse tema, espera-se que saibam reconhecer, com-
parar e ordenar números reais, com apoio da relação desses nú-
meros com pontos na reta numérica. Cabe ainda destacar que o 
desenvolvimento do pensamento numérico não se completa, evi-
dentemente, apenas com objetos de estudos descritos na unidade 
Números. Esse pensamento é ampliado e aprofundado quando se 
discutem situações que envolvem conteúdos das demais unidades 
temáticas: Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilida-
de e estatística.
Outro aspecto a ser considerado nessa unidade temática é o es-
tudo de conceitos básicos de economia e finanças, visando à edu-
cação financeira dos alunos. Assim, podem ser discutidos assuntos 
como taxas de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade 
e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática 
favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões cultu-
rais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica, sobre as 
questões do consumo, trabalho e dinheiro. É possível, por exemplo, 
desenvolver um projeto com a História, visando ao estudo do dinhei-
ro e sua função na sociedade, da relação entre dinheiro e tempo, 
dos impostos em sociedades diversas, do consumo em diferentes 
momentos históricos, incluindo estratégias atuais de marketing. Es-
sas questões, além de promover o desenvolvimento de competên-
cias pessoais e sociais dos alunos, podem se constituir em excelentes 
contextos para as aplicações dos conceitos da Matemática Financei-
ra e também proporcionar contextos para ampliar e aprofundar es-
ses conceitos.
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas 
respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes regis-
tros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto 
escrito na língua materna e outras linguagens para descrever 
algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, so-bretudo, questões de urgência social, com base em 
princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, 
valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de 
grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba-lhando coletivamente no planejamento e desenvolvi-
mento de pesquisas para responder a questionamentos e 
na busca de soluções para problemas, de modo a identifi-
car aspectos consensuais ou não na discussão de uma de-
terminada questão, respeitando o modo de pensar dos co-
legas e aprendendo com eles.
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V
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o 
desenvolvimento de um tipo especial de pensamento — pensamen-
to algébrico — que é essencial para utilizar modelos matemáticos na 
compreensão, representação e análise de relações quantitativas de 
grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazen-
do uso de letras e outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é ne-
cessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de se-
quências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas 
que expressem a relação de interdependência entre grandezas em 
diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as 
diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver proble-
mas por meio de equações e inequações, com compreensão dos 
procedimentos utilizados. As ideias matemáticas fundamentais vin-
culadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência 
e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática deve enfati-
zar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de ge-
neralizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolu-
ção de problemas por meio de equações ou inequações.
Nessa perspectiva, é imprescindível que algumas dimensões do 
trabalho com a álgebra estejam presentes nos processos de ensino 
e aprendizagem desde o Ensino Fundamental – Anos Iniciais, como 
as ideias de regularidade, generalização de padrões e propriedades 
da igualdade. No entanto, nessa fase, não se propõe o uso de le-
tras para expressar regularidades, por mais simples que sejam. A re-
lação dessa unidade temática com a de Números é bastante eviden-
te no trabalho com sequências (recursivas e repetitivas), seja na ação 
de completar uma sequência com elementos ausentes, seja na cons-
trução de sequências segundo umadeterminada regra de formação.
A relação de equivalência pode ter seu início com atividades sim-
ples, envolvendo a igualdade, como reconhecer que se 2 + 3 = 5 e 5 
= 4 + 1, então 2 + 3 = 4 + 1. Atividades como essa contribuem para 
a compreensão de que o sinal de igualdade não é apenas a indica-
ção de uma operação a ser feita. A noção intuitiva de função pode 
ser explorada por meio da resolução de problemas envolvendo a va-
riação proporcional direta entre duas grandezas (sem utilizar a regra 
de três), como: “Se com duas medidas de suco concentrado eu ob-
tenho três litros de refresco, quantas medidas desse suco concentra-
do eu preciso para ter doze litros de refresco?”. 
No Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudos de Álgebra re-
tomam, aprofundam e ampliam o que foi trabalhado no Ensino Fun-
damental – Anos Iniciais. Nessa fase, os alunos devem compreender 
os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expres-
são, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar 
a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desco-
nhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre 
duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam 
conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As téc-
nicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano car-
tesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar 
e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de 
estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álge-
bra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Mate-
mática (Números, Geometria e Probabilidade e estatística), podem 
contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional 
dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de tradu-
zir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situa-
ções-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, ta-
belas e gráficos e vice-versa.
Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a 
importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que podem ser 
objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um algoritmo é uma se-
quência finita de procedimentos que permite resolver um determi-
nado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um proce-
dimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e 
ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxo-
grama. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a lin-
guagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. 
Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com 
o pensamento computacional é a identificação de padrões para se 
estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos.
A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de con-
ceitos e procedimentos necessários para resolver problemas do 
mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. Assim, nessa 
unidade temática, estudar posição e deslocamentos no espaço, for-
mas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais pode 
desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamen-
to é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e pro-
duzir argumentos geométricos convincentes. É importante, também, 
considerar o aspecto funcional que deve estar presente no estudo 
da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as sime-
trias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática 
são, principalmente, construção, representação e interdependência.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, espera-se que os alunos 
identifiquem e estabeleçam pontos de referência para a localização 
e o deslocamento de objetos, construam representações de espa-
ços conhecidos e estimem distâncias, usando, como suporte, mapas 
(em papel, tablets ou smartphones), croquis e outras representações. 
Em relação às formas, espera-se que os alunos indiquem caracterís-
ticas das formas geométricas tridimensionais e bidimensionais, as-
sociem figuras espaciais a suas planificações e vice-versa. Espera-se, 
também, que nomeiem e comparem polígonos, por meio de pro-
priedades relativas aos lados, vértices e ângulos. O estudo das sime-
trias deve ser iniciado por meio da manipulação de representações 
de figuras geométricas planas em quadriculados ou no plano carte-
siano, e com recurso de softwares de geometria dinâmica.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, o ensino de Geometria 
precisa ser visto como consolidação e ampliação das aprendizagens 
realizadas. Nessa etapa, devem ser enfatizadas também as tarefas 
que analisam e produzem transformações e ampliações/reduções 
de figuras geométricas planas, identificando seus elementos varian-
tes e invariantes, de modo a desenvolver os conceitos de congruên-
cia e semelhança. Esses conceitos devem ter destaque nessa fase do 
Ensino Fundamental, de modo que os alunos sejam capazes de re-
conhecer as condições necessárias e suficientes para obter triângu-
los congruentes ou semelhantes e que saibam aplicar esse conhe-
cimento para realizar demonstrações simples, contribuindo para a 
formação de um tipo de raciocínio importante para a Matemática, 
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VI
o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro ponto a ser destacado é a 
aproximação da Álgebra com a Geometria, desde o início do estu-
do do plano cartesiano, por meio da geometria analítica. As ativida-
des envolvendo a ideia de coordenadas, já iniciadas no Ensino Fun-
damental – Anos Iniciais, podem ser ampliadas para o contexto das 
representações no plano cartesiano, como a representação de siste-
mas de equações do 1º grau, articulando, para isso, conhecimentos 
decorrentes da ampliação dos conjuntos numéricos e de suas repre-
sentações na reta numérica.
Assim, a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de 
fórmulas de cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas 
imediatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em si-
tuações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secan-
tes ou do teorema de Pitágoras. A equivalência de áreas, por exem-
plo, já praticada há milhares de anos pelos mesopotâmios e gregos 
antigos sem utilizar fórmulas, permite transformar qualquer região 
poligonal plana em um quadrado com mesma área (é o que os gre-
gos chamavam “fazer a quadratura de uma figura”). Isso permite, in-
clusive, resolver geometricamente problemas que podem ser tradu-
zidos por uma equação do 2º grau.
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fun-
damentais para a compreensão da realidade. Assim, a unidade te-
mática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e 
das relações entre elas — ou seja, das relações métricas —, favo-
rece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, 
como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, 
energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densi-
dade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade te-
mática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de 
número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pen-
samento algébrico.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa é que os 
alunos reconheçam que medir é comparar uma grandeza com uma 
unidade e expressar o resultado da comparação por meio de um 
número. Além disso, devem resolver problemas oriundos de situa-
ções cotidianas que envolvem grandezas como comprimento, mas-
sa, tempo, temperatura, área (de triângulos e retângulos) e capacida-
de e volume (de sólidos formados por blocos retangulares), sem uso 
de fórmulas, recorrendo, quando necessário, a transformações entre 
unidades de medida padronizadas mais usuais. Espera-se, também, 
que resolvam problemas sobre situações de compra e venda e de-
senvolvam, por exemplo, atitudes éticas e responsáveis em relação 
ao consumo. Sugere-se que esse processo seja iniciado utilizando, 
preferencialmente, unidades não convencionais para fazer as com-
paraçõese medições, o que dá sentido à ação de medir, evitando a 
ênfase em procedimentos de transformação de unidades convencio-
nais. No entanto, é preciso considerar o contexto em que a escola se 
encontra: em escolas de regiões agrícolas, por exemplo, as medidas 
agrárias podem merecer maior atenção em sala de aula.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é a de que 
os alunos reconheçam comprimento, área, volume e abertura de ân-
gulo como grandezas associadas a figuras geométricas e que consi-
gam resolver problemas envolvendo essas grandezas com o uso de 
unidades de medida padronizadas mais usuais. Além disso, espera-
-se que estabeleçam e utilizem relações entre essas grandezas e en-
tre elas e grandezas não geométricas, para estudar grandezas deri-
vadas como densidade, velocidade, energia, potência, entre outras. 
Nessa fase da escolaridade, os alunos devem determinar expressões 
de cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos, e as de vo-
lumes de prismas e de cilindros. Outro ponto a ser destacado refere-
-se à introdução de medidas de capacidade de armazenamento de 
computadores como grandeza associada a demandas da sociedade 
moderna. Nesse caso, é importante destacar o fato de que os prefi-
xos utilizados para byte (quilo, mega, giga) não estão associados ao 
sistema de numeração decimal, de base 10, pois um quilobyte, por 
exemplo, corresponde a 1.024 bytes, e não a 1.000 bytes.
A incerteza e o tratamento de dados são estudados na unida-
de temática Probabilidade e estatística. Ela propõe a abordagem 
de conceitos, fatos e procedimentos presentes em muitas situações-
-problema da vida cotidiana, das ciências e da tecnologia. Assim, to-
dos os cidadãos precisam desenvolver habilidades para coletar, or-
ganizar, representar, interpretar e analisar dados em uma variedade 
de contextos, de maneira a fazer julgamentos bem fundamentados e 
tomar as decisões adequadas. Isso inclui raciocinar e utilizar concei-
tos, representações e índices estatísticos para descrever, explicar e 
predizer fenômenos.
Merece destaque o uso de tecnologias — como calculadoras, 
para avaliar e comparar resultados, e planilhas eletrônicas, que aju-
dam na construção de gráficos e nos cálculos das medidas de ten-
dência central. A consulta a páginas de institutos de pesquisa — 
como a do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) 
— pode oferecer contextos potencialmente ricos não apenas para 
aprender conceitos e procedimentos estatísticos, mas também para 
utilizá-los com o intuito de compreender a realidade.
No que concerne ao estudo de noções de probabilidade, a fina-
lidade, no Ensino Fundamental – Anos Iniciais, é promover a com-
preensão de que nem todos os fenômenos são determinísticos. Para 
isso, o início da proposta de trabalho com probabilidade está centra-
do no desenvolvimento da noção de aleatoriedade, de modo que os 
alunos compreendam que há eventos certos, eventos impossíveis e 
eventos prováveis. É muito comum que pessoas julguem impossíveis 
eventos que nunca viram acontecer. Nessa fase, é importante que os 
alunos verbalizem, em eventos que envolvem o acaso, os resultados 
que poderiam ter acontecido em oposição ao que realmente acon-
teceu, iniciando a construção do espaço amostral. No Ensino Fun-
damental – Anos Finais, o estudo deve ser ampliado e aprofunda-
do, por meio de atividades nas quais os alunos façam experimentos 
aleatórios e simulações para confrontar os resultados obtidos com a 
probabilidade teórica — probabilidade frequentista. A progressão 
dos conhecimentos se faz pelo aprimoramento da capacidade de 
enumeração dos elementos do espaço amostral, que está associada, 
também, aos problemas de contagem.
Com relação à estatística, os primeiros passos envolvem o tra-
balho com a coleta e a organização de dados de uma pesquisa de 
interesse dos alunos. O planejamento de como fazer a pesquisa 
ajuda a compreender o papel da estatística no cotidiano dos alu-
nos. Assim, a leitura, a interpretação e a construção de tabelas e 
gráficos têm papel fundamental, bem como a forma de produção 
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VII
de texto escrito para a comunicação de dados, pois é preciso com-
preender que o texto deve sintetizar ou justificar as conclusões. No 
Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é que os alunos 
saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas des-
critivas, incluindo medidas de tendência central e construção de ta-
belas e diversos tipos de gráfico. Esse planejamento inclui a defi-
nição de questões relevantes e da população a ser pesquisada, a 
decisão sobre a necessidade ou não de usar amostra e, quando for 
o caso, a seleção de seus elementos por meio de uma adequada 
técnica de amostragem.
Cumpre destacar que os critérios de organização das habili-
dades na BNCC (com a explicitação dos objetos de conhecimen-
to aos quais se relacionam e do agrupamento desses objetos em 
unidades temáticas) expressam um arranjo possível (dentre ou-
tros). Portanto, os agrupamentos propostos não devem ser to-
mados como modelo obrigatório para o desenho dos currículos. 
Essa divisão em unidades temáticas serve tão somente para facili-
tar a compreensão dos conjuntos de habilidades e de como eles 
se inter-relacionam. Na elaboração dos currículos e das propostas 
pedagógicas, devem ser enfatizadas as articulações das habilida-
des com as de outras áreas do conhecimento, entre as unidades 
temáticas e no interior de cada uma delas.
Na definição das habilidades, a progressão ano a ano se ba-
seia na compreensão e utilização de novas ferramentas e também 
na complexidade das situações-problema propostas, cuja resolu-
ção exige a execução de mais etapas ou noções de unidades te-
máticas distintas. Os problemas de contagem, por exemplo, devem, 
inicialmente, estar restritos àqueles cujas soluções podem ser obti-
das pela descrição de todos os casos possíveis, mediante a utiliza-
ção de esquemas ou diagramas, e, posteriormente, àqueles cuja re-
solução depende da aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo 
e do princípio da casa dos pombos. Outro exemplo é o da resolução 
de problemas envolvendo as operações fundamentais, utilizando ou 
não a linguagem algébrica.
Matemática no Ensino 
Fundamental – anos 
finais: unidades temáticas, 
objetos de conhecimento e 
habilidades
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o 
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em 
conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vi-
venciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fa-
zer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qua-
litativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles 
e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações pre-
cisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, 
visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da ma-
temática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, varia-
ção e interdependência.
Da mesma forma que na fase anterior, a aprendizagem em Ma-
temática no Ensino Fundamental – Anos Finais também está in-
trinsecamente relacionada à apreensão de significados dos obje-
tos matemáticos. Esses significados resultam das conexões que os 
alunos estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e 
os diferentes temas matemáticos e, por fim, entre eles e os demais 
componentes curriculares. Nessa fase, precisa ser destacada a im-
portância da comunicação em linguagem matemática com o uso 
da linguagem simbólica, da representação e da argumentação.
Além dos diferentes recursos didáticos e materiais, como 
malhas quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras, planilhas 
eletrônicas e softwares de geometria dinâmica, é importante 
incluir a história da Matemática como recurso que pode des-
pertar interesse e representar um contexto significativo para 
aprender e ensinar Matemática. Entretanto, esses recursos e 
materiais precisam estar integrados a situações que propiciem 
areflexão, contribuindo para a sistematização e a formalização 
dos conceitos matemáticos.
A leitura dos objetos de conhecimento e das habilidades es-
senciais de cada ano nas cinco unidades temáticas permite uma 
visão das possíveis articulações entre as habilidades indicadas 
para as diferentes temáticas. Entretanto, recomenda-se que se 
faça também uma leitura (vertical) de cada unidade temática, do 
6º ao 9º ano, com a finalidade de identificar como foi estabele-
cida a progressão das habilidades. Essa maneira é conveniente 
para comparar as habilidades de um dado tema a ser efetivadas 
em um dado ano escolar com as aprendizagens propostas em 
anos anteriores também para reconhecer em que medida elas se 
articulam com as indicadas para os anos posteriores, tendo em 
vista que as noções matemáticas são retomadas ano a ano, com 
ampliação e aprofundamento crescentes.
Cumpre também considerar que, para a aprendizagem 
de certo conceito ou procedimento, é fundamental haver um 
contexto significativo para os alunos, não necessariamente do 
cotidiano, mas também de outras áreas do conhecimento e 
da própria história da Matemática. No entanto, é necessário 
que eles desenvolvam a capacidade de abstrair o contexto, 
apreendendo relações e significados, para aplicá-los em ou-
tros contextos. Para favorecer essa abstração, é importante 
que os alunos reelaborem os problemas propostos após os te-
rem resolvido. Por esse motivo, nas diversas habilidades rela-
tivas à resolução de problemas, consta também a elaboração 
de problemas. Assim, pretende-se que os alunos formulem 
novos problemas, baseando-se na reflexão e no questiona-
mento sobre o que ocorreria se alguma condição fosse mo-
dificada ou se algum dado fosse acrescentado ou retirado do 
problema proposto.
Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é impor-
tante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, análise 
e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve a leitura 
de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em 
relação à argumentação neles utilizada.
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VIII
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na for-
ma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo 
uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e 
diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utili-
zando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números natu-
rais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema 
simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é 
múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e 
subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identifican-
do frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer re-
lações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação 
fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro ope-
rações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a ra-
zoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Algébra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre 
as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo rela-
ções aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu 
polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao para-
lelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles.
Matemática 6º ano
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IX
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na for-
ma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo 
uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecero sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e 
diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utili-
zando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números natu-
rais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema 
simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é 
múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e 
subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identifican-
do frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer re-
lações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação 
fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro ope-
rações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a ra-
zoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Algébra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre 
as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo rela-
ções aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu 
polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao para-
lelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles.
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X
Matemática 7º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir 
máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, 
utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numé-
rica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os 
mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas 
partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com 
pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, pla-
no cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares 
e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de des-
locamentode um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatu-
ra, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igual-
mente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
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XI
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir 
máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, 
utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numé-
rica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os 
mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas 
partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com 
pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, pla-
no cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares 
e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de des-
locamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatu-
ra, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igual-
mente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
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XII
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resul-
tados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocor-
rências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e per-
centual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em dife-
rentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trân-
sito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escri-
tos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrôni-
cas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, po-
sição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, di-
ferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursãoestá presente não ape-
nas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica 
são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa en-
tre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma 
ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas 
por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordena-
das de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de dese-
nho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, 
entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composi-
ções artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal (EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de soft-
wares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos 
lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (te-
lhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhe-
cidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ân-
gulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações co-
tidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
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XIII
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resul-
tados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocor-
rências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e per-
centual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em dife-
rentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trân-
sito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escri-
tos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrôni-
cas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, po-
sição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, di-
ferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não ape-
nas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica 
são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa en-
tre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma 
ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas 
por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordena-
das de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de dese-
nho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, 
entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composi-
ções artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal (EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formadospor retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de soft-
wares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos 
lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (te-
lhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhe-
cidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ân-
gulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações co-
tidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
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XIV
Matemática 8º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de 
equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma 
que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, 
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de es-
tratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais 
usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais 
(metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas 
por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resol-
ver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência 
de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por 
meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pes-
quisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e in-
terpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de 
usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é pos-
sível ou conveniente sua utilização.
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XV
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados porsistemas de 
equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma 
que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, 
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de es-
tratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais 
usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais 
(metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas 
por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resol-
ver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência 
de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por 
meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pes-
quisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e in-
terpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de 
usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é pos-
sível ou conveniente sua utilização.
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XVI
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 
60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálcu-
lo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver proble-
mas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, 
e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para 
determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de ma-
neira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amos-
trais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, siste-
mática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência cen-
tral, a amplitude e as conclusões.
Matemática 9º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida 
de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e esti-
mar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusiveem notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a de-
terminação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XVII
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 
60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálcu-
lo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver proble-
mas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, 
e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para 
determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de ma-
neira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amos-
trais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, siste-
mática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência cen-
tral, a amplitude e as conclusões.
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida 
de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e esti-
mar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a de-
terminação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XVIII
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densida-
de demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notá-
veis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por 
uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a seme-
lhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolven-
do retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja me-
dida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano cartesiano
(EF09MA16) Determinaro ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas des-
ses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros 
e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distân-
cia entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de 
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou 
de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fon-
tes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla 
entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos 
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de re-
latório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
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XIX
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densida-
de demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notá-
veis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por 
uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a seme-
lhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolven-
do retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja me-
dida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas des-
ses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros 
e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distân-
cia entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de 
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou 
de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fon-
tes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla 
entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos 
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de re-
latório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
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Sumário
CAPÍTULO 1
Sistema de numeração decimal ...............6
Números ...................................................... 8
A escola de Pitágoras .................................. 8
O surgimento dos números ........................10
CAPÍTULO 1
Os números irracionais .................................. 6
Os números irracionais ....................................... 8
Representação na reta numérica ........................ 8
Operações com irracionais ................................. 9
Problemas envolvendo os números irracionais .. 11
Atividades .......................................................... 12
Para analisar ....................................................... 14
Refletindo sobre o texto .................................... 14
Resgatando a história ......................................... 15
Amplie o conhecimento ..................................... 15
Aprimorando conceitos ...................................... 16
Praticando mais .................................................. 17
CAPÍTULO 2
Os números reais ........................................... 22
Os números reais ................................................ 24
Atividades .......................................................... 24
Os números reais para medir os segmentos de
reta ..................................................................... 25
Potências com expoentes negativos e 
fracionários ......................................................... 26
Notação científica .............................................. 29
Unidades de medidas muito grandes e muito 
pequenas ............................................................ 30
Unidades de medidas utilizadas na informática .... 30
Operações com números reais .......................... 32
Problemas envolvendo os números reais ........... 38
Atividades .......................................................... 40
Para analisar ....................................................... 42
Refletindo sobre o texto .................................... 42
Resgatando a história ......................................... 43
Amplie o conhecimento ..................................... 43
Aprimorando conceitos ...................................... 44
Praticando mais .................................................. 45
CAPÍTULO 3
Porcentagens e Juros .................................... 52
A matemática financeira ..................................... 54
Porcentagens ..................................................... 54
Porcentuais sucessivos ....................................... 56
Problemas envolvendo porcentagens ................ 58
Atividades .......................................................... 59
Juros ................................................................... 60
Termos utilizados para determinação de juros ....61
Regras para determinar os juros simples e suas 
partes envolvidas ............................................... 61
Juros compostos ................................................ 62
Atividades .......................................................... 64
Para analisar ....................................................... 65
Refletindo sobre o texto .................................... 65
Fator de multiplicação ....................................... 66
Resgatando a história ......................................... 66
Amplie o conhecimento ..................................... 67
Aprimorando conceitos ...................................... 69
Praticando mais .................................................. 70
CAPÍTULO 4
Equações polinomiais do 2º grau................... 78
Resolução de equações por meio de fatoração 80
Sistema e equações do 2º grau ......................... 82
Problemas envolvendo equações polinomiais 
do 2º grau .......................................................... 83
Equações do 2º grau disfarçadas ....................... 84
Inequações do 2º grau ....................................... 87
Atividades .......................................................... 88
Para analisar ....................................................... 90
Refletindo sobre o texto .................................... 91
Resgatando a história ......................................... 91
Amplie o conhecimento ..................................... 91
Aprimorando conceitos ...................................... 92
Praticando mais .................................................. 93
CAPÍTULO 5
Funções ......................................................... 100
Função ................................................................ 100
Domínio, contradomínio e imagem de uma 
função ................................................................. 102
Lei de formação e valor numérico de uma
função ................................................................. 103
Construção gráfica de uma função .................... 104
Determinação do domínio de uma função ........ 105
Determinando o domínio e a imagem através 
do gráfico da função y = f(x) .............................. 106
Atividades .......................................................... 106
A função polinomial do 1º grau ......................... 109
Os segmentos de retas vertical e horizontal no 
plano cartesiano ................................................. 109
Zero ou raiz da função polinomial do 1º grau .... 110
O gráfico da função polinomial do 1º grau ........ 110
Caso especial de função polinomial do 
1º grau ................................................................ 112
Determinando a equação da reta que passa pelos 
dois pontos da função f(x) = ax + b ................... 113
Atividades .......................................................... 114
Função polinomial do 2º grau ............................ 116
Representação gráfica das funções polinomias 
do 2º grau .......................................................... 116
Construindo o gráfico de uma função polinomial
do 2º grau .......................................................... 117
Zeros ou raízes da função polinomial do 
2º grau ................................................................ 118
Coordenadas do vértice de uma função 
polinomial do 2º grau ......................................... 119
Determinando as coordenadas do vértice de uma 
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função polinomial do 2° grau ............................. 120
Valor máximo e valor mínimo de uma função 
polinomial do 2º grau ......................................... 121
Estudo dos sinais de uma função polinomial 
do 2º grau .......................................................... 121
Atividades .......................................................... 125
Para analisar ....................................................... 126
Refletindo sobre o texto .................................... 127
Resgatando a história ......................................... 127
Amplie o conhecimento ..................................... 128
Refletindo sobre o texto .................................... 128
Aprimoramdo conceitos ..................................... 129
Praticando mais .................................................. 130
CAPÍTULO 6
Razão entre grandezas .................................. 138
Razão e proporção ............................................. 140
Escalas – O real e o reduzido ............................. 140
Feixe de retas paralelas e uma reta transversal .....141
Semelhança de figuras ....................................... 142
Polígonos semelhantes ...................................... 142
Semelhança de triângulos .................................. 144
Linhas homólogas ............................................... 145
Teorema fundamental da semelhança de 
triângulos ............................................................ 145
Consequência da semelhança de triângulos ..... 146
Atividades .......................................................... 147
Para analisar ....................................................... 149
Refletindo sobre o texto .................................... 149
Resgatando a história ......................................... 149
Amplie o conhecimento .....................................150
Refletindo sobre o texto .................................... 150
Aprimorando conceitos ...................................... 151
Praticando mais .................................................. 152
CAPÍTULO 7
Produtos notáveis.......................................... 162
Técnicas dos produtos notáveis ......................... 164
Produtos notáveis especiais ............................... 166
Fatoração de produtos notáveis ........................ 167
Atividades .......................................................... 171
Resgatando a história ......................................... 173
Para analisar ....................................................... 174
Refletindo sobre o texto .................................... 174
Amplie o conhecimento ..................................... 175
Aprimorando conceitos ...................................... 176
Praticando mais .................................................. 177
CAPÍTULO 8
Ângulos e triângulos ...................................... 182
Ângulos .............................................................. 184
Relação entre ângulos ........................................ 184
Atividades .......................................................... 188
Propriedades dos ângulos ................................. 189
Relações entre ângulos e arcos numa 
circunferência ..................................................... 190
A graduação em radianos .................................. 191
Relação entre graus e radianos .......................... 191
Relações entre ângulos no triângulo .................. 192
Atividades .......................................................... 193
Ângulo inscrito ................................................... 195
Medidas de ângulos cujos vértices não pertencem 
à circunferência .................................................. 195
Distância entre dois pontos no plano 
cartesiano ........................................................... 197
Atividades ......................................................... 199
Para analisar ....................................................... 201
Refletindo sobre o texto .................................... 202
Resgatando a história ......................................... 202
Amplie o conhecimento ..................................... 203
Aprimorando conceitos ...................................... 203
Praticando mais .................................................. 204
CAPÍTULO 9
FIguras espaciais ........................................... 212
Vistas ortogonais ................................................ 214
Objetos de perspectiva ...................................... 215
Construindo objetos segundo a perspectiva 
cavalera .............................................................. 215
Construindo objetos segundo a perspectiva 
axométrica .......................................................... 217
Volume das figuras espaciais .............................. 220
Atividades .......................................................... 222
Para analisar ....................................................... 223
Refletindo sobre o texto .................................... 224
Resgatando a história ......................................... 224
Amplie o conhecimento ..................................... 224
Aprimorando conceitos ...................................... 225
Praticando mais .................................................. 226
CAPÍTULO 10
Probabilidade e estatística ............................ 236
Probabilidade ..................................................... 238
Experimentos aleatórios .................................... 238
Espaço amostral ................................................. 238
Atividades .......................................................... 239
Tipos de gráfico: barra, segmentos, setores e 
pictóricos ............................................................ 240
Leitura e interpretação de gráficos e tabelas .... 243
As tabelas ........................................................... 244
Formulação de relatório de pesquisa amostral ... 245
Atividades .......................................................... 247
Para analisar ....................................................... 249
Refletindo sobre o texto .................................... 249
Resgatando a história ......................................... 250
Amplie o conhecimento ..................................... 250
Aprimorando conceitos ...................................... 251
Praticando mais ................................................. 252
Caderno de respostas ........................................ 266
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•	 Veremos neste capítulo a representação 
ímpar de um número pertencente ao 
conjunto dos irracionais. 
•	 Compreenderemos o correto 
posicionamento de um número irracional 
na reta numérica. 
•	 Aprenderemos as operações envolvendo 
os números irracionais.
•	 Finalmente, interpretaremos e 
desenvolveremos problemas envolvendo 
esse conjunto numérico.
Foi em Metaponto, cidade localizada no 
Golfo de Tarento, na atual Itália, que nas-
ceu Hipaso de Metaponto. Ele fez a des-
coberta dos números irracionais.
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Os números irracionais
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•	 Veremos neste capítulo a representação 
ímpar de um número pertencente ao 
conjunto dos irracionais. 
•	 Compreenderemos o correto 
posicionamento de um número irracional 
na reta numérica. 
•	 Aprenderemos as operações envolvendo 
os números irracionais.
•	 Finalmente, interpretaremos e 
desenvolveremos problemas envolvendo 
esse conjunto numérico.
Foi em Metaponto, cidade localizada no 
Golfo de Tarento, na atual Itália, que nas-
ceu Hipaso de Metaponto. Ele fez a des-
coberta dos números irracionais.
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Os números irracionais
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8
Conteúdos 
conceituais
•	Apresentação	 dos	 números	 irracio-
nais;
•	Representação	dos	irracionais	na	re-
ta	numérica;
•	Operações	com	números	irracionais;
•	Problemas	envolvendo	números	irra-
cionais.
BNCC
•	Números	irracionais:	reconhecimen-
to	 e	 localização	 dos	 números	 irracio-
nais	na	reta	numérica.
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF09MA02)	Reconhecer	um	número	
irracional	 como	 um	 número	 real	 cuja	
representação	decimal	é	infinita	e	não	
periódica,	 e	 estimar	 a	 localização	 de	
alguns	deles	na	reta	numérica.
Anotações
Passando novamente a reta numérica, comprovaremos as posições anteriormente apresentadas.
 
–2 0–1 1 2
1,42...
1,73...
Questão resolvida
Utilize o plano cartesiano apresentado a seguir e localize na reta numérica do eixo das abscissas 
(x) o número pí (p) e o número de Neper (l).
Solução: 
Utilizando as formas decimais desses dois números solicitados, vamos indicar suas posições no 
plano a seguir.
p = 3, 141592...
l = 2, 7182818...
Os números acima são aproximadamente: 3,14 e 2,71.
–3 –1 10
1
2
3
y
–1
–2
–3
3
x
2–2
3,14
2,71
Operações com irracionais
 
Vamos verificar agora, como se comportam os números irracionais quando trabalhados nas ope-
rações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Adição e subtração envolvendo os irracionais
Temos a condição de adicionar ou subtrair números irracionais na sua forma com radicais, se e 
somente se, os radicandos forem de mesmo valor. Lembre-se que radicando é o algarismo que se 
encontra dentro do índice da raíz e índice é o símbolo . 
Exemplo:
9CAPÍTULO 1 I Os númerosirracionais
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Os números irracionais 
Existem números decimais não exatos infinitos que não possuem período, ou seja, números que 
após a vírgula não possuem algarismos repetidos. 
São exemplos os números:
I. 1, 414213562...
II. 1, 7320508...
III. 3, 141592...
IV. 2, 7182818...
V. 0,14285...
Esses números acima podem ainda ser representados por outros algarismos.
Observe:
I. 2
II. 3
III. p Número pí
IV. l Número de Neper.
Essas representações numéricas apresentam exemplos de números irracionais em suas formas 
distintas. 
Afirma-se isso, pois:
I. 2 = 1, 414213562...
II. 3 = 1, 7320508...
III. p = 3, 141592...
IV. l = 2, 7182818...
Classifica-se como número irracional todo número cuja representação decimal é infinita e não 
periódica. Esse número pertence ao conjunto dos números irracionais (I).
Representação na reta numérica
Na reta numérica, o modo prático para indicar um número irracional é transformar esse número 
no seu formato decimal. 
Vamos acompanhar os exemplos a seguir:
− ≅ − − ≅ −
≅ ≅
3 1 73 2 1 41
3 1 73 2 1 41
, ... , ...
, ... , ...
Temos na reta numérica acima, os seguintes números irracionais: − −3 2 3 2, , , . Transforman-
do esse em números decimais temos:
0 1 2–1–2 − 2− 3 32
8 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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9
Leitura complementar
O surgimento dos 
números irracionais
O	filosofo	grego	Hipassus	de	Me-
taponto	é	creditado	na	História	como	
a	primeira	pessoa	a	provar	a	existên-
cia	de	números	irracionais.	Seu	méto-
do	envolveu	o	uso	da	técnica	de	con-
tradição,	na	qual	assumiu	que	“raiz	de	
2”	é	um	número	 racional.	 Ele,	 então,	
continuou	mostrando	que	nenhum	nú-
mero	racional	poderia	existir.	Portanto	
tinha	de	ser	algo	diferente.
A	 razão	por	ele	 ter	escolhido	“raiz	
de	 2”	para	 seus	 cálculos	 é	dupla.	 Em	
primeiro	 lugar,	 é	 a	 técnica	 mais	 fácil	
para	provar	a	existêcia	de	números	 ir-
racionais.	 Em	 segundo	 lugar,	 tem	 um	
grande	significado	para	os	pitagóricos.	
Ele	 assumiu	primeiro	que	“raiz	de	
2”	 é	 um	 número	 racional.	 Visto	 que	
cada	 número	 racional	 pode	 ser	 ex-
presso	 como	 uma	 razão,	 então,	 de	
acordo	com	sua	suposição,	a	“raiz	de	
2”	 poderia	 ser	 expressa	 como	 razão,	
p
q
,	 que	 é	 uma	 relação.	 Onde	p	 e	q	
são	 inteiros	e	não	têm	qualquer	 fato-
res	comuns,	exceto	o	número	1,	que	é	
como	definimos	a	forma	mais	baixa	de	
representação	de	um	número	racional.	
Em	 seguida,	 Hípaso	 afirmou	 que,	
se	q	não	for	zero,	ele	poderia	ser	mul-
tiplicado	em	ambos	os	 lados.	Se	am-
bos	os	 lados	 forem	elevados	ao	qua-
drado:	2q2	=	p2.
Sabemos	 que	 quadrados	 de	 nú-
meros	ímpares	sempre	dão	um	núme-
ro	 ímpar,	 enquanto	 que	 o	 quadrdao	
de	um	número	par	sempre	dá	um	nú-
mero	par.	Se	q	é	um	número	inteiro,	p	
também	teria	de	ser	um	número	intei-
ro,	uma	vez	que	é	 igual	a	2	vezes	q2.	
Assim,	poderia	ser	substituído	por	2x,	
onde	x	é	qualquer	inteiro,	e	2x	é	sem-
pre	o	mesmo.
Sobre	 a	 substituição	p	 com	 2x	 na	
equação,	 obtemos	 2t2	 =	 4	 x	 2,	 ou	q2	
=	2	x	2.	 Isto	implica	que	q	é	também	
um	 número	 inteiro,	 uma	 vez	 que	 é	 2	
vezes	x2.
Curiosamente,	 a	 condição	 inicial	
era	que	p	e	q	não	poderiam	ter	quais-
quer	 fatores	 comuns.	No	entanto,	 ao	
utilizarmos	 a	 álgebra	 simples,	 parece	
que	chegamos	à	conclusão	de	que	p	e	
q	são	mesmo	números	inteiros.	Se	fos-
sem	uniformes,	teriam	sempre	2	como	
um	fator	comum,	o	que	contradiz	nos-
sa	condição.
Fonte:	https://www.dicasecuriosidades.
net/2017/02/como-os-numeros-irracionais-
foram.html.	Adaptado.
Anotações
Passando novamente a reta numérica, comprovaremos as posições anteriormente apresentadas.
 
–2 0–1 1 2
1,42...
1,73...
Questão resolvida
Utilize o plano cartesiano apresentado a seguir e localize na reta numérica do eixo das abscissas 
(x) o número pí (p) e o número de Neper (l).
Solução: 
Utilizando as formas decimais desses dois números solicitados, vamos indicar suas posições no 
plano a seguir.
p = 3, 141592...
l = 2, 7182818...
Os números acima são aproximadamente: 3,14 e 2,71.
–3 –1 10
1
2
3
y
–1
–2
–3
3
x
2–2
3,14
2,71
Operações com irracionais
 
Vamos verificar agora, como se comportam os números irracionais quando trabalhados nas ope-
rações de adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Adição e subtração envolvendo os irracionais
Temos a condição de adicionar ou subtrair números irracionais na sua forma com radicais, se e 
somente se, os radicandos forem de mesmo valor. Lembre-se que radicando é o algarismo que se 
encontra dentro do índice da raíz e índice é o símbolo . 
Exemplo:
9CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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Os números irracionais 
Existem números decimais não exatos infinitos que não possuem período, ou seja, números que 
após a vírgula não possuem algarismos repetidos. 
São exemplos os números:
I. 1, 414213562...
II. 1, 7320508...
III. 3, 141592...
IV. 2, 7182818...
V. 0,14285...
Esses números acima podem ainda ser representados por outros algarismos.
Observe:
I. 2
II. 3
III. p Número pí
IV. l Número de Neper.
Essas representações numéricas apresentam exemplos de números irracionais em suas formas 
distintas. 
Afirma-se isso, pois:
I. 2 = 1, 414213562...
II. 3 = 1, 7320508...
III. p = 3, 141592...
IV. l = 2, 7182818...
Classifica-se como número irracional todo número cuja representação decimal é infinita e não 
periódica. Esse número pertence ao conjunto dos números irracionais (I).
Representação na reta numérica
Na reta numérica, o modo prático para indicar um número irracional é transformar esse número 
no seu formato decimal. 
Vamos acompanhar os exemplos a seguir:
− ≅ − − ≅ −
≅ ≅
3 1 73 2 1 41
3 1 73 2 1 41
, ... , ...
, ... , ...
Temos na reta numérica acima, os seguintes números irracionais: − −3 2 3 2, , , . Transforman-
do esse em números decimais temos:
0 1 2–1–2 − 2− 3 32
8 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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10
Leitura complementar
Histórico do número pi
Apesar de ser a 16ª letra do alfabe-
to grego, os gregos antigos não uti-
lizavam a letra pi (π) para designar a 
relação entre o perímetro e o diâme-
tro de uma circunferência. A histó-
ria fascinante do π começou há apro-
ximadamente, 4.000 anos, apesar de 
os matemáticos só começarem a uti-
lizar símbolos para designar π cerca 
de 2.000 anos depois dos trabalhos de 
Arquimedes (BOYER, 1996). O símbo-
lo usado atualmente tem uma história 
com menos de 250 anos. 
É importante focar que, na histó-
ria do π, um dos passos fundamentais 
consistiu em adquirir consciência da 
constância da razão entre o perímetro 
e o diâmetro de qualquer círculo, pois 
sem esse entendimento nunca se teria 
calculado o valor de π. Inúmeros po-
vos andaram a sua procura mesmo an-
tes que chegassem a ter consciência 
matemática. 
O valor 3 foi usado durante muito 
tempo em certas civilizações por mo-
tivos religiosos e culturais, como a dos 
egípcios e a dos babilônios, que já ob-
tinham conhecimentos sobre outras 
determinações. Arquimedes de Sira-
cusa (287–212 a.C.) pôs mãos à obra 
com expedientes novos, muito profun-
dos. Sabia que π não era racionalmen-
te determinável, ou, ao menos, o sus-
peitava (BOYER, 1996). 
Assim sendo, propôs-se descobrir 
um processo para a determinação de 
π, o Método de Arquimedes, com 
a precisão que se desejasse. Arqui-
medes de Siracusa,  matemático, físi-
co, engenheiro, inventor e astrônomo 
grego, utilizou processos geométricos 
complicados, mas gerais, que deram 
limites inferiores e superiores para π. 
Também utilizou alguns polígonos re-
gulares, com um número crescente de 
lados, até chegar ao polígono de 96 la-
dos, pelo qual obteve uma aproxima-
çãode π, que é 3,1410 < π < 3,1428. 
No entanto, o matemático chi-
nês Yang Hui (263 d.C.) descobriu, por 
meio de polígonos regulares inscritos e 
circunscritos, que 3,1401 < π < 3,1427. 
Dois séculos mais tarde, o matemáti-
co e astrônomo chinês Tsu Chung-Chi 
(430–501 d.C.) chegou a um valor de π 
extraordinariamente preciso, conside-
rada a época em que foi calculado. O 
π de Tsu Chung-Chi, em nossa nota-
ção decimal, oscilaria entre 3,1415926 
e 3,1415927 (Blatner, 2001). 
Na Itália, no século XIII, o Papa Ino-
cêncio III governava os estados ponti-
fícios desde 1198 e, em 1212, conse-
guiu proclamar o seu pupilo Frederico 
II, nomeado “stupor mundi” (o espan-
to do mundo), rei da Germânia, que era 
neto de Frederico I, Frederico Barba 
Roxa. Conhecedor de todas as línguas 
que se falavam na capital do seu reino 
da Sicília: francês, italiano, latim, grego 
e árabe, assimilou o essencial de três 
civilizações universais (a clássica, a cris-
tã, e a oriental), e fez da sua corte, em 
Palermo, um centro de cultura numa 
espécie de Academia das Ciências. 
Em Nápoles, fundou a primeira univer-
2
3
3
3
2 3
9
2 3
3
× = =
II) 
4
2 3
=
Solucionando, temos:
4
2 3
2 3
2 3
8 3
4 9
8 3
4 3
8 3
12
× = = =
.
Problemas envolvendo os números irracionais
Como para apresentar objetos no cotidiano que possam ser quantificados com números irracio-
nais é uma tarefa difícil, os problemas propostos envolvendo esses números são apresentados de 
modo algébrico. 
Onde fica por nossa tarefa apenas a execução das operações apresentadas nos problemas propostos. 
Exemplo:
Luiz e José são dois alunos de uma mesma turma de 9º ano e estão estudando a resolução de 
operações envolvendo números irracionais. 
Houve uma disputa na sala entre eles, se tratava de escolher, em um sorteio, uma questão e 
resolvê-la corretamente. 
Luiz escolheu a divisão 
3
2
=. Já José escolheu no sorteio a multiplicação 2 3 3× =. Caso eles 
solucionem corretamente e, em seguida,o resultado da divisão de Luiz seja dividido pelo resultado 
da multiplicação de José, que resposta final será obtida?
Solução:
Para a questão de Luiz temos:
3
2
3
2
2
2
3 2
4
3 2
2
= × = =
Para a questão de José temos:
2 3 3 2 9 2 3 6× = = × =
Dividindo o resultado obtido por Luiz pelo de José temos:
3 2
2
6
3 2
2
1
6
3 2
12
= × =
Finalmente, simplificando 3 e também 12 por 3, encontraremos a resposta final.
3 2
12
3 3 2
12 3
2
4
=
÷
÷
=
Temos os algarismos 8 e 12 que são múltiplos de 4. Assim, deve-se simplificar 
esses algarismos, dividindo os mesmos por 4.
8 3
12
8 4 3
12 4
2 3
3
=
÷
÷
=
11CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
Matematica_Contextualizada_9ºano_01.indd 11 20/06/2018 18:02:47
I. 2 2 2 2+ = . 
II. 3 5 1 5 4 5+ = .
III. 3 7 7 2 7− =
IV. − − = −5 3 2 3 7 3
Mas, e quando os radicando não forem de mesmo valor?
Nesses casos não podemos adicionar os subtrair os números apresentados.
Exemplo: 
I. − −5 3 2 7 Não há como efetuar a subtração!
II. 4 3 2 7+ Não há como efetuar a adição!
Lembre-se que isso ocorre, pois estamos 
adicionando, na verdade, os seguintes nú-
meros: 1 2 1 2 2 2+ =
Multiplicação envolvendo os irracionais
É possível calcular o produto entre dois ou mais números irracionais, efetuando suas partes loca-
lizadas nas mesmas posições, sem a necessidade de que essas possuam o mesmo algarismo. 
Temos ainda, após a multiplicação, que fatorar o radicando encontrado ou extrair a raiz, quando 
possível, desse radicando.
Exemplo:
4 3 2 4 6× = Esse é o nosso produto pois, não existe fatores semelhantes na fa-toração do algarismo 6.
4 2 3 2 12 4 12 2 24× = = × = Extraímos a 4 2= e então finalizamos a operação. 24 é o nosso produto.
3 2 2 5 5 2 3 2 5 2 5 2 30 20× × = × × × × × =( ) ( ) Fatorando 20 teremos 22 . 5
Continue acompanhando:
30 2 5 30 4 5 30 4 5 30 2 5 60 5² ⋅ = ⋅ = × × = × =
Divisão envolvendo os irracionais
Inicialmente vamos relembrá-lo de que toda fração é também uma divisão. Isso é importante 
para que possamos mencionar que uma fração não pode possuir no seu denominador algarismo 
composto por raiz. 
Mas, o que fazer quando isso ocorre? 
E como isso ocorre?
Isso irá ocorrer exatamente na divisão envolvendo os números irracionais. Quanto ao que fazer, 
nós teremos que efetuar uma operação classificada como racionalização de denominadores. Só 
assim, conseguiremos o quociente da operação.
Exemplo:
I) 
2
3
=Temos aqui uma divisão onde no denominador existe um número irracional. 
Para racionalizar e assim resolver essa divisão, deve-se: multiplicar a fração existente por uma 
outra fração, onde o numerador e também o denominador, tenham o irracional da fração original.
10 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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11
sidade subsidiada pelo Estado (SILVEI-
RA, 2001). Partiu do valor de Arquime-
des 22/7, a que denominou de inexato 
e, conhecendo o valor 377/120 calcula-
do por Ptolomeu, calculou um valor a 
que chamou de exato (π = 355/113 = 
3,1415929). 
A época do Renascimento trouxe 
um novo mundo matemático. Entre 
os primeiros efeitos desse “renascer”, 
está a necessidade de encontrar uma 
fórmula para o π. Descobriu-se então 
a definição não geométrica de π e do 
papel não geométrico deste valor. As-
sim se chegou à descoberta das repre-
sentações de π por séries infinitas. 
O matemático inglês William 
Shanks usou a fórmula de Machin para 
calcular π até as 707 casas decimais, 
das quais só 527 estavam corretas, pu-
blicando o resultado do seu trabalho 
em 1873.
Em 1949 um computador foi usa-
do para calcular π até 2.000 casas de-
cimais. Em 1961, foi possível encontrar, 
por meio da computação, a aproxima-
ção de π utilizando 100.265 casas de-
cimais. Mais tarde, em 1967, aproxi-
mou-se até às 500.000 casas decimais 
(ANDRADE, 1999). 
Recentemente, David Harold Bai-
ley, Peter Borwein e Simon Plouf-
fe contabilizaram 10 bilhões de casas 
decimais para π, usando uma fórmu-
la que apresenta cada casa decimal do 
π individualmente, para cada n esco-
lhido. O conhecimento de um número 
cada vez maior de dígitos de π pode 
trazer grandes avanços na área tecno-
lógica, principalmente na construção 
de novos computadores, pois o cálcu-
lo de seu valor é usado para testes de 
software e hardware, nos quais uma di-
ferença em um de seus algarismos in-
dica falha em suas arquiteturas (AN-
DRADE, 1999). 
É importante salientar, ainda, que o 
símbolo π foi usado pela primeira vez, 
no seu significado atual, por William 
Jones, em 1706, no seu livro Synop-
sis palmariorum matheseos. Contudo, 
nesse mesmo livro, o autor utiliza π em 
diferentes acepções. Alguns autores 
inferem que o fato de ter utilizado o 
símbolo π foi a maior contribuição de 
Jones para a Matemática (LIMA, 1985). 
O primeiro grande matemático a 
utilizar π foi Leonhard Euler, mas ain-
da não se sabe se Euler teve ou não 
contato com o trabalho de Jones. Em 
1736, Euler começa a utilizar π, e len-
tamente outros matemáticos também 
começaram a utilizá-lo. No seu livro 
Introductio in analysin infinitorum, de 
1748, a utilização do símbolo torna-se 
sistemática (LIMA, 1985).
SANTOS, Gilvaneide. Número π: histórico, 
sua irracionalidade e transcedência. Brasília: 
UcB. Disponível em: https://repositorio.ucb.br/
jspui/bitstream/10869/1877/1/Gilvaneide%20
Lucena%20dos%20Santos.pdf. Adaptado.
Anotações
2
3
3
3
2 3
9
2 3
3
× = =
II) 
4
2 3
=
Solucionando, temos:
4
2 3
2 3
2 3
8 3
4 9
8 3
4 3
8 3
12
× = = =
.
Problemas envolvendo os números irracionais
Como para apresentar objetos no cotidiano que possam ser quantificados com números irracio-
nais é uma tarefa difícil, os problemas propostos envolvendo esses números são apresentados de 
modo algébrico. 
Onde fica por nossa tarefa apenas a execução das operações apresentadas nos problemas propostos. 
Exemplo:
Luiz e José são dois alunos de uma mesma turma de 9º ano e estão estudandoa resolução de 
operações envolvendo números irracionais. 
Houve uma disputa na sala entre eles, se tratava de escolher, em um sorteio, uma questão e 
resolvê-la corretamente. 
Luiz escolheu a divisão 
3
2
=. Já José escolheu no sorteio a multiplicação 2 3 3× =. Caso eles 
solucionem corretamente e, em seguida,o resultado da divisão de Luiz seja dividido pelo resultado 
da multiplicação de José, que resposta final será obtida?
Solução:
Para a questão de Luiz temos:
3
2
3
2
2
2
3 2
4
3 2
2
= × = =
Para a questão de José temos:
2 3 3 2 9 2 3 6× = = × =
Dividindo o resultado obtido por Luiz pelo de José temos:
3 2
2
6
3 2
2
1
6
3 2
12
= × =
Finalmente, simplificando 3 e também 12 por 3, encontraremos a resposta final.
3 2
12
3 3 2
12 3
2
4
=
÷
÷
=
Temos os algarismos 8 e 12 que são múltiplos de 4. Assim, deve-se simplificar 
esses algarismos, dividindo os mesmos por 4.
8 3
12
8 4 3
12 4
2 3
3
=
÷
÷
=
11CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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I. 2 2 2 2+ = . 
II. 3 5 1 5 4 5+ = .
III. 3 7 7 2 7− =
IV. − − = −5 3 2 3 7 3
Mas, e quando os radicando não forem de mesmo valor?
Nesses casos não podemos adicionar os subtrair os números apresentados.
Exemplo: 
I. − −5 3 2 7 Não há como efetuar a subtração!
II. 4 3 2 7+ Não há como efetuar a adição!
Lembre-se que isso ocorre, pois estamos 
adicionando, na verdade, os seguintes nú-
meros: 1 2 1 2 2 2+ =
Multiplicação envolvendo os irracionais
É possível calcular o produto entre dois ou mais números irracionais, efetuando suas partes loca-
lizadas nas mesmas posições, sem a necessidade de que essas possuam o mesmo algarismo. 
Temos ainda, após a multiplicação, que fatorar o radicando encontrado ou extrair a raiz, quando 
possível, desse radicando.
Exemplo:
4 3 2 4 6× = Esse é o nosso produto pois, não existe fatores semelhantes na fa-toração do algarismo 6.
4 2 3 2 12 4 12 2 24× = = × = Extraímos a 4 2= e então finalizamos a operação. 24 é o nosso produto.
3 2 2 5 5 2 3 2 5 2 5 2 30 20× × = × × × × × =( ) ( ) Fatorando 20 teremos 22 . 5
Continue acompanhando:
30 2 5 30 4 5 30 4 5 30 2 5 60 5² ⋅ = ⋅ = × × = × =
Divisão envolvendo os irracionais
Inicialmente vamos relembrá-lo de que toda fração é também uma divisão. Isso é importante 
para que possamos mencionar que uma fração não pode possuir no seu denominador algarismo 
composto por raiz. 
Mas, o que fazer quando isso ocorre? 
E como isso ocorre?
Isso irá ocorrer exatamente na divisão envolvendo os números irracionais. Quanto ao que fazer, 
nós teremos que efetuar uma operação classificada como racionalização de denominadores. Só 
assim, conseguiremos o quociente da operação.
Exemplo:
I) 
2
3
=Temos aqui uma divisão onde no denominador existe um número irracional. 
Para racionalizar e assim resolver essa divisão, deve-se: multiplicar a fração existente por uma 
outra fração, onde o numerador e também o denominador, tenham o irracional da fração original.
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12
6. Qual dos números apresentados abaixo não 
é um irracional?
a. 5 .
b. 11 .
c. 67 .
d. X 625 .
e. 53 .
5. Qual dos números abaixo é claramente um 
número irracional?
a. 5,2323232323…
b. 0,561561561…
c. 2,91919191…
d. 0,1111111111…
e. X 1,112233445566…
8. Solucione as adições e subtrações envolven-
do os irracionais.
a. 2 3 5 3+ = 7 3
9. Determine os produtos das operações envol-
vendo os irracionais e quando possível simplifi-
que o radicando.
a. 3 2 5× =
b. 2 2 3 2 3 5× × =
c. 4 2 3 3 3× × =
2 15
18 20 18 2 5 36 5= ⋅ =
12 18 12 3 2 36 2= ⋅ =
10. Resolva as divisões, racionalizando sempre 
que necessário.
a. 
3 2
3
=
b. 
4 2
5
=
c. 
3
2
=
d. 
5 2
7
=
e. 
4 2
2 3
=
6
4 10
5
6
2
5 14
7
2 6
3
7. (Proeb) O valor de 7 é um número irracio-
nal. Esse valor está localizado na reta numérica 
entre os números naturais...
a. 1 e 2.
b. 2 e 3.
c. 3 e 4.
d. 4 e 5.
e. 5 e 6.
nessa reta numérica. Supondo que ela marque 
corretamente a sequência, leia com atenção as 
afirmações e marque a alternativa correta.
I. Todos os três pontos localizam-se entre os 
números 1 e 2.
II. Um desses pontos localiza-se entre os núme-
ros 2 e 3.
III. Dois desses pontos localizam-se entre os nú-
meros 1 e 2.
a. Apenas a alternativa I está correta.
b. As alternativas I e II estão corretas.
c. As alternativas I e III estão corretas.
d. X As alternativas II e III estão corretas.
e. Todas as alternativas estão corretas.
b. 4 2 2− =
c. 5 5 2 3 2 5 4 3− + + =
d. − + − =2 7 6 2 3 7
3 2
7 5 2 3+
6 2 5 7−
X
11. Dada a região retangular expressa pela figu-
ra, determine:
a. o perímetro. 
24 cm.
b. a área.
31 cm2.
6 5+( ) cm
6 5−( ) cm
13CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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Concluímos que se Luiz e José solucionarem corretamente suas operações e, em seguida, dividi-
rem os resultados, a resposta final obtida será, 
2
4
. 
Você sabia?
O número de Napier também é conhecido como número de Euler? 
 
O matemático escocês John Napier por volta do ano 1618, fez a primeira referência a constante 
matemática que estamos mencionando.
A constante ℓ tem valor infinito e não periódico igual a 2, 7182818...
Em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler essa constante é amplamente conhecida 
como o número de Euler.
Além de número de Napier e número de Euler, a constante apresentada ainda recebe outras 
classificações, são elas: constante de Néper, número de Neper, número neperiano e também núme-
ro exponencial. 
Todas essas classificações falam da mesma constante matemática. Portanto, fique de olho bem 
aberto e compreenda que essas classificações estão todas corretas, porém o nome de maior divul-
gação para esse número irracional é o número de Euler. 
Atividades
1. Pesquise e descubra a maior representação 
decimal do número de Neper.
e = 2,7182818284590452353602874... .
2. (PMSC) Leia as afirmações a seguir:
I. Os números naturais são aqueles inteiros não 
positivos mais o zero.
II. Os números irracionais são aqueles que re-
presentam dízimas periódicas.
III. Os números reais representam a soma dos 
números racionais com os irracionais.
 
Assinale a alternativa correta:
a. Somente a afirmação II está correta.
b. X Somente a afirmação III está correta.
c. Somente a afirmação I está correta.
d. Somente as afirmações II e III estão corretas.
4. Ana Célia possui uma reta numérica já com 
três pontos graduados. Ela necessita indicar cor-
retamente a localização dos pontos 2 3 5, e
3. Pedro, Eduarda, João e Mariana escolheram 
num livro de matemática de 9º ano, questões 
sobre operações com números irracionais. Cada 
um resolverá uma única questão, que estão 
Aluno Operação Resultado
Pedro 2 3 2+ = 4 2 5 6= ,
Eduarda 3 2
3
= 2
João 3 2 5 2− = –2,82...
Mariana 2 2× = 2
Resposta: A operação que terá valor menor é a 
de João –2,82...
apresentadas no quadro abaixo. Desejamos sa-
ber qual das operações terá, aproximadamente, 
o menor valor.
X
12 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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13
6. Qual dos números apresentados abaixo não 
é um irracional?
a. 5 .
b. 11 .
c. 67 .
d. X 625 .
e. 53 .
5. Qual dos números abaixo é claramente um 
número irracional?
a. 5,2323232323…
b. 0,561561561…
c. 2,91919191…
d. 0,1111111111…
e. X 1,112233445566…
8. Solucione as adições e subtrações envolven-
do os irracionais.
a. 2 3 5 3+ = 7 3
9. Determine os produtos das operações envol-
vendo os irracionais e quando possível simplifi-
que o radicando.
a. 3 2 5× =
b. 2 2 3 2 3 5× × =
c. 4 2 3 3 3× × =
2 15
18 20 18 2 5 36 5= ⋅ =
12 18 12 3 2 36 2= ⋅ =
10. Resolva as divisões,racionalizando sempre 
que necessário.
a. 
3 2
3
=
b. 
4 2
5
=
c. 
3
2
=
d. 
5 2
7
=
e. 
4 2
2 3
=
6
4 10
5
6
2
5 14
7
2 6
3
7. (Proeb) O valor de 7 é um número irracio-
nal. Esse valor está localizado na reta numérica 
entre os números naturais...
a. 1 e 2.
b. 2 e 3.
c. 3 e 4.
d. 4 e 5.
e. 5 e 6.
nessa reta numérica. Supondo que ela marque 
corretamente a sequência, leia com atenção as 
afirmações e marque a alternativa correta.
I. Todos os três pontos localizam-se entre os 
números 1 e 2.
II. Um desses pontos localiza-se entre os núme-
ros 2 e 3.
III. Dois desses pontos localizam-se entre os nú-
meros 1 e 2.
a. Apenas a alternativa I está correta.
b. As alternativas I e II estão corretas.
c. As alternativas I e III estão corretas.
d. X As alternativas II e III estão corretas.
e. Todas as alternativas estão corretas.
b. 4 2 2− =
c. 5 5 2 3 2 5 4 3− + + =
d. − + − =2 7 6 2 3 7
3 2
7 5 2 3+
6 2 5 7−
X
11. Dada a região retangular expressa pela figu-
ra, determine:
a. o perímetro. 
24 cm.
b. a área.
31 cm2.
6 5+( ) cm
6 5−( ) cm
13CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
Matematica_Contextualizada_9ºano_01.indd 13 20/06/2018 18:02:50
Concluímos que se Luiz e José solucionarem corretamente suas operações e, em seguida, dividi-
rem os resultados, a resposta final obtida será, 
2
4
. 
Você sabia?
O número de Napier também é conhecido como número de Euler? 
 
O matemático escocês John Napier por volta do ano 1618, fez a primeira referência a constante 
matemática que estamos mencionando.
A constante ℓ tem valor infinito e não periódico igual a 2, 7182818...
Em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler essa constante é amplamente conhecida 
como o número de Euler.
Além de número de Napier e número de Euler, a constante apresentada ainda recebe outras 
classificações, são elas: constante de Néper, número de Neper, número neperiano e também núme-
ro exponencial. 
Todas essas classificações falam da mesma constante matemática. Portanto, fique de olho bem 
aberto e compreenda que essas classificações estão todas corretas, porém o nome de maior divul-
gação para esse número irracional é o número de Euler. 
Atividades
1. Pesquise e descubra a maior representação 
decimal do número de Neper.
e = 2,7182818284590452353602874... .
2. (PMSC) Leia as afirmações a seguir:
I. Os números naturais são aqueles inteiros não 
positivos mais o zero.
II. Os números irracionais são aqueles que re-
presentam dízimas periódicas.
III. Os números reais representam a soma dos 
números racionais com os irracionais.
 
Assinale a alternativa correta:
a. Somente a afirmação II está correta.
b. X Somente a afirmação III está correta.
c. Somente a afirmação I está correta.
d. Somente as afirmações II e III estão corretas.
4. Ana Célia possui uma reta numérica já com 
três pontos graduados. Ela necessita indicar cor-
retamente a localização dos pontos 2 3 5, e
3. Pedro, Eduarda, João e Mariana escolheram 
num livro de matemática de 9º ano, questões 
sobre operações com números irracionais. Cada 
um resolverá uma única questão, que estão 
Aluno Operação Resultado
Pedro 2 3 2+ = 4 2 5 6= ,
Eduarda 3 2
3
= 2
João 3 2 5 2− = –2,82...
Mariana 2 2× = 2
Resposta: A operação que terá valor menor é a 
de João –2,82...
apresentadas no quadro abaixo. Desejamos sa-
ber qual das operações terá, aproximadamente, 
o menor valor.
X
12 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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14
2. Escolha algarismos e comprove as quatro operações relacionando racionais e irracionais, ao tér-
mino verifique se o resultado dessas operações é mesmo um número irracional.
Sugestão de resposta:
a.
b.
3 3 3 1 73205080 4 73205080
3 2 3 1 41421356 4
+ = + =
× = × =
, ... , ...
, ... ,, ...
, ...
, ...
24264068
5
2
2 236067977
2
1 118033988c. = =
Resgatando a história
A divergência entre Pitágoras e Hipaso
Pitágoras era o líder de uma sociedade de estudiosos na Grécia Antiga. Os pitagóricos 
eram respeitados e considerados por todos os gregos do mundo antigo como homens do 
saber.
Entre seus membros, um deles merece nossa menção especial. Trata-se de Hipaso de 
Metaponto, esse pitagórico nasceu em torno do ano 500 a.C., nas proximidades do golfo 
de Tarento. 
Foi Hipaso quem primeiro comprovou 
a existência dos números irracionais. Isso 
aconteceu num instante em que Pitágoras 
e seus seguidores, com exceção de Hipaso, 
pensavam que os números racionais conti-
nham toda a geometria. 
Surge então o cálculo da hipotenusa do 
triângulo retângulo com medida de catetos 
igual a uma unidade. 
Após o desenvolvimento do cálculo por 
Hipaso, apareceu um número ou medida 
até então desconhecida. Tal medida repre-
sentava um número irracional, Pitágoras não 
aceitou tal descoberta, ficou furioso e Hipa-
so, por sua vez, quebrou o silêncio, o que não era comum aos pitagóricos. Como conse-
quência, isso lhe custou a vida.
Não se tem registros de como realmente se deu a morte de Hipaso, o que se descobriu, 
muito tempo depois, é que ele tinha razão. 
A prova clara disso são os números irracionais que nos são apresentados hoje. 
Amplie o conhecimento
O número de ouro
Possuindo incontáveis aplicações, o número fí (phi) é representado no alfabeto grego 
pelo símbolo φ; Considerando dois pontos A e B, localizados nas extremidades opostas de 
um segmento de reta, tomando ainda um ponto X dividindo AB numa razão áurea, se X 
pertence ao segmento AB temos a relação de que AX
XB
= =
+
=φ
1 5
2
1 61803398, ...
ho
m
b
re
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
15CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
Matematica_Contextualizada_9ºano_01.indd 15 20/06/2018 18:02:51
Para analisar:
Identificando os irracionais
Desejamos identificar outros números pertencentes ao conjunto dos irracionais. 
Mas, como isso será possível?
Os números irracionais podem ser obtidos por meio da expressão p , onde p necessaria-
mente deve ser um número primo e positivo. Lembre-se que classificamos um número como 
sendo primo, se e somente se, esse número possuir apenas dois divisores, o número 1 e o 
próprio número p, que estaremos a analisar. 
Veja a seguir, a tabela com os números primos, existentes entre os números 1 e 100.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Outra maneira eficiente de identificar números pertencentes ao conjunto dos irracionais 
é fazer uso do fato de que, se ∝(mu) é um número irracional e ρ (rô) é um número racional 
diferente de zero, então são válidas as seguintes relações:
µ ρ+ = irracional
µ ρ⋅ = irracional
µ
ρ
= irracional
ρ
µ
= irracional
Conferindo as relações, temos, por exemplo: 2 2 5 3
2
3
3
5
+ , , , .
Confie e faça o teste você mesmo com alguns algarismos, diferentes dos aqui apresenta-
dos, para comprovar essas duas regras. 
Refletindo sobre o texto
1. Escolha no quadro dos números primos, 3 desses algarismos destacados em salmão e com o 
auxílio de uma calculadora, comprove e registre se o resultado de suas raízes quadradas é mesmo 
um número irracional.
Sugestão de resposta: 37 6 082762530 61 7 810249675 97 9 848857801= = =, ... , ... , ...
14 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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15
2. Escolha algarismos e comprove as quatro operações relacionando racionais e irracionais, ao tér-
mino verifique se o resultado dessas operações é mesmo um número irracional.
Sugestão de resposta:
a.
b.
3 3 3 1 73205080 4 73205080
3 2 3 1 41421356 4
+ = + =
× = × =
, ... , ...
, ... ,, ...
, ...
, ...
24264068
5
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2 236067977
2
1118033988c. = =
Resgatando a história
A divergência entre Pitágoras e Hipaso
Pitágoras era o líder de uma sociedade de estudiosos na Grécia Antiga. Os pitagóricos 
eram respeitados e considerados por todos os gregos do mundo antigo como homens do 
saber.
Entre seus membros, um deles merece nossa menção especial. Trata-se de Hipaso de 
Metaponto, esse pitagórico nasceu em torno do ano 500 a.C., nas proximidades do golfo 
de Tarento. 
Foi Hipaso quem primeiro comprovou 
a existência dos números irracionais. Isso 
aconteceu num instante em que Pitágoras 
e seus seguidores, com exceção de Hipaso, 
pensavam que os números racionais conti-
nham toda a geometria. 
Surge então o cálculo da hipotenusa do 
triângulo retângulo com medida de catetos 
igual a uma unidade. 
Após o desenvolvimento do cálculo por 
Hipaso, apareceu um número ou medida 
até então desconhecida. Tal medida repre-
sentava um número irracional, Pitágoras não 
aceitou tal descoberta, ficou furioso e Hipa-
so, por sua vez, quebrou o silêncio, o que não era comum aos pitagóricos. Como conse-
quência, isso lhe custou a vida.
Não se tem registros de como realmente se deu a morte de Hipaso, o que se descobriu, 
muito tempo depois, é que ele tinha razão. 
A prova clara disso são os números irracionais que nos são apresentados hoje. 
Amplie o conhecimento
O número de ouro
Possuindo incontáveis aplicações, o número fí (phi) é representado no alfabeto grego 
pelo símbolo φ; Considerando dois pontos A e B, localizados nas extremidades opostas de 
um segmento de reta, tomando ainda um ponto X dividindo AB numa razão áurea, se X 
pertence ao segmento AB temos a relação de que AX
XB
= =
+
=φ
1 5
2
1 61803398, ...
ho
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b
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15CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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Para analisar:
Identificando os irracionais
Desejamos identificar outros números pertencentes ao conjunto dos irracionais. 
Mas, como isso será possível?
Os números irracionais podem ser obtidos por meio da expressão p , onde p necessaria-
mente deve ser um número primo e positivo. Lembre-se que classificamos um número como 
sendo primo, se e somente se, esse número possuir apenas dois divisores, o número 1 e o 
próprio número p, que estaremos a analisar. 
Veja a seguir, a tabela com os números primos, existentes entre os números 1 e 100.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Outra maneira eficiente de identificar números pertencentes ao conjunto dos irracionais 
é fazer uso do fato de que, se ∝(mu) é um número irracional e ρ (rô) é um número racional 
diferente de zero, então são válidas as seguintes relações:
µ ρ+ = irracional
µ ρ⋅ = irracional
µ
ρ
= irracional
ρ
µ
= irracional
Conferindo as relações, temos, por exemplo: 2 2 5 3
2
3
3
5
+ , , , .
Confie e faça o teste você mesmo com alguns algarismos, diferentes dos aqui apresenta-
dos, para comprovar essas duas regras. 
Refletindo sobre o texto
1. Escolha no quadro dos números primos, 3 desses algarismos destacados em salmão e com o 
auxílio de uma calculadora, comprove e registre se o resultado de suas raízes quadradas é mesmo 
um número irracional.
Sugestão de resposta: 37 6 082762530 61 7 810249675 97 9 848857801= = =, ... , ... , ...
14 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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16
7. Observe a tabela com atenção e determine 
quais os irracionais apresentados.
25 36 64
41 43 225
100 1 024. 144
Praticando mais
1. Quantos números inteiros pertencem ao in-
tervalo entre os irracionais 2 e 11?
a. Um número.
b. X Dois números.
c. Três números.
d. Quatro números.
2. Na sequência numérica 2
5
2
50
2
3, , e
quantos são irracionais?
a. 1.
b. 2.
c. 3.
d. X todos são irracionais.
3. (UFF – Adaptada) O resultado da operação en-
tre os irracionais π − 2 vale aproximadamente:
a. 2,12.
b. 1,12.
c. 1,53.
d. X 1,73.
e. 2,22.
4. Analise com atenção as afirmações abaixo e 
marque a alternativa correta.
I. O produto de qualquer número inteiro não 
nulo por um número irracional qualquer é um 
número irracional.
II. O quadrado de qualquer número irracional é 
também um número irracional.
III. Toda fração que possua no numerador um 
número racional tem como quociente tam-
bém um número racional.
a. Apenas alternativa I está correta.
b. Apenas alternativa II está correta.
c. Apenas alternativa III está correta.
d. As alternativas I e II estão corretas.
e. X As alternativas I e III estão corretas.
5. Sejam os números x, y, z e w apresentados a 
seguir: x = 3 , y = 6 , z = 12 e w = 24. Qual 
6. Das alternativas apresentadas, marque a úni-
ca que não resulta em um número irracional.
a. X 0 0083 ,
b. 0 4,
c. 324
d. 
10
π
8. Complete a tabela abaixo na sequência cor-
reta, sabendo que essa possui apenas números 
irracionais na forma de raiz quadrada.
2 3 5
6 7 8
10 11 12
das expressões abaixo, utilizando os racionais e 
irracionais, apresenta como resultado um núme-
ro natural?
a. X y . w – x . z
b. x . w + y . z
c. x . y (w – z)
d. x . z (y + w)
9. Analise com atenção as afirmações e marque 
a opção correta.
I. O número 8 não é um número irracional.
II. O número 16 não é um número irracional.
III. O número 121 é um número irracional.
41 43e
17CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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Aprimorando conceitos
Essa relação nos apresenta mais um número decimal infinito não periódico pertencente 
ao conjunto dos números irracionais.
IV. Quais os dois modos principais para verificar se um número pertence ao conjunto dos 
irracionais?
I. O que é um número irracional?
É um número decimal infinito que não possui período.
II. Qual o modo prático para identificar a posição de um número irracional na reta numérica?
O modo prático consiste em transformar esse número na sua forma decimal e só então 
localizá-lo na reta.
III. Aponte a denominação correta: número de Napier ou de Euler? Explique.
As duas classificações estão corretas, uma vez que Napier fez uma homenagem a Leonard 
Euler. Mas foi Napier, o primeiro a apresentar a constante pertencente aos irracionais.
V. Quem estava certo Pitágoras ou Hipaso? Explique.
Hipaso estava correto, existiam números ainda não descobertos na época. Esses números 
hoje são os classificados como irracionais.
VI. Qual a principal relação que nos dá como resultado o número de ouro?
A relação é dada por AX
XB
= =
+
=φ
1 5
2
1 61803398, ... onde a letra grega fí (ou phi) é o nosso nú-
mero de ouro.
Podem ser obtidos por meio da expressão p , onde p necessariamente deve ser um nú-
mero primo e positivo. Ou ainda, pelas relações entre dois números um racional e o outro 
irracional, apresentadas abaixo.
µ ρ+ = irracional.
µ ρ⋅ = irracional.
µ
ρ
= irracional.
ρ
µ
= irracional.
16 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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17
7. Observe a tabela com atenção e determine 
quais os irracionais apresentados.
25 36 64
41 43 225
100 1 024. 144
Praticando mais
1. Quantos números inteiros pertencem ao in-
tervalo entre os irracionais 2 e 11?
a. Um número.
b. X Dois números.
c. Três números.
d. Quatro números.
2. Na sequência numérica 2
5
2
50
2
3, , e
quantos são irracionais?
a. 1.
b. 2.
c. 3.
d. X todos são irracionais.
3. (UFF – Adaptada) O resultado da operação en-
tre os irracionais π − 2 vale aproximadamente:
a. 2,12.
b. 1,12.
c. 1,53.
d. X 1,73.
e. 2,22.
4. Analise com atenção as afirmaçõesabaixo e 
marque a alternativa correta.
I. O produto de qualquer número inteiro não 
nulo por um número irracional qualquer é um 
número irracional.
II. O quadrado de qualquer número irracional é 
também um número irracional.
III. Toda fração que possua no numerador um 
número racional tem como quociente tam-
bém um número racional.
a. Apenas alternativa I está correta.
b. Apenas alternativa II está correta.
c. Apenas alternativa III está correta.
d. As alternativas I e II estão corretas.
e. X As alternativas I e III estão corretas.
5. Sejam os números x, y, z e w apresentados a 
seguir: x = 3 , y = 6 , z = 12 e w = 24. Qual 
6. Das alternativas apresentadas, marque a úni-
ca que não resulta em um número irracional.
a. X 0 0083 ,
b. 0 4,
c. 324
d. 
10
π
8. Complete a tabela abaixo na sequência cor-
reta, sabendo que essa possui apenas números 
irracionais na forma de raiz quadrada.
2 3 5
6 7 8
10 11 12
das expressões abaixo, utilizando os racionais e 
irracionais, apresenta como resultado um núme-
ro natural?
a. X y . w – x . z
b. x . w + y . z
c. x . y (w – z)
d. x . z (y + w)
9. Analise com atenção as afirmações e marque 
a opção correta.
I. O número 8 não é um número irracional.
II. O número 16 não é um número irracional.
III. O número 121 é um número irracional.
41 43e
17CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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Aprimorando conceitos
Essa relação nos apresenta mais um número decimal infinito não periódico pertencente 
ao conjunto dos números irracionais.
IV. Quais os dois modos principais para verificar se um número pertence ao conjunto dos 
irracionais?
I. O que é um número irracional?
É um número decimal infinito que não possui período.
II. Qual o modo prático para identificar a posição de um número irracional na reta numérica?
O modo prático consiste em transformar esse número na sua forma decimal e só então 
localizá-lo na reta.
III. Aponte a denominação correta: número de Napier ou de Euler? Explique.
As duas classificações estão corretas, uma vez que Napier fez uma homenagem a Leonard 
Euler. Mas foi Napier, o primeiro a apresentar a constante pertencente aos irracionais.
V. Quem estava certo Pitágoras ou Hipaso? Explique.
Hipaso estava correto, existiam números ainda não descobertos na época. Esses números 
hoje são os classificados como irracionais.
VI. Qual a principal relação que nos dá como resultado o número de ouro?
A relação é dada por AX
XB
= =
+
=φ
1 5
2
1 61803398, ... onde a letra grega fí (ou phi) é o nosso nú-
mero de ouro.
Podem ser obtidos por meio da expressão p , onde p necessariamente deve ser um nú-
mero primo e positivo. Ou ainda, pelas relações entre dois números um racional e o outro 
irracional, apresentadas abaixo.
µ ρ+ = irracional.
µ ρ⋅ = irracional.
µ
ρ
= irracional.
ρ
µ
= irracional.
16 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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18
17. (SAEP – Adaptada) Adriana mediu o compri-
mento de um lápis e encontrou 9,84 cm, como 
medida aproximada. Essa medida equivale apro-
ximadamente a:
a. 73.
b. 79.
c. 83.
d. X 97.
18. A professora de matemática propôs como 
exercício a expressão 2 3 6 4× + . Os alunos 
que resolveram corretamente a expressão en-
contraram como resultado:
a. 6 2 1+ .
b. X 6 2 2+ .
c. 3 3 1+ .
d. 3 3 2+ .
19. Solucionando a expressão: 
2
5
6
5
, temos 
como resultado:
a. 
1
2
.
b. X 
1
3
.
c. 
1
4
.
d. 
1
5
.
20. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) 
ou falsas (F).
I. O número −1é irracional.
II. O número 3 não é irracional.
III. O número 2 3 não é irracional.
a. V, V, V.
b. V, V, F.
c. F, V, V.
d. X F, F, F.
21. Uma torre de 40 metros de altura é susten-
tada por dois cabos de aço que estão a 35 me-
tros da base da torre, conforme mostra a figura 
abaixo. Quantos metros de cabo de aço foram 
necessários para essa sustentação?
35 cm 35 cm
40
 m
22. Simplifique a expressão:
 A= −( ) + +( )3 3 3 32 2 .
4 3.
23. O valor da expressão 
81 49
81 49
+
−
:
a. não é um número inteiro.
b. é um número irracional.
c. X é um número real.
d. não é um número racional.
a. X 10 113( ) cm.
b. 11 13( ) cm.
c. 12 13( ) cm.
d. 13 13( ) cm.
e. 14 13( ) cm.
24. (UFSM) O valor da expressão 
60 000 0 00009
0 0002
3
. ,
,
×
 é:
a. 3 × 10³.
b. 3 × 102 
c. X 3 ×101. 
d. 9 × 103. 
e. 27 × 10³.
19CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
Matematica_Contextualizada_9ºano_01.indd 19 20/06/2018 18:02:56
10. Observe a reta numérica abaixo e informe 
quais os irracionais indicados pelas setas.
a. 2 3e .
b. 3 5e .
c. 5 6e .
d. X 6 7e .
e. 7 8e .
0 1 2 3
11. (Prova Brasil) O número irracional 7 está 
compreendido entre os números:
a. X 2 e 3.
b. 13 e 15.
c. 3 e 4.
d. 6 e 8.
14. (SAEB) Sabendo que cada quadrado da fi-
gura abaixo tem 1 cm de lado. O perímetro e 
a área, respectivamente, da figura hachurada é:
a. 6 4 2+ cm e 5 cm².
b. X 4 4 2+ cm e 4 cm².
c. 8 4 2+ cm e 4 cm².
d. 10 4 2+ cm e 6 cm².
16. (SAEB – Adaptada) Desenvolvendo a ex-
pressão ( ) ( )2 3 2 3+ × + , vamos obter:
a. 5. 
b. 5.
c. X 5 2 6+ .
d. 5 12+ .
13. O número 2 3 , quando dividido em quatro 
partes, resulta no número:
a. 3 .
b. 1,73...
c. X 
3
2
.
d. Todas as alternativas estão incorretas.
15. (SAEB – Adaptada) Uma caixa-d’água com 
a forma de um paralelepípedo, mede 2 m de 
comprimento por 3 3 m de largura e 3 m de 
altura. A figura abaixo ilustra essa caixa. Consi-
dere 3 =1,7.
O volume da caixa-d’água, em m³, é:
a. 8,0.
b. 11,0.
c. 16,0.
d. X 18,0.
3 3 m
3 m
2 m
12. Vamos provar, pela decomposição em fato-
res primos dos radicandos, qual dos números 
abaixo é um número irracional.
a. 1253 .
b. 225 .
c. 169 .
d. 643 .
e. X 8 .
a. Apenas a afirmação I está correta.
b. X Apenas a afirmação II está correta.
c. Apenas a afirmação III está correta.
d. As afirmações I e II estão corretas.
e. As afirmações I e III estão corretas.
18 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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19
17. (SAEP – Adaptada) Adriana mediu o compri-
mento de um lápis e encontrou 9,84 cm, como 
medida aproximada. Essa medida equivale apro-
ximadamente a:
a. 73.
b. 79.
c. 83.
d. X 97.
18. A professora de matemática propôs como 
exercício a expressão 2 3 6 4× + . Os alunos 
que resolveram corretamente a expressão en-
contraram como resultado:
a. 6 2 1+ .
b. X 6 2 2+ .
c. 3 3 1+ .
d. 3 3 2+ .
19. Solucionando a expressão: 
2
5
6
5
, temos 
como resultado:
a. 
1
2
.
b. X 
1
3
.
c. 
1
4
.
d. 
1
5
.
20. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) 
ou falsas (F).
I. O número −1é irracional.
II. O número 3 não é irracional.
III. O número 2 3 não é irracional.
a. V, V, V.
b. V, V, F.
c. F, V, V.
d. X F, F, F.
21. Uma torre de 40 metros de altura é susten-
tada por dois cabos de aço que estão a 35 me-
tros da base da torre, conforme mostra a figura 
abaixo. Quantos metros de cabo de aço foram 
necessários para essa sustentação?
35 cm 35 cm
40
 m
22. Simplifique a expressão:
 A= −( ) + +( )3 3 3 32 2 .
4 3.
23. O valor da expressão 
81 49
81 49
+
−
:
a. não é um número inteiro.
b. é um número irracional.
c. X é um número real.
d. não é um número racional.
a. X 10 113( ) cm.
b. 11 13( ) cm.
c. 12 13( ) cm.
d. 13 13( ) cm.
e. 14 13( ) cm.
24. (UFSM) O valor da expressão 
60 000 0 00009
0 0002
3
. ,
,
×
 é:
a. 3 × 10³.
b. 3 × 102 
c. X 3 ×101. 
d. 9 × 103. 
e. 27 × 10³.
19CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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10. Observe a reta numérica abaixo e informe 
quaisos irracionais indicados pelas setas.
a. 2 3e .
b. 3 5e .
c. 5 6e .
d. X 6 7e .
e. 7 8e .
0 1 2 3
11. (Prova Brasil) O número irracional 7 está 
compreendido entre os números:
a. X 2 e 3.
b. 13 e 15.
c. 3 e 4.
d. 6 e 8.
14. (SAEB) Sabendo que cada quadrado da fi-
gura abaixo tem 1 cm de lado. O perímetro e 
a área, respectivamente, da figura hachurada é:
a. 6 4 2+ cm e 5 cm².
b. X 4 4 2+ cm e 4 cm².
c. 8 4 2+ cm e 4 cm².
d. 10 4 2+ cm e 6 cm².
16. (SAEB – Adaptada) Desenvolvendo a ex-
pressão ( ) ( )2 3 2 3+ × + , vamos obter:
a. 5. 
b. 5.
c. X 5 2 6+ .
d. 5 12+ .
13. O número 2 3 , quando dividido em quatro 
partes, resulta no número:
a. 3 .
b. 1,73...
c. X 
3
2
.
d. Todas as alternativas estão incorretas.
15. (SAEB – Adaptada) Uma caixa-d’água com 
a forma de um paralelepípedo, mede 2 m de 
comprimento por 3 3 m de largura e 3 m de 
altura. A figura abaixo ilustra essa caixa. Consi-
dere 3 =1,7.
O volume da caixa-d’água, em m³, é:
a. 8,0.
b. 11,0.
c. 16,0.
d. X 18,0.
3 3 m
3 m
2 m
12. Vamos provar, pela decomposição em fato-
res primos dos radicandos, qual dos números 
abaixo é um número irracional.
a. 1253 .
b. 225 .
c. 169 .
d. 643 .
e. X 8 .
a. Apenas a afirmação I está correta.
b. X Apenas a afirmação II está correta.
c. Apenas a afirmação III está correta.
d. As afirmações I e II estão corretas.
e. As afirmações I e III estão corretas.
18 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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20
Espaço para cálculos
21CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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32. Qual o valor da expressão − + =5 9 2 169 ?
a. 13
b. 12
c. X 11
d. 9
e. 6
25. Calcule:
a. 25 27 813 4+ + = 
b. 64 64 643 6+ − + = 
11
6
26. Efetue:
a. 3 5 5 6 5+ − =
b. 5 3 2 3 2 3 35 5 5 5+ − + =
c. − + + − =4 5 2 5 43 3
d. 2 3 2 3 3 3 3 35 5− + + =
e. 50 18 8+ − =
f. 2 27 5 12− =
g. 4 63 7− =
h. 12 75 108+ + =
−2 5
6 35
− +8 3 53
5 3 35 +
6 2
−4 3
11 7
13 3
27. Encontre o perímetro das figuras, cujas me-
didas de seus lados são dadas numa mesma 
unidade de medida de comprimento. 
a.
a.
b.
b.
2 3
3 3
32
18
10 3
9 2
29. Calcule a área e o perímetro das figuras, 
cujas medidas indicadas são dadas numa mes-
ma unidade de medida de comprimento.
8
3
1 2+
2 2
2
3 2
1,5 1,5
Área – 
Perímetro – 
Área – 
Perímetro – 
3 6+
2 3 1 2+ +( )
5
3 5 2+
28. Calcule o valor das expressões:
a. 18 98 200 2 2 8+ +( ) ÷ +( ) =
b. 10 27 10 3 10 3+( ) ÷ =
c. 20 10 10 18 2 2+( ) ÷ =
30.Calcule as potências com radicais:
a. 15
2( ) =
b. 3 7
2( ) =
c. 7 3
2
+( ) =
d. 3 7
2
−( ) =
15
63
10 2 21+
16 6 7−
31. Calcule o valor da expressão A = + +x x4 2 2 
para x = 3 .
14.
5
4
5 5 3( )+
20 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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21
•	Identificar	 números	 irracionais	 e	 re-
presentá-los	na	reta	numérica.	
•	Resolver	 operações	 e	 problemas	
com	números	irracionais.
•	Identificar	 os	 números	 irracionais	
mais	conhecidos.	
Objetivos alcançados
Anotações
Espaço para cálculos
21CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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32. Qual o valor da expressão − + =5 9 2 169 ?
a. 13
b. 12
c. X 11
d. 9
e. 6
25. Calcule:
a. 25 27 813 4+ + = 
b. 64 64 643 6+ − + = 
11
6
26. Efetue:
a. 3 5 5 6 5+ − =
b. 5 3 2 3 2 3 35 5 5 5+ − + =
c. − + + − =4 5 2 5 43 3
d. 2 3 2 3 3 3 3 35 5− + + =
e. 50 18 8+ − =
f. 2 27 5 12− =
g. 4 63 7− =
h. 12 75 108+ + =
−2 5
6 35
− +8 3 53
5 3 35 +
6 2
−4 3
11 7
13 3
27. Encontre o perímetro das figuras, cujas me-
didas de seus lados são dadas numa mesma 
unidade de medida de comprimento. 
a.
a.
b.
b.
2 3
3 3
32
18
10 3
9 2
29. Calcule a área e o perímetro das figuras, 
cujas medidas indicadas são dadas numa mes-
ma unidade de medida de comprimento.
8
3
1 2+
2 2
2
3 2
1,5 1,5
Área – 
Perímetro – 
Área – 
Perímetro – 
3 6+
2 3 1 2+ +( )
5
3 5 2+
28. Calcule o valor das expressões:
a. 18 98 200 2 2 8+ +( ) ÷ +( ) =
b. 10 27 10 3 10 3+( ) ÷ =
c. 20 10 10 18 2 2+( ) ÷ =
30.Calcule as potências com radicais:
a. 15
2( ) =
b. 3 7
2( ) =
c. 7 3
2
+( ) =
d. 3 7
2
−( ) =
15
63
10 2 21+
16 6 7−
31. Calcule o valor da expressão A = + +x x4 2 2 
para x = 3 .
14.
5
4
5 5 3( )+
20 CAPÍTULO 1 I Os números irracionais
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ME_Matemática_Contextualizada_9A_01.indd 21 22/07/2018 15:00:19
•	 Neste capítulo reconheceremos as diversas 
representações de um número pertencente 
ao conjunto dos números reais;
•	 Localizaremos algumas dessas 
representações na reta numérica;
•	 Solucionaremos operações envolvendo 
números reais, principalmente na forma de 
potências com expoentes fracionários e 
também de notações científicas.
•	 Finalmente, aprenderemos a trabalhar com 
unidades de medidas muito grandes e 
também muito pequenas, padronizando as 
operações em que esses tipos de medidas 
estejam envolvidas.
Pirâmides de Gizé ao fundo, na cidade do 
Cairo, Egito. Foram os egípcios que des-
cobriram o conceito de números reais.
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 23 20/06/2018 18:03:41
Os números reais
C
A
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 2
Pr
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am
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hu
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•	 Neste capítulo reconheceremos as diversas 
representações de um número pertencente 
ao conjunto dos números reais;
•	 Localizaremos algumas dessas 
representações na reta numérica;
•	 Solucionaremos operações envolvendo 
números reais, principalmente na forma de 
potências com expoentes fracionários e 
também de notações científicas.
•	 Finalmente, aprenderemos a trabalhar com 
unidades de medidas muito grandes e 
também muito pequenas, padronizando as 
operações em que esses tipos de medidas 
estejam envolvidas.
Pirâmides de Gizé ao fundo, na cidade do 
Cairo, Egito. Foram os egípcios que des-
cobriram o conceito de números reais.
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Os números reais
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24
Conteúdos 
conceituais
•	Apresentação	dos	números	reais;
•	Representação	dos	números	reais	na	
reta	numérica;
•	Operações	 com	 potências	 de	 ex-
poentes	negativos	ou	fracionários;
•	Identificar	e	 aplicar	 a	notação	cien-
tífica;
•	Operações	com	números	reais;
•	Problemas	envolvendo	números	reais.
BNCC
•	Necessidade	dos	números	reais	pa-
ra	medir	qualquer	segmento	de	reta.
•	Potências	com	expoentes	negativos	
e	fracionários.
•	Números	 reais:	 notação	 científica	 e	
problemas.	
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF09MA02)	Reconhecer	um	número	
irracional	 como	 um	 número	 real	 cuja	
representação	decimal	é	infinita	e	não	
periódica,	 e	 estimar	 a	 localização	 de	
alguns	deles	na	reta	numérica.	
(EF09MA03)	Efetuar	cálculos	com	nú-
meros	 reais,	 inclusive	 potências	 com	
expoentes	fracionários.
(EF09MA04)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	 com	 números	 reais,	 inclusive	
em	notação	científica,	envolvendo	di-
ferentes	operações.
Anotações
2. Classifique cada afirmação como verdadeira 
(V) ou falsa (F). E prove, algebricamente, sua res-
posta.
a. V A multiplicação de dois números irracio-
nais pode resultar em um número racional.
c. F Todo número inteiro é também um nú-
mero natural.
d. F Todo número na forma decimal e periódi-
ca é pertencente apenasao conjunto dos 
números irracionais.
b. F A soma de dois números racionais é sem-
pre um número irracional.
2 2 4 2× = = ±
1
2
3
2
4
2
2+ = =
–1, –3,...são exemplos de inteiros que 
não são naturais.
1
3
0 333
2
9
0 222= → =, ... , ... são exemplos 
de decimais periódicos que pertencem aos 
racionais.
Os números reais para medir os segmentos de reta
É necessário compreender que há segmentos de reta que possuem comprimento não apresen-
tados através de um número racional. 
Como isso é possível?
Se não posso graduar o segmento por meio de um número racional, como graduar ou apresentar 
a medida de tal segmento?
Acompanhe conosco as soluções dos problemas que consistem na graduação do segmento 
desconhecido nos triângulos apresentados abaixo. 
1º caso:
Utilizaremos a aplicação do teorema fundamental da trigonometria, mais conhecido como Teore-
ma de Pitágoras. Mais adiante neste mesmo capítulo, daremos maiores detalhes desse tema.
Temos ao lado um triângulo retângulo do tipo 
isósceles, pois dois de seus segmentos (lados) pos-
suem a mesma medida de 1 centímetro. O seg-
mento desconhecido é o maior desse triângulo e 
segundo o teorema de Pitágoras, temos a seguinte 
relação matemática a solucionar:
S² ² ²= +1 1
O quadrado do segmento desconhecido, por 
ser o segmento maior, é igual à soma dos quadra-
dos dos dois segmentos menores.
1 cm
1 cm
S
25CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 25 20/06/2018 18:03:42
Os números reais
Iremos iniciar nosso capítulo afirmando que todos os números apresentados a você até aqui, 
sejam eles naturais, inteiros, fracionários, decimais, etc. fazem parte do conjunto dos números reais.
Para uma melhor explicação e compreensão, observe o diagrama abaixo:
Esse diagrama apresenta todos os nossos conjuntos numéricos e a relação entre eles. O conjunto 
numérico que estudaremos agora, é na verdade um agrupamento de tudo, referente a conjuntos 
numéricos, até aqui estudado.
Analisando o diagrama, podemos confirmar as seguintes proposições:
 Todo número pertencente ao conjunto dos números naturais (N) é também um número perten-
cente ao conjunto dos números inteiros (Z). 
 Todo número pertencente ao conjunto dos números inteiros (Z) é também pertencente ao 
conjunto dos números racionais (Q).
 Todo número pertencente ao conjunto dos números irracionais (I) é um elemento distinto em 
relação aos elementos dos conjuntos dos naturais, inteiros e racionais.
 Finalmente, todos os elementos pertencentes aos conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e 
também irracionais pertencem ao conjunto dos números reais (R).
Atividades
1. Classifique a que conjuntos numéricos os ele-
mentos apresentados abaixo pertencem.
a. 2,13131313…
Conjunto dos números racionais.
c. 1.423
Conjunto dos números racionais.
e. 
2
2
Conjunto dos números irracionais.
b. 15,2
Conjunto dos números racionais.
d. 
1
2
Conjunto dos números racionais.
R
Q
Z
NI
24 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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25
2. Classifique cada afirmação como verdadeira 
(V) ou falsa (F). E prove, algebricamente, sua res-
posta.
a. V A multiplicação de dois números irracio-
nais pode resultar em um número racional.
c. F Todo número inteiro é também um nú-
mero natural.
d. F Todo número na forma decimal e periódi-
ca é pertencente apenas ao conjunto dos 
números irracionais.
b. F A soma de dois números racionais é sem-
pre um número irracional.
2 2 4 2× = = ±
1
2
3
2
4
2
2+ = =
–1, –3,...são exemplos de inteiros que 
não são naturais.
1
3
0 333
2
9
0 222= → =, ... , ... são exemplos 
de decimais periódicos que pertencem aos 
racionais.
Os números reais para medir os segmentos de reta
É necessário compreender que há segmentos de reta que possuem comprimento não apresen-
tados através de um número racional. 
Como isso é possível?
Se não posso graduar o segmento por meio de um número racional, como graduar ou apresentar 
a medida de tal segmento?
Acompanhe conosco as soluções dos problemas que consistem na graduação do segmento 
desconhecido nos triângulos apresentados abaixo. 
1º caso:
Utilizaremos a aplicação do teorema fundamental da trigonometria, mais conhecido como Teore-
ma de Pitágoras. Mais adiante neste mesmo capítulo, daremos maiores detalhes desse tema.
Temos ao lado um triângulo retângulo do tipo 
isósceles, pois dois de seus segmentos (lados) pos-
suem a mesma medida de 1 centímetro. O seg-
mento desconhecido é o maior desse triângulo e 
segundo o teorema de Pitágoras, temos a seguinte 
relação matemática a solucionar:
S² ² ²= +1 1
O quadrado do segmento desconhecido, por 
ser o segmento maior, é igual à soma dos quadra-
dos dos dois segmentos menores.
1 cm
1 cm
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25CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Os números reais
Iremos iniciar nosso capítulo afirmando que todos os números apresentados a você até aqui, 
sejam eles naturais, inteiros, fracionários, decimais, etc. fazem parte do conjunto dos números reais.
Para uma melhor explicação e compreensão, observe o diagrama abaixo:
Esse diagrama apresenta todos os nossos conjuntos numéricos e a relação entre eles. O conjunto 
numérico que estudaremos agora, é na verdade um agrupamento de tudo, referente a conjuntos 
numéricos, até aqui estudado.
Analisando o diagrama, podemos confirmar as seguintes proposições:
 Todo número pertencente ao conjunto dos números naturais (N) é também um número perten-
cente ao conjunto dos números inteiros (Z). 
 Todo número pertencente ao conjunto dos números inteiros (Z) é também pertencente ao 
conjunto dos números racionais (Q).
 Todo número pertencente ao conjunto dos números irracionais (I) é um elemento distinto em 
relação aos elementos dos conjuntos dos naturais, inteiros e racionais.
 Finalmente, todos os elementos pertencentes aos conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e 
também irracionais pertencem ao conjunto dos números reais (R).
Atividades
1. Classifique a que conjuntos numéricos os ele-
mentos apresentados abaixo pertencem.
a. 2,13131313…
Conjunto dos números racionais.
c. 1.423
Conjunto dos números racionais.
e. 
2
2
Conjunto dos números irracionais.
b. 15,2
Conjunto dos números racionais.
d. 
1
2
Conjunto dos números racionais.
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Q
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24 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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26
 Divisão de potências de mesmo expoente: Nesse caso, devemos dividir as bases (a de cima 
pela de baixo) e depois repetirmos o expoente. Lembre-se que só podemos dividir as bases se o 
número de cima for divisível pelo número de baixo, caso as bases não sejam divisíveis, você deve 
manter a fração e então resolver as potências normalmente, ou seja, resolva a potência de cima e 
depois resolva a potência de baixo.
Exemplo: 
6
2
6
2
3 9
2
2
2




 =





 = =²
Vamos agora solucionar potências com expoentes negativos e também potências com expoen-
tes fracionários. Acompanhe os exemplos com atenção.
 Potência com base elevada a zero: Todo número elevado a zero é igual a 1, com exceção do 
zero.
Exemplos:
3 1
21 761 1
0
0
=
=.
 Potência de um produto: Quando temos uma multiplicação elevada a um expoente podemos 
dizer que cada membro dessa multiplicação está elevado a esse mesmo expoente.
Exemplo:
( )4 2 4 2 4 4 4 2 2 2 5123 3 3× = × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 Multiplicação de potências de mesma base: Quando temos potências de mesma base sen-
do multiplicadas entre si, devemos repetir a base dessas potências e somar todos os expoentes de 
cada potência, chegando a uma nova potência que poderá ser resolvida por alguma das proprieda-
des citadas anteriormente. 
Exemplo: 
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 7292 1 3 2 1 3 6⋅ ⋅ = = =+ +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 12 1 3 2 1 3 0⋅ ⋅ = = =−+ −
 Divisão de potências de mesma base: Quando temos potências de mesma base sendo di-
vidas entre si, devemos repetir a base dessas potências e subtrair o expoente do numerador pelo 
denominador.
Exemplo: 
3
3
3 3 27
5
5 2
²
³= = =−
 Potência de uma potência: Pode acontecer de em alguma questão, existir uma potência ele-
vada a um expoente. A esse caso chamamos de potência de uma potência e para resolver, basta 
mantermos a base e depois multiplicarmos os expoentes para acharmos a nova potência equivalente. 
Exemplo:
3 3 59 0495 10² .( ) = =
 Potências com expoentes negativos: Quando uma potência possuir expoente negativo, para 
solucioná-la devemos inverter a posição entre numerador e denominador, que são a base da po-
27CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Solucionando, temos:
S
S
S
² ² ²
²
= +
= +
=
1 1
1 1
2 cm
Perceba que temos como resultado da medida um número irracional. Se um número é irracional, 
ele não pode ser racional sob nenhuma condição. Porém, esse número é um membro do conjunto 
dos números reais. No triângulo aparecem dois segmentos graduados com números racionais e 
um terceiro graduado com número irracional e os três lados ou segmentos estão graduados com 
números reais. 
2º caso:
Vamos agora verificar a graduação ou medição de outro segmento de reta em outra situação 
apresentada. 
O triângulo a seguir possui medida de área igual a 2 3 cm2, sua base possui medida de 4 cm. 
Deseja-se descobrir a medida da altura desse triângulo mencionado.
4 cm
h
Vamos manipular a expressão que determina a área 
desse triângulo, para só após definir a altura do triângulo. 
Acompanhe.
A
b h
=
×
2
Para isolar a incógnita (h) que representa a altura do triân-
gulo, temos:
A b h h
A
b
× = × → =
×
2
2
Substituindo os valores e determinando a medida da altura, temos:
h h h=
×
→ = → =
2 3 2
4
4 3
4
3 cm
Nesse caso, vemos a graduação de um segmento de reta com um número real. Esse número 
pertence também ao conjunto dos irracionais e não ao conjunto dos racionais. 
Potências com expoentes negativos e fracionários
Sabemos que potência é uma multiplicação de fatores iguais. Vimos em anos anteriores que o 
estudo das potências possui aplicações de propriedades específicas. 
Vamos aqui inicialmente recordar essas aplicações e, em seguida, prosseguir com a aplicação de 
expoentes negativos e também fracionários.
 Potência de base 1: Toda potência de base “1” elevada a qualquer expoente possui como 
resultado o próprio valor 1.
Exemplos: 
1² = 1 ∙ 1 = 1 
1¹² = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
26 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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27
 Divisão de potências de mesmo expoente: Nesse caso, devemos dividir as bases (a de cima 
pela de baixo) e depois repetirmos o expoente. Lembre-se que só podemos dividir as bases se o 
número de cima for divisível pelo número de baixo, caso as bases não sejam divisíveis, você deve 
manter a fração e então resolver as potências normalmente, ou seja, resolva a potência de cima e 
depois resolva a potência de baixo.
Exemplo: 
6
2
6
2
3 9
2
2
2




 =





 = =²
Vamos agora solucionar potências com expoentes negativos e também potências com expoen-
tes fracionários. Acompanhe os exemplos com atenção.
 Potência com base elevada a zero: Todo número elevado a zero é igual a 1, com exceção do 
zero.
Exemplos:
3 1
21 761 1
0
0
=
=.
 Potência de um produto: Quando temos uma multiplicação elevada a um expoente podemos 
dizer que cada membro dessa multiplicação está elevado a esse mesmo expoente.
Exemplo:
( )4 2 4 2 4 4 4 2 2 2 5123 3 3× = × = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 Multiplicação de potências de mesma base: Quando temos potências de mesma base sen-
do multiplicadas entre si, devemos repetir a base dessas potências e somar todos os expoentes de 
cada potência, chegando a uma nova potência que poderá ser resolvida por alguma das proprieda-
des citadas anteriormente. 
Exemplo: 
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 7292 1 3 2 1 3 6⋅ ⋅ = = =+ +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 12 1 3 2 1 3 0⋅ ⋅ = = =− + −
 Divisão de potências de mesma base: Quando temos potências de mesma base sendo di-
vidas entre si, devemos repetir a base dessas potências e subtrair o expoente do numerador pelo 
denominador.
Exemplo: 
3
3
3 3 27
5
5 2
²
³= = =−
 Potência de uma potência: Pode acontecer de em alguma questão, existir uma potência ele-
vada a um expoente. A esse caso chamamos de potência de uma potência e para resolver, basta 
mantermos a base e depois multiplicarmos os expoentes para acharmos a nova potência equivalente. 
Exemplo:
3 3 59 0495 10² .( ) = =
 Potências com expoentes negativos: Quando uma potência possuir expoente negativo, para 
solucioná-la devemos inverter a posição entre numerador e denominador, que são a base da po-
27CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Solucionando, temos:
S
S
S
² ² ²
²
= +
= +
=
1 1
1 1
2 cm
Perceba que temos como resultado da medida um número irracional. Se um número é irracional, 
ele não pode ser racional sob nenhuma condição. Porém, esse número é um membro do conjunto 
dos números reais. No triângulo aparecem dois segmentos graduados com números racionais e 
um terceiro graduado com número irracional e os três lados ou segmentos estão graduados com 
números reais. 
2º caso:
Vamos agora verificar a graduação ou medição de outro segmento de reta em outra situação 
apresentada. 
O triângulo a seguir possui medida de área igual a 2 3 cm2, sua base possui medida de 4 cm. 
Deseja-se descobrir a medida da altura desse triângulo mencionado.
4 cm
h
Vamos manipular a expressão que determina a área 
desse triângulo, para só após definir a altura do triângulo. 
Acompanhe.
A
b h
=
×
2
Para isolar a incógnita (h) que representa a altura do triân-
gulo, temos:
A b h h
A
b
× = × → =
×
2
2
Substituindo os valores e determinando a medida da altura, temos:
h h h=
×
→ = → =
2 3 2
4
4 3
4
3 cm
Nesse caso, vemos a graduação de um segmento de reta com um número real. Esse número 
pertence também ao conjunto dos irracionais e não ao conjunto dos racionais. 
Potências com expoentes negativos e fracionários
Sabemos que potência é uma multiplicação de fatores iguais. Vimos em anos anteriores que o 
estudo das potências possui aplicações de propriedades específicas. 
Vamos aqui inicialmente recordar essas aplicações e, em seguida, prosseguir com a aplicação de 
expoentes negativos e também fracionários.
 Potência de base 1: Toda potência de base “1” elevada a qualquer expoente possui como 
resultado o próprio valor 1.
Exemplos: 
1² = 1 ∙ 1 = 1 
1¹² = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1
26 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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28
Existem ainda os casos onde o expoente é um número decimal. Nesses casos, deve-se transfor-
mar o número decimal em fração e proceder conforme já observado até aqui. 
Os exemplos a seguir finalizam essa parte, apresentando os casos agora citados.
d. 16 16 16 16 40 5
5
10
1
2 12, = = = = ±
e. 2 2 2 1 07170 1
1
10 10, ,= = ≅
Notação científica
Classificam-se como notação científica representações simplificadas de números reais muito ex-
tensos ou também ínfimos como potências de base dez no estudo das ciências.
Temos então a seguinte representação, a . 10n onde o termo a é classificado como mantissa e n 
é chamado de expoente ou ainda ordem de grandeza.
Como encontrar a mantissa e a ordem de grandeza?
Vamos dividir em duas partes, inicialmente determinaremos como encontrar a mantissa e, logo 
após, determinaremos como encontrar a ordem de grandeza.
São exemplos de números reais e suas respectivas notações científicas:
0,0002 = 2 . 10–4
21.000.000= 2,1 . 107
Encontrando a mantissa
A mantissa ou o coeficiente é encontrado ao posicionar a vírgula à direita do primeiro algarismo 
significativo ou diferente de zero. Esse deslocamento da vírgula deve ser feito a partir de divisões 
ou multiplicações por potências de base dez. 
Como notação científica, a mantissa do número 0,00012 é 1,2. Isso se dá, pois o primeiro algaris-
mo significativo é o um (1). A mantissa do número 4.253.535 é 4,253535, pois o primeiro algarismo 
significativo é o quatro (4). 
Finalmente, a mantissa, ou coeficiente, do número 0,000000005 é 5. Isso se dá, pois 5,0 = 5.
Encontrando a ordem de grandeza
Para determinar a ordem de grandeza de um número real, trabalhamos com o deslocamento da 
vírgula. 
Quando a vírgula for deslocada para a direita, a ordem de grandeza será negativa e igual ao 
número de casas decimais que a vírgula foi deslocada. 
Quando a vírgula for deslocada para a esquerda, a ordem de grandeza será positiva e igual ao 
número de casas decimais que a vírgula foi deslocada.
São exemplos de transformação de números reais em notação científica:
260.000.000.000 = 2,6 . 1011
Note que deslocamos a vírgula para a esquerda onze 
casas decimais. Vale ainda destacar que, quando um nú-
mero não apresentar a vírgula, essa encontra-se no final, 
ou seja, após o algarismo das unidades. No exemplo 
que apresentamos, observe como se apresenta a vírgula: 
260.000.000.000,
O conceito de notação científica é o seguinte: a a Kk⋅ ↔ ≤ < ∴ ∈10 1 10 Z
29CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 29 20/06/2018 18:03:44
tência. Ao inverter a base da potência, esse expoente tem seu sinal trocado, ficando assim positivo. 
Acompanhe cada caso com atenção: 
a. 3
1
3
1
3 3
1
9
2
2
− = =
×
= b. 
3
2
2
3
2
27
3−
= =
³
c. 
3
2
2
3
2
3
8
27
3 3





 =





 = =
− ³
³
 d. 0 25
0 25
1
1
0 25
1
0 0625
10 000
625
162
2
2,
,
, ,
.−
−
= = = = =
e. 1 2
1
1 2
1
1 728
1 000
1 728
0 5787033 3, , ,
.
.
,− = = = ≅ f. ( , )
, , ,
,− = −




 = − = = =
−2 5
1
2 5
1
2 5
1
6 25
100
625
0 162
2 2
2
g. − = − = = =−2 5
1
2 5
1
6 25
100
625
0 162 2, , ,
,
 Potências com expoentes fracionários: As potências que possuem expoentes fracionários 
transformam-se em radiciações. A particularidade vale para o expoente que seu numerador torna-
-se expoente do radicando e o seu denominador torna-se índice da radiciação. Assim, vale a seguin-
te relação para esses casos.
Para todo número real a e um número inteiro positivo n (n ≥ 2), define-se:
a an n
1
→ ¹
Vamos agora verificar algumas aplicações desse tipo de potenciação.
 a. ( )− = − = − = −8 8 8 2
1
3 13 3
Provando: ( ) ( ) ( ) .− × − × − = −2 2 2 8
 b. 16 16 4 096 64
3
2 2 2= = =³ .
Provando: 64 64 4 096× = . .
Outra solução: 16 16 2 2 2 2 64
3
2 2 4 32 122
12
2 6= = = = = =³ ( )
É válido destacar que no exemplo b resolução modo 2, nós fatoramos o radicando existente, 
aplicamos a propriedade de potência de potência e voltamos a proposição inicial, onde temos uma 
potência de expoente fracionário. 
Só que dessa vez, podemos efetuar a divisão entre numerador e denominador de uma potência. 
Finalmente efetuamos a potenciação simples e obtemos o mesmo resultado da resolução pelo 
modo 1.
Vamos continuar apresentando mais alguns exemplos dessas potenciações.
 c. 8
1
8
1
8
1
2
0 5
1
3
1
3
3
−
= = = = ,
Outra solução: 8
1
8
1
2
1
2
1
2
1
2
0 5
1
3
1
3 3
1
3
3
3
−
= = = = = =
( )
„
,
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29
Existem ainda os casos onde o expoente é um número decimal. Nesses casos, deve-se transfor-
mar o número decimal em fração e proceder conforme já observado até aqui. 
Os exemplos a seguir finalizam essa parte, apresentando os casos agora citados.
d. 16 16 16 16 40 5
5
10
1
2 12, = = = = ±
e. 2 2 2 1 07170 1
1
10 10, ,= = ≅
Notação científica
Classificam-se como notação científica representações simplificadas de números reais muito ex-
tensos ou também ínfimos como potências de base dez no estudo das ciências.
Temos então a seguinte representação, a . 10n onde o termo a é classificado como mantissa e n 
é chamado de expoente ou ainda ordem de grandeza.
Como encontrar a mantissa e a ordem de grandeza?
Vamos dividir em duas partes, inicialmente determinaremos como encontrar a mantissa e, logo 
após, determinaremos como encontrar a ordem de grandeza.
São exemplos de números reais e suas respectivas notações científicas:
0,0002 = 2 . 10–4
21.000.000 = 2,1 . 107
Encontrando a mantissa
A mantissa ou o coeficiente é encontrado ao posicionar a vírgula à direita do primeiro algarismo 
significativo ou diferente de zero. Esse deslocamento da vírgula deve ser feito a partir de divisões 
ou multiplicações por potências de base dez. 
Como notação científica, a mantissa do número 0,00012 é 1,2. Isso se dá, pois o primeiro algaris-
mo significativo é o um (1). A mantissa do número 4.253.535 é 4,253535, pois o primeiro algarismo 
significativo é o quatro (4). 
Finalmente, a mantissa, ou coeficiente, do número 0,000000005 é 5. Isso se dá, pois 5,0 = 5.
Encontrando a ordem de grandeza
Para determinar a ordem de grandeza de um número real, trabalhamos com o deslocamento da 
vírgula. 
Quando a vírgula for deslocada para a direita, a ordem de grandeza será negativa e igual ao 
número de casas decimais que a vírgula foi deslocada. 
Quando a vírgula for deslocada para a esquerda, a ordem de grandeza será positiva e igual ao 
número de casas decimais que a vírgula foi deslocada.
São exemplos de transformação de números reais em notação científica:
260.000.000.000 = 2,6 . 1011
Note que deslocamos a vírgula para a esquerda onze 
casas decimais. Vale ainda destacar que, quando um nú-
mero não apresentar a vírgula, essa encontra-se no final, 
ou seja, após o algarismo das unidades. No exemplo 
que apresentamos, observe como se apresenta a vírgula: 
260.000.000.000,
O conceito de notação científica é o seguinte: a a Kk⋅ ↔ ≤ < ∴ ∈10 1 10 Z
29CAPÍTULO 2 I Os números reais
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tência. Ao inverter a base da potência, esse expoente tem seu sinal trocado, ficando assim positivo. 
Acompanhe cada caso com atenção: 
a. 3
1
3
1
3 3
1
9
2
2
− = =
×
= b. 
3
2
2
3
2
27
3−
= =
³
c. 
3
2
2
3
2
3
8
27
3 3





 =





 = =
− ³
³
 d. 0 25
0 25
1
1
0 25
1
0 0625
10 000
625
162
2
2,
,
, ,
.−
−
= = = = =
e. 1 2
1
1 2
1
1 728
1 000
1 728
0 5787033 3, , ,
.
.
,− = = = ≅ f. ( , )
, , ,
,− = −




 = − = = =
−2 5
1
2 5
1
2 5
1
6 25
100
625
0 162
2 2
2
g. − = − = = =−2 5
1
2 5
1
6 25
100
625
0 162 2, , ,
,
 Potências com expoentes fracionários: As potências que possuem expoentes fracionários 
transformam-se em radiciações. A particularidade vale para o expoente que seu numerador torna-
-se expoente do radicando e o seu denominador torna-se índice da radiciação. Assim, vale a seguin-
te relação para esses casos.
Para todo número real a e um número inteiro positivo n (n ≥ 2), define-se:
a an n
1
→ ¹
Vamos agora verificar algumas aplicações desse tipo de potenciação.
 a. ( )− = − = − = −8 8 8 2
1
3 13 3
Provando: ( ) ( ) ( ) .− × − × − = −2 2 2 8
 b. 16 16 4 096 64
3
2 2 2= = =³ .
Provando: 64 64 4 096× = . .
Outra solução: 16 16 2 2 2 2 64
3
2 2 4 32 122
12
2 6= = = = = =³ ( )
É válido destacar que no exemplo b resolução modo 2, nós fatoramos o radicando existente, 
aplicamos a propriedade de potência de potência e voltamos a proposição inicial, onde temos uma 
potência de expoente fracionário. 
Só que dessa vez, podemos efetuar a divisão entre numerador e denominador de uma potência. 
Finalmente efetuamos a potenciação simples e obtemos o mesmo resultado da resolução pelo 
modo 1.
Vamos continuar apresentando mais alguns exemplos dessas potenciações.c. 8
1
8
1
8
1
2
0 5
1
3
1
3
3
−
= = = = ,
Outra solução: 8
1
8
1
2
1
2
1
2
1
2
0 5
1
3
1
3 3
1
3
3
3
−
= = = = = =
( )
„
,
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30
Byte (B)
1 byte = 8 bits (2³ bits).
Quilobyte (KB)
1.024 bytes = 8.192 bits
Megabyte (MB)
1.024 KB = 1.048.576 (220) bytes = 8.388.608 bits
Gigabyte (GB)
1.024 MB = 1.048.576 KB = 1.073.741.824 (230) bytes = 8.589.934.592 bits
Terabyte (TB)
1.024 GB = 1.048.576 MB = 1.073.741.824 KB = 1.099.511.627.776 (240) bytes = 
8.796.093.022.208 bits
Petabyte (PB) 
1.024 TB = 1.048.576 GB = 1.073.741.824 MB = 1.099.511.627.776 KB = 
1.125.899.906.842.624 (250) bytes = 9.007.199.254.740.992 bits
Exabyte (EB)
1.024 PB = 1.048.576 TB = 1.073.741.824 GB = 1.099.511.627.776 MB = 
1.125.899.906.842.624 KB = 1.152.921.504.606.846.976 (260) bytes = 9.223.372.036.854.775.808 bits
Zettabyte (ZB)
1.024 EB = 1.048.576 PB = 1.073.741.824 TB = 1.099.511.627.776 GB = 1.125.899.906.842.624 
MB = 1.152.921.504.606.846.976 KB = 1.180.591.620.717.411.303.424 (270) bytes = 
9.444.732.965.739.290.427.392 bits
Yottabyte (YB)
1.024 ZB = 1.048.576 EB = 1.073.741.824 PB = 1.099.511.627.776 TB = 1.125.899.906.842.624 GB 
= 1.152.921.504.606.846.976 MB = 1.180.591.620.717.411.303.424 KB = 
1.208.925.819.614.629.174.706.176 (280) bytes = 9.671.406.556.917.033.397.649.408 bits
Como estamos apresentando as transformações e aplicações em notação científica, a tabela a 
seguir nos dá essa relação com as referentes potências de base 10. 
b Byte 100
Kb Kilobyte 103
Mb Megabyte 106
Gb Gigabyte 109
Tb Terabyte 1012
Pb Petabyte 1015 
Eb Exabyte 1018
Zb Zettabyte 1021
Yb Yottabyte 1024
p
ho
tk
a/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.c
o
m
31CAPÍTULO 2 I Os números reais
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0,00000000000032 = 3,2 . 10–13
Note que deslocamos a vírgula para a direita treze 
casas decimais.
Unidades de medidas muito grandes e muito pequenas
Unidades de medidas são utilizadas para gra-
duar, principalmente, distâncias entre dois marcos 
pré-estabelecidos ou para determinar o valor das 
dimensões de certo objeto. 
Em alguns momentos são necessárias gradua-
ções muito pequeninas e nessas horas, recorremos 
quase sempre às notações científicas para expres-
sá-las.
Exemplo: 
Um micro-organismo é analisado com o auxílio 
de um microscópio e após algumas medições, o 
pesquisador afirma que esse tem 3,2 micrômetros 
de comprimento. 
Um micrômetro (m) é uma unidade de medida 
utilizada para mensurar corpos muito pequenos, só 
observados com o auxílio de um microscópio. 
Um micrômetro vale 1 × 10–6 mm ou em outras 
palavras, a milésima parte do milímetro. 
Transformando a medida do comprimento desse micro-organismo mencionado em notação 
científica, temos:
3,2m ou 1 × 10–6 mm
 
Para graduar dimensões enormes, também utilizamos a notação científica, com a intenção de 
padronizar e diminuir cálculos que se tornariam muito extensos se fossem utilizados os números 
reais na sua forma original. 
Exemplo: 
Certo rapaz, apaixonado por astronomia, deseja saber qual a distância entre o planeta Terra e o Sol. 
Para esse tipo de problema temos a unidade astronômica (UA) que vale aproximadamente 
150.000.000 Km, essa unidade é a distância média entre a Terra e o Sol. Seria infinitamente difícil 
solucionar problemas envolvendo esse valor, assim, transformando esse número real em notação 
científica, facilitamos essas operações além de simplificarmos o número apresentado. Observe.
150.000.000 km = 1,5 . 108 km
Unidades de medidas utilizadas na informática
Um bit, ou dígito binário (Binary Digit), é a menor unidade de informação que pode ser armaze-
nada ou transmitida entre computadores. Esse bit pode assumir apenas dois valores 0 ou 1. 
Mas a unidade de medida padrão utilizada na informática é o byte. O byte é um conjunto de 8 
bits, daí a outra nomenclatura de octeto atribuída ao byte.
A seguir ,temos as relações de quantidades em ordem crescentes dos múltiplos do byte utiliza-
dos na informática, observe com atenção.
Jo
se
 L
ui
s 
C
ar
ra
sc
o
sa
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
30 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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31
Byte (B)
1 byte = 8 bits (2³ bits).
Quilobyte (KB)
1.024 bytes = 8.192 bits
Megabyte (MB)
1.024 KB = 1.048.576 (220) bytes = 8.388.608 bits
Gigabyte (GB)
1.024 MB = 1.048.576 KB = 1.073.741.824 (230) bytes = 8.589.934.592 bits
Terabyte (TB)
1.024 GB = 1.048.576 MB = 1.073.741.824 KB = 1.099.511.627.776 (240) bytes = 
8.796.093.022.208 bits
Petabyte (PB) 
1.024 TB = 1.048.576 GB = 1.073.741.824 MB = 1.099.511.627.776 KB = 
1.125.899.906.842.624 (250) bytes = 9.007.199.254.740.992 bits
Exabyte (EB)
1.024 PB = 1.048.576 TB = 1.073.741.824 GB = 1.099.511.627.776 MB = 
1.125.899.906.842.624 KB = 1.152.921.504.606.846.976 (260) bytes = 9.223.372.036.854.775.808 bits
Zettabyte (ZB)
1.024 EB = 1.048.576 PB = 1.073.741.824 TB = 1.099.511.627.776 GB = 1.125.899.906.842.624 
MB = 1.152.921.504.606.846.976 KB = 1.180.591.620.717.411.303.424 (270) bytes = 
9.444.732.965.739.290.427.392 bits
Yottabyte (YB)
1.024 ZB = 1.048.576 EB = 1.073.741.824 PB = 1.099.511.627.776 TB = 1.125.899.906.842.624 GB 
= 1.152.921.504.606.846.976 MB = 1.180.591.620.717.411.303.424 KB = 
1.208.925.819.614.629.174.706.176 (280) bytes = 9.671.406.556.917.033.397.649.408 bits
Como estamos apresentando as transformações e aplicações em notação científica, a tabela a 
seguir nos dá essa relação com as referentes potências de base 10. 
b Byte 100
Kb Kilobyte 103
Mb Megabyte 106
Gb Gigabyte 109
Tb Terabyte 1012
Pb Petabyte 1015 
Eb Exabyte 1018
Zb Zettabyte 1021
Yb Yottabyte 1024
p
ho
tk
a/
Sh
ut
te
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ck
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31CAPÍTULO 2 I Os números reais
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0,00000000000032 = 3,2 . 10–13
Note que deslocamos a vírgula para a direita treze 
casas decimais.
Unidades de medidas muito grandes e muito pequenas
Unidades de medidas são utilizadas para gra-
duar, principalmente, distâncias entre dois marcos 
pré-estabelecidos ou para determinar o valor das 
dimensões de certo objeto. 
Em alguns momentos são necessárias gradua-
ções muito pequeninas e nessas horas, recorremos 
quase sempre às notações científicas para expres-
sá-las.
Exemplo: 
Um micro-organismo é analisado com o auxílio 
de um microscópio e após algumas medições, o 
pesquisador afirma que esse tem 3,2 micrômetros 
de comprimento. 
Um micrômetro (m) é uma unidade de medida 
utilizada para mensurar corpos muito pequenos, só 
observados com o auxílio de um microscópio. 
Um micrômetro vale 1 × 10–6 mm ou em outras 
palavras, a milésima parte do milímetro. 
Transformando a medida do comprimento desse micro-organismo mencionado em notação 
científica, temos:
3,2m ou 1 × 10–6 mm
 
Para graduar dimensões enormes, também utilizamos a notação científica, com a intenção de 
padronizar e diminuir cálculos que se tornariam muito extensos se fossem utilizados os números 
reais na sua forma original. 
Exemplo: 
Certo rapaz, apaixonado por astronomia, deseja saber qual a distância entre o planeta Terra e o Sol. 
Para esse tipo de problema temos a unidade astronômica (UA) que vale aproximadamente 
150.000.000 Km, essa unidade é a distância média entre a Terra e o Sol. Seria infinitamente difícil 
solucionar problemas envolvendo esse valor, assim, transformando esse número real em notação 
científica, facilitamos essas operações além de simplificarmos o número apresentado. Observe.
150.000.000 km = 1,5 . 108 km
Unidades de medidas utilizadas na informática
Um bit, ou dígito binário (Binary Digit), é a menor unidade de informação que pode ser armaze-
nada ou transmitida entre computadores. Esse bit podeassumir apenas dois valores 0 ou 1. 
Mas a unidade de medida padrão utilizada na informática é o byte. O byte é um conjunto de 8 
bits, daí a outra nomenclatura de octeto atribuída ao byte.
A seguir ,temos as relações de quantidades em ordem crescentes dos múltiplos do byte utiliza-
dos na informática, observe com atenção.
Jo
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32
Acompanhe o passo a passo e observe como solucionar esse tipo de adição.
Vamos solucionar a seguinte adição, 
1
2
2
3
1
4
+ + =
1º passo: 
Será necessário igualar os denominadores pelo processo de cálculo do mínimo múltiplo comum 
(M.M.C.) entre os que foram apresentados. Esse número será o novo denominador comum. 
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
2 2 3 12
, ,
, ,
, ,
⋅ ⋅ =
2º passo: 
Após encontrar os denominadores iguais, devemos determinar os novos numeradores, que de-
verão ser adicionados. Para isso, podemos dividir o novo denominador pelo antigo e multiplicar o 
resultado dessa divisão pelo numerador antigo, observe.
1
2
2
3
1
4
12 12 12
+ + =
+ + =
As operações são: 
12 2 6 1 6
12 3 4 2 8
12 4 3 1 3
÷ = × =
÷ = × =
÷ = × =
Logo: 6, 8 e 3 serão nossos novos numeradores. 
3º passo: 
Adicionar os numeradores e solucionar a questão.
6
12
8
12
3
12
17
12
+ + =
d. Forma contendo radicais.
2 2 3 2 5 2
5 3 6 3 11 3
+ =
+ =
Nessa forma, se os números possuírem radicandos diferentes, não é possível adicionar os mesmos.
Exemplos:
 a. 2 3 3+ = ?
 b. 2 6+ = ?
Porém, existem casos onde a fatoração do radicando é possível, assim só após essa transforma-
ção podemos adicionar os números.
33CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 33 20/06/2018 18:03:45
Questão resolvida
A capacidade de armazenamento expressa no PC de Lúcio é de 3,2 Tb. Lúcio, intrigado, deseja 
saber quantos bytes representa essa capacidade de armazenamento. 
Solução:
1 1 10
3 2 3 2 10
12
12
Tb bytes
Tb bytes
= ⋅ →
= ⋅, ,
Expressando essa quantidade em um número real, tem-se: 3.200.000.000.000 bytes. 
Operações com números reais
Diversos são os tipos de representações que indicam números reais. Temos números, por exem-
plo, compostos por frações, por radicais, decimais infinitos, decimais exatos, etc. Vamos agora re-
cordar as operações, envolvendo uma, duas ou mais operações, abarcando essas representações 
de números reais:
Adição de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
3 + 5 = 8
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
b. Forma decimal.
0,2 + 0,33 = 0,53
5,2 + 0,312 = 5,512
2,01 + 0,007 = 2,017
5 + 0,003 = 5,003
Aqui vale a observação de que, para adicionar números reais na forma decimal, faz-se necessário 
colocarmos vírgula abaixo de vírgula, para só então adicionarmos os números.
c. Forma fracionária.
3
2
5
2
8
2
4
1
3
4
3
5
3
+ = =
+ =
Nessa forma só é possível adicionar os reais, se e somente se, os denominadores das frações 
forem de mesmo valor. 
Isso é necessário porque para essa operação de frações, só adicionamos os numeradores e re-
petimos os denominadores.
Mas, e quando esses denominadores possuírem valores distintos?
32 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Acompanhe o passo a passo e observe como solucionar esse tipo de adição.
Vamos solucionar a seguinte adição, 
1
2
2
3
1
4
+ + =
1º passo: 
Será necessário igualar os denominadores pelo processo de cálculo do mínimo múltiplo comum 
(M.M.C.) entre os que foram apresentados. Esse número será o novo denominador comum. 
2 3 4 2
1 3 2 2
1 3 1 3
2 2 3 12
, ,
, ,
, ,
⋅ ⋅ =
2º passo: 
Após encontrar os denominadores iguais, devemos determinar os novos numeradores, que de-
verão ser adicionados. Para isso, podemos dividir o novo denominador pelo antigo e multiplicar o 
resultado dessa divisão pelo numerador antigo, observe.
1
2
2
3
1
4
12 12 12
+ + =
+ + =
As operações são: 
12 2 6 1 6
12 3 4 2 8
12 4 3 1 3
÷ = × =
÷ = × =
÷ = × =
Logo: 6, 8 e 3 serão nossos novos numeradores. 
3º passo: 
Adicionar os numeradores e solucionar a questão.
6
12
8
12
3
12
17
12
+ + =
d. Forma contendo radicais.
2 2 3 2 5 2
5 3 6 3 11 3
+ =
+ =
Nessa forma, se os números possuírem radicandos diferentes, não é possível adicionar os mesmos.
Exemplos:
 a. 2 3 3+ = ?
 b. 2 6+ = ?
Porém, existem casos onde a fatoração do radicando é possível, assim só após essa transforma-
ção podemos adicionar os números.
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Questão resolvida
A capacidade de armazenamento expressa no PC de Lúcio é de 3,2 Tb. Lúcio, intrigado, deseja 
saber quantos bytes representa essa capacidade de armazenamento. 
Solução:
1 1 10
3 2 3 2 10
12
12
Tb bytes
Tb bytes
= ⋅ →
= ⋅, ,
Expressando essa quantidade em um número real, tem-se: 3.200.000.000.000 bytes. 
Operações com números reais
Diversos são os tipos de representações que indicam números reais. Temos números, por exem-
plo, compostos por frações, por radicais, decimais infinitos, decimais exatos, etc. Vamos agora re-
cordar as operações, envolvendo uma, duas ou mais operações, abarcando essas representações 
de números reais:
Adição de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
3 + 5 = 8
5 + 2 = 7
2 + 7 = 9
b. Forma decimal.
0,2 + 0,33 = 0,53
5,2 + 0,312 = 5,512
2,01 + 0,007 = 2,017
5 + 0,003 = 5,003
Aqui vale a observação de que, para adicionar números reais na forma decimal, faz-se necessário 
colocarmos vírgula abaixo de vírgula, para só então adicionarmos os números.
c. Forma fracionária.
3
2
5
2
8
2
4
1
3
4
3
5
3
+ = =
+ =
Nessa forma só é possível adicionar os reais, se e somente se, os denominadores das frações 
forem de mesmo valor. 
Isso é necessário porque para essa operação de frações, só adicionamos os numeradores e re-
petimos os denominadores.
Mas, e quando esses denominadores possuírem valores distintos?
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34
Nossas operações agora são:
6 3 2 5 10
6 2 3 1 3
÷ = × =
÷ = × =
Finalmente substituímos e subtraímos os numeradores:
10
6
3
6
7
6
− =
d. Forma contendo radicais.
5 2 2 4 2
8 3 3 3 5 3
− =
− + = −
Se os números possuírem radicandos diferentes, não é possível adicionar os mesmos.
Exemplos:
2 5 3 2
3 5
− =
− =
?
?
Assim como na adição, existem casos onde a fatoração do radicando é possível. Logo, só após 
essa transformação podemos adicionar os números.
Exemplo:
50 8− =
Fatorando 50 , temos 5 2 ; e fatorando 8 , temos 2 2 .
Agora sim, substituindo os números por suas formas fatoradas é possível subtrair os mesmos, 
observe.
5 2 2 2 3 2− =
Multiplicação de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
3 9 27
2 8 16
6 4 24
× =
× − = −
− × − =
( )
( ) ( )
Nesse formato, existe a seguinte particularidade:
Todas as vezes que multiplicarmos dois números de mesmo sinal, obteremos produto ou o resul-
tado de sinal positivo (+). 
Todas as vezes que multiplicarmos dois números de sinais diferentes, obteremos produto ou 
resultado de sinal negativo (–).
Resumindo a particularidade citada, teremos:
+ ++× =
- +-× =
+ --× =
- -+× =
35CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 35 20/06/2018 18:03:46
Exemplos:
3 2 8
3 12
+ =
+ =
Fatorando 8 , temos 2 2 ; e fatorando 12 , temos 2 3 .
Substituindo os números por suas respectivas fatorações, podemos finalmente efetuar as adições.
3 2 2 2 5 2
3 2 3 3 3
+ =
+ =
Subtração de números reais
Para os casos entre os reais envolvendo subtrações, deve-se manter as mesmas regras observa-
das nos casos envolvendoadições, que observamos anteriormente. Vamos a elas:
a. Forma natural e ou inteira.
9 – 3 = 6
5 – 12 = –7
É importante aqui afirmar que, quando o número de maior módulo possuir sinal negativo, a dife-
rença ou resultado dessa subtração, obrigatoriamente deverá possuir valor de sinal negativo. Como 
apresentado acima no último caso.
b. Forma decimal.
0,9 – 3 = –2,1
2,5 – 1,2 = 1,3
3,1 – 0,003 = 3,097
Na subtração de números reais na forma decimal, faz-se necessário colocar vírgula abaixo de 
vírgula, para só então calcular a diferença entre os números.
c. Forma fracionária.
5
2
1
2
4
2
2
1
3
8
3
7
3
− = =
− = −
Nos casos em que os denominadores possuem valores diferentes, deve-se proceder do mesmo 
modo conforme observado nos casos de adição de frações, observados anteriormente.
Exemplo: 
Vamos encontrar a diferença da expressão, 
5
3
1
2
− =
O M.M.C. entre 3 e 2 é 6. Esse será nosso novo denominador.
5
3
1
2 6 6
− = −
34 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Nossas operações agora são:
6 3 2 5 10
6 2 3 1 3
÷ = × =
÷ = × =
Finalmente substituímos e subtraímos os numeradores:
10
6
3
6
7
6
− =
d. Forma contendo radicais.
5 2 2 4 2
8 3 3 3 5 3
− =
− + = −
Se os números possuírem radicandos diferentes, não é possível adicionar os mesmos.
Exemplos:
2 5 3 2
3 5
− =
− =
?
?
Assim como na adição, existem casos onde a fatoração do radicando é possível. Logo, só após 
essa transformação podemos adicionar os números.
Exemplo:
50 8− =
Fatorando 50 , temos 5 2 ; e fatorando 8 , temos 2 2 .
Agora sim, substituindo os números por suas formas fatoradas é possível subtrair os mesmos, 
observe.
5 2 2 2 3 2− =
Multiplicação de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
3 9 27
2 8 16
6 4 24
× =
× − = −
− × − =
( )
( ) ( )
Nesse formato, existe a seguinte particularidade:
Todas as vezes que multiplicarmos dois números de mesmo sinal, obteremos produto ou o resul-
tado de sinal positivo (+). 
Todas as vezes que multiplicarmos dois números de sinais diferentes, obteremos produto ou 
resultado de sinal negativo (–).
Resumindo a particularidade citada, teremos:
+ ++× =
- +-× =
+ --× =
- -+× =
35CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Exemplos:
3 2 8
3 12
+ =
+ =
Fatorando 8 , temos 2 2 ; e fatorando 12 , temos 2 3 .
Substituindo os números por suas respectivas fatorações, podemos finalmente efetuar as adições.
3 2 2 2 5 2
3 2 3 3 3
+ =
+ =
Subtração de números reais
Para os casos entre os reais envolvendo subtrações, deve-se manter as mesmas regras observa-
das nos casos envolvendo adições, que observamos anteriormente. Vamos a elas:
a. Forma natural e ou inteira.
9 – 3 = 6
5 – 12 = –7
É importante aqui afirmar que, quando o número de maior módulo possuir sinal negativo, a dife-
rença ou resultado dessa subtração, obrigatoriamente deverá possuir valor de sinal negativo. Como 
apresentado acima no último caso.
b. Forma decimal.
0,9 – 3 = –2,1
2,5 – 1,2 = 1,3
3,1 – 0,003 = 3,097
Na subtração de números reais na forma decimal, faz-se necessário colocar vírgula abaixo de 
vírgula, para só então calcular a diferença entre os números.
c. Forma fracionária.
5
2
1
2
4
2
2
1
3
8
3
7
3
− = =
− = −
Nos casos em que os denominadores possuem valores diferentes, deve-se proceder do mesmo 
modo conforme observado nos casos de adição de frações, observados anteriormente.
Exemplo: 
Vamos encontrar a diferença da expressão, 
5
3
1
2
− =
O M.M.C. entre 3 e 2 é 6. Esse será nosso novo denominador.
5
3
1
2 6 6
− = −
34 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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36
+ ++÷ =
- +-÷ =
+ --÷ =
- -+÷ =
Resumindo, teremos:
b. Forma decimal.
0 234
0 2
1 17
2 463
1 3
1 89
7 22
0 4
18 05
,
,
,
,
,
,
,
,
,= ≅ =
Para os casos de divisão com números reais na forma decimal, antes de efetuar a divisão deve-
mos transformar esses números colocando a vírgula para o final dos mesmos e só então efetuare-
mos a divisão. 
Vale ainda destacar que, isso ocorre caso não tenhamos o auxílio da calculadora. Para os exem-
plos acima, teríamos as seguintes transformações:
0 234
0 2
234
200
1 17
2 463
1 3
2463
13
1 89
7 22
0 4
722
4
18 05
,
,
,
,
,
,
,
,
,
= = = ≅
= =
c. Forma fracionária.
1
2
3
5
1
2
5
3
5
6
2
7
3
2
7
1
3
2
21
= × = = × =
Na divisão de reais na forma de fração devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inver-
so da segunda fração. 
d. Forma contendo radicais.
2
3
2
3
3
3
2 3
9
2 3
3
2 3
5
2 3
5
5
5
2 15
25
2 15
5
= × = =
= × = =
Aqui temos os casos de frações, que são divisões com radicais. Quando o radical aparecer no 
denominador, para solucionar esses casos é necessário racionalizar a fração. 
O método consiste na multiplicação da fração já existente pelo denominador da mesma, confor-
me apresentado nos dois exemplos. 
37CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 37 20/06/2018 18:03:47
b. Forma decimal.
0,021 × 3,1 = 0,0651
Nos casos de multiplicação entre decimais, procedemos normalmente como já aprendido em 
anos anteriores. O mais importante é a adição das casas decimais existentes à direita da vírgula.
No número 0,021 temos 3 casas decimais. Já no número 3,1 temos 1 casa decimal. Ao adicionar 
essas casas decimais, obteremos a posição exata da vírgula no produto, conforme apresentado na 
imagem abaixo.
0, 0 2 1
× 3, 1
0 0 2 1
+ 0 0 6 3
 0, 0 6 5 1
c. Forma fracionária.
1
2
3
7
1 3
2 7
3
14
1
5
2
3
1 2
5 3
2
15
× =
×
×
=
× =
×
×
=
Para o uso de números reais na forma de fração, devemos multiplicar numerador com numerador 
e denominador com denominador.
d. Forma contendo radicais.
3 2 6
5 2 4 2 5 4 2 2 20 4 20 2 40
× =
× = ×( ) ×( ) = = × =
Nos casos onde o produto pode ser fatorado, é necessário efetuar tal operação para obter a 
forma mais simplificada desse referido produto. 
Exemplo:
3 6 18 18 2 3 3 2× = → = ⋅ =²
Divisão de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
6
2
3
14
2
7
24
3
8
8
4
2
=
−
= −
−
= −
−
−
=
Nesse formato, todas as vezes que dividirmos dois números de mesmo sinal, obteremos quo-
ciente ou o resultado de sinal positivo (+). 
E todas as vezes que dividirmos dois números de sinais diferentes, obteremos quociente ou re-
sultado de sinal negativo (–).
36 CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 36 20/06/2018 18:03:46
ME_Matemática_Contextualizada_9A_02.indd 36 22/07/2018 14:59:23
37
+ ++÷ =
- +-÷ =
+ --÷ =
- -+÷ =
Resumindo, teremos:
b. Forma decimal.
0 234
0 2
1 17
2 463
1 3
1 89
7 22
0 4
18 05
,
,
,
,
,
,
,
,
,= ≅ =
Para os casos de divisão com números reais na forma decimal, antes de efetuar a divisão deve-
mos transformar esses números colocando a vírgula para o final dos mesmos e só então efetuare-
mos a divisão. 
Vale ainda destacar que, isso ocorre caso não tenhamos o auxílio da calculadora. Para os exem-
plos acima, teríamos as seguintes transformações:
0 234
0 2
234
200
1 17
2 463
1 3
2463
13
1 89
7 22
0 4
722
4
18 05
,
,
,
,
,
,
,
,
,
= = = ≅
= =
c. Forma fracionária.
1
2
3
5
1
2
5
3
5
6
2
7
3
2
7
1
3
2
21
= × = = × =
Na divisão de reais na forma de fração devemos repetir a primeira fração e multiplicar pelo inver-
so da segunda fração. 
d. Forma contendo radicais.
2
3
2
3
3
3
2 3
9
2 3
3
2 3
5
2 3
5
5
5
2 15
25
2 15
5
= × = =
= × = =
Aqui temos os casos de frações, que são divisões com radicais. Quando o radical aparecer no 
denominador, para solucionar esses casos é necessário racionalizar a fração. 
O método consiste na multiplicação da fração já existente pelo denominador da mesma, confor-
me apresentado nos dois exemplos. 
37CAPÍTULO2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 37 20/06/2018 18:03:47
b. Forma decimal.
0,021 × 3,1 = 0,0651
Nos casos de multiplicação entre decimais, procedemos normalmente como já aprendido em 
anos anteriores. O mais importante é a adição das casas decimais existentes à direita da vírgula.
No número 0,021 temos 3 casas decimais. Já no número 3,1 temos 1 casa decimal. Ao adicionar 
essas casas decimais, obteremos a posição exata da vírgula no produto, conforme apresentado na 
imagem abaixo.
0, 0 2 1
× 3, 1
0 0 2 1
+ 0 0 6 3
 0, 0 6 5 1
c. Forma fracionária.
1
2
3
7
1 3
2 7
3
14
1
5
2
3
1 2
5 3
2
15
× =
×
×
=
× =
×
×
=
Para o uso de números reais na forma de fração, devemos multiplicar numerador com numerador 
e denominador com denominador.
d. Forma contendo radicais.
3 2 6
5 2 4 2 5 4 2 2 20 4 20 2 40
× =
× = ×( ) ×( ) = = × =
Nos casos onde o produto pode ser fatorado, é necessário efetuar tal operação para obter a 
forma mais simplificada desse referido produto. 
Exemplo:
3 6 18 18 2 3 3 2× = → = ⋅ =²
Divisão de números reais
a. Forma natural e ou inteira.
6
2
3
14
2
7
24
3
8
8
4
2
=
−
= −
−
= −
−
−
=
Nesse formato, todas as vezes que dividirmos dois números de mesmo sinal, obteremos quo-
ciente ou o resultado de sinal positivo (+). 
E todas as vezes que dividirmos dois números de sinais diferentes, obteremos quociente ou re-
sultado de sinal negativo (–).
36 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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ME_Matemática_Contextualizada_9A_02.indd 37 22/07/2018 14:59:25
38
2. (FCC) O valor da expressão ( , , )0 799 0 210
2
5
2 2− ÷ é:
a. 0,925.
b. 0,975.
c. 1,245.
d. 1,455.
e. X 1,495.
Esse problema envolve diversas operações envolvendo os reais, por esse motivo, o problema recebe 
o nome expressão. Vamos acompanhar a resolução dessa expressão envolvendo os números reais.
0 638401 0 040401
2
5
0 598
2
5
598
1 000
2
5
598
1 000
5
2
2
, ,
,
.
.
.
−( ) ÷ =
÷ =
÷ =
× =
9990
2 000
1 495
.
,=
Para determinar a resposta da expressão, foi necessário solucionar diversas operações envolven-
do os números reais.
Você sabia?
Os números reais negativos na China antiga
No mundo antigo todas as nações por 
questão de necessidade, introduziram o con-
ceito de número natural além de também de-
senvolver o sistema de contagem utilizando 
esses números. 
A seguir de forma natural, devido ao pró-
prio desenvolvimento da matemática, ocor-
reu a necessidade de outro tipo de simbolo-
gia numérica. 
Assim, os números negativos apareceram 
pela primeira vez na China Antiga. Os chineses 
há algum tempo já utilizavam duas coleções de 
barras para efetuar cálculos. 
Uma barra de cor vermelha para números po-
sitivos e uma outra barra de cor preta para nú-
meros negativos. Porém, o interessante é que os 
chineses sabiam da existência dos números ne-
gativos e faziam uso desses para operações no 
seu dia a dia, mas não aceitavam a ideia de um 
número negativo ser solução de uma equação. 
Estranho isso, não é mesmo?
R
ep
ro
d
uç
ão
39CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 39 20/06/2018 18:03:48
Questão resolvida
Solucione cada um dos casos a seguir envolvendo os números reais.
 a. 0,253 + 1,4 = b. 
2
5
3
2
− =
 c. 2 5 3 2× = d. 4 3
2
=
Resolvendo cada um dos casos envolvendo os números reais nas suas diversas formas de apre-
sentação, temos os seguintes desenvolvimentos.
c. 2 5 3 2 2 3 5 2 6 10× = × ×( ) =( )
d. 4 3
2
4 3
2
2
2
4 6
4
4 6
2
2 6= × = = =
0, 2 5 3
+ 1, 4
1, 6 5 3
a.
b. 2
5
3
2
4
10
15
10
11
10
− = − = −
Problemas envolvendo os números reais
Na parte que segue, vamos resolver problemas envolvendo os números reais nas suas diferentes 
formas e envolvendo seus diferentes significados de operações.
Verifique cada caso apresentado e acompanhe as aplicações existentes nos mesmos.
1. (SAEP-Adaptada) João encheu o tanque do seu carro colocando 40 litros de álcool. Ele pagou R$ 
1,47 por cada litro. Quanto João gastou para encher o tanque de seu carro?
a. X R$ 58,80.
b. R$ 48,00.
c. R$ 41,47.
d. R$ 27,21.
Após a leitura, verifique que estamos tratando de um problema envolvendo a multiplicação de 
números reais. Para solucionar, temos a seguinte expressão.
40 litros × R$ 1,47 = R$ 58,80
Chegamos assim à conclusão de que os 40 litros de álcool que encheram o tanque do carro do 
João, custaram o total de R$ 58,80. 
Perceba que escolhemos for-
mas de números reais diferentes 
para a aplicação de cada uma 
das alternativas ao lado.
38 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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39
2. (FCC) O valor da expressão ( , , )0 799 0 210
2
5
2 2− ÷ é:
a. 0,925.
b. 0,975.
c. 1,245.
d. 1,455.
e. X 1,495.
Esse problema envolve diversas operações envolvendo os reais, por esse motivo, o problema recebe 
o nome expressão. Vamos acompanhar a resolução dessa expressão envolvendo os números reais.
0 638401 0 040401
2
5
0 598
2
5
598
1 000
2
5
598
1 000
5
2
2
, ,
,
.
.
.
−( ) ÷ =
÷ =
÷ =
× =
9990
2 000
1 495
.
,=
Para determinar a resposta da expressão, foi necessário solucionar diversas operações envolven-
do os números reais.
Você sabia?
Os números reais negativos na China antiga
No mundo antigo todas as nações por 
questão de necessidade, introduziram o con-
ceito de número natural além de também de-
senvolver o sistema de contagem utilizando 
esses números. 
A seguir de forma natural, devido ao pró-
prio desenvolvimento da matemática, ocor-
reu a necessidade de outro tipo de simbolo-
gia numérica. 
Assim, os números negativos apareceram 
pela primeira vez na China Antiga. Os chineses 
há algum tempo já utilizavam duas coleções de 
barras para efetuar cálculos. 
Uma barra de cor vermelha para números po-
sitivos e uma outra barra de cor preta para nú-
meros negativos. Porém, o interessante é que os 
chineses sabiam da existência dos números ne-
gativos e faziam uso desses para operações no 
seu dia a dia, mas não aceitavam a ideia de um 
número negativo ser solução de uma equação. 
Estranho isso, não é mesmo?
R
ep
ro
d
uç
ão
39CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 39 20/06/2018 18:03:48
Questão resolvida
Solucione cada um dos casos a seguir envolvendo os números reais.
 a. 0,253 + 1,4 = b. 
2
5
3
2
− =
 c. 2 5 3 2× = d. 4 3
2
=
Resolvendo cada um dos casos envolvendo os números reais nas suas diversas formas de apre-
sentação, temos os seguintes desenvolvimentos.
c. 2 5 3 2 2 3 5 2 6 10× = × ×( ) =( )
d. 4 3
2
4 3
2
2
2
4 6
4
4 6
2
2 6= × = = =
0, 2 5 3
+ 1, 4
1, 6 5 3
a.
b. 2
5
3
2
4
10
15
10
11
10
− = − = −
Problemas envolvendo os números reais
Na parte que segue, vamos resolver problemas envolvendo os números reais nas suas diferentes 
formas e envolvendo seus diferentes significados de operações.
Verifique cada caso apresentado e acompanhe as aplicações existentes nos mesmos.
1. (SAEP-Adaptada) João encheu o tanque do seu carro colocando 40 litros de álcool. Ele pagou R$ 
1,47 por cada litro. Quanto João gastou para encher o tanque de seu carro?
a. X R$ 58,80.
b. R$ 48,00.
c. R$ 41,47.
d. R$ 27,21.
Após a leitura, verifique que estamos tratando de um problema envolvendo a multiplicação de 
números reais. Para solucionar, temos a seguinte expressão.
40 litros × R$ 1,47 = R$ 58,80
Chegamos assim à conclusão de que os 40 litros de álcool que encheram o tanque do carro do 
João, custaram o total de R$ 58,80. 
Perceba que escolhemos for-
mas de números reais diferentes 
para a aplicação de cada uma 
das alternativas ao lado.
38 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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ME_Matemática_Contextualizada_9A_02.indd 39 22/07/2018 14:59:29
40
a. – – – – – –81 49 3 2 1
2 3+ =( ) ( )b. – – – ..1 1 1 6 5434 002 101 0( ) ( ) ( ) + =+ +
c. 
2
3
5
2
5 2 3−




 + − ⋅ − =( ) ( )
d. 0 354 1 87 0 3452, , ,+ −( ) =
e. ( , , ) ,1 435 3 162 2 1+ × =
7. Solucione as expressões envolvendo os reais 
abaixo.
–4.
6.544.
229
6
.
1,8788.
9,6537.
11. Solucione os casos apresentados abaixo: 
 
a. O número 𝛔𝛔 é oposto do maior número in-
teiro de quatro algarismos diferentes. Qual é o 
valor de 𝛔𝛔?
–9.876.
b. A distância entre dois números vale 320 uni-
dades. Quais são esses números, sabendo-se 
que são números reais e opostos?
 –160 e 160.
12. O valor da expressão
25 16
25 16
+
−
:
a. não é um número inteiro.
b. é um número irracional.
c. X é um número real.
d. não é um número racional.
13. O valor da expressão
− − + − −( ) −






( )








6 125
36
4
5 20 2 5. 
é um número real. Esse número é também um…
a. número inteiro positivo.
b. número inteiro negativo.
c. número irracional.
d. X número racional fracionário.
8. A variável s representa o preço de uma saia 
e b o preço de uma blusa. O preço pago pela 
compra de Ana é representado pela expressão 
3 . s + 4 . b. Sabendo que cada saia custa R$ 
63,00 e que cada blusa custa um terço do valor 
pago pela saia, quanto Ana pagou?
R$ 273,00.
14. (OBM) A metade do número de 211 + 48 é:
a. 25 + 44.
b. 25 + 28.
c. 110 + 28.
d. X 215 + 45.
e. 29 + 47.
10. Numa padaria, uma lata de 200 g de acho-
colatado em pó CHOCOBOM custa R$ 3,00, 
uma lata de 400 g custa R$ 5,00 e a de 800 g 
custa R$ 9,00. Lara precisa de 1,2 kg de CHO-
9. Luca comprou uma revista por R$ 9,63 e deu 
uma nota de R$ 10,00 para pagar. De quantas 
maneiras ele pode receber o troco de 37 cen-
tavos em moedas, se as moedas disponíveis no 
caixa são as de 1, 5, 10 e 25 centavos? Suponha 
que há muitas moedas de cada tipo.
a. 10. 
b. 12. 
c. 15. 
d. X 24. 
e. 30.
COBOM para fazer um enorme bolo. Qual das 
opções a seguir é a maneira mais econômica de 
comprar 1,2 kg de CHOCOBOM nessa padaria?
a. 6 latas de 200 g.
b. X 1 lata de 400 g e 1 lata de 800 g. 
c. 4 latas de 200 g e 1 lata de 400 g.
d. 2 latas de 200 g e 1 lata de 800 g.
e. 2 latas de 200 g e 2 latas de 400 g. 
41CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 41 20/06/2018 18:03:49
Atividades
1. Associe as colunas corretamente, identifi-
cando os conjuntos numéricos contidos entre 
os reais e suas respectivas simbologias.
a. I
b. Z
c. N
d. Q
e. R
d Números racionais.
a Números irracionais.
e Números reais.
c Números naturais.
b Números inteiros.
2. Complemente corretamente as lacunas a 
seguir, identificando se as expressões fazem re-
ferência aos números racionais ou aos números 
irracionais.
a. Todos os números inteiros também são 
números racionais .
b. Os números de representação decimal infini-
ta e não periódica são números irracionais .
c. Os números naturais são também números 
racionais .
d. As raízes quadradas não exatas são números 
irracionais .
e. As raízes exatas são números racionais .
f. Os números racionais podem ser 
escritos em forma de fração. 
5. Quais das sentenças abaixo são falsas? Justi-
fique suas respostas.
a. X − =81 9
b. X − − = −81 9
c. ( )− =4 162
d. − = −4 16²
e. ( )− =3 10
As alternativas falsas são “a” e “b”, pois não 
existe solução no conjunto dos reais (R) para 
“raízes quadradas” de números negativos. 
3. Considerando x = (–1)1.003 e y = (–1)1.002, deter-
mine o valor das expressões a seguir:
a. x + y – 
b. x – y – 
(–1) + 1 = 0
(–1) – 1= –2
4. Um mergulhador profissional utilizando o es-
cafandro atingiu a profundidade de 12 metros 
em algum lugar no Oceano Atlântico. Um se-
6. Solucionado a expressão
 
1
2
3
5
2
3
2 36 3+ − − −( ) ( ) ,
temos como resultado que valor?
−
71
2
.
gundo mergulhador sem escafandro atingiu a 
metade dessa profundidade. Um terceiro mer-
gulhador, usando uma embarcação especial, 
atingiu o quadrado da soma das profundidades 
dos mergulhadores anterior. Apresente a pro-
fundidade atingida pelo terceiro mergulhador.
O terceiro mergulhador atingiu 324 metros de 
profundidade.
40 CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 40 20/06/2018 18:03:48
ME_Matemática_Contextualizada_9A_02.indd 40 22/07/2018 14:59:32
41
a. – – – – – –81 49 3 2 1
2 3+ =( ) ( ) 
b. – – – ..1 1 1 6 5434 002 101 0( ) ( ) ( ) + =+ +
c. 
2
3
5
2
5 2 3−




 + − ⋅ − =( ) ( )
d. 0 354 1 87 0 3452, , ,+ −( ) =
e. ( , , ) ,1 435 3 162 2 1+ × =
7. Solucione as expressões envolvendo os reais 
abaixo.
–4.
6.544.
229
6
.
1,8788.
9,6537.
11. Solucione os casos apresentados abaixo: 
 
a. O número 𝛔𝛔 é oposto do maior número in-
teiro de quatro algarismos diferentes. Qual é o 
valor de 𝛔𝛔?
–9.876.
b. A distância entre dois números vale 320 uni-
dades. Quais são esses números, sabendo-se 
que são números reais e opostos?
 –160 e 160.
12. O valor da expressão
25 16
25 16
+
−
:
a. não é um número inteiro.
b. é um número irracional.
c. X é um número real.
d. não é um número racional.
13. O valor da expressão
− − + − −( ) −






( )








6 125
36
4
5 20 2 5. 
é um número real. Esse número é também um…
a. número inteiro positivo.
b. número inteiro negativo.
c. número irracional.
d. X número racional fracionário.
8. A variável s representa o preço de uma saia 
e b o preço de uma blusa. O preço pago pela 
compra de Ana é representado pela expressão 
3 . s + 4 . b. Sabendo que cada saia custa R$ 
63,00 e que cada blusa custa um terço do valor 
pago pela saia, quanto Ana pagou?
R$ 273,00.
14. (OBM) A metade do número de 211 + 48 é:
a. 25 + 44.
b. 25 + 28.
c. 110 + 28.
d. X 215 + 45.
e. 29 + 47.
10. Numa padaria, uma lata de 200 g de acho-
colatado em pó CHOCOBOM custa R$ 3,00, 
uma lata de 400 g custa R$ 5,00 e a de 800 g 
custa R$ 9,00. Lara precisa de 1,2 kg de CHO-
9. Luca comprou uma revista por R$ 9,63 e deu 
uma nota de R$ 10,00 para pagar. De quantas 
maneiras ele pode receber o troco de 37 cen-
tavos em moedas, se as moedas disponíveis no 
caixa são as de 1, 5, 10 e 25 centavos? Suponha 
que há muitas moedas de cada tipo.
a. 10. 
b. 12. 
c. 15. 
d. X 24. 
e. 30.
COBOM para fazer um enorme bolo. Qual das 
opções a seguir é a maneira mais econômica de 
comprar 1,2 kg de CHOCOBOM nessa padaria?
a. 6 latas de 200 g.
b. X 1 lata de 400 g e 1 lata de 800 g. 
c. 4 latas de 200 g e 1 lata de 400 g.
d. 2 latas de 200 g e 1 lata de 800 g.
e. 2 latas de 200 g e 2 latas de 400 g. 
41CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 41 20/06/2018 18:03:49
Atividades
1. Associe as colunas corretamente, identifi-
cando os conjuntos numéricos contidos entre 
os reais e suas respectivas simbologias.
a. I
b. Z
c. N
d. Q
e. R
d Números racionais.
a Números irracionais.
e Números reais.
c Números naturais.
b Números inteiros.
2. Complemente corretamente as lacunas a 
seguir, identificando se as expressões fazem re-
ferência aos números racionais ou aos números 
irracionais.
a. Todos os números inteiros também são 
números racionais .
b. Os números de representação decimal infini-
ta e não periódica são números irracionais .
c. Os números naturais são também números 
racionais .
d. As raízes quadradas não exatas são números 
irracionais .
e. As raízes exatas são números racionais .
f. Os números racionais podem ser 
escritos em forma de fração. 
5. Quais das sentenças abaixo são falsas? Justi-
fique suas respostas.
a. X − =81 9
b. X − − = −81 9
c. ( )− =4 162
d. − = −4 16²
e. ( )− =3 10
As alternativas falsas são “a” e “b”, pois não 
existe solução no conjunto dos reais(R) para 
“raízes quadradas” de números negativos. 
3. Considerando x = (–1)1.003 e y = (–1)1.002, deter-
mine o valor das expressões a seguir:
a. x + y – 
b. x – y – 
(–1) + 1 = 0
(–1) – 1= –2
4. Um mergulhador profissional utilizando o es-
cafandro atingiu a profundidade de 12 metros 
em algum lugar no Oceano Atlântico. Um se-
6. Solucionado a expressão
 
1
2
3
5
2
3
2 36 3+ − − −( ) ( ) ,
temos como resultado que valor?
−
71
2
.
gundo mergulhador sem escafandro atingiu a 
metade dessa profundidade. Um terceiro mer-
gulhador, usando uma embarcação especial, 
atingiu o quadrado da soma das profundidades 
dos mergulhadores anterior. Apresente a pro-
fundidade atingida pelo terceiro mergulhador.
O terceiro mergulhador atingiu 324 metros de 
profundidade.
40 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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42
Resgatando a história
Brahmagupta, o matemático indiano e os números 
absurdos
Os números negativos foram descobertos por indianos quando esses tentavam desenvolver um 
algoritmo para chegar a resolução das equações quadráticas. Como maior desses matemáticos, 
temos o Brahmagupta, nascido no ano 598 d. C. Os números negativos têm registro inicial pela sua 
obra. 
Como principal afirmação para comprovação da existência dos números negativos, Brahmagup-
ta deixou registrado que os números podem ser entendidos como “pertences” ou “dívidas”. 
Uma dificuldade dessa época era a simbologia específica para os números negativos, que não 
existia. Isso dificultava o uso dos mesmos em operações e os números negativos tinham, assim, a 
veracidade de sua existência colocada sempre em pauta. 
Durante muito tempo os números negativos foram simplesmente classificados por números ab-
surdos. E só bem mais a frente é que os matemáticos encontraram a simbologia até hoje utilizada 
para identificar e operar com os números negativos. 
Amplie o conhecimento
Descobrindo a simbologia específica dos números reais 
na sua forma negativa
Após muitas tentativas infelizes de encontrar um símbolo para representar os números negati-
vos, observando o modo como comerciantes da época contabilizavam as quantidades de produtos 
vendidos e ainda em estoque para vender, os matemáticos conseguiram finalmente encontrar a 
simbologia há muito tempo procurada.
Mas, como se deu isso?
No início do dia, um comerciante tinha em 
seu estabelecimento duas sacas de milho de 50 
quilogramas cada. Se ao término do dia, esse 
comerciante houvesse vendido 8 quilogramas 
do milho, para não esquecer que um dos sacos 
tinha aquela quantidade a menos, o comercian-
te escrevia o número 8 com um tracinho prece-
dendo o número (–8).
Supondo que ele vendesse no outro saco 
48 quilogramas e sobrassem 2 quilogramas e 
o comerciante colocasse esses 2 quilogramas 
no outro saco, esse também teria marcado o 
símbolo de dois tracinhos cruzados (+2), esse 
agora identificava que naquele saco havia 2 qui-
logramas a mais. Assim, por essas observações 
efetuadas pelos matemáticos, foram criados os 
números com sinal positivo e os números com 
sinal negativo, dos quais aqui estamos falando.
H
Q
ua
lit
y/
Sh
ut
te
rs
to
ck
.c
o
m
43CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 43 20/06/2018 18:03:49
Para analisar:
Os meus amigos e os meus inimigos
Há um comportamento específico para os sinais quando estamos multiplicando ou divi-
dindo números reais positivos e negativos. 
Visando facilitar a memorização, um professor desenvolveu a chamada regra dos amigos 
e inimigos. Os amigos são números reais de sinal positivo (+), por outro lado, os inimigos 
são os números reais de sinal negativo (–). Finalmente o professor estabelece as relações de 
amizade entre seus amigos e seus inimigos. 
É ainda muito importante relembrar que tal regra só serve para os casos de multiplicação 
e divisão, para adição e subtração esses números têm comportamento de sinais diferentes.
As relações proferidas pelo professor são as seguintes:
 O amigo do meu amigo também é amigo meu. 
 O inimigo do meu inimigo é meu amigo.
 O inimigo do meu amigo também é inimigo meu.
Essas três afirmações servem para apresentar o comportamento dos números reais de si-
nais opostos. Verifique com seus amigos e comprove que o professor tem, verdadeiramente, 
razão quanto ao comportamento desses números reais de sinais opostos. 
Refletindo sobre o texto
1. Sobre o texto Os meus amigos e os meus inimigos, que descreve o comportamento dos números 
reais positivos e negativos, como se apresentam os sinais referentes a isso?
a. Para os casos de multiplicação: b. Para os casos de divisão:
+( ) × +( ) = +
−( ) × −( ) = +
+( ) × −( ) = −
−( ) × +( ) = −
+( ) ÷ +( ) = +
−( ) ÷ −( ) = +
+( ) ÷ −( ) = −
−( ) ÷ +( ) = −
2. Para você, a relação entre amigos e inimigos, apresentadas no texto acima, ajudará na memori-
zação do comportamento de números reais com sinais positivos e negativos?
3. Quais as operações envolvendo os reais que essa relação de sinais, apresentada no texto, não se 
aplica?
Nas operações de adição e subtração envolvendo os números reais.
Resposta pessoal.
42 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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43
Resgatando a história
Brahmagupta, o matemático indiano e os números 
absurdos
Os números negativos foram descobertos por indianos quando esses tentavam desenvolver um 
algoritmo para chegar a resolução das equações quadráticas. Como maior desses matemáticos, 
temos o Brahmagupta, nascido no ano 598 d. C. Os números negativos têm registro inicial pela sua 
obra. 
Como principal afirmação para comprovação da existência dos números negativos, Brahmagup-
ta deixou registrado que os números podem ser entendidos como “pertences” ou “dívidas”. 
Uma dificuldade dessa época era a simbologia específica para os números negativos, que não 
existia. Isso dificultava o uso dos mesmos em operações e os números negativos tinham, assim, a 
veracidade de sua existência colocada sempre em pauta. 
Durante muito tempo os números negativos foram simplesmente classificados por números ab-
surdos. E só bem mais a frente é que os matemáticos encontraram a simbologia até hoje utilizada 
para identificar e operar com os números negativos. 
Amplie o conhecimento
Descobrindo a simbologia específica dos números reais 
na sua forma negativa
Após muitas tentativas infelizes de encontrar um símbolo para representar os números negati-
vos, observando o modo como comerciantes da época contabilizavam as quantidades de produtos 
vendidos e ainda em estoque para vender, os matemáticos conseguiram finalmente encontrar a 
simbologia há muito tempo procurada.
Mas, como se deu isso?
No início do dia, um comerciante tinha em 
seu estabelecimento duas sacas de milho de 50 
quilogramas cada. Se ao término do dia, esse 
comerciante houvesse vendido 8 quilogramas 
do milho, para não esquecer que um dos sacos 
tinha aquela quantidade a menos, o comercian-
te escrevia o número 8 com um tracinho prece-
dendo o número (–8).
Supondo que ele vendesse no outro saco 
48 quilogramas e sobrassem 2 quilogramas e 
o comerciante colocasse esses 2 quilogramas 
no outro saco, esse também teria marcado o 
símbolo de dois tracinhos cruzados (+2), esse 
agora identificava que naquele saco havia 2 qui-
logramas a mais. Assim, por essas observações 
efetuadas pelos matemáticos, foram criados os 
números com sinal positivo e os números com 
sinal negativo, dos quais aqui estamos falando.
H
Q
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43CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Para analisar:
Os meus amigos e os meus inimigos
Há um comportamento específico para os sinais quando estamos multiplicando ou divi-
dindo números reais positivos e negativos. 
Visandofacilitar a memorização, um professor desenvolveu a chamada regra dos amigos 
e inimigos. Os amigos são números reais de sinal positivo (+), por outro lado, os inimigos 
são os números reais de sinal negativo (–). Finalmente o professor estabelece as relações de 
amizade entre seus amigos e seus inimigos. 
É ainda muito importante relembrar que tal regra só serve para os casos de multiplicação 
e divisão, para adição e subtração esses números têm comportamento de sinais diferentes.
As relações proferidas pelo professor são as seguintes:
 O amigo do meu amigo também é amigo meu. 
 O inimigo do meu inimigo é meu amigo.
 O inimigo do meu amigo também é inimigo meu.
Essas três afirmações servem para apresentar o comportamento dos números reais de si-
nais opostos. Verifique com seus amigos e comprove que o professor tem, verdadeiramente, 
razão quanto ao comportamento desses números reais de sinais opostos. 
Refletindo sobre o texto
1. Sobre o texto Os meus amigos e os meus inimigos, que descreve o comportamento dos números 
reais positivos e negativos, como se apresentam os sinais referentes a isso?
a. Para os casos de multiplicação: b. Para os casos de divisão:
+( ) × +( ) = +
−( ) × −( ) = +
+( ) × −( ) = −
−( ) × +( ) = −
+( ) ÷ +( ) = +
−( ) ÷ −( ) = +
+( ) ÷ −( ) = −
−( ) ÷ +( ) = −
2. Para você, a relação entre amigos e inimigos, apresentadas no texto acima, ajudará na memori-
zação do comportamento de números reais com sinais positivos e negativos?
3. Quais as operações envolvendo os reais que essa relação de sinais, apresentada no texto, não se 
aplica?
Nas operações de adição e subtração envolvendo os números reais.
Resposta pessoal.
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44
Praticando mais
1. (IESES) Leia as frases abaixo sobre a teoria 
dos conjuntos: 
I. {0, 1, 2, 3, 5} pertencem ao conjunto dos nú-
meros naturais. 
II. A raiz quadrada de 2 é um número irracional. 
III. Os números reais são formados pela interse-
ção dos números racionais e irracionais. 
IV. Todo número inteiro não positivo pertence 
ao conjunto dos números naturais. 
A sequência correta é:
a. X Apenas as afirmações I e II estão corretas.
b. Apenas as afirmações II e III estão corretas.
c. As afirmações I, II e III estão corretas.
d. As afirmações I, III e IV estão corretas.
2. (Cefet) Quantas ordens possui o número 230 
milhões?
a. 8 ordens.
b. X 9 ordens.
c. 10 ordens.
d. Nenhuma das alternativas anteriores.
4. (Fumec) Considere os conjuntos A = {–3, –2, 
–1, 0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {–3; 
3
4
; 
2; 
7
2
; 5} avalie as afirmações I e II e marque a 
alternativa correta.
 
I. O conjunto C é composto somente por nú-
meros racionais.
II. O conjunto B não contém números inteiros.
 
As afirmações I e II são, respectivamente:
a. verdadeira e verdadeira.
b. falsa e falsa.
c. X verdadeira e falsa.
d. falsa e verdadeira.
5. (Vunesp) Considere m e n números racionais 
e  s  e  t  números irracionais quaisquer. Nessas 
condições, é verdadeira a alternativa: 
a. o produto m × n pode ser um número ir-
racional.
b. o produto  s  ×  t  nunca será um número 
racional.
c. o quociente s ÷ t nunca será um número 
racional. 
d. X a soma m + n nunca será um número irra-
cional.
e. a soma s + t é necessariamente um núme-
ro irracional.
6. (Cesgranrio – Adaptada) Multiplicando-se o 
maior número inteiro menor do que 8 pelo me-
nor número inteiro maior do que −8, o resultado 
encontrado será o número real:
a. –72. 
b. –63. 
c. –56. 
d. X –49. 
e. –42.
7. (Cefet – Adaptada) Qual é o maior número 
inteiro e real compreendido entre −
3
2
 e 
1
3
.
a. X 0.
b. –1.
c. 2.
d. Nenhuma das alternativas anteriores.
8. (UFF)  Segundo o matemático Leopold 
Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números 
3. Observe os números:
I. 2,212121… II. 3,212223…
III. 
π
5
 IV. 3,1416
V. −4 
Quais desses números são irracionais?
Itens “II” e “III”.
45CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Aprimorando conceitos
I. Quais os conjuntos numéricos que pertencem aos números reais?
II. Nas potências de expoentes negativos, como definimos a solução?
III. Nas potências de expoentes fracionários, como definimos a solução?
IV. De modo simples, defina o que são notações científicas.
V. Exemplifique uma unidade de medida muito pequena e outra unidade de medida muito 
grande.
VI. Quais as unidades de medidas, utilizadas na informática, apresentadas nesse capítulo?
VII. Operando com os números reais, qual as formas desse número que podemos utilizar na 
adição, subtração, multiplicação e também na divisão?
Podemos utilizar as formas de número real inteiro, decimal, fracionária e ainda a forma com 
radicais.
Os conjuntos são os dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e tam-
bém dos números irracionais. Todos esses são pertencentes ao conjunto dos números reais.
Devemos inverter a posição entre numerador e denominador, que são a base da potência. 
Ao inverter a base da potência esse expoente tem seu sinal trocado, ficando assim positivo, 
daí pode ser solucionado normalmente.
As potências que possuem expoentes fracionários transformam-se em radiciações. A parti-
cularidade vale para o expoente cujo numerador torna-se expoente do radicando e o seu 
denominador torna-se índice da radiciação. Assim, vale a seguinte relação para esses casos: 
Para todo número real a e um número inteiro positivo n (n ≥ 2), define-se:
 a a
1
n n→ ¹ . Após a transformação, solucionamos a radiciação normalmente.
São representações simplificadas de números reais muito extensos ou também muito pe-
quenos, como potências de base dez.
Como unidade de medida muito pequena, temos o micrômetro, e unidade de medida mui-
to grande, temos a unidade astronômica.
Byte, Kilobyte, Megabyte, Gigabyte, Terabyte, Petabyte, Exabyte, Zettabyte e Yottabyte.
44 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Praticando mais
1. (IESES) Leia as frases abaixo sobre a teoria 
dos conjuntos: 
I. {0, 1, 2, 3, 5} pertencem ao conjunto dos nú-
meros naturais. 
II. A raiz quadrada de 2 é um número irracional. 
III. Os números reais são formados pela interse-
ção dos números racionais e irracionais. 
IV. Todo número inteiro não positivo pertence 
ao conjunto dos números naturais. 
A sequência correta é:
a. X Apenas as afirmações I e II estão corretas.
b. Apenas as afirmações II e III estão corretas.
c. As afirmações I, II e III estão corretas.
d. As afirmações I, III e IV estão corretas.
2. (Cefet) Quantas ordens possui o número 230 
milhões?
a. 8 ordens.
b. X 9 ordens.
c. 10 ordens.
d. Nenhuma das alternativas anteriores.
4. (Fumec) Considere os conjuntos A = {–3, –2, 
–1, 0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {–3; 
3
4
; 
2; 
7
2
; 5} avalie as afirmações I e II e marque a 
alternativa correta.
 
I. O conjunto C é composto somente por nú-
meros racionais.
II. O conjunto B não contém números inteiros.
 
As afirmações I e II são, respectivamente:
a. verdadeira e verdadeira.
b. falsa e falsa.
c. X verdadeira e falsa.
d. falsa e verdadeira.
5. (Vunesp) Considere m e n números racionais 
e  s  e  t  números irracionais quaisquer. Nessas 
condições, é verdadeira a alternativa: 
a. o produto m × n pode ser um número ir-
racional.
b. o produto  s  ×  t  nunca será um número 
racional.
c. o quociente s ÷ t nunca será um número 
racional. 
d. X a soma m + n nunca será um número irra-
cional.
e. a soma s + t é necessariamente um núme-
ro irracional.
6. (Cesgranrio – Adaptada) Multiplicando-se o 
maior número inteiro menor do que 8 pelo me-
nor número inteiro maior do que −8, o resultado 
encontradoserá o número real:
a. –72. 
b. –63. 
c. –56. 
d. X –49. 
e. –42.
7. (Cefet – Adaptada) Qual é o maior número 
inteiro e real compreendido entre −
3
2
 e 
1
3
.
a. X 0.
b. –1.
c. 2.
d. Nenhuma das alternativas anteriores.
8. (UFF)  Segundo o matemático Leopold 
Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números 
3. Observe os números:
I. 2,212121… II. 3,212223…
III. 
π
5
 IV. 3,1416
V. −4 
Quais desses números são irracionais?
Itens “II” e “III”.
45CAPÍTULO 2 I Os números reais
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Aprimorando conceitos
I. Quais os conjuntos numéricos que pertencem aos números reais?
II. Nas potências de expoentes negativos, como definimos a solução?
III. Nas potências de expoentes fracionários, como definimos a solução?
IV. De modo simples, defina o que são notações científicas.
V. Exemplifique uma unidade de medida muito pequena e outra unidade de medida muito 
grande.
VI. Quais as unidades de medidas, utilizadas na informática, apresentadas nesse capítulo?
VII. Operando com os números reais, qual as formas desse número que podemos utilizar na 
adição, subtração, multiplicação e também na divisão?
Podemos utilizar as formas de número real inteiro, decimal, fracionária e ainda a forma com 
radicais.
Os conjuntos são os dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e tam-
bém dos números irracionais. Todos esses são pertencentes ao conjunto dos números reais.
Devemos inverter a posição entre numerador e denominador, que são a base da potência. 
Ao inverter a base da potência esse expoente tem seu sinal trocado, ficando assim positivo, 
daí pode ser solucionado normalmente.
As potências que possuem expoentes fracionários transformam-se em radiciações. A parti-
cularidade vale para o expoente cujo numerador torna-se expoente do radicando e o seu 
denominador torna-se índice da radiciação. Assim, vale a seguinte relação para esses casos: 
Para todo número real a e um número inteiro positivo n (n ≥ 2), define-se:
 a a
1
n n→ ¹ . Após a transformação, solucionamos a radiciação normalmente.
São representações simplificadas de números reais muito extensos ou também muito pe-
quenos, como potências de base dez.
Como unidade de medida muito pequena, temos o micrômetro, e unidade de medida mui-
to grande, temos a unidade astronômica.
Byte, Kilobyte, Megabyte, Gigabyte, Terabyte, Petabyte, Exabyte, Zettabyte e Yottabyte.
44 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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46
17. (FCC) Qual das expressões seguintes não é 
equivalente a 0,0000000625?
a. X 
5
16
10 6⋅ − . 
b. 
5
8
10 7⋅ − . 
c. 
25
4
10 8⋅ − . 
d. 
125
2
10 9⋅ − . 
e. 625 10 10⋅ − . 
15. (Cefet) Em relação aos principais conjuntos 
numéricos, é correto afirmar que:
a. todo número racional é natural, mas nem 
todo número natural é racional.
b. todo número inteiro é natural, mas nem 
todo número natural é inteiro.
c. todo número real é natural, mas nem 
todo número natural é real.
d. todo número racional é inteiro, mas nem 
todo número inteiro é racional.
e. X todo número irracional é real.
16. Simplificando a expressão 
1
5
1
4
6
0 464646
+ −
, ...
 ire-
mos obter como resposta:
a. um número racional.
b. X um número decimal infinito e não perió-
dico.
c. um número decimal exato.
d. um número negativo.
18. Sabendo que o número real e racional 
m
n
 
origina a dízima periódica 1,3333... Determine o 
resultado da expressão m n× ² .
a. 36.
b. 12.
c. 27.
d. 24.
20. (SAEB) Sendo P = (–10)² – 10², então, o valor 
de P é:
a. 100.
b. 40.
c. –100.
d. X 0.
21. (SAEB-Adaptada) O professor de matemá-
tica escreveu a seguinte expressão numérica no 
quadro. 
k = − + − 7 14 5 49 7: ( ) : 
Então, o valor de k é:
a. 
7
2
. 
b. 2. 
 
c. 9. 
 
d. X – 2.
19. (SAEP-Adaptada) Observe a reta a seguir.
–4 10–2 3–3 2–1 4
O número 
25
7
, nessa reta numérica, está locali-
zado entre:
a. – 4 e –3.
b. 2 e 3.
c. X 3 e 4.
d. – 3 e – 4.
22. (SAEP-Adaptada) A professora escreveu a 
seguinte expressão no quadro. 
M = ( ) :7 710 5 48 
Então, o valor de M é:
a. 2.
b. X 49.
c. 14.
d. 0.
23. (Fuvest) O valor de (0,2)³ + (0,16)² é:
a. 0,0264.    
b. X 0,0336.    
c. 0,1056.      
d. 0,2568.      
e. 0,6256.
X
47CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 47 20/06/2018 18:03:52
9. (Cefet) Assinale a alternativa correta, em que 
os números estão em ordem crescente: 
a. 
5
3
0 25 8 1; , ; ;
b. 2 2
3
7
1 32223 3; ; , ...− e 
c. −
2
5
7 0 111 0 80; ; , ... ,e 
d. X 5 1 0 7 1
1
2
3− ; , ; e 
10. (FCC) O valor da expressão
( , , ) :0 799 0 201
2
5
2 2− 
envolvendo os reais é:
a. 0,925.
b. 0,975.
c. 1,245.
d. 1,455.
e. X 1,495. 14. (FCC) O valor da expressão 
A B
A BB A
2 3−
+
, para 
A = 2 e B = −1, é um número compreendido 
entre:
a. – 2 e 1.
b. X 1 e 4.
c. 4 e 7.
d. 7 e 9.
e. 9 e 10.
13. (Fatec – Adaptada) Se x e y são números 
reais, tais que x = (0,25) . 0,25 e y = 16 – 0,125, é 
verdade que:
a. x = y.
b. x > y.
c. x + y x ⋅ =y 2 2.
d. x – y é um número irracional.
e. X x + y é um número racional não inteiro.
12. (FCC) Observe o processo de resolução de 
uma equação feito por um aluno:
Equação: 18 42x x= 
Passo 1: 18 4x = 
Passo 2: x =
4
18
 
Passo 3: x =
2
9
 
Passo 4: verificação → 18
2
9
4
2
9
18
4
81
8
9
72
81
8
9
8
9
8
9
2
9
2
⋅ 




 = ⋅
⋅ =
=
= → = 




S
 
Com relação à resolução é correto afirmar que:
a. X O erro cometido no passo 1 implicou na 
perda de uma das raízes da equação.
b. O passo 2 deveria ser x = 4 – 18. 
c. O passo 3 alterou o resultado do passo 4.
d. Não podemos fazer a verificação.
e. A resolução está completa e correta.
11. Leia as afirmações com atenção e marque a 
única incorreta.
a. Todo número inteiro é um número real.
b. X Todo número real é um número irracional.
c. Todo número irracional é um número real.
d. Existem números racionais que são naturais. 
inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os 
conjuntos numéricos são, como afirma o mate-
mático, uma das grandes invenções humanas. 
Assim, em relação aos elementos desses con-
juntos, é correto afirmar que:
a. o produto de dois números irracionais é 
sempre um número irracional.
b. a soma de dois números irracionais é sem-
pre um número irracional.
c. entre os números reais 3 e 4 existe apenas 
um número irracional.
d. X entre dois números racionais distintos 
existe pelo menos um número racional.
e. a diferença entre dois números inteiros 
negativos é sempre um número inteiro 
negativo.
X
46 CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 46 20/06/2018 18:03:51
ME_Matemática_Contextualizada_9A_02.indd 46 22/07/2018 14:59:44
47
17. (FCC) Qual das expressões seguintes não é 
equivalente a 0,0000000625?
a. X 
5
16
10 6⋅ − . 
b. 
5
8
10 7⋅ − . 
c. 
25
4
10 8⋅ − . 
d. 
125
2
10 9⋅ − . 
e. 625 10 10⋅ − . 
15. (Cefet) Em relação aos principais conjuntos 
numéricos, é correto afirmar que:
a. todo número racional é natural, mas nem 
todo número natural é racional.
b. todo número inteiro é natural, mas nem 
todo número natural é inteiro.
c. todo número real é natural, mas nem 
todo número natural é real.
d. todo número racional é inteiro, mas nem 
todo número inteiro é racional.
e. X todo número irracional é real.
16. Simplificando a expressão 
1
5
1
4
6
0 464646
+ −
, ...
 ire-
mos obter como resposta:
a. um número racional.
b. X um número decimal infinito e não perió-
dico.
c. um número decimal exato.
d. um número negativo.
18. Sabendo que o número real e racional 
m
n
 
origina a dízima periódica 1,3333... Determine o 
resultado da expressãom n× ² .
a. 36.
b. 12.
c. 27.
d. 24.
20. (SAEB) Sendo P = (–10)² – 10², então, o valor 
de P é:
a. 100.
b. 40.
c. –100.
d. X 0.
21. (SAEB-Adaptada) O professor de matemá-
tica escreveu a seguinte expressão numérica no 
quadro. 
k = − + − 7 14 5 49 7: ( ) : 
Então, o valor de k é:
a. 
7
2
. 
b. 2. 
 
c. 9. 
 
d. X – 2.
19. (SAEP-Adaptada) Observe a reta a seguir.
–4 10–2 3–3 2–1 4
O número 
25
7
, nessa reta numérica, está locali-
zado entre:
a. – 4 e –3.
b. 2 e 3.
c. X 3 e 4.
d. – 3 e – 4.
22. (SAEP-Adaptada) A professora escreveu a 
seguinte expressão no quadro. 
M = ( ) :7 710 5 48 
Então, o valor de M é:
a. 2.
b. X 49.
c. 14.
d. 0.
23. (Fuvest) O valor de (0,2)³ + (0,16)² é:
a. 0,0264.    
b. X 0,0336.    
c. 0,1056.      
d. 0,2568.      
e. 0,6256.
X
47CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 47 20/06/2018 18:03:52
9. (Cefet) Assinale a alternativa correta, em que 
os números estão em ordem crescente: 
a. 
5
3
0 25 8 1; , ; ;
b. 2 2
3
7
1 32223 3; ; , ...− e 
c. −
2
5
7 0 111 0 80; ; , ... ,e 
d. X 5 1 0 7 1
1
2
3− ; , ; e 
10. (FCC) O valor da expressão
( , , ) :0 799 0 201
2
5
2 2− 
envolvendo os reais é:
a. 0,925.
b. 0,975.
c. 1,245.
d. 1,455.
e. X 1,495. 14. (FCC) O valor da expressão 
A B
A BB A
2 3−
+
, para 
A = 2 e B = −1, é um número compreendido 
entre:
a. – 2 e 1.
b. X 1 e 4.
c. 4 e 7.
d. 7 e 9.
e. 9 e 10.
13. (Fatec – Adaptada) Se x e y são números 
reais, tais que x = (0,25) . 0,25 e y = 16 – 0,125, é 
verdade que:
a. x = y.
b. x > y.
c. x + y x ⋅ =y 2 2.
d. x – y é um número irracional.
e. X x + y é um número racional não inteiro.
12. (FCC) Observe o processo de resolução de 
uma equação feito por um aluno:
Equação: 18 42x x= 
Passo 1: 18 4x = 
Passo 2: x =
4
18
 
Passo 3: x =
2
9
 
Passo 4: verificação → 18
2
9
4
2
9
18
4
81
8
9
72
81
8
9
8
9
8
9
2
9
2
⋅ 




 = ⋅
⋅ =
=
= → = 




S
 
Com relação à resolução é correto afirmar que:
a. X O erro cometido no passo 1 implicou na 
perda de uma das raízes da equação.
b. O passo 2 deveria ser x = 4 – 18. 
c. O passo 3 alterou o resultado do passo 4.
d. Não podemos fazer a verificação.
e. A resolução está completa e correta.
11. Leia as afirmações com atenção e marque a 
única incorreta.
a. Todo número inteiro é um número real.
b. X Todo número real é um número irracional.
c. Todo número irracional é um número real.
d. Existem números racionais que são naturais. 
inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os 
conjuntos numéricos são, como afirma o mate-
mático, uma das grandes invenções humanas. 
Assim, em relação aos elementos desses con-
juntos, é correto afirmar que:
a. o produto de dois números irracionais é 
sempre um número irracional.
b. a soma de dois números irracionais é sem-
pre um número irracional.
c. entre os números reais 3 e 4 existe apenas 
um número irracional.
d. X entre dois números racionais distintos 
existe pelo menos um número racional.
e. a diferença entre dois números inteiros 
negativos é sempre um número inteiro 
negativo.
X
46 CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 46 20/06/2018 18:03:51
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48
Diálogo com o professor
Aproveite a questão 31 para fazer 
uma interdisciplinaridade com Ciên-
cias e Geografia, e explicar os tipos de 
plataforma de exploração de petróleo 
utilizados pela Petrobras no litoral bra-
sileiro.
Leitura complementar
Tipos de plataforma
Plataforma fixa – é a que é utilizada 
em maiores profundidades para perfu-
ração de poços e na produção de pe-
tróleo. Apresenta estruturas modulares 
de aço, é cravada no fundo do mar, e 
feita para operações de longa duração.
Plataforma autoelevável – é utili-
zada quando há necessidade de deslo-
camento, os suportes (pernas) são mo-
vimentados para cima, e a plataforma 
é rebocada ou navega com propulsão 
própria. É composta por uma balsa e 
três ou mais pernas de tamanhos va-
riáveis, que se movimentam até atingi-
rem o fundo do mar. Também é utiliza-
da para perfurar poços em águas rasas.
Plataforma semissubmersível – é 
uma unidade flutuante usada na perfu-
ração de poços e na produção de pe-
tróleo. Sua estabilidade é controlada 
por sistemas de ancoragem (âncoras, 
cabos e correntes) e de posicionamen-
to dinâmico, com propulsores instala-
dos no casco. Tem grande mobilida-
de, podendo mudar rapidamente de 
um campo para outro.
Plataforma FPSO – é utilizada para 
águas profundas e ultraprofundas, e 
tem a capacidade de produzir, arma-
zenar e transferir petróleo. Tem gran-
de mobilidade, sendo usada principal-
mente em locais mais isolados, com 
pouca estrutura para a instalação de 
uma plataforma fixa. 
Plataforma FPSO monocoluna – 
sua estabilidade é ainda maior, gra-
ças a uma abertura na parte central, 
que permite a entrada da água e re-
duz a movimentação provocada pelas 
ondas. A primeira plataforma com es-
sas características funciona em Sergi-
pe desde 2007.
Plataforma TLWP – é utilizada 
na extração de petróleo do pré-sal. 
Todo o controle é feito da superfície. 
É conhecida como flutuante quase fixa 
porque é flutuante, mas tem um siste-
ma de ancoragem com tendões fixos 
por estacas no fundo do mar.
Navio-sonda – é utilizada para 
perfuração de poços em águas ultra-
profundas, alcançando mais de 2.000 
metros de profundidade, para dar es-
tabilidade. São utilizados sensores 
acústicos e propulsores, que anulam 
os efeitos dos ventos e das ondas.
Fonte: http://www.petrobras.com.br/
infograficos/tipos-de-plataformas/desktop/
index.html. acesso em: 10/07/2018. Adaptado.
36. (UFF) The Internet Archive é uma organiza-
ção sem fins lucrativos com o objetivo de ca-
talogar e armazenar todas as páginas Web da 
32. (Obmep) Se 
1
8
 de um número é 
1
5
, quanto 
vale 
5
8
 desse número?
a. 
1
8
. 
b. 
1
5
. 
c. 1. 
d. X 
8
5
. 
e. 2.
33. O valor da expressão numérica 
− −






⋅ −





216 1
16
9
1
2
3
2
: é:
a. 3,2. 
b. 2,3. 
c. 5,4.
d. X 4,5. 
e. 5,9.
34. O aquário de João Paulo tem a forma de um 
cubo cuja aresta mede 48 23 cm. Quantos li-
tros de água são necessários para que o aquário 
de João Paulo fique totalmente cheio?
a. 110 litros.
b. 120 litros. 
c. X 128 litros. 
d. 130 litros. 
e. 135 litros.
35. Um raio de luz, propagando-se no vácuo, des-
loca-se com velocidade de 3,0 . 105 km/s aproxi-
madamente. Se a distância entre dois planetas é 
de 9,0 . 107 km, então, o tempo, em minutos, que 
o raio de luz levará para cobrir essa distância é:
a. 5,2.
b. X 5.
c. 4,5.
d. 4.
e. 3,8.
37. (UFSM) O valor da expressão 
16
8
2
8
3
2
1
3
4
2: é:
a. 2-1.
b. 20.
c. 2
1
2 .
d. X 24.
e. 26.
38. Considerando que cada aula dura 50 minu-
tos, o intervalo de tempo de duas aulas segui-
das, expresso em segundos, é de:
a. 3,0 × 10². 
b. 3,0 × 10³. 
c. 3,6 × 10³. 
d. X 6,0 × 10³. 
e. 7,2 × 10³.
Internet desde 1996. Atualmente, o sistema 
é gerenciado por cerca de 800 computadores 
pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 
pentabytes de memória para armazenamen-
to. Cada pentabyte equivale a 220 gigabytes. 
Admitindo-se que um DVD comum é capaz de 
armazenar 4 gigabytes, qual o número de DVDs 
necessários para armazenar 3 pentabytes?
a. Está entre 216 e 217.
b. Está entre 217 e 218. 
c. Está entre 218 e 219.
d. X Está entre 219 e 220. 
e. É maior que 220.
39. Responda:
?
Quem sou 
eu?
Não sou um número natural, não sou inteiro, 
não sou racional, mas sou real.
Irracional.
49CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 49 20/06/2018 18:03:54
24. (Vunesp – Adaptada) Observe o padrão:
2 65 536 256
2 256 16
2 4 2
2 2
16 2
8 2
4 2
1
= =
= =
= =
=
.
 
Mantido omodelo apresentado, é correto con-
cluir que  20 5, é igual a:
a. 
1
2
. 
b. X 2 .
c. 1² .
d. ( )2 2 .
e. ( )
1
2
2− .
30. (IMA) Das operações abaixo, assinale a úni-
ca verdadeira.
a. 
2
5
4
10
2





 =
−
−
−
 
b. 1 11
1− −( ) = − 
c. X 2
1
2
12
2
: 




 =
−
 
d. 
9
49
3
7
2
= 





−
 
27. (Fatec) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x + 3 = 2x . 23
II. (25)x = 52x
III. 2x + 3x = 5x
a. somente a I é verdadeira.
b. somente a II é verdadeira.
c. somente a III é verdadeira.
d. somente a II é falsa.
e. X somente a III é falsa. 
26. (FEI) O valor da expressão B = 5 . 108  . 4 . 
10-3 é:
a. 206.
b. X 2 . 106.
c. 2 . 109.
d. 20 . 10-4.
29. (UFSM) O valor da expressão 
3
2
2
3
1
1
2











−
: é:
a. X 
6
3
. 
b. 
6
3
2





 . 
c. 2 .
d. 
2 3
3
.
e. 2.
25. (Fuvest) Dos números abaixo, o que está 
mais próximo de ( , ) ( , )
( , )
5 2 10 3
9 9
4 3
2
⋅ é:
a. 0,625.           
b. 6,25.              
c. 62,5.           
d. 625.                  
e. X 6.250.
28. (Fundatec) O valor numérico da expressão 
1 2 10
3
3
3
8
6, × + é:
a. 126.
b. 129.
c. 1.206.
d. X 1.209.
e. 12.009.
31. A plataforma continental brasileira é rica em 
jazidas de petróleo. Dela são extraídas 60% da 
produção nacional. As reservas de petróleo do 
País somam 2,816 milhões de barris. Escreva em 
notação científica e em unidades de barris nos-
sas reservas petrolíferas:
a. 3,0 × 10². 
b. 3,0 × 10³. 
c. 3,6 × 105. 
d. X 2,8 × 106. 
e. 7,2 × 10³
48 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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49
Diálogo com o professor
Aproveite	a	questão	36	para	apre-
sentar	 a	 leitura	 complementar,	 com	
mais	algumas	informações	sobre	a	The	
Internet	Archive.
Leitura complementar
Internet	 Archive  é	 uma  organiza-
ção	 sem	 fins	 lucrativos  dedicada	 a	
manter	 um	 arquivo	 de	 recursos  mul-
timídia.  Ela	 foi	 fundada	 por  Brewster	
Kahle,	em	1996,	e	 se	 localiza	em São	
Francisco, Califórnia.	Tal	arquivo	inclui	
“retratos”	da	Web:	cópias	arquivadas	
de	páginas	da World Wide Web,	com	
múltiplas	 cópias	 (tomadas	 em	 instan-
tes	 diferentes)	 de	 cada	 página,	mos-
trando,	assim,	a	evolução	da	Web.	O	
arquivo	 inclui	 também  software,  fil-
mes,  livros,	e	gravações	de áudio  (in-
clusive	gravações	de	shows/concertos	
ao	 vivo	 de	 bandas  que	 o	 permitem).	
O	acervo	pretende	manter	uma	cópia	
digital	desses	materiais	para	consulta	
histórica.
Devido	ao	seu	objetivo	de	preser-
var	o conhecimento	humano e	dispo-
nibilizá-lo	 a	 todos,	 o	 Internet	Archive	
já	foi	comparado	à Biblioteca	de	Ale-
xandria.
Ele	 abriga	 um	 grande	 número	 de	
arquivos	de	vários	tipos,	como	áudio,	
vídeo	 e	 texto,	 a	 grande	 maioria	 de-
les	no domínio	público,	 com  licenças	
Creative	Commons ou	outras	licenças	
que	permitem	a	distribuição	gratuita.
Fonte:	https://pt.wikipedia.org/wiki/
Internet_Archive.
Anotações
36. (UFF) The Internet Archive é uma organiza-
ção sem fins lucrativos com o objetivo de ca-
talogar e armazenar todas as páginas Web da 
32. (Obmep) Se 
1
8
 de um número é 
1
5
, quanto 
vale 
5
8
 desse número?
a. 
1
8
. 
b. 
1
5
. 
c. 1. 
d. X 
8
5
. 
e. 2.
33. O valor da expressão numérica 
− −






⋅ −





216 1
16
9
1
2
3
2
: é:
a. 3,2. 
b. 2,3. 
c. 5,4.
d. X 4,5. 
e. 5,9.
34. O aquário de João Paulo tem a forma de um 
cubo cuja aresta mede 48 23 cm. Quantos li-
tros de água são necessários para que o aquário 
de João Paulo fique totalmente cheio?
a. 110 litros.
b. 120 litros. 
c. X 128 litros. 
d. 130 litros. 
e. 135 litros.
35. Um raio de luz, propagando-se no vácuo, des-
loca-se com velocidade de 3,0 . 105 km/s aproxi-
madamente. Se a distância entre dois planetas é 
de 9,0 . 107 km, então, o tempo, em minutos, que 
o raio de luz levará para cobrir essa distância é:
a. 5,2.
b. X 5.
c. 4,5.
d. 4.
e. 3,8.
37. (UFSM) O valor da expressão 
16
8
2
8
3
2
1
3
4
2: é:
a. 2-1.
b. 20.
c. 2
1
2 .
d. X 24.
e. 26.
38. Considerando que cada aula dura 50 minu-
tos, o intervalo de tempo de duas aulas segui-
das, expresso em segundos, é de:
a. 3,0 × 10². 
b. 3,0 × 10³. 
c. 3,6 × 10³. 
d. X 6,0 × 10³. 
e. 7,2 × 10³.
Internet desde 1996. Atualmente, o sistema 
é gerenciado por cerca de 800 computadores 
pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 
pentabytes de memória para armazenamen-
to. Cada pentabyte equivale a 220 gigabytes. 
Admitindo-se que um DVD comum é capaz de 
armazenar 4 gigabytes, qual o número de DVDs 
necessários para armazenar 3 pentabytes?
a. Está entre 216 e 217.
b. Está entre 217 e 218. 
c. Está entre 218 e 219.
d. X Está entre 219 e 220. 
e. É maior que 220.
39. Responda:
?
Quem sou 
eu?
Não sou um número natural, não sou inteiro, 
não sou racional, mas sou real.
Irracional.
49CAPÍTULO 2 I Os números reais
Matematica_Contextualizada_9ºano_02.indd 49 20/06/2018 18:03:54
24. (Vunesp – Adaptada) Observe o padrão:
2 65 536 256
2 256 16
2 4 2
2 2
16 2
8 2
4 2
1
= =
= =
= =
=
.
 
Mantido o modelo apresentado, é correto con-
cluir que  20 5, é igual a:
a. 
1
2
. 
b. X 2 .
c. 1² .
d. ( )2 2 .
e. ( )
1
2
2− .
30. (IMA) Das operações abaixo, assinale a úni-
ca verdadeira.
a. 
2
5
4
10
2





 =
−
−
−
 
b. 1 11
1− −( ) = − 
c. X 2
1
2
12
2
: 




 =
−
 
d. 
9
49
3
7
2
= 





−
 
27. (Fatec) Das três sentenças abaixo: 
I. 2x + 3 = 2x . 23
II. (25)x = 52x
III. 2x + 3x = 5x
a. somente a I é verdadeira.
b. somente a II é verdadeira.
c. somente a III é verdadeira.
d. somente a II é falsa.
e. X somente a III é falsa. 
26. (FEI) O valor da expressão B = 5 . 108  . 4 . 
10-3 é:
a. 206.
b. X 2 . 106.
c. 2 . 109.
d. 20 . 10-4.
29. (UFSM) O valor da expressão 
3
2
2
3
1
1
2











−
: é:
a. X 
6
3
. 
b. 
6
3
2





 . 
c. 2 .
d. 
2 3
3
.
e. 2.
25. (Fuvest) Dos números abaixo, o que está 
mais próximo de ( , ) ( , )
( , )
5 2 10 3
9 9
4 3
2
⋅ é:
a. 0,625.           
b. 6,25.              
c. 62,5.           
d. 625.                  
e. X 6.250.
28. (Fundatec) O valor numérico da expressão 
1 2 10
3
3
3
8
6, × + é:
a. 126.
b. 129.
c. 1.206.
d. X 1.209.
e. 12.009.
31. A plataforma continental brasileira é rica em 
jazidas de petróleo. Dela são extraídas 60% da 
produção nacional. As reservas de petróleo do 
País somam 2,816 milhões de barris. Escreva em 
notação científica e em unidades de barris nos-
sas reservas petrolíferas:
a. 3,0 × 10². 
b. 3,0 × 10³. 
c. 3,6 × 105. 
d. X 2,8 × 106. 
e. 7,2 × 10³
48 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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50
47. O valor numérico da expressão x3 – 4 . x2 + 5 
. x – 7, para x = 2 é:
a. 3
b. – 1
c. – 9
d. X - 5
46. (PUC – SP) A dízima periódica 0,47777... é 
igual a:
a. 
4
9 
b. X 
43
90
c. 
1
2 
d. 
43
99
Espaço para cálculos
51CAPÍTULO 2 I Os números reais
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40. Sejam os números:
103 1 3+ 9 −
7
2
p
180
4
−
10
5
80
a. Quais são inteiros?
b. Quais são racionais?
c. Quais são irracionais?
9
180
4
10
5
, ,
−
9
7
2
180
4
10
5
, , ,
− −
10 1 3 803 , , ,+ π
44. Observe o conjunto A e responda: 
A = − − −




10
2
0 4 6 7 4
18
10
, , , , , , ,π
a. Quais elementos são números naturais?
10
2
0 4, ,
b. Quais elementos são números inteiros?
10
2
0 4 6 4, , , ,− −
c. Quais elementos são números racionais? 
10
2
0 4 6 4
18
10
, , , , ,− − −
d. Quais elementos são números reais?
10
2
0 4 6 4
18
10
,, , , ,− − −
e. Quais elementos são números irracionais? 
π, 7
41. O número racional 
1
6
 é igual a:
a. 0,6
b. 1,6
c. 0,16
d. X 0,1666...
42. (UMC – SP) O número 0,212121... é equiva-
lente a:
a. 
9
22
b. 
220
9
c. 
110
9
d. X 
21
99
45. Identifique como número racional ou como 
número irracional:
a. R 4,25 
b. R 81 
c. I 50 
 
d. R – 76 
e. R 16 
f. R 
1
3
g. I 7,171771777...
h. R 8,434343...
i. I 18 
j. R 1,3333333...
43. O valor da expressão numérica 60 - 36 + 
52, é:
a. – 20
b. X 20
c. 19
d. 18
50 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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51
Objetivos alcançados
•	Identificar	números	reais	e	represen-
tá-los	na	reta	numérica.	
•	Reconhecer	 e	 aplicar	 as	 proprieda-
des	das	potências	de	expoentes	nega-
tivos	ou	fracionários.
•	Identificar	notações	científicas.
•	Resolver	 operações	 e	 problemas	
com	números	irracionais.
Anotações
47. O valor numérico da expressão x3 – 4 . x2 + 5 
. x – 7, para x = 2 é:
a. 3
b. – 1
c. – 9
d. X - 5
46. (PUC – SP) A dízima periódica 0,47777... é 
igual a:
a. 
4
9 
b. X 
43
90
c. 
1
2 
d. 
43
99
Espaço para cálculos
51CAPÍTULO 2 I Os números reais
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40. Sejam os números:
103 1 3+ 9 −
7
2
p
180
4
−
10
5
80
a. Quais são inteiros?
b. Quais são racionais?
c. Quais são irracionais?
9
180
4
10
5
, ,
−
9
7
2
180
4
10
5
, , ,
− −
10 1 3 803 , , ,+ π
44. Observe o conjunto A e responda: 
A = − − −




10
2
0 4 6 7 4
18
10
, , , , , , ,π
a. Quais elementos são números naturais?
10
2
0 4, ,
b. Quais elementos são números inteiros?
10
2
0 4 6 4, , , ,− −
c. Quais elementos são números racionais? 
10
2
0 4 6 4
18
10
, , , , ,− − −
d. Quais elementos são números reais?
10
2
0 4 6 4
18
10
, , , , ,− − −
e. Quais elementos são números irracionais? 
π, 7
41. O número racional 
1
6
 é igual a:
a. 0,6
b. 1,6
c. 0,16
d. X 0,1666...
42. (UMC – SP) O número 0,212121... é equiva-
lente a:
a. 
9
22
b. 
220
9
c. 
110
9
d. X 
21
99
45. Identifique como número racional ou como 
número irracional:
a. R 4,25 
b. R 81 
c. I 50 
 
d. R – 76 
e. R 16 
f. R 
1
3
g. I 7,171771777...
h. R 8,434343...
i. I 18 
j. R 1,3333333...
43. O valor da expressão numérica 60 - 36 + 
52, é:
a. – 20
b. X 20
c. 19
d. 18
50 CAPÍTULO 2 I Os números reais
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•	 Acompanharemos	neste	capítulo	que	
para	projetarmos	o	lucro	mensal	de	uma	
empresa,	é	preciso	saber	a	porcentagem	
de	cada	despesa	mensal	e	o	valor	das	
vendas.
•	 Aprenderemos	como	calcular	o	desconto	
em	percentagem	sobre	o	valor	de	uma	
mercadoria.		
•	 Verificaremos	que	existem	situações	no	
comércio	nas	quais	mais	vale	a	pena	
recorrer	a	um	empréstimo	bancário	do	que	
financiar	com	a	própria	loja,	por	conta	da	
taxa	de	juros.
Foi descrito que o surgimento dos cálcu-
los percentuais aconteceu na cidade de 
Roma, por volta do século I a.C. Coliseu 
da Cidade de Roma, Itália.
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Porcentagens e Juros
C
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•	 Acompanharemos	neste	capítulo	que	
para	projetarmos	o	lucro	mensal	de	uma	
empresa,	é	preciso	saber	a	porcentagem	
de	cada	despesa	mensal	e	o	valor	das	
vendas.
•	 Aprenderemos	como	calcular	o	desconto	
em	percentagem	sobre	o	valor	de	uma	
mercadoria.		
•	 Verificaremos	que	existem	situações	no	
comércio	nas	quais	mais	vale	a	pena	
recorrer	a	um	empréstimo	bancário	do	que	
financiar	com	a	própria	loja,	por	conta	da	
taxa	de	juros.
Foi descrito que o surgimento dos cálcu-
los percentuais aconteceu na cidade de 
Roma, por volta do século I a.C. Coliseu 
da Cidade de Roma, Itália.
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Porcentagens e Juros
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54
Conteúdos 
conceituais
•	Apresentação	 de	 porcentagem	 co-
mo	parte	da	matemática	financeira;
•	Identificar	 e	 aplicar	 percentuais	 su-
cessivos;
•	Problemas	envolvendo	porcentagem;
•	Apresentação	do	conceito	de		juros	
simples	e	compostos;
•	Elementos	que	influenciam	o	cálculo	
das	taxas	de	juros.
BNCC
•	Porcentagens:	problemas	que	envol-
vem	cálculo	de	percentuais	sucessivos.
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF09MA05)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	 que	 envolvam	 porcentagens,	
com	a	 ideia	 de	 aplicação	de	percen-
tuais	sucessivos	e	a	determinação	das	
taxas	 percentuais,	 preferencialmente	
com	o	uso	de	tecnologias	digitais,	no	
contexto	da	educação	financeira.
Anotações
É	importante	destacar	que	fazemos	uso	da	forma	percentual	apenas	para	indicar	a	porcentagem.	
Já	as	formas	decimal	e	fracionária	utilizamos	para	realizar	operações	envolvendo	porcentagens.
Mas,	como	podemos	determinar	uma	porcentagem?	
Calculamos	porcentagem	de	alguma	quantidade	ou	de	algum	valor	de	vários	modos.	Os	apre-
sentaremos	agora	para	que	você	compreenda	as	várias	formas	de	estipular	uma	porcentagem.
Exemplo 1
Determine	quanto	representa,	em	reais,	22%	de	R$	450,00.	Nesse	primeiro	caso,	vamos	calcular	
a	porcentagem	apenas	aplicando	uma	multiplicação,	note:
22
22
100
0 22
0 22 450 00 99 00
% ,
, , ,
= =
× =
Chegamos	à	conclusão	de	que	22%	de	R$	450,00	representa	R$	99,00.
Exemplo 2
Calculando	os	mesmos	22%	de	R$	450,00,	só	que	dessa	vez	utilizando	o	artifício	de	que	uma	
porcentagem	é	sempre	parte	de	algo	que	foi	divido	por	100	partes	iguais,	temos	a	seguinte	relação.
450
100
4 50 22 99 00= × =, ,
Aqui,	chegamos	ao	resultado	por	dividir	o	valor	total	de	R$	450,00	e	depois	multiplicarmos	pela	
quantidade	percentual	desejada,	no	caso	os	22%.
Exemplo 3
Também	é	possível	resolver	problemas	de	porcentagem	pela	igualdade	entre	duas	razões,	ou	
ainda	entre	palavras	por	meio	de	uma	proporção.	Continuamos	com	a	finalidade	que	você	compare	
e	escolha	a	forma	que	mais	lhe	agrada,	calculando	os	22%	de	R$	450,00.
x
x
450
22
100
100 450 22
9 900
100
99= → ⋅ = ⋅ → = → =x x
.
Aqui	também	nosso	resultado	de	R$	99,00	representa	os	22%	de	R$	450,00.	Nesse	caso,	temos	
duas	frações,	a	primeira	representa	x	como	quantidade	de	reais	desconhecida	e	o	total	R$	450,00,	e	
na	segunda	fração,	temos	as	porcentagens,	no	caso	os	22%	e	o	total	de	100%.	
Precisamos	verificar	a	relação	estabelecida	corretamente,	onde	o	valor	x	representará	os	22%	e,	
por	sua	vez,	os	R$	450,00	representam	a	totalidade	de	100%.	
Agora	é	com	você,	escolha	a	forma	que	mais	lhe	agradou	e	aplique	nas	resoluções	que	virão	mais	
à	frente.
Questões resolvidas
Vamos	aproveitar	para	rever	um	pouco	de	porcentagens.	
1. 7	representa	quantos	por	cento	de	35?	
Solução:	
7
35
0 2
20
100
20= → =, % 	
55CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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A matemática financeira
A	matemática	financeira	é	uma	ferramenta	utilizada	na	análise	de	algumas	alternativas	de	
investi	mentos	ou	financiamentos	de	bens	de	consumo.	
Consiste	em	empregar	procedimentos	matemáti	cos	para	simplificar	operações	financei-
ras,	analisar	situações	e	fazer	projeções	futuras,	tornando-se	fundamental	para	a	administra-
ção	e	o	governo	de	países	como	o	nosso.	
Observe	as	seguintes	situações:	
Na	loja	do	João,	um	quadriciclo	de	brinquedo	custa	R$	800,00,	mas	se	você	pagar	à	vista	ganha	
20%	de	desconto.
Desconto 
Podemos	calcular	o	valor	novo,	como	desconto,	de	duas	maneiras:	
a.	Calculamos	20%	de	800,	que	é	igual	a	R$	160,00.	
20
100
800 160⋅ = reais
E,	depois,	subtraímos	de	800,	descobrindo	640	reais.	
800	–	160	=	640	reais	
b.	Consideramos	800	reais	como	100%	do	valor;	tiramos	20%	desse	100%,	encontrando	80%,	e,	
então,	calculamos	80%	de	800	reais.
	
80
100
800 640⋅ = reais
Acréscimo 
Se	João	tivesse	que	reajustar	(aumentar)	o	valor	do	quadriciclo	em	20%?	
a.	Calculamos	20%	de	800,	que	é	igual	a	R$	160,00,	e	depois	somamos	com	800.	
800	+	160	=	960	reais	
b.	Consideramos	R$	800,00	como	100%	do	valor,	acrescentamos	20%	a	esses	100%,	encontrando	
120%,	e,	então,	calculamos	120%	de	R$	800,00:	
120
100
800 960× = reais
Porcentagens
A	expressão	porcentagem	ou	percentagem	tem	origem	no	latim	per centium,	e	significa	“por	
cem”	ou	ainda	“a	cada	centena”.		
Podemos	definir	a	porcentagem	como	sendo	uma	fração	de	denominador	sempre	igual	a	100	e	
usamos	o	símbolo	%	por	cento	para	representar	porcentagens.
Temos	três	modos	para	representar	uma	porcentagem,	são	eles:
	Representação	percentual→ 	25%	 	 	Representação	fracionária→
25
100
	Representação	decimal,	originária	da	divisão	da	forma	fracionária	→
25
100
=	0,25	
54 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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55
Diálogo com o professor
•	Mostre	 aos	 alunos	 a	 representação	
de	 porcentagem	 na	 forma	 de	 fração	
centesimal,	pois,	nos	cálculos	de	por-
centagem,	 será	 necessário	 utilizá-la.	
A	 forma	decimal	 também	poderá	 ser	
usada	nos	cálculos	de	porcentagem.
•	Trabalhe	 com	 anúncios	 de	 jornais	 e	
revistas	sobre	venda	de	carros,	objetos,	
roupas,	imóveis,	estimulando	os	alunos	
a	verificarem	se	as	ofertas	são	vantajo-
sas	ou	não	ao	serem	comparadas.
•	Discuta	 os	 desafios	 propostos	 em	
sala	de	aula.
•	Valorize	 o	 interesse	 e	 a	 habilidade	
dos	 alunos	 de	 resolver	 os	 exercícios	
sugeridos.
•	Explore	 situações-problema	 envol-
vendo	juros	simples	e	compostos	para	
que	os	alunos	descubram	qual	o	mais	
vantajoso.
Anotações
É	importante	destacar	que	fazemos	uso	da	forma	percentual	apenas	para	indicar	a	porcentagem.	
Já	as	formas	decimal	e	fracionária	utilizamos	para	realizar	operações	envolvendo	porcentagens.
Mas,	como	podemos	determinar	uma	porcentagem?	
Calculamos	porcentagem	de	alguma	quantidade	ou	de	algum	valor	de	vários	modos.	Os	apre-
sentaremos	agora	para	que	você	compreenda	as	várias	formas	de	estipular	uma	porcentagem.
Exemplo 1
Determine	quanto	representa,	em	reais,	22%	de	R$	450,00.	Nesse	primeiro	caso,	vamos	calcular	
a	porcentagem	apenas	aplicando	uma	multiplicação,	note:
22
22
100
0 22
0 22 450 00 99 00
% ,
, , ,
= =
× =
Chegamos	à	conclusão	de	que	22%	de	R$	450,00	representa	R$	99,00.
Exemplo 2
Calculando	os	mesmos	22%	de	R$	450,00,	só	que	dessa	vez	utilizando	o	artifício	de	que	uma	
porcentagem	é	sempre	parte	de	algo	que	foi	divido	por	100	partes	iguais,	temos	a	seguinte	relação.
450
100
4 50 22 99 00= × =, ,
Aqui,	chegamos	ao	resultado	por	dividir	o	valor	total	de	R$	450,00	e	depois	multiplicarmos	pela	
quantidade	percentual	desejada,	no	caso	os	22%.
Exemplo 3
Também	é	possível	resolver	problemas	de	porcentagem	pela	igualdade	entre	duas	razões,	ou	
ainda	entre	palavras	por	meio	de	uma	proporção.	Continuamos	com	a	finalidade	que	você	compare	
e	escolha	a	forma	que	mais	lhe	agrada,	calculando	os	22%	de	R$	450,00.
x
x
450
22
100
100 450 22
9 900
100
99= → ⋅ = ⋅ → = → =x x
.
Aqui	também	nosso	resultado	de	R$	99,00	representa	os	22%	de	R$	450,00.	Nesse	caso,	temos	
duas	frações,	a	primeira	representa	x	como	quantidade	de	reais	desconhecida	e	o	total	R$	450,00,	e	
na	segunda	fração,	temos	as	porcentagens,	no	caso	os	22%	e	o	total	de	100%.	
Precisamos	verificar	a	relação	estabelecida	corretamente,	onde	o	valor	x	representará	os	22%	e,	
por	sua	vez,	os	R$	450,00	representam	a	totalidade	de	100%.	
Agora	é	com	você,	escolha	a	forma	que	mais	lhe	agradou	e	aplique	nas	resoluções	que	virão	mais	
à	frente.
Questões resolvidas
Vamos	aproveitar	para	rever	um	pouco	de	porcentagens.	
1. 7	representa	quantos	por	cento	de	35?	
Solução:	
7
35
0 2
20
100
20= → =, % 	
55CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 55 20/06/2018 18:04:29
A matemática financeira
A	matemática	financeira	é	uma	ferramenta	utilizada	na	análise	de	algumas	alternativas	de	
investi	mentos	ou	financiamentos	de	bens	de	consumo.	
Consiste	em	empregar	procedimentos	matemáti	cos	para	simplificar	operações	financei-
ras,	analisar	situações	e	fazer	projeções	futuras,	tornando-se	fundamental	para	a	administra-
ção	e	o	governo	de	países	como	o	nosso.	
Observe	as	seguintes	situações:	
Na	loja	do	João,	um	quadriciclo	de	brinquedo	custa	R$	800,00,	mas	se	você	pagar	à	vista	ganha	
20%	de	desconto.
Desconto 
Podemos	calcular	o	valor	novo,	com	o	desconto,	de	duas	maneiras:	
a.	Calculamos	20%	de	800,	que	é	igual	a	R$	160,00.	
20
100
800 160⋅ = reais
E,	depois,	subtraímos	de	800,	descobrindo	640	reais.	
800	–	160	=	640	reais	
b.	Consideramos	800	reais	como	100%	do	valor;	tiramos	20%	desse	100%,	encontrando	80%,	e,	
então,	calculamos	80%	de	800	reais.
	
80
100
800 640⋅ = reais
Acréscimo 
Se	João	tivesse	que	reajustar	(aumentar)	o	valor	do	quadriciclo	em	20%?	
a.	Calculamos	20%	de	800,	que	é	igual	a	R$	160,00,	e	depois	somamos	com	800.	
800	+	160	=	960	reais	
b.	Consideramos	R$	800,00	como	100%	do	valor,	acrescentamos	20%	a	esses	100%,	encontrando	
120%,	e,	então,	calculamos	120%	de	R$	800,00:	
120
100
800 960× = reais
Porcentagens
A	expressão	porcentagem	ou	percentagem	tem	origem	no	latim	per centium,	e	significa	“por	
cem”	ou	ainda	“a	cada	centena”.		
Podemos	definir	a	porcentagem	como	sendo	uma	fração	de	denominador	sempre	igual	a	100	e	
usamos	o	símbolo	%	por	cento	para	representar	porcentagens.
Temos	três	modos	para	representar	uma	porcentagem,	são	eles:
	Representação	percentual→ 	25%	 	 	Representação	fracionária→
25
100
	Representação	decimal,	originária	da	divisão	da	forma	fracionária	→
25
100
=	0,25	
54 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 54 20/06/2018 18:04:29
ME_Matemática_Contextualizada_9A_03.indd 55 22/07/2018 14:58:48
56
Diálogo com o professor
•	Realize	cálculos	de	porcentagem	de	
uma	quantidade.
•	Resolva	situações-problema	que	en-
volvam	porcentagens.
•	Represente	 porcentagens	 na	 forma	
decimal	e	utilize	a	 regra	de	 três	para	
calculá-las.
•	Mostre	 aos	 alunos	 que	 trabalhar	
com	 regra	 de	 três	 para	 resolver	 por-
centagem	 representa	 um	 caso	 espe-
cial	de	proporção.
•	Enfatize	que,	por	a	porcentagem	ser	
uma	fração,	também	podemos	operá-
-la	como	adição,	subtração,	multiplica-
ção	e	divisão.
20 35 55
100 55 45
45 3 600
45
100
3 600 1 620 35 3 60
% % %
% % %
% .
. . % .
+ =
− =
→
⋅ = → → 00
35
100
3 600 1 260⋅ =. .
20 35 55
100 55 45
45 3 600
45
100
3 600 1 620 35 3 60
% % %
% % %
% .
. . % .
+ =
− =
→
⋅ = → → 00
35
100
3 600 1 260⋅ =. .
Sugestão de abordagem
1.	A	quantidade	de	alunos	da	escola	
de	Amanda	é	3.600.	Desse	total,	20%	
estão	 na	Educação	 Infantil	 e	 35%	es-
tão	no	Ensino	Médio.	Calcule	quantos	
alunos	estão	no	Ensino	Fundamental	e	
quantos	estudam	no	Ensino	Médio.
Solução: Resposta:	45%	estudam	no	Ensino	
Fundamental,	o	que	 representa	1.620	
alunos.	 35%	 estudam	 no	 Ensino	Mé-
dio,	o	que	representa	1.260	alunos.
Anotações
2º caso
Acréscimos seguidos de outros acréscimos
Durante	o	período	de	entressafra	o	valor	da	saca	de	feijão	com	50	quilogramas	foi	de	R$	40,00.	
Com	a	queda	da	produção	nos	meses	seguintes,	esse	valor	sofreu	reajustes	percentuais	consecu-
tivos	de	2,5%,	3,2%	e	ainda	um	último	de	3%.	Após	todos	esses	reajustes,	o	valor	da	saca	de	feijão	
com	50	quilogramas	passou	a	ser	de	quantos	reais?
Solucionando	esse	problema	de	acréscimos	sucessivos,	temos	a	seguinte	expressão:
P
P
3
3
40 00 1
2 5
100
1
3 2
100
1
3
10040 0
= × +




 × +





 × +






=
,
, ,
, 00 1 0 025 1 0 032 1 0 03
40 00 1 025 1 032 13
× +( ) × +( ) × +( )
= × ( ) × ( ) ×
, , ,
, , , ,P 003
43 583
( )
≅P ,
3º caso
Descontos seguidos de acréscimos
Seguindo	a	regra	dos	casos	anteriores,	precisamos	determinar	o	produto	onde	os	fatores	são	o	
valor	inicial	negociado	e	nos	casos	de	descontos,	subtraímos	a	porcentagem	do	valor	inteiro	1.	
Já	nos	casos	de	acréscimo,	adicionamos	a	porcentagem	ao	valor	inteiro	1.	Acompanhe	o	exem-
plo	a	seguir.
Lucas	é	um	jovem	comerciante	e	possui	uma	pequena	loja	de	roupas,	localizada	no	bairro	onde	
reside.	
Durante	os	meses	de	férias,	ele	notou	uma	queda	significativa	na	quantidade	de	peças	vendidas	
em	sua	loja.	Para	aquecer	as	vendas,	Lucas	decidiu	reajustar	todas	as	peças,	dando	um	desconto	
de	15%	e	após	aquecer	as	vendas,	na	intenção	de	não	perder	tantos	reais,	reajustou	todas	as	peças	
em	10%.	
Uma	blusa	feminina,	que	inicialmente	custava	R$	42,00,	após	esses	dois	reajustes	passou	a	custar	
quantos	reais?
Solucionando	o	problema,	temos	a	seguinte	expressão:
P
P
2
2
42 00 1
15
100
1
10
100
42 00 1 0 15 1 0
= × −




 × +






= × −( ) × +
,
, , ,110
42 00 0 85 1 10
39 27
2
2
( )
= × ×
=
P
P
, , ,
,
Após	 os	 três	 acréscimos	
sucessivos,	 o	 valor	 do	
aparelho	cairá	para	apro-
ximadamente	R$	43,58.
Após	o	desconto	de	15%,	
e,	em	seguida,	o	acrésci-
mo	de	10%,	a	blusa	pas-
sou	a	custar	R$	39,27.
57CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 57 20/06/2018 18:04:30
2. 35	representa	quantos	por	cento	de	7?	
Solução:	
35
7
5
500
100
500= → = % 	
3. 80	centavos	representa	quantos	por	cento	de	6	centavos?	
Solução:	
80
6
13 33
1 333
100
1 333= → =, ...
.
. % 	
4. 54	representa	quantos	por	cento	de	6?	
Solução:	
54
6
9
900
100
900= → = % 	
5. 9	representa	quantos	por	cento	de	300?	
Solução:	
9
300
0 03
3
100
3= → =, % 	
6. 12	representa	quantos	por	cento	de	80?	
Solução:	
12
80
0 15
15
100
15= → =, % 	
Percentuais sucessivos
Os	percentuais	sucessivos	podem	ser	dos	tipos:	
	Descontos	seguidos	de	outros	descontos;
	Acréscimos	seguidos	de	outros	acréscimos;
	Descontos	seguidos	de	acréscimos	ou	os	acréscimos	seguidos	de	descontos.
De	modo	pausado,	iremos	apresentar	cada	um	desses	casos	de	percentuais	sucessivos,	para	que	
você	mais	adiante	consiga	desenvolver	problemas	envolvendo	tais	situações	da	matemática	financeira.		
1º caso
Descontos seguidos de outros descontos
Os	acontecimentos	no	mundo	atual	resultam	em	diversos	fatores	que	contribuem	para	o	reajuste	
no	valor	de	diversos	produtos.	
O	exemplo	a	seguir	nos	informa	que	as	peças	de	alguns	equipamentos	eletrônicos	são	importa-
das	da	Ásia	e	assim,	fazem	com	que	o	preço	final	desses	equipamentos	sofra	constante	alteração.	
Certo	aparelho	custava	inicialmente	R$	155,00	e	sofreu	três	descontos	sucessivos	por	culpa	da	
desvalorização	do	dólar	no	mercado	internacional.	Os	descontos	foram,	nessa	ordem	de	5%,	3%	e	
finalmente	2%.	Qual	o	valor	final	do	aparelho	após	esses	descontos	sucessivos?
Inicialmente	devemos	 relembrar	que	porcentagem	é	definida	por	 um	produto,	 assim,	para	o	
exemplo	temos:
P
P
3
3
155 00 1
5
100
1
3
100
1
2
100
155 00
= × −




 × −





 × −






= ×
,
, 11 0 05 1 0 03 1 0 02
155 00 0 95 0 97 0 983
−( ) × −( ) × −( )
= × ( ) × ( ) × ( )
, , ,
, , , ,P
P33 139 97≅ ,
Após	 os	 três	 descontos	
sucessivos,	 o	 valor	 do	
aparelho	cairá	para	apro-
ximadamente	R$	139,97.
56 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 56 20/06/2018 18:04:30
ME_Matemática_Contextualizada_9A_03.indd 56 22/07/2018 14:58:51
57
Diálogo com o professor
•	Professor,	lembrar	aos	alunos	que	as	
transações	de	compra,	venda,	permu-
ta,	 etc.	 de	 mercadorias	 feitas	 com	 o	
objetivo	de	obter	lucro	são	chamadas	
de	operações comerciais.
•	Lembre-se	 de	 que	 o	 conceito	 de	
porcentagem	 está	 muito	 relacionado	
ao	comércio	e	às	atividades	bancárias.
Sugestão de abordagem
250 00
20
100
250
250 50 200 00
,
$ ,
− ⋅ =
− = R
1.	Um	relógio	custa	R$	250,00.	Se	 for	
pago	à	 vista,	 seu	preço	 terá	um	des-
conto	 de	 20%.	 Calcule	 o	 preço	 com	
desconto.
Solução:
Logo,	o	preço	a	 ser	pago	 será	de	
R$	200,00.
Anotações
2º caso
Acréscimos seguidos de outros acréscimos
Durante	o	período	de	entressafra	o	valor	da	saca	de	feijão	com	50	quilogramas	foi	de	R$	40,00.	
Com	a	queda	da	produção	nos	meses	seguintes,	esse	valor	sofreu	reajustes	percentuais	consecu-
tivos	de	2,5%,	3,2%	e	ainda	um	último	de	3%.	Após	todos	esses	reajustes,	o	valor	da	saca	de	feijão	
com	50	quilogramas	passou	a	ser	de	quantos	reais?
Solucionando	esse	problema	de	acréscimos	sucessivos,	temos	a	seguinte	expressão:
P
P
3
3
40 00 1
2 5
100
1
3 2
100
1
3
100
40 0
= × +




 × +





 × +






=
,
, ,
, 00 1 0 025 1 0 032 1 0 03
40 00 1 025 1 032 13
× +( ) × +( ) × +( )
= × ( ) × ( ) ×
, , ,
, , , ,P 003
43 583
( )
≅P ,
3º caso
Descontos seguidos de acréscimos
Seguindo	a	regra	dos	casos	anteriores,	precisamos	determinar	o	produto	onde	os	fatores	são	o	
valor	inicial	negociado	e	nos	casos	de	descontos,	subtraímos	a	porcentagem	do	valor	inteiro	1.	
Já	nos	casos	de	acréscimo,	adicionamos	a	porcentagem	ao	valor	inteiro	1.	Acompanhe	o	exem-
plo	a	seguir.
Lucas	é	um	jovem	comerciante	e	possui	uma	pequena	loja	de	roupas,	localizada	no	bairro	onde	
reside.	
Durante	os	meses	de	férias,	ele	notou	uma	queda	significativa	na	quantidade	de	peças	vendidas	
em	sua	loja.	Para	aquecer	as	vendas,	Lucas	decidiu	reajustar	todas	as	peças,	dando	um	desconto	
de	15%	e	após	aquecer	as	vendas,	na	intenção	de	não	perder	tantos	reais,	reajustou	todas	as	peças	
em	10%.	
Uma	blusa	feminina,	que	inicialmente	custava	R$	42,00,	após	esses	dois	reajustes	passou	a	custar	
quantos	reais?
Solucionando	o	problema,	temos	a	seguinte	expressão:
P
P
2
2
42 00 1
15
100
1
10
100
42 00 1 0 15 1 0
= × −




 × +






= × −( ) × +
,
, , ,110
42 00 0 85 1 10
39 27
2
2
( )
= × ×
=
P
P
, , ,
,
Após	 os	 três	 acréscimos	
sucessivos,	 o	 valor	 do	
aparelho	cairá	para	apro-
ximadamente	R$	43,58.
Após	o	desconto	de	15%,	
e,	em	seguida,	o	acrésci-
mo	de	10%,	a	blusa	pas-
sou	a	custar	R$	39,27.
57CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 57 20/06/2018 18:04:30
2. 35	representa	quantos	por	cento	de	7?	
Solução:	
35
7
5
500
100
500= → = % 	
3. 80	centavos	representa	quantos	por	cento	de	6	centavos?	
Solução:	
80
6
13 33
1 333
100
1 333= → =, ...
.
. % 	
4. 54	representa	quantos	por	cento	de	6?	
Solução:	
54
6
9
900
100
900= → = % 	
5. 9	representa	quantos	por	cento	de	300?	
Solução:	
9
300
0 03
3
100
3= → =, % 	
6. 12	representa	quantos	por	cento	de	80?	
Solução:	
12
80
0 15
15
100
15= → =, % 	
Percentuais sucessivos
Os	percentuais	sucessivos	podem	ser	dos	tipos:	
	Descontos	seguidos	de	outros	descontos;
	Acréscimos	seguidos	de	outros	acréscimos;
	Descontos	seguidos	de	acréscimos	ou	os	acréscimos	seguidos	de	descontos.
De	modo	pausado,	iremos	apresentar	cada	um	desses	casos	de	percentuais	sucessivos,	para	que	
você	mais	adiante	consiga	desenvolver	problemas	envolvendo	tais	situações	da	matemática	financeira.		
1º caso
Descontos seguidos de outros descontos
Os	acontecimentos	no	mundo	atual	resultam	em	diversos	fatores	que	contribuem	para	o	reajuste	
no	valor	de	diversos	produtos.	
O	exemplo	a	seguir	nos	informa	que	as	peças	de	alguns	equipamentos	eletrônicos	são	importa-
das	da	Ásia	e	assim,	fazem	com	que	o	preço	final	desses	equipamentos	sofra	constante	alteração.	
Certo	aparelho	custava	inicialmente	R$	155,00	e	sofreu	três	descontos	sucessivos	por	culpa	da	
desvalorização	do	dólar	no	mercado	internacional.	Os	descontos	foram,	nessa	ordem	de	5%,	3%	e	
finalmente	2%.	Qual	o	valor	final	do	aparelho	após	esses	descontos	sucessivos?
Inicialmente	devemos	 relembrar	que	porcentagemé	definida	por	 um	produto,	 assim,	para	o	
exemplo	temos:
P
P
3
3
155 00 1
5
100
1
3
100
1
2
100
155 00
= × −




 × −





 × −






= ×
,
, 11 0 05 1 0 03 1 0 02
155 00 0 95 0 97 0 983
−( ) × −( ) × −( )
= × ( ) × ( ) × ( )
, , ,
, , , ,P
P33 139 97≅ ,
Após	 os	 três	 descontos	
sucessivos,	 o	 valor	 do	
aparelho	cairá	para	apro-
ximadamente	R$	139,97.
56 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 56 20/06/2018 18:04:30
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58
Diálogo com o professor
•	Relacione	 a	 taxa	 percentual	 com	 o	
fator	decimal	de	multiplicação.
•	Mostre	aos	alunos	que,	quando	uma	
mercadoria	é	vendida	com	desconto,	
é	subtraída	do	preço	 total	uma	parte	
referente	a	ele.
•	Quando	aplicamos	um	capital	ou	pa-
gamos	uma	conta	com	atraso,	seu	pre-
ço	é	acrescido	de	juros,	que	represen-
tam	um	percentual	do	valor	original.
•	Podemos	multiplicar	o	preço	de	um	
objeto	pelo	fator	de	multiplicação	pa-
ra	 conhecer	 o	 valor	 a	 ser	 pago	 com	
desconto.
•	O	 fator	 de	 multiplicação	 é	 obtido	
subtraindo-se	a	taxa	percentual	de	100	
e,	depois,	transformando-o	em	núme-
ro	decimal.	Exemplo:	Transformar	18%	
em	fator	de	multiplicação:
100 18 82
82
100
0 82
% % %
,
− =
=
	
Anotações
Podemos	afirmar,	com	certeza,	que	40%	do	total	de	50	jogadores	do	Luverdense	e	do	Mixto,	têm	
a	idade	menor	que	25	anos.	A	resposta	correta	será	a	alternativa	“c”.
2. Um	terreno,	que	inicialmente	custava	a	importância	de	R$	35.000,00,	sofreu	uma	desvalorização	
de	14,5%.	Se	alguém	desejar	comprar	esse	terreno	hoje,	quanto	deverá	pagar	por	ele?
Para	resolução	desse	tipo	de	problema	basta	calcular	o	produto	com	uma	subtração	conforme	
observado	antes,	assim	temos:
35 000 1
14 5
100
35 000 1 0 145
35 000 0 855
29
.
,
. ,
. ,
:
× −




 =
× −( ) =
× =
R$ .. ,925 00
Quem	desejar	comprar	esse	terreno	hoje,	deverá	pagar	a	importância	de	R$	29.925,00.
Atividades
1. Uma	 loja	ofereceu	um	desconto	de	30%	na	
compra	à	vista	de	um	par	de	sapatos	que	custa	
R$	99,00.	Qual	o	valor	pago	pelo	par	de	sapatos	
com	o	desconto?
R$	69,30.
2. Na	cantina	de	uma	escola,	um	salgado	cus	ta	
R$	2,00.	Comprando	dois	salgados,	a	pessoa	ga-
nha	um	desconto	de	20%	no	segundo	salga	do.	
Por	quanto	fica	o	valor	pago	pelos	dois	salgados?
R$	3,60.
3. Após	um	aumento	de	23%,	um	aviãozinho	de	
brinquedo	passou	a	custar	R$	30,75.	Qual	era	o	
valor	do	brinquedo	antes	do	aumento?
R$	25,00.
4. Se	 uma	 loja	 aumentar	 uma	mercadoria	 em	
30%	e,	após	5	meses,	colocar	a	mesma	merca-
doria	à	venda	com	desconto	de	30%,	ela	volta	a	
ter	o	mesmo	preço	de	5	meses	atrás?	Justifique.
Não,	ela	não	volta	a	ter	o	preço	inicial,	pois	os	
valores	 considerados	 bases	 para	 os	 reajustes	
são	diferentes.	
5. Veja	o	preço	dos	seguintes	carros.
R$	2.800,00.
R$	56.000,00.
R
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59CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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Questão resolvida
Pablo	está	tentando	vender	seu	aparelho	celular,	uma	vez	que	ganhou	um	outro	mais	moderno	
de	seus	pais.	Só	que	ele	está	tendo	dificuldades	em	encontrar	um	comprador	que	pague	o	valor	
desejado.	O	mesmo	já	deu	dois	descontos	sucessivos	de	5%	e	4%	sobre	o	valor	inicialmente	cobra-
do	pelo	celular.	Se	o	valor	inicial	era	de	R$	1.200,00,	quem	desejar	comprar	esse	celular	hoje,	deverá	
pagar		quantos	reais	a	menos	em	relação	ao	valor	inicial?
Solução:
P
P
P
2
2
2
1 200 1 0 05 1 0 04
1 200 0 95 0 96
1 094 40
= × −( ) × −( )
= × ×
=
. , ,
. , ,
. ,
V
V
f
f
= −
=
1 200 00 1 094 40
105 60
. , . ,
,
Como	o	valor	inicial	era	de	R$	1.200,00,	quem	comprar	hoje	o	celular	de	Pablo	pagará	R$	1.094,40.	
Tendo	assim	um	desconto	de	R$	105,60	em	relação	ao	valor	inicial.	
Problemas envolvendo porcentagens
Vamos	fazer	agora	aplicações	dos	problemas	envolvendo	porcentagens,	para	fazer	uso	das	dife-
rentes	resoluções	aprendidas	anteriormente	neste	capítulo.
1. (FGV)	Em	um	grupo	de	50	jogadores	do	futebol	mato‐grossense,	só	há	jogadores	do	Luverdense	
E.	C.	e	do	Mixto	E.	C.,	sendo	que	há	6	jogadores	a	mais	do	Luverdense	em	relação	aos	do	Mixto.	
10	jogadores	do	Luverdense	têm	menos	de	25	anos	e,	dos	jogadores	do	Mixto,	12	têm	25	anos	ou	
mais.	Do	grupo	total	de	50	jogadores,	a	porcentagem	daqueles	com	menos	de	25	anos	é:
a. 	 	20.
b. 	 	30.
c. 	 X 	40.
d. 	 	50.
e. 	 	60.
Solucionado	o	problema	acima,	temos	a	seguinte	relação:
L	+	M	=	50
L	+	(L	–	6)	=	50
2L	=	56
L =	28	e	M	=	22
Veja:
10	jogadores	do	Luverdense	têm	menos	de	25	anos.	Dos	22	jogadores	do	Mixto,	12	têm	25	anos	
ou	mais.	Assim,	10	jogadores	têm	25	ou	menos.	Finalmente,	pela	regra	de	três,	temos:
20
50 100
100 20
50
2 000
50
40= → =
⋅
→ = → =
x
x x x
.
%
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59
Diálogo com o professor
1.	 Uma	 loja	 lança	 uma	 promoção	 de	
15%	 de	 desconto	 no	 preço	 de	 seus	
produtos.	Se	uma	mercadoria	custa	R$	
180,00,	quanto	passará	a	custar?
Solução:
O	 desconto	 será	 de	 15%	 de	 180,00.	
Logo:
15
100
180
15
100
180 27
de →
⋅ =
	
Serão	retirados,	portanto,	R$	27,00	de	
R$	180,00.
180	–	27	=	153
Resposta:	 O	 preço	 com	 o	 desconto	
será	de	R$	153,00.
2.	Em	uma	compra	de	R$	1.600,00,	ob-
teve-se	um	desconto	de	20%.	Calcule	
o	valor	pago	pela	compra.
Solução:
Calculando	o	desconto,	temos:
20
100
1 600 320⋅ =. 	
Logo:	1.600	–	320	=	1.280
Resposta:	O	valor	pago	pela	compra	
foi	de	R$	1.280,00.
Anotações
Podemos	afirmar,	com	certeza,	que	40%	do	total	de	50	jogadores	do	Luverdense	e	do	Mixto,	têm	
a	idade	menor	que	25	anos.	A	resposta	correta	será	a	alternativa	“c”.
2. Um	terreno,	que	inicialmente	custava	a	importância	de	R$	35.000,00,	sofreu	uma	desvalorização	
de	14,5%.	Se	alguém	desejar	comprar	esse	terreno	hoje,	quanto	deverá	pagar	por	ele?
Para	resolução	desse	tipo	de	problema	basta	calcular	o	produto	com	uma	subtração	conforme	
observado	antes,	assim	temos:
35 000 1
14 5
100
35 000 1 0 145
35 000 0 855
29
.
,
. ,
. ,
:
× −




 =
× −( ) =
× =
R$ .. ,925 00
Quem	desejar	comprar	esse	terreno	hoje,	deverá	pagar	a	importância	de	R$	29.925,00.
Atividades
1. Uma	 loja	ofereceu	um	desconto	de	30%	na	
compra	à	vista	de	um	par	de	sapatos	que	custa	
R$	99,00.	Qual	o	valor	pago	pelo	par	de	sapatos	
com	o	desconto?
R$	69,30.
2. Na	cantina	de	uma	escola,	um	salgado	cus	ta	
R$	2,00.	Comprando	dois	salgados,	a	pessoa	ga-
nha	um	desconto	de	20%	no	segundo	salga	do.	
Por	quanto	fica	o	valor	pago	pelos	dois	salgados?
R$	3,60.
3. Após	um	aumento	de	23%,	um	aviãozinho	de	
brinquedo	passou	a	custar	R$	30,75.	Qual	era	o	
valor	do	brinquedo	antes	do	aumento?
R$	25,00.
4. Se	 uma	 loja	 aumentar	 uma	mercadoria	 em	
30%	e,	após	5	meses,	colocar	a	mesma	merca-
doria	à	venda	com	desconto	de	30%,	ela	volta	a	
ter	o	mesmo	preço	de	5	meses	atrás?	Justifique.
Não,	ela	não	volta	a	ter	o	preço	inicial,	pois	os	
valores	 considerados	 bases	 para	 os	 reajustes	
são	diferentes.	
5. Veja	o	preço	dos	seguintes	carros.
R$	2.800,00.
R$	56.000,00.
R
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Questão resolvida
Pablo	está	tentando	vender	seu	aparelho	celular,	uma	vez	que	ganhou	um	outro	mais	moderno	
de	seus	pais.	Só	que	ele	está	tendo	dificuldades	em	encontrar	um	comprador	que	pague	o	valor	
desejado.	O	mesmo	já	deu	dois	descontos	sucessivos	de	5%	e	4%	sobre	o	valor	inicialmente	cobra-
do	pelo	celular.	Se	o	valor	inicial	era	de	R$	1.200,00,	quem	desejar	comprar	esse	celular	hoje,	deverá	
pagar		quantos	reais	a	menos	em	relação	ao	valor	inicial?
Solução:
P
P
P
2
2
2
1 200 1 0 05 1 0 04
1 200 0 95 0 96
1 09440
= × −( ) × −( )
= × ×
=
. , ,
. , ,
. ,
V
V
f
f
= −
=
1 200 00 1 094 40
105 60
. , . ,
,
Como	o	valor	inicial	era	de	R$	1.200,00,	quem	comprar	hoje	o	celular	de	Pablo	pagará	R$	1.094,40.	
Tendo	assim	um	desconto	de	R$	105,60	em	relação	ao	valor	inicial.	
Problemas envolvendo porcentagens
Vamos	fazer	agora	aplicações	dos	problemas	envolvendo	porcentagens,	para	fazer	uso	das	dife-
rentes	resoluções	aprendidas	anteriormente	neste	capítulo.
1. (FGV)	Em	um	grupo	de	50	jogadores	do	futebol	mato‐grossense,	só	há	jogadores	do	Luverdense	
E.	C.	e	do	Mixto	E.	C.,	sendo	que	há	6	jogadores	a	mais	do	Luverdense	em	relação	aos	do	Mixto.	
10	jogadores	do	Luverdense	têm	menos	de	25	anos	e,	dos	jogadores	do	Mixto,	12	têm	25	anos	ou	
mais.	Do	grupo	total	de	50	jogadores,	a	porcentagem	daqueles	com	menos	de	25	anos	é:
a. 	 	20.
b. 	 	30.
c. 	 X 	40.
d. 	 	50.
e. 	 	60.
Solucionado	o	problema	acima,	temos	a	seguinte	relação:
L	+	M	=	50
L	+	(L	–	6)	=	50
2L	=	56
L =	28	e	M	=	22
Veja:
10	jogadores	do	Luverdense	têm	menos	de	25	anos.	Dos	22	jogadores	do	Mixto,	12	têm	25	anos	
ou	mais.	Assim,	10	jogadores	têm	25	ou	menos.	Finalmente,	pela	regra	de	três,	temos:
20
50 100
100 20
50
2 000
50
40= → =
⋅
→ = → =
x
x x x
.
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60
Diálogo com o professor
•	Ajude	 os	 alunos	 a	 compreender	 o	
que	são	juros.
•	Calcule	juros	simples	obtidos	a	par-
tir	de	um	capital	investido	por	um	cer-
to	período	de	tempo.
•	Comente	com	os	alunos	que	o	regi-
me	de	juros	simples	é	aquele	no	qual	
os	 juros	 sempre	 incidem	 sobre	 o	 ca-
pital	 inicial,	 mas	 que,	 atualmente,	 as	
transações	 comerciais	 não	 utilizam	
mais	 os	 juros	 simples,	 e	 sim	 os	 juros	
compostos.
•	Converse	sobre	as	situações	em	que	
os	juros	estão	presentes:
a)	Empréstimos	em	 instituições	finan-
ceiras.
b)	Pagamento	atrasado	de	contas.
c)	Aplicação	de	capitais.
d)	Compra	a	prazo,	entre	outros.
•	O	 juro	simples	é	 também	chamado	
de	capitalização,	sendo	calculado	em	
função	do	capital	C	investido,	da	taxa	i	
e	do	tempo	t,	envolvidos	na	transação.
Anotações
metem	a	pegar	o	capital	emprestado	e	a	pagar	juros.	O	tempo,	o	risco	e	a	quantidade	de	dinheiro	
disponível	no	mercado	para	empréstimos,	definem	qual	deverá	ser	a	remuneração,	mais	conhecida	
como	taxa de juros.
Termos utilizados para determinação de juros
Capital 
O	capital	é	o	valor	aplicado	por	meio	de	alguma	operação	financeira,	também	conhecido	como	
principal,	valor atual ou	valor aplicado.
Taxa de juros
Ela	indica	qual	remuneração	será	paga	pelo	dinheiro	emprestado	por	um	deter	minado	período.	
Ela	vem	normalmente	expressa	da	forma	percentual,	seguida	da	especificação	do	período	de	tem-
po	a	que	se	refere:
	10%	a.a.	–	(a.a.	significa	ao	ano).	
	15%	a.t.	–	(a.t.	significa	ao	trimestre).	
Outra	forma	de	apresentação	da	taxa	de	juros	é	a	unitária,	que	é	igual	à	taxa	percentual	dividida	
por	100,	sem	o	símbolo	%:	
	0,25	a.m.	–	(a.m.	significa	ao	mês).	
Montante 
É	a	soma	do	capital	aplicado	do	investimento	com	a	compensação	financeira	pelo	empréstimo.	
Ou	seja,	montante	é	o	capital	adicionado	aos	juros.
Juros simples
O	juro	de	cada	 intervalo	de	 tempo	sem	pre	é	calculado	sobre	o	capital	 inicial	emprestado	ou	
aplicado.
Regras para determinar os juros simples e suas partes 
envolvidas
j = ⋅ ⋅ → =
⋅
→ =
⋅
→ =
⋅
c i t C
J
i t
i
j
c t
t
j
c i
M C j M C C i t M C it C
M
i t
= + → = + ⋅ ⋅ → = ⋅ +( ) → =
+ ⋅
1
1
ou
Vamos	acompanhar	algumas	aplicações	a	seguir.
1º caso
Uma	pessoa	atrasou	um	pagamento	de	R$	10.000,00	e	teve	que	pagar	uma	taxa	de	2%	por	cada	
mês	de	atraso.	Sabendo	que	ela	passou	5	meses	sem	pagar,	qual	foi	o	total	de	juros	pago?
Atenção:	Lembre	que	a	taxa	e	o	tempo	devem	ter	sempre	a	mesma	uni	dade	de	medida!
Solução:
Em	um	mês,	a	pessoa	tem	que	pagar:
61CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 61 20/06/2018 18:04:31
a. O	valor	do	fusca	é,	aproximadamente,	quantos	
por	cento	mais	barato	que	o	da	limou	sine?	
95%.
b. Aproximadamente	 quantos	 por	 cento	 a	 li-
mousine	é	mais	cara	do	que	o	fusca?
2.000%.
c. Comprando	os	dois	carros,	o	fusca	represen-
ta,	aproximadamente,	quantos	por	cento	do	va-
lor	da	compra?	
4,76%.
6. Após	um	aumento	de	17%,	a	mensalidade	
de	 um	 clube	 passou	 a	 ser	 de	 R$	 46,80.	Qual	
era	o	va	lor	da	mensalidade	do	clube	antes	do	
aumento?
R$	40,00.
7. Um	profissional	cobrou	R$	140,00	para	instalar	
um	projetor	no	teto	de	uma	empresa.	Sabendo	
que	ele	cobra	7%	do	valor	do	aparelho,	quanto	
custou	esse	aparelho?
R$	2.000,00.
8. Em	qualquer	dominó,	encaixamos	os	lados	das	peças	que	têm	números	iguais.	Na	situação	abai-
xo,	o	dominó	apresenta	os	números	por	meio	de	frações	decimais	e	porcentagens.	Encontre	a	peça	
que	está	no	lugar	errado.
O	erro	está	nas	peças	0,3	e	 3
100
,	pois	0,3	=	30%	e	
3
100
3= %.
Juros 
Laura	estava	muito	preocupada	com	um	boleto	a	ser	pago	e	por	não	possuir	toda	a	quantia	re-
ferente	ao	pagamento.	Ela	foi	pedir	emprestado	R$	200,00	a	Wilson.	
Wilson	explicou	a	Laura	que	emprestaria	os	R$	200,00.	Só	que	após	30	dias	Laura	deveria	pagar	
R$	220,00.	Laura	entendeu	que	pelo	fato	do	Wilson	está	lhe	ajudando,	ele	mereceria	uma	compen-
sação	financeira.	
Laura	então	aceitou	os	termos,	e	Wilson	emprestou	a	importância	desejada.
Observe	que	falamos	em	compensação	financeira,	na	verdade	isso	nada	mais	é	do	que	os	juros	
pagos	pela	transação	financeira.	De	modo	simples,	juros	são	a	compensação	financeira	ou	uma	re-
muneração	a	mais	que	alguém	deve	receber	por	ter	emprestado	dinheiro	a	outra	pessoa.
Os	juros	só	existem	porque	a	maioria	das	pessoas	é	imediatista	e	está	disposta	a	pagar	um	preço	
por	isso.	Como	não	podem	esperar	até	possuir	a	quantia	suficiente	para	adquirir	o	que	quer,	se	sub-
3
5
7
35
7
35
3
100
3
100
140
200
70% 20%
0,2
0,3
7
35
7
35
a.
3
100
3
100
b.
3
5
70%c.
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61
Sugestão de abordagem
1.	Uma	pessoa	contraiu	um	emprésti-
mo	 junto	a	um	banco	no	valor	de	R$	
1.500,00,	 comprometendo-se	 a	 res-
gatar	 a	 dívida	 na	 data	 do	 vencimen-
to	 e	 pagando	 a	 quantia	 total	 de	 R$	
1.700,00,	na	qual	estão	incluídos	o	va-
lor	originalmente	empregado	e	os	ju-
ros.	 Considerando-se	 as	 informações	
relativas	 a	esse	empréstimo,	 assinale,	
dentre	 as	 alternativas	 a	 seguir,	 a	 que	
melhor	expressa	a	aplicação	dos	con-
ceitos	de	capital,	juros	e	montante.
a)	capital:	R$	1.500,00
	 juros:	R$	1.700,00;
	 montante:	R$	3.200,00.
b)	capital:	R$	1.500,00
	 juros:	R$	1.700,00;
	 montante:	R$	200,00.
c)	 capital:	R$	1.500,00
	 juros:	R$	200,00;
	 montante:	R$	1.700,00.
d)	capital:	R$	1.700,00
	 juros:	R$	1.500,00;
	 montante:	R$	3.200,00.
e)	capital:	R$	1.700,00
	 juros:	R$	200,00;
	 montante:	R$	1.500,00.
Resposta:
Capital	=	1.500
Montante	=	1.700
Juros	=	1.700	–	1.500	=	200
Alternativa	“c”.
Anotações
metem	a	pegar	o	capital	emprestado	e	a	pagar	juros.	O	tempo,	o	risco	e	a	quantidade	de	dinheiro	
disponível	no	mercado	para	empréstimos,	definem	qual	deverá	ser	a	remuneração,	mais	conhecida	
como	taxa de juros.
Termos utilizados para determinação de juros
Capital 
O	capital	é	o	valor	aplicado	por	meio	de	alguma	operação	financeira,	também	conhecido	como	
principal,	valor atual ou	valor aplicado.
Taxa de juros
Ela	indica	qual	remuneração	será	paga	pelo	dinheiro	emprestado	por	um	deter	minado	período.	
Ela	vem	normalmente	expressa	da	forma	percentual,	seguida	da	especificação	do	período	de	tem-
po	a	que	se	refere:
	10%	a.a.	–	(a.a.	significa	ao	ano).	
	15%	a.t.	–	(a.t.	significa	ao	trimestre).	
Outra	forma	de	apresentação	da	taxa	de	juros	é	a	unitária,	que	é	igual	à	taxa	percentual	dividida	
por	100,	sem	o	símbolo	%:	
	0,25	a.m.	–	(a.m.	significa	ao	mês).	
MontanteÉ	a	soma	do	capital	aplicado	do	investimento	com	a	compensação	financeira	pelo	empréstimo.	
Ou	seja,	montante	é	o	capital	adicionado	aos	juros.
Juros simples
O	juro	de	cada	 intervalo	de	 tempo	sem	pre	é	calculado	sobre	o	capital	 inicial	emprestado	ou	
aplicado.
Regras para determinar os juros simples e suas partes 
envolvidas
j = ⋅ ⋅ → =
⋅
→ =
⋅
→ =
⋅
c i t C
J
i t
i
j
c t
t
j
c i
M C j M C C i t M C it C
M
i t
= + → = + ⋅ ⋅ → = ⋅ +( ) → =
+ ⋅
1
1
ou
Vamos	acompanhar	algumas	aplicações	a	seguir.
1º caso
Uma	pessoa	atrasou	um	pagamento	de	R$	10.000,00	e	teve	que	pagar	uma	taxa	de	2%	por	cada	
mês	de	atraso.	Sabendo	que	ela	passou	5	meses	sem	pagar,	qual	foi	o	total	de	juros	pago?
Atenção:	Lembre	que	a	taxa	e	o	tempo	devem	ter	sempre	a	mesma	uni	dade	de	medida!
Solução:
Em	um	mês,	a	pessoa	tem	que	pagar:
61CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 61 20/06/2018 18:04:31
a. O	valor	do	fusca	é,	aproximadamente,	quantos	
por	cento	mais	barato	que	o	da	limou	sine?	
95%.
b. Aproximadamente	 quantos	 por	 cento	 a	 li-
mousine	é	mais	cara	do	que	o	fusca?
2.000%.
c. Comprando	os	dois	carros,	o	fusca	represen-
ta,	aproximadamente,	quantos	por	cento	do	va-
lor	da	compra?	
4,76%.
6. Após	um	aumento	de	17%,	a	mensalidade	
de	 um	 clube	 passou	 a	 ser	 de	 R$	 46,80.	Qual	
era	o	va	lor	da	mensalidade	do	clube	antes	do	
aumento?
R$	40,00.
7. Um	profissional	cobrou	R$	140,00	para	instalar	
um	projetor	no	teto	de	uma	empresa.	Sabendo	
que	ele	cobra	7%	do	valor	do	aparelho,	quanto	
custou	esse	aparelho?
R$	2.000,00.
8. Em	qualquer	dominó,	encaixamos	os	lados	das	peças	que	têm	números	iguais.	Na	situação	abai-
xo,	o	dominó	apresenta	os	números	por	meio	de	frações	decimais	e	porcentagens.	Encontre	a	peça	
que	está	no	lugar	errado.
O	erro	está	nas	peças	0,3	e	 3
100
,	pois	0,3	=	30%	e	
3
100
3= %.
Juros 
Laura	estava	muito	preocupada	com	um	boleto	a	ser	pago	e	por	não	possuir	toda	a	quantia	re-
ferente	ao	pagamento.	Ela	foi	pedir	emprestado	R$	200,00	a	Wilson.	
Wilson	explicou	a	Laura	que	emprestaria	os	R$	200,00.	Só	que	após	30	dias	Laura	deveria	pagar	
R$	220,00.	Laura	entendeu	que	pelo	fato	do	Wilson	está	lhe	ajudando,	ele	mereceria	uma	compen-
sação	financeira.	
Laura	então	aceitou	os	termos,	e	Wilson	emprestou	a	importância	desejada.
Observe	que	falamos	em	compensação	financeira,	na	verdade	isso	nada	mais	é	do	que	os	juros	
pagos	pela	transação	financeira.	De	modo	simples,	juros	são	a	compensação	financeira	ou	uma	re-
muneração	a	mais	que	alguém	deve	receber	por	ter	emprestado	dinheiro	a	outra	pessoa.
Os	juros	só	existem	porque	a	maioria	das	pessoas	é	imediatista	e	está	disposta	a	pagar	um	preço	
por	isso.	Como	não	podem	esperar	até	possuir	a	quantia	suficiente	para	adquirir	o	que	quer,	se	sub-
3
5
7
35
7
35
3
100
3
100
140
200
70% 20%
0,2
0,3
7
35
7
35
a.
3
100
3
100
b.
3
5
70%c.
60 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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62
Diálogo com o professor
•	Faça	com	que	os	alunos	compreen-
dam	 como	 é	 feito	 o	 cálculo	 de	 juros	
compostos.
•	Mostre	aos	estudantes	como	calcular	
os	juros	compostos	de	um	dado	capital.
•	Apresente	 a	 diferença	 entre	 os	 juros	
obtidos	a	partir	de	um	capital	investido	a	
juros	simples	e	a	juros	compostos.
Leitura complementar
Os	 juros compostos	 são	 conheci-
dos	como	juro	sobre	 juro,	pois	o	 juro	
incide	 sempre	 no	 capital	 anterior,	 di-
ferentemente	dos	juros	simples.	As	fi-
nanceiras	e	os	bancos	aplicam	os	juros	
compostos,	pois	há	uma	possibilidade	
maior	de	lucro.
Os	juros	compostos,	após	cada	perío-
do,	são	incorporados	ao	capital		principal	
e	passam,	por	sua	vez,	a	render	juros.
Na	 prática,	 as	 empresas,	 os	 órgãos	
governamentais	e	os	 investidores	parti-
culares	costumam	reinvestir	as	quantias	
geradas	 pelas	 aplicações	 financeiras,	 o	
que	justifica	o	emprego	mais	comum	de	
juros	 compostos	 na	Economia.	Na	 ver-
dade,	o	uso	de	juros	simples	não	se	justi-
fica	em	estudos	econômicos.
Anotações
3° caso
Uma	pessoa	aplicou	100	reais	a	juros	compostos	de	5%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	montan-
te	no	final	do	trimestre?	Como	são	juros	compostos	depois	do	primeiro	mês,	o	capital	passa	a	ser	
o	montante	atual.
Solução:
1°	mês	→	100
105
100
105⋅ = 	reais
2°	mês	→	105
105
100
110 25⋅ = , 	reais
3°	mês	→	110 25
105
100
115 7625, ,⋅ = 	reais
Montante	de	aproximadamente	R$	115,76.
Acompanhe	os	casos	onde	determinaremos	juros	compostos.
1º caso
Que	montante	será	produzido	por	um	capital	de	R$	5.000,00.	Se	esse	 for	empregado	a	 juros	
compostos	de	2%	ao	mês	durante	6	meses.
Solução:
M C i M M
M
t= × + → = × + → = ×
= × →
( ) . ( , ) . ( , )
. ,
1 5 000 1 0 02 5 000 1 02
5 000 1 126
6 6
MM = 5 630 00. ,
Ao	final	de	seis	meses,	o	capital	de	R$	5.000,00	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	2%,	
resultará	no	montante	de	R$	5.630,00.
2º caso
Quanto	tempo	é	necessário	para	que	um	capital	 inicial	de	R$	1.000,00	que	dobra	a	todo	ano,	
passe	a	ser	igual	a	R$	8.000,00?
Solução:
M C i
t
t t t
t t
= × + → = × + → =
= → = → =
( ) . . ( )
.
.
1 8 000 1 000 1 1
8 000
1 000
2
2 8 2 2 33 annos
Eliminando	as	bases,	encontramos	t	=	3.
Em	três	anos	o	montante	será	R$	8.000,00.
Você sabia?
Brasileiros compram imóveis nos EUA por conta do 
percentual de lucro...
O	condomínio	Trump	Towers,	à	beira-mar,	foi	60%	comprado	por	brasileiros.	Entre	eles,	o	empre-
sário	paulista	João	Paulo	(ele	pediu	para	omitir	seu	sobrenome),	de	31	anos.	A	família	de	João	Paulo	
frequenta	Miami	há	15	anos	e	tem	vontade	de	comprar	um	imóvel	na	cidade	há	pelo	menos	5,	mas	
demorou	para	encontrar	um	bom	negócio.	“A	crise	foi	a	oportunidade	ideal.	Quando	começamos	
a	pesquisar,	um	apartamento	como	o	nosso	custava	US$	2,5	milhões.	Pagamos	US$	830	mil”,	afir-
63CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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2
100
10 000 200 00⋅ =. ,
Então,	em	5	meses,	tem	que	pagar	juros	de	5	vezes	200,	ou	seja	1.000	reais.	Note	que	multiplica-
mos	o	capital	pela	taxa	e	pelo	tempo	e	que	podemos	generalizar	uma	fórmula:	
M	=	c	+	j
Nesse	caso,	o	montante	é	de	10.000	mais	1.000,	ou	seja,	11.000.
2°caso
Um	capital	de	R$	600,00,	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	simples	de	24%	ao	ano,	rende	quantos	
reais	de	juros	em	6	meses?
Solução: 
Temos	uma	taxa	de	tempo	em	unidades	diferentes	de	medida	de	tempo.	Então,	transforma	mos	
uma	das	unidades	de	maneira	que	fiquem	com	medidas	iguais.
Podemos	deixar	a	taxa	combinando	com	o	tempo,	tudo	em	meses:
Transformando	a	taxa	anual	em	mensal,	dividimos	24%	por	12	e,	assim,	aplicamos	a	fórmula:	
24%	:	12	=	2%	
Então,	a	taxa	mensal	é	de	2%	a.m.	
Agora,	substituindo	na	fórmula,	ficamos	com:	
j =	c	.	i	. t	→	j =	600	.	0,02	.	6	→ j	=	72	reais	
Ou	podemos	deixar	o	tempo	combinando	com	a	taxa,	em	anos.	
Transformando	o	tempo	em	anos,	dividindo	6	por	12,	e,	assim,	aplicamos	a	fórmula:	
6	:	12	=	0,5	
Então,	o	tempo	é	de	0,5	anos.	
Agora,	substituindo	na	fórmula,	ficamos	com:	
j	=	c	.	i	.	t 
j	=	600	.	0,24	.	0,5	
j	=	72	
R$	72,00	de	juros.
Juros compostos
Os	juros	de	cada	intervalo	de	tem	po	é	calculado	a	partir	do	saldo	no	início	de	correspon	dente	
intervalo.	Ou	seja,	os	juros	de	cada	intervalo	de	tempo	é	incorporado	ao	capital	inicial	e	passa	a	
render	juros	também.
Regras para determinar os juros compostos e suas partes envolvidas
M C i
C
M
i
t
t
= ⋅ +
=
+
( )
( )
1
1
62 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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63
Diálogo com o professor
•	Mostre	 aos	 estudantes	 como	 resol-
ver	situações-problema	que	envolvam	
o	cálculo	de	juros	compostos.
•	Mostre	aos	alunos	que	esse	assunto	
está	presente	no	cotidiano	de	todos	e	
peça-lhes	 que	 investiguem,	 em	 casa,	
situações	em	que	a	família	paga	ou	re-
cebe	juros.
•	Quais	 tiposde	 juro	 são	 aplicados	
nos	 investimentos	 ou	 são	 pagos	 nos	
cartões	de	crédito?
Sugestão de abordagem
1.	(Cespe/UnB)	Se	um	capital	aplicado	
a	 juros	 simples	 durante	 seis	meses	 à	
taxa	mensal	de	5%	gera,	nesse	perío-
do,	um	montante	de	R$	3.250,00,	en-
tão	o	capital	aplicado	é	menor	que	R$	
2.600,00.	Verdadeiro	ou	falso?
Dados para a solução:
n	=	6
i	=	0,05
M	=	3.250
M	=	C(1	+	in)
3.250	=	C(1	+	0,05	x	6)
C	=	2.500
Resposta:	 Verdadeiro.	O	 capital	 apli-
cado	é	menor	que	R$	2.600,00.
Anotações
3° caso
Uma	pessoa	aplicou	100	reais	a	juros	compostos	de	5%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	montan-
te	no	final	do	trimestre?	Como	são	juros	compostos	depois	do	primeiro	mês,	o	capital	passa	a	ser	
o	montante	atual.
Solução:
1°	mês	→	100
105
100
105⋅ = 	reais
2°	mês	→	105
105
100
110 25⋅ = , 	reais
3°	mês	→	110 25
105
100
115 7625, ,⋅ = 	reais
Montante	de	aproximadamente	R$	115,76.
Acompanhe	os	casos	onde	determinaremos	juros	compostos.
1º caso
Que	montante	será	produzido	por	um	capital	de	R$	5.000,00.	Se	esse	 for	empregado	a	 juros	
compostos	de	2%	ao	mês	durante	6	meses.
Solução:
M C i M M
M
t= × + → = × + → = ×
= × →
( ) . ( , ) . ( , )
. ,
1 5 000 1 0 02 5 000 1 02
5 000 1 126
6 6
MM = 5 630 00. ,
Ao	final	de	seis	meses,	o	capital	de	R$	5.000,00	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	compostos	de	2%,	
resultará	no	montante	de	R$	5.630,00.
2º caso
Quanto	tempo	é	necessário	para	que	um	capital	 inicial	de	R$	1.000,00	que	dobra	a	todo	ano,	
passe	a	ser	igual	a	R$	8.000,00?
Solução:
M C i
t
t t t
t t
= × + → = × + → =
= → = → =
( ) . . ( )
.
.
1 8 000 1 000 1 1
8 000
1 000
2
2 8 2 2 33 annos
Eliminando	as	bases,	encontramos	t	=	3.
Em	três	anos	o	montante	será	R$	8.000,00.
Você sabia?
Brasileiros compram imóveis nos EUA por conta do 
percentual de lucro...
O	condomínio	Trump	Towers,	à	beira-mar,	foi	60%	comprado	por	brasileiros.	Entre	eles,	o	empre-
sário	paulista	João	Paulo	(ele	pediu	para	omitir	seu	sobrenome),	de	31	anos.	A	família	de	João	Paulo	
frequenta	Miami	há	15	anos	e	tem	vontade	de	comprar	um	imóvel	na	cidade	há	pelo	menos	5,	mas	
demorou	para	encontrar	um	bom	negócio.	“A	crise	foi	a	oportunidade	ideal.	Quando	começamos	
a	pesquisar,	um	apartamento	como	o	nosso	custava	US$	2,5	milhões.	Pagamos	US$	830	mil”,	afir-
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100
10 000 200 00⋅ =. ,
Então,	em	5	meses,	tem	que	pagar	juros	de	5	vezes	200,	ou	seja	1.000	reais.	Note	que	multiplica-
mos	o	capital	pela	taxa	e	pelo	tempo	e	que	podemos	generalizar	uma	fórmula:	
M	=	c	+	j
Nesse	caso,	o	montante	é	de	10.000	mais	1.000,	ou	seja,	11.000.
2°caso
Um	capital	de	R$	600,00,	aplicado	a	uma	taxa	de	juros	simples	de	24%	ao	ano,	rende	quantos	
reais	de	juros	em	6	meses?
Solução: 
Temos	uma	taxa	de	tempo	em	unidades	diferentes	de	medida	de	tempo.	Então,	transforma	mos	
uma	das	unidades	de	maneira	que	fiquem	com	medidas	iguais.
Podemos	deixar	a	taxa	combinando	com	o	tempo,	tudo	em	meses:
Transformando	a	taxa	anual	em	mensal,	dividimos	24%	por	12	e,	assim,	aplicamos	a	fórmula:	
24%	:	12	=	2%	
Então,	a	taxa	mensal	é	de	2%	a.m.	
Agora,	substituindo	na	fórmula,	ficamos	com:	
j =	c	.	i	. t	→	j =	600	.	0,02	.	6	→ j	=	72	reais	
Ou	podemos	deixar	o	tempo	combinando	com	a	taxa,	em	anos.	
Transformando	o	tempo	em	anos,	dividindo	6	por	12,	e,	assim,	aplicamos	a	fórmula:	
6	:	12	=	0,5	
Então,	o	tempo	é	de	0,5	anos.	
Agora,	substituindo	na	fórmula,	ficamos	com:	
j	=	c	.	i	.	t 
j	=	600	.	0,24	.	0,5	
j	=	72	
R$	72,00	de	juros.
Juros compostos
Os	juros	de	cada	intervalo	de	tem	po	é	calculado	a	partir	do	saldo	no	início	de	correspon	dente	
intervalo.	Ou	seja,	os	juros	de	cada	intervalo	de	tempo	é	incorporado	ao	capital	inicial	e	passa	a	
render	juros	também.
Regras para determinar os juros compostos e suas partes envolvidas
M C i
C
M
i
t
t
= ⋅ +
=
+
( )
( )
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64
Para analisar:
O	texto	abaixo	reflete	o	que	acontece	com	muitos	produtos	no	comércio.	
Professor ensina a fazer cálculos de porcentagem no 
Projeto Educação 
Confira	a	diferença	do	preço	da	água	em	diferentes	embalagens.	
Ao	comprar	um	copo	de	água	vendido	a	R$	0,80,	o	consumidor	paga	mais.	
No	Projeto Educação,	o	professor	de	matemática	Aliomar	Santos	explica	os	cálculos	de	
porcentagem.	O	exemplo	é	a	diferen	ça	no	preço	da	água	mineral	vendida	em	diferentes	
embalagens.	Quando	se	compra	em	copo,	em	vez	de	garra	fão	de	20	litros,	o	consumidor	
paga	na	água	um	valor	com	cerca	de	1.000%	de	aumento	em	cima	do	produto.	
“Cada	copinho	está	sendo	comercializado	a	R$	0,80,	e	o	garrafão,	vendido	a	R$	6,00,	dá	
para	encher	100	copinhos,	ou	seja,	é	1.233%	mais	caro	do	que	a	mesma	água	retirada	de	
dentro	do	garrafão”,	explica	o	professor.	
Comparando	o	preço	de	um	garrafão	com	o	de	uma	garrafa	de	350	m � ,	vendida	a	R$	
1,00,	o	professor	faz	o	seguinte	cálculo:	60	garrafinhas	somam	R$	60,00.	Subtraindo	R$	6,00	
desse	valor,	referente	ao	preço	do	garrafão,	temos	R$	54,00,	que	dividido	por	6,	resulta	no	
número	9.	Para	se	chegar	ao	percentual,	multiplica	por	100,	resultando	em	900%.	
Fonte:	http://g1.globo.com/pernambuco/projeto-educacao/noticia/2011/10/professor-ensina-fazer-calculos-de-
porcentagem-no-projeto-educacao.html
Refletindo sobre o texto
1. O	texto	mostra	uma	relação	entre	embalagens	e	produtos.	Por	que,	quando	a	emba	lagem	arma-
zena	uma	porção	maior	do	produto,	o	custo	proporcional	é	menor?
2. Na	comparação	entre	o	valor	aproximado	do	copinho	vendido	 individualmente	e	do	copinho	
tira	do	do	garrafão	(100	copinhos),	o	percentual	é	realmente	de	1.233%	ou	houve	um	pequeno	erro	
de	digitação?	
A	porcentagem	expressa	em	quantidade	indica	o	custo	menor	do	produto.
É	exatamente	1,233%.
65CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 65 20/06/2018 18:04:32
ma.	João	Paulo	compara	com	outro	aparta-
mento	da	família,	no	Guarujá,	litoral	de	São	
Paulo.	“Em	Mia	mi,	nós	pagamos	R$	1.700	de	
condomínio	para	 ter	 tudo:	manobrista,	 lim-
peza,	Internet,	TV	a	cabo	e	serviço	de	praia.	
No	Guarujá,	pagamos	R$	1.000	 só	para	 ter	
um	porteiro”,	diz.	Além	de	arcar	com	o	con-
domínio,	o	comprador	gasta	com	um	impos-
to	equivalente	ao	IPTU,	que	varia	de	0,8%	a	
2%	do	valor	do	imóvel,	e	um	advogado,	que	
cobra	cerca	de	1%	do	 imóvel	para	encami-
nhar	a	documenta	ção	de	compra.	A	comis-
são	dos	corretores	de	imóveis	sai	por	conta	
do	vendedor.	Bancos	brasileiros	oferecem	linhas	de	crédito,	mas	sai	mais	barato	financiar	a	compra	
de	até	70%	do	imóvel	com	o	sistema	financeiro	americano,	onde	as	taxas	de	juros	são	mais	baixas.	
Basta	o	visto	de	turista	para	poder	comprar.	Os	corretores	afirmam	que	é	preciso	ir	pelo	menos	três	
vezes	por	ano	à	cidade	para	justificar	a	compra.	
Os	preços	baixos	de	Miami	se	explicam	pelo	descompasso	entre	oferta	e	procura.	Em	cidades	
como	San	Francisco	e	Washington,	onde	não	há	paisagens	tão	bonitas,	o	valor	do	metro	quadrado	
vale	até	100%	mais.	Em	2006,	a	Flórida	viveu	um	boom imobiliário,	mas	os	condomínios	que	esta-
vam	sendo	construídos	naquela	época	foram	abandonados	na	crise	de	2008.	No	último	ano,	novas	
incorporadoras	assumiram	os	empreendimentos,	que	estão	sendo	rapidamente	vendidos.
Atividades
1. Carlos	aplicou	R$	1.000,00	a	juros	compos	tos	
de	2%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	mon-
tante	que	ele	arrecadou	no	final	do	trimestre?
R$	1.061,20.
4. O	cartão	Cuid	Hado cobra	12%	de	juros	com-
postos	 ao	 mês.	 José	 pegou	 emprestado	 R$	
1.200,00	por	três	meses.	Qual	o	montante	pago	
por	José	no	final	desse	período?
R$	1.685,91.
2. Um	casal	aplicou	R$	8.400,00	durante	três	me-
ses	a	uma	 taxa	de	 juros	compostos	de	10%	ao	
mês,	para	pagar	um	cruzeiro	pela	Europa.	Saben-
do	 que	 o	 valor	 gasto	 no	 cruzeiro	 seria	 de	 R$	
9.150,00,	a	aplicação	deu	para	pagar	os	custos?
Não.
5. O	piloto	de	kartJeyson	Holanda	recebe	R$	
3.200,00	de	patrocínio	por	mês,	e,	em	outu	bro,	
ele	aplicou	o	patrocínio	a	 juros	 compostos	de	
8%	ao	mês	até	dezembro,	para	ajudar	a	pa	gar	
os	custos	de	sua	viagem	de	férias.	Quanto	ele	
arrecadou	de	juros?
R$	831,07.
3. No	passado,	a	família	Cavalcanti	investiu	em	
cana-de-açúcar	e,	hoje	em	dia,	investe	em	tec-
nologia.	Seus	lucros,	com	o	novo	investimento,	
tiveram	um	aumento	de	30%,	passando	para	6,5	
milhões	por	ano.	Quanto	era	o	 lucro	anual	da	
família	antes	dos	novos	investimentos?
R$	5.000.000,00.
6. Calcule	quantos	 reais	de	 juros	 renderá	uma	
aplicação	 de	 R$	 20.400,00,	 durante	 2	 anos,	 à	
taxa	anual	de	5%	a	juros	compostos.
R$	2.091,00.
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65
Para analisar:
O	texto	abaixo	reflete	o	que	acontece	com	muitos	produtos	no	comércio.	
Professor ensina a fazer cálculos de porcentagem no 
Projeto Educação 
Confira	a	diferença	do	preço	da	água	em	diferentes	embalagens.	
Ao	comprar	um	copo	de	água	vendido	a	R$	0,80,	o	consumidor	paga	mais.	
No	Projeto Educação,	o	professor	de	matemática	Aliomar	Santos	explica	os	cálculos	de	
porcentagem.	O	exemplo	é	a	diferen	ça	no	preço	da	água	mineral	vendida	em	diferentes	
embalagens.	Quando	se	compra	em	copo,	em	vez	de	garra	fão	de	20	litros,	o	consumidor	
paga	na	água	um	valor	com	cerca	de	1.000%	de	aumento	em	cima	do	produto.	
“Cada	copinho	está	sendo	comercializado	a	R$	0,80,	e	o	garrafão,	vendido	a	R$	6,00,	dá	
para	encher	100	copinhos,	ou	seja,	é	1.233%	mais	caro	do	que	a	mesma	água	retirada	de	
dentro	do	garrafão”,	explica	o	professor.	
Comparando	o	preço	de	um	garrafão	com	o	de	uma	garrafa	de	350	m � ,	vendida	a	R$	
1,00,	o	professor	faz	o	seguinte	cálculo:	60	garrafinhas	somam	R$	60,00.	Subtraindo	R$	6,00	
desse	valor,	referente	ao	preço	do	garrafão,	temos	R$	54,00,	que	dividido	por	6,	resulta	no	
número	9.	Para	se	chegar	ao	percentual,	multiplica	por	100,	resultando	em	900%.	
Fonte:	http://g1.globo.com/pernambuco/projeto-educacao/noticia/2011/10/professor-ensina-fazer-calculos-de-
porcentagem-no-projeto-educacao.html
Refletindo sobre o texto
1. O	texto	mostra	uma	relação	entre	embalagens	e	produtos.	Por	que,	quando	a	emba	lagem	arma-
zena	uma	porção	maior	do	produto,	o	custo	proporcional	é	menor?
2. Na	comparação	entre	o	valor	aproximado	do	copinho	vendido	 individualmente	e	do	copinho	
tira	do	do	garrafão	(100	copinhos),	o	percentual	é	realmente	de	1.233%	ou	houve	um	pequeno	erro	
de	digitação?	
A	porcentagem	expressa	em	quantidade	indica	o	custo	menor	do	produto.
É	exatamente	1,233%.
65CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 65 20/06/2018 18:04:32
ma.	João	Paulo	compara	com	outro	aparta-
mento	da	família,	no	Guarujá,	litoral	de	São	
Paulo.	“Em	Mia	mi,	nós	pagamos	R$	1.700	de	
condomínio	para	 ter	 tudo:	manobrista,	 lim-
peza,	Internet,	TV	a	cabo	e	serviço	de	praia.	
No	Guarujá,	pagamos	R$	1.000	 só	para	 ter	
um	porteiro”,	diz.	Além	de	arcar	com	o	con-
domínio,	o	comprador	gasta	com	um	impos-
to	equivalente	ao	IPTU,	que	varia	de	0,8%	a	
2%	do	valor	do	imóvel,	e	um	advogado,	que	
cobra	cerca	de	1%	do	 imóvel	para	encami-
nhar	a	documenta	ção	de	compra.	A	comis-
são	dos	corretores	de	imóveis	sai	por	conta	
do	vendedor.	Bancos	brasileiros	oferecem	linhas	de	crédito,	mas	sai	mais	barato	financiar	a	compra	
de	até	70%	do	imóvel	com	o	sistema	financeiro	americano,	onde	as	taxas	de	juros	são	mais	baixas.	
Basta	o	visto	de	turista	para	poder	comprar.	Os	corretores	afirmam	que	é	preciso	ir	pelo	menos	três	
vezes	por	ano	à	cidade	para	justificar	a	compra.	
Os	preços	baixos	de	Miami	se	explicam	pelo	descompasso	entre	oferta	e	procura.	Em	cidades	
como	San	Francisco	e	Washington,	onde	não	há	paisagens	tão	bonitas,	o	valor	do	metro	quadrado	
vale	até	100%	mais.	Em	2006,	a	Flórida	viveu	um	boom imobiliário,	mas	os	condomínios	que	esta-
vam	sendo	construídos	naquela	época	foram	abandonados	na	crise	de	2008.	No	último	ano,	novas	
incorporadoras	assumiram	os	empreendimentos,	que	estão	sendo	rapidamente	vendidos.
Atividades
1. Carlos	aplicou	R$	1.000,00	a	juros	compos	tos	
de	2%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	mon-
tante	que	ele	arrecadou	no	final	do	trimestre?
R$	1.061,20.
4. O	cartão	Cuid	Hado cobra	12%	de	juros	com-
postos	 ao	 mês.	 José	 pegou	 emprestado	 R$	
1.200,00	por	três	meses.	Qual	o	montante	pago	
por	José	no	final	desse	período?
R$	1.685,91.
2. Um	casal	aplicou	R$	8.400,00	durante	três	me-
ses	a	uma	 taxa	de	 juros	compostos	de	10%	ao	
mês,	para	pagar	um	cruzeiro	pela	Europa.	Saben-
do	 que	 o	 valor	 gasto	 no	 cruzeiro	 seria	 de	 R$	
9.150,00,	a	aplicação	deu	para	pagar	os	custos?
Não.
5. O	piloto	de	kart	Jeyson	Holanda	recebe	R$	
3.200,00	de	patrocínio	por	mês,	e,	em	outu	bro,	
ele	aplicou	o	patrocínio	a	 juros	 compostos	de	
8%	ao	mês	até	dezembro,	para	ajudar	a	pa	gar	
os	custos	de	sua	viagem	de	férias.	Quanto	ele	
arrecadou	de	juros?
R$	831,07.
3. No	passado,	a	família	Cavalcanti	investiu	em	
cana-de-açúcar	e,	hoje	em	dia,	investe	em	tec-
nologia.	Seus	lucros,	com	o	novo	investimento,	
tiveram	um	aumento	de	30%,	passando	para	6,5	
milhões	por	ano.	Quanto	era	o	 lucro	anual	da	
família	antes	dos	novos	investimentos?
R$	5.000.000,00.
6. Calcule	quantos	 reais	de	 juros	 renderá	uma	
aplicação	 de	 R$	 20.400,00,	 durante	 2	 anos,	 à	
taxa	anual	de	5%	a	juros	compostos.
R$	2.091,00.
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Foi	por	volta	desse	período,	século	I	a.C.,	que	o	im-
perador	romano	Gaius	Iulius	Caesar	Octavianus	Augus-
tus	determinou	a	cobrança	de	certos	impostos.	Alguns	
desses	impostos	deveriam	ser	cobrados	de	acordo	com	
a	mercadoria	negociada.	
Um	 dos	 impostos	 exigidos	 pelo	 imperador	 era	 o	
classificado	“centésimo rerum venalium” tal	 imposto	
consistia	no	pagamento	de	um	centésimo,	pelo	comer-
ciante,	sobre	o	valor	de	mercadorias	comercializadas.
Em	 outras	 palavras,	 o	 imposto	 consistia	 no	 paga-
mento	 de	 1%	 no	 montante	 de	 produtos	 negociados	
pelos	comerciantes.	Isso	nos	é	uma	prova	da	existência	
das	porcentagens	no	dia	a	dia	dos	cidadãos,	tal	prática	
se	perpetua	até	os	dias	atuais. 
Só	muito	mais	a	frente	é	que	o	termo	porcentagem	
veio	a	surgir,	a	palavra	tem	origem	no	latim	“per cen-
tum” que	 significa	dividido	por	 cem,	daí	 a	 expressão	
percentual.
Amplie o conhecimento
Geração de energia elétrica limpa
Faça	sol	ou	faça	vento,	os	dois	processos	utilizam	fontes	inesgotáveis	de	energia.	Não	emitem	
gases	poluentes	e	são	grandes	apostas	de	abastecimento	para	o	futuro.	Mas,	no	fim,	qual	é	o	mais	
verde?
Eólica
O	primeiro	moinho	usado	para	produzir	eletrici	dade	surgiu	na	Escócia,	em	1887.	James	Blyth	
criou	o	aparelho	para	abastecer	sua	casa,	mas,	com	o	tem	po,	passou	a	vender	o	excedente	de	ener-
gia	para	a	vizinhança.	Os	sistemas	com	turbina	vieram	em	1890,	mas	só	se	popularizaram	na	década	
de	1970,	em	meio	à	crise	do	petróleo.
É	 a	 fonte	 de	 energia	 alternativa	mais	 utilizada	
no	mundo.	Ao	total,	são	198	gigawatts	anuais	de	
potên	cia	instalados,	o	que	representa	3%	de	toda	
a	energia	produzida	no	mundo.	No	Brasil,	“concor-
rendo”	com	as	hidrelétricas,	a	eólica	não	é	tão	po-
pular.	Explora	mos	menos	de	1%	de	seu	potencial	
no	País,	o	que	gera	cerca	de	1	gigawatts	por	ano.
Apesar	de	ser	uma	fonte	completamente	lim-
pa,	as	turbinas	são	barulhentas,	o	que	atrapalhou	
sua	po	pularização	na	década	de	1980.	Hoje,	os	
ruídos	são	bem	mais	baixos.	Outro	ponto	nega-
tivo	é	que	pássa	ros	podem	se	chocar	com	as	pás	
dos	 aerogeradores	 durante	 fluxos	 migratórios,	
causando	problemas	na	fauna	local.
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67CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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3. Nos	últimos	2	anos,	o	copinho	de	água	passou	de	50	centavos	para	80	centavos.	Explique	como	
procedemos	para	calcularmos	o	percentual	de	aumento	que	houve.
Fator de multiplicação
Se,	por	exemplo,	há	um	acréscimo	de	10%	a	um	de	terminado	valor,	podemos	calcular	o	novo	
valor	multiplicando	esse	valor	por	1,10,	que	é	o	fator	de	mul	tiplicação.	Se	o	acréscimo	for	de	30%,	
multiplicamos	por	1,30,	e	assim	por	diante.	Veja	a	tabela	abaixo:
Acréscimo ou lucro Fator de multiplicação
10% 1,10
17% 1,17
25% 1,25
40% 1,40
120% 2,20
Exemplo:	Aumentando	10%	no	valor	de	R$	10,00,	temos:	10	.	1,10	=	R$	11,00.	
No	caso	de	haver	um	decréscimo,	o	fator	de	multiplica	ção	será	igual	a	um	menos	a	taxa	de	des-
conto	1	–	taxa	de	desconto	(na	forma	decimal).	
Exemplo:	Descontando	20%	no	valor	de	R$	100,00,	te	mos:	100	.	0,80	=	R$	80,00.
Desconto Fator de multiplicação
10% 0,90
20% 0,80
25% 0,75
60% 0,40
80% 0,20
Resgatando a história
A Roma do centésimo rerum venalium
Existem	relatos	históricos	que	comprovam	a	existência	das	divisões	centesimais	por	volta	do	
século	I	a.C.,	ou	seja,	a	aplicação	das	porcentagens	está	há	muito	tempo	inseridas	no	cotidiano	
da	humanidade.
0 50 100 0 50 50
50
0 50
160, % ,
,
%− ∴ = ∴ = =x x
0,50	–	x
66 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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Foi	por	volta	desse	período,	século	I	a.C.,	que	o	im-
perador	romano	Gaius	Iulius	Caesar	Octavianus	Augus-
tus	determinou	a	cobrança	de	certos	impostos.	Alguns	
desses	impostos	deveriam	ser	cobrados	de	acordo	com	
a	mercadoria	negociada.	
Um	 dos	 impostos	 exigidos	 pelo	 imperador	 era	 o	
classificado	“centésimo rerum venalium” tal	 imposto	
consistia	no	pagamento	de	um	centésimo,	pelo	comer-
ciante,	sobre	o	valor	de	mercadorias	comercializadas.
Em	 outras	 palavras,	 o	 imposto	 consistia	 no	 paga-
mento	 de	 1%	 no	 montante	 de	 produtos	 negociados	
pelos	comerciantes.	Isso	nos	é	uma	prova	da	existência	
das	porcentagens	no	dia	a	dia	dos	cidadãos,	tal	prática	
se	perpetua	até	os	dias	atuais. 
Só	muito	mais	a	frente	é	que	o	termo	porcentagem	
veio	a	surgir,	a	palavra	tem	origem	no	latim	“per cen-
tum” que	 significa	dividido	por	 cem,	daí	 a	 expressão	
percentual.
Amplie o conhecimento
Geração de energia elétrica limpa
Faça	sol	ou	faça	vento,	os	dois	processos	utilizam	fontes	inesgotáveis	de	energia.	Não	emitem	
gases	poluentes	e	são	grandes	apostas	de	abastecimento	para	o	futuro.	Mas,	no	fim,	qual	é	o	mais	
verde?
Eólica
O	primeiro	moinho	usado	para	produzir	eletrici	dade	surgiu	na	Escócia,	em	1887.	James	Blyth	
criou	o	aparelho	para	abastecer	sua	casa,	mas,	com	o	tem	po,	passou	a	vender	o	excedente	de	ener-
gia	para	a	vizinhança.	Os	sistemas	com	turbina	vieram	em	1890,	mas	só	se	popularizaram	na	década	
de	1970,	em	meio	à	crise	do	petróleo.
É	 a	 fonte	 de	 energia	 alternativa	mais	 utilizada	
no	mundo.	Ao	total,	são	198	gigawatts	anuais	de	
potên	cia	instalados,	o	que	representa	3%	de	toda	
a	energia	produzida	no	mundo.	No	Brasil,	“concor-
rendo”	com	as	hidrelétricas,	a	eólica	não	é	tão	po-
pular.	Explora	mos	menos	de	1%	de	seu	potencial	
no	País,	o	que	gera	cerca	de	1	gigawatts	por	ano.
Apesar	de	ser	uma	fonte	completamente	lim-
pa,	as	turbinas	são	barulhentas,	o	que	atrapalhou	
sua	po	pularização	na	década	de	1980.	Hoje,	os	
ruídos	são	bem	mais	baixos.	Outro	ponto	nega-
tivo	é	que	pássa	ros	podem	se	chocar	com	as	pás	
dos	 aerogeradores	 durante	 fluxos	 migratórios,	
causando	problemas	na	fauna	local.
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3. Nos	últimos	2	anos,	o	copinho	de	água	passou	de	50	centavos	para	80	centavos.	Explique	como	
procedemos	para	calcularmos	o	percentual	de	aumento	que	houve.
Fator de multiplicação
Se,	por	exemplo,	há	um	acréscimo	de	10%	a	um	de	terminado	valor,	podemos	calcular	o	novo	
valor	multiplicando	esse	valor	por	1,10,	que	é	o	fator	de	mul	tiplicação.	Se	o	acréscimo	for	de	30%,	
multiplicamos	por	1,30,	e	assim	por	diante.	Veja	a	tabela	abaixo:
Acréscimo ou lucro Fator de multiplicação
10% 1,10
17% 1,17
25% 1,25
40% 1,40
120% 2,20
Exemplo:	Aumentando	10%	no	valor	de	R$	10,00,	temos:	10	.	1,10	=	R$	11,00.	
No	caso	de	haver	um	decréscimo,	o	fator	de	multiplica	ção	será	igual	a	um	menos	a	taxa	de	des-
conto	1	–	taxa	de	desconto	(na	forma	decimal).	
Exemplo:	Descontando	20%	no	valor	de	R$	100,00,	te	mos:	100	.	0,80	=	R$	80,00.
Desconto Fator de multiplicação
10% 0,90
20% 0,80
25% 0,75
60% 0,40
80% 0,20
Resgatando a história
A Roma do centésimo rerum venalium
Existem	relatos	históricos	que	comprovam	a	existência	das	divisões	centesimais	por	volta	do	
século	I	a.C.,	ou	seja,	a	aplicação	das	porcentagens	está	há	muito	tempo	inseridas	no	cotidiano	
da	humanidade.
0 50 100 0 50 50
50
0 50
160, % ,
,
%− ∴ = ∴ = =x x
0,50	–	x
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68
Aprimorando conceitos
I.	Defina	o	que	são	porcentagens.
II.	Quais	os	tipos	existentes	de	percentuais	sucessivos?
III.	Defina	o	que	são	juros	e	quais	os	tipos	apresentados	aqui	nesse	capítulo.
IV.	Geralmente,	quando	deve-se	fazer	aplicação	de	juros	simples?
V.	O	que	são	juros	compostos?
VI.	Quais	os	termos	que	necessitamos	conhecer	para	que	possamos	solucionar	problemas	
envolvendo	juros	simples	e	compostos?
A	expressão	porcentagem	ou	percentagem	tem	origem	no	 latim	per centium,	e	significa	
“por	cem”	ou	ainda	“a	cada	centena”.	Podemos	ainda	definir	a	porcentagem	como	sendo	
uma	fração	de	denominador	sempre	igual	a	100	e	usamos	o	símbolo	%	(por	cento)	para	re-
presentar	porcentagens.
Eles	podem	ser	de	três	tipos	distintos:	descontos	seguidos	de	outros	descontos;	acréscimos	
seguidos	de	outros	acréscimos;	e,	descontos	seguidos	de	acréscimos	ou	os	acréscimos	se-
guidos	de	descontos.
Juros	são	a	compensação	financeira	ou	uma	remuneração	a	mais	que	alguém	deve	receber	
por	ter	emprestado	dinheiro	a	outra	pessoa.	Aqui	nos	foram	apresentados	os	juros	simples	
e	os	juros	compostos.
Devemos	aplicar	esse	tipo	de	juros	nas	transações	financeiras	de	curto	prazo.
É	aquele	 juro	de	cada	 intervalo	de	tem	po	que	é	calculado	a	partir	do	saldo	no	 início	de	
correspon	dente	intervalo.	Ou	seja,	o	juro	de	cada	intervalo	de	tempo	que	é	incorporado	
ao	capital	inicial	e	passa	a	render	juros	também.	O	mais	comumente	conhecido	juros	sobre	
juros.
Os	termos	são:	capital,	montante,	taxa	de	juros	e	tempo.
69CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 69 20/06/2018 18:04:33
Os	parques	eólicos	até	podem	conviver	com	ou	tras	atividades,	como	a	agropecuária,	mas	ocu-
pam	muito	espaço:	em	média,	são	100	km²	para	cada	gi gawatt	gerado.	E	só	podem	ser	instalados	
em	locais	isolados.	Eles	não	conseguem	aproveitar	os	ventos	das	cidades,	que	são	próximos	à	su-
perfície,	fracos	e	turbulentos.
Se	ventar	muito	no	seu	país,	os	parques	eólicos	ainda	são	a	forma	mais	barata	de	obtenção	de	
ener	gia.	Os	custos	finais	variam	entre	US$	84,00	e	US$	142,00	por	hora	de	megawatt	produzido.	Não	
é	ne	cessário	muita	manutenção:	um	aerogerador	dura,	em	média,	15	anos,	e	o	dispositivo	eletrôni-
co	aclopado	a	ele,	mais	de	10	anos.
Solar
Também	surgiu	em	1887,	mas	de	modo	ainda	muito	rústico	—	convertia	apenas	1%	da	energia	do	
sol.	Só	na	década	de	1950	é	que	foi	descoberta	a	célula	fotovoltai	ca,	que	aumentou	essa	taxa	para	
15%,	permitindo	o	uso	em	placas,	por	exemplo.	No	entanto,	devido	aos	altos	preços,	só	nos	anos	
2000	ela	se	tornou	mais	comum.
Produz,	atualmente,	apenas	40	gigawatts	anuais	no	mundo.	Mas	 isso	pode	mudar;	graças	ao	
bara	teamentodas	tecnologias	dos	painéis	nos	últimos	5	anos,	seu	uso	cresceu	49%,	enquanto	o	da	
energia	eólica	aumentou	apenas	27%.	O	Brasil	produz	20	me gawatts	de	energia	solar	por	ano	—	
suficiente	para	abastecer	cerca	de	12	mil	residências.
Os	painéis	fotovoltaicos	não	conso	mem	combustível,	não	têm	partes	móveis	e	não	geram	ne-
nhum	tipo	de	emissão	ou	ruído.	Eles	são	feitos	de	silício,	boro	e	fósforo,	materiais	atóxicos,	inofensi-
vos	ao	ambiente	e	abundantes	(o	silício	é	o	segundo	componente	mais	comum	na	crosta	terrestre).
Os	painéis	que	absorvem	energia	solar	fazem	uso	mais	inteligente	do	espaço.	Para	produzir	1	
gigawatt,	é	necessário	uma	área	de	10	a	50	m².	Além	disso,	é	possível	implantá-los	em	áreas	urba-
nas,	como	em	te	lhados	de	casas	e	edifícios.	E	há	uso	particular:	você	pode	colocar	um	painel	para	
alimentar	só	sua	resi	dência,	por	exemplo.
É	bem	mais	em	conta	que	fontes	de	energia	tra	dicionais,	como	a	hidrelétrica	e	a	nuclear.	Mas	
não	é	mais	barata	que	a	eólica;	cada	hora	de	megawatt	produzido	custa,	em	média,	entre	US$	132	e	
US$	298.	A	vantagem	está	na	manutenção:	uma	célula	fotovol	taica	costuma	ter	garantia	de	20	anos	
e	vida	útil	de	cerca	de	30	anos.
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69
Diálogo com o professor
Aproveite	 para	 discutir	 a	 ideia	 de	
expressões	 básicas	 usuais	 que	 com-
põem	a	matemática	financeira	e	a	edu-
cação	 financeira,	 para	 isso,	 pode-se	
solicitar	 que	 seus	 estudantes	 pesqui-
sem	sobre	os	assuntos	da	leitura	com-
plementar	anterior.
Leitura complementar
Análise de despesas:	processo	que	
consiste	em	levantar	as	despesas	e,	em	
seguida,	estudá-las,	para	verificar	se	o	
dinheiro	 está	 realmente	 sendo	 gasto	
com	o	que	se	pretendia	gastá-lo.	
Apólice:	documento	que	formaliza	
o	 contrato	de	 seguro,	 estabelecendo	
os	direitos	e	as	obrigações	da	socieda-
de	seguradora	e	do	segurado,	e	discri-
minando	as	garantias	contratadas.	
Comportamento gastador:	refere-
-se	aos	hábitos	financeiros	de	pessoas	
que	tendem	a	consumir	excessivamen-
te,	dando	pouca	atenção	à	poupança.
Comportamento poupador:	 refe-
re-se	 aos	 hábitos	 financeiros	 pessoas	
que	tendem	a	poupar	dinheiro,	repri-
mindo	o	consumo.	
Consumidor:	quem	compra	ou	uti-
liza	 produto	 ou	 serviço,	 bem	 como	
aquele	 que	 está	 exposto	 às	 práticas	
comerciais.
Conta de poupança:	 A	 conta	 de	
depósitos	de	poupança,	popularmen-
te	 conhecida	 como	 conta	 poupança,	
conta	de	depósito,	ou	ainda	caderne-
ta	de	poupança,	 é	 um	 tipo	de	 inves-
timento	criado	com	o	objetivo	de	es-
timular	 a	 economia	 popular.	 É	 muito	
tradicional.	 Assim,	 para	 abrir	 e	 man-
ter	 uma	 conta	 de	 poupança,	 o	 clien-
te	não	paga	 tarifas,	não	paga	 impos-
to	de	renda	sobre	o	dinheiro	aplicado	
e	ainda	pode	depositar	pequenos	va-
lores,	que	passam	a	gerar	rendimentos	
mensalmente.	Se	um	valor	depositado	
na	 conta	 de	 poupança	 não	 for	 man-
tido	ou	aplicado	por	pelo	menos	um	
mês,	isto	é,	se	for	resgatado	antes,	não	
ocorrerá	remuneração	desse	dinheiro.
Déficit:	 em	 sentido	 econômico	 ou	
financeiro,	é	a	diferença	negativa	entre	
dois	valores	representativos	de	receitas	
e	despesas.	“No	caso	do	orçamento	fa-
miliar,	 se	a	despesa	é	maior	que	a	 re-
ceita,	a	família	está	em	déficit.”	O	seu	
oposto	 é	 o	 superávit.	 Pode	 se	 referir	
também	à	balança	 comercial	 ou	 às	 fi-
nanças	públicas,	entre	outras	situações.
Fonte:	http://www.vidaedinheiro.gov.br/
category/glossario/.	Adaptado.
Anotações
Aprimorando conceitos
I.	Defina	o	que	são	porcentagens.
II.	Quais	os	tipos	existentes	de	percentuais	sucessivos?
III.	Defina	o	que	são	juros	e	quais	os	tipos	apresentados	aqui	nesse	capítulo.
IV.	Geralmente,	quando	deve-se	fazer	aplicação	de	juros	simples?
V.	O	que	são	juros	compostos?
VI.	Quais	os	termos	que	necessitamos	conhecer	para	que	possamos	solucionar	problemas	
envolvendo	juros	simples	e	compostos?
A	expressão	porcentagem	ou	percentagem	tem	origem	no	 latim	per centium,	e	significa	
“por	cem”	ou	ainda	“a	cada	centena”.	Podemos	ainda	definir	a	porcentagem	como	sendo	
uma	fração	de	denominador	sempre	igual	a	100	e	usamos	o	símbolo	%	(por	cento)	para	re-
presentar	porcentagens.
Eles	podem	ser	de	três	tipos	distintos:	descontos	seguidos	de	outros	descontos;	acréscimos	
seguidos	de	outros	acréscimos;	e,	descontos	seguidos	de	acréscimos	ou	os	acréscimos	se-
guidos	de	descontos.
Juros	são	a	compensação	financeira	ou	uma	remuneração	a	mais	que	alguém	deve	receber	
por	ter	emprestado	dinheiro	a	outra	pessoa.	Aqui	nos	foram	apresentados	os	juros	simples	
e	os	juros	compostos.
Devemos	aplicar	esse	tipo	de	juros	nas	transações	financeiras	de	curto	prazo.
É	aquele	 juro	de	cada	 intervalo	de	tem	po	que	é	calculado	a	partir	do	saldo	no	 início	de	
correspon	dente	intervalo.	Ou	seja,	o	juro	de	cada	intervalo	de	tempo	que	é	incorporado	
ao	capital	inicial	e	passa	a	render	juros	também.	O	mais	comumente	conhecido	juros	sobre	
juros.
Os	termos	são:	capital,	montante,	taxa	de	juros	e	tempo.
69CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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Os	parques	eólicos	até	podem	conviver	com	ou	tras	atividades,	como	a	agropecuária,	mas	ocu-
pam	muito	espaço:	em	média,	são	100	km²	para	cada	gi gawatt	gerado.	E	só	podem	ser	instalados	
em	locais	isolados.	Eles	não	conseguem	aproveitar	os	ventos	das	cidades,	que	são	próximos	à	su-
perfície,	fracos	e	turbulentos.
Se	ventar	muito	no	seu	país,	os	parques	eólicos	ainda	são	a	forma	mais	barata	de	obtenção	de	
ener	gia.	Os	custos	finais	variam	entre	US$	84,00	e	US$	142,00	por	hora	de	megawatt	produzido.	Não	
é	ne	cessário	muita	manutenção:	um	aerogerador	dura,	em	média,	15	anos,	e	o	dispositivo	eletrôni-
co	aclopado	a	ele,	mais	de	10	anos.
Solar
Também	surgiu	em	1887,	mas	de	modo	ainda	muito	rústico	—	convertia	apenas	1%	da	energia	do	
sol.	Só	na	década	de	1950	é	que	foi	descoberta	a	célula	fotovoltai	ca,	que	aumentou	essa	taxa	para	
15%,	permitindo	o	uso	em	placas,	por	exemplo.	No	entanto,	devido	aos	altos	preços,	só	nos	anos	
2000	ela	se	tornou	mais	comum.
Produz,	atualmente,	apenas	40	gigawatts	anuais	no	mundo.	Mas	 isso	pode	mudar;	graças	ao	
bara	teamento	das	tecnologias	dos	painéis	nos	últimos	5	anos,	seu	uso	cresceu	49%,	enquanto	o	da	
energia	eólica	aumentou	apenas	27%.	O	Brasil	produz	20	me gawatts	de	energia	solar	por	ano	—	
suficiente	para	abastecer	cerca	de	12	mil	residências.
Os	painéis	fotovoltaicos	não	conso	mem	combustível,	não	têm	partes	móveis	e	não	geram	ne-
nhum	tipo	de	emissão	ou	ruído.	Eles	são	feitos	de	silício,	boro	e	fósforo,	materiais	atóxicos,	inofensi-
vos	ao	ambiente	e	abundantes	(o	silício	é	o	segundo	componente	mais	comum	na	crosta	terrestre).
Os	painéis	que	absorvem	energia	solar	fazem	uso	mais	inteligente	do	espaço.	Para	produzir	1	
gigawatt,	é	necessário	uma	área	de	10	a	50	m².	Além	disso,	é	possível	implantá-los	em	áreas	urba-
nas,	como	em	te	lhados	de	casas	e	edifícios.	E	há	uso	particular:	você	pode	colocar	um	painel	para	
alimentar	só	sua	resi	dência,	por	exemplo.
É	bem	mais	em	conta	que	fontes	de	energia	tra	dicionais,	como	a	hidrelétrica	e	a	nuclear.	Mas	
não	é	mais	barata	que	a	eólica;	cada	hora	de	megawatt	produzido	custa,	em	média,	entre	US$	132	e	
US$	298.	A	vantagem	está	na	manutenção:	uma	célula	fotovol	taica	costuma	ter	garantia	de	20	anos	
e	vida	útil	de	cerca	de	30	anos.
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70
Diálogo com o professor
Aproveite	 a	 questão	 7	 para	 fazer	
uma	 interdisciplinaridade	 com	 Histó-
ria	 e	 apresente	 a	 leitura	 complemen-
tar	a	seguir.
Leitura complementar
Como nascem as leis
A	elaboração	de	leis	é	fruto	de	um	
conjunto	 de	 procedimentos	 previa-mente	estabelecidos	de	que	se	servem	
os	parlamentares	em	sua	função	de	le-
gislar	e	fiscalizar.	Esse	trâmite	de	ações	
é	denominado	processo legislativo.
A	norma	que	orienta	o	processo	le-
gislativo	na	Câmara	dos	Deputados	é	
o	Regimento Interno.
O  processo	 legislativo	 tem	 início	
por	meio	da	apresentação	das	seguin-
tes	proposições:	projeto	de	lei,	proje-
to	 de	 resolução,	 projeto	 de	 decreto	
legislativo,	 medida	 provisória	 e	 pro-
posta	de	emenda	à	Constituição.
A	 iniciativa	 das	 leis	 pode	 ser	 dos	
parlamentares,	 do	 Presidente	 da	 Re-
pública,	do	Supremo	Tribunal	Federal,	
dos	Tribunais	Superiores,	do	Procura-
dor	 Geral	 da	 República	 e	 de	 grupos	
organizados	da	sociedade.
Em	 ambas	 as	 Casas	 do	 Congres-
so	 Nacional,	 as	 proposições	 passam	
por	diversas	etapas	de	análise	e	vota-
ção.	A	análise	da	constitucionalidade,	
da admissibilidade	e	do	mérito	é	feita	
nas	Comissões.	Já	no	Plenário,	órgão	
máximo	das	decisões	da	Câmara	dos	
Deputados,	 são	deliberadas	as	maté-
rias	 que	 não	 tenham	 sido	 decididas	
conclusivamente	nas	Comissões.	Nes-
se	caso,	discutido	e	votado o	projeto	
de	lei	nas	Comissões,	é	dispensada	a	
sua	votação	pelo	Plenário,	excetuados	
os	 casos	 em	 que	 houver	 recurso	 de	
1/10	dos	membros	da	Casa.
Após	a	votação	do	Congresso	Na-
cional,	há	ainda	a	deliberação	execu-
tiva.	 Isto	 é,	 o	 Presidente	 da	 Repúbli-
ca	 pode	 sancionar	 (aprovar)	 ou	 vetar	
(recusar)	 a	 proposição.	 No	 primeiro	
caso,	 o	 projeto	 torna-se	 lei.	 Em	 caso	
de	veto,	as	razões	que	o	fundamentam	
são	encaminhadas	ao	Congresso	Na-
cional, que	mantém	ou rejeita	o	veto.
Se	o	projeto	for	sancionado,	o	Pre-
sidente	da	República	 tem o	prazo	de	
48	horas	para	ordenar	a	publicação	da	
lei	no	Diário	Oficial	da	União.
Fonte:	http://www2.camara.leg.br/a-camara/
conheca/como-nascem-as-leis.
Anotações
9. (Vunesp)	Em	uma	loja,	o	preço	do	produto	A	
teve	um	acréscimo	de	5%,	e	o	preço	do	produto	
B teve	um	desconto	de	20%,	com	isso	os	dois	
produtos	passaram	a	ter	o	mesmo	preço.	Se	o	
preço	do	produto	A,	após	o	acréscimo,	passou	
a	 ser	de	R$	84,00,	a	diferença	entre	os	preços	
desses	dois	produtos,	antes	dos	reajustes,	era:
a. 	 	R$	21,00.
b. 	X 	R$	25,00.
c. 	 	R$	27,00.
d. 	 	R$	30,00.
e. 	 	R$	32,00.
10. Carlos	aplicou	R$	1.000,00	a	juros	compos-
tos	de	2%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	mon-
tante	que	ele	arrecadou	no	final	do	trimestre?
R$	1.061,20.
11.	(Vunesp) O	preço	de	um	medicamento	em	
uma	farmácia	é	R$	60,00,	mas	com	desconto	ele	
é	vendido,	à	vista,	por	R$	45,00.	Nesse	caso,	o	
percentual	de	desconto,	à	vista,	desse	medica-
mento,	é:
a. 	 	5%.
b. 	 	10%.
c. 	 	15%.
d. 	 	20%.
e. 	X 	25%.
12.	(Vunesp) Em	uma	reunião	familiar	estão	pre-
sentes,	ao	todo,	19	homens	e	61	mulheres.	Em	
um	 determinado	 momento,	 deixou	 a	 reunião	
um	certo	número	n	de	mulheres	e	chegou	um	
mesmo	número	n	de	homens,	ficando	a	reunião	
com	45%	de	homens	e	55%	de	mulheres.	Esse	
número	n	é	igual	a:
a. 	 	18.
b. 	 	19.
c. 	 X 	17.
d. 	 	20.
e. 	 	21.
14.	(FGV) Joana	foi	à	loja	de	roupas	para	comprar	
peças	novas	do	uniforme	da	escola	do	seu	filho.	
Uma	bermuda	custava	R$	35,00	e	uma	camise-
ta	com	o	logotipo	do	colégio	custava	R$	20,00.	
Joana	comprou	uma	bermuda	e	duas	camisetas	
e,	por	ter	comprado	as	três	peças	juntas,	ganhou	
um	desconto	e	pagou	o	total	de	R$	66,00	pelas	
três	peças.	O	desconto	que	Joana	ganhou	foi	de:
a. 	 	8%.
b. 	 	9%.
c. 	 	10%.
d. 	X 	12%.
e. 	 	15%.
15.	 (Vunesp) Num	vestibulinho	para	curso	téc-
nico,	em	2014,	2.625	candidatos	inscreveram-se	
para	 um	 determinado	 curso,	 apontando	 para	
um	crescimento	de	5%	em	relação	ao	número	
de	inscritos	no	ano	anterior	para	o	mesmo	cur-
so	e	na	mesma	instituição.	Portanto,	em	2013,	o	
número	de	candidatos	inscritos	para	o	vestibuli-
nho	desse	curso	técnico	havia	sido:
a. 	 	2.475.
b. 	 	2.600.
c. 	 	2.521.
d. 	 	2.450.
e. 	X 	2.500.
16.	 (Cesgranrio)	 Em	 um	 supermercado,	 uma	
embalagem	 com	 12	 picolés	 custa	 R$	 21,60	 e	
cada	picolé,	vendido	separadamente,	custa	R$	
2,40. 	Ao	optar	pela	compra	da	embalagem,	o	
cliente	recebe	um	desconto,	em	relação	ao	pre-
ço	de	venda	por	unidade,	de:
a. 	 	15%.
b. 	 	20%.
c. 	 X 	25%.
d. 	 	30%.
e. 	 	60%.
13.	 (FCC)	Dois	amigos	fizeram	provas	em	con-
cursos	diferentes.	Mário	acertou	42	das	60	ques-
tões	do	concurso	que	prestou,	e	Lúcio	acertou	
64	das	80	questões	de	seu	concurso.	Para	supe-
rar	 o	 resultado	de	 Lúcio	 em	5	pontos	percen-
tuais,	o	número	de	questões	que	Mário	deveria	
ter	acertado,	além	das	42	que	acertou,	é	igual	a:
a. 	 	10.
b. 	 	7.
c. 	 X 	9.
d. 	 	3.
e. 	 	15.
71CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 71 20/06/2018 18:04:33
Praticando mais
1. (Saresp) De	um	total	de	40	pessoas,	verifica-
-se	que	25%	delas	são	engenheiros	e	50%	são	
advogados.	Desse	total,	quantos	não	são	nem	
engenheiros	e	nem	advogados?
a. 	 	4.													
b. 	 	8.	 									
c. 	 X 	10.																
d. 	 	24.
2. (SAEP) Num	jogo	de	futebol,	compareceram	
20.538	 torcedores	 nas	 arquibancadas,	 12.100	
nas	 cadeiras	 numeradas	 e	 32.070	 nas	 gerais.	
Nesse	 jogo,	 apenas	 20%	 dos	 torcedores	 que	
compareceram	 ao	 estádio,	 torciam	 pelo	 time	
que	venceu	a	partida.	Qual	é	o	número	aproxi-
mado	de	torcedores	que	viram	seu	time	vencer?
a. 	 	10.000.
b. 	X 	13.000.
c. 	 	16.000.
d. 	 	19.000.
3. (SAEB)	Em	uma	cidade	em	que	as	passagens	
de	ônibus	custavam	R$	1,20,	saiu	em	um	jornal	a	
seguinte	manchete:
“Novo	prefeito	reajusta	o	preço	das	passagens	
de	ônibus	em	25%	no	próximo	mês”.
Qual	será	o	novo	valor	das	passagens?
a. 	 	R$	1,23.
b. 	 	R$	1,25.
c. 	 	R$	1,45.
d. 	X 	R$	1,50.
5. (UFRJ)	Uma	aplicação	de	R$	30.000,00	a	uma	
taxa	mensal	de	4%	no	regime	de	capitalização	
composta,	 ao	 final	 de	 um	bimestre,	 gera	 um	
capital	acumulado	de: 
a. 	 	R$	32.400,00. 
b. 	 	R$	31.827,00.
c. 	 X 	R$	32.448,00.
d. 	 	R$	33.120,26.
e. 	 	R$	33.200,14.
6. Rita	comprou	um	celular	cujo	preço	à	vista	é	
R$	940,00,	pagando	40%	de	entrada	e	o	restante	
após	30	dias	em	uma	única	parcela	de	R$	633,60.	
Qual	a	taxa	de	juros,	ao	mês,	cobrada	pela	loja?	
Considere	um	mês	composto	por	30	dias.
A	taxa	de	juros	é	de	aproximadamente	7%	a.m.
7. (Vunesp)	Para	ser	aprovado,	certo	projeto	de	
lei	 precisa	 que	dos	 300	 parlamentares,	 no	mí-
nimo	 51%	 votem	 sim.	No	dia	 da	 votação,	 150	
parlamentares	votaram	sim.	Nesse	caso,
a. 	 	faltaram	apenas	2	votos	para	o	projeto	ser	
aprovado.
b. 	X 	 faltaram	 apenas	 3	 votos	 para	 o	 projeto	
ser	aprovado.
c. 	 	o	projeto	foi	aprovado	com	3	votos	a	mais	
do	que	o	mínimo	necessário.
d. 	 	o	projeto	foi	aprovado	com	5	votos	a	mais	
do	que	o	mínimo	necessário.
e. 	 	o	projeto	 foi	aprovado	com	exatamente	
51%	de	votos	sim.
8. (Vunesp) Num	 balancete	 de	 uma	 empresa	
consta	que	certo	capital	foi	aplicado	a	uma	taxa	
de	30%	ao	ano	durante	8	meses,	rendendo	juros	
simples	no	valor	de	R$	192,00.	O	capital	aplica-
do	foi	de:
a. 	 	R$	288,00.
b. 	 	R$	880,00.
c. 	 X 	R$	960,00.
d. 	 	R$	2.880,00.
4. (Esaf)	Um	capital	de	R$	80,00	aplicado	a	juros	
simples	à	taxa	de	2,4%	a.m.	atinge,	em	45	dias,	
um	montante,	em	reais,	de:
a. 	 	R$	81,92.
b. 	X 	R$	82,88.
c. 	 	R$	83,60.
d. 	 	R$	84,80.
e. 	 	R$	88,00.
70 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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71
Diálogo com o professor
A	 compensação	 em	dinheiro	 pelo	
empréstimo	de	um	capital	 financeiro,	
a	 uma	 taxa	 combinada,	 por	 um	 pra-
zo	 determinado,	 é	 chamada	 de	 juro 
composto,	 quando	 produzida	 pelo	
capital	 inicial	 e	 pelos	 respectivos	 ju-
ros	que	a	ele	 são	 incorporados	no	fi-
nal	de	cada	período.	Para	o	cálculo	do	
juro	 composto,	 utilizamos	 a	 fórmula:	
C =C (1+i)n
n⋅ .	 Lembre-se	de	que	de-
vemos	dar	prioridade	aos	cálculos	que	
envolvem	potenciação,	assim,	deve-se	
calcular	primeiro	xy,	ou	yx	e,	com	o	re-
sultado	dessa	operação,	multiplicare-
mos	pelo	capital.
Anotações
9.(Vunesp)	Em	uma	loja,	o	preço	do	produto	A	
teve	um	acréscimo	de	5%,	e	o	preço	do	produto	
B teve	um	desconto	de	20%,	com	isso	os	dois	
produtos	passaram	a	ter	o	mesmo	preço.	Se	o	
preço	do	produto	A,	após	o	acréscimo,	passou	
a	 ser	de	R$	84,00,	a	diferença	entre	os	preços	
desses	dois	produtos,	antes	dos	reajustes,	era:
a. 	 	R$	21,00.
b. 	X 	R$	25,00.
c. 	 	R$	27,00.
d. 	 	R$	30,00.
e. 	 	R$	32,00.
10. Carlos	aplicou	R$	1.000,00	a	juros	compos-
tos	de	2%	ao	mês	durante	3	meses.	Qual	o	mon-
tante	que	ele	arrecadou	no	final	do	trimestre?
R$	1.061,20.
11.	(Vunesp) O	preço	de	um	medicamento	em	
uma	farmácia	é	R$	60,00,	mas	com	desconto	ele	
é	vendido,	à	vista,	por	R$	45,00.	Nesse	caso,	o	
percentual	de	desconto,	à	vista,	desse	medica-
mento,	é:
a. 	 	5%.
b. 	 	10%.
c. 	 	15%.
d. 	 	20%.
e. 	X 	25%.
12.	(Vunesp) Em	uma	reunião	familiar	estão	pre-
sentes,	ao	todo,	19	homens	e	61	mulheres.	Em	
um	 determinado	 momento,	 deixou	 a	 reunião	
um	certo	número	n	de	mulheres	e	chegou	um	
mesmo	número	n	de	homens,	ficando	a	reunião	
com	45%	de	homens	e	55%	de	mulheres.	Esse	
número	n	é	igual	a:
a. 	 	18.
b. 	 	19.
c. 	 X 	17.
d. 	 	20.
e. 	 	21.
14.	(FGV) Joana	foi	à	loja	de	roupas	para	comprar	
peças	novas	do	uniforme	da	escola	do	seu	filho.	
Uma	bermuda	custava	R$	35,00	e	uma	camise-
ta	com	o	logotipo	do	colégio	custava	R$	20,00.	
Joana	comprou	uma	bermuda	e	duas	camisetas	
e,	por	ter	comprado	as	três	peças	juntas,	ganhou	
um	desconto	e	pagou	o	total	de	R$	66,00	pelas	
três	peças.	O	desconto	que	Joana	ganhou	foi	de:
a. 	 	8%.
b. 	 	9%.
c. 	 	10%.
d. 	X 	12%.
e. 	 	15%.
15.	 (Vunesp) Num	vestibulinho	para	curso	téc-
nico,	em	2014,	2.625	candidatos	inscreveram-se	
para	 um	 determinado	 curso,	 apontando	 para	
um	crescimento	de	5%	em	relação	ao	número	
de	inscritos	no	ano	anterior	para	o	mesmo	cur-
so	e	na	mesma	instituição.	Portanto,	em	2013,	o	
número	de	candidatos	inscritos	para	o	vestibuli-
nho	desse	curso	técnico	havia	sido:
a. 	 	2.475.
b. 	 	2.600.
c. 	 	2.521.
d. 	 	2.450.
e. 	X 	2.500.
16.	 (Cesgranrio)	 Em	 um	 supermercado,	 uma	
embalagem	 com	 12	 picolés	 custa	 R$	 21,60	 e	
cada	picolé,	vendido	separadamente,	custa	R$	
2,40. 	Ao	optar	pela	compra	da	embalagem,	o	
cliente	recebe	um	desconto,	em	relação	ao	pre-
ço	de	venda	por	unidade,	de:
a. 	 	15%.
b. 	 	20%.
c. 	 X 	25%.
d. 	 	30%.
e. 	 	60%.
13.	 (FCC)	Dois	amigos	fizeram	provas	em	con-
cursos	diferentes.	Mário	acertou	42	das	60	ques-
tões	do	concurso	que	prestou,	e	Lúcio	acertou	
64	das	80	questões	de	seu	concurso.	Para	supe-
rar	 o	 resultado	de	 Lúcio	 em	5	pontos	percen-
tuais,	o	número	de	questões	que	Mário	deveria	
ter	acertado,	além	das	42	que	acertou,	é	igual	a:
a. 	 	10.
b. 	 	7.
c. 	 X 	9.
d. 	 	3.
e. 	 	15.
71CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 71 20/06/2018 18:04:33
Praticando mais
1. (Saresp) De	um	total	de	40	pessoas,	verifica-
-se	que	25%	delas	são	engenheiros	e	50%	são	
advogados.	Desse	total,	quantos	não	são	nem	
engenheiros	e	nem	advogados?
a. 	 	4.													
b. 	 	8.	 									
c. 	 X 	10.																
d. 	 	24.
2. (SAEP) Num	jogo	de	futebol,	compareceram	
20.538	 torcedores	 nas	 arquibancadas,	 12.100	
nas	 cadeiras	 numeradas	 e	 32.070	 nas	 gerais.	
Nesse	 jogo,	 apenas	 20%	 dos	 torcedores	 que	
compareceram	 ao	 estádio,	 torciam	 pelo	 time	
que	venceu	a	partida.	Qual	é	o	número	aproxi-
mado	de	torcedores	que	viram	seu	time	vencer?
a. 	 	10.000.
b. 	X 	13.000.
c. 	 	16.000.
d. 	 	19.000.
3. (SAEB)	Em	uma	cidade	em	que	as	passagens	
de	ônibus	custavam	R$	1,20,	saiu	em	um	jornal	a	
seguinte	manchete:
“Novo	prefeito	reajusta	o	preço	das	passagens	
de	ônibus	em	25%	no	próximo	mês”.
Qual	será	o	novo	valor	das	passagens?
a. 	 	R$	1,23.
b. 	 	R$	1,25.
c. 	 	R$	1,45.
d. 	X 	R$	1,50.
5. (UFRJ)	Uma	aplicação	de	R$	30.000,00	a	uma	
taxa	mensal	de	4%	no	regime	de	capitalização	
composta,	 ao	 final	 de	 um	bimestre,	 gera	 um	
capital	acumulado	de: 
a. 	 	R$	32.400,00. 
b. 	 	R$	31.827,00.
c. 	 X 	R$	32.448,00.
d. 	 	R$	33.120,26.
e. 	 	R$	33.200,14.
6. Rita	comprou	um	celular	cujo	preço	à	vista	é	
R$	940,00,	pagando	40%	de	entrada	e	o	restante	
após	30	dias	em	uma	única	parcela	de	R$	633,60.	
Qual	a	taxa	de	juros,	ao	mês,	cobrada	pela	loja?	
Considere	um	mês	composto	por	30	dias.
A	taxa	de	juros	é	de	aproximadamente	7%	a.m.
7. (Vunesp)	Para	ser	aprovado,	certo	projeto	de	
lei	 precisa	 que	dos	 300	 parlamentares,	 no	mí-
nimo	 51%	 votem	 sim.	No	dia	 da	 votação,	 150	
parlamentares	votaram	sim.	Nesse	caso,
a. 	 	faltaram	apenas	2	votos	para	o	projeto	ser	
aprovado.
b. 	X 	 faltaram	 apenas	 3	 votos	 para	 o	 projeto	
ser	aprovado.
c. 	 	o	projeto	foi	aprovado	com	3	votos	a	mais	
do	que	o	mínimo	necessário.
d. 	 	o	projeto	foi	aprovado	com	5	votos	a	mais	
do	que	o	mínimo	necessário.
e. 	 	o	projeto	 foi	aprovado	com	exatamente	
51%	de	votos	sim.
8. (Vunesp) Num	 balancete	 de	 uma	 empresa	
consta	que	certo	capital	foi	aplicado	a	uma	taxa	
de	30%	ao	ano	durante	8	meses,	rendendo	juros	
simples	no	valor	de	R$	192,00.	O	capital	aplica-
do	foi	de:
a. 	 	R$	288,00.
b. 	 	R$	880,00.
c. 	 X 	R$	960,00.
d. 	 	R$	2.880,00.
4. (Esaf)	Um	capital	de	R$	80,00	aplicado	a	juros	
simples	à	taxa	de	2,4%	a.m.	atinge,	em	45	dias,	
um	montante,	em	reais,	de:
a. 	 	R$	81,92.
b. 	X 	R$	82,88.
c. 	 	R$	83,60.
d. 	 	R$	84,80.
e. 	 	R$	88,00.
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72
Leitura complementar
Como o desperdício de 
alimentos afeta o Brasil e 
o seu bolso
Todos	os	anos,	cerca	de 1,3	bilhão	
de	 toneladas  de	 alimentos	 é	 desper-
diçada	ou	perdida	em	todo	o	mundo.	
Ou	seja,	cerca	de	1/3	de	tudo	que	pro-
duzimos acaba	na	lata	do	lixo.
No	 Brasil,	 em	 2016,	 só	 os	 super-
mercados	 perderam	 em	 faturamen-
to	R$	7,11	bilhões	em	alimentos	des-
cartados,	de	acordo	com	a Associação	
Brasileira	 de	 Supermercados	 (Abras).	
Estima-se,	 no	 entanto,	 que	 em	 toda	
a	 cadeia	 produtiva	 (campo,	 indústria,	
varejo	e	o	consumidor)	este	valor	seja	
ainda	maior.
Anualmente,	 o	 País	 descarta	 cer-
ca	de 41	mil	 toneladas	de	alimentos,	
o	que	o	coloca	entre	os	10	principais	
países	que	mais	desperdiçam	comida,	
de	acordo	com	Viviane	Romeiro,	coor-
denadora	de	Mudanças	Climáticas	do	
World	Resources	 Institute	 (WRI)	Brasil	
à Agência	Brasil.
Entre	 os	 produtos,	 frutas,	 hortali-
ças,	 raízes	 e	 tubérculos	 são	 os	 mais	
descartados:	quase	metade	do	que	é	
colhido	é	jogado	fora,	segundo	dados	
da	 Organização	 das	 Nações	 Unidas	
para	Agricultura	e	Alimentação	(FAO).	
Entre	cereais,	o	desperdício	é	de	30%.	
Entre	 os	 pescados,	 carne	 de	 gado	 e	
produtos	 lácteos,	o	descarte	chega	a	
ser	de	20%.
Os	 dados	 dimensionam	 o	 tama-
nho	 do	 problema	 que	 o	 mundo	 e	 o	
Brasil	 enfrentam,	 mas	 o	 desperdí-
cio	 vai	 além.	O	descarte	 permeia	 to-
dos	os	pontos	da	cadeia	—	ele	passa	
pelo	campo,	indústria,	logística,	varejo	
e	termina	no	consumidor.	[...]
“O	maior	 problema	no	Brasil	 está	
na	logística	de	armazenagem	e	trans-
porte”,	 disse	 o	 presidente	 da	 Socie-
dade	 Nacional	 da	 Agricultura	 (SNA),	
Antonio	Alvarenga.	“Nossa	infraestru-
tura	de	transporte	é	lastimável	e	acar-
reta	grandes	perdas	de	produtos,	com	
elevados	prejuízos	para	os	produtores.	
Nossa	 capacidade	 de	 armazenagem	
também	 é	 deficiente,	 sobretudo	 nas	
unidades	de	produção.”	[...]
Já	no	 campo,	 as	 condições	 climá-
ticas,	 como	 chuvas	 e	 geadas,	 preju-
dicam	 os	 processos	 de	 colheita.	 “Os	
médios	e	grandes	produtores	 já	utili-
zam	maquinário	moderno	e	eficiente,	
ou	seja,	não	há	grande	perda	de	pro-
dutos”,	acrescenta	Alvarenga.
A	 produção,	 no	 entanto,	 não	 é	 a	
única	 “vilã”.	 “O	 consumidor	 é	 mui-
to	exigente	em	relação	à	estética	dos	
alimentos.	 Ele	 rejeita	 aquela	 fruta	 ou	
legume	 feio,	 que	 está	 um	 pouco	 es-
curinho,	mas	pode	ser	consumido	nor-
malmente”,	disse	Alcione	Silva,	do	co-mitê	 da	 Rede	 Save	 Food	 Brasil.	 Isso	
não	só	acarreta	no	descarte	após	ava-
liação	 do	 consumidor,	 mas	 também	
antes	mesmo	 de	 chegar	 até	 ele.	 Afi-
nal,	 se	 o	 empresário	 já	 sabe	 que	 es-
tes	produtos	não	serão	vendidos,	é	só	
ele	repassar	tal	exigência	aos	produto-
res,	para	que	essa	“cadeia	do	desper-
dício”	tenha	um	fim.
24.	(Vunesp)	O	dono	de	uma	loja	comprou	500	
latas	pintadas	e	constatou	que	5%	delas	apre-
sentavam	 arranhões	 na	 pintura,	 e	 8%	 das	 de-
mais	latas	apresentavam	pequenos	amassados.
Sabendo	que	não	havia	pequenos	amassados	e	
arranhões	em	uma	mesma	lata,	então,	em	rela-
ção	ao	número	total	de	latas	compradas,	a	por-
26.	(Cesgranrio) Durante	uma	semana,	todos	os	
produtos	de	uma	 loja	de	departamento	 foram	
remarcados	com	30%	de	desconto	sobre	os	pre-
ços	cobrados	na	semana	anterior.	Durante	essa	
promoção,	um	liquidificador	era	vendido	por	R$	
73,50.	Qual	o	valor,	em	reais,	do	desconto	ofere-
cido	na	compra	desse	liquidificador?
a. 	 	R$	105,00.
b. 	 	R$	95,55.
c. 	 	R$	48,00.
d. 	X 	R$	31,50.
e. 	 	R$	22,05.
25.	(Consulplan)	“Uma	empresa	comercial	apli-
cou	R$	150.000,00	a	 juros	 simples,	 a	 uma	 taxa	
de	12%	ao	semestre.	Após	5	meses,	ela	resgata	
todo	o	montante	e	o	aplica	em	um	outro	inves-
timento	uma	taxa	de	juros	compostos	de	5%	ao	
ano,	por	dois	anos.”	No	final	da	segunda	aplica-
ção,	o	valor	do	montante	é	de:
a. 	 	R$	165.000,00.
b. 	 	R$	168.000,00.
c. 	 	R$	181.812,00.
d. 	X 	R$	181.912,00.
23.	(Enem) O	Brasil	é	o	quarto	produtor	mundial	
de	 alimentos	 e	 é	 também	 um	 dos	 campeões	
mundiais	 de	 desperdício.	 São	 produzidas	 por	
ano,	aproximadamente,	150	milhões	de	tonela-
das	de	alimentos	e,	desse	total,	 2
3
		são	produ-
tos	de	plantio.	Em	relação	ao	que	se	planta,	64%	
são	perdidos	ao	longo	da	cadeia	produtiva	(20%	
perdidos	na	colheita,	8%	no	transporte	e	arma-
zenamento,	15%	na	 indústria	de	processamen-
to,	1%	no	varejo	e	o	restante	no	processamento	
culinário	e	hábitos	alimentares).	
O	desperdício	durante	o	processamento	culiná-
rio	e	hábitos	alimentares,	em	milhão	de	tonela-
da,	é	igual	a:
a. 	 X 	20.
b. 	 	30.
c. 	 	56.
d. 	 	64.
e. 	 	96.
com	chance	de	ganhar	o	campeonato,	pois	am-
bos	possuem	68	pontos	 e	 estão	muito	 à	 fren-
te	dos	outros	 times.	No	entanto,	R	e	S	não	se	
enfrentarão	na	rodada	final.	Os	especialistas	em	
futebol	 arriscam	 as	 seguintes	 probabilidades	
para	os	jogos	da	última	rodada:	R	tem	80%	de	
chance	de	ganhar	e	15%	de	empatar	S	tem	40%	
de	chance	de	ganhar	e	20%	de	empatar.	Segun-
do	as	informações	dos	especialistas	em	futebol,	
qual	é	a	probabilidade	de	o	time	R	ser	o	único	
vencedor	do	campeonato?
a. 	 	32%.
b. 	 	38%.
c. 	 	48%.
d. 	X 	54%.
e. 	 	57%.
centagem	de	latas	sem	pequenos	amassados	e	
sem	arranhões	era,	aproximadamente,	de:
a. 	 	93%.
b. 	 	90%.
c. 	 X 	87%.
d. 	 	84%.
e. 	 	78%.
27.	 (FCC) João	 emprestou	 a	 quantia	 de	 R$	
23.500,00	 a	 seu	 filho	 Roberto.	 Trataram	 que	
Roberto	 pagaria	 juros	 simples	 de	 4%	 ao	 ano.	
Roberto	pagou	 esse	 empréstimo	para	 seu	pai	
após	3	anos.	O	valor	total	dos	juros	pagos	por	
Roberto	foi:
a. 	 	R$	3.410,00.
b. 	X 	R$	2.820,00.
c. 	 	R$	2.640,00.
d. 	 	R$	3.120,00.
e. 	 	R$	1.880,00.
73CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 73 20/06/2018 18:04:34
17.	(Vunesp-Adaptada) Um	produto	foi	vendido	
com	desconto	de	10%	sobre	o	preço	normal	de	
venda.	Se	ele	foi	vendido	por	R$	54,00,	o	preço	
normal	de	venda	desse	produto	era	de:
a. 	 	R$	59,00.
b. 	X 	R$	60,00.
c. 	 	R$	58,00.
d. 	 	R$	59,40.
e. 	 	R$	58,40.
18.	(Cesgranrio) Ao	receber	seu	13o salário,	Fá-
bio	depositou	70%	do	que	recebeu	na	poupan-
ça	e	gastou	o	restante	comprando,	à	vista,	um	
forno	micro-ondas	 e	 um	 fogão.	 A	 razão	 entre	
os	preços	do	micro-ondas	e	do	fogão,	nessa	or-
dem,	é	
2
3
.	A	que	percentual	do	13o  salário	de	
Fábio	corresponde	o	preço	do	fogão?
a. 	 	12%.
b. 	X 	18%.
c. 	 	20%.
d. 	 	28%.
e. 	 	42%.
19.	 (UFF-Adapatada)	Uma	pesquisa	entrevistou	
150	pessoas.
a. Quantas	 pessoas	 responderam	 à	 primeira	
pergunta	sabendo	que	20%	não	responderam	a	
essa	pergunta?
120	pessoas.
b. Dos	que	 responderam	à	primeira	pergunta,	
40%	responderam	afirmativamente.	Que	quan-
tidade	de	 entrevistados	 essa	 porcentagem	 re-
presenta?
60.
21.	(UFGO)	Uma	pessoa	toma	R$	1.000,00	em-
prestado	no	banco,	para	pagar	daqui	a	três	me-
ses.	 Se	o	 regime	de	 capitalização	 for	 de	 juros	
compostos	 e	 a	 taxa	 combinada	 foi	 de	 5%	 ao	
mês,	quanto	essa	pessoa	deverá	pagar	ao	ban-
co	no	final	do	período?
a. 	 	R$	1.150,00.
b. 	X 	R$	1.157,62.
c. 	 	R$	1.550,34.
d. 	 	R$	3.375,00.
20.	 (Enem) A	 energia	 solar	 vai	 abastecer	 par-
te	da	demanda	de	energia	do	campus	de	uma	
universidade	brasileira.	A	instalação	de	painéis	
solares	 na	 área	 dos	 estacionamentos	 e	 na	 co-
bertura	do	hospital	pediátrico	será	aproveitada	
nas	 instalações	universitárias	 e	 também	 ligada	
na	rede	da	companhia	elétrica	distribuidora	de	
energia.	O	projeto	inclui	100	m2 de	painéis	sola-
res	que	ficarão	instalados	nos	estacionamentos,	
produzindo	 energia	 elétrica	 e	 proporcionando	
22.	 (Enem) Em	um	 campeonato	 de	 futebol,	 a	
vitória	vale	3	pontos,	o	empate	1	ponto	e	a	der-
rota	 zero	ponto.	Ganha	o	 campeonato	o	 time	
que	tiver	maior	número	de	pontos.	Em	caso	de	
empate	no	total	de	pontos,	os	times	são	decla-
rados	vencedores.	Os	times	R	e	S	são	os	únicos	
sombra	para	os	carros.	Sobre	o	hospital	pediá-
trico	 serão	 colocados	 aproximadamente	 300	
m2 de	painéis,	sendo	100	m2 para	gerar	energia	
elétrica	utilizada	no	campus,	e	200	m2 para	gera-
ção	de	energia	térmica,	produzindo	aquecimen-
to	de	água	utilizada	nas	 caldeiras	do	hospital.	
Suponha	que	 cada	metro	quadrado	de	painel	
solar	para	energia	elétrica	gere	uma	economia	
de	1	kWh	por	dia	e	cada	metro	quadrado	pro-
duzindo	energia	térmica	permita	economizar	0,7	
kWh	por	dia	para	a	universidade.	Em	uma	 se-
gunda	fase	do	projeto,	será	aumentada	em	75%	
a	área	coberta	pelos	painéis	solares	que	geram	
energia	elétrica.	Nessa	fase	também	deverá	ser	
ampliada	a	área	de	cobertura	com	painéis	para	
geração	de	energia	térmica.
Fonte:	http://agenciabrasil.ebc.com.br.	Acesso	em:	30	out.	
2013	(Adaptado).
Para	se	obter	o	dobro	da	quantidade	de	ener-
gia	economizada	diariamente,	em	relação	à	pri-
meira	fase,	a	área	total	dos	painéis	que	geram	
energia	térmica,	em	metro	quadrado,	deverá	ter	
o	valor	mais	próximo	de:
a. 	 	231.
b. 	 	431.
c. 	 X 	472.
d. 	 	523.
e. 	 	672.
72 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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73
Além	disso,	 a	 cultura	 da	 “fartura”	
brasileira	 também	 agrava	 o	 proble-
ma.	“Temos	a	cultura	da	abundância,	
da	mesa	farta,	e	não	somos	acostuma-
dos	a	calcular	bem	o	que	compramos	
para	 não	 desperdiçar	 nada.	 O	 resul-
tado	é	que	mandamos	muita	 comida	
boa	para	o	lixo”,	afirmou	Silva.
Fonte:	BELLONI,	Luiza.	https://www.
huffpostbrasil.com/2018/04/08/como-o-
desperdicio-de-alimentos-afeta-o-brasil-e-o-
seu-bolso_a_23375621/.	Adaptado.
Anotações
24.	(Vunesp)	O	dono	de	uma	loja	comprou	500	
latas	pintadas	e	constatou	que	5%	delas	apre-
sentavam	 arranhões	 na	 pintura,	 e	 8%	 das	 de-
mais	latas	apresentavam	pequenos	amassados.
Sabendo	que	não	havia	pequenos	amassados	e	
arranhões	em	uma	mesma	lata,	então,	em	rela-
ção	ao	número	total	de	latas	compradas,	a	por-
26.	(Cesgranrio) Durante	uma	semana,	todos	os	
produtos	de	uma	 loja	de	departamento	 foram	
remarcados	com	30%	de	desconto	sobre	os	pre-
ços	cobrados	na	semana	anterior.	Durante	essa	
promoção,	um	liquidificador	era	vendido	por	R$	
73,50.	Qual	o	valor,	em	reais,	do	desconto	ofere-
cido	na	compra	desse	liquidificador?
a. 	 	R$	105,00.
b. 	 	R$	95,55.
c. 	 	R$	48,00.
d. 	X 	R$	31,50.
e. 	 	R$	22,05.
25.	(Consulplan)	“Uma	empresa	comercial	apli-
cou	R$	150.000,00	a	 juros	 simples,	 a	 uma	 taxa	
de	12%	ao	semestre.	Após	5	meses,	ela	resgata	
todo	o	montante	eo	aplica	em	um	outro	inves-
timento	uma	taxa	de	juros	compostos	de	5%	ao	
ano,	por	dois	anos.”	No	final	da	segunda	aplica-
ção,	o	valor	do	montante	é	de:
a. 	 	R$	165.000,00.
b. 	 	R$	168.000,00.
c. 	 	R$	181.812,00.
d. 	X 	R$	181.912,00.
23.	(Enem) O	Brasil	é	o	quarto	produtor	mundial	
de	 alimentos	 e	 é	 também	 um	 dos	 campeões	
mundiais	 de	 desperdício.	 São	 produzidas	 por	
ano,	aproximadamente,	150	milhões	de	tonela-
das	de	alimentos	e,	desse	total,	 2
3
		são	produ-
tos	de	plantio.	Em	relação	ao	que	se	planta,	64%	
são	perdidos	ao	longo	da	cadeia	produtiva	(20%	
perdidos	na	colheita,	8%	no	transporte	e	arma-
zenamento,	15%	na	 indústria	de	processamen-
to,	1%	no	varejo	e	o	restante	no	processamento	
culinário	e	hábitos	alimentares).	
O	desperdício	durante	o	processamento	culiná-
rio	e	hábitos	alimentares,	em	milhão	de	tonela-
da,	é	igual	a:
a. 	 X 	20.
b. 	 	30.
c. 	 	56.
d. 	 	64.
e. 	 	96.
com	chance	de	ganhar	o	campeonato,	pois	am-
bos	possuem	68	pontos	 e	 estão	muito	 à	 fren-
te	dos	outros	 times.	No	entanto,	R	e	S	não	se	
enfrentarão	na	rodada	final.	Os	especialistas	em	
futebol	 arriscam	 as	 seguintes	 probabilidades	
para	os	jogos	da	última	rodada:	R	tem	80%	de	
chance	de	ganhar	e	15%	de	empatar	S	tem	40%	
de	chance	de	ganhar	e	20%	de	empatar.	Segun-
do	as	informações	dos	especialistas	em	futebol,	
qual	é	a	probabilidade	de	o	time	R	ser	o	único	
vencedor	do	campeonato?
a. 	 	32%.
b. 	 	38%.
c. 	 	48%.
d. 	X 	54%.
e. 	 	57%.
centagem	de	latas	sem	pequenos	amassados	e	
sem	arranhões	era,	aproximadamente,	de:
a. 	 	93%.
b. 	 	90%.
c. 	 X 	87%.
d. 	 	84%.
e. 	 	78%.
27.	 (FCC) João	 emprestou	 a	 quantia	 de	 R$	
23.500,00	 a	 seu	 filho	 Roberto.	 Trataram	 que	
Roberto	 pagaria	 juros	 simples	 de	 4%	 ao	 ano.	
Roberto	pagou	 esse	 empréstimo	para	 seu	pai	
após	3	anos.	O	valor	total	dos	juros	pagos	por	
Roberto	foi:
a. 	 	R$	3.410,00.
b. 	X 	R$	2.820,00.
c. 	 	R$	2.640,00.
d. 	 	R$	3.120,00.
e. 	 	R$	1.880,00.
73CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 73 20/06/2018 18:04:34
17.	(Vunesp-Adaptada) Um	produto	foi	vendido	
com	desconto	de	10%	sobre	o	preço	normal	de	
venda.	Se	ele	foi	vendido	por	R$	54,00,	o	preço	
normal	de	venda	desse	produto	era	de:
a. 	 	R$	59,00.
b. 	X 	R$	60,00.
c. 	 	R$	58,00.
d. 	 	R$	59,40.
e. 	 	R$	58,40.
18.	(Cesgranrio) Ao	receber	seu	13o salário,	Fá-
bio	depositou	70%	do	que	recebeu	na	poupan-
ça	e	gastou	o	restante	comprando,	à	vista,	um	
forno	micro-ondas	 e	 um	 fogão.	 A	 razão	 entre	
os	preços	do	micro-ondas	e	do	fogão,	nessa	or-
dem,	é	
2
3
.	A	que	percentual	do	13o  salário	de	
Fábio	corresponde	o	preço	do	fogão?
a. 	 	12%.
b. 	X 	18%.
c. 	 	20%.
d. 	 	28%.
e. 	 	42%.
19.	 (UFF-Adapatada)	Uma	pesquisa	entrevistou	
150	pessoas.
a. Quantas	 pessoas	 responderam	 à	 primeira	
pergunta	sabendo	que	20%	não	responderam	a	
essa	pergunta?
120	pessoas.
b. Dos	que	 responderam	à	primeira	pergunta,	
40%	responderam	afirmativamente.	Que	quan-
tidade	de	 entrevistados	 essa	 porcentagem	 re-
presenta?
60.
21.	(UFGO)	Uma	pessoa	toma	R$	1.000,00	em-
prestado	no	banco,	para	pagar	daqui	a	três	me-
ses.	 Se	o	 regime	de	 capitalização	 for	 de	 juros	
compostos	 e	 a	 taxa	 combinada	 foi	 de	 5%	 ao	
mês,	quanto	essa	pessoa	deverá	pagar	ao	ban-
co	no	final	do	período?
a. 	 	R$	1.150,00.
b. 	X 	R$	1.157,62.
c. 	 	R$	1.550,34.
d. 	 	R$	3.375,00.
20.	 (Enem) A	 energia	 solar	 vai	 abastecer	 par-
te	da	demanda	de	energia	do	campus	de	uma	
universidade	brasileira.	A	instalação	de	painéis	
solares	 na	 área	 dos	 estacionamentos	 e	 na	 co-
bertura	do	hospital	pediátrico	será	aproveitada	
nas	 instalações	universitárias	 e	 também	 ligada	
na	rede	da	companhia	elétrica	distribuidora	de	
energia.	O	projeto	inclui	100	m2 de	painéis	sola-
res	que	ficarão	instalados	nos	estacionamentos,	
produzindo	 energia	 elétrica	 e	 proporcionando	
22.	 (Enem) Em	um	 campeonato	 de	 futebol,	 a	
vitória	vale	3	pontos,	o	empate	1	ponto	e	a	der-
rota	 zero	ponto.	Ganha	o	 campeonato	o	 time	
que	tiver	maior	número	de	pontos.	Em	caso	de	
empate	no	total	de	pontos,	os	times	são	decla-
rados	vencedores.	Os	times	R	e	S	são	os	únicos	
sombra	para	os	carros.	Sobre	o	hospital	pediá-
trico	 serão	 colocados	 aproximadamente	 300	
m2 de	painéis,	sendo	100	m2 para	gerar	energia	
elétrica	utilizada	no	campus,	e	200	m2 para	gera-
ção	de	energia	térmica,	produzindo	aquecimen-
to	de	água	utilizada	nas	 caldeiras	do	hospital.	
Suponha	que	 cada	metro	quadrado	de	painel	
solar	para	energia	elétrica	gere	uma	economia	
de	1	kWh	por	dia	e	cada	metro	quadrado	pro-
duzindo	energia	térmica	permita	economizar	0,7	
kWh	por	dia	para	a	universidade.	Em	uma	 se-
gunda	fase	do	projeto,	será	aumentada	em	75%	
a	área	coberta	pelos	painéis	solares	que	geram	
energia	elétrica.	Nessa	fase	também	deverá	ser	
ampliada	a	área	de	cobertura	com	painéis	para	
geração	de	energia	térmica.
Fonte:	http://agenciabrasil.ebc.com.br.	Acesso	em:	30	out.	
2013	(Adaptado).
Para	se	obter	o	dobro	da	quantidade	de	ener-
gia	economizada	diariamente,	em	relação	à	pri-
meira	fase,	a	área	total	dos	painéis	que	geram	
energia	térmica,	em	metro	quadrado,	deverá	ter	
o	valor	mais	próximo	de:
a. 	 	231.
b. 	 	431.
c. 	 X 	472.
d. 	 	523.
e. 	 	672.
72 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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74
Leitura complementar
Bandeiras tarifárias
Desde o ano de 2015, as contas de 
energia passaram a trazer uma novidade: 
o Sistema de Bandeiras Tarifárias, que 
apresenta as seguintes modalidades: ver-
de, amarela e vermelha, e indicam se ha-
verá ou não acréscimo no valor da ener-
gia a ser repassada ao consumidor final, 
em função das condições de geração de 
eletricidade. Cada modalidade apresen-
ta as seguintes características:
•	Bandeira verde: condições favorá-
veis de geração de energia. A tarifa 
não sofre nenhum acréscimo.
•	Bandeira amarela: condições de 
geração menos favoráveis. A tarifa so-
fre acréscimo de R$ 0,010  para cada 
quilowatt-hora (kWh) consumido.
•	Bandeira vermelha: Patamar 1 – 
condições mais custosas de geração. A 
tarifa sofre acréscimo de R$ 0,030 para 
cada quilowatt-hora (kWh) consumido. 
Patamar 2 – condições ainda mais cus-
tosas de geração. A tarifa sofre acrés-
cimo de R$ 0,050 para cada quilowatt-
-hora (kWh) consumido.
Todos os consumidores cativos das 
distribuidoras serão faturados pelo 
Sistema de Bandeiras Tarifárias, com 
exceção daqueles localizados em sis-
temas isolados.
Fonte: http://www.aneel.gov.br/tarifas-
consumidores/-/asset_publisher/
e2INtBH4EC4e/content/bandeira-tarifaria/6548
00?inheritRedirect=false
Anotações
35.	 Um	 artigo	 de	 revista	 especializada	 infor-
ma	que	um	 fabricante	de	sapatos,	 situado	em	
Franca	(SP),	produziu,	em	2000,	15%	a	mais	de	
pares	de	sapatos	que	no	ano	de	1999,	quando	
ele	exportou	20%	de	sua	produção.	Já	em	2000,	
exportou	25%	dela.	Se	em	2000	essa	fábrica	ex-
portou	 7.000	 pares	 de	 sapatos	 a	mais	 que	 no	
ano	anterior,	o	número	de	sapatos	produzidos	
por	essa	fábrica	em	1999	foi:
a. 	 	72.000.	 	
b. 	X 	80.000.	 	
c. 	 	95.000.	 	
d. 	 	98.000.	 	
e. 	 	14.000.
36.	 (Fuvest)	 A	 diferença	 entre	
1
3
e	 seu	 valor	
aproximado	0,333	é	 igual	a	x%	do	valor	exato.	
Então	o	valor	de	x	é:
a. 	 	0,001.	 	
b. 	 	0,01.	 	 	
c. 	 X 	0,1.	 	 	
d. 	 	0,03.	 	 	
e. 	 	0,3.
37.	 Um	 reservatório	 com	 capacidade	 para	 40	
litros	possui	30	 litros	de	uma	mistura	gasolina/
álcool	com	18%	de	álcool.	Deseja-se	completar	
o	reservatório	com	nova	mistura	gasolina/álcool	
de	modo	que	a	mistura	resultante	tenha	20%	de	
álcool.	A	porcentagem	de	álcool	na	nova	mistu-
ra	deve	ser	de:
a. 	 	20%.	 	 	
b. 	 	22%.	 	 	
c. 	 	24%.	 	 	
d. 	X 	26%.	 	 	
e. 	 	28%.
38.	Um	certo	produto	sofreu	dois	descontos	su-
cessivos	de	15%	e	depois	um	acréscimo	de	8%.	
Seu	preço	final,	em	relação	ao	inicial:	
a. 	 	decresceu	24%.		
b. 	 	decresceu	23%.	
c. 	 	aumentou	22%.
d.X 	aumentou	21,97%.	 	
e. 	 	decresceu	21,97%.
39.	(PUC)	Um	carro	foi	vendido	por	R$	10.000,00,	
com	prejuízo	de	20%	sobre	o	preço	da	compra.	
O	carro	havia	sido	comprado,	em	reais,	por:
a. 	 	10.200,00.	 	
b. 	 	11.500,00.	 	
c. 	 	12.000,00.	 	
d. 	X 	12.500,00.	 	
e. 	 	13.000,00.
40.	A	taxa	de	juros	para	aplicações	de	curto	e	
médio	prazos,	em	um	banco,	é	de	40%	ao	ano.	
Que	remuneração	real	recebe	o	cliente,	se	a	in-
flação	for	30%	ao	ano?
a. 	 	7,1%.	
b. 	 	7,2%.	
c. 	 	7,3%.
d. 	 	7,4%.	
e. 	X 	7,6%.
41.	Um	capital	foi	aplicado	a	juro	simples	e,	ao	
completar	um	período	de	1	ano	e	4	meses,	pro-
duziu	um	montante	equivalente	a	7/5	de	seu	va-
lor.	A	taxa	mensal	dessa	aplicação	foi	de:
a. 	 	2%.		 	
b. 	 	2,2%.	 	
c. 	 X 	2,5%.	
d. 	 	2,6%.		 	
e. 	 	2,8%.
aumento	da	 tarifa	em	agosto.	Pode-se,	então,	
concluir	que	o	consumo	de	energia	elétrica,	no	
mês	de	outubro,	foi	de	aproximadamente:
a. 	 	301	kwh.	 	
b. 	X 	343	kwh.	 	
c. 	 	367	kwh.	 	
d. 	 	385	kwh.	 	
e. 	 	413	kwh.
42.	 A	 população	 de	 pobres	 de	 um	 país,	 em	
1991,	era	de	4.400.000,	correspondendo	a	22%	
da	população	total.	Em	2011,	esse	número	au-
mentou	para	5.400.000,	correspondendo	a	20%	
da	população	total.	Indique	a	variação	percen-
tual	da	população	do	país	no	período.
35%.
75CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
Matematica_Contextualizada_9ºano_03.indd 75 20/06/2018 18:04:34
29.	 (Enem) Em	 uma	 empresa	 de	 móveis,	 um	
cliente	encomenda	um	guarda-roupa	nas	dimen-
sões	220	 cm	de	altura,	 120	 cm	de	 largura	e	50	
cm	de	profundidade.	Alguns	dias	depois,	o	pro-
jetista,	 com	o	desenho	elaborado	na	escala	1	 :	
8,	entra	em	contato	com	o	cliente	para	fazer	sua	
apresentação.	No	momento	da	impressão,	o	pro-
fissional	percebe	que	o	desenho	não	caberia	na	
folha	de	papel	que	costumava	usar.	Para	resolver	
o	problema,	configurou	a	impressora	para	que	a	
figura	fosse	reduzida	em	20%.	A	altura,	a	largura	
e	 a	profundidade	do	desenho	 impresso	para	 a	
apresentação	serão,	respectivamente:
a. 	 X 	22,00	cm,	12,00	cm	e	5,00	cm.
b. 	 	27,50	cm,	15,00	cm	e	6,25	cm.
c. 	 	34,37	cm,	18,75	cm	e	7,81	cm.
d. 	 	35,20	cm,	19,20	cm	e	8,00	cm.
e. 	 	44,00	cm,	24,00	cm	e	10,00	cm.
30.	 (UFSM–Adaptada) O	número	de	 furtos	de	
veículos	 tem	 aumentado	 muito	 nos	 últimos	
anos.	Para	se	proteger,	um	proprietário	fez	um	
seguro	do	seu	veículo,	cujo	valor	à	vista	era	de	
R$	1.530,00.	Porém,	ele	preferiu	pagar	em	6	par-
celas	de	R$	293,25.	Qual	foi	a	taxa	de	juro	sim-
ples	paga	pelo	proprietário?
a. 	 X 	0,15.
b. 	 	0,32.
c. 	 	0,19.
d. 	 	0,25.
e. 	 	0,33.
28.	(Funcern) Agenor	decidiu	fazer	um	emprés-
timo	de	R$	15.000,00	a	juros	simples.	A	melhor	
proposta	foi	a	de	um	banco	que	lhe	cobrou	uma	
taxa	de	juros	de	5%	a.m.	Agenor	propôs	ao	ban-
co	pagar	o	valor	total	em	uma	única	vez	ao	final	
de	dois	meses.	No	dia	do	pagamento	acordado,	
o	banco	resolveu	conceder	um	desconto	sobre	
o	valor	da	dívida	de	Agenor.	Ao	quitar	a	dívida,	
Agenor	pagou	a	quantia	de	R$	15.510,00.	A	taxa	
de	desconto	concedida	pelo	banco	foi	de:
a. 	 X 	6%.
b. 	 	5%.
c. 	 	7%.
d. 	 	4%.
31.	 (Fuvest)	Um	 lojista	 sabe	que,	para	não	 ter	
prejuízo,	 o	 preço	 de	 venda	 de	 seus	 produtos	
deve	ser	no	mínimo	44%	superior	ao	preço	de	
custo.	Porém	ele	prepara	a	tabela	de	preços	de	
venda	 acrescentando	 80%	 ao	 preço	 de	 custo,	
porque	sabe	que	o	cliente	gosta	de	obter	des-
conto	no	momento	da	compra.
Qual	 é	 o	 maior	 desconto	 que	 ele	 pode	 con-
ceder	 ao	 cliente,	 sobre	 o	 preço	da	 tabela,	 de	
modo	a	não	ter	prejuízo?
a. 	 	10%.		
b. 	 	15%.																															
c. 	 X 	20%.																							
d. 	 	25%.																														
e. 	 	36%.	
32.	Um	comerciante	deu	um	desconto	de	20%	
sobre	o	preço	de	venda	de	uma	mercadoria	e,	
ainda	assim,	obteve	um	 lucro	de	20%	sobre	o	
preço	que	pagou	pela	mesma.	Se	o	desconto	
não	fosse	dado,	seu	 lucro	sobre	a	mercadoria,	
em	porcentagem,	seria	de:
a. 	 	35%.	 	 	
b. 	 	40%.	 	 	
c. 	 	45%.	 	 	
d. 	X 	50%.	 	 	
e. 	 	60%.
33.	Uma	mercadoria	 sofreu	dois	aumentos	su-
cessivos:	um	de	20%	em	janeiro	e	outro	de	30%	
em	fevereiro.	O	aumento	no	bimestre	foi	de:
a. 	 	50%.	 	 	
b. 	 	46%.	 	 	
c. 	 X 	56%.	 	 	
d. 	 	60%.	 	 	
e. 	 	66%.
34.	O	limite	de	consumo	mensal	de	energia	elé-
trica	 de	 uma	 residência,	 sem	multa,	 foi	 fixado	
em	320	kwh.	Pelas	regras	do	racionamento,	se	
este	 limite	 for	ultrapassado,	o	consumidor	de-
verá	pagar	50%	a	mais	 sobre	o	excesso.	Além	
disso,	em	agosto,	a	tarifa	sofreu	um	reajuste	de	
16%.	Suponha	que	o	valor	pago	pelo	consumo	
de	 energia	 elétrica	 no	mês	 de	 outubro	 tenha	
sido	 20%	maior	 do	 que	 aquele	 que	 teria	 sido	
pago	sem	as	 regras	do	racionamento	e	sem	o	
74 CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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35.	 Um	 artigo	 de	 revista	 especializada	 infor-
ma	que	um	 fabricante	de	sapatos,	 situado	em	
Franca	(SP),	produziu,	em	2000,	15%	a	mais	de	
pares	de	sapatos	que	no	ano	de	1999,	quando	
ele	exportou	20%	de	sua	produção.	Já	em	2000,	
exportou	25%	dela.	Se	em	2000	essa	fábrica	ex-
portou	 7.000	 pares	 de	 sapatos	 a	mais	 que	 no	
ano	anterior,	o	número	de	sapatos	produzidos	
por	essa	fábrica	em	1999	foi:
a. 	 	72.000.	 	
b. 	X 	80.000.	 	
c. 	 	95.000.	 	
d. 	 	98.000.	 	
e. 	 	14.000.
36.	 (Fuvest)	 A	 diferença	 entre	
1
3
e	 seu	 valor	
aproximado	0,333	é	 igual	a	x%	do	valor	exato.	
Então	o	valor	de	x	é:
a. 	 	0,001.	 	
b. 	 	0,01.	 	 	
c. 	 X 	0,1.	 	 	
d. 	 	0,03.	 	 	
e. 	 	0,3.
37.	 Um	 reservatório	 com	 capacidade	 para	 40	
litros	possui	30	 litros	de	uma	mistura	gasolina/
álcool	com	18%	de	álcool.	Deseja-se	completar	
o	reservatório	com	nova	mistura	gasolina/álcool	
de	modo	que	a	mistura	resultante	tenha	20%	de	
álcool.	A	porcentagem	de	álcool	na	nova	mistu-
ra	deve	ser	de:
a. 	 	20%.	 	 	
b. 	 	22%.	 	 	
c. 	 	24%.	 	 	
d. 	X 	26%.	 	 	
e. 	 	28%.
38.	Um	certo	produto	sofreu	dois	descontos	su-
cessivos	de	15%	e	depois	um	acréscimo	de	8%.	
Seu	preço	final,	em	relação	ao	inicial:	
a. 	 	decresceu	24%.		
b. 	 	decresceu	23%.	
c. 	 	aumentou	22%.
d. 	X 	aumentou	21,97%.	 	
e. 	 	decresceu	21,97%.
39.	(PUC)	Um	carro	foi	vendido	por	R$	10.000,00,	
com	prejuízo	de	20%	sobre	o	preço	da	compra.	
O	carro	havia	sido	comprado,	em	reais,	por:
a. 	 	10.200,00.	 	
b. 	 	11.500,00.	 	
c. 	 	12.000,00.	 	
d. 	X 	12.500,00.	 	
e. 	 	13.000,00.
40.	A	taxa	de	juros	para	aplicações	de	curto	e	
médio	prazos,	em	um	banco,	é	de	40%	ao	ano.	
Que	remuneração	real	recebe	o	cliente,	se	a	in-
flação	for	30%	ao	ano?
a. 	 	7,1%.	
b. 	 	7,2%.	
c. 	 	7,3%.
d. 	 	7,4%.	
e. 	X 	7,6%.
41.	Um	capital	foi	aplicado	a	juro	simples	e,	ao	
completar	um	período	de	1	ano	e	4	meses,	pro-
duziu	um	montante	equivalente	a	7/5	de	seu	va-
lor.	A	taxa	mensal	dessa	aplicação	foi	de:
a. 	 	2%.		 	
b. 	 	2,2%.	 	
c. 	 X 	2,5%.	
d. 	 	2,6%.		 	
e. 	 	2,8%.
aumento	da	 tarifa	em	agosto.	Pode-se,	então,	
concluir	que	o	consumo	de	energia	elétrica,	no	
mês	de	outubro,	foi	de	aproximadamente:
a. 	 	301	kwh.	 	
b. 	X 	343	kwh.	 	
c. 	 	367	kwh.	 	
d. 	 	385	kwh.	 	
e. 	 	413	kwh.
42.	 A	 população	 de	 pobres	 de	 um	 país,	 em	
1991,	era	de	4.400.000,	correspondendo	a	22%	
da	população	total.	Em	2011,	esse	número	au-
mentou	para	5.400.000,	correspondendo	a	20%	
da	população	total.	Indique	a	variação	percen-
tual	da	população	do	país	no	período.
35%.
75CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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29.	 (Enem) Em	 uma	 empresa	 de	 móveis,	 um	
cliente	encomenda	um	guarda-roupa	nas	dimen-
sões	220	 cm	de	altura,	 120	 cm	de	 largura	e	50	
cm	de	profundidade.	Alguns	dias	depois,	o	pro-
jetista,	 com	o	desenho	elaborado	na	escala	1	 :	
8,	entra	em	contato	com	o	cliente	para	fazer	sua	
apresentação.	No	momento	da	impressão,	o	pro-
fissional	percebe	que	o	desenho	não	caberia	na	
folha	de	papel	que	costumava	usar.	Para	resolver	
o	problema,	configurou	a	impressora	para	quea	
figura	fosse	reduzida	em	20%.	A	altura,	a	largura	
e	 a	profundidade	do	desenho	 impresso	para	 a	
apresentação	serão,	respectivamente:
a. 	 X 	22,00	cm,	12,00	cm	e	5,00	cm.
b. 	 	27,50	cm,	15,00	cm	e	6,25	cm.
c. 	 	34,37	cm,	18,75	cm	e	7,81	cm.
d. 	 	35,20	cm,	19,20	cm	e	8,00	cm.
e. 	 	44,00	cm,	24,00	cm	e	10,00	cm.
30.	 (UFSM–Adaptada) O	número	de	 furtos	de	
veículos	 tem	 aumentado	 muito	 nos	 últimos	
anos.	Para	se	proteger,	um	proprietário	fez	um	
seguro	do	seu	veículo,	cujo	valor	à	vista	era	de	
R$	1.530,00.	Porém,	ele	preferiu	pagar	em	6	par-
celas	de	R$	293,25.	Qual	foi	a	taxa	de	juro	sim-
ples	paga	pelo	proprietário?
a. 	 X 	0,15.
b. 	 	0,32.
c. 	 	0,19.
d. 	 	0,25.
e. 	 	0,33.
28.	(Funcern) Agenor	decidiu	fazer	um	emprés-
timo	de	R$	15.000,00	a	juros	simples.	A	melhor	
proposta	foi	a	de	um	banco	que	lhe	cobrou	uma	
taxa	de	juros	de	5%	a.m.	Agenor	propôs	ao	ban-
co	pagar	o	valor	total	em	uma	única	vez	ao	final	
de	dois	meses.	No	dia	do	pagamento	acordado,	
o	banco	resolveu	conceder	um	desconto	sobre	
o	valor	da	dívida	de	Agenor.	Ao	quitar	a	dívida,	
Agenor	pagou	a	quantia	de	R$	15.510,00.	A	taxa	
de	desconto	concedida	pelo	banco	foi	de:
a. 	 X 	6%.
b. 	 	5%.
c. 	 	7%.
d. 	 	4%.
31.	 (Fuvest)	Um	 lojista	 sabe	que,	para	não	 ter	
prejuízo,	 o	 preço	 de	 venda	 de	 seus	 produtos	
deve	ser	no	mínimo	44%	superior	ao	preço	de	
custo.	Porém	ele	prepara	a	tabela	de	preços	de	
venda	 acrescentando	 80%	 ao	 preço	 de	 custo,	
porque	sabe	que	o	cliente	gosta	de	obter	des-
conto	no	momento	da	compra.
Qual	 é	 o	 maior	 desconto	 que	 ele	 pode	 con-
ceder	 ao	 cliente,	 sobre	 o	 preço	da	 tabela,	 de	
modo	a	não	ter	prejuízo?
a. 	 	10%.		
b. 	 	15%.																															
c. 	 X 	20%.																							
d. 	 	25%.																														
e. 	 	36%.	
32.	Um	comerciante	deu	um	desconto	de	20%	
sobre	o	preço	de	venda	de	uma	mercadoria	e,	
ainda	assim,	obteve	um	 lucro	de	20%	sobre	o	
preço	que	pagou	pela	mesma.	Se	o	desconto	
não	fosse	dado,	seu	 lucro	sobre	a	mercadoria,	
em	porcentagem,	seria	de:
a. 	 	35%.	 	 	
b. 	 	40%.	 	 	
c. 	 	45%.	 	 	
d. 	X 	50%.	 	 	
e. 	 	60%.
33.	Uma	mercadoria	 sofreu	dois	aumentos	su-
cessivos:	um	de	20%	em	janeiro	e	outro	de	30%	
em	fevereiro.	O	aumento	no	bimestre	foi	de:
a. 	 	50%.	 	 	
b. 	 	46%.	 	 	
c. 	 X 	56%.	 	 	
d. 	 	60%.	 	 	
e. 	 	66%.
34.	O	limite	de	consumo	mensal	de	energia	elé-
trica	 de	 uma	 residência,	 sem	multa,	 foi	 fixado	
em	320	kwh.	Pelas	regras	do	racionamento,	se	
este	 limite	 for	ultrapassado,	o	consumidor	de-
verá	pagar	50%	a	mais	 sobre	o	excesso.	Além	
disso,	em	agosto,	a	tarifa	sofreu	um	reajuste	de	
16%.	Suponha	que	o	valor	pago	pelo	consumo	
de	 energia	 elétrica	 no	mês	 de	 outubro	 tenha	
sido	 20%	maior	 do	 que	 aquele	 que	 teria	 sido	
pago	sem	as	 regras	do	racionamento	e	sem	o	
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51.	O	preço	de	um	aparelho	elétrico	com	um	
desconto	de	40%	é	igual	a	R$	36,00.	Calcule,	em	
reais,	o	preço	desse	aparelho	elétrico	sem	esse	
desconto.	
R$	60,00.
52.	Fizemos	uma	pesquisa	na	qual	relacionamos	
os	valores	de	aluguéis	pagos	em	20	imóveis	ru-
rais	e	20	imóveis	urbanos.	O	resultado	aparece	
na	tabela	abaixo.
Utilize	 seus	 conhecimentos	 e	 compare	 os	 alu-
guéis	da	zona	urbana	e	da	zona	rural.	Responda:
a. Qual	o	percentual	de	residências	urbanas	que	
têm	aluguel	maior	ou	igual	a	R$	400,00?
75%.
c. Quantos	por	 cento	das	 residências	da	 zona	
urbana	pagam	R$	600,00	ou	mais?
35%.
b. Quantos	por	cento	das	residências	rurais	pa-
gam	menos	que	R$	600,00?
90%.
53.	Uma	prova	de	triatlo	compreende	três	eta-
pas:	natação,	ciclismo	e	corrida.	Em	uma	dessas	
provas,	dos	170	atletas	que	iniciaram	a	compe-
tição,	dez	a	abandonaram	na	etapa	de	natação;	
dos	que	continuaram,	25%	desistiu	ao	longo	da	
etapa	de	ciclismo;	e,	dos	que	começaram	a	ter-
ceira	e	última	etapa,	20%	abandonaram	a	corri-
da.	Quantos	atletas	terminaram	a	corrida?
96.
Espaço para cálculos
77CAPÍTULO 3 I Porcentagens e Juros
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46.	 Num	grupo	 de	 400	 pessoas,	 30%	 são	 ho-
mens	e	65%	das	mulheres	têm	mais	de	20	anos.	
Quantas	mulheres	ainda	não	comemoraram	seu	
20º	aniversário?
98.
47.	Para	comprar	um	tênis	de	R$	70,00,	Renato	
deu	um	cheque	pré-datado	de	30	dias	no	valor	
de	R$	74,20.	Determine	a	taxa	mensal	de	juros	
cobrada.
6%	ao	mês.
48.	Manoel	compra	100	caixas	de	 laranjas	por	
R$	2.000,00.	Havendo	um	aumento	de	25%	no	
preço	de	cada	caixa,	quantas	caixas	ele	poderá	
comprar	com	a	mesma	quantia?	
80	caixas.
50.	 Ao	 vender	 um	 eletrodoméstico	 por	 R$	
4.255,00,	um	comerciante	lucra	15%.	Determine	
o	custo	desse	aparelho	para	o	comerciante.
R$	3.700,00.
49.	Com	o	objetivo	de	desenvolver	seu	raciocí-
nio	para	enfrentar	o	solicitado	a	toda	transação	
comercial	que	faz	parte	de	sua	vida	prática,	efe-
tue	o	solicitado	abaixo:
a. R$	38,00	correspondem	a	quantos	por	cento	
de	R$	70,00?
54%.
44.	Você	quer	adquirir	um	carro	no	final	do	ano.	
Para	 isso	está	 contando	 com	R$	 20.000,00,	di-
nheiro	que	foi	aplicado,	no	início	do	ano,	da	se-
guinte	maneira:
	45%	em	caderneta	de	poupança
	25%	foi	emprestado	a	uma	taxa	simples	de	1%	
ao	mês	para	seu	irmão.
	30%	você	aplicou	na	bolsa	de	valores.
No	final	do	ano,	você	verificou	que:
	A	caderneta	de	poupança	rendeu	6%	ao	final	
de	um	ano	de	aplicação.
	Seu	irmão	devolveu	o	dinheiro	mais	os	juros.
	A	bolsa	teve	uma	queda	de	5%.
Qual	o	valor	que	você	conseguiu	resgatar	para	a	
compra	de	seu	carro?
R$	20.840,00.
b. R$	80,00	são	23%	de	quanto?
R$	347,83.
c. Um	produto	passou	de	R$	1,23	para	R$	1,35.	
De	quanto	foi	o	aumento	percentual?
9,8%.
d. Um	produto	que	 custava	R$	 23,50	 teve	 au-
mento	de	29,8%.	Qual	é	o	novo	preço?
R$	30,50.
e. Um	produto	custava	R$	50,00	em	janeiro.	Em	
fevereiro	seu	preço	subiu	8%,	em	março	o	preço	
caiu	6%,	em	abril	o	preço	subiu	3%	e	em	maio	o	
preço	subiu	6%.	Qual	é	o	preço	desse	produto	
de	mês	a	mês,	de	janeiro	a	maio?
Janeiro:	R$	50,00,	fevereiro:	R$	54,00,	março:R$	
50,76,	abril:	R$	52,28	e	junho:	R$	55,40.
43.	Um	artista	foi	contratado	para	uma	festa	em	
uma	cidade.	Você	é	o	tesoureiro	e,	portanto,	o	
responsável	pela	emissão	dos	recibos	e	pelo	fe-
chamento	do	caixa.	O	valor	cobrado	pelo	artista	
foi	de	R$	16.000,00.	 Somando-se	os	 impostos,	
o	 percentual	 a	 ser	 descontado	 totalizou	 35%.	
Com	essas	informações,	responda:
a. Qual	o	valor	a	ser	declarado	no	recibo?
R$	10.400,00.
b. E	o	valor	a	ser	pago	em	impostos?
R$	5.600,00.
45.	Uma	pessoa	pagou	20%	de	uma	dívida.	Se	
R$	4.368,00	correspondem	a	35%	do	restante	a	
ser	pago,	determine	a	dívida	total.
R$	15.600,00.
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Objetivos alcançados
•	Identificar	termos	da	matemática	co-
mercial.
•	Resolver	 situações-problema	 que	
envolvem	 juros	 simples	 e	 juros	 com-
postos.
•	Resolver	 problemas	 que	 envolvem	
porcentagens	por	meio	de	estratégias	
variadas.
Anotações
51.	O	preço	de	um	aparelho	elétrico	com	um	
desconto	de	40%	é	igual	a	R$	36,00.	Calcule,	em	
reais,	o	preço	desse	aparelho	elétrico	sem	esse	
desconto.	
R$	60,00.
52.	Fizemos	uma	pesquisa	na	qual	relacionamos	
os	valores	de	aluguéis	pagos	em	20	imóveis	ru-
rais	e	20	imóveis	urbanos.	O	resultado	aparece	
na	tabela	abaixo.
Utilize	 seus	 conhecimentos	 e	 compare	 os	 alu-
guéis	da	zona	urbana	e	da	zona	rural.	Responda:
a. Qual	o	percentual	de	residências	urbanas	que	
têm	aluguel	maior	ou	igual	a	R$	400,00?
75%.
c. Quantos	por	 cento	das	 residências	da	 zona	
urbana	pagam	R$	600,00	ou	mais?
35%.
b. Quantos	por	cento	das	residências	rurais	pa-
gam	menos	que	R$	600,00?
90%.
53.	Uma	prova	de	triatlo	compreende	três	eta-
pas:	natação,	ciclismo	e	corrida.	Em	uma	dessas	
provas,